Πνευματικός Δημήτρης, Αναπ. Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

ΔΡΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ Στρογγυλό τραπέζι Συντονιστής: Χαράλαμπος Λεμονίδης, Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας xlemon@uowm.gr ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΑ Α & Γ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ, ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΕΠΙΣΤΟΛΕΣ ΠΡΟΣ ΓΟΝΕΙΣ, ΔΙΚΤΥΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ Συμμετέχουν: Χαράλαμπος Λεμονίδης, Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας xlemon@uowm.gr Πνευματικός Δημήτρης, Αναπ. Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας dpnevmat@uowm.gr Κων/ντίνος Νικολαντωνάκης, Επίκ. Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας knikolantonakis@uowm.gr Σωτήρης Μαρκάδας, Σχολικός Σύμβουλος Π.Ε., Δρ. Διδακτικής Μαθηματικών markadas@sch.gr Σπύρος Κυριαζίδης, Α/θμια Εκπ/ση, Διευθυντής Προτ. Σχολείου Σερρών kiriazidiss@yahoo.gr ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ Συμμετέχουν: Χαράλαμπος Λεμονίδης, Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας xlemon@uowm.gr

Ελένη Τσακιρίδου, Αναπ. Καθηγήτρια, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας etsakir@uowm.gr Πνευματικός Δημήτρης, Αναπ. Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας dpnevmat@uowm.gr Δέσποινα Δεσλή, Επίκ. Καθηγήτρια, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ddesli@eled.auth.gr Γιώργος Λυγούρας, Α/θμια Εκπ/ση, Δρ. Διδακτικής Μαθηματικών geliguras@yahoo.gr ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΑ Α & Γ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ, ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΕΠΙΣΤΟΛΕΣ ΠΡΟΣ ΓΟΝΕΙΣ, ΔΙΚΤΥΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ Χαράλαμπος Λεμονίδης Η ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΡΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ Η επιστημονική σχολή για τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης της Φλώρινας του Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας φέρει την επωνυμία «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής». Τις τελευταίες δύο δεκαετίες εργάζεται υπό την καθοδήγηση του καθηγητή Χαράλαμπου Λεμονίδη για τον εκσυγχρονισμό της διδασκαλίας των Μαθηματικών και αποτελείται από μια ομάδα επιστημόνων, μαθηματικών, δασκάλων και μεταπτυχιακών φοιτητών. Η αντίληψή της για τα μαθηματικά βασίζεται στη σύνδεση της διδασκαλίας τους με την καθημερινή ζωή και τη φύση. Κάποια από τα σημαντικά έργα της σχολής αυτής τα οποία θα παρουσιαστούν από τους συναδέλφους παρακάτω εκτενέστερα είναι: - Τα σχολικά βιβλία μαθηματικών της Α και Γ τάξης, που εκδόθηκαν από το υπουργείο Παιδείας και διδάσκονται σε εθνικό επίπεδο.

- Ο διαγωνισμός των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής για μαθητές Ε και Στ τάξης του Δημοτικού Σχολείου που πραγματοποιείται κυρίως στην περιοχή της Δυτικής Μακεδονίας. - Το δίκτυο εκπαιδευτικών των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής - Το εναλλακτικό βιβλίο της Β τάξης Δημοτικού και ο θεσμός των επιστολών προς γονείς και εκπαιδευτικούς Οι βασικές θεωρητικές αντιλήψεις και αρχές της σχολής αυτής για τη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών είναι οι εξής: Καθετοποίηση: κίνηση από τη θεωρία στην πράξη και αντίστροφα Μπορώ να πω ότι ο χώρος αφετηρίας μας είναι η πράξη, δηλαδή η διδασκαλία στην τάξη, το εκπαιδευτικό υλικό, τα προγράμματα σπουδών και η επιμόρφωση των εκπαιδευτικών. Κίνητρό μας για δράση ήταν και είναι ο εκσυγχρονισμός της Ελληνικής εκπαίδευσης στον τομέα της διδασκαλίας των μαθηματικών. Προσπαθούμε οι έρευνές μας να έχουν κάθετη μορφή να κινούνται από τη θεωρία στην πράξη, η διδασκαλία στην τάξη και το εκπαιδευτικό υλικό να αντανακλούν τη θεωρία και η θεωρία να είναι εφαρμόσιμη και να αναπτύσσει την πράξη και τα υλικά. Πιστεύω ότι η διδακτική των μαθηματικών είναι μια εμπειρική επιστήμη όπως η ιατρική και επιβεβαιώνεται και έχει λόγο ύπαρξης από τα αποτελέσματα που έχει στην πράξη, από την ίαση που προσφέρει στο άτομο και κατ επέκταση στην κοινωνία. Σύνδεση των μαθηματικών του σχολείου με την καθημερινή ζωή, τον πολιτισμό και την ιστορία Προσπαθούμε να αμβλύνουμε το χάσμα μεταξύ των μαθηματικών του σχολείου και της καθημερινής ζωής. Η καθημερινή πράξη και ζωή αντανακλάται στις εμπειρίες, την προϋπάρχουσα γνώση και τις αντιλήψεις του εκπαιδευόμενου, αλλά και στην τέχνη, τον πολιτισμό και την ιστορία. Θέλουμε τα μαθηματικά να είναι ευχάριστα, ενδιαφέροντα και χρήσιμα για τους μαθητές. Στο εκπαιδευτικό υλικό που κατασκευάσαμε δίνεται λοιπόν μεγάλη σημασία στο περιεχόμενο των καταστάσεων και των προβλημάτων με τα οποία διδάσκονται τα μαθηματικά. Επιδιώκεται αυτό το περιεχόμενο να είναι οικείο και ευχάριστο στους μαθητές και να τους δημιουργεί τη διάθεση να ασχοληθούν με τα μαθηματικά. Ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός παράδειγμα εφαρμογής με την ιστορία Είναι γνωστοί σήμερα κάποιοι ιστορικοί αλγόριθμοι του πολλαπλασιασμού οι οποίοι χρησιμοποιούνται και στη διδασκαλία, όπως ο Αιγυπτιακός αλγόριθμος (περίπου το 1650 π.χ.) και η παραλλαγή του, ο πολλαπλασιασμός των Ρώσων χωρικών στις αρχές του 20 ου αιώνα, ο πολλαπλασιασμός των Αράβων στις αρχές του 9 ου αιώνα. Ερευνήσαμε ιστορικά και διδακτικά (Λεμονίδης, Νικολαντονάκης, 2007) τον ιστορικό αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού που χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Ευτόκιο γύρω στον 5 ο αιώνα μ.χ. Ο αλγόριθμος αυτός του πολλαπλασιασμού που τον ονομάζουμε «Ελληνικό πολλαπλασιασμό» εκτός από την

ιστορική του σημασία, είναι πολύ σημαντικός και από εκπαιδευτική άποψη. Ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός χρησιμοποιείται στα καινούργια σχολικά βιβλία των Μαθηματικών της Γ τάξης, στα πλαίσια της προετοιμασίας των μαθητών για την εισαγωγή τους στον κλασικό αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού. Ταυτόχρονα, είναι μια μέθοδος χρήσιμη για τη διδασκαλία γιατί αποκαλύπτει και εξηγεί στους μαθητές ιδιότητες του κλασικού αλγορίθμου του πολλαπλασιασμού που δεν είναι τόσο προφανείς για αυτούς. Κάποια πεδία έρευνας και εκπαιδευτικής εφαρμογής Μάθηση των πρώτων αριθμητικών εννοιών. Αρχική μάθηση αριθμών και πράξεων. Χ. Λεμονίδης (1994). Περίπατος στη Μάθηση της Στοιχειώδους Αριθμητικής. Εκδόσεις Αδελφών Κυριακίδη, Θεσ/νίκη, σελ. 240. Χ. Λεμονίδης (2003). Μια νέα πρόταση διδασκαλίας των Μαθηματικών στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Εκδόσεις Πατάκη. Αθήνα, σελ. 235. Νοεροί και κατ εκτίμηση υπολογισμοί με ακέραιους και ρητούς αριθμούς. Χ. Λεμονίδης (2013). Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής. Νοεροί υπολογισμοί. Λογαρέζω με το τσιμίδι μ. Εκδόσεις Ζυγός. Θεσσαλονίκη, σελ. 440. Εκπαίδευση εκπαιδευτικών: Έρευνες και εφαρμογές σε μελλοντικούς και ενεργεία εκπαιδευτικούς Χ. Λεμονίδης (2000). Στοιχεία Αριθμητικής και θεωρίας Αριθμών για το δάσκαλο. Εκδόσεις Πατάκη. Αθήνα, σελ. 195. Εκπαίδευση ενηλίκων, Σχολεία Δεύτερης Ευκαιρίας Χ. Λεμονίδης (2002). Αριθμητισμός ή Μαθηματικός Γραμματισμός. Κείμενο Προδιαγραφών για τα Σχολεία Δεύτερης Ευκαιρίας. Έκδοση του Ινστιτούτου Διαρκούς Εκπαίδευσης Ενηλίκων (Ι.Δ.Ε.Κ.Ε.). Χ. Λεμονίδης, Π. Μαραβελάκης (2013). Αναβάθμιση προδιαγραφών του γραμματισμού των Μαθηματικών για τα Σχολεία Δεύτερης Ευκαιρίας. Έκδοση του Ιδρύματος Νεολαίας και Διαβίου Μάθησης (Ι.ΝΕ.ΔΙ.ΒΙ.Μ).

Πνευματικός Δημήτρης ΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΑ ΤΗΣ Α ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΊΟΥ Τα «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής» έχουν επιλεγεί ως διδακτικά εγχειρίδια για τις Α και Γ τάξεις του Δημοτικού σχολείου. Το όνομά τους υποδηλώνει την έμφαση που δίνεται στην σύνδεσή τους με προβλήματα της καθημερινής ζωής των παιδιών από τον χώρο της φύσης, του πολιτισμού, της ιστορίας των μαθηματικών κ.ά., προκειμένου οι μαθητές να αναγνωρίσουν την αξία των μαθηματικών στην καθημερινή τους ζωή και να κινητοποιηθούν προς την μάθησή τους. Πρόκειται για μια προσπάθεια η οποία εντάσσεται στις καινοτόμες προτάσεις για τη μαθηματική εκπαίδευση όπως τα Standards 2000 στην Αμερική, το πρόγραμμα Numeracy στην Αγγλία, τα ρεαλιστικά μαθηματικά της Ολλανδίας, τα καθημερινά μαθηματικά (Everyday Mathematics) στο πανεπιστήμιο του Chicago, κ.ά. Ωστόσο, οι ιδέες αυτές δεν μεταφέρθηκαν αβίαστα στην ελληνική πραγματικότητα. Προηγήθηκε μια σειρά ερευνών που οδήγησαν σε συμπαγή συμπεράσματα για την μάθηση των μαθηματικών στην ελληνική εκπαίδευση και πολύχρονη πειραματική εφαρμογή αυτών των ιδεών στα πειραματικά σχολεία της Φλώρινας για δέκα περίπου χρόνια. Τα «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής» αξιοποιούν τις πρόσφατες ψυχολογικές και παιδαγωγικές θεωρήσεις για την μάθηση των Μαθηματικών. Οι μαθητές έρχονται αντιμέτωποι με προσεκτικά επιλεγμένες καταστάσεις οι οποίες πλαισιώνουν τη μαθηματική γνώση και μέσα από μια καθοδηγούμενη από τον εκπαιδευτικό διαδικασία να ανακαλύψουν εκ νέου την μαθηματική γνώση, να ανακαλύψουν εκ νέου τις σχέσεις των μαθηματικών. Η διαδικασία της ανακάλυψης της μαθηματικής γνώσης καθίσταται έτσι ένα κυρίαρχο χαρακτηριστικό της μάθησης και απαιτεί την πλαισίωσή της με συγκεκριμένες καταστάσεις ζωής. Οι λύσεις που δίνονται στις καταστάσεις αυτές στη συνέχεια αποπλαισιώνονται με στόχο την αφαιρετική τους μοντελοποίηση και εφαρμογή τους σε διαφορετικά πλαίσια. Οι προϋπάρχουσες μαθηματικές γνώσεις των μαθηματικών αξιοποιούνται στο έπακρο και οι νέες οικοδομούνται προοδευτικά πάνω στις προηγούμενες. Οι δυσκολίες, που ενδεχομένως να αντιμετωπίζουν οι μαθητές σε κάθε τους βήμα, λαμβάνονται σοβαρά υπόψη από τον τρόπο διάρθρωσης και παρουσίασης της ύλης. Ιδιαίτερη σημασία αποδίδεται στις μεταγνωστικές εμπειρίες και διαδικασίες που ακολουθούν οι μαθητές στην προσπάθειά τους να αποκτήσουν την μαθηματική γνώση. Ωστόσο, αρκετές είναι και οι αδυναμίες των διδακτικών αυτών εγχειριδίων. Πολλές από αυτές οφείλονται στη διάρθρωση του αναλυτικού προγράμματος, άλλες από αυτές στις τεχνικές προδιαγραφές. Πολλά ζητήματα επίσης σχετίζονται με την αδυναμία ορισμένων εκπαιδευτικών να ακολουθήσουν την προτεινόμενη διαδικασία. Αρκετά ζητήματα προέκυψαν επίσης και από την προσπάθειά μας να υπάρξει συνέχεια μεταξύ τω νέων και των παλαιών προγραμμάτων. Τέλος, θα πρέπει να

αναγνωρίσουμε και κάποιες αστοχίες από μέρους των συγγραφέων. Παρ όλες τις αδυναμίες, ωστόσο, τα «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής» αποτέλεσαν μια σημαντική καινοτομία στην μαθηματική εκπαίδευση, αγκαλιάστηκαν από τους εκπαιδευτικούς και αξιολογήθηκαν θετικά. Σίγουρα, η αναθεώρησής τους σε συνδυασμό με αναθεώρηση των αναλυτικών προγραμμάτων θα μπορούσε να βελτιώσει πολλές από τις υπάρχουσες καταγεγραμμένες αδυναμίες. Κων/ντίνος Νικολαντωνάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ» Ο Μαθηματικός Διαγωνισμός «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής» απευθύνεται σε μαθητές Ε και ΣΤ Τάξεων των Δημοτικών σχολείων της Περιφέρειας της Δυτικής Μακεδονίας. Λαμβάνει χώρα από το 2005 κάθε χρόνο υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας σε συνεργασία με την Περιφερειακή Διεύθυνση Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης καθώς και με όλα τα στελέχη της Εκπαίδευσης στους 4 Νομούς της Περιφέρειας καθώς και τους τοπικούς συλλόγους εκπαιδευτικών Πρωτοβάθμιας. Στόχος είναι να καλλιεργήσουμε στους μαθητές του Δημοτικού Σχολείου το ενδιαφέρον τους να ασχοληθούν περισσότερο με τα μαθηματικά και να αναπτύξουν μια θετική στάση απέναντι σε αυτά. Ο διαγωνισμός αυτός στοχεύει να αναπτύξει την ευγενή άμιλλα μεταξύ των παιδιών, να δώσει την ευκαιρία σε όλους να προβληματιστούν και να χρησιμοποιήσουν τη λογική των μαθηματικών με ιδιαίτερη εστίαση στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Υπό αυτό το πρίσμα τα θέματα του διαγωνισμού δεν είναι προσκολλημένα στη διδασκόμενη ύλη και δίνουν την ευκαιρία στους μαθητές να αναπτύξουν την κριτική τους σκέψη. Τα περιεχόμενα των προβλημάτων είναι προσαρμοσμένα στη λογική των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής, δηλαδή αναφέρονται σε εμπειρικές καταστάσεις, οικείες και ενδιαφέρουσες για τα παιδιά. Τα προβλήματα είναι αναρτημένα σε μόνιμη βάση στην ιστοσελίδα μας και περιλαμβάνουν θέματα από τις περιοχές της Αριθμητικής και της Γεωμετρίας αλλά και από τα ρεαλιστικά μαθηματικά, τους νοερούς υπολογισμούς, την ιστορία των αριθμητικών συστημάτων κ.ά. Κάθε έτος ο διαγωνισμός είναι αφιερωμένος σε έναν/μία σημαντικό/ή Μαθηματικό για τον/την οποίο/α δημιουργείται ένα φυλλάδιο (συνήθως 16 σελίδων) αφιερωμένο σε αυτόν/ήν το οποίο διανέμεται δωρεάν στους μαθητές και μαθήτριες που συμμετείχαν στον Διαγωνισμό. Η δράση δημιουργίας και παραγωγής του φυλλαδίου στηρίζεται οικονομικά από Τοπικούς φορείς της Αυτοδιοίκησης. Μέχρι σήμερα έχουμε αφιερώσει τον Διαγωνισμό στον Μεθόδιο Μετοχίτη, τον Πυθαγόρα, την Υπατία, τον Ευκλείδη. Ο Διαγωνισμός υποβοηθιέται από το 2005 από την παράλληλη ανάπτυξη στην ιστοσελίδα των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής της δράσης το Πρόβλημα της εβδομάδας. Ο κάθε εκπαιδευτικός μπορεί να κάνει χρήση των

προβλημάτων που αναρτώνται καθώς και εκείνων που έχουν αναρτηθεί στο παρελθόν. Μια εβδομάδα μετά αναρτάται η λύση του προβλήματος. Με αυτό τον τρόπο δημιουργήθηκε μια σημαντικής έκτασης και ποικιλίας βάση μαθηματικών προβλημάτων. Σε αυτό το πλαίσιο οι εκπαιδευτικοί μπορούν να ενθέσουν δημιουργικά την επίλυση μαθηματικού προβλήματος στην καθημερινή ενασχόληση στο πλαίσιο των μαθημάτων τους. Μέχρι σήμερα έχουν συμμετέχει στους 9 διαγωνισμούς περισσότεροι από 6.000 μαθητές και μαθήτριες κυρίως από την Περιφέρεια Δυτικής Μακεδονίας. Σε αυτό το σημείο είναι σημαντικό να σημειώσουμε ότι τα τελευταία 3 χρόνια συμμετέχουν και μαθητές/τριες από Δημοτικά σχολεία της Θεσσαλονίκης, τις Σέρρες, τη Δράμα κ.ά. μέσω τοπικών συνεργατών με μέλη της Ομάδας των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής. Σε τοπικό επίπεδο σε πόλεις της Περιφέρειά μας μικρό χρονικό διάστημα μετά τον Διαγωνισμό γίνεται βράβευση όλων των μαθητών και μαθητριών που συμμετείχαν σε αυτόν, εκδήλωση η οποία διοργανώνεται από τους συλλόγους εκπαιδευτικών και τοπικούς φορείς. Σωτήρης Μαρκάδας ΤΟ ΔΥΚΤΙΟ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ. ΕΞ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΣΤΟΥΣ ΝΟΕΡΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ. Πριν από τέσσερα χρόνια, στο Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Φλώρινας και από την επιστημονική ομάδα των «Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής» του καθηγητή κ. Χαράλαμπου Λεμονίδη, δημιουργήθηκε ένα Δίκτυο εν ενεργεία εκπαιδευτικών με σκοπό την εφαρμογή αποτελεσμάτων των ερευνών για τη Διδακτική των Μαθηματικών στην εκπαιδευτική πράξη. Με αυτό τον τρόπο τα «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής», που αποτελούν πλέον μια σχολή διδακτικής Μαθηματικών στην ελληνική εκπαιδευτική πραγματικότητα, εγκαινίασαν έναν δίαυλο επικοινωνίας, συνεργασίας και ανατροφοδότησης για θέματα μάθησης και διδασκαλίας των Μαθηματικών. Η δράση αυτή απέβλεπε στην ενημέρωση και τροφοδότηση των εκπαιδευτικών με υλικό και πορίσματα ερευνών, στην επιμόρφωση σε σύγχρονα θέματα και στη δοκιμή νέων καινοτόμων προτάσεων διδασκαλίας. Το Δίκτυο βασίστηκε στην αξιοποίηση του Διαδικτύου και των ηλεκτρονικών μορφών επικοινωνίας. Οι εκπαιδευτικοί που επιθυμούσαν εγγράφονταν ως χρήστες στην ιστοσελίδα των «Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής» και μπορούσαν να συμμετέχουν στις συζητήσεις ενός φόρουμ και σε επιμορφωτικές δράσεις εξ αποστάσεως. Η επιμόρφωση στους νοερούς υπολογισμούς περιελάμβανε την αποστολή και μελέτη, από τους εκπαιδευτικούς που συμμετείχαν, κειμένων που διασαφήνιζαν τους όρους νοεροί υπολογισμοί και κατ εκτίμηση υπολογισμοί, κειμένων για τη χρήση της αριθμογραμμής και της κενής αριθμητικής γραμμής, για τους γραπτούς

αλγόριθμους των πράξεων καθώς και για τις στρατηγικές πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης. Δόθηκε στους συμμετέχοντες εκπαιδευτικούς ένα αρχικό, εισαγωγικό τεστ μαθηματικών πράξεων για τους μαθητές-τριες της τάξης τους, έτσι ώστε να διαπιστωθεί το επίπεδο των μαθηματικών ικανοτήτων τους και της μαθηματικής σκέψης τους. Στο τεστ αυτό ζητήθηκε από τους μαθητές-τριες να υπολογίσουν με το μυαλό και να γράψουν, όχι μόνο τα αποτελέσματα των μαθηματικών πράξεων (π.χ. της πρόσθεσης 19 + 6, της αφαίρεσης 80-28, του πολλαπλασιασμού 8x25, της διαίρεσης 48 : 4), αλλά και τον τρόπο που σκέφτηκαν. Οι εκπαιδευτικοί σημείωναν σε πρωτόκολλο καταγραφής τον αριθμό των σωστών απαντήσεων, τον αριθμό των μαθητών που κατέγραψαν τη στρατηγική τους και ποια από τις στρατηγικές αξιοποίησαν. Η διδακτική παρέμβαση που ακολούθησε είχε να κάνει με τη διδασκαλία στρατηγικών νοερών υπολογισμών και συγκεκριμένα την εξάσκηση των μαθητώντριών στις στρατηγικές πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης. Συνήθως διδάσκονταν μια στρατηγική κάθε εβδομάδα. Οι μαθητές-τριες και οι δάσκαλοι ονόμαζαν τις διάφορες στρατηγικές με ονόματα, για να τους είναι οικείες, να μπορούν να τις διαχωρίζουν και να συζητούν για αυτές. Στην Α τάξη διδάχτηκε η χρήση της αριθμογραμμής και της κενής αριθμητικής γραμμής, πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης πάνω στην αριθμογραμμή και η στρατηγική υπέρβαση της δεκάδας. Στη Β τάξη, εκτός των παραπάνω, διδάχτηκε η στρατηγική διαχωρισμού, η στρατηγική συσσώρευσης, ολιστικές στρατηγικές και στρατηγικές της προπαίδειας. Στην Γ τάξη, οι δάσκαλοι-ες που συμμετείχαν δίδαξαν όσον αφορά την πρόσθεση και την αφαίρεση τις στρατηγικές του διαχωρισμού, της συσσώρευσης, ολιστικές στρατηγικές, στρατηγικές προπαίδειας και στρατηγικές με πολλαπλασιασμούς διψήφιων αριθμών. Στη Δ τάξη διδάχτηκε ότι και στην προηγούμενη τάξη και έγινε εξάσκηση και σε στρατηγικές με δεκαδικούς αριθμούς. Στην Ε και ΣΤ τάξη οι μαθητές-τριες διδάχτηκαν, εκτός όλων των παραπάνω, και στρατηγικές με κλάσματα, δεκαδικούς και ποσοστά. Αφού ολοκληρώθηκε η διδακτική παρέμβαση επιδόθηκε ξανά το ίδιο τεστ που είχε δοθεί πριν ξεκινήσει, έτσι ώστε να διακριβωθεί αν υπήρξε αλλαγή στην συμπεριφορά των μαθητών. Αν συνήθισαν να γράφουν πως υπολογίζουν τις πράξεις. Αν ανέπτυξαν ευελιξία κατά τον υπολογισμό των πράξεων. Αν γνώριζαν τις διάφορες στρατηγικές και αν επέλεγαν την πιο κατάλληλη για τον υπολογισμό μιας πράξης σύμφωνα με τα αριθμητικά της δεδομένα. Η αντιπαραβολή των στοιχείων, πριν και μετά τη διδακτική παρέμβαση, ανέδειξε τη θετική επίδραση της διδασκαλίας των στρατηγικών κατά τους νοερούς υπολογισμούς. Οι μαθητές-τριες μπορούσαν πλέον να χρησιμοποιήσουν περισσότερες στρατηγικές κατά τη νοερή επίλυση πράξεων, βελτιώνοντας τις δεξιότητες τους και αυξάνοντας τη μαθηματική ικανότητα τους. Ταυτόχρονα η προσπάθεια αυτή ανέδειξε τις δυνατότητες συνεργασίας και επιμόρφωσης μέσω του

Διαδικτύου, αλλά και τα προβλήματα που πολλές φορές αναφύονται από λανθασμένες εφαρμογές οδηγιών που δεν δίνονται δια ζώσης. Ο ορισμός της λέξης δίκτυο είναι μια οργανωμένη ομάδα προσώπων και μέσων που συνδέονται για την επίτευξη κοινών στόχων. Το Δίκτυο των «Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής», μια μικρή επιστημονική διαδικτυακή κοινότητα, συνέβαλε μέσω των τεχνολογιών της Πληροφορίας και Επικοινωνίας στην επίτευξη ενός διττού στόχου: στην επιμόρφωση των εκπαιδευτικών και στην βελτίωση μαθηματικών ικανοτήτων μαθητών-τριών. Σπύρος Κυριαζίδης ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Β ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. Ο ΘΕΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΟΛΩΝ ΠΡΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΓΟΝΕΙΣ Στο Πρότυπο Πειραματικό Δημοτικό Σχολείο Σερρών εφαρμόστηκε τα δύο τελευταία διδακτικά έτη η διδασκαλία του βιβλίου στα Μαθηματικά της Β τάξης του Δημοτικού σχολείου «Μαθηματικά της φύσης και της ζωής» του Χ. Λεμονίδη αντί του επίσημου σχολικού εγχειριδίου σύμφωνα με το νόμο 3966 που διέπει τη λειτουργία των Προτύπων Πειραματικών Σχολείων και δίνει το δικαίωμα στο επιστημονικό εποπτικό συμβούλιο κάθε Προτύπου Πειραματικού Σχολείου να πραγματοποιεί τροποποιήσεις που αφορούν το αναλυτικό και ωρολόγιο πρόγραμμα του σχολείου. Οι στόχοι του βιβλίου είναι να φέρει τον μαθητή αντιμέτωπο με ερωτήματα και προβλήματα μέσα από το φυσικό του περιβάλλον και την καθημερινή του ζωή δίνοντας έμφαση στον πολιτισμό και τις διάφορες μορφές του. Το βιβλίο βασίζεται στις προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών και οικοδομεί τη νέα πάνω σ αυτές. Θεωρεί ότι τα μαθηματικά πρέπει να συνδεθούν με την πραγματικότητα, να μείνουν κοντά στην εμπειρία των παιδιών και να είναι σε άμεση σχέση με την κοινωνία. Κατά την άποψή μας ένα από τα μεγάλα πλεονεκτήματα του βιβλίου είναι ο περιορισμός της ποσότητας της ύλης. Για τη διδασκαλία μιας έννοιας σε κάθε μάθημα δίνονται λιγότερες ασκήσεις. Αυτό συνεπάγεται επάρκεια χρόνου, γεγονός που εξασφαλίζει στους μαθητές και στον δάσκαλο ένα περιβάλλον ηρεμίας διευκολύνοντας τη μάθηση. Από την εφαρμογή του βιβλίου στην τάξη προέκυψε ότι είναι ένα βιβλίο που απευθύνεται σε όλους τους μαθητές και όχι μόνο στους ικανότερους. Το νέο βιβλίο δίνει έμφαση στους νοερούς και στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς κι αυτό γιατί χρησιμοποιούνται πολύ στην καθημερινή ζωή περισσότερο μάλιστα και από τους γραπτούς. Η σημασία που δίνει επίσης στη μεταγνωστική διαδικασία δηλαδή στον σχεδιασμό, έλεγχο και εκτίμηση της διαδικασίας της σκέψης έδωσε στους μαθητές ποικιλία μεταγνωστικών στρατηγικών και τους βοήθησε να διαμορφώσουν ενεργητική στάση στην επίλυση προβλημάτων.

Επίσης σε συνεργασία με το εργαστήριο των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής του Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας ξεκίνησε ο θεσμός της Επιστολής προς τους εκπαιδευτικούς και γονείς με στόχο την ενημέρωση των εκπαιδευτικών και γονέων σε σύγχρονα και χρήσιμα θέματα της εκπαίδευσης των μαθηματικών. Σκοπός των επιστολών είναι η σύνδεση της πανεπιστημιακής έρευνα με την εκπαιδευτική πράξη και με απλό και κατανοητό τρόπο η ενημέρωση των εκπαιδευτικών και των γονέων με τελικό στόχο τον εκσυγχρονισμό και βελτίωση της μαθηματικής εκπαίδευσης των εκπαιδευτικών και των μαθητών. Οι επιστολές είναι απλά γραμμένες, εκλαϊκευμένες σύντομες και με λεζάντες και αναφέρονται σε κομβικά θέματα της διδασκαλίας των μαθηματικών. Περιέχουν οδηγίες προς τους γονείς και τους εκπαιδευτικούς σε γνωστικούς τομείς των Μαθηματικών όπως οι νοεροί υπολογισμοί και ο ελληνικός πολλαπλασιασμός. Περιέχουν παραδείγματα, ορισμούς και εξηγείται με απλό και κατανοητό τρόπο η χρησιμότητά τους στην καθημερινή ζωή και ο λόγος για τον οποίο περιέχονται στα εγχειρίδια των μαθηματικών αλλά και τρόποι με τους οποίους μπορούμε να προσεγγίσουμε το θέμα που διαπραγματεύονται στην τάξη. Επίσης οδηγίες για το τι πρέπει και τι δεν πρέπει να κάνουν οι γονείς στο σπίτι. Η πρώτη επιστολή προς εκπαιδευτικούς και γονείς τυπώθηκε και διανεμήθηκε σε σχολεία του Ν. Σερρών, Φλώρινας και Θεσσαλονίκης. Επίσης δημοσιεύτηκε στην ιστοσελίδα του ΠΤΔΕ Δυτικής Μακεδονίας και του Προτύπου Πειραματικού Δημοτικού Σχολείου Σερρών. ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ Χαράλαμπος Λεμονίδης ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΝΟΕΡΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Χ. ΛΕΜΟΝΙΔΗ (2013) Το βιβλίο με τίτλο Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής. Νοεροί υπολογισμοί. Λογαρέζω με το τσιμίδι μ, του Χ. Λεμονίδη (2013) αναφέρεται στο θέμα των νοερών υπολογισμών και της εκτίμησης. Οι νοεροί υπολογισμοί και οι εκτιμήσεις αποτέλεσαν ένα πεδίο έρευνας με το οποίο ασχοληθήκαμε τα τελευταία χρόνια μέσα στα πλαίσια της ομάδας των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής. Μερικά από τα ερωτήματα στα οποία επιχειρεί να απαντήσει είναι: Πώς ορίζονται οι νοεροί και κατ εκτίμηση υπολογισμοί, γιατί είναι σημαντικοί και με ποιες άλλες μαθηματικές έννοιες και γνωστικές συμπεριφορές σχετίζονται; Ποιες είναι οι στρατηγικές που χρησιμοποιούνται στις νοερές προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις με φυσικούς και ρητούς αριθμούς; Πώς μαθαίνεται η προπαίδεια και ποια είναι τα γνωστικά χαρακτηριστικά

της; Ποιες είναι οι σύγχρονες τάσεις για τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών και της εκτίμησης; Πώς εξελίχθηκε ιστορικά η διδασκαλία των νοερών υπολογισμών και της εκτίμησης στην ελληνική εκπαίδευση; Πώς μαθαίνουν τους νοερούς υπολογισμούς και ποιες αδυναμίες παρουσιάζουν οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες και δυσκολίες στα μαθηματικά; Πώς λειτουργεί η μνήμη και σε ποια σημεία του εγκεφάλου γίνεται η λειτουργία των διεργασιών που σχετίζονται με τους νοερούς υπολογισμούς; Τα περιεχόμενα του βιβλίου εμπλουτίζονται με πολλές εμπειρικές έρευνες της σχολής των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής, οι οποίες αναδεικνύουν τις συμπεριφορές Ελλήνων μαθητών στα παραπάνω θέματα. Στο δεύτερο κεφάλαιο του βιβλίου αυτού που είναι αφιερωμένο στις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις στην ενότητα 2.4. συμπεριλαμβάνονται οι έρευνες της σχολής των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής για νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις μεταξύ διψήφιων και πολυψήφιων αριθμών από ένα πρόγραμμα εξ αποστάσεως επιμόρφωσης δασκάλων και πειραματικής εφαρμογής σε όλες τις τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Τα αποτελέσματα της έρευνας αυτής δείχνουν ότι πρώτον, σε όλες τις τάξεις του Δημοτικού Σχολείου η κυρίαρχη στρατηγική, δηλαδή αυτή που χρησιμοποιείται σε μεγαλύτερα ποσοστά από τους μαθητές, είναι η στρατηγική του διαχωρισμού (1010). Σύμφωνα με αυτήν την στρατηγική διαχωρίζονται οι όροι της πράξης σε μονάδες και δεκάδες και προσθέτονται ή αφαιρούνται χωριστά. Η στρατηγική αυτή του διαχωρισμού μοιάζει αρκετά με τον γραπτό αλγόριθμο. Επιπλέον, κάθε φορά ένα αρκετά μεγάλο ποσοστό μαθητών χρησιμοποιεί νοερά τον γραπτό αλγόριθμο. Αυτό δείχνει ότι στο Ελληνικό σχολείο κυριαρχεί στη συμπεριφορά των μαθητών ο γραπτός αλγόριθμος των πράξεων. Δεύτερον, μια άλλη γενική παρατήρηση για όλες τις τάξεις του Δημοτικού Σχολείου είναι ότι οι μαθητές δεν ξέρουν να χρησιμοποιούν τις ολιστικές στρατηγικές, πολύ μικρά ποσοστά μαθητών χρησιμοποιούν τις στρατηγικές αυτές. Επιπλέον, η διδακτική παρέμβαση δεν αλλάζει αυτή τη συμπεριφορά και οι μαθητές συνεχίζουν να μην χρησιμοποιούν τις ολιστικές στρατηγικές. Επομένως, για μια αλλαγή στην συμπεριφορά των Ελλήνων μαθητών ως προς το θέμα της ευελιξίας, θα πρέπει ίσως να γίνουν αλλαγές ως προς δύο βασικά σημεία. Πρώτον, η διδασκαλία των νοερών υπολογισμών σύμφωνα με τη λογική της ευελιξίας να γίνει από πολύ νωρίς. Δεύτερον, είναι απαραίτητη η επιμόρφωση των εκπαιδευτικών σχετικά με τον τρόπο διδασκαλίας των νοερών υπολογισμών, με στόχο την ευελιξία των μαθητών στη χρήση των στρατηγικών. Στο τέταρτο κεφάλαιο που αναφέρεται στο θέμα των νοερών πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων στην ενότητα 4.3 παρουσιάζονται αποτελέσματα μαθητών του Δημοτικού και του Γυμνασίου σε νοερούς υπολογισμούς με πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις. Τα αποτελέσματα των ερευνών σε Έλληνες και Κύπριους μαθητές Γυμνασίου σε πολυψήφιους νοερούς πολλαπλασιασμούς δείχνουν ότι αυτοί για να υπολογίσουν καταφεύγουν κυρίως στο γραπτό αλγόριθμο και δεν γνωρίζουν τις ολιστικές στρατηγικές των νοερών υπολογισμών. Είναι μη ευέλικτοι

και δεν διαθέτουν ένα ευρύ ρεπερτόριο στρατηγικών, αλλά χρησιμοποιούν κυρίως την τεχνική του γραπτού αλγόριθμου στην οποία κάνουν πολλά λάθη. Στο πέμπτο κεφάλαιο αναπτύσσεται το θέμα των νοερών υπολογισμών με ρητούς αριθμούς. Στην ενότητα 5.4 παρουσιάζονται αποτελέσματα από μια έρευνα πραγματοποιήθηκε το 2011 σε ένα δείγμα 462 «επίλεκτων» μαθητών της Ε και Στ τάξης που έλαβαν μέρος στον 7ο Διαγωνισμό των «Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής». Τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την έρευνα αυτή είναι τα εξής: Η μεγάλη πλειοψηφία των λύσεων που προτείνουν οι μαθητές για τους νοερούς υπολογισμούς αποτελούν εφαρμογή των τυπικών γραπτών αλγόριθμων που έχουν διδαχθεί στο σχολείο, γεγονός που οδηγεί στο συμπέρασμα ότι οι στρατηγικές νοερών υπολογισμών δεν διδάσκονται στο σχολείο. Από την κατηγοριοποίηση των λαθών προκύπτει ότι αυτά έχουν ως αιτία το γεγονός ότι οι μαθητές δεν έχουν αναπτύξει μια διαισθητική γνώση και κατανόηση του ρητού αριθμού αλλά κάνουν λάθη στην προσπάθειά τους να εφαρμόσουν ένα γραπτό αλγόριθμο του οποίου δεν κατανοούν το νόημα και τη λειτουργία. Στην πλειονότητά τους οι μαθητές, παρά το γεγονός ότι οι εκφωνήσεις των ασκήσεων το ζητούσαν ρητά, δεν εξηγούσαν γραπτά τον τρόπο σκέψης τους, γεγονός που ίσως δηλώνει πως μια τέτοια πρακτική δεν αποτελεί μέρος της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Οι μαθητές, δηλαδή δεν ήταν εξοικειωμένοι με κάτι τέτοιο. Το έκτο κεφάλαιο το οποίο αναφέρεται στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς στην ενότητα 6.5 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα δύο ερευνών στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς, η πρώτη έρευνα πραγματοποιήθηκε σε υποψήφιους δασκάλους και η δεύτερη σε μαθητές της Ε και Στ τάξης του Δημοτικού. Τα συμπεράσματα της έρευνας σε μαθητές της Ε και Στ τάξης του Δημοτικού έδειξαν ότι οι περισσότεροι μαθητές υπολογίζουν τα προβλήματα κατ εκτίμηση υπολογισμού με ακριβή υπολογισμό. Δεν γνωρίζουν κάποιες ειδικές στρατηγικές κατ εκτίμηση υπολογισμού όπως είναι αυτές των ειδικών αριθμών, η στρατηγική στρογγυλοποίησης με αντιστάθμιση και η στρατηγική εμπρόσθιου άκρου. Τα λάθη των μαθητών επίσης δείχνουν την προσκόλλησή τους στους γραπτούς αλγορίθμους τους οποίους προσπαθώντας να εκτελέσουν νοερά τους εκτελούν λανθασμένα. Φαίνεται επίσης ότι αρκετοί μαθητές στην προσπάθειά τους να πραγματοποιήσουν μια εκτίμηση κάνουν λάθη που δείχνουν ότι δεν ξέρουν τι είναι ο κατ εκτίμηση υπολογισμός. Ίσως οι παραπάνω συμπεριφορές να είναι αναμενόμενες με δεδομένο ότι οι μαθητές αυτοί δεν διδάχτηκαν τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Παρόλο όμως που δεν διδάχτηκαν όπως είδαμε στα συμπεράσματα αρκετοί μαθητές πραγματοποιούν σωστά κατ εκτίμηση υπολογισμούς και χρησιμοποιούν κάθε φορά τις κατάλληλες στρατηγικές εκτίμησης. Αυτό σημαίνει ότι οι γνώσεις αυτές έχουν χαρακτηριστικά άτυπης γνώσης που δεν προέρχονται από τη διδασκαλία στο σχολείο. Όσον αφορά τη γραπτή αποτύπωση του τρόπου σκέψης των μαθητών είδαμε ότι πολλοί μαθητές δεν καταγράφουν τον τρόπο που σκέφτονται όταν λύνουν τα προβλήματα. Βιβλιογραφία

Λεμονίδη (2013). Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής. Νοεροί υπολογισμοί. Λογαρέζω με το τσιμίδι μ. Εκδόσεις Ζυγός, Θεσσαλονίκη. Ελένη Τσακιρίδου ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΕΣ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΤΟΥΣ ΔΙΨΗΦΙΟΥΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥΣ Η διαδικασία της μάθησης της προπαίδειας περιλαμβάνει μεταξύ άλλων τέσσερα σημαντικά και αυτά περιλαμβάνουν την ενασχόληση με τα μοντέλα καταστάσεων (models of situation/ semantic types), τα διαισθητικά μοντέλα (intuitive models), τις διαδικασίες επίλυσης (solution procedures /computational strategies) και τα μοντέλα ανάκλησης (models of retrieval). 1 Όσον αφορά στα μοντέλα καταστάσεων, την έρευνα απασχολεί η ταξινόμηση των καταστάσεων που περιγράφονται στα λεκτικά προβλήματα σύμφωνα πάντα με το σχήμα που χρειάζεται για να επιλυθεί το πρόβλημα. 2 Αυτές οι κατηγορίες περιλαμβάνουν τις ισοπληθείς ομάδες, το λόγο, και το καρτεσιανό γινόμενο. Οι Fischbein, et. al. 3 ασχολούνται με τα διαισθητικά μοντέλα και δηλώνουν ότι κάθε θεμελιώδης αριθμητική πράξη παραμένει συνδεμένη με ένα έμμεσο, ασυναίσθητο και πρωτόγονο διαισθητικό μοντέλο, από το οποίο επηρεάζεται η λύση του προβλήματος. 4 1 Sherin, B. & Fuson, K. (2005)., Multiplication strategies and the appropriation of computational resources. Journal for Research in Mathematics Education, 36(4), 347-395. 2 Greer, B. (1992)., Multiplication and division as models of situations. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 276 295). New York: Macmillan. Kouba, V. L. (1989). Children s solution strategies for equivalent set multiplication and division word problems. Journal for research in Mathematics Education, 20, 147-158. Marshall, S. P. (1995). Schemas in problem solving., New York: Cambridge University Press. Nesher, P. (1988). Multiplicative school word problems: Theoretical approaches and empirical findings. In J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp. 19 40). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Reed, S. K. (1999). Word problems: Research and curriculum reform. Mahwah, NJ: Lawrence E rlbaum 19 40). Hillsdale, NJ: Erlbaum. 3 Fischbein, E., Deri M., Nello M-S., & Marino M-S. (1985). The role of implicit model in solving verbal problems in multiplication and division. Journal for Research in Mathematics Education, 1985, 16(1), 3-17. 4 op. cit. Sherin, B., & Fuson, K. (2005).

Στις διαδικασίες επίλυσης εξετάζεται η περιγραφή της ακολουθίας διαδικασιών που εκτελεί ένας μαθητής προκειμένου να φτάσει από τους αριθμούς που του έχουν δοθεί στο γινόμενο τους. Τέλος, στα μοντέλα ανάκλησης, ένας από τους στόχους της διδασκαλίας της προπαίδειας είναι η βοήθεια των μαθητών ώστε να αναπτύξουν αποκτήσουν τη δυνατότητα να δηλώνουν γρήγορα το γινόμενο δύο αριθμών. Πολλοί ερευνητές υποστηρίζουν ότι οι μηχανισμοί που οδηγούν στην ανάπτυξη των στρατηγικών του μονοψήφιου πολλαπλασιασμού, είναι ανάλογοι με εκείνους της μονοψήφιας πρόσθεσης, ενώ ταυτόχρονα υπάρχει η άποψη 5 ότι οι μηχανισμοί που οδηγούν στην ανάπτυξη των στρατηγικών στο μονοψήφιο πολλαπλασιασμό σχετίζονται με εννοιολογικές αλλαγές. Παράλληλα, σύμφωνα με τους Fischebein, E, et al., 6 η ανάπτυξη των στρατηγικών διακρίνεται σε τρία διαισθητικά μοντέλα, την άμεση καταμέτρηση (direct counting), την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση (repeated addition) και την πολλαπλασιαστική πράξη (multiplicative operation) και συνέδεσαν το καθένα από αυτά με μια ή περισσότερες στρατηγικές υπολογισμού. Τις παραπάνω θεωρίες επιβεβαιώνει έρευνα που διεξήχθη σε 50 φοιτητές του Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας, με στόχο τη διερεύνηση, καταγραφή και μελέτη των στρατηγικών υπολογισμού στις πράξεις του πολλαπλασιασμού από τους φοιτητές Παιδαγωγικού Τμήματος, σύμφωνα με την οποία, η βασική στρατηγική υπολογισμού που χρησιμοποιεί η πλειοψηφία των φοιτητών στην περίπτωση των μονοψήφιων πολλαπλασιασμών είναι η άμεση ανάκληση. Αναφορικά με τους διψήφιους πολλαπλασιασμούς, οι φοιτητές προτιμούν να υπολογίζουν τα γινόμενα εφαρμόζοντας τον γραπτό αλγόριθμο, ενώ όταν καλούνται να εφαρμόσουν ολιστική στρατηγική, δυσκολεύονται ιδιαίτερα. Στη στρατηγική της στρογγυλοποίησης, οι φοιτητές ανταποκρίνονται αρκετά καλά. Επιπλέον, η έρευνα έδειξε ότι η ευελιξία των φοιτητών στη χρήση στρατηγικών, συμβάλλει σημαντικά στην ικανότητα σωστού υπολογισμού των γινομένων. Συνοπτικά, μέσω της έρευνας αναδεικνύεται η αναγκαιότητα γνώσης πολλών στρατηγικών υπολογισμού από τους φοιτητές για την επιλογή της πιο κατάλληλης και όταν η πράξη είναι πιο σύνθετη, είναι απαραίτητη η ευελιξία στους υπολογισμούς για να φτάσει κανείς στη σωστή απάντηση. Πνευματικός Δημήτρης ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: ΠΟΣΟ ΕΤΟΙΜΟΙ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΔΑΣΚΑΛΟΙ ΓΙΑ ΝΑ ΤΑ ΔΙΔΑΞΟΥΝ? 5 Mulligan, J., Mitchelmore, M., (1997)., Young children s intuitive models of multiplication and division. Journal for research in Mathematics Education, 28, 309-330. 6 op. cit. Fischbein, E., Deri M., Nello, M-S., & Marino M-S., (1985).

Πολλές φορές στην καθημερινότητά μας απαιτείται η εύρεση μιας κατ εκτίμηση υπολογισμού και απάντησης σε ένα αριθμητικό πρόβλημα προκειμένου να λάβουμε μια γρήγορη απόφαση. Για την επιτυχή εκτίμηση, πέρα από την γνώση των αριθμητικών πράξεων, απαιτούνται και άλλες γνωστικές ικανότητες δεξιότητες και στρατηγικές οι οποίες είναι δυνατόν, και πρέπει, να διδαχθούν. Πράγματι, το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών (ΔΕΠΠΣ. 2002) αναγνωρίζει την αναγκαιότητα διδασκαλίας των κατ εκτίμηση υπολογισμών, και τα σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών του 2006 για πρώτη φορά στην Ελλάδα ενσωματώνουν τη διδασκαλία τους. Η ικανότητα για κατ εκτίμηση υπολογισμούς είναι πολύ σημαντική και υποβοηθητική για τον έλεγχο της λύσης του προβλήματος, ιδιαίτερα όταν πρόκειται για προβλήματα με ρητούς αριθμούς και συμβάλει στην κατανόηση των μαθηματικών αρχών, των σχέσεων μεταξύ των αριθμών και ποσοτήτων, και της αίσθησης του αριθμού. Επιπρόσθετα, οι δεξιότητες και οι στρατηγικές που αναπτύσσονται προκειμένου το άτομο να εκτελέσει κατ εκτίμηση υπολογισμούς συνεισφέρουν στην ανάπτυξη ποσοτικής σκέψης, στην ευελιξία της μαθηματικής σκέψης, στην βελτίωση της κριτικής ικανότητας και της μνήμης, στην ανάπτυξη θετικής στάσης και αυτοπεποίθησης απέναντι στα μαθηματικά. Ειδικότερα, οι γνωστικές διαδικασίες που εντοπίζονται κατά την εκτίμηση είναι τρεις: (α) η αναδιατύπωση / αναδόμηση (αφορά στη μετατροπή των αριθμητικών δεδομένων σε πιο διαχειρίσιμη μορφή), (β) η μετάφραση (αφορά στην αλλαγή της μαθηματικής δομής του προβλήματος σε νοερή διαχειρίσιμη δομή) και (γ) η αντιστάθμιση (αφορά στη ρύθμιση της εκτίμησης ανάλογα με την αναδιατύπωση ή τη μετάφραση). Για κάθε γνωστική διαδικασία απαιτούνται μια σειρά από στρατηγικές. Για παράδειγμα, για την επιτυχή αναδιατύπωση ενεργοποιούνται στρατηγικές όπως της στρογγυλοποίησης, της περικοπής, της αλλαγής της μορφής ενός αριθμού σε συμβατές ισοδύναμες δομές και τη στρατηγική της ανασύνθεσης. Για την επιτυχή μετάφραση απαιτούνται στρατηγικές όπως της στρατηγικής υπολογισμού του μέσου όρου και των σημείων αναφοράς, ενώ για την επιτυχή αντιστάθμιση απαιτείται η στρατηγική του διαχωρισμού σε επιμέρους βήματα (ενδιάμεση και τελική αντιστάθμιση). Δεν είναι αυτονόητο ότι οι εκπαιδευτικοί είναι εξοικειωμένοι με όλο το εύρος των δεξιοτήτων και στρατηγικών που ενεργοποιούνται και απαιτούνται για επιτυχείς κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Η προετοιμασία τους σε προπτυχιακό επίπεδο αλλά και η επιμόρφωση όσων ήδη υπηρετούν απαιτεί γνώση των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι ίδιοι και ποιες από τις στρατηγικές, αν και αναγκαίες για τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς, αγνοούνται ή σπάνια χρησιμοποιούνται από τους εκπαιδευτικούς όταν οι ίδιοι καλούνται να κάνουν κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Πρόσφατη έρευνα που διεξήχθη στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας ανέδειξε ότι οι εκπαιδευτικοί πράγματι χρησιμοποιούν συστηματικά μια σειρά από στρατηγικές προκειμένου να εκτιμήσουν αθροίσματα και πηλίκα. Ωστόσο, πολύ σπάνια χρησιμοποιούν την αντιστάθμιση στον πολλαπλασιασμό με διψήφιους αριθμούς, ενώ

λίγοι είναι αυτοί που χρησιμοποιούν συστηματικά στρατηγικές για την εκτίμηση του μέσου όρου, ποσοστών και άθροισμα κλασμάτων. Για παράδειγμα, λίγοι χρησιμοποίησαν τη στρατηγική του εμπρόσθιου άκρου και των συμβατών αριθμών, γύρω στους μισούς χρησιμοποίησαν τη στρατηγική της στρογγυλοποίησης με αντιστάθμιση και τη στρατηγική του μέσου όρου και γύρω στο 70% χρησιμοποίησαν τη στρατηγική των ειδικών αριθμών. Συνεπώς, κρίνεται αναγκαία η συστηματική διδασκαλία και επιμόρφωση των εκπαιδευτικών προκειμένου να είναι σε θέση να διδάξουν κατ εκτίμηση υπολογισμούς στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Δέσποινα Δεσλή ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ: ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ Οι υπολογισμοί κατ εκτίμηση ή υπολογιστικές εκτιμήσεις πραγματοποιούνται νοερά και χρησιμοποιούνται συχνά στην καθημερινή ζωή για να βρούμε γρήγορα και κατά προσέγγιση το αποτέλεσμα ενός πολύπλοκου υπολογισμού που είναι απαραίτητος για την επίλυση πρακτικών ζητημάτων, όπως το κόστος μίας πιθανής αγοράς. Τα οφέλη από την πραγματοποίηση μιας υπολογιστικής εκτίμησης εστιάζονται κυρίως στην ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού (Greeno, 1991) και την πρακτική χρησιμότητά της (Segovia & Castro, 2009), καθώς με τη χρήση της αφενός ενισχύεται μια γενική αίσθηση σχετικά με την αναμενόμενη αριθμητική απάντηση και αφετέρου είναι δυνατός ο έλεγχος για το αν ο ακριβής υπολογισμός που πραγματοποιείται αργότερα είναι λογικός ή/και σωστός. Στα αναλυτικά προγράμματα των μαθηματικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης οι εκτιμήσεις παρουσιάζονται ως βασική μαθησιακή επιδίωξη ανάμεσα σε άλλες και ενθαρρύνεται η συστηματική διδασκαλία των υπολογιστικών εκτιμήσεων μέσα από προτάσεις που αφορούν συγκεκριμένες στρατηγικές εκτίμησης. Αν και υπάρχουν αρκετά ερευνητικά δεδομένα για την ικανότητα των μεγάλων παιδιών και των ενηλίκων για υπολογιστικές εκτιμήσεις (Dowker, 1997. Booth & Siegler, 2006. Opfer & DeVries, 2008) και τις στρατηγικές που οι ίδιοι χρησιμοποιούν (Lemaire & Lecacheur, 2002), γνωρίζουμε ελάχιστα για τις πρώτες δυνατότητες των μικρών παιδιών πριν από την έκθεσή τους στην τυπική διδασκαλία των εκτιμήσεων. Στη συγκεκριμένη ανακοίνωση θα παρουσιαστούν τα αποτελέσματα έρευνας που μελέτησε την ικανότητα υπολογιστικής εκτίμησης των παιδιών προσχολικής ηλικίας σε αριθμητικά προβλήματα πρόσθεσης. Σε ένα από τα έργα της έρευνας παρουσιάστηκαν στα παιδιά εκτιμήσεις άλλων και τους ζητήθηκε να τις κρίνουν, ενώ σε άλλο έργο τους ζητήθηκε να προβούν οι ίδιοι σε δικές τους εκτιμήσεις. Σε καμία από τις δοκιμασίες των έργων δεν απαιτούνταν ακριβής υπολογισμός. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι όλα τα παιδιά προέβησαν σε πολύ καλές εκτιμήσεις. Φαίνεται πως είναι σε θέση να κρίνουν πότε μία υπολογιστική εκτίμηση είναι λιγότερο ή περισσότερο ικανοποιητική και να παράγουν επιτυχείς υπολογιστικές

εκτιμήσεις που αφορούν πρόσθεση πολύ νωρίς, προτού ακόμη εκπαιδευθούν σε ακριβείς υπολογισμούς ή σε συγκεκριμένες στρατηγικές εκτίμησης. Αυτή η ικανότητα των πολύ μικρών παιδιών για υπολογιστικές εκτιμήσεις αντιτίθεται σε ευρήματα που δείχνουν την αποτυχία των μεγαλύτερων παιδιών (π.χ., Booth & Siegler, 2006). Ενδεχομένως, οι δυνατότητες των μεγαλύτερων παιδιών να προβούν σε υπολογιστικές εκτιμήσεις ανακόπτονται από τη γνώση και τη χρήση φορμαλιστικών μαθηματικών διαδικασιών (Opfer & DeVries, 2008), όπως είναι οι γραπτοί αλγόριθμοι των αριθμητικών πράξεων, και την εμμονή τους σε αυτούς. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον, ωστόσο, παρουσιάζει το γεγονός ότι τα παιδιά παρουσίασαν μεγαλύτερη επιτυχία στις περιπτώσεις όπου τα ίδια παρήγαγαν εκτιμήσεις σε σύγκριση με τις περιπτώσεις που έκριναν εκτιμήσεις άλλων. Πιθανότατα όταν καλούνται να δώσουν τη δική τους απάντηση νοηματοδοτούν καλύτερα την κατάσταση και σκέφτονται λογικά. Αντιλαμβάνονται έτσι με τον καλύτερο τρόπο την αξία της εκτίμησης ως προσεγγιστικού υπολογισμού στην καθημερινή ζωή και αναπτύσσουν εναλλακτικές στρατηγικές εκτίμησης που μπορεί να μην συνάδουν απαραίτητα με αυτές της τυπικής εκπαίδευσης. Υπό αυτό το πρίσμα, η παραγωγή και αξιοποίηση αυθεντικών υπολογιστικών εκτιμήσεων από μικρή ηλικία μπορεί να αποτελέσει ευκαιρία τόσο μετάβασης σε πρακτικές που επενδύουν αποτελεσματικά στη συμμετοχή και την ενεργή εμπλοκή των μαθητών στη διαδικασία μάθησης όσο και ενίσχυσης της αίσθησης του αριθμού θεωρώντας την ικανότητα εκτίμησης αναπόσπαστο μέρος της. Βιβλιογραφία Booth, J.L., & Siegler, R.S. (2006). Developmental and individual differences in pure numerical estimation. Developmental Psychology, 41(6), 189-201. Dowker, A. (1997). Young children s addition estimates. Mathematical Cognition, 3(2), 141-154. Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22(3), 170-218. Lemaire, P., & Lecacheur, M. (2002). Children s strategies in computational estimation. Journal of Experimental Child Psychology, 82, 281-304. Opfer, J.E., & DeVries, J.M. (2008). Representational change and magnitude estimation: Why young children can make more accurate salary comparisons than adults. Cognition, 108, 843-849. Segovia, I., & Castro, E. (2009). Computational and measurement estimation: curriculum foundations and research carried out at the University of Granada. Electronic Journal of Research in Educational Psychology, 17, Vol 7(1),499-539. Γιώργος Λυγούρας

ΕΥΕΛΙΞΙΑ ΣΤΟΥΣ ΝΟΕΡΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τις τελευταίες δεκαετίες διάφοροι ερευνητές μελέτησαν εκτενώς τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά όταν υπολογίζουν νοερά και προσπάθησαν να καταγράψουν τις αλλαγές που πραγματοποιούνται κατά τη διάρκεια της διαδικασίας των νοερών υπολογισμών. Αυτό που προβληματίζει συνεχώς τους ερευνητές και της μαθηματικής εκπαίδευσης και της ψυχολογίας είναι να ερμηνεύσουν τον τρόπο με τον οποίο επιλέγει και χρησιμοποιεί ένα παιδί τη στρατηγική που του χρειάζεται για να επιλύσει μία άσκηση. Τα ερωτήματα που προκύπτουν μέσα από την επισκόπηση της διεθνής βιβλιογραφίας που σχετίζονται με τους νοερούς υπολογισμούς στα μαθηματικά είναι «Τι είναι η ευελιξία;» και «Πώς αυτή προσδιορίζεται;» Οι ερευνητές ξεκινώντας από την απλή διαπίστωση πως κάποιοι μαθητές εναλλάσσουν στρατηγικές, όταν υπολογίζουν νοερά, ερμήνευσαν την ευελιξία με βάση την ποικιλία των στρατηγικών που χρησιμοποιούν (Heirdsfield, & Cooper, 2002; Bloete et al., 2000; Klein et al.,1998; Bloete, Van der Burg, & Klein, 2001; Carroll, 2000; Hiebert, & Wearne, 1996;Resnick, & Ford, 1981). Στη συνέχεια προσθέσανε στον ορισμό κριτήρια, όπως ο αριθμητισμός (Hiebert, & Wearne, 1996; Baroody, & Tiilikainen, 2003; Star, &Seifert, 2006), η αίσθηση των αριθμών (MacIntosh, 1996, 1998, 2005; MacIntosh,Reys & Reys, 1992; Sowder, 1990, 1992; Kamii & Dominick, 1998; Maclellan, 2001;Klein & Beishuizen, 1994; Reys, Reys, Nohda & Emori, 1995), η ταχύτητα και η αποτελεσματικότητα (Shrager & Siegler, 1998; Siegler, 1996, 2000; Siegler &Lemaire, 1997; Alibali & Goldin-Meadow, 1993; Geary, 1990; Geary & Brown,1991; Geary & Burlingham-Durbee, 1989; LeFevre et al., 1996) και τελευταία το κοινωνικό υπόβαθρο των μαθητών (Ellis, 1997; Comiti & Ball, 1996; LemonidisLigouras, 2009). Στην έρευνα που πραγματοποιήσαμε εμείς και είχε ως στόχο τη διερεύνηση της ευελιξίας των μαθητών Στ Δημοτικού βασιστήκαμε στον ορισμό της από τους Verschaffel, et al. (2007) σύμφωνα με τον οποίο η ευελιξία νοείται ως η ενσυνείδητη ή ασυνείδητη επιλογή και χρήση της πιο κατάλληλης στρατηγικής επίλυσης σε ένα μαθηματικό αντικείμενο (πράξη/πρόβλημα) που προτείνεται σε ένα συγκεκριμένο υποκείμενο που ανήκει σε ένα συγκεκριμένο κοινωνικό-πολιτιστικό περιβάλλον. Πήραμε διπλές συνεντεύξεις από 223 μαθητές Δημοτικών Σχολείων της Φλώρινας και καταγράψαμε το πλήθος και το είδος των στρατηγικών που χρησιμοποιούν και το κοινωνικό τους υπόβαθρο. Από τις απαντήσεις τους κωδικοποιήσαμε το επίπεδο της ευελιξίας τους με δύο τρόπους. Πρώτα μετρήσαμε την ικανότητα των μαθητών να λαμβάνουν υπόψη τους τα χαρακτηριστικά των ασκήσεων (ευελιξία1) και μετά μετρήσαμε την ικανότητα των μαθητών να χρησιμοποιούν γρήγορα και σωστά την πιο κατάλληλη για αυτούς στρατηγική (ευελιξία2). Στη συνέχεια αναζητήσαμε συσχετίσεις των δύο τύπων της ευελιξίας με τα κοινωνικά τους χαρακτηριστικά. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν τα εξής:

Α. Η ευελιξία των μαθητών του δείγματος κινείται σε χαμηλά επίπεδα και στις τρεις ομάδες πράξεων που εξετάστηκαν και στους δύο τύπους ευελιξίας: Ευελιξία1: Συνολικός Μ.Ο.=11.04, ΤΑ=19.57. Ευελιξία2: Συνολικός ΜΟ=14.42, ΤΑ=14.01. Β. Η ευελιξία1 φαίνεται ότι δε συσχετίζεται με καμία μεταβλητή του παράγοντα μορφωτικό-οικονομικό επίπεδο των γονέων, ούτε με το βιοτικό επίπεδο της οικογένειας, ούτε με την εμπλοκή των γονέων, όσο αφορά το ενδιαφέρον των γονέων για τη μάθηση, τη βοήθεια που προσφέρουν στα παιδιά στο σπίτι και το επίπεδο επικοινωνίας μεταξύ γονέων-μαθητών. Αντίθετα, η ευελιξία2 σχετίζεται σημαντικά με το μορφωτικό επίπεδο του πατέρα και το βιοτικό επίπεδο της οικογένειας. Επίσης, σχετίζεται σημαντικά και με το επίπεδο επικοινωνίας γονέων-μαθητών. Τελικά, διαπιστώνεται ότι ίσως η ευελιξία, όσο αφορά τους κοινωνικούς παράγοντες, δεν επηρεάζεται από δραστηριότητες άμεσης καθοδήγησης και εκμάθησης. Σχετίζεται μάλλον με γενικότερες δραστηριότητες που αναπτύσσουν τη σκέψη και την ενεργητικότητα των μαθητών, όπως η συχνή και στενή επικοινωνία μεταξύ των παιδιών και των γονέων.