συνίστανται από πολωτή που επιτρέπει να περνούν µόνο τα κατακόρυφα πολωµένα κύµατα.

Γραµµικά πολωµένο ηλεκτροµαγνητικό κύµα. Νόµος του Malus Η κλασσική κυµατική θεωρία του φωτός µοντελοποιεί το φως (ή ένα τυχόν ηλεκτροµαγνητικό κύµα κατ επέκταση), στον ελεύθερο χώρο, ως ένα εγκάρσιο ηλεκτροµαγνητικό κύµα, που σηµαίνει ότι η διεύθυνση ταλάντωσής του είναι πάντα κάθετη προς τη διεύθυνση διάδοσης. Πιο αναλυτικά, κατά τη διάδοση ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος, το ηλεκτρικό και µαγνητικό του πεδίο είναι κάθετα προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Αν θεωρήσουµε τον άξονα z ως άξονα διάδοσης, τότε το ηλεκτρικό του πεδίο µπορεί να βρίσκεται σε οποιαδήποτε διεύθυνση επάνω στο επίπεδο που είναι κάθετο προς τον άξονα z. Ο όρος πόλωση ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος περιγράφει τη συµπεριφορά του ανύσµατος του ηλεκτρικού πεδίου του κύµατος, καθώς αυτό διαδίδεται σ ένα µέσο. Αν η ταλάντωση του ηλεκτρικού πεδίου διαµορφώνεται προς µια αυστηρά καθορισµένη διεύθυνση, τότε θεωρούµε ότι το ηλεκτροµαγνητικό κύµα είναι γραµµικά πολωµένο. Υπάρχουν αρκετές οπτικές διατάξεις που λειτουργούν ανάλογα µε την κατάσταση πόλωσης του οπτικού κύµατος που διέρχεται µέσω αυτών. Ένας γραµµικός πολωτής θα επιτρέψει τη διέλευση των ταλαντώσεων του ηλεκτρικού πεδίου προς συγκεκριµένη µόνο διεύθυνση, που καλείται και διεύθυνση πόλωσης. Η εξερχόµενη δέσµη από τον πολωτή έχει το ηλεκτρικό πεδίο δονούµενο παράλληλα προς τη διεύθυνση πόλωσης του πολωτή και εποµένως είναι γραµµικά πολωµένη. 1

Οι ταλαντώσεις του πεδίου και η διεύθυνση διάδοσης z ορίζουν το επίπεδο πόλωσης, έτσι που ένα γραµµικά πολωµένο κύµα µπορεί να θεωρηθεί ως επίπεδα πολωµένο. Αντίθετα, αν τα ηλεκτρικά πεδία των κυµάτων µιας δέσµης φωτός ακολουθούν τυχαίες διευθύνσεις, πάντα όµως κάθετες προς τον άξονα z, τότε η δέσµη φωτός θεωρείται µη πολωµένη. Μια δέσµη φωτός µπορεί να πολωθεί γραµµικά, αν περάσει δια µέσου ενός πολωτή, όπως είναι για παράδειγµα ένα φύλλο πολαρόϊντ (polaroid). Αυτό είναι µια διάταξη που επιτρέπει τη διέλευση εκείνων των ταλαντώσεων του ηλεκτρικού πεδίου που βρίσκονται πάνω σε ένα επίπεδο κάθετο προς τη διεύθυνση διάδοσης. Αν θεωρήσουµε ότι το γραµµικά πολωµένο φως από τον πολωτή προσπίπτει σ ένα δεύτερο πολωτή, ίδιο µε τον πρώτο, τότε στρέφοντας τη διεύθυνση πόλωσης του δεύτερου πολωτή µπορούµε να αναλύσουµε την κατάσταση πόλωσης της προσπιπτούσης δέσµης. Για το λόγο αυτό ο δεύτερος πολωτής καλείται αναλυτής. Αν η διεύθυνση πόλωσης του αναλυτή σχηµατίζει γωνία θ µε το άνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου της προσπιπτούσης δέσµης (δηλαδή µε τη διεύθυνση πόλωσης του πολωτή) τότε µόνο η ποσότητα "Ecosθ" του πεδίου θα διέλθει από τον αναλυτή, όπως φαίνεται στο πιό κάτω σχήµα. Η ένταση του φωτός που θα περάσει από τον αναλυτή είναι ανάλογη του τετραγώνου του ηλεκτρικού πεδίου, πράγµα που σηµαίνει ότι η ένταση που καταγράφεται στον φωτοανιχνευτή µεταβάλλεται ως (Ε cosθ) 2. Η µέγιστη ένταση I θα καταγραφεί στην περίπτωση που η γωνία θ = 0 (Ε // προς τη max διεύθυνση πόλωσης). Για κάθε άλλη γωνία η ένταση δίνεται από το νόµο του Malus: I(θ) = Ι max cos 2 θ 2

Πολωτικό φίλτρο Η πόλωση του φωτός µπορεί να γίνει µε έναν πολωτή ο οποίος περιέχει ένα πολωτικό φίλτρο. Όταν το φως προσπέσει σε ένα πολωτικό φίλτρο θα εξέλθει γραµµικά πολωµένο µε επίπεδο ταλάντωσης καθοριζόµενο από το υλικό του φίλτρου (γραµµικά πολωµένο παράλληλα στο επίπεδο πόλωσης του πλακιδίου (υλικό φίλτρου). Ένας πολωτής επιτρέπει την πλήρη διέλευση όλων των κυµάτων φωτός που είναι πολωµένα στο ίδιο επίπεδο µε τον υλικό του πολωτικού φίλτρου και αποκόπτει όλα τα κύµατα που είναι πολωµένα κάθετα στο επίπεδο του υλικού του πολωτικού φίλτρου. Χρησιµοποιώντας δύο πολωτικά φίλτρα και περιστρέφοντας το ένα από τα δύο, ώστε το επίπεδο του ενός να είναι σε γωνία 90 σε σχέση µε του άλλου, µπορούµε να επιτύχουµε πλήρη αποκοπή του πολωµένου φωτός. Όταν τα επίπεδα των δύο πολωτών σχηµατίζουν γωνία 0 (δηλαδή συµπίπτει το επίπεδο), το πολωµένο φως διέρχεται αφιλτράριστο. Όταν τα δύο φίλτρα έχουν γωνία ενδιάµεση 0-90 το πολωµένο φως διέρχεται µερικώς. Αυτό συµβαίνει µε την περιστροφή δακτυλιδίου φωτογραφικού φίλτρου πόλωσης µπροστά σε µια οθόνη υγρών κρυστάλλων (LCD). Όταν το κύµα περνά από δύο πολωτές µε άξονες ορθογωνίους µεταξύ τους, δεν υπάρχει ισχύς στην έξοδο (παρακάτω σχήµα). Εάν όµως µεταξύ των δύο προηγουµένων πολωτών εισαχθεί τρίτος µε κάποια ενδιάµεση γωνία του άξονά 3

του, τότε στην έξοδο εµφανίζεται διαδιδόµενο κύµα (όπως υπαγορεύει ο νόµος του Malus). Πόλωση λόγω ανάκλασης Μια οπτική διάταξη που δέχεται στην είσοδό της φυσικό φως και εξάγει πολωµένο φως, ονοµάζεται πολωτής. Ένας άλλος τρόπος να επιτύχουµε µερική πόλωση είναι µέσω ανάκλασης του φωτός σε µια µη-αγώγιµη επιφάνεια. Η γωνία Brewster είναι περίπου 57 0 για διέλευση από αέρα σε ύαλο, και 53 0 για διέλευση από αέρα σε νερό. Στις περιπτώσεις αυτές, το αρχικά µη πολωµένο κύµα πολώνεται, ώστε το ανακλώµενο κύµα συνίσταται µόνο από την συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου την παράλληλη προς την οριακή επιφάνεια. Και το πιο σηµαντικό είναι ότι και τα προσπίπτοντα κύµατα µε περίπου την γωνία Brewster υφίστανται πόλωση του ανακλώµενου: Το ανακλώµενο κύµα υπερβαίνει τον βαθµό πόλωσης 50%, όταν οι γωνίες πόλωσης κυµαίνονται ±20 0 γύρω από την γωνία Brewster (σχήµα). Αυτό το τελευταίο εξηγεί γιατί τα γυαλιά ηλίου δρουν αποτελεσµατικά στο να αποκόπτουν το ανακλώµενο κύµα. Τα γυαλιά ηλίου συνίστανται από πολωτή που επιτρέπει να περνούν µόνο τα κατακόρυφα πολωµένα κύµατα. 4

Φαινόµενο διπλής διάθλασης, ολικής ανάκλασης και πρόσπτωσης µε την γωνία Brewster (Nicol Prism). 5

NICOL PRISM (polarizer) unpolarized beam ύο πρίσµατα µε calcite που έχουν συγκολληθεί µεταξύ τους (µε "Canada balsam"), ώστε να πολώνουν το προσπίπτον κύµα δηµιουργώντας δύο ορθογώνια πολωµµένες δέσµες στην έξοδο. Beam B Beam A used to determine optical rotation 6

Για το ορατό φως, όταν αυτό προσπίπτει µε την γωνία Brewster πάνω σ' ένα πλακίδιο υάλου, το ~16% του φωτός (µε ηλεκτρικό πεδίο παράλληλο στην επιφάνεια) ανακλάται (πολωµένο) σε κάθε διαχωριστική επιφάνεια. Εάν θεωρήσουµε 10 πλακίδια εν παραλλήλω (δηλαδή συνολικά 20 προσπτώσεις σε διεπιφάνειες), τότε το τελικό φως µε κατακόρυφη πόλωση (στο κάτω σχήµα, the s-polarized light) θα περιέχει φως µε οριζόντια πόλωση κατά ένα ποσοστό (1-0.16) 20 =3% δηλαδή υπάρχει διέλευση για το p-polarized κύµα. Το ανακλώµενο s-polarized κύµα είναι µεν πολωµένο αλλά διάχυτο σε µεγάλη έκταση και άρα όχι χρήσιµο. 7

Κρύσταλλοι ιπλής ιάθλασης (birefringence) Υπάρχουν στη φύση υλικά τα οποία εµφανίζουν οπτική ανισοτροπία, δηλαδή η ταχύτητα διάδοσης του φωτός µέσα στον κρύσταλλο εξαρτάται από την κρυσταλλογραφική διεύθυνση διάδοσης και τον προσανατολισµό του επιπέδου ταλάντωσης του κύµατος: Αν ακτίνα φυσικού φωτός προσπέσει πάνω σε µία έδρα ενός τέτοιου φυσικού κρυστάλλου (π.χ. ασβεστίτη CaCΟ 3 ) αυτή διαχωρίζεται σε δύο ακτίνες λόγω της διαφορετικής ταχύτητας διάδοσης των ακτίνων µέσα στον κρύσταλλο. Το φαινόµενο αυτό λέγεται διπλή διάθλαση και ο κρύσταλλος διπλοδιαθλαστικός. Στην περίπτωση ενός κρυστάλλου διπλής διάθλασης η ταχύτητα του φωτός έχει την ίδια τιµή c 0 εαν η διεύθυνση διάδοσης είναι παράλληλη µε τον οπτικό άξονα του κρυστάλλου (τον άξονα y στην περίπτωση του σχετικού σχήµατος). Εδώ θεωρούµε ότι ο κρύσταλλος έχει µόνο έναν οπτικό άξονα. Όταν η διεύθυνση διάδοσης είναι κάθετη στον οπτικό άξονα του κρυστάλλου (π.χ. κατά τον άξονα z στο σχήµα), τότε η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου που είναι κάθετη στον οπτικό άξονα (άξονας x στο σχήµα) έχει ταχύτητα c 0 (τακτική ακτίνα), ενώ η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου που είναι παράλληλη στον οπτικό άξονα (άξονας y στο σχήµα) έχει ταχύτητα c ε που είναι διάφορη της c 0. Στο σχήµα θεωρούµε ότι ο άξονας y είναι ο οπτικός άξονας του κρυστάλλου, ο άξονας z είναι η διεύθυνση διάδοσης του φωτός και Ε0 είναι το διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου του φωτός που εισέρχεται στον κρύσταλλο σχηµατίζοντας γωνία Φ µε τον οπτικό άξονα y. Τότε η συνιστώσα Εx (z,t) î = E1 (z,t) î αντιπροσωπεύει το διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου της τακτικής ακτίνας και η συνιστώσα Εy (z,t) ĵ = 8

E2 (z,t) ĵ αντιπροσωπεύει το διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου της έκτακτης ακτίνας. Γράφουµε: E1 (z,t) = Εx sin (kz ωt) sin Φ, E2 (z,t) = Εy sin (kz ωt + ε) cos Φ όπου ε η διαφορά φάσης ανάµεσα στις Ε1 και Ε2. Υποθέτουµε τώρα ότι το διάνυσµα Ε0 είναι γραµµικά πολωµένο µε άξονα πόλωσης που ορίζεται από την γωνία Φ = 45º. Θεωρούµε κρύσταλλο διπλής διάθλασης οπτικού πάχους dλ/4, όπου dλ/4 δίδεται από την σχέση: όπου nο ο δείκτης διάθλασης της τακτικής και naο ο δείκτης διάθλασης της έκτακτης ακτίνας στο κρύσταλλο. Στην περίπτωση αυτή η διαφορά φάσης ε ανάµεσα στις Ε1 και Ε2 γίνεται 90º (π/2) όταν εξέρχονται από τον κρύσταλλο, και άρα παράγεται κυκλικά πολωµένο φως. Η διαφορά φάσης ανάµεσα στις δύο ακτίνες (τακτική και έκτακτη) δηµιουργείται γιατί διέρχονται µε διαφορετική ταχύτητα c 0 και c ε (αντίστοιχα) από τον διπλοδιαθλαστικό κρύσταλλο. 9

Πλακίδια καθυστέρησης φάσης Έστω η δέσµη γραµµικά πολωµένου φωτός προσπίπτουσα επί διπλοδιαθλαστικού πλακιδίου µε παράλληλες έδρες, ώστε η επιφάνειά του να περιέχει τον οπτικό άξονα. Επειδή οι ακτίνες, οι κάθετα πολωµένες προς τον οπτικό άξονα, έχουν διαφορετικό δείκτη διάθλασης (άρα και διαφορετική ταχύτητα) από τις παράλληλα πολωµένες, συνάγεται ότι ενώ προσπίπτουν επί του πλακιδίου µε την ίδια φάση, θα εξέρχονται µε διαφορετικές φάσεις. Τέτοια πλακίδια καλούνται πλακίδια καθυστέρησης φάσης. Έστω Ε χ = Ε οχ sin (kz- ωt) και Ε y = E oy sin (kz- ωt), µε Ε οχ = Ε ο sinφ, E oy = E o cosφ, οι συνιστώσες γραµµικά πολωµένου κύµατος προσπίπτοντος σε πλακίδιο πάχους d που ο οπτικός άξονας είναι οριζόντιος. Μέσα στο υλικό, για κύµα ταλαντούµενο κατά τις c c διευθύνσεις x και y αντίστοιχα, θα έχουµε ταχύτητες u1= και u2 = n n και άρα αντίστοιχους κυµατορυθµούς: k 1 ω ω n1 = = = k n u c 1 1 και k 1 = k n. 2 2 Σε απόσταση d ( έξοδος πλακιδίου), τα αντίστοιχα πεδία δίδονται από τις εκφράσεις: 2 και η διαφορά φάσης είναι: Ε χ = Ε οχ sin (k 2 z- ωt ), E y = E oy sin(k 1 z- ωt) d φ = (k1 k 2)d= k(n1 n 2)d= 2π(n1 n 2). λ Το εξερχόµενο κύµα είναι γενικά ελλειπτικά πολωµένο κύµα, οι άξονες της έλλειψης θα είναι παράλληλοι προς τους x και y αντίστοιχα. π λ Αν ϕ =, θα είναι (n1 n 2)d= 2 4 Τότε το πλακίδιο καθυστέρησης φάσης λέγεται πλακίδιο λ. Προφανώς αν η γωνία 4 Φ = 45 0 ( δηλαδή Εοχ = Εοy ), τότε το εξερχόµενο κύµα είναι κυκλικά πολωµένο. Αν παρεµβάλλουµε ανάµεσα σε δύο πολωτές ένα διπλοδιαθλαστικό κρύσταλλο πάχους d = d λ/4 διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: 10

Αν η γωνία Φ είναι 45 τότε θα το φως που εξέρχεται από τον κρύσταλλο είναι κυκλικά πολωµένο και το ήµισυ της εντάσεως του φωτός Ι0/2 διαδίδεται από τον αναλυτή ανεξάρτητα από την γωνία θ του άξονα του. Αν η γωνία Φ είναι 0º ή 90º τότε ο κρύσταλλος δεν δηµιουργεί διαφορά φάσης (το φως εξακολουθεί να είναι γραµµικά πολωµένο κατά την ίδια διεύθυνση), οπότε ισχύει ο νόµος του Malus. Αν η γωνία Φ έχει οποιαδήποτε άλλη τιµή εκτός από 0º, 45º, και 90º, τότε το διερχόµενο φως από τον κρύσταλλο είναι ελλειπτικά πολωµένο και µεταβάλλεται αρµονικά µε τη γωνία θ ανάµεσα σε µια µέγιστη Ιmax και µια ελάχιστη τιµή Ιmin. ιχρωϊσµός Το φαινόµενο αναφέρεται στην επιλεκτική απορρόφηση της µιας εκ των δυο καθέτων συνιστωσών του φυσικού φωτός καθώς προσπίπτει σε διπλοδιαθλαστικό υλικό. Φως µε ηλεκτρικό πεδίο παράλληλο στον οπτικό άξονα διαδίδεται χωρίς ή µε µικρή απορρόφηση, ενώ η συνιστώσα του πεδίου κάθετα στον οπτικό άξονα, απορροφάται ισχυρά - πρακτικά αποκόπτεται. Το αποτέλεσµα είναι ότι το φως εξέρχεται γραµµικά πολωµένο. Το φαινόµενο είναι ανάλογο προς εκείνο που µία µη πολωµένη δέσµη µικροκυµάτων προσπίπτει σε συρµάτινο πλέγµα και το κύµα εξέρχεται πολωµένο κάθετα προς τα σύρµατα. Η ενέργεια της παράλληλης προς τα κύµατα συνιστώσας του κύµατος, απορροφάται από τα ηλεκτρόνια που µπορούν να κινηθούν κατ αυτή τη διεύθυνση, και µετατρέπεται σε θερµότητα Joule 11

Ερώτηση: Υπάρχει ροή ενέργειας σε στατικά πεδία; Μικρός ραβδόµορφος µαγνήτης φορτίζεται µε φορτίο Q+. Σχεδιάστε το άνυσµα Poynting σε διάφορα σηµεία του χώρου. Σχολιάστε τη ροή της ενέργειας και της ορµής του Η/Μ πεδίου. Στο σχήµα φαίνονται οι δυναµικές γραµµές του Eκαι B και στο σηµείο Α το το άνυσµα Poynting S. Τα πεδία είναι στατικά, άρα και η ενέργεια παραµένει αµετάβλητη µε το χρόνο. Το άνυσµα Poynting E B /µ 0, προφανώς διάφορο του µηδενός, εκφράζει την ροή της Η/Μ ενέργειας. Το S είναι διανυσµατικό µέγεθος και η αλλαγή της διεύθυνσης συνεπάγεται µεταβολή της ορµής στα διάφορα σηµεία του χώρου. Το S κυκλοφορεί συνεχώς γύρω-γύρω από τον µαγνήτη. Όση ενέργεια µπαίνει σε ένα όγκο, για κάποιο χρόνο, τόση βγαίνει (φαινόµενο αντίστοιχο µε τη ροή ασυµπίεστου υγρού). Το άνυσµα Poynting εποµένως µας επιβάλλει να σκεφθούµε µια ροή ενέργειας ακόµα και για στατικά πεδία. Η ροή ενέργειας για στατικά πεδία έρχεται σε αντίθεση µε την κοινή αντίληψη. (Μήπως όµως αυτή η κοινή αντίληψη είναι λανθασµένη και το άνυσµα Poynting µας δείχνει το σωστό δρόµο;). Παρόµοιοι συλλογισµοί µπορούν να γίνουν για την ορµή p= S c 2. 12

Ερώτηση: Εξηγείστε την παρακάτω περίπτωση παραγωγής πολωµένου κύµατος: Κυκλικά πολωµένο κύµα, εισερχόµενο σε αναλυτή, εξέρχεται γραµµικά πολωµένο. Κυκλικά πολωµένο κύµα, εισερχόµενο σε πλακίδιο λ/4, εξέρχεται γραµµικά πολωµένο. Ερώτηση: Ο όρος οπτική ενεργότητα εκφράζει το φαινόµενο της στροφής του επιπέδου ταλάντωσης γραµµικά πολωµένου φωτός µετά το πέρασµά του µέσα από ορισµένα υλικά (π.χ., κρύσταλλος χαλαζία). Εξηγήσατε το φαινόµενο. Απάντηση : Το γραµµικά πολωµένο φως µπορεί να θεωρηθεί σαν το αποτέλεσµα της σύνθεσης δύο κυκλικά πολωµένων κυµάτων, ενός αριστερόστροφου και ενός δεξιόστροφου. Φαντασθείτε τώρα το οπτικά ενεργό υλικό να επιδεικνύει κυκλική διπλοδιαθλαστικότητα, δηλαδή να έχει διαφορετικό δείκτη διάθλασης για το δεξιόστροφο σε σχέση µε το αριστερόστροφο κύµα. Οι διαφορετικές γωνιακές ταχύτητες µεταξύ δεξιόστροφου και αριστερόστροφου κύµατος επιβάλλουν µια διαφορά φάσης που οδηγεί στη στροφή του επιπέδου ταλάντωσης του κύµατος. Προφανώς η γωνία στροφής εξαρτάται από το υλικό και το µήκος της διαδροµής. Ερώτηση: Φυσικό φως έντασης Ι περνά διαδοχικά από δυο πολωτές. Ποια η διάταξη των χαρακτηριστικών τους επιπέδων, ώστε η εξερχόµενη ένταση να είναι ι) Ι/2 και ιι) Ι/4 Απάντηση: Το φυσικό φως δίνει δυο συνιστώσες, µια παράλληλη και µια κάθετη στο χαρακτηριστικό επίπεδο του πολωτή. Άρα, φυσικό φως εξερχόµενο από πολωτή έχει τη µισή ένταση από την αρχική. ι ) I I / 2 I / 2 Τα χαρακτηριστικά επίπεδα των δυο πολωτών πρέπει να είναι παράλληλα ιι) θ I I 2 2 1 π I I / 2 I 0 / 4 = cos θ cos θ = θ =. 4 2 2 4 13

Ερώτηση: Στη διάταξη πολωτών του σχήµατος που ακολουθεί, προσδιορίστε την ένταση του φωτός µετά από κάθε πολωτή. π 1 π 2 π 3 π/4 I Ι=; I 2 =; I 3 =; Απάντηση: Μετά τον πρώτο πολωτή :, µετά το δεύτερο πολωτή: I 2 I 2 I = cos π =, µετά τον τρίτο πολωτή: 2 4 4 I 3 I 2π I = cos = 4 4 8 14