مبحث بیست و سوم)مباحث اندازه حرکت وضربه قانون بقای اندازه حرکت انرژی جنبشی و قانون برابری کار نیروی برآیند و تغییرات انرژی جنبشی( تکلیف از مبحث ماتریس ممان اینرسی( را بدست آورید. ماتریس ممان اینرسی s I A s r Ak x با فرض y] [ = z چرخی به صورت زیر در نظر بگیرید. فرض کنید جرم چرخ M و شعاع آن R باشد. نقطهی A را در مرکز آن در نظر بگیرید. دستگاه S را مطابق شکل روی آن بنا کنید. فرض کنید چرخ از المان کوچک ) را بدست آورید. s I A مطابق شکل تشکیل شده است. ماتریس ممان اینرسی) k -4 - S m k S 3 r Ak A S توجه داشته باشید که با کوچک اختیار نمودن بخشهای k میتوان جمع اینرسی را به انتگرال تبدیل نمود. موجود در رابطهی ماتریس ممان در بسیاری از مسائل مرتبط با جابجایی عالقهمندیم بدون توجه به تعامالت رخ داده به نتیجهی کلی پس از بازهی زمانی مشخصی بپردازیم. به عنوان مثال میخواهیم بدانیم پس از برخورد دو جسم چه اتفاقی برای آن دو جسم میافتد و حرکتهایشان به چه صورت میشود. پیشتر که به نیرو به صورت لحظهای نگاه میکردیم برای ذره i ام یک جسم از رابطهی زیر از دید یک دستگاه خاص استفاده میکردیم. F i = ma i 40
و برای کل یک جسم نیز از رابطهی زیر بهره میبردیم. خارجی F = Ma cm اما حال که میخواهیم به نیروها در بازهی زمانی پیوستهی خاصی بنگریم برای بررسی عبارت سمت چ پ رابطهی باال کافی است نیروهای خارجی رابطهی باال را برای یک جسم در آن فاصلهی زمانی جمع نموده و یا به صورت زیر انتگرالگیری کنیم: خارجی F در رابطهی باال میتوان F را برداری در نظر گرفت و یا آن را از دید دستگاهی خاص به صورت عددی بیان نمود. همانطور که میدانید برای محاسبهی انتگرال معین ابتدا مقدار انتگرال نامعین را بدست میآوردید. فرض کنید انتگرال نامعین x(t) همان y(t) باشد. یا سپس براساس انتگرال نامعین x(t) مقدار انتگرال معین آن را به صورت زیر محاسبه میکردید. حال فرض میکنیم مقدار انتگرال نامعین F(t) مقدار ( P(tباشد. آنگاه: x(t) = y(t) t x(t) = y(t ) y(t ) t F ext (t) = P( ) P( ) = ΔP = J در رابطهی باال ) i P(t اندازهی حرکت ابتدایی و ) f P(t اندازهی حرکت پایانی نامیده میشود. همچنین J ضربه 40 Impulse نامیده میشود. بر اساس همین رابطه نیز میگویند اگر مجموع نیروهای خارجی وارد بر یک مجموعه از جسمها در فاصلهی زمانیای مشخص صفر باشد تغییر اندازهی حرکت این مجموعه در این بازهی زمانی صفر است.
مطابق رابطهی باال داریم: F ave = J Δt که در آن F ave نیروی متوسطی است که در بازهی زمانی Δt به جسم وارد میشود. حال به بررسی و انتگرالگیری از طرف راست عبارت F ext = Ma cm میپردازیم. داریم: M a cm = M(v cm ( ) v cm ( )) = MΔv cm همانطور که از رابطهی باال مشخص است با بررسی اتفاقات ابتدا و انتهای یک بازهی زمانی نمیتوان به شتاب دست یافت. همچنین طبق رابطهی زیر که با انتگرالگیری از دو طرف رابطهی F ext = Ma cm است با دانستن سرعت مرکز جرم در لحظهی و در اختیار داشتن حاصل شده و M میتوان سرعت مرکز جرم را در J = M(v cm ( ) v cm ( )) J لحظهی بدست آورد. اگر بخواهیم کلیهی ذرات را مدنظر قرار دهیم آنگاه: (m a + m a + ) = m (v ( ) v ( )) + m (v ( ) v ( )) + = m Δv + m Δv + = (m v ( ) + m v ( ) + ) (m v ( ) + m v ( ) + ) = P( ) P( ) مثال( در این مثال میخواهیم برخورد دو جسم را در نظر بگیریم که پس از برخورد به یکدیگر ملحق میشوند. فرض کنید جسمی به جرم m و با سرعت قبل از برخورد ) i v t) به جسم بزرگتری ملحق میشود. فرض کنید به بررسی روابط از دید دستگاه زمین و نقطهای روی آن میپردازیم. برخورد کرده و به آن فرض کنید P( ) = m v ( ) جسم بزرگتر به جرم m پیش از برخورد از دید دستگاه زمینی ساکن بود) 0 = ) i v( t) بنابراین: پس از برخورد این دو جسم یکی شده و سرعتهایشان برابر میشودبا ) f v(t آنگاه: )برخورد کامال غیر االستیک(. 40
P( ) = m v ( ) + m v ( ) = (m + m )v( ) ΔP نیز حال اگر فرض کنیم مجموع نیروهای خارجی وارد بر این دو جسم صفر گردد. و به این ترتیب میتوان ) f v(tرا محاسبه نمود: در این فاصلة زمانی صفر باشد باید ΔP = 0 P( ) P( ) = 0 (m + m )v( ) m v ( ) = 0 v( ) = m v ( ) (m + m ) که البته اگر m خیلی بزرگتر از mباشد تقریبا ) f v(t صفر میگردد. در مثالهای دیگر مانند برخورد دو بار الکتریکی قرار گرفته در یک میدان مغناطیسی به دلیل اینکه نیروهای خارجی وارد بر دو بار صفر نیست تغییر اندازهی حرکت نیز مخالف صفر است. همانطور که میدانید برای تحلیل کامل حرکت باید روابط نیرو و روابط گشتاور نیرو بررسی گردند. برای گشتاور نیرو نیز کلیه روابط اندازهی حرکت دورانی مشابه روابط اندازهی حرکت خطی بدست آمده برای نیرو است. تنها به جای جرمها از ممان اینرسی استفاده میشود و به جای سرعتهای خطی سرعتهای دورانی قرار میگیرند. در ادامه میخواهیم به تعامالت بین اجسام عددی اختصاص دهیم به نحوی که این عدد بیانگر این باشد که جسمی که در حال جابجا شدن است چقدر میتواند جسمهای دیگر را جابجا کند. در این صورت اگر آن عدد را از این جسم بگیریم او را خسته کرده و او نمیتواند اجسام دیگر را جابجا کند یا تعامالتی با آنها داشته باشد. این عدد بیانگر انرژی جنبشی)حرکتی( جسم است. با این تعریف دو جسمی که در فاصلهای مشخص نسبت به یکدیگر ساکن قرار گرفتهاند نسبت به هم خسته هستند مگر اینکه حرکتی کنند. پس به نظر میرسد که این توانایی اعمال نیرو هم با بزرگی سرعتش و هم بزرگی جرمش تناسب دارد و لذا با استفاده از حاصلضربی از این دو بنابراین مثال میتوان به گونة زیر نوشت: میتوان در مورد مقدار انرژی جنبشی آن قضاوت کرد. m v = انرژی حرکتی یا جنبشی اما به دالیل ریاضیاتی و برای سادگی محاسبات که در ادامه نشان داده میشود انرژی جنبشی را به صورت زیر تعریف کردهاند: m v = E k = جنبشی = E انرژی حرکتی یا جنبشی 40
حال برگردیم به نیرو:اگر جسمی دارای مقداری مشخصی انرژی جنبشی باشد که از رابطهی باال محاسبه میشود و در حال دریافت نیرو از دیگران است سوال از رابطهی زیر استفاده میکنیم: که به این عبارت میگوییم کاری که نیروی چه مقدار انرژی جنبشیاش در حال تغییر است. F ext dr 40 = ΔE k F ext ما این را طوری تعریف کردهایم که نهایتا کاری که نیروی انرژی جنبشی در این فاصله نوشته شود. نبود. برابر اگر رابطهی انرژی جنبشی شامل ضریب برای اثبات رابطهی انرژی جنبشی فرض میکنیم است: برای پاسخ به این در این فاصله انجام داده است روی آن جسم! روشن است که در فاصلهی F ext r r انجام میدهد با تغییرات گردد. توجه داشته باشید که کل رابطهی باال از دید دستگاهی خاص باید F ext و توان نبود رابطهی باال به این سادگی قابل تعریف باعث شده جسم m شتابی به اندازهی a پیدا کند. اگر مسیر حرکت این جسم و شتاب آن مطابق شکل زیر باشد میتوانیم شتاب را به دو مولفهی مماس بر مسیر حرکت و عمود بر آن تجزیه کنیم. قبال نیز اشاره کرده بودیم که مولفهی مماسی شتاب ( T a( اندازهی سرعت را تغییر می دهد و مولفهی عمودی جهت سرعت را تغییر میدهد. بنابراین شتاب مماسی مشتق اندازهی سرعت a T = d v = v به این ترتیب معنی ضرب داخلی در تعریف باال روشن میشود که برای این بوده که فقط به مؤلفهای از نیرو بپردازد که باعث تغییر اندازة سرعت میگردد aو dr دو بردار ضرب داخل ی و میشود ضرب دو T a و عدد dr بنابراین: F ext dr = m d v. dr = m d v dr = m d v dr = m v ) = m( v v ) = m v d v از این سادهسازیها دلیل ضریب و توان نیز در انرژی جنبشی مشخص شد.
ضمنا توجه دارید که در سادهسازیهای باال از حقیقت زیر نیز استفاده شده است: v = dr نکتهی دیگری که الزم است بدانید این است که به برخوردی برخورد االستیک گفته میشود که انرژی جنبشی قبل و بعد از برخورد تغییری نکند ولی در برخورد غیر االستیک این انرژی تغییر میکند. با این تعریف برخورد شهابسنگ به زمین برخوردی کامال غیر االستیک)پالستیک( است. در برخورد االستیک گویا انرژی جنبشی )به شکلی که برای ما قابل اندازهگیری است(تغییری نمیکند و به نوع دیگری از انرژی تبدیل نمیگردد.ولی در فرآیندها و برخوردهایی که این انرژی )حداقل از دیدگاه ما( تغییر میکند و کاهش مییابد البد به نوعی دیگری تبدیل شده و ظاهر میگردد. این نوع دیگر در بسیاری از موارد گرماست. مثال کار نیروی اصطکاک که عموم ا منفی است به گرما تبدیل میشود. اما هرگز فراموش نکنید که قاعدة بقای اندازهحرکت در همة انواع برخوردها برقرار است. یعنی همواره تغییر اندازهحرکت برابر است با ضربة ناشی از نیروهای خارجی که اگر برآیند آنها صفر باشند لذا ضربة آنها نیز صفر شده و لذا اندازهحرکت کل پیش از برخورد و پس از آن یکسان باقی میماند. 40