מ( מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים M / M / תאור המערכת: תור שרת שירות פואסוני הגעה פואסונית הערות: במערכת M/M/ יש חוצץ אינסופי ולכן יכולים להיות בה אינסוף לקוחות, כאשר מקבל שירות והשאר ממתינים. קצב שירות פואסוני זמן שירות אקספוננציאלי עם ממוצע. קיימות גם מערכות תורים מהצורה M, / M / K / N כלומר קצב הגעה ושירות פואסוני, K שרתים ו- N לקוחות במערכת לכל היותר. הגדרה: הסתברויות המצב היציב -. Pn lim P t t n הגדרה: מצב יציב מצב המערכת המושג אם"ם הגבול של הגדרה: מערכת יציבה מערכת בה מתקיים מצב יציב. תנאי היציבות במערכת M/M/ הינו P n קיים. הערה: מערכת מהצורה M/M/K/N תמיד יציבה (מספר צרכנים סופי). משפט Little עבור כל מערכת תורים מתקיים: N T כאשר: - N E N מספר צרכנים ממוצע במערכת (כולל אלה הממתינים לשירות ואלה המקבלים שירות כעת). - E קצב הגעה ממוצע למערכת (לא כולל את הלקוחות שעוזבים מבלי לקבל שירות). T E T זמן שהיה ממוצע במערכת רגע ההגעה למערכת עד סיום השירות והיציאה ממנה).
TQ T שימו לב! קבוע, זמן ההמתנה בתור לא כולל זמן שירות, למה? NQ כאשר אבל מספר הלקוחות הממוצע בתור N כאשר יש שרת יחיד, הדרך הנכונה לחישוב מספר הלקוחות בתור: NQ k Pk k Pk Pk k Pk P0 N P0 k k k k התוצאה מתאימה P 0 קבוע) ידוע כי עבור מערכת M/M/ ) NQ N TQ, M / M / לכתוב מעלה: N T? שאלה למחשבה: מה קורה במערכת M/M/ כאשר שאלה בתחנת דלק יש משאבה אחת. מכוניות מגיעות בקצב פואסוני עם ממוצע של 5 מכוניות בשעה וזמן תדלוק מפולג אקספוננציאלית עם ממוצע של 4 דקות. - - - - א. ב. ג. אם התור ריק, המכונית תישאר לתדלוק. אם יש רכב אחד, היא תעזוב בהסתברות /3. אם יש שני רכבים, היא תעזוב בהסתברות /. אם יש שלושה רכבים או יותר, היא תעזוב בהסתברות. בנו דיאגרמת מצבים. חשבו את הסתברויות המצב היציב. חשבו את זמן ההמתנה הממוצע של מכוניות שמחליטות להישאר.
פתרון: א. דיאגראמת מצבים: 3 0 3 P 0 = P /3 P = P. המשוואות: cars 4 min ב. לפי הנתונים: / P = P 3 P 0 + P + P + P 3 = P 0 = P = /3, P =/9, P 3 =/9 ג. חישוב זמן ההשהיה הממוצע בתור: N 3 4 3 0 ipi 0 P 0 + P + P +3 P3 3 9 9 9 i0 3 i Pi P0 P P 0 P3 3 3 6 i0. T N 0 = 3 לכן, לפי משפט :Little 3
שאלה באולמן 500 נמצאות מכונות צילום. ידוע כי מופעי הגעת הסטודנטים המעונינים לצלם מתפלגים פואסונית עם ממוצע. קצב הצילום מתפלג אף הוא פואסונית עם ממוצע (בכל אחד מהמכונות). סטודנט המגיע לאולמן 500 פועל לפי האלגוריתם הבא: אם ליד שתי מכונות הצילום ביחד כבר נמצאים (ממתינים או מצלמים) 4 אנשים הוא הולך לבית הסטודנט. אם לא, הוא מצטרף לתור הקצר יותר. אם שני התורים שווים באורכם הסטודנט מטיל מטבע ומחליט עפ"י התוצאה לאיזה תור להצטרף. אם סטודנט האחרון בתור רואה שהתור השני נהיה קצר יותר מזה שהוא עומד בו הסטודנט מיד עובר לתור השני. א. ב. ג. ד. ה. שרטטו דיאגרמת מצבים של המערכת שבה כל מצב משקף צירוף אפשרי של אורכי שני התורים. חשבו את ההסתברות P i לכך שיהיו בשני התורים ביחד i סטודנטים (לכל i אפשרי). מהו התנאי לקיום מצב יציב? כמה סטודנטים ממתינים בממוצע בתור בכל רגע נתון? מהו זמן ההמתנה הממוצע של סטודנט בתור. פתרון: א. דיאגראמת מצבים: 0,0 /,0 / /, / 0,,,, 4
ב. בכדי לחשב את ההסתברויות נוח לעבור לדיאגרמה המכילה רק 5 מצבים לפי מספר הסטודנטים בשני התורים. כעת יש לרשום את המשוואות המקשרות את הסתברויות המצבים, לבטא את כל ההסתברויות כפונקציה של P, 0 להשוות את סכום ההסתברויות ל-, וע"י כך לקבל את P, 0 וממנה את שאר ההסתברויות. 0 3 4 P = ρ P 0 P = ρ/ P P 3 = ρ/ P P 4 = ρ/ P 3 P 0 + P + P + P 3 + P 4 = נסמן ρ = / אזי: ג. ד. התנאי לקיום מצב יציב: היות ויש במערכת מספר סופי של לקוחות, היא תמיד יציבה. חישוב מספר הסטודנטים הממתינים בממוצע: 0 P 0 P 0 P P3 P4 Q 0 E N ה. חישוב השהיה הממוצע מתבצע ע"י משפט :Little E T E N Q E E ולא ב- הנתון בשאלה. יש לשים לב כי מדובר ב- במקרה שלנו: E = P P P P = (כי במצב 4 אין כניסה לתור). P Q 0 3 4 5
שאלה 3 נתונה מערכת תורים הדומה ל- M/M/, עם קצב הגעה וקצב שרות, מלבד הבדל אחד: בתחילת הפעולה ולאחר שהמערכת מתרוקנת השרת לא מתחיל לתת שרות מחדש לפני שמצטברים N לקוחות (N הוא קבוע הידוע לשרת מראש). שרטטו את דיאגרמת המצבים המתאימה למערכת הזו וציינו מהו התנאי למצב יציב. פתרון: 0 N- N- N- N- N N+ התנאי למצב יציב: הערה: מערכת זו נקראת מערכת "שירות ראשון חריג". 6
שאלה 4 בבנק ישנם שני פקידים המשרתים לקוחות. אחד הפקידים הוא איטי יותר והשני מהיר יותר. הלקוחות ממתינים בתור משותף ופונים אל הפקיד הראשון שמתפנה. לקוח שמגיע כאשר שני הפקידים פנויים פונה לאחד מהם באופן אקראי (הלקוח לא יודע על הבדלי המהירות בין שני הפקידים). קצב ההגעה מפולג פואסונית עם ממוצע לקוחות לדקה. קצבי השרות מפולגים גם הם פואסונית: קצב השרות של הפקיד המהיר הוא לקוחות לדקה, ושל הפקיד האיטי הוא / לקוחות לדקה. שרטטו את דיאגרמת המצבים המתאימה למערכת הזו וציינו מהו התנאי למצב יציב. פתרון: 0 / / מהיר איטי / / 3 3/ 3/ 3 התנאי למצב יציב: האם אפשר לאחד את המצבים שבהם יש לקוח אחד? 7
שאלה 5 מערכת M/M/ תהליך המופע למערכת הינו פואסוני עם קצב. במערכת מצויים שרתים, כ"א עם קצב שירות פואסוני. צרכן שמגיע למערכת ומוצא לפחות שרת אחד פנוי, מתחיל מיד לקבל שירות, אחרת נכנס לתור משותף (אינסופי) עד להתפנות אחד השרתים. א. שרטטו דיאגראמת המצבים של המערכת. ב. חשבו את ההסתברות שיהיו n צרכנים במערכת במצב יציב. ג. מהו תנאי היציבות של המערכת? ד. מהו מספר הצרכנים הממוצע במערכת במצב יציב? ה. מהו זמן השהייה הממוצע במערכת (זמן בתור ועוד זמן השירות). ו. השוו את זמן השהייה הממוצע במערכת למערכת בה שרת יחיד העובד בקצב (שאר הפרמטרים זהים). נסחו מסקנות והסבירו אותן. ז. חיזרו על הסעיף הקודם עבור זמן ההמתנה בתור. פתרון: א. דיאגראמת מצבים: 0 3 4 8
P P P P 0 0 ב. חישוב הסתברויות מצב יציב: n n : P P P P P P n n n n n n n P P P P P P P n 0 0 0 0 0 n0 n n n n P0 P0 P0 n n 0 / P0... / 0.5 p n, n 0 n, n ונסכם: ג. תנאי היציבות של המערכת נקבע לפי המצב עם מספר צרכנים. n n מקסימאלי, או פשוט עפ"י התנאי להתכנסות הטור ולכן במערכת שלנו יש לדרוש: n ד. מספר הצרכנים הממוצע במערכת: 4 4 N n Pn 0 n n0 n 4 ה. נחשב את זמן השהייה הממוצע במערכת באמצעות משפט ליטל: N 4 N T T 4 9
במערכת M/M/ עם קצב שרות (ניתן פשוט להציב לניתוח מהכיתה), זמן השהייה הממוצע הינו. T M / M /, T ו. נשים לב כי זמן זה קטן יותר, כלומר 4 T 4 M / M /, M / M /, ההבדל בין המערכות הינו כי הלקוח הראשון במערכת / M M / מקבל שרות איטי יותר. מסקנה: ע"מ למזער השהייה במערכת כדאי לאחד משאבי חישוב!!! : : M / M / T ז. זמן ההמתנה בתור במערכת, M M אך עם קצב שירות T Q, M / M /, 4 T 4 4 זמן ההמתנה בתור במערכת Q, M / M / / / T ומכאן קל לראות (ע"י השוואת הזמנים הנ"ל) כי במערכת יציבה. TQ, M / M / TQ, M / M /, 4 נקבל כי מסקנה: ע"מ למזער זמן התגובה במערכת כדאי לבזר משאבי חישוב!!! 0