מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים תאור המערכת: תור / M M / ( ) שרת שירות פואסוני הגעה פואסונית הערות: במערכת M/M/ יש חוצץ אינסופי ולכן יכולים להיות בה אינסוף לקוחות, כאשר מקבל שירות והשאר ממתינים. זמן שירות ממוצע הינו. קיימות גם מערכות תורים מהצורה M, / M / K / N כלומר קצב הגעה ושירות פואסוני, K שרתים ו- N לקוחות במערכת לכל היותר., Pn מצב יציב מושג אם"ם הגבול קיים. = lim Pn הגדרה: אם נגדיר t t הגדרה: מערכת יציבה מערכת בה מתקיים מצב יציב. תנאי היציבות במערכת M/M/ הינו < ρ< הערה: מערכת מהצורה M/M/K/N תמיד יציבה (מספר צרכנים סופי). N = T משפט Little עבור כל מערכת תורים מתקיים: כאשר: - N מספר צרכנים ממוצע במערכת - קצב הגעה ממוצע במערכת T זמן שהיה ממוצע במערכת שימו לב! זמן ההמתנה בתור לא כולל זמן שירות אבל מספר הלקוחות הממוצע בתור TQ = T, למה? N = T N Q Q
? שאלות תאורטיות: א. מה קורה במערכת כאשר ρ = שאלה נתאר מערכת M/M/ תהליך המופע למערכת התורים הינו פואסוני עם קצב. במערכת מצויים שרתים, כ"א עם קצב שירות פואסוני. צרכן שמגיע למערכת ומוצא לפחות שרת אחד פנוי, מתחיל מיד לקבל שירות, אחרת נכנס לתור (האינסופי) עד להתפנות אחד השרתים. שרטט דיאגראמת המצבים של המערכת. א. חשב את ההסתברות שיהיו n צרכנים במערכת במצב יציב. ב. מהו תנאי היציבות של המערכת? ג. מהו מספר הצרכנים הממוצע במערכת במצב יציב? ד. מהו זמן השהייה הממוצע במערכת (זמן בתור ועוד זמן השירות). ה. השוואה את זמן השהייה הממוצע במערכת למערכת בה שרת יחיד ו. העובד בקצב (שאר הפרמטרים זהים). נסח מסקנות והסבר אותן. חזור על הסעיף הקודם עבור זמן ההמתנה בתור. ז.
פתרון: א. דיאגראמת מצבים: 3 4 P = P P = ρp ב. חישוב הסתברויות מצב יציב: n ρ ρ n> : P = P P = P P = P n n n n n n n ρ ρ P = P + ρp + P = P + ρp + ρp = n n= n= n= n n+ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ n n ρ = = = P + + = P + + = P + + ρ / ρ P = =... = ρ / + ρ +.5ρ + ρ ( )( ) p n ρ + ρ = n ρ ρ ρ + ρ, n=, n ונסכם: ג. תנאי היציבות של המערכת נקבע לפי המצב עם מספר צרכנים מקסימאלי, < ρ< ולכן במערכת שלנו יש לדרוש:
n ד. מספר הצרכנים הממוצע במערכת: ρ ρ 4 ρ 4ρ N= n Pn = + n ρ = ρ = n= n= + ρ + ρ 4 ρ ( ρ) ה. נחשב את זמן השהייה הממוצע במערכת באמצעות משפט ליטל: N N = T T = = 4 ( 4 ρ ) ו. במערכת M/M/ עם קצב שרות זמן השהייה הממוצע הינו T T = נשים לב כי זמן זה קטן יותר, כלומר 4 = < = T 4 ρ ( ) M / M /, M / M /, ז. ההבדל בין המערכות הינו כי הלקוח הראשון במערכת החדשה ( M / M /, מקבל שרות מהיר יותר. ) מסקנה: ע"מ למזער השהייה במערכת כדאי לאחד משאבי חישוב!!! זמן ההמתנה בתור במערכת שלנו: T = 4 T = = ρ Q, ( 4 ρ ) ( 4 ρ ) זמן ההמתנה בתור במערכת החדשה: T Q, = T = = ( ) ומכאן קל לראות (ע"י השוואת הזמנים הנ"ל) כי במערכת יציבה. TQ, < TQ, ) < ρ ( נקבל כי מסקנה: ע"מ למזער את זמן התגובה במערכת כדאי לבזר משאבי חישוב!!!
שאלה בתחנת דלק יש משאבה אחת. מכוניות מגיעות בקצב פואסוני עם ממוצע של 5 מכוניות בשעה וזמן תדלוק מפולג אקספוננציאלית עם ממוצע של 4 דקות. - - - - א. ב. ג. אם התור ריק, המכונית תישאר לתדלוק. אם יש רכב אחד, היא תעזוב בהסתברות /3. אם יש שני רכבים, היא תעזוב בהסתברות /. אם יש יותר, היא תעזוב בהסתברות. בנו דיאגרמת מצבים. חשבו את הסתברויות אורכי התור. חשבו את זמן ההמתנה הממוצע של מכוניות שמחליטות להישאר.
פתרון: P P 3 P א. דיאגראמת מצבים: 3 P P P3 P = P /3 P = P. המשוואות: cars = = 4 min ב. לפי הנתונים: / P = P 3 P + P + P + P 3 = P = P = /3, P =/9, P 3 =/9 ג. חישוב זמן ההשהיה הממוצע בתור: 3 E(N)= ip i = P + P + P +3 P 3 =/3+4/9+3/9= /9 i= E() = i= i P i = P + /3 P + / P = /3 = /6 T = E(N)/E() = /3 לכן, לפי משפט :Little
שאלה 3 באולמן 5 נמצאות מכונות צילום. ידוע כי בשעות העומס מופעי הגעת הסטודנטים המעונינים לצלם מתפלגים פואסונית עם ממוצע. קצב הצילום מתפלג אף הוא פואסונית עם ממוצע (בכל מכונה). סטודנט/ית המגיע/ה לאולמן 5 פועל/ת לפי האלגוריתם הבא: אם ממתינים לצילום יותר מ- 3 אנשים היא/הוא הולך/ת לבית הסטודנט. אם לא, היא/הוא מצטרף/ת לתור הקצר יותר. אם שני התורים שווים באורכם הסטודנט/ית מטיל/ה מטבע של שקלים ומחליט/ה עפ"י התוצאה לאיזה תור להצטרף. אם סטודנט/ית האחרונ/ה בתור רואה שהתור השני נהיה קצר יותר מזה שהיא/הוא עומד/ת בו הסטודנטית מיד עובר/ת לתור השני. א. ב. ג. ד. שרטטו דיאגרמת מצבים של המערכת שבה כל מצב משקף צירוף אפשרי של אורכי שני התורים. חשבו את ההסתברות P i לכך שיהיו בשני התורים i סטודנטים (לכל i אפשרי). כמה סטודנטים ממתינים בממוצע בתור בכל רגע נתון? מהו זמן ההמתנה הממוצע של סטודנט/ית בתור. הערה: שימו לב שבתורת התורים האובייקט המשורת ע"י השרת נחשב כעומד בתור. פתרון: א. דיאגראמת מצבים (כפל בהסתברויות המצבים הושמטו):, /, / /, /,,,,
ב. בכדי לחשב את ההסתברויות נוח לעבור לדיאגרמה המכילה רק 5 מצבים לפי מספר הסטודנטים בשני התורים. כעת יש לרשום את המשוואות המקשרות את הסתברויות המצבים, לבטא את כל ההסתברויות כפונקציה של P, להשוות את סכום ההסתברויות ל-, וע"י כך לקבל את P, וממנה את שאר ההסתברויות. P P P P 3 3 4 P P P 3 P 4 P = ρ P P = /ρ P P 3 = /ρ P P 4 = /ρ P 3 P + P + P + P 3 + P 4 = נסמן ρ = / אזי: ג. חישוב מספר הסטודנטים הממתינים בממוצע: E(N) = P + P + 3 P 3 + 4 P 4 ד. חישוב השהיה הממוצע מתבצע ע"י משפט Little.E(T)=E(N)/E() יש לשים לב כי מדובר ב-( E( ולא ב- הנתון בשאלה. במקרה שלנו: ) 3 E()= (P + P + P + P (כי במצב 4 אין כניסה לתור).
שאלה 4 נתונה מערכת תורים הדומה ל- M/M/, עם קצב הגעה וקצב שרות, מלבד הבדל אחד: בתחילת הפעולה ולאחר שהמערכת מתרוקנת השרת לא מתחיל לתת שרות מחדש לפני שמצטברים N לקוחות (N הוא קבוע הידוע לשרת מראש). שרטטו את דיאגרמת המצבים המתאימה למערכת הזו וציינו מהו התנאי למצב יציב. פתרון: N- N- N- N- N N+ < התנאי למצב יציב:
שאלה 5 בבנק ישנם שני פקידים המשרתים לקוחות. אחד הפקידים הוא איטי יותר והשני מהיר יותר. הלקוחות ממתינים בתור משותף ופונים אל הפקיד הראשון שמתפנה. לקוח שמגיע כאשר שני הפקידים פנויים פונה לאחד מהם באופן אקראי (הלקוח לא יודע על הבדלי המהירות בין שני הפקידים). קצב ההגעה מפולג פואסונית עם ממוצע לקוחות לדקה. קצבי השרות מפולגים גם הם פואסונית: קצב השרות של הפקיד המהיר הוא לקוחות לדקה, ושל הפקיד האיטי הוא / לקוחות לדקה. שרטטו את דיאגרמת המצבים המתאימה למערכת הזו וציינו מהו התנאי למצב יציב. פתרון: / / מהיר איטי / / 3 3/ 3/ < 3 התנאי למצב יציב: האם אפשר לאחד את המצבים שבהם יש לקוח אחד?