Preiswerte Energiegewinnung - Polynomiale Eigenwertprobleme

Preiswerte Energiegewinnung - Polynomiale Eigenwertprobleme Dominik Löchel Betreuer: M. Hochbruck und M. Tokar Graduiertenkolleg Dynamik heißer Plasmen Mathematisches Institut Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Kompaktseminar Juli 29

Gliederung Physikalischer Hintergrund Numerische Methoden

Energiegewinnung in der Zukunft Energiegewinnung in der Zukunft

Energiegewinnung in der Zukunft Energiegewinnung in der Zukunft Fossile Brennstoffe: gehen zu Neige, Treibhauseffekt

Energiegewinnung in der Zukunft Energiegewinnung in der Zukunft Fossile Brennstoffe: gehen zu Neige, Treibhauseffekt Wasserkraftwerke: nicht weiter ausbaubar

Energiegewinnung in der Zukunft Energiegewinnung in der Zukunft Fossile Brennstoffe: gehen zu Neige, Treibhauseffekt Wasserkraftwerke: nicht weiter ausbaubar Solarkraftwerke: möglich, aber zu teuer

Energiegewinnung in der Zukunft Energiegewinnung in der Zukunft Fossile Brennstoffe: gehen zu Neige, Treibhauseffekt Wasserkraftwerke: nicht weiter ausbaubar Solarkraftwerke: möglich, aber zu teuer Kernspaltungskraftwerk: radioaktiver Verseuchung, Uran begrenzt

Energiegewinnung in der Zukunft Energiegewinnung in der Zukunft Fossile Brennstoffe: gehen zu Neige, Treibhauseffekt Wasserkraftwerke: nicht weiter ausbaubar Solarkraftwerke: möglich, aber zu teuer Kernspaltungskraftwerk: radioaktiver Verseuchung, Uran begrenzt Fusionskraftwerk: preiswert, aber noch nicht realisierbar

Kernfusion was ist das? Kernfusion Kernspaltung Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium E = mc 2

Weshalb Kernfusion? Energiedichte

Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium

Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere starke Kernkraft

Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere starke Kernkraft hohe Temperatur und hohe Dichte ausreichend lange Zeit

Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere starke Kernkraft hohe Temperatur und hohe Dichte ausreichend lange Zeit Plasma

Energiegewinnung durch Kernfusion Fusion von Deuterium und Tritium zu Helium Überwindung der Coulomb Barriere starke Kernkraft hohe Temperatur und hohe Dichte ausreichend lange Zeit Plasma magnetischer Einschluss

TEXTOR im Forschungszentrum Jülich Tokamak Experiment for Technology Oriented Research

Bezeichnungen am Torus ϕ ist der toroidale und θ der poloidale Winkel

Tokamak toroidale Magnetfeldspulen

Tokamak toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche

Tokamak v E B B toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche Primärspule Transformator-Eisenkern

Tokamak toroidale Magnetfeldspulen magnetische Feldlinien in der Flussoberfläche Primärspule Transformator-Eisenkern

Drift-Instabilitäten

Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r + ik y iωt), I(ω) maximal

Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1.5 φ 2 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ

Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ikr r +ik y iωt) 1 φ 2.5 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ

Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1.5 φ 2 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ anomaler Transport Γ

Drift-Instabilitäten φ(θ, t) = φ(θ) exp(ik r r +ik y iωt) 1 φ 2 T / ev 25 2 15 1 5 T n p = T (θ) n(θ) 2 15 1 5 n / 1 19 m 3.5 R(φ) I(φ) innen θ außen Störungswelle φ innen θ außen anomaler Transport Γ

Drift-Instabilitäten T / ev 25 2 15 1 5 T n p = T (θ) n(θ) innen θ außen 2 15 1 5 n / 1 19 m 3

Eigenwert Gleichung generische Form: 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ = a j, b j, φ: [, 2π[ C, 2π-periodische glatte Funktionen in θ gesucht: Eigenpaar (ω, φ) mit maximaler Anwachsrate I(ω)

Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ =

Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ = Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter:

Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ = Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [, 2π[ θ

Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ = Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [, 2π[ θ a(θ) Diag(a( θ))

Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ = Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [, 2π[ θ a(θ) Diag(a( θ)) 2 D θ 2 2 finite Differenzen oder Pseudo-Spektral-Methode k f m θ k (θ ) ψ j, f k ψ j θ k (θ ) j=

Diskretisierung [ ω 3 a 3 + ω 2 a 2 + ω (a 2 ) 2 ] 1 + b 1 θ 2 + a + b θ 2 φ = Diskretisiere die Gleichung auf einem N-Punkt Gitter: [, 2π[ θ a(θ) Diag(a( θ)) 2 D θ 2 2 finite Differenzen oder Pseudo-Spektral-Methode k f m θ k (θ ) ψ j, f k ψ j θ k (θ ) j= P(ω) φ := ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ =

Einschub: Eigenwertprobleme Standard Eigenwertproblem Ax = λx (A λi)x = Standardlöser: QR-Algorithmus

Einschub: Eigenwertprobleme Standard Eigenwertproblem Ax = λx (A λi)x = Standardlöser: QR-Algorithmus Generalisiertes Eigenwertproblem Ax = λbx (A λb)x = Standardlöser: QZ -Algorithmus

Einschub: Eigenwertprobleme Standard Eigenwertproblem Generalisiertes Eigenwertproblem Ax = λx (A λi)x = Ax = λbx (A λb)x = Quadratisches Eigenwertproblem ( λ 2 M + λc + K ) x = Standardlöser: QR-Algorithmus Standardlöser: QZ -Algorithmus

Einschub: Eigenwertprobleme Standard Eigenwertproblem Generalisiertes Eigenwertproblem Ax = λx (A λi)x = Ax = λbx (A λb)x = Quadratisches Eigenwertproblem ( λ 2 M + λc + K ) x = Standardlöser: QR-Algorithmus Standardlöser: QZ -Algorithmus Polynomiales Eigenwertproblem d λ j M j x = j=

Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem)

Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem) dreifache Größe

Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem) dreifache Größe 3N Eigenpaare (ω, φ)

Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem) dreifache Größe 3N Eigenpaare (ω, φ) Eigenvektoren φ linear abhängig

allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften:

allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn

allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x)

allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x) 3. d 2: Eigenvektoren x linear abhängig.

allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x) 3. d 2: Eigenvektoren x linear abhängig. 4. λ = möglich, falls Kern(M d ) { }

allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x) 3. d 2: Eigenvektoren x linear abhängig. 4. λ = möglich, falls Kern(M d ) { } Bsp.: (M 2 λ 2 + M 1 λ + M ) x =, λ = α β, α

allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x) 3. d 2: Eigenvektoren x linear abhängig. 4. λ = möglich, falls Kern(M d ) { } Bsp.: (M 2 λ 2 + M 1 λ + M ) x =, λ = α β, α (M 2 ( α β ) 2 + M1 α β + M ) x =

allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x) 3. d 2: Eigenvektoren x linear abhängig. 4. λ = möglich, falls Kern(M d ) { } Bsp.: (M 2 λ 2 + M 1 λ + M ) x =, λ = α β, α (M 2 ( α β ) 2 + M1 α β + M ) x = (M 2 α 2 + M 1 βα + β 2 M ) x =

allgemeine Eigenschaften PEP Polynomiales Eigenwertproblem: P(λ) = d λ j M j x =, j= M C N N Eigenschaften: 1. Matrizen A, B C dn dn 2. P besitzt d N Eigenpaare (λ, x) 3. d 2: Eigenvektoren x linear abhängig. 4. λ = möglich, falls Kern(M d ) { } Bsp.: (M 2 λ 2 + M 1 λ + M ) x =, λ = α β, α (M 2 ( α β ) 2 + M1 α β + M ) x = (M 2 α 2 + M 1 βα + β 2 M ) x = (M 2 + M 1 β + β 2 M ) x = (o.b.d.a. α = 1)

Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem)

Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem) N = 124. QZ -Algorithmus: 1 Stunde.

Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem) N = 124. QZ -Algorithmus: 1 Stunde. Simulationen mit 1 Eigenwertgleichungen: 1 Jahre

Lösung des PEP ( ω 3 M 3 + ω 2 M 2 + ωm 1 + M ) φ = Eine Linearisierung: 3 ω M I ωbx = Ax M 2 M 1 M ω 2 φ + I ω φ =. I I φ (generalisiertes Eigenwertproblem) N = 124. QZ -Algorithmus: 1 Stunde. Simulationen mit 1 Eigenwertgleichungen: 1 Jahre nur ein Eigenpaar gesucht iterativer Löser, speziell Jacobi-Davidson-Verfahren

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V end loop

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = end loop

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). end loop

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. Es gilt r V. end loop

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. Es gilt r V. if r klein genug do Stopp end if end loop

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N loop (1.) Orthonormalisiere V (2.) Berechne Eigenpaare (ν, y) von V H P(ν)V y = (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). (4.) Berechne Residuum r := P(ν) u. Es gilt r V. if r klein genug do Stopp end if (5.) Löse (näherungsweise) (z.b. mit GMRES) (I w u H u H w ) P(ν)(I u u H ) t = r, t u, w := P (ν) u. (6.) Erweitere den Suchraum zu [V, t]. end loop

Jacobi-Davidson Verfahren (5.) Berechne (näherungsweise) w u (I H ) u H P(ν)(I u u H ) t = r, w t u

Jacobi-Davidson Verfahren (5.) Berechne (näherungsweise) w u (I H ) u H P(ν)(I u u H ) t = r, w Ausgehend von (ν, u) einen Newton-Schritt ( ) P(λ) x F (λ, x) := x H =. x 1 t u

Jacobi-Davidson Verfahren (5.) Berechne (näherungsweise) w u (I H ) u H P(ν)(I u u H ) t = r, w Ausgehend von (ν, u) einen Newton-Schritt ( ) P(λ) x F (λ, x) := x H =. x 1 t u andere Auflösung: Ein-Schritt-Approximation [Sleijpen 1998] t = u H Q(ν) r u H Q(ν)P (ν) u Q(ν)P (ν) u Q(ν) r, Q(ν) r = z P (ν) z = r, Q(ν)P (ν) = I Q(ν)P (ν) u = s P (ν) s = P (ν) u P (ν) = =

Jacobi-Davidson Verfahren (5.) Berechne (näherungsweise) w u (I H ) u H P(ν)(I u u H ) t = r, w Ausgehend von (ν, u) einen Newton-Schritt ( ) P(λ) x F (λ, x) := x H =. x 1 t u andere Auflösung: Ein-Schritt-Approximation [Sleijpen 1998] t = u H Q(ν) r u H Q(ν)P (ν) u Q(ν)P (ν) u Q(ν) r, Q(ν) r = z P f (ν) z = r, Q(ν)P f (ν) = I Q(ν)P (ν) u = s P f (ν) s = P (ν) u P f (ν) = =

Jacobi-Davidson Verfahren (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). Physik: Anwachsrate I(ω) maximal. V = [ v 1 ], v 1 Zufallsvektor

Jacobi-Davidson Verfahren (3.) Wähle Ritz Paar (ν, u := V y). Physik: Anwachsrate I(ω) maximal. V = [ v 1 ], v 1 Zufallsvektor gesuchtes Eigenpaar wird i.a. nicht gefunden.

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ijθ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ijθ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen.

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen.

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen. hohe Genauigkeit durch Pseudo-Spektral-Methode oder optimierte Gitterpositionen.

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen. hohe Genauigkeit durch Pseudo-Spektral-Methode oder optimierte Gitterpositionen. Eigenpaar auf nächst feinerem Gitter mit Jacobi-Davidson verbessern.

Jacobi-Davidson Verfahren (.) Wähle Suchraum V C N k, k N Möglichkeiten: Zufallsvektor Wahl des richtigen Ritzpaares fraglich V = ( exp(ij θ) ) j= m,...,m solange φ entsprechend glatt Idee: Approximation an φ verschaffen. Umsetzung: Rechnung auf gröberem Gitter Vorteil: gröbstes Gitter (z.b. N = 8) QZ, Eigenpaar auswählen. hohe Genauigkeit durch Pseudo-Spektral-Methode oder optimierte Gitterpositionen. Eigenpaar auf nächst feinerem Gitter mit Jacobi-Davidson verbessern. Wahl des Ritzpaares anhand der Ähnlichkeit zur Approximation.

Multilevel Jacobi-Davidson Verfahren Beispiel: 1 φ 2 N = 8 außen θ innen

Ergebnis Beispiel 2 1.8.6.4.2 φ 2 R(φ) I(φ) 1 θ/π 2 3

Ergebnis Beispiel 1 Beispiel 2 1 1.8.6.4.2 φ 2 R(φ) I(φ).8.6.4.2 φ 2 R(φ) I(φ) 1 θ/π 2 3 1 θ/π 2 3

Ergebnis Beispiel 1.8.6.4.2 ω =.74 +.332i 1 φ 2 R(φ) I(φ) 1 2 3 θ/π 1.8.6.4.2 φ 2 R(φ) I(φ) 1 2 3 θ/π Beispiel 2 ω =.1 +.135i 1e ω N ω 496 1e 2 1e 4 1e 6 1e 8 8 16 32 128 256 512 124 248 N

Aufwand der Rechnung ω exakter Eigenwert, ω N Näherung auf N-Punkt Gitter Genauigkeitsforderung ω ω N 1 4 ω Beispiel 1 N dim t/sec 496 6 44.78 248 6 11.17 124 7 3.14 512 6.78 256 6.16 128 5.5 64 5.4 32 5.2 16 5.4 Summe 51 59

Aufwand der Rechnung ω exakter Eigenwert, ω N Näherung auf N-Punkt Gitter Genauigkeitsforderung ω ω N 1 4 ω Beispiel 1 Beispiel 2 N dim t/sec dim t/sec 496 6 44.78 16 113.29 248 6 11.17 16 28.35 124 7 3.14 14 6.21 512 6.78 9 1.7 256 6.16 9.22 128 5.5 8.8 64 5.4 8.5 32 5.2 8.4 16 5.4 7.4 Summe 51 59 95 147

Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert

Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert Auswirkung auf die Linearisierung 3 M 2 M 1 M λ λ M 2 φ I + I λ φ = I I φ

Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert Auswirkung auf die Linearisierung 3 M 2 M 1 M λ λ M 2 φ I + I λ φ = I I φ ω α 3 M 3 α 2 M 2 αm 1 M ω 2 φ I + I ω φ = I I φ

Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j

Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j r := P( λ) x Sr = SP( λ) x

Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r )

Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung

Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung φl kann aus (ω, φ r ) bestimmt werden.

Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung φl kann aus (ω, φ r ) bestimmt werden. 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2 ) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3

Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung φl kann aus (ω, φ r ) bestimmt werden. 2 φ θ 2 = Zähler(ω) Nenner(ω) φ

Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung φl kann aus (ω, φ r ) bestimmt werden. Nenner(ω) 2 φ θ 2 = Zähler(ω)φ

Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung φl kann aus (ω, φ r ) bestimmt werden. φ l = Diag ( Nenner(ω) ) 1 φr Nenner(ω) 2 φ θ 2 = Zähler(ω)φ

Skalierung Eigenwert skalieren P(λ) = P(αω), α fest, ω skalierter Eigenwert löse SP(λ) x =, S = Diag( s), s j j optimale Skalierung zur Berechnung von ( φ l, ω, φ r ): löse S l P(λ)S r y =, x = S r y, S l = Diag( φ l ), S r = Diag( φ r ) S l, S r durch Prolongation der Grobgitterlösung φl kann aus (ω, φ r ) bestimmt werden. φ l = Diag ( Nenner(ω) ) 1 φr V := Sr 1 φr Nenner(ω) 2 φ θ 2 = Zähler(ω)φ

Aufwand der Rechnung ω exakter Eigenwert, ω N Näherung auf N-Punkt Gitter Genauigkeitsforderung ω ω N 1 4 ω Beispiel 1 Beispiel 2 Skalierung ohne mit ohne mit N dim t/sec dim t/sec dim t/sec dim t/sec 496 6 44.78 16 113.29 248 6 11.17 16 28.35 124 7 3.14 14 6.21 512 6.78 9 1.7 256 6.16 9.22 128 5.5 8.8 64 5.4 8.5 32 5.2 8.4 16 5.4 7.4 Summe 51 59 95 147

Aufwand der Rechnung ω exakter Eigenwert, ω N Näherung auf N-Punkt Gitter Genauigkeitsforderung ω ω N 1 4 ω Beispiel 1 Beispiel 2 Skalierung ohne mit ohne mit N dim t/sec dim t/sec dim t/sec dim t/sec 496 6 44.78 2 17.33 16 113.29 248 6 11.17 5 9.15 16 28.35 124 7 3.14 6 2.8 14 6.21 512 6.78 6.74 9 1.7 256 6.16 5.13 9.22 128 5.5 4.4 8.8 64 5.4 3.2 8.5 32 5.2 3.3 8.4 16 5.4 4.11 7.4 Summe 51 59 38 3 95 147

Aufwand der Rechnung ω exakter Eigenwert, ω N Näherung auf N-Punkt Gitter Genauigkeitsforderung ω ω N 1 4 ω Beispiel 1 Beispiel 2 Skalierung ohne mit ohne mit N dim t/sec dim t/sec dim t/sec dim t/sec 496 6 44.78 2 17.33 16 113.29 2 17.45 248 6 11.17 5 9.15 16 28.35 5 9.79 124 7 3.14 6 2.8 14 6.21 7 3.9 512 6.78 6.74 9 1.7 9 1.14 256 6.16 5.13 9.22 11.3 128 5.5 4.4 8.8 13.17 64 5.4 3.2 8.5 14.13 32 5.2 3.3 8.4 15.14 16 5.4 4.11 7.4 9.5 Summe 51 59 38 3 95 147 85 32

Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3

Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk

Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk Diskrete Repräsentation des Wellenzahl-Intervalls.

Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk Diskrete Repräsentation des Wellenzahl-Intervalls. Definiere Moden (ω(k ), φ(k ))

Wellenzahl Wellenzahl K 2 φ θ 2 = ω( β + zγ 3 µk 2) (1 + λ) βk + izγ 3 ĈK 2 γ1 (K 3z ω ( ) ) 1 + zγ 3 (1 + α)k 2 ( (1 + α) γ ) 2 L B (1 zγ 3 ωk ) + zω(ω + αk ) φ γ 3 Γ = I C(T, p, K ) I(ω(K )) 3 ω(k ) 2 φ(k ) 2 dk Diskrete Repräsentation des Wellenzahl-Intervalls. Definiere Moden (ω(k ), φ(k )) Verfolgen der Moden und Auffinden der maximalen Anwachsrate

Wellenzahl K =.4, K =.5 1 1 R(φ) innen θ außen

Wellenzahl K =.4, K =.5 1 1 R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ

Wellenzahl K =.4, K =.5 1 1 R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ sim ( (ω, φ), (ω, φ) ) := sim(ω, ω) sim( φ, φ)

Wellenzahl K =.4, K =.5 1 1 R(φ) innen θ außen sim(ω, ω) = exp( ω ω ) sim( φ, φ) = φ H φ sim ( (ω, φ), (ω, φ) ) := sim(ω, ω) sim( φ, φ).99.99 1..47.87.99 sim(ω, ω)=.97 1. 1., sim( φ, φ)=.28.99.87 1..96.98 1..34.45

.8 Wellenzahl.6.4.2.2.1.1.2

.8 Wellenzahl.6.4.2.2.1.1.2.8.6 I(ω).4.2.2.4.6 K

.8 Wellenzahl.6.4.2.8.6 I(ω).4.2.2.1.1.2 1.8 φ 2.6.4.2 innen θ außen.2.4.6 K

Neue Möglichkeiten Eigenwertgleichung:.2 I(ω).1 früher: Mathieu-Gleichung mit T, n jetzt: inhomogene Profile.5 1 K Γ = C(T, p, K ) I(ω)3 ω 2 φ 2 T / ev Γ / 1 23 m 2 s 1 25 2 15 1 5 4 3 2 1 innen θ außen innen θ außen

Selbstkonsistente Rechnung

Selbstkonsistente Rechnung Dämpfung in der Fixpunktiteration dynamische Dämpfung Trust region (T, p), exponentielle Terme (L n, E i )

Simulation Selbstkonsistente Rechnung n /1 19 m 3 3 4 5 6 7 Temperaturprofil Iterationen 22 282 36 97 549 Iterationen mit Eigenwertberechnung 19 2 8 17 38 Eigenwertgleichungen 1881 198 792 1683 3762 dimv N = 32 1.62 2. 2. 2.84 3. N = 64 1.25 1.81 2. 2. 3. N = 128 1. 1.4 1.44 2. 3. N = 256 1. 1. 1. 1. 3. N = 512 1. 1. 1. 1. 3. N = 124 1. 1. 1. 1. 3. Dauer / Minuten 2:42 3:1 1:16 2:55 16:58

T / ev 5 4 3 2 Selbstkonsistente Rechnung Neutralteilchenquelle bei HFS and - - LFS n = 4 1 19 m 3 1 n / 1 19 m 3 8 5 4 3 2 1 8 5 4 HFS θ LFS Γ / 1 21 m 2 s 1 8 6 4 2 HFS θ LFS

T / ev 5 4 3 2 Selbstkonsistente Rechnung Neutralteilchenquelle bei HFS and - - LFS n = 4 1 19 m 3 n = 5 1 19 m 3 1 n / 1 19 m 3 8 5 4 3 2 1 8 5 4 HFS θ LFS Γ / 1 21 m 2 s 1 8 6 4 2 HFS θ LFS

T / ev 5 4 3 2 Selbstkonsistente Rechnung Neutralteilchenquelle bei HFS and - - LFS n = 4 1 19 m 3 n = 5 1 19 m 3 n = 6 1 19 m 3 1 n / 1 19 m 3 8 5 4 3 2 1 8 5 4 HFS θ LFS Γ / 1 21 m 2 s 1 8 6 4 2 HFS θ LFS

T / ev 5 4 3 2 1 Selbstkonsistente Rechnung Neutralteilchenquelle bei HFS and - - LFS n = 4 1 19 m 3 n = 5 1 19 m 3 n = 6 1 19 m 3 n = 7 1 19 m 3 n / 1 19 m 3 8 5 4 3 2 1 8 5 4 HFS θ LFS Γ / 1 21 m 2 s 1 8 6 4 2 HFS θ LFS

Simulation: magnetische Geometrie Einfluss der magnetischen Geometrie auf den anomalen Transport 2 1 1 2 5 115 D =, E = 1, 2, 3

Simulation: magnetische Geometrie Einfluss der magnetischen Geometrie auf den anomalen Transport 2 2 1 1 1 1 2 5 115 D =, E = 1, 2, 3 2 5 115 D =.2, E = 1, 2, 3

Simulation: magnetische Geometrie Einfluss der magnetischen Geometrie auf den anomalen Transport 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 5 115 D =, E = 1, 2, 3 2 5 115 D =.2, E = 1, 2, 3 2 5 115 D =.4, E = 1, 2, 3

Simulation: magnetische Geometrie Einfluss der magnetischen Geometrie auf den anomalen Transport 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 5 115 E=3 15 1 5 E=2 E=1 D = φ 2 HFS LFS MAST parameters 2 5 115 2 5 115

Simulation: magnetische Geometrie Einfluss der magnetischen Geometrie auf den anomalen Transport 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 5 115 2 5 115 2 5 115 E=3 15 1 5 E=2 E=1 D = φ 2 HFS LFS MAST parameters 1 E=3 E=2 E=1 5 D =.2 φ 2 HFS LFS

Simulation: magnetische Geometrie Einfluss der magnetischen Geometrie auf den anomalen Transport 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 5 115 E=3 15 1 5 E=2 E=1 D = φ 2 HFS LFS MAST parameters 5 2 1 E=3 E=2 E=1 D =.2 φ 2 HFS 5 115 LFS 6 4 2 2 E=3 E=2 E=1 D =.4 φ 2 HFS 5 115 LFS

Simulation: magnetische Geometrie R(ω) I(ω).8.7.6 1 2 3 E.2.21.22.23 1 2 3 E K Γ max.46.45.44.43.42 1 2 3 E x 1 19 1 5 D = D =.2 D =.4 1 2 3 E

X-Punkt Geometrie Bisher: Limiter Maschine

X-Punkt Geometrie Bisher: Limiter Maschine Besser: Divertor Maschine

Limiter und Divertor Maschine

Randbedingung φ(θ) = φ(θ + 2πn), n Z φ(θ) = c n φ(θ + 2πn), c = exp( 2πikq), n Z, k N

φ(θ) = φ(θ + 2πn), n Z φ(θ) = c n φ(θ + 2πn), c = exp( 2πikq), n Z, k N

φ(θ) = φ(θ + 2πn), n Z φ(θ) = c n φ(θ + 2πn), c = exp( 2πikq), n Z, k N Irrationale q:

φ(θ) = φ(θ + 2πn), n Z φ(θ) = c n φ(θ + 2πn), c = exp( 2πikq), n Z, k N Irrationale q: 1.5.5 1 Torus Koordinaten φ 2 R(φ) I(φ).5 1 1.5 2 θ/π

φ(θ) = φ(θ + 2πn), n Z φ(θ) = c n φ(θ + 2πn), c = exp( 2πikq), n Z, k N Irrationale q: 1.5 Torus Koordinaten φ 2 1.5 Magnetfeld Koordinaten φ 2.5 1 R(φ) I(φ).5 1 θ/π 1.5 2.5 1 R(φ) I(φ).5 1 θ/π 1.5 2

Zusammenfassung multilevel Jacobi-Davidson Eigenwertlöser Approximation des Suchraumes auf grobem Gitter Korrekturgleichung über preiswerte LR-Zerlegung Verbesserung der Kondition durch Skalierung S l P(λ)S r Verfolgen der Eigenmoden (Wellenzahl) selbstkonsistente Rechnung: Fixpunktiteration mit problemangepasster Dämpfung physikalisches Modell bedarf der Erweiterung Auswirkung der magnetischen Geometrie auf den Verlust Ausblick: X-Punkt-Geometrie in der divertor Maschine

Preiswerte Energiegewinnung - Polynomiale Eigenwertprobleme Energiekosten P(ω) φ = 29 Zeit