Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα : Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
¾ ý ÄÔÐ ¾º½ ½ ½º½ ÄÔÐ ¾º½ ¹ ½º Ø [0+ )º ý ô (Ø) µ [0 ] 0 µ Ø 0 Ø 0 0 (Ø) Å Ø Ø [0+ ) ¾º½ ¹ ½µ ÄÔÐ (Ø) º ½
¾ ý ÄÔÐ º ýº ý ¾º½ ¹ ½ ¾º½ ¹ ½ µ (Ø) [0+ ) ÄÔÐ L[(Ø)]º µ ô (Ø) (Ø) [0+ )º ÄÔÐ (Ø) (Ø) (Ø) [0+ ) ÄÔÐ (Ø) L[(Ø)] = L[(Ø)] º ¾º½ ¹ ½ ô (Ø) = Ø L[(Ø)] = +3 0 Ø = (Ø) = Ø Ø [0+ ) {} L[(Ø)] = L[(Ø)] (Ø) (Ø)º L[(Ø)] = +3 ý ¾º½ ¹ ½ µ L[(Ø)] = ( ) (Ø) L ( ) (Ø) º L º ¾º½ ¹ ¾º ô (Ø) ¹ Ø [0+ )º ý ÄÔÐ L[(Ø)] = ( ) L [( )] = (Ø) (Ø)º ¾º½ ¹ ¾ ÄÔÐ º ÄÔÐ ÄÔк º
¾º½ ¹ µº ý L[(Ø)] = ( ) L[(Ø)] = ( ) R L [( )+( )] = L [( )]+L [( )] = (Ø)+(Ø) ¾º½ ¹ ¾µ ¾º½ ¹ ¾ ô (Ø) = 3Ø (Ø) = Ø º ] L [ 3Ø = +3 = ( ) [ ] L Ø = = ( ) ¾º½ ¹ L [ ( )+5 ( )] = L [( )]+5L [( )] = 3Ø +5 Ø ¾º½ ¹ º ý L [( )] = (Ø) L [( )] = ( Ø ) 0 ¾º½ ¹ µ ¾º½ ¹ ô (Ø) = cos4ø L[(Ø)] = +6 = ( ) ¾º½ ¹ = [ ] L [(¾ )] = L ¾ (¾ ) = ( +6 ¾ cos 4 Ø ) = ¾ cosø ¾º½ ¹ µº ý L [( )] = (Ø) L [( +)] = Ø (Ø) + 0 0 ¾º½ ¹ µ
ý ÄÔÐ º ýº ¾º½ ¹ ô (Ø) = sinø ( ) = +4 º ¾º½ ¹ [ ] L ( ) = L +4 ( +( ) ) +4 = ( ) Ø sinø = Ø sinø }{{} = ¾º½ ¹ ¾º½ ¹ º ¾º½ ¹ µº ý L [( )] = (Ø) L [ ( ) ] (Ø ) Ø = 0 ¾º½ ¹ µ 0 Ø ¾º½ ¹ ô (Ø) = cos Ø ( ) = + º ¾º½ ¹ L [ ] 3 ( ) 3 = cos(ø 3) Ø 3 L = + 0 Ø 3 =3 {}}{ ¾º½ ¹ º ý L [( )] = (Ø) L [ ] (Ò) ( ) = ( ) Ò Ø Ò (Ø) ¾º½ ¹ µ ¾º½ ¹ ø (Ø) = cos Ø ( ) = º + ¾º½ ¹ L [ ] ( ) () () ( ) = L = ( ) Ø cos Ø = Ø cos Ø + 6 7 º
¾º¾ ( ) º ¾º¾ ¹ ½ ¾º¾ ¹ ½ ô ( ) = 3 ( ) = + =!! + ( ) 3 ¾º¾ ¹ ½ ¾º½ ¹ ¾º¾ ¹ ¾ (Ø) = L [( )] = Ø ô ( ) = +4 = + ø 4 ¾º¾ ¹ ½ ¾º¾ ¹ (Ø) = L [( )] = sinø ô 5 ( ) = + +37 ( ) = 5 6 6 ( +}{{} ) +( }{{} 6 ) = =6 5 ¾º¾ ¹ ½ (Ø) = L [( )] = 5 6 Ø sin6ø
ý ÄÔÐ º ýº ¾º¾ ¹ ½ ÄÔл (Ø) ( )» (Ø) ( ) Ø sinh Ø ( ) Ø Øsin Ø ( + ) 3 Ø Ò ; Ò = Ò! Ò+ 3 Ø sin Ø ( 3 ) ( + ) 3 4 sin Ø 5 Ø sin Ø + 4 Øcos Ø ( +) + 5 Ø cos Ø ( + ) ( 3 ) ( + ) 3 6 cos Ø + 6 Ù(Ø ) 7 Ø cos Ø 8 sinh Ø 9 Ø cosh Ø + ( +) + 7 (Ø ) 8 (Ø) ( ) 9 (Ø) 0 cosh Ø ¾¼ sin Ø Ø tan ( )
¾º¾ ¹ ½ µ ø 0µ ( Ü + Ü+ = Ü+ ) 4 ¾º¾ ¹ ½µ 4 µ () º ¾º¾ ¹ ô ( ) = + +4 +5 = 4 0 = 6 0 ¾º¾ ¹ ½ () +4 +5 = ( +) + ý + ( ) = + +4 +5 = + + ß + ( +) = + ( +) + 3 = +4 {}}{ 4+ ( +) + = + ( +) + 3 ( +) + 5 7 ¾º¾ ¹ ½ (Ø) = L [( )] = Ø cosø 3 Ø sin Ø = Ø (cosø 3sin Ø)
ý ÄÔÐ º ýº ( ) ½ 6 ) 4 Ú) ( +) 4 ) ) Ú) Ú) Ú) ( +3) Ú) ( +) +4 9 +8 +7 + Ü) Ü) Ü) Ü) 9 +4 4 +9 +4 +4 4 + + + + + ô ( ) ( ) = È( ) É( ) È( ) É( ) º È( ) µ É( ) ( ) º ¾º¾ ¹ ô ( ) = +3 + º ( +)( +) = + + + ½ () Ø3 3 () Ø 3Ø ()(cosø + sinø) (Ú) 3Ø 3 (Ú) sin 4Ø Ø (Ú) Ø ( + Ø) (Ú) Ø 3 Ø (Ú) sin( Ø ) 6 3 (Ü) cos( ) 3Ø 4 sin( 3Ø ) 6 (Ü) Ø Ø (Ü) (4 3 Ø) [ 3cos( Ø 3Ø ) (Ü) 3 Ø + 3Ø )] 3 sin( º 3 + 3Ø
( +)( +) = (+) +(+) + = + = = 3 = ( ) = 3 + + (Ø) = L [( )] = 3 Ø Ø ¾º¾ ¹ ø ( ) = ( +9) ( +9) = + + +9 ( ) = 9 9 +9 (Ø) = L [( )] = 9 9 cos3ø ¾º¾ ¹ ø ( ) = ( )( +)
½¼ ý ÄÔÐ º ýº ¾ ( )( +) = + ( ) = 9 3 + {}}{ ( +) + + ( +) 9 + (Ø) = L [( )] = 9 Ø ( 3Ø+ 3Ø ) ¾º¾ ¹ ø ( ) = 3 ( +4) ô ¾º¾ ¹ 3 ( +4) = + + 3 + + +4 ( ) = 6 + 4 (Ø) = L [( )] = 6 3 + 6 +4 ( ) +Ø +cosø µ É( ) º ¾ þ ýº ¾ º º º
½½ (Ø) = L [( )] ( ) ) ( Ú) 4) 3 +8 ) ) Ú) 3 ( 4 +4) ( + ) Ú) Ú) Ú) 4 + 3 ( +)( +) ¾º ¾º º½ ½ Ý + Ý = Ö(Ü) ¾º ¹ ½µ Ý = Ý(Ü) Ü ( ) Rº Ý + Ý = ¼ ¾º ¹ ¾µ ô Ý Ö L Ü 0º ÄÔÐ (3 ) L(Ý + Ý) = L[Ö(Ü)] () 4 + Ø + Ø 8 8 (Ú) Ø Ø cos ( 3Ø (Ú) 5 Ø + cos Ø 5 + sin Ø 5 º Ø () + ) Ø sin( 3Ø) + 4 3 + Ø () Ø + 4 4 Ø Ø (Ú) cos Ø ( 3 ) Ø (Ú) Ø 4 + Ø 4 cos Ø (Ú) Ø 3 3 Ø cos
½¾ ý ÄÔÐ º ýº ÄÔÐ L(Ý) Ý(0)+ L(Ý) = L[Ö(Ü)] ( ) = L(Ý) Ý(0) = Ý 0 ( ) ¹ ( ) (3 ) ( ) = L[Ö(Ü)] + + Ý ¼ + + 0 ¾º ¹ µ (3 3) (3 ) ¾º ¹ ½ Ý(Ü) = L [( )] ÄÔÐ µ (3 ) Ö(Ü) ºº µ (Ü) º º þ ½ ÄÔÐ ½º¾¹½ µº ô Lº R L[(Ø)+(Ø)] = L[(Ø)]+L[(Ø)] ½º¾¹ ½ µº ý L Ø 0 ÄÔÐ L [ (Ø) ] = L[(Ø)] (0) 0 þ ýº ½ º ½º
½ yx 0.4 0. 0.0 0.08 0.06 0.04 0.0 0.5.0.5.0.5 3.0 x ¾º ¹ ½ ¾º ¹ ½ Ý(Ü) = 3Ü ( + Ü ) Ü [03] ¾º ¹ ½ Ý +Ý = 3Ü Ý(0) = 0 ½µ º ô ½µ Ü 0º Ö(Ü) = 3Ü ¾ ¾º¾ ¹ ½ ] L [ 3Ü = +3 0 +3 ô Ý(Ü) ½µº ½µ = ( ) = L(Ý) Ý(0) = Ý 0 = 0 (3 3) ( ) = = +3 + + 0 + = ( +)( +3) + + 0 +3 º ¾º ¹ ½µ Ý(Ü) = L [( )] = Ü 3Ü = 3Ü ( + Ü )
½ ý ÄÔÐ º ýº yx 0.5.0.5.0.5 3.0 x 0.5.0.5 ¾º ¹ ¾ ¾º ¹ ¾ Ý(Ü) = Ü ( +Ü) Ü [ 03] ¾º ¹ ¾ Ý + Ý = Ü Ý(0) = ¾µ º ø ¾µ Ü 0º Ö(Ü) = Ü ¾ ¾º¾ ¹ ½ L[ Ü ] = + + 0º ô Ý(Ü) ¾µº ¾µ = ( ) = L(Ý) Ý(0) = Ý 0 = (3 3) ( ) = + + + + = ( +) + 0 + º ¾º ¹ ¾µ Ý(Ü) = L [( )] = Ü Ü Ü = Ü ( +Ü) ¾º ¹ ø Ý + Ý = sinü Ý(0) = 0 µ
½.0 yx 0.5 5 0 5 0 5 30 x 0.5 ¾º ¹ ¾º ¹ Ý(Ü) = ( cosü+sinü) Ü [ 30] 5 Ü + 5 º ø µ Ü 0º Ö(Ü) = sinü ¾º¾ ¹ ½ L[sinÜ] = +4 º ý Ý(Ü) µ = ( ) = L(Ý) Ý(0) = Ý 0 = 0 (3 3) ( ) = = 5 = 5 + +4 = + 5 + 5 º ¾º ¹ µ ( +)( +4) +4 + + 5 + 0 + Ý(Ü) = L [( )] = 5 Ü + 5 ( cosü+sinü) ý µ lim Ü Ý(Ü) = + µ Ü Ü Ý(Ü) 5 ( cosü sinü) = + sin(ü+) 5 þ ÓÙÖÖ ¹ º
½ ý ÄÔÐ º ýº 045sin(Ü+) = arctan( ) 07 Ö 045º ) Ý + Ý = Ü; Ý(0) = Ú) Ý +3Ý = Ü sinü; Ý(0) = 0 ) Ý +4Ý = 3Ü ; Ý(0) = 0 Ú) Ý + Ý = sin Ü; Ý(0) = ) Ý + Ý = Ü Ü ; Ý(0) = 0 Ú) Ý +4Ý = sinh Ü; Ý(0) = 0 Ú) Ý + Ý = sinü; Ý(0) = 0 Ú) Ý + Ý = sin Ü cosü; Ý(0) = 0º ¾º º¾ ¾ Ý + Ý + Ý = ¼ ¾º ¹ µ Ý = Ý(Ü) Ü ( ) R Ý (Ü) Ý (Ü) Ü ( )º ý Ý L (3 4) L[Ý + Ý + ] = 0 ÄÔÐ L(Ý) Ý(0) Ý 0 (0)+[ L(Ý) Ý(0)]+L(Ý) = 0 () Ý(Ü) = + Ü + Ü = 0 () Ý(Ü) = 3Ü + 4Ü = () Ý(Ü) = Ü Ü + Ü = 0 (Ú) Ý(Ü) = Ü + ( cosü+sinü) = 5 (Ú) Ý(Ü) = + Ü 3Ü 3 ( 3cos3Ü+sin3Ü) = 3 (Ú) Ý(Ü) = + Ü (5 cosü sinü) = 4 ( 0 0 (Ú) Ý(Ü) = 4Ü 0 5Ü +6 Ü) = 9 60 60 (Ú) Ý(Ü) = + Ü (5cos Ü 3cos3Ü 5sin 0 Ü+sin3Ü) = 0 º þ ½ ÄÔÐ ¾º ¹ ½ µº ô Lº R L[(Ø)+(Ø)] = L[(Ø)]+L[(Ø)]
½ L(Ý) = ( ) Ý(0) = Ý 0 Ý (0) = Ý 0 µ ( ) ( ) = ( +)Ý ¼ + Ý ¼ ¾ + + (3 4) ¾º ¹ µ Ý(Ü) = L ½ [( )] ¾º ¹ µ (3 6) + + (3 5)º ¾º ¹ ½ º ¾º ¹ Ý +5Ý +6Ý = 0 Ý 0 = 0 Ý 0 = º (3 5) ( ) = ( +5) 0+ +5 +6 = +5 +6 = ( +3)( +) = +3 + + = +3 + + º º ¾º ¹ µ Ý(Ü) = L [( )] = 3Ü + Ü º ¾º ¹ ¾ µº ý L Ø 0 ÄÔÐ L [ (Ø) ] = L[(Ø)] (0) L [ (Ø) ] = L[(Ø)] (0) (0) 0
½ ý ÄÔÐ º ýº yx 0.5 0.0 0.05 0.05 0.0 0.5.0.5.0 x ¾º ¹ ¾º ¹ Ý(Ü) = 3Ü + Ü Ü [ 0]º ¾º ¹ ø Ý 4Ý +4Ý = 0 Ý 0 = Ý 0 = º (3 5) ( ) = ( 4) + 4 +4 = = 3 ( ) = + ( ) ( ) = ( ) + = ( ) ( ) ÄÔÐ ( ) = L[(Ü)] L[Ü (Ü)] = ( ) ( ) º ¾º ¹ µ Ý(Ü) = L [( )] = Ü ( Ü) º Ü 0 Ü R Ý (Ü) = 0 Ü 0 = º Ü 0 º
½ yx.0 0.5 0. 0.5 0. 0.4 0.6 0.8.0. x.0.5.0 ¾º ¹ ¾º ¹ Ý(Ü) = Ü ( Ü) Ü [ 0] ¾º ¹ ø 6Ý +8Ý +7Ý = 0 Ý 0 = Ý 0 = 0 º Ý + Ý + 7 6Ý = 0 (3 5) ( ) = ( + ) +0 + 7 + 6 = + + 6+ 4 + 6 = + + 4 + 6 + = + ( ) = + 4 + 4 ( + 4 + + 4) + = + 4 ( + 4) + + 4 ( + 4) + µ ¾º¾¹½ º ¾º ¹ Ý(Ü) = L [( )] = Ü4 cos Ü+ 4 Ü4 sin Ü º
¾¼ ý ÄÔÐ º ýº µ yx 4 4 4 6 8 0 x µ yx.0 0.8 0.6 0.4 0. 0. 0.4 5 0 5 0 5 30 x ¾º ¹ ¾º ¹ Ü [ 04] µ 4 Ü4 µ 4 cos Ü + sin Ü µ µ Ý(Ü) = 4 Ü4 (4 cos Ü + sin Ü)º ½¼ ) Ý +4Ý +5Ý = 0; Ý 0 = Ý 0 = Ú) Ý +5Ý = 0; Ý 0 = Ý 0 = ) Ý Ý Ý = 0; Ý 0 = Ý 0 = 0 Ú) Ý +Ý +4Ý = 0; Ý 0 = Ý 0 = 0 ) Ý +Ý +0Ý = 0; Ý 0 = Ý 0 = 0 Ú) Ý Ý + Ý = 0; Ý 0 = Ý 0 = º Ý + Ý + Ý = Ö(Ü) ¾º ¹ µ R Ý = Ý(Ü) Ö(Ü) 0 Ü ( ) R Ý (Ü) Ý (Ü) Ü ( )º ½¼ () Ü (cos Ü+3 sin Ü) () 7 ( 3Ü + 4Ü) () 3 Ü sin3ü (Ú) 5 (5cos5Ü+sin5Ü) (Ú) 3 Ü sin ( 3 Ü) (Ú) Ü ( +Ü)º
¾½ ô Ý Ö L º ÄÔÐ (3 7) ( ) = L[Ö(Ü)] ¾ + + + ( +)Ý ¼ + Ý ¼ ¾ ¾º ¹ µ + + Ý(Ü) = L ½ [( )] ¾º ¹ µ ¾º ¹ Ý 3Ý +Ý = Ü Ý 0 = Ý 0 = 0 º = 3 = L[Ö(Ü)] = L(Ü) = º ý (3 8) ( ) = ( 3 +) = ( )( ) = + + Γ + = 3 4 + + 4( ) (3 9) Ý(Ü) = L [( )] = 3 4 + Ü Ü + Ü 4 ¾º ¹ ø Ý +Ý + Ý = Ü Ý 0 = Ý 0 = 0
¾¾ ý ÄÔÐ º ýº º ø = = L[Ö(Ü)] = L( Ü ) = ( +)º (3 8) ( ) = = ( +)( + +) = ( +)( +) + + ( +) + Γ + = + + ( +) + (3 9) Ý(Ü) = L [( )] = Ü + Ü Ü Ü = Ü (+Ü Ü Ü ) ¾º ¹ ø Ý +4Ý = Ü Ý 0 = Ý 0 = 0 º ø = 0 = 4 L[Ö(Ü)] = L(Ü) = º (3 8) ( ) = ( +4) = + + Γ + +4 = 4 = 4 4 + 4 +4 º (3 9) Ý(Ü) = L [( )] = 4 Ü 8 sinü
¾º ¹ ½¼ ø ¾ Ý +Ý +0Ý = Ý 0 = Ý 0 = 0 º = = 0 L[Ö(Ü)] = L() = º (3 8) ( ) = ( + +0) + + µ = + +Γ + +0 = 0 0 = 0 0 = 0 0 + ( +) +3 [ + ( +) +3 + 3 + + +0 ] 3 ( +) +3 + +0 º Ý(Ü) = L [( )] = 0 ( Ü cos3ü+ ) 0 3 Ü sin3ü ý ½º Ý = Ý(Ü) Ý 0 = Ý 0 = 0½½ ) Ý +4Ý +3Ý = Ü Ú) Ý +Ý + Ý = sin Ü ) Ý + Ý = sin Ü Ú) Ý + Ý = Ü sin Ü ) Ý +3Ý +Ý = Ü Ú) Ý +4Ý +3Ý = 4 Ü º ½½ () 30 Ü (3 Ü 3cos3Ü sin3ü) () ( Ücos Ü+sin Ü) () 3 4 Ü 4 + Ü + Ü (Ú) Ü (+Ü Ü cos ) (Ú) Ü ( + Ü +cos Ü sin Ü) (Ú) 3Ü( Ü +Ü Ü) º
¾ ý ÄÔÐ º ýº ¾º Ý +4Ý +3Ý = Æ(Ø) Ý = Ý(Ü) Ý 0 = Ý 0 = 0 Ý(Ü) = Ü (cos3ü+sin3ü) ½¾ ½¾ ý º ýº º
þ ½ ýº ¾¼½½µ ýº ý ÁËÆ ß¼ß ½ßߺ ¾ ýº ¾¼¼¾µ ý ýº ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ߺ ý ýº ½ µ ÄÔÐ ÓÙÖÖ ÁËÆ ¼ß ½ß¾½ßº ÓÒ º ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÅØÑØ ¾¼¼µ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¼¼ßº ËÔРź ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÄÔÐ ÌÖÒ ÓÖÑ ½µ ÅÖÛ¹ ÀÐÐ ÙØÓÒ ß ÙÖÓÔ ÁËÆ ß¼¼ß¼¼ß¾ ½ß½º ØØÔ»»ÒºÛÔºÓÖ»Û»ÅÒ È ØØÔ»»ÕÛÓÖкÔÑÒغÖÙ»ÒܺØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖкÛÓÐÖѺÓÑ» ØØÔ»»ÓѺ ÔÖÒÖº» ¾
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 04. Αθανάσιος Μπράτσος. «Μαθηματικά ΙII. Ενότητα : Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace». Έκδοση:.0. Αθήνα 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.