מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 = 3 3 = 4 3 15 דוגמא במספרים שלמים במספרים שלמים חשב את gcd (10,135) g = והצג אותו כ 135 y.x, y Z, x 10 + 10 = 1 135 + 75 135 = 1 75 + 60 75 = 1 60 + 15 60 = 4 15 + 0 gcd 10,135 = 15 = 75 60 == 75 135 75 = 75 135 = = 10 135 135 = 10 3 135 = 15 נוסף במספרים שלמים חשב את gcd (803,87) g = והצג אותו כ 87 y.x 803 + 803 = 4 187 + 55 187 = 3 55 + 55 = + 11 = 11 + 0 gcd 803,87 = 11 = 55 = 55 187 3 55 == 7 55 187 = = 7 803 4 187 187 = 7 803 30 187 = 11 f = 4x 4 + 4x 3 + x g = x 3 + x + 1 f = x 1 g + x + x + 1 g = x + 1 x + x + 1 + 0 gcd f, g = x + x + 1 דוגמא בפולינומים = f g x 1 = x + 1 x + 1 = 1 f g(x 1 ) עמוד 1 מתוך 7
חוגים חוג Z n הגדרה החוג Z n מוגדר בצורה הבאה: 1 n Z n = 0, 1,,, עם פעולות החיבור והכפל מודולו.n זהו חוג חילופי )לוקחים מודולו אחרי הכפל של שני האיברים( ועם יחידה. 3 3 = 9 = 1 5 + 4 + 4 = 6 = 1 5 + 1 = 1 4 + 3 + 3 + 4 = 9 + 4 = 4 3 4 + 4 = 8 8 = 3 3 = 4 4 100 = 4 5 100 = 1 100 = 1 דוגמאות אם = 5 n אז {0,1,,3,4} = 5 Z אז: הערה בחוג המספרים השלמים צריך לרשום: 1 6 4, + אבל בחוג Z 5 מותר להשתמש בסימן "=". n ראשוני טענה 1 א. Z n תחום שלמות אם ורק אם ב. אם n ראשוני אז Z n שדה נניח ש n לא ראשוני. אזי n = m k כאשר < m, k < n.1 כלומר m, k Z n אבל ב Z n מתקיים = 0.mk כלומר, במקרה זה Z n אינו תחום שלמות. נניח ש n ראשוני ונראה שהוא שדה. אם הוא שדה אז הוא גם תחום שלמות, כי שדה גורר תחום שלמות. נסמן.p = n יהי 1 p a 1,, ונראה ש a הפיך ב.Z p על פי ההגדרה = 1 p gcd a, ולכן קיימים x, y Z כך ש = 1 p.x a + y נכתוב r p 1, x = p m + r 0 ולכן: = 1 yp pm + r a + ולכן: a הראנו שכל 0.a של r Z p אזי.ra = 1 Z p כלומר ב,ra p במלים אחרות.p ma + y + ra = 1 הוא הפיך, ולכן Z p ראשוני כ p ראשוני, והוא גם תחום שלמות..b = a d = b c נעביר אגפים = 1,cd כלומר c, d הם.b = a d מכך נובע ש = 0 cd,1 כלומר יהי R תחום שלמות, ויהיו a, b R 0 כך ש a b וגם.b a 3.a = u b כך ש a R x חברים, כלומר קיים a, b a = b c ו 0 b a, ולכן בהכרח c, d R כך ש הוכח ש לפי הנתון, קיימים ונקבל: = 0 cd.b 1 לפי ההנחה הפיכים. y או = 0 x = o גורר ש x y = 0 0 x גורר ש x הפיך כמעט חברים, נבדלים אחד מהשני בכפולה של איבר הפיך בחוג. 1 3 עמוד מתוך 7
יהי R תחום שלמות, q R אי-פריק,.u R x יש להוכיח ש qu אי-פריק. נניח בשלילה שאפשר לפרק את,qu כלומר qu = q 1 q כך ש q 1, q לא הפיכים. )אם היה הפיך, אז קיים.q = u 1 1 = 1 = pu 1 q 1 שימו לב ש 1 u אינו הפיך p u 1 q q 1 לכן ) q 1 (q ובמקרה זה q 1 הפיך, בסתירה להנחה(. אז קיבלנו פירוק של q עצמו למכפלה של שני איברים לא הפיכים. וזאת סתירה. לכן q אי-פריק. הוכח או הפרך אם K[x] f פולינום פריז, אזי יש ל f שורש. הטענה אינה נכונה. דוגמה נגדית: נסתכל על הוא פריק ( 1) x + 1 = x + 1 (x +. x + 1 R x אבל אין לו שורש ב R. ההפך אבל נכון, למדנו את זה בשיעור. יהי k שדה ויהי 0 p פולינום ממעלה 3 אז p פריק אם ורק אם יש ל p שורש ב k. כיוון נכון תמיד, ראינו בשיעור. לכיוון נפרק p = q r כאשר q, r k x ממעלה < 0 )פולינום קבוע )הפיך( זה פולינום ממעלה.)0 אזי deg p = deg q + deg r 3 כאשר > 0 r.deg q, deg מכך נובע שאם = p deg אזי בהכרח המעלה של אחד מהם היא בדיוק 1. נניח בלי הגבלת הכלליות ש = 1 q.deg אז q מהצורה q = ax + b כאשר 0 a ולכן ל q יש שורש b ולכן גם ל p יש אותו שורש. a בכך הוכחנו את כיוון, ולכן הטענה נכונה. נתונים מספרים b, c R כך ש < 0 4c.b הוכח שהפולינום f = x + bx + c אי-פריק ב.R x נניח בשלילה ש b± b 4c f פריק. אז לפי ה הקודם היה ל f שורש ב R. השורשים של הפולינום הם:, והיות ו < 0 4c b אז השורשים מרוכבים ולא בשלמים ולכן הגענו לסתירה. עמוד 3 מתוך 7
נסתכל על פולינום x. 3 1 מצא את השורשים שלו: א. מעל C "1" הוא שורש, אזי x 3 1 מתחלק ב (1 x). נעשה חילוק ארוך: x + x + 1 x 3 1 x 5 x 3 x x 1 x x x 1 כלומר, 1) + x.x 1 = x 1 (x + נמצא את השורשים ש + 1 x.x + i ± 1 4 = 1 ± 3 i 1, 1 ± 3 אז השורשים המרוכבים הם i ב. מעל R כל שורש ב R הוא גם שורש ב C, כי R, C ולכן השורש היחידי ב R הוא 1. ג. מעל Z 5 כל מה שקורה ב Z 5 שונה לגמרי ב R ולכן צריך להסתכל על השאלה מחדש. אנחנו לא יודעים איך כל הפעולות עובדות ב Z, 5 אבל מכיוון שהוא שדה סופי עם מספר סופי של איברים, נציב את כולם ונבדוק מה מהם שורשים: 0 3 1 0 1 3 1 = 0 3 1 = 3 1 0 3 3 1 = 1 0 4 3 1 = 4 1 0 ולכן "1" הוא השורש היחיד ב Z. 5. דוגמאות נסתכל על הפולינום x + 1 מעל.Z אז = 0 1 1 + ו 1) + 1)(x x + 1 ( x 1 x + 1 = (x + רואים שהפירוק ב Z הוא לא כמו הפירוק ב R..b a ונניח ש a i Z כאשר f x = x n + a n 1 x הוכח ש n 1 0.f שורש של b Z נתון פולינום + a 0 + זו בעיה למצוא את כל השורשים ב R של פולינומים ממעלה גבוהה מעל R. אבל כן אפשר למצוא את השורשים השלמים של פולינום מתוקן מעל השלמים. נניח ש b הוא שורש. אז: ולכן.b a 0 עמוד 4 מתוך 7
)מחוץ לחומר, לא (למבחן( הוכחה של R אין אוטומורפיזמים לא טריוויאלי. במלים אחרות, אילו העתקות יש מ R לעצמו חח"ע ועל ששומרות על הפעולות? נראה שיש העתקה אחת כזו והיא העתקת הזהות. נניח ש Φ אוטומורפיזם של.R אם > 0 x אזי x = y ו.y R מזה נובע ש: > 0.Φ x = Φ y = Φ y כלומר, מספר חיובי עובר למספר חיובי. אם a > b אזי > 0 b Φ a כלומר > 0 b Φ a Φ ולכן Φ(b),Φ a > כלומר Φ פונקציה מונוטונית. הטענה היא ש Φ רציפה. אז ניקח,x 0 R ויהי > 0 ε וניקח.δ = ε נוכיח שאם x x 0 < δ אזי. Φ x Φ x 0 < ε נניח בלי הגבלת הכלליות ש x x 0 < δ אז < x x 0 < δ.0 ניקח q רציונאלי כך ש < x x 0 < q < δ 0 )בין שני מספרים ממשיים אפשר למצוא מספר רציונאלי(. אזי = Φ 0 < Φ x x 0 < Φ q = q < δ = ε 0 אז הראנו ש < Φ x Φ x 0 < ε 0 כלומר היא רציפה. בזה סיימנו את ההוכחה, נראה למה. ניקח.x R אז קיימת סדרה q n Q כך ש.Φ x = Φ lim q n = lim Φ q n = lim q n = x.lim q n = x עמוד 5 מתוך 7
תוכן עניינים מחלק משותף מקסימאלי...1 חוגים... חוג...Zn עמוד 6 מתוך 7
תקציר משפטים, נוסחאות והדגשים החוג Zn מוגדר בצורה הבאה: 1 n Zn = 0, 1,,, עם פעולות החיבור והכפל מודולו.n זהו חוג חילופי )לוקחים מודולו אחרי הכפל של שני האיברים( ועם יחידה. א. Zn תחום שלמות אם ורק אם n ראשוני ב. אם n ראשוני אז Zn שדה עמוד 7 מתוך 7