Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 6: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Να υπολογιστεί ο απλός τόκος κεφαλαίου 30.000 ευρώ το οποίο τοκίσθηκε με απλό τόκο και με ετήσιο επιτόκιο 4% για 40 ημέρες. Έτος μικτό. ΛΥΣΗ I Pdi 360 ευρώ. 30.000 40 0,04 360 133,33 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Να υπολογιστεί ο απλός τόκος κεφαλαίου 120.000 ευρώ το οποίο τοκίσθηκε με απλό τόκο και με ετήσιο επιτόκιο 7% από 3.2.2015 έως και 25.5.2015. Έτος μικτό.
ΛΥΣΗ Υπολογίζουμε τις τοκοφόρες ημέρες στο διάστημα από 3.2.2015 έως και 25.4.2015. Η πρώτη ημέρα 3.2.2015 δεν λαμβάνεται υπόψη ως τοκοφόρος, ενώ η τελευταία 25.4.2015 λαμβάνεται ως τοκοφόρος. Επομένως: 3.2.2015 28.2.2015: 25 ημέρες 1.3.2015 31.3.2015: 31 ημέρες 1.4.2015-25.4.2015: 25 ημέρες Σύνολο: 81 τοκοφόρες ημέρες Συνεπώς: 120.00081 0,07 I Pdi 360 360 ευρώ. 1890
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Ένα άτομο πούλησε ένα αυτοκίνητο και δάνεισε το 1/3 του ποσού που έλαβε για 40 ημέρες με ετήσιο επιτόκιο 6% και το υπόλοιπο για 70 ημέρες με ετήσιο επιτόκιο 9%. Ο απλός τόκος του δεύτερου ποσού είναι μεγαλύτερος από τον απλό τόκο του πρώτου κατά 150 ευρώ. Πόσο πούλησε το αυτοκίνητο; Έτος μικτό. ΛΥΣΗ 1 2 Έστω P1 P και P2 P, όπου P 3 3 είναι το ποσό που έλαβε το άτομο από την πώληση του αυτοκινήτου. Επίσης, I I 150. 2 1
Όμως: I 1 και I 2 P1 d1 i 360 P 2 1 d2 i 360 Επομένως, 2 1 3 P 40 0,06 2 3 360 360 P 70 0,09 2,4 P 1080 6,3 P 540 6,3 P 2,4 P I2 I2 150 150 540 1080 0,0098 P 150 P 15.306,12 ευρώ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Τι ποσό πρέπει να δανείσουμε στις 6 Απριλίου 2015 με επιτόκιο 6% για να
λάβουμε στις 24 Αυγούστου 2015 40.000 ευρώ; Έτος εμπορικό. ΛΥΣΗ Υπολογίζουμε τις τοκοφόρες ημέρες στο διάστημα από 6.4.2015 έως και 24.6.2015. Η πρώτη ημέρα 6.4.2015 δεν λαμβάνεται υπόψη ως τοκοφόρος, ενώ η τελευταία 24.6.2015λαμβάνεται ως τοκοφόρος. Το έτος είναι εμπορικό, επομένως κάθε μήνας λαμβάνεται υπόψη με 30 ημέρες. Επομένως: 6.4.2015 30.4.2015: 25 ημέρες 1.5.2015 30.5.2015: 30 ημέρες 1.6.2015-24.6.2015: 24 ημέρες Σύνολο: 79 τοκοφόρες ημέρες
Συνεπώς: I Pdi 360 40.000 79 0,06 360 526,66 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Ένα κεφάλαιο τοκίζεται με απλό τόκο για 10 μήνες και γίνεται 80.000 ευρώ. Το νέο κεφάλαιο τοκίζεται και πάλι για 5 μήνες με το ίδιο επιτόκιο και γίνεται 100.000 ευρώ. Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο και το επιτόκιο. ΛΥΣΗ Έστω P το αρχικό κεφάλαιο. Αυτό το κεφάλαιο μετά από 10 μήνες γίνεται 80.000 ευρώ, δηλ. η τελική του αξία θα είναι: FV 80. 000. 10i Επομένως, FV P ( 1 ) 80. 000 12
Επιπλέον, το ποσό των 80.000 ευρώ τοκίζεται εκ νέου και γίνεται 100.000 ευρώ, δηλ. 10 i 100.000 80.000 (1 ) 12 10 i 1,25 1 12 10 i 0,25 12 i 0,3 Συνεπώς από τη σχέση: 10 0,3 FV P (1 ) 12 1,25 P 80.000 P 64.000 80.000
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Ένα άτομο καταθέτει σε μια τράπεζα το 2015 τα ακόλουθα χρηματικά ποσά: στις 12 Μαρτίου 1.500 ευρώ, στις 25 Μαρτίου 3.000 ευρώ και στις 5 Απριλίου 3.500 ευρώ. Τι απλό τόκο θα λάβει στις 2 Μαΐου 2015, εάν υποθέσουμε ότι το επιτόκιο είναι 6% και το έτος μικτό; Να εφαρμοστεί ο τύπος του σταθερού διαιρέτη. ΛΥΣΗ Ο σταθερός διαιρέτης ισούται με D 360 0,06 6.000 Επομένως ο συνολικός απλός τόκος ισούται με
P1 d1 P2 d2 P3 d, D I 3 όπου d 1, d2, d3 οι τοκοφόρες ημέρες. Υπολογίζουμε τις τοκοφόρες ημέρες. Επομένως: 12.3.2015 2.5.2015: 51 ημέρες 25.3.2015 2.5.2015: 38 ημέρες 5.4.2015-2.5.2015: 27 ημέρες Σύνολο: 116 τοκοφόρες ημέρες Αντικαθιστώντας στον παραπάνω τύπο, έχουμε 1.500 51 3.000 38 3.500 27 I 6.000 47.5
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7. Ένα κεφάλαιο τοκίσθηκε επί 80 ημέρες με επιτόκιο 5% και έγινε μαζί με τους τόκους 40.000 ευρώ. Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο με τη μέθοδο του σταθερού διαιρέτη, αν υποθέσουμε ότι το έτος είναι μικτό. ΛΥΣΗ Επειδή ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες, εφαρμόζουμε τη σχέση: FV D 360 P, όπου D 7. 200 D d 0,05 Συνεπώς, P FV D D d 40.0007.200 7.200 80 39.560,5
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8. Να βρεθεί το κεφάλαιο το οποίο ελαττωμένο κατά τον απλό τόκο 60 ημερών και με επιτόκιο 4% γίνεται 30.000 ευρώ. Έτος μικτό. ΛΥΣΗ P Εφαρμόζουμε τη σχέση: P D D d 30.0009.000 9.000 60 0 30.201,3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9. Ένα άτομο τόκισε με απλό τόκο τρία ίσα κεφάλαια στο ίδιο χρονικό διάστημα με επιτόκιο 4%, 6% και 8%, αντίστοιχα. Να βρεθεί το μέσο επιτόκιο που τόκισε τα κεφάλαια.
ΛΥΣΗ Επειδή τα κεφάλαια είναι ίσα μεταξύ τους, το μέσο επιτόκιο θα υπολογιστεί εάν προσθέσουμε τα τρία επιτόκια και διαιρέσουμε το άθροισμά τους δια τρία. Συνεπώς, i i2 i3 3 0,04 0,06 0,08 3 1 0,06
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».
[1]http://creativecommons.org/licenses/ από-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να
χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. διαθέσιμο με άδεια CC-BY Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού.
διαθέσιμο ως κοινό κτήμα Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. χωρίς σήμανση Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.