ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ios ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΜΙΚΡΟΤΟΝΙΚΩΝ ΚΛΙΜΑΚΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ios ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΜΙΚΡΟΤΟΝΙΚΩΝ ΚΛΙΜΑΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΦΟΙΤΗΤΗ: ΘΕΟΦΑΝΗΣ ΠΡΑΠΑΒΕΣΗΣ - ΣΕΜΕΤΖΙΔΗΣ ΑΕΜ: 1431 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΙΟΝΥΣΙΟΣ ΠΟΛΙΤΗΣ 1 of 26

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ 3 Τί είναι μουσική 3 Μουσικά όργανα 5 Κλίμακα 7 Οκτάβα και ημιτόνιο 8 Τόνοι και ημιτόνια 9 ΜΙΚΡΟΤΟΝΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ 10 Οι συχνότητες στην μικροτονική μουσική 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ 12 Τί είναι ios 12 Τί είναι XCODE 13 Τί είναι η βιβλιοθήκη COCOS2D-SWIFT 14 Τί είναι τα Audiounits 15 Το εργαλείο ipad. 16 Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ MODULAR KEYS 17 Εισαγωγή στην εφαρμογή Modular Keys 17 Η δομή της εφαρμογής 17 Δημιουργία του πιάνου 20 Συχνότητες 22 Ήχος 24 Συμπέρασμα 24 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 25 2 of 26

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ Τί είναι µουσική εν αρχή ην ο ρυθµός Hans von Bülow Η µουσική εξελίχθηκε παράλληλα µε τον ανθρώπινο πολιτισµό, τη γλώσσα και σε όλα τα µήκη και πλάτη της γής. Διαφοροποιήθηκε ανάλογα της θρησκείας, των κλιµατικών συνθηκών, της αντίληψης και των πολιτισµικών αξιών κάθε λαού. Αρχαία συγγράµµατα αποδεικνύουν ότι όλοι οι µεγάλοι πολιτισµοί της ανθρωπότητας καλλιέργησαν την µουσική στη κοινωνία τους. Η µουσική στην αρχαία Ελλάδα, πήρε την ονοµασία της από της εννιά (9) Μούσες της µυθολογίας. ήταν δε γνωστή και ως Απολλώνια Τέχνη. Στην Κίνα η µουσική χρονολογείται από το 7.000 πχ, ενώ στην Ινδία Ινδια υπάρχουν οι αρχαιότερες αναφορές γύρω από την µουσική. Οι Βυζαντινοί δε, συνέδεσαν την µουσική µε την ανάγκη τους να εξυµνήσουν την Θεία Ύπαρξη, προσπάθησαν να απόδώσουν στους ψαλµούς τους, πόσο ευγνώµων νιώθουν απέναντί Της. Είναι λοιπόν η µουσική το θρόισµα το φύλλων, το χτυποκάρδι, µία µαθηµατική αναλογία, το µπάσσο ενός ηχείου ή ένα νανούρισµα; Η δυτική θεώρηση, που έθεσε και τις βάσεις τη σύγχρονης επιστήµης της µουσικής, ορίζει την µουσική ως την Τέχνη και Επιστήµη των ήχων ή απλά ο οργανωµένος ήχος. Είναι µία οργάνωση των ήχων που σκοπό έχει την σύνθεση και εκτέλεση µίας αλληλουχίας ήχων. Το λεξικό του πανεπιστηµίου της Οξφόρδης ορίζει την µουσική: µια από τις καλές τέχνες που ασχολείται µε το συνδυασµό ήχων µε σκοπό την οµορφιά ως προς τη φόρµα και την έκφραση των σκέψεων και συναισθηµάτων. Σύµφωνα µε τον Νίτσε χωρίς την µουσική η ζωή θα ήταν ένα λάθος. Πράγµατι, η µουσική είναι κατά µία έννοια αφηρηµένη και απροσδιόριστη. Οι µουσικόφιλοι για παράδειγµα, εστερνίζονται την άποψη του Νίτσε, θεωρώντας την µουσική ως προέκταση του ψυχικού τους κόσµου. Και είναι µία αλήθεια καθώς η µουσική ενεργοποιεί έναι αισθητηριακό χαρακτηριστικό, το συναίσθηµα. Από την άλλη όµως, η µουσική υπόκειται σε κανόνες και νόµους που µόνο η επιστήµη των µαθηµατικών µπορεί να περιγράψει. Μάλιστα, ο ιδρυτής µίας από τις σηµαντικότερες αιρέσεις της αρχαίας Ελλάδας, ο Πυθαγόρας, θεµελίωσε επιστηµονικά την σηµερινή µουσική. Κατασκεύασε το πρώτο επιστηµονικό, καταγγεγραµένα, µουσικό όργανο το µονόχορδο- γνωστό και ως µονοχορδο του Πυθαγόρα και προσδίορισε την µαθηµατική σχέση µεταξύ του µηκους των χορδών και το τονικό ύψος που δίνουν. Δηλαδή το διάστηµα. Σύµφωνα µε τον Πυθαγόρα, το διάστηµα στην µουσική και την γεωµετρία ήταν σχέση δύο αριθµών προς αλλήλους. 3 of 26

Οι Πυθαγόρειοι επικοινωνούσαν και µυστικά µε κώδικα που έγραφαν στα συγγράµµατά τους. Ο κώδικας αυτός αποδείχθηκε ότι βασίζοντας στην αρχή της µουσικής κλίµακας. Ο Πυθαγόρας έµεινε γνωστός στην ιστορία στα Μαθηµατικά στην Γεωµετρία και στην Μηχανική. Λίγοι γνωρίζουν την συµβολή του στην µουσική. Τον Φεβρουάριο 1997 στο περιοδικό Neurological Research, ερευνητές του Πανεπιστηµίου της California στο Irvine και του Πανεπιστηµίου του Wisconsin, ανέφεραν ότι το άκουσµα της µουσικής διεγείρει τους νευρώνες του εγκεφαλικού φλοιού, οι οποίοι χρησιµοποιούνται για τη χωρο-χρονική αντίληψη. Νωρίτερα ο Dickinson, 1993,διατύπωσε ότι η µουσική ενεργοποιεί το δεξιό ηµισφαίριο του εγκεφάλου, ενή η µελέτη θεωρίας, τα µαθηµατικά και η µηχανική το δεξιό ηµισφαίριο ηµισφαίριο. Η µουσική εποµένως δεν προσδιορίζεται µόνο µε ένα τρόπο, µία περιγραφή ή ένα κείµενο. Αποτελεί αναπόσπαστο κοµµάτι του ανθρώπινου πολιτισµού, συνδέεται µε την φύση, για πολλούς είναι η έκφραση της Φύσης και δεν εντάσσεται σε κοινωνικά πλαίσια. Μία κλασσική µελωδική µουσική, ένας ήχος της punk µουσικής, ηχεί διαφορετικά σε ανθρώπους από διαφορετικές κοινωνικές τάξεις και οµάδες. 4 of 26

Μουσικά όργανα Οποιδήποτε µέσο, φυσικό ή µη, που δύναται να παράγει ένα είδος ήχου µπορεί να θεωρηθεί µουσικό όργανο. Παρολαυτά επικρατεί σήµερα η έννοια ότι µουσικό όργανο δεν είναι ένα κοχύλι, που παράγει ήχο, αλλά κάποια εφεύρεση ή µία κατασκευή. Η εµφάνισή τους τοποθετείται στα πρώτα στάδια του ανθρώπινου πολιτισµού και στις ηµερες µας, πολλές υποκουλτούρες της µουσικής αλλά και άλλες, δηµιουργούν κατασκευάζουν και παράγουν νέα µουσικά όργανα, άγνωστα µέχρι πρόσφατα. Οι ιδιότητες ενός µουσικού όργανου αποτελεί και ένα χαρακτηριστικό που το ταξινοµεί και στην αντίστοιχη οικογένεια µουσικών οργάνων, όπως τρόπος παραγωγής του ήχου. Άλλο σύστηµα ταξιµόµησης αναφέρεται στην θέση που τοποθετείται σε µία κλασσική σύνθεση. Οι Μουσικολόγοι Φον Ε. Χόρνµποστελ (1914) και Κ. Ζακς (1940),διέκριναν τα µουσικά όργαν στις παρκάτω κατηγορίες. Ιδιόφωνα: µουσικά όργανα κατασκευασµένα από φυσικά γήινα υλικά (πέτρα, ξύλο) που παράγουν ήχο από την δόνηση αυτών, χωρίς να διαθέτουν κάποιες µεµβράνες ή χορδές. Μεµβρανόφωνα: είναι εκείνα τα µουσικά όργανα τα οποία παράγουν ήχο µέσω ταλάντωσης µίας µεµβράνης από δέρµα ή πλαστικό, ο οποίος µεγεθύνεται µέσα από το σώµα του µουσικού οργάνου, λειτουργώντας ώς ηχείο. Χορδόφωνα: µουσικά όργανα τα οποία παράγουν ήχο µέσω ταλάντωσης µίας χορδής, που ανάλογα µε τονικό ύψος της, µεγεθύνεται και αντίστοιχα µε την βοήθεια του σώµατος του οργάνου. Σηµειώνεται ότι η χορδή και το σώµα του οργάνου συνδέονται µέσω µίας γέφυρας, που µεταφέρει τις δονήσεις της χορδής στο σώµα. Αερόφωνα: ονοµάζονται τα µουσικά όργανα στα οποία ο ήχος παράγεται µέσω της δόνησης µιας στήλης αέρα, χωρίς την κατά συνθήκη χρήση χορδών, µεµβρανών. Ηλεκτρονικά µουσικά όργανα: µουσικά όργανα πο κατασκευάζονται και παράγουν ήχο µε την χρήση των ηλεκτρονικών κυκλωµάτων. Για παράδειγµα, το συνθεσάιζερ, το ηλεκτρονικό πιάνο είναι ηλεκτρονικά µουσικά όργανα. Σήµερα τα ηλεκτρονικά µουσικά όργανα υπόκεινται σε διαρκούς πειραµατισµούς και προγραµµατισµούς. Η επανάσταση στον κόσµο της πληροφορικής και οι υποκουλτούρες που δηµιούργησε το διαδίκτυο προσεγγίζουν πια την δηµιουργία µουσικών οργάνων µε µοναδικό τρόπο. Υπάρχει µία διαδικασία που ορίζεται ως circuit bending και συνδέεται µε την κουλτούρα των hackers: ένα ηλεκτρονικό αντικείµενο που παράγει ήχο, επαναπρογραµµατίζεται, βραχυκυκλώνεται, προστίθενται νέα ηλεκτρονικά συστατικά και µετατρέπεται σε µουσικό όργανο. Αυτού του είδους hardware hacking αποτέλεσε και την βάση του ρεύµατος της noise music.to tex nihilo κα το theremin είναι ένα από αυτά. Τέλος σήµερα σε ένα υπερσυνδεδεµένο κόσµο, στον κόσµο του διαδικτύου τα ψηφιακά όργανα έχουν δηµιουργήσει µία νέα ένταση, την οποία πραγµατεύεται και η παρούσα εργασία: εφαρµογές, κινητού ταµπλέτας και υπολογιστή. Η 5 of 26

επανάσταση στα µουσικά όργανα είναι εδώ και το κοινό αναζητά και αναµένει νέες εφαρµογές και χρήσεις των ψηφιακών συσκευών για την δηµιουργία και εκτέλεση µία µουσικής ακολουθίας. of 6 26

Κλίµακα Η µουσική δηµιουργείται από συγκεκριµένες συχνότητες, τις νότες (ήχοι που έχουν διαφορετικό τονικό ύψος). Αυτές διατάσσονται µε συγκεκριµένο τρόπο,δηλαδή τοποθετούνται ετσι ώστε κάθε νότα να απέχει µία συγκεκριµένη απόσταση από την άλλη. Η ακολουθία που δηµιουργείται από την τοποθέτηση των µουσικών ήχων/ νότες µε συγκεκριµένο τρόπο για την δηµιουργία και εκτέλεση τραγουδιών και µουσικού ήχου, ποικίλει όπως αναφέρθηκε παράπάνω, από πολιτισµό σε πολιτισµό. Κάθε λαός κατάφερε να µεταφράσει αυτή την ακολουθία σε ήχους ζωής και θανάτου( νανούρισµα και µοιρολόι αντίστοιχα), συνδέοντας συγκεκριµένες ηχητικές απόστάσεις µε τον αισθητηριακό τους κόσµο( χαρµολύπη, χαρά, οδύνη). Κλίµακα στην µουσική ορίζεται ώς µία ακολουθία από νότες που ο αριθµός τους ποικίλει. είναι οι διαδοχικές νότες από ένα διάστηµα σε ένα άλλο.οι κλίµακες διακρίνονται σε µαντζόρε (µείζων) και µινόρε (ελλάσσων), ο οποίες έχουν τις δικές τους υποδιαιρέσεις. Οι κλίµακες διατάσσονται διαφορετικά µεταξύ τους, έχουν πολυάριθµες µορφές και ανάλογα µε τον πολιτισµικό πλαίσιο του φορέαδηµιουργού, προσδιορίζονται και µε µοναδικά. Δρόµος, σκοπός, Δώριος ή Δωρικός, Λύδιος, πλάγιοι ήχοι κυριοι ήχοι, περντέ τιάο ράγκα είναι ορισµένες από τις ονοµασίες που έχουν λάβει γενικά οι µουσικές κλίµακες στον αρχαίο ελληνικό, βυζαντινό, πέρσικο, κινέζικο και ινδικό πολιτισµό αντίστοιχα. Ιδιαίτερη αναφορά αξίζουν οι κλίµακες µουσικής των λαών της ανατολής, που είναι χτισµένες, στην πλειονότητά τους σε πεντατονικό τρόπο και µπορεί να περιέχχουν 4 έως και 32 νότες, σε αντίθεση µε τις µαντζόρε και µινόρε κλίµακες, που είναι οκτάφθογγες( επτά διαφορετικές νότες µία αρχική που επαναλάµβάνεται: Ρε, Μι, Φα, Σολ,Λα, Σι, Ντο,Ρε. Επιστρέφοντας πίσω στους Πυθαγόρειους και στο µονοχορδο του Πυθαγόρα, αυτοί ανακάλυψαν και καθόρισαν τις µαθηµατικές σχέσεις µε τις νότες: βρήκαν ότι ο ήχος που παράγεται από µία τεντωµένη χορδή, είναι ανάλογη του µήκους της και ότι οι ήχοι που είναι αρµονικόι µεταξύ τους, παράγονται από χορδές των οποίων τα µήκη έχουν λόγος ακέραιων αριθών 11. Λέγεται µάλιστα ότι ο Πλάτωνας, όντας κρυφός µύστης του Πυθαγόρα, χρησιµοποιούσε κλίµακα, µία ακολουθία που επικοινωνούσε µέσω αυτής,µε τους υπόλοιπους κρυφούς µύστες. Βρέθηκε ότι όλα τα έργα του Πλάτωνα διαιρούνται σε δώδεκα διαστήµατα και κάθε τελευταίο διάστηµα περιέχει µία λέξη-κλειδί γύρω από την µουσική. Όταν συνδιαστούν αυτές οι λέξεις σε κάθε έργο δηµιουργείται µία φράση, αντιπροσωπευτική του µηνύµατος που ήθελε ο Πλάτων να στείλει: κοινώς ο Πλάτων έγραφε κώδικα. Τέλος σύµφωνα µε την πυθαγόρεια αστρονοµία οι πλανήτες µαζί µε την Γη, παράγουν µουσική, λόγω των ταχυτήτων τους και την µεταξύ τους απόσταση. Η µουσική αυτή δηµιουργούν µια αρµονία. 7 of 26

Οκτάβα και ηµιτόνιο Ξεκινώντας να προσεγγίσουµε την έννοια της οκτάβας, πρέπει αρχικά να αντιληφθεί κανείς ότι ο παραπάνω όρος, δεν εξηγεί τίποτα άλλο πέρα από το διάστηµα, µία απόσταση δηλαδή σε σχέση µε κάτι άλλο. Οκτάβα είναι η απόσταση µεταξύ δύο ήχων ανάµεσα στον πρώτο και τον τελευταίο ήχο/ νότα µιας οκτάφθογγης κλίµακας,. Είναι το τµήµα του τραγουδιού, µουσικού οργάνου από τη νότα ΝΤΟ µέχρι την επόµενη ΝΤΟ. Επίσης και από τον κόσµο της ηλεκτρονικής µουσικής µπορούµε να προσδιορίσουµε την οκτάβα: Σύµφωνα µε τον συγγραφέα Δηµήτρη Ευαγγελόπουλο µια συχνότητα λέµε ότι είναι κατά µια οκτάβα µεγαλύτερη σε σχέση µε κάποια άλλη, όταν έχει διπλάσια τιµή από αυτήν (αντίστοιχα και για την περίπτωση της κατά µια οκτάβας µικρότερης). Δηλαδή αν συχνότητα κυµαίνεται στα 440Ηz, λέµε ότι είναι κατά µία οκτάβα µεγαλύτερη της συχνότητας των 220 Hz. Η ελάχιστη ηχητική απόσταση που προσδιορίζει η Δυτική µουσική επιστήµη, είναι το ηµιτόνιο. Αρκεί να κοιτάξουµε ένα πιάνο για να καταλάβουµε τί είναι το ηµιτόνιο: η απόσταση µεταξύ δύο λευκών πλήκτρων που δε τα χωρίζουν τα µαύρα πλήκτρα. για παράδειγµα ηµιτόνιο είναι η απόσταση ανάµεσα στο Φα# και το Σολ, αλλά και η απόσταση ανάµεσα στα Μι και Φα. Είναι φανερό ότι µία οκτάβα έχει 12 σκαλοπάτια ήχου µέχρι να καλυφθεί η απόσταση αυτή. Φα Μι 8 of 26

Τόνοι και ηµιτόνια Παρατηρώντας το πιάνο και έχοντας υπόψιn ότι η κλίµακα είναι µία σκάλα ήχων, τότε µπορούµε αν διακρίνουµε δύο είδη σκαλοπατιών: το ηµιτόνιο και ο τόνος, που είναι δύο ηµιτόνια.η διαφορά του ήχου από τη µια νότα στην άλλη διαδοχική ονοµάζεται τόνος. πχ. ντο(c) σε ρε(d). Για παράδειγµα η γνωστή ως Μείζων κλίµακα, γνωστή και ως κλίµακα του Ντο, παίζεται µόνο στα λευκά πλήκτρα από την νότα Ντο έως και την επόµενη νότα Ντο. Το Ηµιτόνιο ή αλλιώς, διάστηµα δεύτερης µικρής, είναι το "κοντό" σκαλοπάτι στη δοµή της κλίµακας, ενώ Ο Τόνος ή αλλιώς διάστηµα δεύτερης µεγάλης είναι το "ψηλότερο" σκαλοπάτι στη δοµή της κλίµακας. Ντο # Φα 9 of 26

ΜΙΚΡΟΤΟΝΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ Τί είναι η µικροτονική µουσική Η µικροτονική µουσική είναι κάθε είδους µουσικός ήχος που παράγεται από διαστήµατα µικρότερα των συµβατικών ηµίτονων. Περιλαµβάνει οποιοδήποτε τόνο διαφέρει από την συµβατική δωδεκάτονη δυτική µουσική. Επίσης, µπορεί να αναφέρεται σε οποιοδήποτε σύστηµα που δεν συµβαδίζει µε το δυτικό δωδεκάτονο σύστηµα. Ένα παράδειγµα αποτελεί το ινδικό sruti, αντίστοιχο σύστηµα µε 22 υποδιαιερέσεις. Ο όρος sruti στην µουσική θα µπορούσε κανείς να το µεταφράσει ώς αφουγράσου αφου µία διαφορετική προσέγγιση στο τί είναι η µουσική. Για τους Ινδούς το ελάχιστο ηχητικό σήµα που αντιλαµβάνονται είναι ήχος και µουσική. Η Μικροτονική κλίµακα συναντάται σε πληθώρα πολιτισµών και λαών όπως είναι Βυζαντινή µουσική, η Ινδική αλλά και η παραδοσιακή µουσική σε όλη την υφήλιο των χωρών της Ταυλάνδης και Ινδονησίας. 10 of 26

Οι συχνότητες στην µικροτονική µουσική Σύµφωνα µε τις βάσεις που έχει θέσεις η δυτική επιστήµη στην καθιέρωση και συσταµατοποίηση της µουσικής, σε µία τυπική ωδεκάτονη κλίµακα η συχνότητα ορίζεται από τον τύπο όπου F0 είναι η αρχική συχνότητα και n το πλήθος τοων πλήκτρων από το πρώτο. Ο αριθµός δώδεκα (12) στον παρανοµαστή του εκθέτη προκύπτει από τοπλήθος των πλήκτρων της κλίµακας. of 11 26

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Τί είναι ios ios (OS): λογισµικό για κινητά, iphone, Pod touch, ipad, Apple TV το οποίο αναπτύχθηκε και διανέµεται από την Apple Inc. To App Store της Apple( ο χώρος όπου οι χρήστες κατεβάζουν τις εφαρµογές της Αpple)διαθέτει πάνω από 1,2 εκατοµµύρια ios εφαρµογές, οι χρήστες δε, τις έχουν κατεβάσει 60 δισεκατοµµύρια φορές. Κατέχει ένα 21% της αγοράς smartphone παγκόσµια και το ios θεωρείται ένα από τα πιο αξίοπιστα και σταθερά λογισµικά για έξυπνα κινητά. 12 of 26

Τί είναι XCODE Το Xcode είναι ένα ολοκληρωµένο περιβάλλον ανάπτυξης και κατασκευής λογισµικού και εφαρµογών για τα προϊόντα της Apple για το OS X και ios. Χρησιµοποιεί την γλώσσα προγραµµατισµού Obective-C όπως Java, C, C++ και υποστηρίζει πολλές άλλες όπως Διατίθεται από το 2003 και είναι δωρεάν εφαρµογή σε Mac OS X Lion, OS X Mountain Lion και OS X Mavericks. Σήµερα, οι εγγεγραµµένοι προγραµµατιστές στο πρόγραµµα πιστοποίησης της Apple έχουν σήµερα την δυνατότητα να κατεβάσουν την 6x beta version. Επίσης, ενσωµατωµένο προσοµοιωτή λειτουργίας των εφαρµογών που αναπτύσσει ένας προγραµµατιστής στο περιβάλλον εργασίας του Xcode. 13 of 26

Τί είναι η βιβλιοθήκη COCOS2D-SWIFT Η βιβλιοθήκη Cocos2D είναι µία βιβλιοθήκη κατασκευασµένη πάνω στο πλαίσιο OpenGL ES 2.0. Στόχος της πλατφόρµας είναι η κατσκευή 2D παιχνιδιών και βασίζεται στο προγραµµατισµό του OpenGL. Στην τελευταία έκδοση (3.0)συµπεριλαµβάνεται και ο SpriteBuilder, εικονικός επεξεργαστής 2d παιχνιδιών. Η βιβλιοθήκη Cocos2D συµπεριλαµβάνει: Scene Management: τα παιχνίδια ενσωµατώνουν άπειρες εικόνες.η βιβλιοθήκη Cocos2D δίνει την δυνατότητα εναλλαγή των σκηνών και εικόνων. Scene Graph Rendering: Η βιβλιοθήκη επιτρέπει τον τρόπο που εµφανίζονται και εναλλάσονται οι σκηνές του παιχνιδιού. Render Loop & Action System: Cocos2D προσφέρει δύο διακριτές δυνατοτητες εναλλαγής των σκηνών: είτε χρησιµοποιώντας την µέθοδο της ανανέωσης (update method) είτε µε το σύστηµα προσδιορισµού της κίνησης(action system) βιβλιοθήκης Integrated physics engine: Η βιβλιοθήκη Cocos2D ενσωµατώνει µια πολύ χρηστική µηχανή προσοµοίωσης συνθηκών (physics engine). 14 of 26

Τί είναι τα Audiounits Core Audio(Audiounits) είναι µία βιβλιοθήκη που υποστηρίζει την δηµιουργία και κατακευή εφαρµογών ήχου για ios και OS X. Oι δυνατότητες της βιβλιοθήκης Core Audio περιλαµβάνει την αναπαραγωγή, την καταγραφή, επεξεργασία και µετατροπή αρχείων ήχου. Δυνατότητες και λειτουργίες Αυτόµατη πρόσβαση στην είσοδο ήχου και την παραγωγή υλικού API s γιατην δηµιουργία πληθώρα εφαρµογών γύρω από τις χρήσεις του ήχου σε οποια Το Core Audio περιλαµβάνει την καταγραφή, επεξεργασία, αναπαραγωγή, συµπίεσης και αποσυµπίεσης, MIDI, επεξεργασία σήµατος και σύνθεση ήχου. Μπορεί να χρησιµιποιηθεί και ανεξάρτητα για την δηµιουργία γενικότερα µουσικής και ήχου. 15 of 26

Το εργαλείο ipad. Σύµφωνα µε την Apple, Inc. 'Το ipad είναι ένας φορητός υπολογιστής αφής, σε µορφή ταµπλέτας που κατασκευάζεται και διανείµεται από τηνapple. Η αναγγελία της παραγωγής του έγινε στις 27 Ιανουαρίου 2010 και θεωρείται ότι ανήκει σε µια κατηγορία µεταξύ των έξυπνων τηλεφώνων και του φορητού υπολογιστή. Ενδεικτικά αναφέρονται ορισµένα κατασκευαστικά χαρακτηρηστικά. Οθόνη Retina Οθόνη Multi-Touch 9,7 ιντσών (διαγώνιος) µε οπίσθιο φωτισµό LED και τεχνολογία IPS Ανάλυση 2048x1536 px A8X chip µε αρχιτεκτονική 64 bit και συνεπεξεργαστή κίνησης M8 Βίντεο 720p HD Κλήσεις βίντεο FaceTime µέσω Wi-Fi ή δικτύου κινητής τηλεφωνίας3 Ανίχνευση προσώπου Οπίσθιος φωτισµός Τouch ID Γυροσκόπιο τριών αξόνων Επιταχυνσιόµετρο Αισθητήρας φωτισµού περιβάλλοντος Βαρόµετρο 16 of 26

Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ MODULAR KEYS Εισαγωγή στην εφαρµογή Modular Keys Η εφαρµογή Modular Keys είναι ένας προσοµοιωτής πιάνου φτιαγµένος για το ipad. Η εφαρµογή δέχεται εισαγωγή µια ακολουθίας αριθµών απο τον χρήστη και κατασκευάζει το πιάνο σύµφωνα µε αυτήν την ακολουθία. Με αυτόν το τρόπο δίνεται η δυνατότητα στον χρήστη να κατασκευάσει ένα πιάνο συγκεκριµένης ή µικροτονικής κλιµακας. Επίσης δίνεται η δυνατότητα αλλαγής της βασικής συχνότητας, βάση της οποίας καθορίζονται και οι συχνότητες των άλλων πλήκτρων. Η δοµή της εφαρµογής Modular Keys [+]Modular Keys [+]Resources [+]Libraries [+]Classes -AppDelegate.h -AppDelegate.m -HelloWorldScene.h -HelloWorldScene.m [+]Engine -Engine.h -Engine.m [+]Keyboard -Key.h -Key -CustomKey.h -CustomKey.m -BlackControl.h -BlackControl.m -Keyboard.h -Keyboard.m -MusicBox.h -MusicBox.m [+]Supporting Files [+]Frameworks [+]Products [+]Modular Keys: Ο φάκελος µε τα αρχεία της εφαρµογής 17 of 26

[+]Resources: Εδώ βρίσκονται όλα τα αρχεία των γραφικών που χρησιµοποιούνται στην εφαρµογη Modular Keys καθώς και το αρχείο info.plist µε βασικες ρυθµίσεις της εφαρµογης. [+]Libraries: Σε αυτόν τον φάκελο βρίσκονται οι βιβλιοθήκες που είναι απαραίτητες για την εφαρµογή όπως έιναι το cocos2d και το cocos2d-ui. [+]Classes: Οι κλάσεις της εφαρµογής για την δηµιουργία του πιάνου και του ήχου. [-]AppDelegate: Η κλάση αυτή καλείται µε το που ξεκινήσει η εφαρµογή και εµφανίζει ως σκηνή την αρχική οθόνη του πιάνου. [-]HelloWorldScene: Η βασική σκηνή (CCScene) της εφαρµογής. Εδώ πάνω δηµιουργούνται όλα τα πλήκτρα και τα κουµπιά της εφαρµογής δηµιουργώντας ένα αντικείµενο MusicBox που περιέχει το ολοκληρωµένο πιάνο. Εχεί γίνει ειδική υλοποίηση της διαχείρισης της αφής για να υπάρχει η δυνατότητα ώστε η εφαρµογή να αναγνωρίζει τις συρόµενες κινήσεις πάνω στα πλήκτρα. [-]Engine: Η κλάση αυτή είναι η µόνη της εφαρµογής που δεν χρησιµοποιεί την βιβλιοθήκη cocos2d. Δηµιουργεί ένα αντικείµενο AudioUnit µε τα δεδοµένα συχνότητας και πλάτους της νότας που λαµβάνει. Έχει µεθόδους για την δηµιουργία, αναπαραγωγή και διακοπή της πληροφορίας ήχου. [-]Key: Κλάση στοιχείου γραφικών (CCsprite) για το κάθε πλήκτρο. Σε αυτήν την κλάση υπάρχουν οι πληροφορίες του κάθε πλήκτρου όπως συχνότητα, πλάτος νότας, ποσοστό ύψους, ποσοστό πλάτους, αν είναι ενεργοποιηµένο (πατηµένο) το πλήκτρο, το όνοµα της νότας η εικόνα (γραφικό) καθώς και η µουσική µηχανή (Engine) που έχει δηµιουργηθεί για το αντίστοιχο πλήκτρο. Επίσης, έχει µεθόδους για την αλλαγή µεγέθους σε ύψος και σε πλάτος του αρχείου γραφικών, για την αλλαγή της συχνότητας και έλεγχο ανάλογα µε το αν είναι ενεργοποιηµένο το πλήκτρο ή όχι, για να ξεκινήσει την διαδικασία αναπαραγωγής ή διακοπής του ήχου απο την µηχανή (Engine). [-]CustomKey: Κλάση κόµβου (CCNode) που εµπεριέχει το στοιχείο γραφικών (CCSprite). Έχει σαν µέθοδο έναν κατασκευαστή (constructor) για την δηµιουργία του αρχείου γραφικών µε όλες του τις πληροφορίες. [-]BlackControl: Κλάση κόµβου (CCNode) για την δηµιουργία των πλήκτρων επεξεργασίας για την κατασκευή των µάυρων πλήκτρων. Χρησιµοποιείται από την κλάση MusicBox. [-]Keyboard: Αυτή η κλάση κόµβου (CCNode) δηµιουργεί ένα αντικείµενο πληκτρολογίου (Keyboard) απο αντικείµενα κόµβου CustomKey (που περιέχουν αντικείµενα γραφικών Key). Εδώ γίνεται ο υπολογισµός των ποσοστών και ο καθορισµός της συχνότητας του κάθε πλήκτρου. [-]MusicBox: Αυτή η κλάση κόµβου (CCNode) δηµιουργεί ένα αντικέιµενο µουσικού κουτιού (MusicBox) απο ένα αντικείµενο πληκτρολογίου προσθέτωντας όλα τα απαραίτητα κουµπιά επεγεργασίας και παραµετροποίησης της εφαρµογής όπως επισης και τις τιµές συχνότητας που εµφανίζονται πάνω 18 of 26

στα πληκτρα. Εδώ γίνεται η χρήση της κλάσης κόµβου BlackControl για την δηµιουργία των µάυρων πλήκτρων και υπολογίζονται οι θέσεις των πλήκτρων. [+]Supporting Files: Αυτόµατα δηµιουργηµένα αρχεία για την λειτουργία της εφαρµογής. of 19 26

Δηµιουργία του πιάνου Η εφαρµογή ξεκινάει µε την αρχική εικόνα κενή και δύο κουµπιά στο πάνω µέρος όπως φαίνεται στην εικόνα 01. Πατώντας το πάνω δεξιά κουµπί (κουµπί επεξεργασίας) ενεργοποιείται η κατάσταση επεξεργασίας και εµφανίζεται µία κενή φόρµα. Επιλέγοντας την φόρµα εµφανίζεται ο δροµέας και το αριθµητικό πληκτρολόγιο για την εισαγωγή κειµένου. Ο χρήστης έχει την ελευθερία να εισάγει ο,τιδήποτε κείµενο θέλει. Η εφαρµογή θα επεξεργαστεί την είσοδο του χρήστη και θα κρατήσει µόνο τις ακέραιες και δεκαδικές τιµές που ξεκινάνε µε αριθµό, και χωρίζονται µε ένα ή παραπάνω κενά, για την δηµιουργία των άσπρων πλήκτρων. Η καταχώρηση και δηµιουργία του πληκτρολογίου γίνεται πατώντας το κουµπί καταχώρισης που εµφανίζεται κάτω απο το κουµπί επεξεργασίας. Για παράδειγµα η εισαγωγή "1.5 1 1 2 2 1.5 1" και "0 1.5f 1 $4: 1 2 02 1.5 1.0" κατασκευάζει το ίδιο πληκτρολόγιο. Τα µέγεθος του κάθε πλήκτρου είναι ανάλογο της αριθµιτικής του τιµής σε σχέση µε το αθροιστικό σύνολο όλων των τιµών. Στο προηγούµενο παράδειγµα εισόδου "1.5 1 1 2 2 1.5 1" θα δηµιουργηθεί µία οκτάβα 7 λευκών πλήκτρων. Το πρώτο πλήκτρο θα έχει πλάτος 15% ([(1.5/(1.5 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1.5 + 1))*100%]) της πλήρους οθόνης. Εικόνα 1 Εικόνα 2 Εικόνα 3 Με τον ίδιο τρόπο τα αντίστοιχα µεγέθη των πλήκτρων υπολογίζονται σε "15% 10% 10% 20% 20% 15% 10%". Σε περίπτωση εισαγωγής κενού κειµένου ή µόνο µηδενικών τιµών δηµιουργείται ένα κενό πληκτρολόγιο. Κατα την δηµιουργία πληκτρολογίου δηµιουργείται ένα πληκτρολόγιο συνολικού µεγέθους τριών οκτάβων µε βάση την οκτάβα που έχει δηµιουργηθεί απο το κείµενο εισαγωγής του χρήστη. Ανεξαρτήτως του αριθµού των πλήκτρων το πλάτος της κάθε οκτάβας παραµένει σταθερό στο ένα πλάτος οθόνης. Το συνολικό µήκος του πληκτρολογίου είναι δηλαδή τρία πλάτη οθόνης και η πλοήγηση γίνεται µε την µία µπάρα που βρίσκεται - Εικόνα 4 Εικόνα 5 20 of 26

κεντραρισµένη πάνω απο το πληκτρολόγιο που δηµιουργήθηκε και µετακινώντας την, µετακινείται και το πληκτρολόγιο προς την ίδια κατεύθυνση. Με την δηµιουργία των λευκών πλήκτρων στην κατάσταση επεξεργασίας εµφανίζονται ανάµεσα απο τα λευκά πλήκτρα, στο πάνω τους µέρος κουµπιά για την εισαγωγή και επεξεργασία των µαύρων πλήκτρων. Πατώντας το κουµπί µε την ένδειξη "+" εµφανίζεται µία φόρµα απο το πάνω µερος του αντοίστιχου πλήκτρου που δέχεται παρόµοια είσοδο µε αυτήν της φόρµας για την δηµιουργία του λευκού πληκτρολογίου Το κουµπί µε την ένδειξη "+" µετατρέπεται σε κουµπί µε ένδειξη "-" για την αφαίρεση της φόρµας εισαγωγής για το εκαστοτε µάυρο πλήκτρο. Πατώντας το κουµπί καταχώρησης που υπάρχει ακριβώς πάνω απο το κουµπί εµφάνισης της φόρµας για δηµιουργία µαύρων πλήκτρων, είτε είναι ενεργοποιηµένη η φόρµα εισαγωγής είτε όχι, δηµιουργούνται τόσα αντίστοιχα µαύρα πλήκτρα σε εκείνη την θέση. Εικόνα 6 Σε περίπτωση που δηλωθούν παραπάνω απο ένα πλήκτρα σε ένα σηµείο, η δηµιουργία τους γίνεται από επάνω προς τα κάτω, σύµφωνα µε το ποσοστο % που αντιστοιχει στην κάθε αριθµητική τιµή [εικόνα 07]. Το συνολικό ύψος των µαύρων πλήκτρων ανάµεσα απο 2 λευκά είναι σταθερό ενώ το πλάτος είναι ανάλογο µε το άθροισµα του πλάτους των λευκών. Επίσης καθε σύνολο απο ένα η περισσοτερα µαύρα πλήκτρα είναι µετατοπισµένο ανάλογα, προς το µεγαλύτερο απο τα 2 λευκά πλήκτρα. Σε περίπτωση που τα λευκά πλήκτρα είναι ίδου πλάτους τότε το µαυρο πλήκτρο είναι κεντραρισµένο. [εικόνα 08] [εικόνα 06] [εικόνα 07] [εικόνα 08] Εικόνα 7 21 of 26

Εικόνα 8 Συχνότητες Στο πάνω αριστερό µέρος της εφαρµογής Modular Keys υπάρχει ένα κουµπί ίδιο στην εµφάνιση µε αυτό της επεξεργασίας του πληκτρολογίου. Το κουµπί αυτό χρησιµοποιείται για τον καθορισµό και αλλαγή της βασικής συχνότητας. Έχει προκαθορισµένη τιµή 440, η οποία αντιστοιχεί στα 440Hz. Ο χρήστης µπορεί να αλλάξει την τιµή αυτή είτε πρίν την δηµιουργία του πληκτρολογίου, είτε ενώ έχει ήδη δηµιουργήσει το πληκτρολόγιο και θέλει απλά να κάνει αλλαγή στις συχνότητες. Πάτωντας το κουµπί καταχώρισης δίπλα απο το κουµπί επεξεργασίας των συχνοτήτων γίνεται η αλλαγή στην βασική συχνότητα και στα ανάλογα πλήκτρα (αν έχει δηµιουργηθεί πληκτρολόγιο). Εικόνα 9 Με την ενέργοποίηση της κατάστασης επεξεργασίας των συχνοτήτων ενεργοποιείται και η εµφάνιση των τιµων των συχνοτήτων πάνω στα πλήκτρα. http://www.phy.mtu.edu/~suits/notefreqcalcs.html Κατα τη δηµιουργία του αρχικού λευκού πληκτρολογίου σε καθε λευκό πλήκτρο που δηµιουργείται ανατίθεται και µία συχνότητα.. Η συχνότητα αυτή υπολογίζεται σύµφωνα µε τον τύπο fi = f0 * (a)^ni-1 όπου i 1 n( x ) x=0 f (i) Η συχνότητα του λευκού πλήκτρου στην θέση i f (i) = f0 ( a ) fo Η βασική συχνότητα a Σταθερά που υπολογίζεται απο τον τύπο: a=2 1 100 = 1.0069555500567188... n(x) Το άθροισµα των ποσοστών µέχρι και το προηγούµενο λευκό πλήκτρο Κάθε οκτάβα είναι το 100% του πλάτους της οθόνης. Κάθε επόµενο πλήκτρο χρησιµοποιεί το αθροιστικό ποσοστό των προηγούµενων. Κατα τον υπολογισµό των συχνοτήτων, επειδή σε κάθε οκτάβα το κάθε πλήκτρο έχει την µίση συχνότητα απο ότι το αντίστοιχο πληκτρο της επόµενης οκτάβας, διερούµαι την αρχική 22 of 26 Εικόνα 10

συχνότητα µε το 2 και µε τον παραπάνω τύπο υπολογίζουµε και τις 3 οκτάβες, ξεκινώντας απο το πρώτο πλήκτρο αριστερά. Για τον λόγο αυτό και λόγο στρογγυλοποίησης προς τα κάτω (για λόγους εµφάνισης) κάποιες απο τις αναγραφόµενες τιµές µπορεί να διαφέρουν ελάχιστα απο την πραγµατικλη τιµή. Ο υπολογισµός των συχνοτήτων των µαύρων πλήκτρων γίνεται ανεξάρτητα απο την βασική συχνότητα. Για τον υπολογισµό των συχνοτήτων αυτών χρησιµοποιούνται οι τιµές των συχνοτήτων των λευκών πλήκτρων που βρίσκονται δεξια και αριστερά του µάυρου πληκτρου. Οι τιµές που παίρνει είναι ενδιάµεσες των 2 αυτών τιµών και ανάλογες του ποσοστού του κάθε µαύρου πλήκτρου. Οι τιµές συχνότητας των µάυρων πλήκτρων αυξάνονται απο το κάτω προς τα πάνω. Ο υπολογισµός γίνεται ως εξής. f (i) f 1 f 2 p(x) f (i) = f 1 + f 2 f 1 Η συχνότητα του µαύρου πλήκτρου µε αρθµό i 2 Η συχνότητα του προηγούµενου λευκού πλήκτρου Η συχνότητα του επόµενου λευκού πλήκτρου Το άθροισµα του ποσοστού των µάυρων πλήκτρων µέχρι και το εκάστοτε µαύρο πλήκτρο 23 of 26 x=i p(x) 0 100 Εικόνα 11

Ήχος Η εφαρµογή Modular Keys δεν έχει κάποιο µουσικό αρχείο εισόδου. Ο ήχος δηµιουργείται προγραµµατιστικά στην κλάση Engine. Κατα την δηµιουργία κάθε πλήκτρου αντιστοιχείτε σε αυτό ένα αντικείµενο Engine, µε βάση την δεδοµένη συχνότητα και το πλάτος νότας. Στην εφαρµογή Modular Keys το πλάτος της νότας δεν είναι παραµετροποιήσιµο από τον χρήστη. Σε κάθε αλλαγή συχνότητας, το αντικείµενο Engine κατασκευάζεται r από την αρχή ξανά, µε την καινούρια τιµή θ(n) = 2π f n r Η τιµή σε κάθε δείγµα δίνεται απο την εξίσωση: Η τρέχουσα γωνία της κυµπατοµορφής δίνεται απο τον τύπο: Ο ρυθµός δειγµατοληψίας του ήχου που δηµιουργούµε Το πλάτος της νότας Ο δείκτης του τρέχοντος δείγµατος Η συχνότητα του τόνου Συµπέρασµα Η εφαρµογή Modular Keys είναι µια χρήσιµη εφαρµογή που δίνει την δυνατότητα δηµιουργίας πληκτρολογίου για την αναπαραγωγή µουσικής µικροτονικών κλιµάκων. Όσο η τεχνολογία εξελίσεται, οι φορητές συσκευές αποκτούν όλο και περισσότερες δυνατότητες και µπορουν να προσφέρουν όλο και µεγαλύτερη και ρεαλιστικότερη λειτουργικότητα στους χρήστες. Τέτοιες εφαρµογές αποτελούν και θα αποτελέσουν έναν εύχρηστο και διαδραστικό τρόπο εκµάθησης της µουσικής και µουσικών οργάνων. a n f 24 of 26 ( ) f (n) = a sin θ(n)

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - Βάµβουκας, Μ. (2000) Εισαγωγή στην Ψυχοπαιδαγωγική Έρευνα και Μεθοδολογία, Αθήνα, Εκδόσεις Γρηγόρη. - ΕΑΠ (1999) Εξέλιξη του Παιδιού στο Κοινωνικό Περιβάλλον Εγχειρίδιο Μεθοδολογίας, Πάτρα, ΕΑΠ. - Brewer, C. (1995) Music and Learning: Seven ways to Use Music in the Classroom, LifeSounds, Tequesta, Florida - Gardener, H. (1983) Frames of mind: The theory of multiple intelligences, New York, Basic Books. - Cavanauch, J. (1998) Arithmetic of the Soul, Johns Hopkins magazine, Feb.1998 - Rauscher, F. (1995) Τhe Mozart effect, News paper:nature, (http://artsedge.kennedy center.org). - Dickinson, D. (1993) Music and the Mind, New Orizon, On the Beam. - Frank, M. (1996) Musical Notes on Math: a math music program using hands, drums and blackboard, Virginia, Frank Publishers Newport News. - Van der Waerden, B. (2000). Die Harmonielechre der Pythagoreer, Hermes, τοµ. 78 (1943), στο Η Αφύπνιση της Επιστήµης, σελ. 103, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο. - Χιονίδου-Μοσκοφόγλου, Μ. (2001). Μαθηµατικά µε Πληροφορική, Εικαστικά και τον Πλάτωνα (Μένων, στίχ. 82 b). Στο: Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. (Επιµ.), Οδηγός για την εφαρµογή της Ευέλικτης Ζώνης Καινοτόµων Δράσεων Βιβλίο για τον καθηγητή (σελ.77-84). Αθήνα: Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. - Πυθαγόρας & Μουσική, Γεωργιαδης, Εκδόσεις Πατάκη Fifield, Christopher- ; Macy, L. (ed.). Hans von Bülow. Grove Music Online. Hornbostel, E.M. Systematic der Musikinstrumente, Zeitschrift für Ethnologies, 1914, σελ.553-590 - Music theory for Dummies, Michael Pilhofer, Wiley Publishing. - Barbieri, Patrizio. 1989. "An Unknown 15th-Century French Manuscript on Organ Building and Tuning". The [ - Organ Yearbook: A Journal for the Players & Historians of Keyboard Instruments 20. - Barbieri, Patrizio. 2002. "The Evolution of Open-Chain Enharmonic Keyboards c1480 1650". In Chromatische und enharmonische Musik und Musikinstrumente des 16. und 17. Jahrhunderts/Chromatic and Enharmonic Music and Musical Instruments in the 16th and 17th Centuries. Schweizer Jahrbuch für Musikwissenschaft/Annales suisses de musicologie/annuario svizzero di musicologia 22, edited by Joseph Willimann. Bern: Verlag Peter Lang AG. ISBN 3-03910-088-2 - Mic.hael Beer, How do mathematics and music relate to each other, - Τάκης Καλογερόπουλος, Το Λεξικό της Ελληνικής Μουσικής, Τόµος 5, σελ. - Michael Beer, How do mathematics and music relate to each other, - Τάκης Καλογερόπουλος, Το Λεξικό της Ελληνικής Μουσικής, Τόµος 5, σελ.203 5 Jamie James, The music of the spheres, σελ.31 - Jamie James, The music of the spheres - 16 M.L.West, Αρχαία Ελληνική Μουσική, σελ.1232-17 Τάκης Καλογερόπουλος, Το Λεξικό της Ελληνικής Μουσικής, Τόµος 5, σελ.203-18 Oscar Joao Abdounur,Max Plunck Institute for the History of Science, PREPRINT181 (2001) - 19 Τάκης Καλογερόπουλος, Το Λεξικό της Ελληνικής Μουσικής, Τόµος 5, σελ.239 - Griffiths, Paul, Mark Lindley, and Ioannis Zannos. 2001. "Microtone". The New Grove Dictionary of Music and - Musicians, second edition, edited by Stanley Sadie and John Tyrrell. London: Macmillan Publishers. - Ιερή γεωµετρία. Δηµήτρης Ευαγγελόπουλος. Εκδόσεις Αρχέτυπο. - Helmholtz, Hermann von. 1885. On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music, second English edition, translated, thoroughly revised and corrected, rendered conformable to the 4th (and last) German ed. of 1877, with numerous additional notes and a new additional appendix bringing down information to 1885, and especially adapted to the use of music students by Alexander J. Ellis. London: Longmans, Green. http://users.uoa.gr/~hspyridis/kallipateira.pdf - Η µουσική των σφαιρών των Πυθαγορείων Χαράλαµπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής& Βυζαντινής Μουσικολογίας, 25 of 26

Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστηµίου Αθηνών 26 of 26