Ανακεφαλαίωση. q Εισήγαμε την έννοια των δεσμών. Ø Ολόνομους και μή ολόνομους δεσμούς. Ø Γενικευμένες συντεταγμένες

Transcript

1 ΦΥΣ Διαλ.06 1 Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε μέχρι τώρα: q Συζητήσαμε συστήματα πολλών σωμάτων Ø Εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις Ø Νόμους δράσης-αντίδρασης Ø Ορμές, νόμους διατήρησης (γραμμική ορμή, στροφορμή, κινητική και δυναμική ενέργεια) q Εισήγαμε την έννοια των δεσμών Ø Ολόνομους και μή ολόνομους δεσμούς f ( r 1, r 2, r 3,...,t) Ø Γενικευμένες συντεταγμένες r = r (q 1,q 2,q 3,...,t) Ø Συζητήσαμε την φυσική έννοια των δεσμών και πως μεταβάλουν τους βαθμούς ελευθερίας ενός συστήματος

2 ΦΥΣ Διαλ.06 2 Τι θα δούμε σήμερα...? q Πώς μπορούμε να μετασχηματίσουμε την εξίσωση κίνησης χρησιμοποιώντας γενικευμένες συντεταγμένες q Θα εξάγουγε τις εξισώσεις Lagrange q Θα αποδείξουμε ότι οι εξισώσεις Lagrange είναι ισοδύναμες με τις εξισώσεις του Newton Ø Θα εισάγουμε την αρχή του D Alembert

3 ΦΥΣ Διαλ.06 3 Η αρχή της ελάχιστης ενέργειας - ισορροπία q Ο Αρχιµήδης µελέτησε την ισορροπία των σωµάτων: Ø Το σύστηµα είναι σε ισορροπία όταν: m 1 L 1 = m 2 L 2 q O D Alembert εξήγησε την σχέση µε την αρχή του «δυνητικού» έργου: Ø Έστω η ράβδος υπόκειται σε µια απειροελάχιστη µετατόπιση (ο χρόνος είναι σταθερός) Ø Σε ισορροπία το απειροελάχιστο έργο - «δυνητικό έργο» που παράγεται σε µια τέτοια µετατόπιση είναι µηδέν Ø Το έργο πάνω στο -σώµα είναι: W = F q Ø Η βαρύτητα εποµένως στο 1-σώµα: W 1 = m 1 gl 1 θ και στο 2-σώµα: W 2 = m 2 gl 2 θ q Η αρχή του D Alembert λέει ότι: σε ένα σύστηµα υπάρχει ισορροπία όταν το δυνητικό έργο για οποιαδήποτε απειροελάχιστη µεταβολή µηδενίζεται W = W 1 + W 2 m 2 gl 2 θ m 1 gl 1 θ m 2 L 2 = m 1 L 1

4 ΦΥΣ Διαλ.06 4 Η αρχή της ελάχιστης ενέργειας - ισορροπία q Στο προηγούµενο παράδειγµα είχαµε 2 σώµατα που υπόκεινται σε δεσµό (πάνω στην ράβδο) q Θα µπορούσαµε να είχαµε N σώµατα τα οποία µπορούν να θεωρηθούν σαν ένα σώµα σε ένα χώρο 3Ν-διαστάσεων q Αν υπάρχουν K-δεσµοί τότε το σώµα κινείται σε ένα χώρο n=3ν-k διαστάσεων q Γενικεύοντας την αρχή του D Alembert έχουµε: q( t) = q 0 ικανοποιεί την εξίσωση: F = ma σύστηµα σε ισορροπία W = F q για όλα τα q στο χώρο n-διαστάσεων δυνητικό έργο είναι µηδέν F δεν υπάρχει δύναµη q Για συντηρητική δύναµη: F = U η τελευταία σχέση λέει: U ( q = q 0 ) Ø Έχουµε ισορροπία σε ακρότατο της δυναµικής ενέργειας Ø Αν το σηµείο αυτό παρουσιάζεται ελάχιστο έχουµε σταθερή ισορροπία

5 ΦΥΣ Διαλ.06 5 Δυνατή μετατόπιση (vrtual splacements) - Δυναµική q Υποθέστε ένα σύστημα με δεσμούς Ø Συνήθεις συντεταγμένες r (=1, N) Ø Γενικευμένες συντεταγμένες q j (j=1, n) r = n j=1 r q j + r t r 1 = r 1 (q 1,q 2,...,q n,t) r 2 = r 2 (q 1,q 2,...,q n,t)... r N = r N (q 1,q 2,...,q n,t) q Φανταστείτε ότι μετακινείτε όλα τα σημεία κατά μια στιγμιαία απειροστή μετατόπιση (ο χρόνος παραµένει σταθερός) r r + δ r q q + δq δυνατή ή δυνητική μετατόπιση q Προσοχή ότι η μετατόπιση δr πρέπει να ικανοποιεί τους δεσμούς 3N συντεταγμένες μή ανεξάρτητες δ r = j r δ q j n συντεταγμένες ανεξάρτητες

6 ΦΥΣ Διαλ.06 6 Δυνατή μετατόπιση q Από την εξίσωση κίνησης του Newton: F = "p F " p q Τμήμα της δύναμης F πρέπει να οφείλεται σε δεσμούς q Η δύναμη λόγω δεσμών f (συνήθως) F = F (a) + δεν παράγει έργο f δεδομένη δύναμη Ø Η δεδομένη δύναμη είναι «γνωστή» Ø Η μετατόπιση είναι κάθετη στην δύναμη: Ø Εξαίρεση: Τριβή αντίδραση δεσμού F a ( ) = F a ( ) r1, r 2,..., r,..., r N,t ( ) f δ r q Πέρνουμε το εσωτερικό γινόμενο F (a) + f " p με δr και αθροίζουμε ως προς

7 ΦΥΣ Διαλ.06 7 Το δυνατό έργο των δυνάμεων δεσμών είναι μηδέν q Αυτό δεν ισχύει πάντοτε, (π.χ. τριβή) αλλά περιοριζόμαστε σε συστήματα που το έργο των δυνάμεων των δεσμών κατά μια δυνατή μετατόπιση είναι μηδέν. q Θέλουμε να απαλείψουμε ουσιαστικά τις δυνάμεις των δεσμών που είναι εν γένει άγνωστες ή πολύπλοκες στον υπολογισμό q Για στερεό σώμα αυτό μπορεί r = r + δ r να δειχθεί., r j = r j + δ r Έστω μια j r j = r μικρή j + δ r μετακίνηση: j r j =r -r j r j 2 = r 2 j + 2 r j δ r j + O r r j (( δ r ) 2 ) Ίσα λόγω στερεού σώματος r j δ r j Αλλά: F j δ r j = F j δ r F j δ r j = F j δ r + F j δ r j W στο από j Για κεντρικές δυνάμεις επομένως F j δ r j W στο j από δηλαδή οι εσωτερικές δυνάμεις δεν παράγουν έργο r j δr j

8 ΦΥΣ Διαλ.06 8 Η αρχή του D Alembert a ( F ( ) "p ) δ r Η δύναμη δεσμού δεν επηρεάζει και μηδενίζεται q Η δύναμη λόγω των δεσμών μηδενίζεται επειδή f δr =0 q Καλείται ως αρχή του D Alembert (1743) q Τώρα αλλάζουμε από r 1 ος (a) r όρος = σε q F δ q j = Q j δ q j j j Q j F (a) r Γενικευμένη Δύναμη Ø H μονάδα του Q j δεν υπάρχει πάντα [Δύναμη] Ø Q j q j είναι πάντα [έργο] δ r = j r δ q j

9 ΦΥΣ Διαλ.06 9 Η αρχή του D Alembert 2 ος όρος = p " δ r = " r p δ q j = j q m "" r r δ q j j, j q Μετά από κάποιες πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι "" r r = " r r "r r q j Αλλά r " N r = "q k "r = r k=1 q k "q j Για τη 2 η παρένθεση ξέρουμε ότι: f q,t f ( j ) = q k + f k q k t r Άρα q j = 2 r "q k + 2 r k q k t = r " r Ισοδύναμο με = r = r " "" r r "q j 2 v 2 2 v 2 = j T q j T δq j q Η αρχή του D Alembert γίνεται j T mv 2 T q j T Q j δq j 2

10 ΦΥΣ Διαλ Εξισώσεις Lagrange j T q j T Q j δq j Αυτά είναι ελεύθερα q Οι γενικευμένες συντεταγμένες q j είναι ανεξάρτητες T q j T = Q j σχεδόν τελειώσαμε q Υποθέτοντας ότι οι δυνάμεις είναι συντηρητικές: F = V Q j F r = V r = V Αντικατάσταση

11 ΦΥΣ Διαλ Οι εξισώσεις Lagrange T q j (T V ) q Υποθέτοντας ότι V δεν εξαρτάται από τα q j V q j Τελικά L q j L L = T (q j, q j,t) V(q j,t) Τελειώσαμε

12 Υποθέσεις που κάναμε q Οι δεσμοί είναι ολόνομοι Ø Αυτό το υποθέτουμε πάντα ΦΥΣ Διαλ r = r (q 1,q 2,q 3,...,t) q Οι δυνάμεις δεσμών δεν παράγουν έργο Ø Αγνοoύμε τριβές f δr q Οι ενεργούσες δυνάμεις είναι συντηρητικές Ø Η εξίσωση Lagrange είναι ok αν V εξαρτάται από το χρόνο t q Το δυναμικό V ανεξάρτητο από τις γενικευμένες ταχύτητες q j Ø Το τελευταίο θα το εξετάσουμε F = V V q j

13 Παράδειγμα: Χρονικά εξαρτημένο σύστημα ΦΥΣ Διαλ q Οι συναρτήσεις μετασχηματισμού μπορεί να εξαρτώνται από το χρόνο t r = r (q j,t) Ø Το γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να κινείται π.χ. Σύστημα συντεταγμένων πάνω στη γη q Ένα παράδειγμα l+r σταθερά του ελατηρίου Κ φυσικό μήκος l γωνιακή ταχύτητα α μάζα m σε μια ράγα

14 ΦΥΣ Διαλ Παράδειγμα: Χρονικά εξαρτημένο σύστημα q Οι συναρτήσεις μετασχηματισμού: q Κινητική ενέργεια x = (l + r)cos(at) y = (l + r)sn(at) T = m { 2 x2 + y 2 } = m { 2 r 2 + (l + r) 2 a 2 } q Δυναμική ενέργεια V = K 2 r 2 q Η εξίσωση του Lagrange L = m { 2 r 2 + (l + r) 2 a 2 } K 2 r 2 L r L r = m r ma2 (l + r) + Kr

15 ΦΥΣ Διαλ Παράδειγμα: Χρονικά εξαρτημένο σύστημα L r L r = m r ma2 (l + r) + Kr m r + (K ma 2 ) r ma2 l K ma 2 Ø Αν K>mα 2, ένας αρμονικός ταλαντωτής με ω = Το κέντρο ταλάντωσης έχει μετατοπιστεί κατά Ø Αν Κ<mα 2, απομακρύνεται εκθετικά K ma2 m ma 2 l K ma 2 Ø Αν Κ= mα 2, η ταχύτητα είναι σταθερή Η κεντρομόλος δύναμη ισορροπεί με την δύναμη ελατηρίου

16 ΦΥΣ Διαλ q Η Lagrangan δεν είναι μοναδική για ένα δεδομένο σύστημα Ø Αν η Lagrangan L περιγράφει ένα σύστημα Ø Μπορεί να αποδειχθεί ότι L = L + F(q,t) δουλεύει εξ ίσου καλά για οποιαδήποτε συνάρτηση F q F q F χρησιμοποιώντας F = F q q + F t

17 ΦΥΣ Διαλ Lagrangan με U(r,t) N F (e) p q Από την αρχή του D Alembert είχαμε δει ότι: ( " ) δ r =1 N T Η οποία μετά από πράξεις βρήκαμε ότι ήταν ισοδύναμη: q j T Q j δ q j j=1 Από την σχέση αυτή για ολόνομους δεσμούς έχουμε: T q j T = Q j όπου: Q j = F r = V r = V Ø Το δυναμικό μπορεί να είναι της μορφής: επομένως V q j H (A) γίνεται: T q j T = V V = V( r,t) T V q j q j ανεξάρτητο από τις q j T V (A) L q j L Η εξίσωση Lagrange και για μη συντηρητικές δυνάμεις

18 ΦΥΣ Διαλ Δυναμικό εξαρτώμενο από την ταχύτητα q Υποθέσαμε ότι Q j = V και V q j έτσι ώστε T q j T = Q j (T V ) q j (T V ) q Θα μπορούσαμε να είχαμε κάνει το ίδιο αν μας δίνονταν Q j = U + U q j U = U(q j, q j,t) L = T (q j, q j,t) U(q j, q j,t) Γενικευμένο δυναμικό, ή δυναμικό εξαρτώμενο από ταχύτητα

19 ΦΥΣ Διαλ Δυναμικό εξαρτώμενο από την ταχύτητα Σύμφωνα με την γενική μορφή των εξισώσεων Lagrange θα έχουμε: T q j T = Q j = U + U q j Θεωρώντας και πάλι L = T (q j, q j,t) U(q j, q j,t) (T U) q j (T U) L q j L Αυτό είναι δυνατό για μια ιδιαίτερη αλλά πολύ σημαντική περίπτωση: κίνηση ενός ηλεκτρικού φορτίου μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο

20 Ηλεκτρομαγνητική δύναμη σε σωματίδιο ΦΥΣ Διαλ q Η δύναμη Lorentz σε ένα F = e E κινούμενο + ( v B) φορτισμένο σωματίδιο, e, είναι: εξαρτώμενη από ταχύτητα Ø Τα πεδία Ε και Β δίνονται E = V A από τις σχέσεις B = A t όπου το V(r,t) και Α(r,t) είναι το βαθμωτό και διανυσματικό δυναμικό Ø Μικρή παρένθεση σε Ε&M Ø Οι εξισώσεις Maxwell είναι ως γνωστό (CGS B B = 4π J + 1 E σύστημα): c c t E (1) (3) = 4πρ E = 1 B (2) (4) c t Ξέρουμε όμως ότι: A ( B C) = B ( C A) = C ( A B) Και επομένως από την (1) έχουμε: B = A( r,t) ( C) = C ( )

21 Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ΦΥΣ Διαλ Επομένως ο 4 ος νόμος του Maxwell μπορεί να γραφεί: E = 1 c B t = 1 ( A) c t = 1 c Η τελευταία εξίσωση ισχύει παντού στο χώρο. A t Στην περίπτωση αυτή το Α είναι το μαγνητοστατικό διανυσματικό δυναμικό για προβλήματα με σταθερά ρεύματα E = 4πρ = V 1 c J + 1 c B = 4π c A t = 2 V + 1 c E t ( A) = 4π c E + 1 c t J + 1 c ( A ) = 4πρ t A t Από θεωρήματα της διανυσματικού λογισμού ξέρουμε ότι υπάρχει μια βαθμωτή E + 1 A συνάρτηση V και μπορούμε να γράψουμε c t = V A Για Α ανεξάρτητο του t: E = V t οπότε q Πως παίρνουμε τα Α και V? Από τις άλλες 2 εξισώσεις Maxwell που περιέχουν τις πηγές ρ και J V 1 c A t Ηλεκτροστατικό δυναμικό

22 ΦΥΣ Διαλ Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Χρησιμοποιώντας την σχέση: A ( A) 2 A A B C Εν γένει ισχύει: B = 4π c J + 1 c t ( ) = C ( A B ) B ( A C ) έχουμε: = 2 A 1 2 A c 2 t V 1 A A c t c B = 4π J c Επομένως παίρνουμε τα Α και V συναρτήσει των πηγών J και ρ. Οι εξισώσεις είναι συζευγμένες αλλά τα πεδία Ε και Β είναι αμετάβλητα όταν τα δυναμικά αλλάζουν A A = A κάτω από ένα μετασχηματισμό βαθμίδας + Λ( r,t) V V = V 1 Λ( r,t) c t Αυτή η ευκολία οδηγεί σε χρήσιμες απλοποιήσεις για ορισμένες επιλογές του Λ (επιλογή βαθμίδας) V t Κλείσιμο της παρένθεσης σε Ε&M

23 ΦΥΣ Διαλ Ηλεκτρομαγνητική δύναμη σε σωματίδιο q Ισχυρισμός: Η χρήση του δυναμικού δίνει την δύναμη Lorentz U = ev e A v στην εξίσωση Lagrange Απόδειξη: L = T U = 1 2 mv2 ev + e A v L x = L = mv x + ea x v x L x = L v x = m v x + e A x L x V = e x + e v x A x x + v y A y x + v z A z x Από την εξίσωση του Lagrange m v x Αλλά + e A x A x + e V x e v x A = v x x x + v y L x A x x + v y A x y + v z L x A y x + v z A x z A z x + A x t παίρνουμε: Αυτό είναι ο ολικός ρυθμός μεταβολής του Α x σύμφωνα με παρατηρητή που κινείται μαζί με το φορτίο

24 ΦΥΣ Διαλ Ηλεκτρομαγνητική δύναμη σε σωματίδιο Αντικαθιστώντας έχουμε: m v x A + e v x x x + v y A x y + v z A x z + A x t + e V x e v x A x x + v y A y x + v z A z x m v x + e V x + A x t + e v y A x y A y x + v z A x z A z x E x Επομένως καταλήγουμε: m v x ( ) ee x e v A x Ανάλογα αποδεικνύεται και για τα y και z. ( A ) A z ( ) y m v x ( ) x = e E x + v B