Κεφ αλαιο 3 Συν αρτηση Lagange 3. Η Λαγκρανζιαν η και το φυσικ ο της περιεχ οµενο Ε ιδαµε στο πρ ωτο Κεφ αλαιο οτι ο δυναµικ ος ν οµος του Νε υτωνα ε ιναι ισοδ υναµος µε την απα ιτηση η δρ αση, ως το ολοκλ ηρωµα της Λαγκρανζιαν ης στο χρ ονο, να καθ ισταται στ ασιµη. Το ολο πρ ο ληµα διερε υνησης της εξ ελιξης λοιπ ον εν ος µηχανικο υ συστ ηµατος συν ισταται στη γραφ η της Λαγκρανζιαν ης του συν αρτησης. Η επ ιλυση των εξισ ωσεων Eule-Lagange στη συν εχεια, ε ιναι ενα καθαρ α µαθηµατικ ο πρ ο ληµα, πολλ ες φορ ες δυσεπ ιλυτο. Ολη η φυσικ η του προ λ ηµατος βρ ισκεται συµπυκνωµ ενη Η φυσικ η κρυµ ενη µ εσα στη συν αρτηση Lagange και οχι µ ονο. Η συν αρτηση Lagange κρ υ- ει επ ισης κ αθε συµµετρ ια του προ λ ηµατος, την οπο ια, οπως θα δο υµε, µπορο υµε ε υκολα να αποκαλ υψουµε. Μ εχρι τ ωρα, µ αθαµε οτι η κατ αλληλη επιλογ η για τη συν αρτηση Lagange εν ος µηχανικο υ συστ ηµατος ε ιναι η κινητικ η µε ιον τη δυναµικ η του εν εργεια. Θα δο υµε παρακ ατω οτι η Λαγκρανζιαν η περιγραφ η ε ιναι εν γ ενει ακατ αλληλη για συστ ηµατα µε αν αλωση ( οπου εµφαν ιζονται µη συντηρητικ ες δυν αµεις), αν και, αυτ ο δεν αποτελε ι ουσιαστικ ο πρ ο ληµα, αφο υ σε θεµελι ωδες επ ιπεδο ολες οι δυν αµεις στη φ υση ε ιναι συντηρητικ ες. Αργ οτερα θα µ αθουµε να γρ αφουµε και τη Λαγκρανζιαν η συστηµ ατων οπου η αλληλεπ ιδραση µεταξ υ σωµατ ιων εξαρτ αται οχι µ ονο απ ο τη θ εση τους αλλ α και απ ο την ταχ υτητ α τους (π.χ. ηλεκτροµαγνητικ ες δυν αµεις). Προς το παρ ον θα µελετ ησουµε τις ιδι οτητες της Λαγκρανζιαν ης συν αρτησης καθ ως και τους µετασχηµατισµο υς αυτ ης που δεν αλλοι ωνουν την περιγραφ η του µηχανικο υ συστ ηµατος. Αν πολλαπλασι ασουµε τη Λαγκρανζιαν η συν αρτηση εν ος µηχανικο υ συστ ηµατος µε εναν αριθµ ο, η ν εα αυτ η Λαγκρανζιαν η θα περιγρ αφει και π αλι το ιδιο µηχανικ ο σ υστηµα. Ε ιναι ε υκολο να δει κανε ις οτι οι εξισ ωσεις κ ινησης θα ε ιναι οι ιδιες αφο υ οι εξισ ωσεις Eule-Lagange ε ιναι οµογενε ις διαφορικ ες εξισ ωσεις παραγ ωγων της Λαγκρανζιαν ης. Εξ αλλου 3 µ εσα στη συν αρτηση Lagange Το µ ετρο της Λαγκρανζιαν ης στερε ιται φυσικο υ περιεχοµ ενου
36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRAGE Ο διαχωρισµ ος µιας Λαγκρανζιαν ης σε δ υο ανεξ αρτητες Λαγκρανζιαν ες οδηγε ι σε δ υο ευκολ οτερα ανεξ αρτητα προ λ ηµατα φυσικ ης Για να καταστε ι ο διαχωρισµ ος εφικτ ος συν ηθως πρ επει να Στις φυσικ ες αυτ ες συντεταγµ ενες η Λαγκρανζιαν η δεν ε ιναι διαχωρ ισιµη, αφο υ το δυναµικ ο αλληλοεµπλ εκει και τις δ υο συντεταγµ ενες. Αν οµως χρησιµοποιο υσαµε ως συντεταγµ ενες για την περιγραφ η του συστ ηµατος τη θ εση του κ εντρου µ αζας!#"$% &' εισ αγουµε καινο υριες συντεταγµ ενες, πολλ ες φορ ες οχι τ οσο προφανε ις πολλαπλασι αζοντας τη Λαγκρανζιαν η µε εναν αριθµ ο, πολλαπλασι αζεται και η δρ αση µε τον ιδιο αριθµ ο δ ιχως οµως να αλλ αζει η θ εση του στασ ιµου αυτ ης: Η διαδροµ η που καθιστ α την αρχικ η δρ αση στ ασιµη εχει το ιδιο αποτ ελεσµα και στην καινο υρια δρ αση ( οπως ακρι ως µια συν αρτηση και η παρουσι αζουν στα ιδια σηµε ια ακρ οτατα). Η Λαγκρανζιαν η εν ος συστ ηµατος σωµ ατων τα οπο ια ε ιναι ανεξ αρτητα το ενα απ ο το αλλο (π.χ. δ υο σωµατ ιδια που δεν αλληλεπιδρο υν µεταξ υ τους) ε ιναι απλ α το αθροισµα των επ ι µ ερους Λαγκρανζιαν ων του κ αθε σ ωµατος. Η ιδι οτητα αυτ η µας επιτρ επει, να εκφρ ασουµε τη Λαγκρανζιαν η εν ος συνθ ετου συστ ηµατος που αποτελε ιται απ ο υποσυστ η- µατα τα οπο ια δεν αλληλεπιδρο υν µεταξ υ τους ως το αθροισµα των Λαγκρανζιαν ων των επ ι µ ερους συστηµ ατων. Πολλ ες φορ ες αυτ ος ο διαχωρισµ ος της Λακρανζιαν ης δεν ε ιναι προφαν ης. Οταν υπ αρχει κ αποιος µετασχηµατισµ ος των συντεταγµ ενων τ ετοιος ωστε να µπορε ι η Λαγκρανζιαν η να γραφε ι ως αθροισµα ανεξ αρτητων Λαγκρανζιαν ων τ οτε αποκαλ υπτεται η απλο υστερη δοµ η του συστ ηµατος. Θα δο υµε αργ οτερα οτι η ιδι οτητα αυτ η µας δ ινει τη δυνατ οτητα να αναλ υσουµε ενα οσοδ ηποτε πολ υπλοκο µηχανικ ο πρ ο ληµα το οπο ιο βρ ισκεται κοντ α σε κ αποια κατ ασταση ευσταθο υς ισορροπ ιας ως αθροισµα ανεξ αρτητων αρµονικ ων ταλαντωτ ων. Ας εξετ ασουµε ενα παρ αδειγµα διαχωρισµο υ µιας Λαγκρανζιαν ης σε δ υο επ ι µ ερους ανεξ αρτητες Λαγκρανζιαν ες. υο σωµ ατια µ αζας και κινο υνται σε µ ια δι ασταση υπ ο την επ ιδραση αµοι α ιας αλληλεπ ιδρασης που περιγρ αφεται απ ο το δυναµικ ο. To δυναµικ ο αυτ ο λ εγεται δυναµικ ο νευτ ωνειου τ υπου, δι οτι οι δυν αµεις αλληλεπ ιδρασης των σωµατ ιων ε ιναι ισες και αντ ιθετες και ασκο υνται στη διε υθυνση της ευθε ιας που εν ωνει τα δ υο σωµ ατια, σ υµφωνα µε τον 3ο ν οµο του Νε υτωνα. Ε ιναι ε υκολο να γρ αψει κανε ις την Λαγκρανζιαν η του συστ ηµατος των δ υο σωµατ ιων: (3.) και τη σχετικ η θ εση των σωµατ ιων & ( ε ιναι ε υκολο να διαπιστ ωσει κανε ις µε απλ η αντικατ ασταση οτι η Λαγκρανζιαν η πα ιρνει τ ωρα την διαχωρ ισιµη µορφ η: )! "$ +*, (3.2)
. 6 * 3.. Η ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΚΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΤΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ 37 οπου ) η ολικ η µ αζα και - ) η ανηγµ ενη µ αζα του συστ ηµατος. Την τελευτα ια αυτ η µορφ η την ανα- µ εναµε, αφο υ ηδη γνωρ ιζουµε οτι ενα σ υστηµα δ υο σωµ ατων που αλληλεπιδρο υν µε δυν αµεις νευτ ωνειου τ υπου κινε ιται αφεν ος µεν ως σ υνολο, ως ενα ελε υθερο σ ωµα µ αζας ισης µε την ολικ η µ αζα του συστ ηµατος το οπο ιο βρ ισκεται στο κ εντρο µ αζας του συστ ηµατος (πρ ωτος ορος της Λαγκρανζιαν ης) και αφετ ερου, η σχετικ η κ ινηση των δ υο σωµατ ιων ε ιναι αυτ η εν ος σ ωµατος µ αζας ισης µε την ανηγµ ενη µ αζα του συστ ηµατος που κινε ιται στο δυναµικ ο αλληλεπ ιδρασης που τ ωρα οµως φα ινεται να προ ερχεται απ ο κ αποια εξωτερικ η πηγ η (τελευτα ιοι δ υο οροι της Λαγκρανζιαν ης). Με την ν εα αυτ η µορφ η της Λαγκρανζιαν ης ε ιναι ε υκολο να δει κ αποιος οτι οι εξισ ωσεις Eule-Lagange δ ιδουν την οµαλ η κ ινηση του κ εντρου µ αζας και τη σχετικ η κ ινηση της ανηγµ ενης µ αζας στο εξωτερικ ο δυναµικ ο αλληλεπ ιδρασης. Αν προσθ εσουµε στη Λαγκρανζιαν η συν αρτηση µια αλλη συν αρτηση η οπο ια αποτελε ι τ ελεια χρονικ η παρ αγωγο κ αποιας συν αρτησης των θ εσεων και του χρ ονου,. 0 2 3 0 4 2 0 2 (3.3) η καινο υρια αυτ η συν αρτηση περιγρ αφει και π αλι το ιδιο µηχανικ ο σ υστηµα. Μπορε ιτε να διαπιστ ωσετε οτι η παραπ ανω πρ οταση ισχ υει υπολογ ιζοντας προσεκτικ α τις εξισ ωσεις Eule-Lagange που προκ υπτουν απ ο τη ν εα Λαγκρανζιαν η και καταλ ηγοντας στις αντ ιστοιχες εξισ ωσεις της αρχικ ης Λαγκρανζιαν ης (βλ. Πρ ο ληµα ). Ο απλο υστερος οµως τρ οπος να αποδε ιξετε οτι ο παραπ ανω µετασχηµατισµ ος αφ ηνει αναλλο ιωτες τις εξισ ωσεις κ ινησης και να καταλ α ετε το βαθ υτερο ν οηµα αυτο υ του µετασχηµατισµο υ ε ιναι να υπολογ ισετε τη δρ αση που προκ υπτει απ ο την καινο υρια Λαγκρανζιαν η. 6 78:9 8<; 78:9 6 8<;. 0 3= 2?> 8:9 0@ 8<; -A 2-A 0@ CB 2CB D (3.4) Μεταχηµατισµ ος βαθµον οµησης Οι τελευτα ιοι δ υο οροι της παραπ ανω παρ αστασης ε ιναι κ αποιοι καθορισµ ενοι αριθµο ι αφο υ το αρχικ ο και τελικ ο σηµε ιο της διαδροµ ης κατ α την εφαρµογ η της αρχ ης ελ αχιστης. δρ ασης θεωρο υνται δεδοµ ενα. Εποµ ενως η ε υρεση ακροτ ατου της 6 δεν εξαρτ αται απ ο τη συν αρτηση ε ιναι το ιδιο µε το ακρ οτατο της. Ο µετασχηµατισµ ος αυτ ος ο οπο ιος αποτελε ι συµµετρ ια της Λαγκρανζιαν ης, αφ ηνοντας αναλλο ιωτες τις εξισ ωσεις Το σ υµ ολο E υποννοε ι γενικ α ενα σ υνολο συντεταγµ ενων EGFHIE-JKH-L-L-L και αντ ιστοιχα το EM συµ ολ ιζει την χρονικ η παρ αγωγο ολων αυτ ων.
38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRAGE Τι ανα αθµονοµε ιται ; Eule-Lagange ονοµ αζεται gauge tansfomation (στα ελληνικ α εχει αποδοθε ι µε τον ορο µετασχηµατισµ ος βαθµ ιδας, ισως οµως πιο σωστ α θα επρεπε να ονοµ αζεται µετασχηµατισµ ος βαθµον οµησης). Ουσιαστικ α ο µετασχηµατισµ ος αυτ ος ε ιναι σαν να ανα αθµονοµε ι κανε ις την τιµ η της δρ ασης κατ α µ ηκος του αξονα του χρ ονου ανεξαρτ ητως της διαδροµ ης εξ ου και ο ορος, οπως αν ανα αθµονοµο υσε κανε ις το οργανο ελ εγχου της βενζ ινης εν ος αυτοκιν ητου θα µπορο υσε να γνωρ ιζει και π αλι π οτε τελει ωνει η βενζ ινη. Μετασχηµατισµο υς βαθµον οµησης συναντ α κανε ις πολ υ συχν α στη φυσικ η, οταν υπ αρχει κ αποια ελευθερ ια στον καθορισµ ο εν ος µεγ εθους δ ιχως να αλλ αζει το φυσικ ο περιεχ οµενο του προ λ ηµατος. Παρ αδειγµα τ ετοιου µετασχηµατισµο υ που εχουµε ηδη συναντ ησει ε ιναι η αυθα ιρετη επιλογ η του σηµε ιου που θεωρε ι κανε ις οτι η δυναµικ η εν εργεια µηδεν ιζεται. Αυτ ο που εχει σηµασ ια ε ιναι ο τρ οπος που µετα- αλλεται η δυναµικ η εν εργεια και οχι η απ ολυτη τιµ η αυτ ης. 3.2 Κατασκευ η της Λαγκρανζιαν ης β ασει συµ- µετρι ων Οι συµµετρ ιες του σ υ- µπαντος αντικατοπτρ ιζονται στη Λαγκρανζιαν η του ελε υθερου σω- µατιδ ιου Η βαθ υτερη προ ελευση της Λαγκρανζιαν ης συν αρτησης θα φανε ι ακολο υθως οπου θα κατασκευ ασουµε τη Λαγκρανζιαν η συν αρτηση του ελε υθερου σωµατιδ ιου στηριζ οµενοι αποκλειστικ α στις συµµετρ ιες του χ ωρου και του χρ ονου 2. Πρ αγµατι, ας ξεκιν ησουµε µε κ αποια γενικ η O Λαγκρανζιαν η συν αρτηση για το ελε υθερο σωµατ ιδιο της µορφ ης 2. Λ ογω οµογ ενειας του χρ ονου δεν ε ιναι δυνατ ον η Λαγκρανζιαν η του σωµατιδ ιου να εξαρτ αται απ ο το χρ ονο (οποιαδ ηποτε χρονικ η στιγµ η η Λαγκρανζιαν η πρ επει να ε ιναι η ιδια αφο υ ολες οι χρονικ ες στιγµ ες ε ιναι ισοδ υνα- O µες). Εποµ ενως πρ επει να εχει την απλο υστερη µορφ η. Αντιστο ιχως λ ογω οµογ ενειας του χ ωρου δεν ε ιναι δυνατ ον να εξαρτ αται ο υτε απ ο τη θ εση του σωµατιδ ιου ( οπου και αν βρ ισκεται το ελε υθερο σωµ ατιο πρ επει να περιγρ αφεται απ ο την ιδια Λαγκρανζιαν η συν αρτηση, αφο υ κ αθε σηµε ιο του χ ωρου ε ιναι ισοδ υναµο). Εποµ ενως η µορφ η αυτ ης πρ επει να ε ιναι ακ οµη πιο απλ η:. Η ισοτροπ ια του χ ωρου, η ανεξαρτησ ια δηλαδ η της περιγραφ ης απ ο οποιαδ ηποτε κατε υθυνση κ ινησης του σωµατιδ ιου (αφο υ ολες οι κατευθ υνσεις του χ ωρου θεωρο υνται ισοδ υναµες 3 ), επι αλλει η Λαγκρανζιαν η συν αρτηση του ελε υθερου σωµατιδ ιου να ε ιναι,p συν αρτηση µ ονο του µ ετρου της ταχ υτητας: Q. Τ ελος η γαλιλαι κ η 2 Για την ακρ ι εια στηριζ οµαστε και στο παρατηρησιακ ο δεδοµ ενο οτι µ ονο η αρχικ η θ εση και η ταχ υτητα του φυσικο υ συστ ηµατος αρκο υν για να περιγραφε ι πλ ηρως η εξ ελιξη του συστ ηµατος. Το δεδοµ ενο αυτ ο εχει ενσωµατωθε ι στη µορφ η της Λαγκρανζιαν ης η οπο ια υποθ ετουµε οτι ε ιναι συν αρτηση το πολ υ των θ εσεων και των ταχυτ ητων και οχι αν ωτερων χρονικ ων παραγ ωγων. 3 Φα ινεται ισως περ ιεργο που αναφ ερουµε µ ονο την οµογ ενεια του χρ ονου, αλλ α την οµογ ενεια και ισοτροπ ια του χ ωρου. Ο λ ογος ε ιναι οτι ο χρ ονος ε ιναι µονοδι αστατος, εν ω ο χ ωρος τριδι αστατος, οπ οτε η εννοια της ισοτροπ ιας του χρ ονου σηµα ινει απλ ως οτι ο χρ ονος θα µπορο υσε να ρ εει στα µηχανικ α συστ ηµατα ε ιτε προς το µ ελλον ε ιτε προς το παρελθ ον χωρ ις να φα ινεται καµµ ια διαφορ α.
{ { 3.2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗΣ ΒΑΣΕΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΩΝ 39 συµµετρ ια, η συµµετρ ια περιγραφ ης του συστ ηµατος δηλαδ η σε διαφορετικ α αδρανειακ α συστ ηµατα, επι αλλει το φυσικ ο περιεχ οµενο της Λαγκρανζιαν ης να µην αλλ αζει οταν η κ ινηση του σωµατιδ ιου περιγραφε ι απ ο κ αποιο αλλο αδρανειακ ο σ υστηµα αναφορ ας. Θα πρ επει λοιπ ον η αλλαγ η SRT VU ( οπου ε ιναι η σχετικ η ταχ υτητα κ ινησης των δ υο αδρανειακ ων συστη- µ ατων, του αρχικο υ και του καινο υριου) να επιφ ερει το πολ υ ενα µετασχηµατισµ ο βαθµον οµησης στη Λαγκρανζιαν η (που οπως ε ιδαµε δεν αλλ αζει το φυσικ ο περιεχ οµενο της Λαγκρανζιαν ης αφο υ οδηγε ι σε ιδιες κιν ησεις), δηλαδ η 4 :,P U Q X,P Q W O 2 Οµως, Η Γαλιλαι κ η συµ-,p VUY Q X,P Q X,P [ +Q\ (3.) Προσ εξτε οτι οι δ υο τελευτα ιοι οροι στο ορισµα της συν αρτησης αποτελο υν µια τ ελεια χρονικ η παρ αγωγο: 3 P O εποµ ενως αναζητο υµε µια συν αρτηση ] _^ ] a c O ] @b 3 +Q για την οπο ια να ισχ υει οπου µια δεδοµ ενη συν αρτηση και µια οποιαδ ηποτε συν αρτηση. Φα ινεται αµ εσως οτι µια τ ετοια κατ αλληλη συν αρτηση ε ιναι η O ] Xd ] ιαισθητικ α ε ιναι προφαν ες οτι δεν ε ιναι δυνατ ο αλλη συν αρτηση εκτ ος της γραµµικ ης να ικανοποιε ι τη ζητο υµενη συνθ ηκη (οποιαδ ηποτε µη γραµ- µικ οτητα της συν αρτησης θα εµφ ανιζε το τετρ αγωνο της a@gh, η οπο ια δεν αποτελε ι τ ελεια χρονικ η παρ αγωγο). Αυστηρ οτερα, βασιζ οµενοι οµως στην ιδια παρατ ηρηση, µπορο υµε να δε ιξουµε οτι µια τ ετοια τ υπου συν αρτηση ε ιναι η µοναδικ η που µπορο υµε να κατασκευ ασουµε για την οπο ια να ισχ υει η παραπ ανω ιδι οτητα. Ας θεωρ ησουµε οτι η συν αρτηση ε ιναι καταλλ ηλως µικρ η (επιλ εγοντας µικρ η σχετικ η ταχ υτητα ), και αναπτ υσσοντας την σε ορους µ εχρι τ αξης : fe _^ ] a ikj 0m@ ] l b mon n sut nnpgq θεωρ ησουµε συν αρτηση οχι του z M z, αλλ α του z M zj. [ wv x (3.6) 4 Για ευκολ ια των πρ αξεων και δ ιχως να αλλοι ωσουµε το περι εχοµενο της y, θα τη µετρ ια κρ υ εται σε ενα µετασχηµατισµ ο βαθµον οµησης Η απ οδειξη
40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRAGE Για να ε ιναι ο τελευτα ιος ορος µια τ ελεια χρονικ η παρ αγωγος πρ επει ο παρ αγοντας 0m@ mon n sut nnpgq να ε ιναι µια σταθερ α d δηλαδ η ] Xd ] Συνοπτικ α η Λαγκρανζιαν η του ελε υθερου σωµατιδ ιου σε ενα κ οσµο που παρουσι αζει ολες τις παραπ ανω συµµετρ ιες πρ επει να εχει τη µορφ η: ελ. σωµ.,e (3.7) Η γενικ οτερη Λαγκρανζιαν η δ υο αλληλεπιδρ ωντων σωµατιδ ιων Η προσθετικ η σταθερ α e αφαιρ εθηκε ως µη εχουσα d φυσικ η σηµασ ια (µετασχηµατισµ ος βαθµον οµησης) και η σταθερ α απλ ως γρ αφηκε ως. Η επιλογ η ε ιναι εντελ ως αυθα ιρετη, εξ αλλου οποιοσδ ηποτε πολλαπλασιαστικ ος παρ αγοντας θα ηταν ικανοποιητικ ος. Απ ο την αλλη πρ οκειται για µια λογικ η επιλογ η αφο υ η µοναδικ η ιδι οτητα εν ος υλικο υ σωµατιδ ιου που το διακρ ινει απ ο αλλα ε ιναι στην κλασσικ η φυσικ η µον αχα η µ αζα του. Οσο για το g ε ιναι και αυτ ο αυθα ιρετο και εχει επιλεχθε ι ωστε να µας θυµ ιζει τη γνωστ η κινητικ η εν εργεια. Ας θεωρ ησουµε στη συν εχεια δ υο σωµατ ιδια που δεν αλληλεπιδρο υν µεταξ υ τους. Η συνολικ η Λαγκρανζιαν η ε ιναι το αθροισµα των Λαγκρανζιαν ων των σωµατιδ ιων, } (3.8) οπου οι θ εσεις των δ υο σωµατιδ ιων. Εστω, τ ωρα οτι τα δ υο σω- µατ ιδια αλληλεπιδρο υν µεταξ υ τους. Στο οριο που η αλληλεπ ιδραση ε ιναι αµελητ εα η ολικ η Λαγκρανζιαν η πρ επει να τε ινει στη παραπ ανω Λαγκρανζιαν η, οπ οτε η Λαγκρανζιαν η που περιγρ αφει την αλληλεπ ιδραση µεταξ υ των σωµατ ιων, η οπο ια εξαρτ αται απ ο τις συντεταγµ ενες και τις ταχ υτητες και των δ υο σωµατ ιων θα πρ επει να εµφαν ιζεται προσθετικ α : αλληλ O ~ K ~2 D g (3.9) Τι µορφ η µπορε ι να εχει η αλληλ ; Προφαν ως δεν µπορε ι να εξαρτ αται απ ο το χρ ονο, δι οτι οι φυσικο ι ν οµοι εχει υποτεθε ι οτι ε ιναι αναλλο ιωτοι σε χρονικ ες µεταθ εσεις. Θα πρ επει να εξαρτ αται απ ο τη σχετικ η θ εση και ταχ υτητα των σωµατιδ ιων ωστε οι φυσικο ι ν οµοι να ε ιναι συµµετρικο ι ως προς τις χωρικ ες µεταθ εσεις (οµογενε ις στο χ ωρο) και να ικανοποιο υν Θα µπορο υσε να αναζητ ησει κανε ις εναν ορο αλληλεπ ιδρασης ο οπο ιος να πολλαπλασι αζει τη Λαγκρανζιαν η των δ υο ελε υθερων σωµατιδ ιων, τ ετοιο ωστε οταν τα δ υο σωµατ ιδια αποµακρυνθο υν πολ υ το ενα απ ο το αλλο ο ορος αυτ ος να τε ινει στη µον αδα, η ακ οµη να φτι αξει µια ακ οµη πιο περ ιπλοκη συναρτησιακ η µορφ η για να περιγρ αψει την αλληλεπ ιδραση. Κ ατι τ ετοιο οµως θα οδηγο υσε σε πολ υ πιο περ ιπλοκους φυσικο υς ν οµους κ ινησης.
3.2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗΣ ΒΑΣΕΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΩΝ 4 την γαλιλαι κ η συµµετρ ια. Συνεπ ως η Λαγκρανζιαν η της αλληλεπ ιδρασης πρ επει να ε ιναι της µορφ ης αλληλ P +Q οπου + η σχετικ η θ εση των σωµατιδ ιων, και +. Τ ελος η Λαγκρανζιαν η πρ επει να ε ιναι αναλλο ιωτη στις στροφ ες και συνεπ ως να εξαρτ αται µ ονο απ ο τις βαθµωτ ες µετα λητ ες που µπορο υν να κατασκευασθο υν απ ο τα,. Αυτ ες ε ιναι οι: a d εν συµπεριλ α αµε ποσ οτητες της µορφ ης, δι οτι αυτ ο θα σ ηµαινε οτι στον φυσικ ο κ οσµο υπ αρχει d κ αποια προεξ αρχουσα διε υθυνση που προσδιορ ιζεται απ ο το δι ανυσµα. Συνεπ ως µια Λαγκρανζιαν η αλληλεπ ιδρασης που ικανοποιε ι τις ευκλε ιδειες συµµετρ ιες (οµογ ενεια του χ ωρου, ισοτροπ ια), τη γαλιλαι κ η συµµετρ ια και την οµογ ενεια του χρ ονου πρ επει να ε ιναι της µορφ ης: αλληλ P x Q Στη κατασκευ η της Λαγκρανζιαν ης αλληλεπ ιδρασης εχουµε υποθ εσει οτι οι αλληλεπιδρ ασεις µεταξ υ των σωµατιδ ιων ε ιναι ακαρια ιες δι οτι η αλλαγ η της θ εσης η της ταχ υτητας του εν ος σωµατιδ ιου επηρε αζει ακαρια ια το αλλο σωµατ ιδιο. Στην κλασικ η µηχανικ η η παραδοχ η οτι ο χρ ονος ε ιναι απ ολυτος ( ιδιος σε ολα τα συστ ηµατα αναφορ ας) και η αρχ η της γαλιλαι κ ης σχετικ οτητας απαιτο υν οι αλληλεπιδρ ασεις να ε ιναι ακαρια ιες, ι οτι ε αν οι αλληλεπιδρ ασεις διαδ ιδονταν µε κ αποια πεπερασµ ενη ταχ υτητα, αυτ η η ταχ υτητα θα ηταν διαφορετικ η σε ενα αλλο σ υστηµα αναφορ ας, και µε τον τρ οπο αυτ ο θα µπορο υσε κ αποιος να προσδιορ ισει την ταχ υτητα κ ινησ ης του απολ υτως, σε αντ ιθεση µε την αρχ η της σχετικ οτητας. Ο Νε υτωνας µε τον τρ ιτο ν οµο του περιορ ιζει την εξ αρτηση της Λαγκρανζιαν ης αλληλεπ ιδρασης µ ονο απ ο τη σχετικ η θ εση των σωµατιδ ιων, οπ οτε η Λακγρανζιαν η δ υο αλληλεπιδρ οντων σωµατιδ ιων εχει τη µορφ η:, Πριν ολοκληρ ωσουµε τη συζ ητηση για τη Λαγκρανζιαν η δ υο σωµατιδ ιων θα πρ επει να σηµει ωσουµε οτι οι παρ αµετροι G της παραπ ανω Λα- Π ως προκ υπτουν οι µ αζες ; γκρανζιαν ης δεν εχουν στην κατασκευ η µας το φυσικ ο ν οηµα της µ αζας των σωµατιδ ιων, αφο υ ο πολλαπλασιαστικ ος παρ αγοντας που χρησιµοποι ησαµε στη Λαγκρανζιαν η του ελε υθερου σωµατιδ ιου, στην οπο ια βασ ισαµε την κατασκευ η µας, ηταν εντελ ως αυθα ιρετος. Η σχ εση µεταξ υ των παραµ ετρων αυτ ων µπορε ι να καθοριστε ι πειραµατικ α µε τον ιδιο κατ ουσ ιαν τρ οπο που ο Νε υτωνας επιχε ιρησε να µετρ ησει την αδρ ανεια των σωµ ατων: Οι σχετικ ες επιταχ υνσεις των δ υο αλληλεπιδρ ωντων σωµατιδ ιων ε ιναι αντιστρ οφως αν αλογες µε το λ ογο των παραµ ετρων G,
q ƒ q ƒ q ƒ q 42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRAGE Η Λαγκρανζιαν η αποµονωµ ενου σ υστ η- µατος σωµατιδ ιων οπως µπορε ι να δε ιξει κανε ις απ ο τις εξισ ωσεις Eule-Lagange. Ετσι θεωρ ωντας την ιση µε τη µον αδα µπορε ι κανε ις να ζυγ ισει τις παραµ ετρους- µ αζες ολων των αλλων σωµατιδ ιων. Με τον ιδιο τρ οπο µπορο υµε να κατασκευ ασουµε τη Λαγκρανζιαν η εν ος αποµονωµ ενου συστ ηµατος σωµατιδ ιων (στα οπο ια δεν ασκε ιται καµ ια εξωτερικ η δ υναµη): g? Oˆ (3.0) οπου το εχει συµπεριληφθε ι, ετσι ωστε ολα τα ζε υγη των δυναµικ ων αλληλεπ ιδρασης να λαµ ανονται µ ονο µ ια φορ α. Η Λαγκρανζιαν η αυτ η δεν ε ιναι η πιο γενικ η Λαγκρανζιαν η που µπορο υµε να κατασκευ ασουµε για ενα τ ετοιο σ υστηµα σε οµενοι τις συµµετρ ιες του χ ωρου και του χρ ονου, και επιλ εγοντας αλληλεπιδρ ασεις που εξαρτ ωνται µ ονο απ ο τις θ εσεις των σωµατιδ ιων. Θα µπορο υσαµε για παρ αδειγµα να θεωρ ησουµε δυναµικ α αλληλεπ ιδρασης που εξαρτ ωνται απ ο τις θ εσεις τρι ων η και περισσ οτερων σωµατιδ ιων. Απλ ως η Λαγκρανζιαν η της σχ εσης (3.0) ε ιναι η απλο υστερη επ εκταση της Λαγκρανζιαν ης των δ υο σωµατιδ ιων. Απ ο φυσικ ης αποψης θα µπορο υσε να δικαιολογηθε ι αν το σωµατ ιδιο-φορ εας της αλληλεπ ιδρασης και το οπο ιο ανταλλ ασσεται µεταξ υ των αλληλεπιδρ ωντων σωµατιδ ιων εχει τ οσο ασθεν η σταθερ α σ υζευξης ωστε η ανταλλαγ η περισσ οτερων του εν ος τ ετοιων σωµατιδ ιων-φορ εων µεταξ υ περισσ οτερων των δ υο σωµατιδ ιων να ε ιναι τροµακτικ α πιο απ ιθανο ως συµ- αν. Αυτ ο ισχ υει για τις ηλεκτρασθενε ις και τις βαρυτικ ες, οχι οµως και για τις ισχυρ ες αλληλεπιδρ ασεις. 3.3 Το ε υρος ισχ υος της αρχ ης του Χ αµιλτον Ε ιδαµε οτι η φυσικ η κ ινηση εν ος σωµατιδ ιου σε συντηρητικ ο πεδ ιο ικανοποιε ι την αρχ η ελ αχιστης δρ ασης του Χ αµιλτον µε Λαγκρανζιαν η X ŠKŒŽ οπου ŠKŒŽ η κινητικ η εν εργεια του σωµατιδ ιου και ŠKŒŽ η δυναµικ η του εν εργεια. Σε αυτ ην την περ ιπτωση οι ν οµοι του Νε υτωνα (εδ ω βε α ιως αναφερ οµαστε µ ονο στους δ υο πρ ωτους ν οµους) ε ιναι ισοδ υναµοι µε την αρχ η του Χ αµιλτον. Οι ν οµοι του Νε υτωνα οµως ε ιναι υπ ο µια εννοια γενικ οτεροι απ ο την αρχ η του Χ αµιλτον, αφο υ για ενα οποιοδ ηποτε µηχανικ ο σ υστηµα δεν υπ αρχει κατ αν αγκη Λαγκρανζιαν η συν αρτηση η οπο ια µ εσω των εξισ ωσεων Eule-Lagange να οδηγε ι στις εξισ ωσεις κ ινησης του συστ ηµατος. Για παρ αδειγµα, σε συστ ηµατα στα οπο ια υπ αρχει αν αλωση εν εργειας, εξαιτ ιας λ ογου χ αρη της τρι ης, δεν ε ιναι εν γ ενει εφικτ η η κατασκευ η Λαγκρανζιαν ης συν αρτησης η οπο ια να περιγρ αφει το σ υστηµα. K ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση. Η Λαγκρανζιαν η y4 H M H 4 2 G :ši J F <œ M J Ÿž J περιγρ αφει κ αποιο γνωστ ο σας φυσικ ο σ υστηµα ; Πρ οκειται για κ ινηση σε συντηρητικ ο πεδ ιο δυν αµεων ;
3.4. ΣΥΝ ΕΣΜΟΙ 43 Ασκηση 2. Να βρεθε ι η Λαγκρανζιαν η που περιγρ αφει τη µονοδι αστατη κ ινηση σωµατιδ ιου µ αζας œ, υπ ο την επεν εργεια µιας χρονοεξαρτ ωµενης δ υναµης της µορφ ης <. Επ ισης δεν µπορο υµε µε την αρχ η του Χ αµιλτον να πραγµατευτο υµε την κ ινηση γενικ οτερα σε µη συντηρητικ α πεδ ια. Αυτ ο οµως δεν αποτελε ι πρ ο ληµα δι οτι τα θεµελι ωδη πεδ ια δυν αµεων τα οπο ια γνωρ ιζουµε ε ιναι ολα συντηρητικ α. Ε αν το δυναµικ ο εξαρτ αται απ ο τις ταχ υτητες, οπ οτε οι δυναµικο ι ν οµοι δεν ε ιναι αναλλο ιωτοι στους µετασχηµατισµο υς του Γαλιλα ιου, η φυσικ η κ ινηση δεν απορρ εει κατ αν αγκη απ ο την αρχ η του Χ αµιλτον. Τ ετοια πεδ ια παρουσι αζονται για παρ αδειγµα στον ηλεκτροµαγνητισµ ο, αλλ α ειδικ α σε αυτ ην την περ ιπτωση θα δε ιξουµε οτι για την κ ινηση φορτ ιου σε ηλεκτροµαγνητικ ο πεδ ιο υπ αρχει Λαγκρανζιαν η συν αρτηση, και η κ ινηση απορρ εει απ ο την αρχ η του Χ αµιλτον. Παρ οτι, λοιπ ον, οι ν οµοι του Νε υτωνα εφαρµ οζονται σε πιο ευρε ια µηχανικ α συστ ηµατα απ ο οτι η αρχ η της ελ αχιστης δρ ασης του Χ αµιλτον, η αρχ η του Χ αµιλτον µας δ ινει τη δυνατ οτητα να προσεγγ ισουµε βαθ υτερα τους ν ο- µους της φ υσης, ε ιτε αυτο ι αναφ ερονται σε µηχανικ α συστ ηµατα ε ιτε οχι, να καταλ α ουµε π ως παρ αγονται οι διατηρ ησιµες ποσ οτητες, και να δια- µορφ ωσουµε ενα πλα ισιο µε το οπο ιο να µπορο υµε να πραγµατευτο υµε τις νε ωτερες θεωρ ιες της Φυσικ ης. Επ ι πλ εον, οπως ε ιδαµε ηδη στην περ ιπτωση του ελευθ ερου σωµατιδ ιου, η Λαγκρανζιαν η µπορε ι να βρεθε ι µε τη χρ ηση γενικ ων επιχειρηµ ατων που βασ ιζονται στις συµµετρ ιες του φυσικο υ συστ ηµατος. Η Λαγκρανζιαν η θε ωρηση θα µας δ ωσει τη δυνατ οτητα να προ λ επουµε τις εξισ ωσεις κ ινησης οταν αυτ ες δεν ε ιναι γνωστ ες, και βασισµ ενοι στο παρ αδειγµα της Νευτ ωνειας Μηχανικ ης να οικοδοµο υµε φυσικ ες θεωρ ιες για φαιν οµενα για τα οπο ια οι ν οµοι µας ε ιναι αγνωστοι. Η δρ αση σε αυτ η τη θε ωρηση προκ υπτει ως µια ποσ οτητα εξ εχουσας φυσικ ης σηµασ ιας. Μ εσω της δρ ασης µπορε ι να θεµελιωθε ι η κ αντοµηχανικ η µε ενα ιδια ιτερα διαισθητικ ο και πρωτ οτυπο τρ οπο µε τη βο ηθεια των ολοκληρωµ ατων διαδροµ ης (path integals) που εισ ηγαγαν οι Diac και Feynman. 3.4 Σ υνδεσµοι Εκτ ος απ ο τον περιορισµ ο κατασκευ ης Λαγκρανζιαν ης στην περ ιπτωση συντηρητικ ων µ ονο πεδ ιων, υπ αρχει προ ληµατισµ ος οσον αφορ α την υπαρξη Λαγκρανζιαν ης για µηχανικ α συστ ηµατα που υπ οκεινται σε κ αποιον περιορισµ ο οσον αφορ α την κ ινησ η τους. Οι περιορισµο ι αυτο ι ονο- µ αζονται γενικ οτερα σ υνδεσµοι. Ως χαρακτηριστικ ο παρ αδειγµα θα εξετ ασουµε την περ ιπτωση εν ος σωµατιδ ιου το οπο ιο βρ ισκεται στο οµογεν ες πεδ ιο βαρ υτητας αλλ α ε ιναι δεσµευµ ενο να κινε ιται επ ανω στο οριζ οντιο επ ιπεδο [. Απ ο τους ν οµους του Νε υτωνα ξ ερουµε οτι το σωµατ ιδιο εκτελε ι ευθ υγραµµη, οµαλ η κ ινηση στο επ ιπεδο 3 και του ασκε ιται µια
44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRAGE δ υναµη ιση και αντ ιθετη µε τη δ υναµη της βαρ υτητας στην κατακ ορυφη διε υθυνση. Αν δεν υπ ηρχε καν ενας περιορισµ ος στην κ ινηση του σωµατιδ ιου η Λαγκρανζιαν η του θα ηταν (σε καρτεσιαν ες συντεταγµ ενες): m k (3.) Θα δε ιξουµε οτι η Λαγκρανζιαν η που προκ υπτει αν αντικαταστ ησουµε στην προηγο υµενη Λαγκρανζιαν η την εξ ισωση του συνδ εσµου περιγρ αφει σωστ α την κ ινηση του σωµατιδ ιου. Αν και κ ατι τ ετοιο φα ινεται ε υλογο, δεν ε ιναι και τ οσο προφαν ες οτι ισχ υει. Προκειµ ενου να µετατρ εψουµε το σ υστηµα µας σε ενα σ υστηµα που περιγρ αφεται απ ο ενα συντηρητικ ο πεδ ιο δυν αµεων και να το απαλλ αξουµε απ ο τους περιορισµο υς των συνδ εσµων που µας προκαλο υν αµηχαν ια ως προς την αντιµετ ωπισ η τους, ας υποθ εσουµε οτι το σωµατ ιδιο µπορε ι να κινε ιται σε ολο το χ ωρο αλλ α βρ ισκεται ταυτ οχρονα στο οµογεν ες βαρυτικ ο πεδ ιο και σε ενα επιπλ εον πεδ ιο µε δυναµικ ο (µπορε ιτε να φανταστε ιται οτι κ ατω απ ο το δ απεδο υπ αρχουν ελατ ηρια σκληρ οτητας που στο φυσικ ο τους µ ηκος το ανω ακρο τους φθ ανει µ εχρι το 3 ). Ισως πε ιτε οτι το καινο υργιο σ υστηµα δεν εχει καµ ια σχ εση µε το αρχικ ο! Σκεφθε ιτε οµως τι συµ α ινει αν π αµε στο οριο R«ª. Η καινο υργια Λαγκρανζιαν η U X περιγρ αφει ενα σωµατ ιδιο που κινε ιται στο οµογεν ες βαρυτικ ο πεδ ιο της Γης αλλ α επιπλ εον κ αποιο πολ υ σκληρ ο ελατ ηριο δεν του επιτρ επει να αποµακρυνθε ι πολ υ απ ο το επ ιπεδο m 3. Οντας ενα µηχανικ ο σ υστηµα µε τρεις ανεξ αρτητες µετα λητ ες εξελ ισσ εται β ασει των τρι ων εξισ ωσεων Eule-Lagange: f f ẅ m (3.2) Η τρ ιτη εξ ισωση εχει ως λ υση την X x uā ²±D³ C,µ 2 ±D³ C ¹ X στην οπο ια αν επι αλλουµε αρχικ ες συνθ ηκες αστ ες µε τον σ υνδεσµο 3 ) καταλ ηγουµε στη λ υση uā ±D³»º ¼ 3 (συµ ι-
 ^ ^ Ç ^ º ^ Ê Ê 3.4. ΣΥΝ ΕΣΜΟΙ 4 η οπο ια εµφαν ως οδηγε ι στην αναµεν οµενη λ υση, στο οριο. Ουσιαστικ α, επιστρ εψαµε στο αρχικ ο πρ ο ληµα της δεσµευµ ενης κ ινησης του σωµατιδ ιου. Οι υπ ολοιπες εξισ ωσεις ε ιναι αυτ ες που θα πα ιρναµε αν θ εταµε εξ αρχ ης στη Λαγκρανζιαν η του συστ ηµατος ανευ συνδ εσµου, την εξ ισωση του συνδ εσµου ½. Το ενδιαφ ερον ε ιναι οτι στη λ υση του προ λ ηµατος ουδεµ ια αναφορ α γ ινεται στην αντ ιδραση του επιπ εδου! Ιστορικ α αυτ ο ηταν και το πλεον εκτηµα των εξισ ωσεων Eule-Lagange, οταν πρωτοδιατυπ ωθηκαν απ ο τον Lagange, δεν χρειαζ οταν να αναφερθε ι κανε ις στις δυν αµεις που αναπτ υσσονται στους συνδ εσµους σε αντ ιθεση µε τη Νευτ ωνεια θεωρ ια. Μπορε ι οµως κανε ις να υπολογ ισει και την αντ ιδραση του συνδ εσµου η οπο ια δεν ε ιναι τ ιποτε αλλο απ ο ¾ Aπ ο την εξ ισωση Eule-Lagange για τη ν εα Λαγκρανζιαν η εχουµε Á U U b b ¾ b \ ¾\ Στο πρ ο ληµ α µας, η δ υναµη καταλ ηγει να ε ιναι Rcª f οπου η λ υση για τη συντεταγµ ενη ε ιναι οπως ε ιπαµε \ X Riª (3.3). Στο οριο, η δ υναµη ε ιναι η γνωστ η µας αντ ιδραση του δαπ εδου. Αν ε ιµαστε λ ιγο πιο προσεκτικο ι και αντικαταστ ησουµε τη λ υση που βρ ηκαµε προηγουµ ενως για Äà ª και στο τ ελος π αρουµε το οριο Rcª θα εχουµε ¾Å uā ²± ³ του οπο ιου ο δε υτερος ορος ταλαντ ωνεται τ οσο γρ ηγορα ωστε ¾} να εχει ν οηµα µ ονο η µ εση τιµ η αυτο υ, η οπο ια ε ιναι µηδ εν. Εποµ ενως, οπως αλλωστε περιµ εναµε. Εποµ ενως µπορε ι κανε ις επι αλοντας τον σ υνδεσµο ~~ Æ στη σχ εση (3.3) να υπολογ ισει την αντ ιδραση των συνδ εσµων ως: ¾ Èb C ¼ DÉVÊ qìë qí q@ X (3.4) ε ιξαµε λοιπ ον οτι αν η κ ινηση εν ος µηχανικο υ συστ ηµατος περιορ ιζεται απ ο δεσµο υς τ οτε η Λαγκρανζιαν η που περιγρ αφει τη κ ινηση ε ιναι η διαφορ α κινητικ ης και δυναµικ ης εν εργειας, οπου οι εν εργειες αυτ ες εχουν υπολογισθε ι λαµ ανοντας υπ οψη τους περιορισµο υς. Η κ ινηση προκ υπτει απ ο τις εξισ ωσεις Eule-Lagange χωρ ις να χρει αζεται να υπολογισθο υν οι αντιδρ ασεις.
46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRAGE ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση 3. Γρ αψτε τη Λαγκρανζιαν η εν ος σωµατιδ ιου που κινε ιται στο επ ιπεδο χρησιµοποι ωντας πολικ ες συντεταγµ ενες. Υποθ εστε στη συν εχεια πως θ ελετε να επι αλλετε τη δ εσµευση να κινε ιται το σωµατ ιδιο σε µια κυκλικ η στεφ ανη ακτ ινας Ï. Επιλ εξτε ενα κατ αλληλο δυναµικ ο που να εξαναγκ αζει το σωµατ ιδιο να κινε ιται ακτινικ α σ υµφωνα µε την εξ ισωση Ð _Ï. Γρ αψτε την καινο υρια Λαγκρανζιαν η y+ñ που προκ υπτει υστερα απ ο την πρ οσθεση του καινο υριου δυναµικο υ και λ υστε την γωνιακ η εξ ισωση Eule-Lagange που προκ υπτει αν στο τ ελος αντικαταστ ησετε ÔÓ την ακτινικ η λ υση ÐÒ xï. Υπολογ ιστε την ακτινικ η αντ ιδραση της στεφ ανης. [Λ υση: œõï Ö M J ] 3. Ολ ονοµοι και µη ολ ονοµοι δεσµο ι ε ιξαµε οτι ε αν η κ ινηση του σωµατιδ ιου περιορ ιζεται µ εσω κ αποιας συναρτησιακ ης σχ εσης µεταξ υ των συντεταγµ ενων που ορ ιζουν τη θ εση του στο 3 ŠKŒŽ χ ωρο, τ οτε η φυσικ η κ ινηση µπορε ι να βρεθε ι απ ο τη Λαγκρανζιαν η K, οπου η κινητικ η και η δυναµικ η εν εργεια εκφρ αζονται ως συν αρτηση των ελε υθερων συντεταγµ ενων του συστ ηµατος, στις οπο ιες εχουν ληφθε ι υπ οψη οι περιορισµο ι. Οι περιορισµο ι της µορφ ης 0 2, οπου κ αποια συν αρτηση των συντεταγµ ενων και ισως και του χρ ονου, λ εγονται ολ ονοµοι δεσµο ι. Το πλ ηθος των συντεταγµ ενων που χρει αζονται για να προσδιοριστε ι η θ εση του συστ ηµατος αφο υ εχουν ληφθε ι υπ οψη οι περιορισµο ι της κ ινησης ε ιναι οι καλο υµενοι βαθ- µο ι ελευθερ ιας του φυσικο υ συστ ηµατος. Για παρ αδειγµα ενα ελε υθερο σωµατ ιδιο στο χ ωρο εχει τρεις βαθµο υς ελευθερ ιας, αλλ α οταν υπ οκειται στο δεσµ ο Ø 3d ÚÙ d (θεωρο υµε σφαιρικ ες συντεταγµ ενες), µε Ù σταθερ ες, δηλαδ η οταν περιορ ιζεται να κινε ιται σε µ ια σφα ιρα µετα λητ ης ακτ ινας τ οτε το σωµατ ιδιο αυτ ο εχει δ υο βαθµο υς ελευθερ ιας, την πολικ η και την αζιµουθιακ η γων ια που προσδιορ ιζουν τη θ εση π ανω στη σφαιρικ η επιφ ανεια. Υπ αρχουν 0 οµως και δεσµο ι οι οπο ιοι δεν µπορο υν να γραφο υν υπ ο τη µορφ η, π.χ. αν ενα σωµατ ιδιο ε ιναι δεσµευµ ενο να κινε ιται στην περιοχ η,û 2. Τ ετοιου ε ιδους δεσµο ι λ εγονται µη ολ ονο- µοι. Ενα αλλο παρ αδειγµα µη ολ ονοµου δεσµο υ ε ιναι οταν υπ αρχει τ ετοια δ εσµευση των ταχυτ ητων ωστε να µην µπορο υν να ολοκληρωθο υν οι δεσµο ι για να προσδιορ ισουν µια ολοκληρωτικ η σχ εση µεταξ υ των συντεταγµ ενων. Το πλ εον κοιν ο παρ αδειγµα µη ολ ονοµου δεσµο υ ε ιναι η κ ινηση εν ος νοµ ισµατος σε επ ιπεδο δ απεδο (βλ. Σχ. 3.). Ας θεωρ ησουµε οτι το ν οµισµα παραµ ενει ορθιο και οτι κυλ ιεται επ ι της επιφανε ιας χωρ ις να ολισθα ινει (η παραδοχ η οτι το ν οµισµα παραµ ενει ορθ ο ε ιναι προ ληµατικ η δι οτι ε αν το ν οµισµα εκτελε ι καµπ υλη τροχι α τ οτε για να ισορροπε ι, θα πρ επει το επ ιπεδο του νοµ ισµατος να µην ε ιναι κατακ ορυφο, οπως συµ α ινει µε το µοτοσικλετιστ η οταν στρ ι ει -το συµπ ερασµα οµως για το χαρακτ ηρα του δεσµο υ δεν αλλ αζει). Η θ εση του νοµ ισµατος προσδιορ ιζεται γενικ α απ ο το σηµε ιο επαφ ης µε το δ απεδο m@, τη γων ια Ü που σχηµατ ιζει το επ ιπεδο του νοµ ισµατος µε τον αξονα, και την γων ια κ υλισης περ ι τον
Ü Ü Ü Ü m 3.. ΟΛΟΝΟΜΟΙ ΚΑΙ ΜΗ ΟΛΟΝΟΜΟΙ ΕΣΜΟΙ 47 y è ø Σχ ηµα 3.: To ν οµισµα ε ιναι κ αθετο στο επ ιπεδο. Κυλ ιεται χωρ ις να ολισθα ινει κινο υµενο στιγµια ια κατ α τη διε υθυνση της ευθε ιας η οπο ια σχηµατ ιζει γων ια Ü µε τον αξονα. Κ αποιο σηµε ιο στη περιφ ερεια του νοµ ισµατος προσδιορ ιζεται απ ο τη γων ια κατ α την οπο ια εχει περιστραφε ι συνολικ α κατ α την κ ινησ η του το ν οµισµα. x m αξονα τον κ αθετο στο επ ιπεδο του νοµ ισµατος. Απ ο τις 4 συντεταγµ ενες GÜÞ που χρει αζονται για τον προσδιορισµ ο της θ εσης του νοµ ισµατος µ ονο δ υο ε ιναι πραγµατικ α ανεξ αρτητες. Η συνθ ηκη οτι το ν οµισµα δεν ολισθα ινει συνεπ αγεται τις δ υο σχ εσεις: idì uā ß m cdì 2 Ε ιναι δυνατ ο να ολοκληρ ωσουµε αυτ ες τις σχ εσεις ωστε να εκφρ ασουµε δ υο οποιεσδ ηποτε συντεταγµ ενες συναρτ ησει των αλλων ; Θα αποδε ιξουµε οτι κ ατι τ ετοιο δεν ε ιναι δυνατ ον. Εστω οτι υπ ηρχαν συναρτ ησεις m@ και 3à m@d ε µπορε ι οµως να υπ αρξει τ ετοια συν αρτηση, δι οτι για κ αθε σηµε ιο επαφ ης µπορ ω να στρ εψω το επ ιπεδο του νοµ ισµατος σε οποιαδ ηποτε γων ια Ü και ετσι δε à µπορε ι η γων ια Ü m να ε ιναι συν αρτηση των. Ο υτε και συν αρτηση µπορε ι να υπ αρχει: Θεωρ ηστε την κ ινηση του νοµ ισµατος X κατ α µ ηκος της τροχι ας Ü, µε αρχικ η γων ια κ υλισης. Κυλ ηστε το ν οµισµα κατ α γων ια, σταµατ ηστε, στρ εψτε το ν οµισµα γ υρω απ ο την κατακ ορυφη δι αµετρ ο του κατ α á, και επιστρ εψτε στην αρχικ η θ εση του νοµ ισµατος, στο σηµε ιο εκκ ινησης. Το ν οµισµα θα εχει περιστραφε ι κατ α γων ια, και ετσι στο ιδιο σηµε ιο θα αντιστοιχο υν δ υο γων ιες, η και η à m. Συνεπ ως δεν ε ιναι δυνατ ον η να ε ιναι συν αρτηση των. Εν ω για ολ ονοµους δεσµο υς η φυσικ η κ ινηση µπορε ι να προκ υψει, οπως ε ιδαµε απ ο την αρχ η του Χ αµιλτον, µε την αντικατ ασταση της εξ ισωσης του συνδ εσµου, αυτ ο δεν ισχ υει αναγκαστικ α στην περ ιπτωση των µη ολ ονοµων δεσµ ων. Στο επ οµενο εδ αφιο θα δε ιξουµε µια µ εθοδο επ ιλυσης µερικ ων περιπτ ωσεων µη ολ ονοµων δεσµ ων µε Λαγκρανζιαν ο φορµαλισµ ο.
m e æ 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRAGE y x g = 0 àâ Σχ ηµα 3.2: Οι ελλειπτικ ες ισο ψε ις της X 3Ù à ã ã ä µε Ù. Oι τελε ιες σηµει ωνουν τα σηµε ια της στα οπο ια η εχει ακρ οτατο. Παρατηρε ιτε οτι στα σηµε ια αυτ α οι ισο ψε ις ε ιναι παρ αλληλες στην εφαπτοµ ενη της και συνεπ ως υπ αρχει πολλαπλασιαστ ης å à που ικανοποιε ι τη σχ εση: ~ækç è. Τα σηµε ια προσδιορ ιζονται ως εξ ης: ο µηδενισµ ος των δ υο συνιστωσ ων της å à ~ækç 3 προσδιορ ιζει τα σηµε ια g και m m και η καµπ υλη στα οπο ια η à εχει ακρ οτατο. Τα προσδιορ ιζονται στη συν εχεια αντικαθιστ ωντας τα και m στην 3 και επιλ υοντας ως προς. αν η- 3.6 Πολλαπλασιαστ ες Lagange à O Γνωρ ιζουµε οτι το ακρ οτατο µιας συν αρτησης, οπου το κει στο é ƒ, ικανοποιε ι την σχ εση: å#à ækç 3 q à O Για να προσδιορ ισουµε το ακρ οτατο της O ê Q 3, 6 εργ αζ οµαστε ως εξ ης: το κ αθε ë εχουµε d P å#à ækç, οταν ισχ υει ο περιορισµ ος à ε ιναι ακρ οτατο της οταν για οπου το σ υµ ολο, σηµα ινει το εσωτερικ ο γιν οµενο των δ υο διανυσµ ατων. Στην περ ιπτωσ η µας το ë δεν ε ιναι κ αποιο τυχα ιο δι ανυσµα, αλλ α 6 Το µαθηµατικ ο αυτ ο πρ ο ληµα ε ιναι αν αλογο µε τον καθορισµ ο του µ εγιστου υψ ο- µετρου σε µια καθορισµ ενη διαδροµ η που εχει χαραχθε ι σε εναν χ αρτη. Η συν αρτηση ì ε ιναι στην περ ιπτωση αυτ η το υψ οµετρο σε κ αθε σηµε ιο του χ αρτη, εν ω η συν αρτηση í ε ιναι η διαγεγραµµ ενη διαδροµ η. Στο ορει ατικ ο αυτ ο πρ ο ληµα ε ιναι προφαν ες οτι η λ υση βρ ισκεται σε κ αποιο απ ο τα σηµε ια οπου η κ αθετος στη χαραγµ ενη διαδροµ η ε ιναι παρ αλληλη µε την κ αθετο στις υσο ψε ις, αφο υ στα σηµε ια αυτ α προχωρ ωντας κατ α µ ηκος της διαδροµ ης παραµ ενουµε στο ιδιο υψος.
j 3.6. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRAGE 49 n f g h F å Σχ ηµα 3.3: Tα διαν υσµατα ækç åd και ækç ορ ιζουν τον υποχ ωρο î, ο οπο ιος στη τριδι αστατη αναπαρ ασταση του σχ ηµατος ε ιναι το επ ιπεδο που ορ ιζεται απ ο τα δ υο διαν υσµατα. Τα διαν υσµατα ε ιναι κ αθετα στα διαν υσµατα αυτ α και συνεπ ως κε ιται στον κ αθετο υποχ ωρο î ï, ο οπο ιος στο σχ ηµα å#à ε ιναι η ευθε ια. Το δι ανυσµα ækç ε ιναι κ αθετο στα διαν υσµατα που αν ηκουν στον υποχ ωρο î ï και εποµ ενως πρ επει να αν ηκει στον κ αθετο υποχ ωρο του îï j που ε ιναι ο υποχ ωρος î ï l ï. Αλλ α, î ï l ï î å#à, και το δι ανυσµα ækç κε ιται στο επ ιπεδο που ορ ιζεται απ ο å åd τα ækç και ækç και ε ιναι εποµ ενως γραµµικ ος συνδυασµ ος των δ υο αυτ ων διανυσµ ατων., δη- O πρ επει να ικανοποιε ι τον περιορισµ ο _ð λαδ η να ικανοποιε ι δηλαδ η την συνθ ηκη P å ækç Q 3 Συνεπ ως, πρ επει το ακρ οτατο P å#à Q 3 για εκε ινα τα ë που ικανοποιο υν την ë ñ να ικανοποιε ι την ækç P å ækç ηλαδ η θα πρ επει το δι ανυσµα å κ αθετα στο ækç, αρα πρ επει τα να υπ αρχει αριθµ ος ωστε Q 3, οπου ð å#à ækç να ε ιναι κ αθετο στα å#à ækç å και ò²ò ë, που ε ιναι ækç να ε ιναι παρ αλληλα και å ækç Õ å ækç Συνεπ ως για να προσδιορ ισουµε το ακρ οτατο à à της υπ ο την συνθ ηκη, αρκε ι να προσδιορ ισουµε το ακρ οτατο της, δηλαδ η το ικανοποιε ι τη σχ εση å à ~ækç 3 που
> 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRAGE και στη συν εχεια προσδιορ ιζουµε το O ο υτως ωστε 2 ¹ (βλ. Σχ. 3.2). Η µ εθοδος αυτ η πρωτοεφαρµ οστηκε απ ο τον Lagange, και το ονο- µ αζεται πολλαπλασιαστ ης του Lagange. Η µ εθοδος αυτ η γενικε υεται ε υκολα οταν υπ αρχουν περισσ οτεροι περιορισµο ι. Υποθ εστε O για ñ παρ αδειγµα O ñ à O οτι ζητ αµε το ακρ οτατο της υπ ο τις συνθ ηκες και. Τ οτε, οπως και προηγουµ ενως πρ επει να εχουµε P å#à ækç Q X για ολα τα ë που αν ηκουν στο γραµµικ ο χ ωρο î ï που ε ιναι κ αθετος στο γραµµικ ο χ ωρο î å, ο οπο ιος σχηµατ ιζεται απ ο τα διαν υσµατα ækç και ådækç αφο υ P å ækç Q X και P åd ækç Q 3 å#à ηλαδ η το δι ανυσµα ækç πρ επει να αν ηκει στο γραµµικ ο χ ωρο που ε ιναι κ αθετος στο χ ωρο που αν ηκει το ë, δηλαδ η πρ επει να αν ηκει στον κ αθετο χ ωρο του îï που δεν ε ιναι αλλος απ ο τον ιδιο τον î (βλ. Σχ. 3.3). ηλαδ η υπ αρχουν πολλαπλασιαστ ες και * ωστε åóà ækç å ækç * ådækç X και το ακρ οτατο προσδιορ ιζεται απ ο αυτ η τη σχ εση εν ω οι τιµ ες των πολλαπλασιαστ ων προσδιορ ιζονται ωστε να ικανοποιο υνται οι περιορισµο ι. Η παραπ ανω απ οδειξη µπορε ι να γενικευθε ι και σε αλλους γραµµικο υς χ ωρους, οπως για παρ αδειγµα σε αυτ ον των συνεχ ων συναρτ ησεων σε κ αποιο δι αστηµα = G2C, ο οπο ιος µπορε ι να εφοδιασθε ι µε το ακ ολουθο εσωτερικ ο γιν οµενο: à ë & 7,8 t ë 8õô à (σχηµατ ιζοντας ετσι εναν χ ωρο Hilbet, οπως λ εγεται). Ετσι ε αν ë για I ολες τις συναρτ ησεις ë που ικανοποιο υν τις συνθ ηκες ë è και ë 3 τ οτε à οπως και προηγουµ ενως η πρ επει να ε ιναι γραµµικ ος συνδυασµ ος των και. 3.6. Ενα παρ αδειγµα χρ ησης των πολλαπλασιαστ ων Lagange Ζητε ιται να προσδιορισθε ι το σχ ηµα που πρ επει να εχει ενα συνεχ ες πλανητοειδ ες σταθερ ης πυκν οτητας ö και ολικ ης µ αζας ) ωστε η βαρυτικ η ελξη σε ενα σηµε ιο της επιφ ανε ιας του κατ α τη διε υθυνση της καθ ετου να ε ιναι µ εγιστη. Ε αν η απ οσταση της επιφ ανειας απ ο το σηµε ιο Ο ε ιναι økù (βλ. Σχ. 3.4), οπου η πολικ η γων ια που σχηµατ ιζεται µε την κ αθετο στην επιφ ανεια στο Ο, και ù η αζιµουθιακ η γων ια γ υρω απ ο την κ αθετο, τ οτε η µ αζα
ö ù ù ù ù Ø b Ø 3.6. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRAGE O θ R(θ,φ) Σχ ηµα 3.4: To πλανητοειδ ες που µεγιστοποιε ι τη βαρυτικ η ελξη στο ση- µε ιο Ο κατα τη διε υθυνση της καθ ετου ΟΑ. Η πολικ η εξ ισωση του πλανητοειδο υς ε ιναι è ²ú uā, οπου η γων ια που σχηµατ ιζεται µε την κ αθετο ΟΑ. του πλανητοειδο υς δ ινεται απ ο το παρακ ατω ολοκλ ηρωµα που ε ιναι ενα συναρτησοειδ ες της økù : ) = > 7,û~ü ö 7 û~ü 2 2 A 7 û 7 û 7,ý þ ÿ Η δε βαρυτικ η ελξη αν α µον αδα µ αζας κατ α την κ αθετη διε υθυνση ε ιναι: = > 7,û~ü ö g 2 7,û~ü 2 7 û uā 7fý þ ÿ 7 û økù Ø ^ ö Στους παραπ ανω υπολογισµο υς θεωρ ησαµε οτι η επιφ ανεια ορ ιζεται για γων ιες Û¹SÛ\á, δι οτι ε αν η επιφ ανεια εκτειν οταν και σε [á το πεδ ιο που θα δηµιουργο υνταν στο Ο θα ηταν µικρ οτερο απ ο εκε ινο εν ος πλανητοειδο υς που εχει το ιδιο σχ ηµα για Û á g, εν ω ολη η µ αζα που προηγουµ ενως εκτειν οταν σε êá g αποµακρυν οταν σε απειρη απ οσταση. Επ ισης, εν ω αναµ ενουµε οτι για λ ογους συµµετρ ιας η ζητο υµενη επιφ ανεια θα ε ιναι συµµετρικ η ως προς την κ αθετο στο Ο, δεν εχουµε εκ προοιµ ιου εισαγ αγει µια τ ετοια παραδοχ η. økù Ø uā Ø g
> ù ù ù 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRAGE Το πρ ο ληµα, λοιπ ον, ε ιναι να βρεθε ι η økù που µεγιστοποιε ι την = υπ ο τη συνθ ηκη ) = > ). Ε αν θεωρ ησουµε οτι εχει βρεθε ι η επιφ ανεια, τ οτε για να δ ινει η τη µ εγιστη κατακ ορυφη δ υναµη, µια µικρ η µετα ολ η της επιφ ανειας κατ α ë θα πρ επει, να ικανοποιε ι τη σχ εση økù 7,û~ü 2 uā 7 û ë økù η υπ ο την µορφ η εσωτερικο υ γινοµ ενου πρ επει 2 uā ø ë X Αλλ α θα πρ επει ταυτ οχρονα η ë økù της επιφ ανεια να εχει και αυτ η µ αζα ) 7,û~ü 2 7 û økù ë økù η υπ ο την µορφ η εσωτερικο υ γινοµ ενου θα πρ επει 2 h ë 3 i να ε ιναι τ ετοια ωστε η παραπλ ησια αρα πρ επει c αρα υπ αρχει αριθµ ος ωστε 2 uā 2 h αρα η επιφ ανεια που µεγιστοποιε ι το πεδ ιο ε ιναι η økù ú uā και η σταθερ α µπορε ι να προσδιορισθε ι ωστε η συνολικ η µ αζα του πλανητοειδο υς να ε ιναι ). Η επιφ ανεια ε ιναι πρ αγµατι συµµετρικ η ως προς την κατακ ορυφο, αφο υ το σχ ηµα της δεν εχει εξ αρτηση απ ο τη γων ια ù. Το σχ ηµα της ε ιναι σχετικ α πεπλατυσµ ενο γ υρω απ ο το σηµε ιο Ο οπως φα ινεται στο Σχ. 3.4. Θα µπορο υσαµε να καταλ ηξουµε στο ιδιο συµπ ερασµα µε το να απαιτ ησουµε το 7 û~ü 7 û 2 uā h 2 h να καταστε ι ακρ οτατο. Οι εξισ ωσεις Eule-Lagange οδηγο υν τ οτε στη σχ εση: δηλαδ η στην 2 οπως και προηγουµ ενως. uā h økù 2 h X ú uā X X (3.)
^ ë b à ë 3.7. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRAGE ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 3 3.7 Πολλαπλασιαστ ες Lagange στη Μηχανικ η Ειδικ α στα µηχανικ α συστ ηµατα, οπου κανε ις, προκειµ ενου να καθορ ισει τη φυσικ η διαδροµ η, αναζητ α το ακρ οτατο της δρ ασης η οπο ια ε ιναι συναρτησοειδ ες και οχι συν αρτηση δεδοµ ενων κ αποιων συνδ εσµων οι οπο ιοι εχουν τη µορφ η συν αρτησης, µπορο υµε να γενικε υσουµε την παραπ ανω µεθοδολογ ια ως ακολο υθως: Η στασιµ οτητα της δρ ασης εν ος µηχανικο υ συστ ηµατος εξασφαλ ιζεται οταν 7,8 t ë 3 (3.6) 8õô για κ αθε συν αρτηση ë που ικανοποιε ι τις συνοριακ ες συνθ ηκες ë G ë C (θυµηθε ιτε την εξαγωγ η των εξισ ωσεων Eule-Lagange) 7. Αλλ α αν κ αποιος σ υνδεσµος επι αλλει περιορισµ ο στις συντεταγµ ενες της µορφ ης ~ 2 X δεν µπορο υµε να συν αγουµε απ ο την (3.6) οτι κ αθε συνιστ ωσα της ολο- δεν ε ιναι πλ εον αυθα ιρετα. Πρ επει, τ α κατ α τ αλλα τυχα ια διαν υσµατα, ë να ε ιναι τ ετοια ωστε η παραλλαγµ ενη διαδροµ η να εξακολουθε ι να ικανοποιε ι την κληρωτ εας ποσ οτητας πρ επει να µηδεν ιζεται, δι οτι τα ë ~,ð ë 2 X Αυτ ο αυτ οµατα συνεπ αγεται οτι κ αθε χρονικ η στιγµ η το ë ε ιναι κ αθετο å στο. Αν θεωρ ησουµε τ ωρα διαν υσµατα ë µη µηδενικ α µ ονο για πολ υ µικρ α χρονικ α διαστ ηµατα, π.χ. ë µ ονο για ²ÛwÒÛw, τ ετοια οµως ωστε να ικανοποιο υν την εξ ισωση του συνδ εσµου å ë i απ ο την (3.6) συµπερα ινουµε οτι για κ αθε χρονικ η στιγµ η πρ επει οι συνιστ ωσες της ολοκληρωτ εας ποσ οτητας (3.6) να ε ιναι παρ αλληλες στις å συνιστ ωσες του, δηλαδ η πρ επει να υπ αρχει πολλαπλασιαστ ης τ ετοιος ωστε: Αυτ ες ε ιναι εξισ ωσεις κ ινησης Eule-Lagange του δεσµευµ ενου συστ ηµατος. Ο πολλαπλασιαστ ης Lagange στην περ ιπτωση αυτ η ε ιναι εν γ ενει συν αρτηση του χρ ονου. Ε αν ε ιχαµε ) δεσµο υς: ~ 2 i τ οτε θα πρ επει σε κ αθε χρονικ η στιγµ η οι παραλλαγ ες της τροχι ας ε ιναι κ αθετες σε κ αθε O~~ ) å (µε αθροιστικ η σ υµ αση): d c 7 Στη παραπ ανω εκφραση οταν γρ αφουµε ay ayae I <, κοκ. { E ë να { < εννοο υµε το αθροισµα
ë $ q $ q $ q 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRAGE οπου θ εσαµε d ~ 2 g. Με τα ιδια επιχειρ ηµατα καταλ ηγουµε οτι η στασιµ οτητα της δρ ασης διασφαλ ιζεται οταν : d (3.7) Παρατηρ ηστε οτι θα καταλ ηγαµε στις ιδιες εξισ ωσεις κ ινησης αν ε ιχαµε τους ) µη-ολ ονοµους d δεσµο υς οι οπο ιοι δ εσµευαν τις παραλλαγ ες της τροχι ας µε τις σχ εσεις [. Στις εξισ ωσεις (3.7) εχουµε αγνωστες συντεταγµ ενες και ) αγνωστους πολλαπλασιαστ ες Lagange. Οι εξισ ωσεις κ ινησης προσδιορ ιζουν τις KK, εν ω οι ) εξισ ωσεις των δεσµ ων προσδιορ ιζουν τους πολλαπλασιαστ ες. Αφο υ υπολογισθο υν οι πολλαπλασιαστ ες προσδιορ ιζεται και η εξ ελιξη των ποσοτ ητων: d (3.8) που ε ιναι οι συνισταµ ενες της δ υναµης (των αντιδρ ασεων) που προκαλο υνται απ ο τους δεσµο υς. Με αυτ η τη γεν ικευση µπορο υµε να εφαρµ οσουµε τη µ εθοδο των πολλαπλασιαστ ων του Lagange σε προ λ ηµατα λογισµο υ των µετα ολ ων που υπ οκεινται σε συνδ εσµους. Η µ εθοδος αυτ η ε ιναι ιδια ιτερα χρ ησιµη (α) οταν οι εξισ ωσεις των συνδ εσµων δεν ε ιναι τ ετοιες ωστε να µπορε ι κανε ις απλ α να απαλε ιψει τις εξαρτηµ ενες συντεταγµ ενες απ ο τη Λαγκρανζιαν η, οπως για παρ αδειγµα κ αναµε µε την -συντεταγµ ενη στο πρ ωτο πρ ο ληµα µε συνδ εσµους που αντιµετωπ ισαµε, και (β) οταν θ ελουµε να υπολογ ισουµε τις δυν αµεις που αναπτ υσσονται εξαιτ ιας των συνδ εσµων. Για να αντιληφθο υµε τη φυσικ η ερµηνε ια των πολλαπλασιαστ ων Lagange επανερχ οµαστε στη µεθοδο επι ολ ης των δεσµ ων µε τη εισαγωγ η στη Λαγκρανζιαν η του συστ ηµατος,, δυναµικ ων: ~ τα οπο ια επι αλουν τους δεσµο υς οταν R»ª που περιλαµ ανει τα δυναµικ α που θα επι αλλουν τους δεσµο υς ε ιναι: U 3,² 2 ~. Η ν εα Λαγκρανζιαν η και οι εξισ ωσεις κ ινησης για πεπερασµ ενα ε ιναι: οπου η συνιστ ωσα της δ υναµης απ ο το δυναµικ ο των δεσµ ων: (3.9)
m $ q m m 3.8. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΧΡΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΩΝ LAGRAGE Οι εξισ ωσεις κ ινησης του δεσµευµ ενου συστ ηµατος θα ε ιναι οι (3.9) στις οπο ιες οµως επι αλλονται ολοι οι δεσµο ι, οι οπο ιοι πρ επει να ικανοποιο υνται οταν R ª. Στο οριο αυτ ο προσδιορ ιζονται και οι δυν αµεις,, που αναπτ υσσονται εξαιτ ιας των συνδ εσµων. Οι δυν αµεις οµως αυτ ες ε ιναι: (3.20) και συγκρ ινοντας την (3.20) µε την (3.8) προκ υπτει οτι oι πολλαπλασιαστ ες Lagange ε ιναι ακρι ως: και η µ εθοδος των πολλαπλασιαστ ων Lagange ε ιναι ισοδ υναµη µε τη µ εθοδο επι ολ ης των συνδ εσµων µε δυναµικ α απε ιρου σκληρ οτητας. 3.8 Παρ αδειγµα χρ ησης πολλαπλασιαστ ων Lagange Θεωρ ηστε ενα σωµ ατιο που κ ινειται στο οµογεν ες πεδ ιο βαρ υτητας αλλ α η κ ινηση του δεσµε υεται να κε ιται στο επ ιπεδο:! #" %$ Ä (3.2) οπου ε ιναι η κατακ ορυφη διε υθυνση. Θ ελουµε να προσδιορ ισουµε τη κ ινηση του σωµατ ιου και τις αντιδρ ασεις που ασκο υνται στο σωµ ατιο απ ο το επ ιπεδο. Ο σ υνδεσµος ε ιναι: O οπ οτε å! " $ 2! #" %$ ² Ú 3. Επειδ η η Λαγκρανζιαν η του σωµατ ιου ε ιναι: οι εξισ ωσεις κ ινησης του δεσµευµ ενου σωµατ ιου ε ιναι: f! ẅ m " 'f 3 $ k O πολλαπλασιαστ ης θα προσδιορισθε ι απ ο την απα ιτηση οτι αν π ασα στιγµ η θα πρ επει να ικανοποιε ιται ο σ υνδεσµος a@gh (3.2). Επειδ η οµως ε ιναι για κ αθε χρ ονο θα ε ιναι και i @gh, αλλ α και. Συνεπ ως οι επιταχ υνσεις πρ επει να ικανοποιο υν τη σχ εση:! #" %$ i
$ $ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRAGE Αντικαθιστ ωντας τις επιταχ υνσεις απ ο τις εξισ ωσεις κ ινησης βρ ισκουµε οτι ο πολλαπλασιαστ ης ε ιναι:!4 #" %$ που σε αυτ η τη περ ιπτωση ε ιναι χρονοανεξ αρτητος. Η αντ ιδραση του επιπ εδου που ασκε ιται στο σωµ ατιο κατ α τη κ ινησ η του ε ιναι: å! " $!4 #" %$ Η κ ινηση του επιπ εδου στη περ ιπτωση αυτ η δεν επηρρε αζει τις αντιδρ ασεις (γιατ ι ;). ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση 4. Χρησιµοποι ωντας στοιχει ωδη νευτ ωνεια µηχανικ η επι ε αι ωστε τα απο- τελ εσµατα του παραδε ιγµατος για τη κ ινηση σωµατ ιου επ ι του κεκλιµ ενου επιπ εδου & (' )(*,+ στο οµογεν ες πεδ ιο βαρ υτητας. 3.9 Λαγκρανζιαν η φορτισµ ενου σωµατιδ ιου Μ εχρι τ ωρα εχουµε κατασκευ ασει Λαγκρανζιαν ες για σωµατ ιδια η γενικ α για µηχανικ α συστ ηµατα που κινο υνται σε δυναµικ α πεδ ια που εχουν καθαρ α χωρικ η εξ αρτηση (ακ οµη και τους συνδ εσµους που αναγκ αζουν τα µηχανικ α συστ ηµατα να κινο υνται µε εναν συγκεκριµ ενο τρ οπο καταφ εραµε να τα αναγ αγουµε σε κιν ησεις µ εσα σε υποθετικ α δυναµικ α πεδ ια που αντικαθιστο υν τους συνδ εσµους). Επ ισης την περ ιπτωση χρονοεξαρτ ωµενων δυν αµεων ε ιναι ε υκολο, οπως ε ιδαµε στην αντ ιστοιχη ασκηση, να αναπαρ αγουµε µ εσω του Λαγκρανζιανο υ φορµαλισµο υ. Τι µπορο υµε οµως να κ ανουµε οταν η δ υναµη που ασκε ιται σε ενα σωµατ ιδιο εξαρτ αται απ ο την ταχ υτητα ; Ενα τ ετοιο παρ αδειγµα ε ιδαµε οταν δοκιµ ασαµε να περιγρ αψουµε την αντ ισταση σε κ αποιο µ εσο, οταν αυτ η ε ιναι αν αλογη της ταχ υτητας, µε Λαγκρανζιαν ο τρ οπο. Απ ο την αλλη η γενικ η αντιµετ ωπιση τ ετοιων δυν αµεων, αν και δεν ε ιναι π αντα εφικτ η δεν µας ενδιαφ ερει αφο υ δεν πρ οκειται για θεµελι ωδεις δυν αµεις παρ α για στατιστικ ο αποτ ελεσµα ηλεκτροµαγνητικ ων δυν αµεων που ασκο υνται σε µικροσκοπικ ο επ ιπεδο. Υπ αρχει οµως µια τ ετοιας µορφ ης δ υναµη, εξαρτ ωµενη απ ο την ταχ υτητα, η οπο ια ε ιναι θεµελι ωδης και συντηρητικ η, αλλ α δεν µπορε ι να περιγραφε ι µ εσω κ αποιου δυναµικο υ. Πρ οκειται για την κ ινηση φορτισµ ενου σωµατιδ ιου µ εσα σε ηλεκτροµαγνητικ ο πεδ ιο. Η δυσκολ ια κατασκευ ης της αντ ιστοιχης Λαγκρανζιαν ης εγκειται στο γεγον ος οτι αφο υ η δ υναµη εξαρτ αται απ ο την ταχ υτητα πρ επει ο συν ηθης ορος της δυναµικ ης εν εργειας να εµπερι εχει την ταχ υτητα, αλλ α τ οτε στις εξισ ωσεις Eule-Lagange η γενικευµ ενη ορµ η εκτ ος απ ο την κλασικ η της µορφ η που προ ερχεται απ ο την παραγ ωγιση της κινητικ ης εν εργειας θα περικλε ιει
{ ^ { µ 3.9. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ 7 και αλλον εναν ορο εξαιτ ιας της εξ αρτησης απ ο την ταχ υτητα της δυνα- µικ ης εν εργειας. Αυτ ο περιπλ εκει τη δυναµικ η εξ ισωση κ ινησης και θα πρ επει να ε ιναι κανε ις αρκετ α τυχερ ος για να καταφ ερει να κατασκευ ασει το δυναµικ ο ν οµο απ ο µια Λαγκρανζιαν η συν αρτηση. Την προσπ αθεια αυτ η για την περ ιπτωση του φορτισµ ενου σωµατιδ ιου σε ενα ηλεκτροµαγνητικ ο πεδ ιο θα περιγρ αψουµε στη συν εχεια. Κατ αρχ ας ας δο υµε ποια ε ιναι η εξ ισωση κ ινησης που θα προσπαθ ησουµε να αναπαρ αγουµε απ ο κ αποια Λαγκρανζιαν η: @ (3.22) οπου η ενταση του ηλεκτρικο υ πεδ ιου και µ η µαγνητικ η επαγωγ η στη θ εση του φορτισµ ενου µε φορτ ιο σωµατιδ ιου, τη χρονικ η στιγµ η που αυτ ο βρ ισκεται στη θ εση αυτ η. Η αντ ιστοιχη Λαγκρανζιαν η θ ελουµε να εχει τη µορφ η 3 ŠKŒŽ K (3.23) οπου ŠKŒŽ η κινητικ η εν εργεια του σωµατιδ ιου και K η δυναµικ η εν εργεια η οπο ια θα εχει προφαν ως εξ αρτηση και απ ο την ταχ υτητα του σω- µατιδ ιου ωστε να ε ιναι δυνατ ο να αναπαραχθε ι η εξαρτ ωµενη απ ο την ταχ υτητα µαγνητικ η δ υναµη Loentz. Μπορο υµε να υποστηρ ιξουµε οτι η δυναµικ η αυτ η εν εργεια θα πρ επει να εχει το πολ υ γραµµικ η εξ αρτηση απ ο την ταχ υτητα, ωστε και ο ορος και ο ορος K b K να δηµιουργ ησουν µια δ υναµη το πολ υ γραµµικ η ως προς την ταχ υτητα, οπως ε ιναι η δ υναµη Loentz. Ετσι, µπορο υµε να θεωρ ησουµε οτι η δυναµικ η εν εργεια θα εχει τη µορφ η K O 2.- O 2 ù O 2 0( (3.24) Η δυναµικ η εν εργεια, οντας µ ερος της Λαγκρανζιαν ης δεν µπορε ι παρ α να ε ιναι βαθµωτ η ποσ οτητα, γεγον ος το οπο ιο δικαιολογε ι την υπαρξη του εσωτερικο υ γινοµ ενου 8. Η δε παρουσ ια του φορτ ιου ως πολλαπλασιαστικο υ παρ αγοντα ε ιναι επι ε ληµ ενη απ ο το οτι η δ υναµη ε ιναι αν αλογη µε το φορτ ιο. Τ ελος το αρνητικ ο πρ οσηµο δεν εχει καν ενα ουσιαστικ ο λ ογο παρ α µ ονο για να αποκτ ησουν οι ποσ οτητες Kù συγκεκρι- µ ενο φυσικ ο περιεχ οµενο στο τ ελος της αν αλυσης. 8 µια αλλη δυνατ οτητα κατασκευ ης βαθµωτο υ µεγ εθους, φαινοµενικ α γραµµικο υ ως προς την ταχ υτητα, θα ηταν τα z 4 z, η z 4 z, αλλ α και οι δ υο αυτ ες περιπτ ωσεις { δεν ε ιναι πραγµατικ α γραµµικ ες ως προς την ταχ υτητα αφο υ η αντικατ ασταση της 4 { µε 4 F ' 4{ J δν ισο υται εν γ ενει µε το αθροισµα των αντιστο ιχων ποσοτ ητων. 32 {
µ å ù & å ù å å ù ù å µ å ù µ 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRAGE Οι εξισ ωσεις Eule-Lagange για µια τ ετοια Λαγκρανζιαν η δ ινουν τις εξισ ωσεις κ ινησης: ± O 2 P ] O 2 Q ù (3.2) Η παραπ ανω εξ ισωση θα µπορο υσε να π αρει τη µορφ η της δυναµικ ης εξ ισωσης του σωµατιδ ιου αν µπορο υσαµε να κατασκευ ασουµε ποσ οτητες Kù τ ετοιες ωστε O 2 åâp ] O 2 -Q ] µ Επειδ η, οµως, το εχει αµεση εξ αρτηση απ ο το χρ ονο, θα ε ιναι: O 2 O 2 P ] å Q 2 (3.26) και µε µια µικρ η επεξεργασ ια της (3.26) µε τη βο ηθεια της µαθηµατικ ης ταυτ οτητας ] å å O ] O ] å ] δεν εχει εξ αρτηση απ ο το που ισχ υει οταν το δι ανυσµα, µπορο υµε να επιτ υχουµε το επιθυµητ ο αποτ ελεσµα, δι οτι το αριστερ ο µ ελος της (3.26) απλοποιε ιται σε: O O 2 2 O ] å O O 2 2 ] P å O ] å O 2 2 O 2 Q Αν απαιτ ησουµε οι µεν δ υο πρ ωτοι οροι να παριστ ανουν το ηλεκτρικ ο πεδ ιο και ο τελευτα ιος ορος µ εσα στην παρ ενθεση το µαγνητικ ο πεδ ιο, οπως αρχικ α ζητ ησαµε, αµεσα αναγνωρ ιζουµε τη φυσικ η σηµασ ια των πρ οκειται για το ανυσµατικ ο δυναµικ ο και το ηλεκτρικ ο δυναµικ ο αντ ιστοιχα. Οι ορισµο ι αυτο ι των βοηθητικ ων πεδ ιων εισ ηχθησαν στην θεωρ ια του ηλεκτροµαγνητισµο υ προκειµ ενου να ικανοποιο υνται αυτ οµατα οι δ υο απ ο τις τ εσσερις εξισ ωσεις του Maxwell: å å δι οτι αν τ οτε και και αν ¹& τ οτε και å ¹ O 2 (3.27) Ετσι ενα φορτισµ ενο σωµατ ιδιο µ εσα σε ηλεκτροµαγνητικ ο πεδ ιο περιγρ αφεται απ ο τη Λαγκρανζιαν η } O 2 O 2 (3.28)