Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Π Ε Ι Ρ Α Ι Ω Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΓΗΡΑΝΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΚΑΙ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Ιωάννης Σ. Τριανταφύλλου Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ Υποβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης του Πανεπιστηµίου Πειραιώς Πειραιάς Μάρτιος 2009 i
ii
Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Π Ε Ι Ρ Α Ι Ω Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΓΗΡΑΝΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΚΑΙ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Ιωάννης Σ. Τριανταφύλλου Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ Υποβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης του Πανεπιστηµίου Πειραιώς Πειραιάς Μάρτιος 2009
U N I V E R S I T Y O F P I R A E U S DEPARTMENT OF STATISTICS AND INSURANCE SCIENCE CONTRIBUTION TO THE STUDY OF AGEING PROPERTIES OF RELIABILITY STRUCTURES AND NONPARAMETRIC CONTROL CHARTS BY THE AID OF ORDER STATISTICS Ioannis S. Triantafyllou PhD Thesis Submitted to Department of Statistics and Insurance Science of the University of Piraeus Piraeus, Greece March 2009
Στους γονείς µου Σπύρo και Φλώρα και τη Μαρία
Ευχαριστίες Ιδιαίτερες και θερµές ευχαριστίες θα ήθελα να απευθύνω στον καθηγητή κ. Μάρκο Β. Κούτρα για την καθοριστική συµβολή του στην εκπόνηση της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Η άρτια γνώση και η πολύπειρη τριβή του σε θέµατα της Θεωρίας Αξιοπιστίας και του Στατιστικού Ελέγχου Ποιότητας, αποτελέσαν τον καλύτερο οδηγό σε ολόκληρη τη διάρκεια της προσπάθειας αυτής. Οι πολύπλευρες παρεµβάσεις και οι ουσιαστικές συµβουλές του κατεύθυναν µε γόνιµο τρόπο τη µελέτη που διεξήχθη, προσδιορίζοντας τους στόχους της αλλά και τον τρόπο επίτευξης αυτών. Η εµπιστοσύνη µε την οποία µε περιέβαλε, επιδεικνύοντας τεράστια υποµονή και αµέριστη κατανόηση στις δυσκολίες που παρουσιάστηκαν, αλλά και η αληθινή διάθεση στήριξης σε κάθε βήµα της ερευνητικής µου προσπάθειας, ήταν τα απαραίτητα συστατικά στοιχεία για τη διεκπεραίωση της παρούσας µελέτης. Για όλα τα παραπάνω, θεωρώ ηθική υποχρέωση µου να εκφράσω την ακραιφνή ευγνωµοσύνη και την ειλικρινή αναγνώριση προς τον καθηγητή κ. Μάρκο Β. Κούτρα. Επιπλέον θα ήθελα να ευχαριστήσω τον αναπληρωτή καθηγητή κ. ηµήτριο Λ. Αντζουλάκο αλλά και τον επίκουρο καθηγητή κ. Κωνσταντίνο Πολίτη για τη συνεχή ενθάρρυνση και τις χρήσιµες υποδείξεις τους. Θα ήταν παράλειψη να µην ευχαριστήσω από τη θέση αυτή τη Μαρία, για την κατανόηση, τη διαρκή στήριξη και την πολύτιµη συνεισφορά της στην προσπάθεια αυτή, καθώς επίσης και τους γονείς µου και τον αδελφό µου, ηµήτρη για την αφοσίωση και την ανιδιοτελή αγάπη τους. Τέλος, οφείλω να ευχαριστήσω το Ίδρυµα Κρατικών Υποτροφιών (Ι.Κ.Υ.) για την οικονοµική στήριξη που µου παρείχε κατά τη διάρκεια εκπόνησης της διδακτορικής µου διατριβής, καθώς επίσης και τα µέλη του ιδακτικού Προσωπικού του τµήµατος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης του Πανεπιστηµίου Πειραιώς, τα οποία µέσω της διδασκαλίας τους στα πλαίσια του Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών «Εφαρµοσµένη Στατιστική», στήριξαν επιστηµονικά την παρούσα προσπάθεια. i
ii
Περίληψη Η παρούσα διδακτορική διατριβή διαπραγµατεύεται θέµατα και εφαρµογές της Θεωρίας ιατεταγµένων Παρατηρήσεων (Theory of Order Statistics) στα πεδία της Θεωρίας Αξιοπιστίας και του Στατιστικού Ελέγχου Ποιότητας. Πιο συγκεκριµένα, στο πρώτο Κεφάλαιο δίνονται εισαγωγικές έννοιες και σηµαντικές ιδιότητες των παρατηρήσεων ενός διατεταγµένου δείγµατος, που θα χρησιµοποιηθούν σε επόµενα κεφάλαια του παρόντος κειµένου. Στο δεύτερο Κεφάλαιο, εισάγεται η έννοια της υπογραφής ενός µονότονου συστήµατος αξιοπιστίας, η οποία ορίζεται µε τη βοήθεια των διατεταγµένων χρόνων ζωής των µονάδων του. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται αναδροµικές σχέσεις υπολογισµού της, συνθήκες διατήρησης των ιδιοτήτων γήρανσης IFR κατά το σχηµατισµό µονότονων συστηµάτων και στοχαστικές συγκρίσεις των χρόνων ζωής διαφόρων συστηµάτων αξιοπιστίας που στηρίζονται στην υπογραφή. Το τρίτο Κεφάλαιο περιλαµβάνει µια ανασκόπηση σε παραµετρικά και µη παραµετρικά διαγράµµατα ελέγχου, τα οποία είναι γνωστά στη διεθνή βιβλιογραφία, ενώ στο τέταρτο Κεφάλαιο προτείνουµε δύο νέα µη παραµετρικά διαγράµµατα ελέγχου, τα οποία κατασκευάζονται µε τη βοήθεια διατεταγµένων παρατηρήσεων τυχαίων δειγµάτων που εξάγονται από µια παραγωγική διαδικασία. Τέλος, στο πέµπτο Κεφάλαιο παρουσιάζονται τρία νέα µη παραµετρικά διαγράµµατα ελέγχου που χρησιµοποιούν τη βαθµολογική συνάρτηση τύπου Wilcoxon, καθώς και κανόνες ροών για να ανιχνεύσουν κατά το πόσο η υπό παρακολούθηση διεργασία βρίσκεται εντός ή εκτός στατιστικού ελέγχου. iii
iv
Abstract Τhe present PhD Thesis deals with the theory and applications of Order Statistics in the fields of Reliability Theory and Statistical Quality Control. More specifically, in the first Chapter we present important notions and properties of the order statistics that will be proved useful in the sequel. In the second Chapter, we introduce an important feature of a reliability system, which is called signature and is defined in terms of the ordered lifetimes of its components. In addition, we provide a formula that facilitates the evaluation of the signature of a reliability structure by a generating function approach. A simple sufficient condition is also derived for proving the nonpreservation of the IFR property by exploiting the signature of the system. Finally we study applications of the signature in the stochastic comparison of reliability systems lifetimes. In the third Chapter, we present an overview of the literature on parametric and non-parametric control charts, while in the fourth Chapter we introduce two new distribution-free control charts that take into account the location of a single order statistic of test samples. Finally, in the fifth Chapter we introduce three new nonparametric Shewhart-type control charts that exploit run and Wilcoxon-type rank sum statistics to detect possible shifts of a monitored process. v
vi
Περιεχόµενα Περίληψη iii Abstract v Κατάλογος Πινάκων xi 1. Θεωρία διατεταγµένων παρατηρήσεων 1 1.1 Εισαγωγή 1 1.2 Από κοινού κατανοµή n διατεταγµένων παρατηρήσεων 4 1.3 Από κοινού κατανοµή δύο διατεταγµένων παρατηρήσεων 5 1.4 Κατανοµή µιας διατεταγµένης παρατήρησης 11 1.5 Ιδιότητες των διατεταγµένων παρατηρήσεων 16 1.6 Ιδιότητες γήρανσης των διατεταγµένων παρατηρήσεων 20 1.7 Στοχαστική σύγκριση των διατεταγµένων παρατηρήσεων 24 2. Μελέτη ιδιοτήτων γήρανσης µε χρήση της υπογραφής 29 2.1 Εισαγωγή 29 2.2 Βασικές έννοιες της δοµικής αξιοπιστίας 30 2.3 Γεννήτρια συνάρτηση της υπογραφής ενός µονότονου συστήµατος 38 2.4 Συνθήκες διατήρησης της ιδιότητας IFR ενός µονότονου συστήµατος 41 2.5 ιατήρηση της ιδιότητας IFR σε ένα σύστηµα συνεχόµενο k από τα n: F 47 2.6 ιατήρηση της ιδιότητας IFR σε ένα σύστηµα r µεταξύ συνεχόµενων k από τα n: F 64 2.7 ιατήρηση της ιδιότητας IFR σε ένα σύστηµα m συνεχόµενο k από τα n: F 69 2.8 Στοχαστική σύγκριση µονότονων συστηµάτων µε τη βοήθεια της υπογραφής 73 3. Μη παραµετρικά διαγράµµατα ελέγχου 81 3.1 Εισαγωγή 81 vii
3.2 Παραµετρικά διαγράµµατα ελέγχου 85 3.3 Μη παραµετρικά διαγράµµατα ελέγχου 88 3.4 Μη παραµετρικά διαγράµµατα ελέγχου µε χρήση µιας εµπειρικής κατανοµής αναφοράς 93 4. Μη παραµετρικά διαγράµµατα ελέγχου µε χρήση της διαµέσου και γενικεύσεις τους 105 4.1 Εισαγωγή 105 4.2 Ένα νέο µη παραµετρικό διάγραµµα ελέγχου 110 4.3 Μελέτη της χαρακτηριστικής καµπύλης και της πιθανότητας λανθασµένου συναγερµού του νέου διαγράµµατος ελέγχου 114 4.4 Μελέτη του νέου διαγράµµατος ελέγχου για εναλλακτικές υποθέσεις τύπου Lehmann 116 4.5 Μελέτη της κατανοµής του µήκους ροής του νέου διαγράµµατος ελέγχου 122 4.6 Μια παραλλαγή του νέου διαγράµµατος ελέγχου 125 4.7 Αριθµητικές συγκρίσεις 129 5. Μη παραµετρικά διαγράµµατα ελέγχου µε χρήση ροών και βαθµολογικών συναρτήσεων τύπου Wilcoxon 137 5.1 Εισαγωγή 137 5.2 Τρία νέα µη παραµετρικά διαγράµµατα ελέγχου 139 5.3 Μελέτη της πιθανότητας λανθασµένου συναγερµού των νέων διαγραµµάτων ελέγχου 145 5.4 Μελέτη των νέων διαγραµµάτων ελέγχου για εναλλακτικές υποθέσεις τύπου Lehmann 149 5.5 Μελέτη της κατανοµής του µήκους ροής των νέων διαγραµµάτων ελέγχου 153 5.6 Αριθµητικές συγκρίσεις 155 Σύνοψη 163 Βιβλιογραφία 165 viii
Κατάλογος Πινάκων 2.1 Οι ποσότητες s i (n) για συστήµατα συνεχόµενα k από τα n:f 55 2.2 Οι συντεταγµένες s i (n) της υπογραφής για συστήµατα 2 µεταξύ συνεχόµενων 3 από τα n:f 68 2.3 Οι συντεταγµένες s i (n) της υπογραφής για συστήµατα 2 συνεχόµενα 2 από τα n:f 72 2.4 Στοχαστική διάταξη για συστήµατα µεγέθους n = 5 79 3.1 Υπολογισµός του ARL in για διάφορες τιµές των παραµέτρων σχεδιασµού του διαγράµµατος των Willemain & Runger (1996) 97 3.2 Κρίσιµες τιµές s και ακριβή επίπεδα σηµαντικότητας a για στατιστικούς ελέγχους προτεραιότητας 4.1 Πιθανότητες λανθασµένου συναγερµού του διαγράµµατος των Janacek και Meikle (1997) 108 4.2 Πιθανότητες λανθασµένου συναγερµού του διαγράµµατος των Chakraborti et al. (2004) για δεδοµένο σχεδιασµό 109 4.3 Πιθανότητες λανθασµένου συναγερµού του διαγράµµατος των Chakraborti et al. (2004) για δεδοµένο σχεδιασµό 119 4.4 Πιθανότητες συναγερµού (AR) για δεδοµένο σχεδιασµό ( b = m a+ 1, j = ( n+ 1) / 2) και για γ = 0. 4 (άνω είσοδος) και γ = 4 (κάτω είσοδος) 121 4.5 Τα ARL in για καθορισµένη τιµή FAR και δεδοµένο σχεδιασµό ( b = m a+ 1, j = ( n+ 1) / 2) 124 4.6 Πιθανότητες λανθασµένου συναγερµού για δεδοµένο σχεδιασµό ( b = m a+ 1, j = ( n+ 1) / 2) 128 4.7 Σύγκριση των ARL in των δύο νέων διαγραµµάτων ελέγχου µε ίδια τιµή του FAR 130 100 ix
4.8 Σύγκριση των ARL in των διαγραµµάτων ελέγχου µε ίδια τιµή του FAR 131 4.9 Σύγκριση των ARL out των διαγραµµάτων ελέγχου µε ίδια ARL in τιµή 133 5.1 Τρεις σχεδιασµοί µε FAR 0. 10 143 5.2 είγµα αναφοράς και εξεταζόµενα τυχαία δείγµατα 143 5.3 Σύγκριση των AR των τριών διαγραµµάτων ελέγχου µε FAR = 0.005 ( γ = 1/ 2,1/ 4,1/ 8) 156 5.4 Πιθανότητες λανθασµένου συναγερµού για δεδοµένο σχεδιασµό 157 5.5 Πιθανότητες συναγερµού (AR) για δεδοµένο σχεδιασµό (Κάθε κελί περιέχει τις AR τιµές για γ = 1/ 3 (άνω είσοδος) και γ = 1/ 5 (κάτω είσοδος)) 158 5.6 Σύγκριση των AR των διαγραµµάτων ελέγχου µε την ίδια τιµή FAR ( γ = 0. 4 και 0.2) 160 5.7 Σύγκριση των AR των διαγραµµάτων ελέγχου µε την ίδια τιµή ARL in (Κάθε κελί περιέχει τις τιµές που επιτυγχάνονται για γ = 0.5 και 0.2 αντίστοιχα) 161 x