دبیرستان غیر دولتی موحد

دبیرستان غیر دلتی محد هندسه تحلیلی فصل دم معادله های خط صفحه

ابتدا باید بدانیم که از یک نقطه به مازات یک بردار تنها یک خط می گذرد. با تجه به این مطلب برای نشتن معادله یک خط احتیاج به داشتن یک نقطه از خط یک بردار به مازات آن خط که به آن بردار هادی می گیند داریم. معادله خط: معادله خطی که از نقطه می باشد برابر است با (, y, ) می گذرد مازی بردار هادی u ( p, q, r ) : y y p q r اثبات: هر نقطه دلخاهی مانند (,y,) ری خط در نظر بگیریم بردار بنابر رابطه دبردار مازی می بایست نسبت ملفه های این دبردار برابر هم باشد : مازی بردار u می باشد p p (, y y, ), u ( p, q, r ) p p y y u p q r مثال : معادله خطی را بنیسید که از نقطه ) )p میگذرد مازی بردار ) -,, )u می باشد نقطه ای از خط را مشخص کنید که ری y می باشد. آیا این خط محر ها را قطع می کند مثال : بردار هادی خط y : 5 را بدست آرید. نتیجه: بردارهای هادی یک بردار منحصر به فرد نبده مازیند. حاالت خاص خط: - معادله خط عمد بر یکی از محرها: در این صرت ملفه متناظر محر مربطه در بردار هادی ( مثال ملفه متناظر محر ها در بردار هادی p است( برابر صفر می باشد مثال معادله خط عمد بر محرها به صرت زیرنشان می دهند : y y q r نتیجه: بردار هادی این خط u(,q,r) می باشد.

به این دلیل است که قتی بایست صفر باشد. عمد بر محر - معادله خط عمد بر یکی از صفحه های مختصات: ها می باشد ملفه ال آن یعنی می در این صرت ملفه متناظر محرهای مختصات اقع در آن صفحه در بردار هادی برابر صفر می باشد.مثال در خط عمد بر صفحه y ملفه های p,q برابر صفر است در این حالت معادله خط مربطه به شکل زیر می باشد: نتیجه: بردار هادی این خط هر بردار (r, )u به این دلیل است که قتی عمد بر صفحه y است. y y عمد بر محر,y y y, می باشد ملفه ال دم آن یعنی می بایست صفر باشد تجه کنید که ملفه سم هرچه باشد باز,r) u( است. مثال 3 : مطلبست معادله خط گذرنده از نقطه ) )p الف- عمد بر صفحه y ب- عمد بر صفحه y ج- مازی بردار (5 )u د- مازی بردار ) )u مازی نکته: هرگاه د نقطه BA از خط را داشته باشیم AB نقش بردار هادی خط را بازی می کند هریک از نقاط AیاB را می تان بجای نقطه مربطه در خط منظر کرد. مثال 4 : معادله خط AB را در هریک از حاالت زیر بنیسید. مثال 5 :معادله خطی را بنیسید که از نقطه ( -, )A می گذرد با خط 5),B(- ) A -الف ) ) 5),B( ) A -ب,- ) ),B( ) A -ج 7 : y مازی است. نتیجه:د خط در فضا هنگامی مازیند که بردار های هادی آنها مازی باشند. مثال 6 : مقدار k را به گنه ای بدست آرید که د خط زیر بر هم عمد باشند. : y, : y k k

نتیجه: دخط د خط هنگامی بر هم عمد است که بردار هادی آنها بر هم عمد باشد پس شرط عمد بدن عبارتست از : y y y y : : p q r p q r p p q q r r ا ي u u زایه بین د خط زایه بین د خط زایه حاده بین دخط می باشد که با زایه حاده بین بردارهای هادی د خط برابر باشد α زایه بین این دخط برابر u cos u. u u u u است به عبارتی هر گاه است با : بردار های هادی د خط : y, : y مثال 7 : زایه بین د خط زیر را بدست آرید. معادله پارامتری خط : y y p q r معادله که از نقطه را معادله متقارن یا کاننیک خط گیند معادله پارامتری خطی pt y qt y rt ) r u ( p, q, می باشد عبارتست از ( می گذرد مازی بردار هادی, y, ) تجه : از مسای t قرار دادن معادله متقارن نیز می تان به معادله پارمتری رسید. تجه : ضرایب t مربط به هر متغیر ملفه های متناظر بردار هادی را تشکیل می دهد. ) ( pt, qt y, rt نیز نشان داد که t متغیر آن می تجه : نقاط خط را می تان به شکل باشد که با یک t معلم یک نقطه خط بدست می آید. 5 : y مثال 8 : فاصله کدام نقاط خط از مبدا مختصات برابر 9 می باشد

مثال 9 : نقطه ای از خط باشد. y : 5 تجه:رش پیدا کردن معادله خط که از نقطه می کند این است که فرض می کنیم نقطه ری خط معادله خط مجهل را پیدا کنید که از نقطه ) -, )A به فاصله 7 می گذرد بر خط عمد بده خط t بردار هادی خط را قطع محل تقاطع با خط را داریم برای این کار را بصرت پارامتری می نیسیم این مختصات پارامتری مختصات است که دارای یک می باشد مختصات بردار را می نیسیم که همان مجهل t را دارد لی می دانیم بر عمد است پس در معادله زیر قرار می دهیم: بعد از پیدا کردن t آن را در قرار می دهیم سپس با استفاده از می نیسیم. مثال : از نقطه آن را بدست آرید. u. p د نقطه از خط معادله آن را ( ) خطی عمد متقاطع با خط مثال :معادله خطی را بدست آرید که از نقطه متقاطع با خط : y ( ) گذشته عمد بر خط رسم کرده ایم معادله y 5 d باشد. y 7 ضعیت نسبی دخط در فضا د خط در فضا یکی از حالت های زیر را دارا می باشند: - مازی: دخط مازی هستند هرگاه بردارهای هادی آنها مازی باشند. لذا بررسی مازی بدن کاری ساده می باشد چرااکه کافی است یک بردار هادی ضریبی از بردار هادی دیگر باشد. در صرت مازی بدن هرگاه یک نقطه از یکی از خطط در خط دیگر صدق کند منطبق می باشند. - متقاطع: د خط متقاطع هستند هرگاه یکدیگر را فقط در یک نقطه قطع کنند. برای بررسی متقاطع بدن د خط کافی است یکی را به صرت پارامتری در آرده نظیر به نظیر در ملفه های مربطه در معادله خط دیگر قرار دهیم ابتدا با د تسای پارامتر t را بدست می آریم در د تسای دیگر قرار میدهیم اگر صدق کند یعنی متقاطع هستند برای بدست آردن محل تقاطع کافی است پارامتر t بدست آمده را در معادله پارامتری خط ال قرار دهیم.

متنافر: د خط را که مازی متقاطع نباشند متنافر گیند. -3 مثال :ضعیت نسبی د خط الف- را در هریک از حاالت زیر بررسی کنید. : y, : y : y, : y : y, : y 5 ب- ج- فاصله نقطه از خط برای بدست آردن فاصله نقطه p از خط با بردار هادی u دلخاه انتخاب می کنیم سپس بردار p ابتدا نقطه ای مانند را محاسبه کرده از فرمل زیر فصله نقطه از خط را به p از خط را D p p u u pp بدست می آریم: D p p sin اثبات:با تجه به شکل باال فاصله D در مثلت قائم الزایه مربطه از رابطه زیر بدست می آید: p p u p p u D p p sin p p p p u u با تجه به sin در ضرب خارجی داریم : y : را بدست آرید. : y, : y مثال 3 :فاصله نقطه ) -, ) از خط مثال 4 :فاصله بین د خط مازی را بیابید.

معادله صفحه همانطری که می دانید از یک نقطه تنهایک صفحه می تان بر یک بردار عمد کرد. برای بدست آردن معادله صفحه می بایست یک نقطه یک بردار عمد بر صفحه که به آن بردار نرمال می گیند داشته باشیم. معادله صفحه ای که از نقطه برابر است با )n,a,b می گذرد عمد بر بردار نرمال( c (, y, ) می باشد a( ) b( y y ) c( ) اثبات: مثال 4 : باشد. مثال 5 :مقدار معادله صفحه ای را بنیسید که از نقطه A(, ) گذشته بر بردار n(,-,- ) k را به گنه ای محاسبه کنید که خط : y k k y باشد. 5 y عمد عمد بر صفحه : عمد بده از نقطه مثال 6 :معادله صفحه ای را بنیسید که بر خط ),- ( بگذرد.

مثال 7: معادله صفحه ای را بدست آرید که عمد منصف پاره خط AB به مختصات (5 -, )A ),- B( باشد. مثال 8 : معادله صفحه گذرنده از نقطه ) )A عمد بر محر y ها را بدست آرید. معادله صفحه در حالت های خاص: - معادله صفحه عمد بر یکی از محرهای مختصات:هرگاه صفحه ای عمد بر یکی از محرهای مختصات باشد بردار یکه متناظر آن محر می تاند نقش بردار نرمال صفحه را داشته باشد مثال صفحه ای که از نقطه (, y, ) عمد بر محر ( )n است در نتیجه معادله صفحه برابر است با : ها می باشد دارای بردار نرمال ا ي - معادله صفحه عمد بر یکی از صفحات مختصات:هرگاه صفحه ای عمد بر یکی از صفحات مختصات باشد مثال از صفحه ای که از نقطه (, y, ) عمد بر صفحه y باشد آنگاه بردار نرمال صفحه مازی صفحه y عمد بر محر ها می باشد در نتیجه ملفه بردار نرمال برابر صفر می باشد یعنی بردار نرمال به شکل n(a,b,) است معادله صفحه عبارتست a( ) b( y y )

مثال 9 :معادله صفحه ای را بنیسید که از نقطه ) )A بر محر ها عمد می شد. A(,- ) مثال : معادله صفحه را بدست آرید که از نقاط ),- B( گذشته عمد بر صفحه y باشد. حالت هایی که برای محاسبه بردار نرمال احتیاج به ضرب خارجی داریم - هنگامی که سه نقطه A,B,C از صفحه را می دهند )می دانیم که از سه نقطه غیر اقع بر یک خط راست یک صفحه می گذرد پس طراح محترم سه نقطه را طری داده که بر یک خط رایت نباشند که معمال بررسی نمی کنیم( بردار نرمال از ضرب خارجی هر دبرداری که از این سه نقطه بسازیم بدست می آید مثال حالتی که یک خط با بردار هادی u یک نقطه A درن صفحه داده می شد یک نقطه اختیاری از خط مانند B را در نظر می گیریم بردار نرمال صفحه از ضرب خارجی د بردار u AB بدست می آید. -

هنگامی که د خط مازی با بردار هادیu مازی یا داخل صفحه باشند از هر کدام از دخط یک نقطه مانند A,B را در نظر می گیریم بردار نرمال از ضرب خارجی بردارهای ABu بدست می آید. -3 حالتی که د خط متقاطع با بردارهای هادی صفحه از ضرب خارجی بردارهای هادی د خط u u u u مازی یا داخل صفحه باشند بردار نرمال بدست می آید. -4 تجه:حالتهای دیگری که برای بدست آردن بردار نرمال می بایست ضرب خارجی بگیریم را می تانید از حالتهای باال الگ برداری کنید. مثال : معادله صفحه ای رابنیسید که از سه نقطه ) )A ) -, )B ) -, )C می گذرد. مثال : معادله صفحه ای شامل د خط : y : y تجه: از هندسه فضایی یادآری می کنیم که از دخط متنافر صفحه ای عبر نمی کند. را بنیسید ضعیت نسبی خط صفحه نسبت به هم اگر خط با بردار هادی u صفحه p با بردار نرمال n باشند آن گاه خط با صفحه p به یکی از حاالت زیر قرار دارند: - خط با صفحه p مازی باشد: چن بردار نرمالn هماره بر صفحه عمد است پس بر خط بردار هادی آن u که با صفحه مازی است نیز عمد می باشد بنابر شرط عمد بدن داریم:

n.u= - خط با صفحه p متقاطع باشد: اگر خط با صفحه p مازی نباشد باهم متقاطع هستند. n.u برای بدست آردن نقطه برخرد خط صفحه ابتدا معادله خط را به صرت پارامتری درآرده آن را داخل معادله صفحه قرار می دهیم مقدار پارامتر t را بدست آرده در داخل معادله پارامتری خط قرار می دهیم تا نقطه تقاطع بدست آید. مثال 3 : k مقدار را بگنه ای بدست آرید که خط : y k p : k y مثال 4: مازی باشند. y 5 محل تالقی خط : صفحه p : y صفحه را بدست آرید. مثال 5 : معادله خطی را بدست آرید که از نقطه ) -, 5)p بر صفحه +y+= عمد گردد. مثال 6 : در مثال قبل محل برخرد خط صفحه را بدست آرید نام دیگر این نقطه را بگیید قرینه یک نقطه نسبت به یک صفحه برای بدست آردن قرینه نقطه p نسبت به یک صفحه ابتدا از آن نقطه خطی بر صفحه عمد می کنیم اضح است که نرمال صفحهn با این خط مازی است درنتیجه می تاند نرمال صفحه بردار هادی این خط می باشد پس می تانیم بسیله نقطه p بردار هادی n معادله این خط را بنیسیم محل تقاطع این خط صفحه یعنی نقطه H در شکل زیر تصیر نقطه p قرینه نقطه p را از رابطه زیر بدست آریم: ' بر این صفحه است حاال می تانیم نقطه p

' p H p مثال 7 : با تجه به د مثال گذشته قرینه نقطه p نسبت به صفحه را بدست آرید. یژگی های نقطه) p ' - بردار pp - سط این د نقطه ' ( قرینه نقطه) p p ' p ضعیت د صفحه نسبت به هم (نسبت به هم: مازی بردارn می باشد یعنی یک بردار ضریبی از برداردیگر است. د صفحه در فضا یکی از دحالت زیر را دارند: - یعنی نقطه H عض صفحه داده شده در مسائل است. مازی: هنگامی مازیند که بردار های نرمال آنها با هم مازی باشندبه عبارتی یکی ضریبی از دیگری باشد. n n - متقاطع: هنگامی متقاطعند که مازی نباشند.

در این صرت از برخرد این د صفحه یک خط ایجاد می شد که به آن خط فصل مشترک د صفحه می گیند. از آنجایی که این خط در هر د صفحه جد دارد پس بر بردارهای نرمال هر د صفحه عمد می باشد)چن بردار نرمال بر تمام خطط صفحه عمد است بر فصل مشترک هم عمد است(. نتیجه: چن بردارهادی فصل مشترک د صفحه بر هرد بردار نرمال عمد است از ضرب خارجی د بردار نرمال بردار هادی فصل مشترک بجد می آید. به عبارتی در شکل قبلی u n n سپس برای محاسبه معادله خط فصل مشترک د صفحه کافی است در د صفحه بجای یکی از متغیرها مقداری معلم را قرار داده تا با تجه به معادلع د صفحه دستگاه د معادله د مجهل را حل کرده تا د متغیر دیگر بدست آید. m,n مقدار مثال 8 : را بگنه ای بدست آرید که د صفحه + y-5=7 y+(m-n)=5 ( m+n)- با هم مازی باشند. مثال 9 :معادله فصل مشترک د صفحه آرید. رش بدست آردن زایه بین د صفحه : y y بدست را زایه بین د صفحه با زایه بین نرمالهای د صفحه برابر است. پس :. cos y 5, y مثال 3: د صفحه ی با هم چه زایه ای می سازند.

. : a b y c d : a b y c d نتیجه : برای د صفحه ی aa است هرگاه bb cc الف : زایه بین خط صفحه اگر زایه ی بین خط صفحه باشد در اینصرت داریم : ( با تجه به شکل ) u. cos ( ) u u. sin u : y 5, : y مثال 3: با هم چه زایه ای می سازند.

فاصله ی نقطه تا صفحه فاصله ی نقطه تا صفحه اندازه ی عمدی است که از نقطه بر صفحه ترسیم می شد. A اگر نقطه ی دلخاهی از صفحه باشد. A H H : A. تا صفحه ي A فاصله ي نقطه ي دلخاهي در صفحه است. A y a by c d y a by c d رش ساده تر : چن درن صفحه است پس :. A. a( ) b( y y ) c( a b c ) -d ( a by c ) ( a a b c by c )

A y فاصله ی تا صفحه ی a by c a b c d مثال 3 :مطلبست فاصله نقطه ),- A( از صفحه = - y- مثال 33 :نقاطی از خط =y= را بیابید که به فاصله یک از صفحه = +y- مثال 34 :فاصله نقطه ای به طل - ری خط را از صفحه باشند. y : y بدست آرید. : a فاصله ی مبدأ تا صفحه ی به معادله ی by c d برابر است با : - D a d b c ( پس برابر شدن نرمال های آن ها ), - فاصله ی د صفحه مازی : a by c d O D D H H : a by c d D D 3- معادله ی صفحه ی ای که به مازات د صفحه مازی به یک فاصله از آنها قرار دارد برابر است با : d a d b c d a by c d : a by c d : a by c d

مثال 34: حجم مکعبی را بدست آرید که جه مقابل آن د صفحه مازی : y : y باشد. D مباحث جدی تر خط ابتدا چند مثال ساده زیر را حل کنید. مثال 35 :معادله ی خطی را بنیسید که از A می گذرد بر د خط 6 : y t t : ` y 5 عمد است. مثال 36 : معادله ی خطی را بنیسید که از نقطه ی 6 می سازد. با محر ها نیز زایه می گذرد با محر ها زایه ی تصیر یک نقطه بر یک خط ( یافتن مختصات پای عمد قرینه خط نسبت به خط ) H مختصات پای عمد ( تصیر نقطه خط ) را به صرت پارامترهای بر p برای یافتن تصیر نقطه p u در نظر می گیریم. شرط تعامد H بر را اعمال کرد مختصات H را بدست می آریم : u H ( t) y( t) ( t)

: y بر خط را بدست آرید : مثال 37: پای عمد نقطه ی H فاصله د خط متنافر تجه : فاصله ی د خط متنافر از رابطه ی : d.( u u u u ) بدست می آید که در آن نقطه ی دلخاهی ری نقطه دلخاهی ری است. : y را بدست آرید : مثال :38 فاصله ی د خط : y کدام است y 7 : y 3 مثال 39: فاصله ی د خط 7)4 8)3 ) 6 ) فاصله د خط فاصله ی د صفحه ای است که د خط در آن قرار دارند. Z=7 Z=-

معادله ی عمد مشترك د خط متنافر با پارامترهای s, t در نظ ر م ی گی ریم از اعم ال برای نشتن معادله ی B, A, را ری t s, در نتیجه B, A بدست آمده معادل ه ی را م ی AB. u AB. u شرط های نیسیم : y : y مثال 4 :معادله ی عمد مشترک د خط متنافر خط آرید. را بدست y مثال 4 : معادله ی عمد مشترک د خط را بدست آرید.