ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Δειγματοληψία Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
Kefˆlaio 5 DeigmatolhyÐa 'Estw èna sônolo periodikˆ diatagmènwn shmeðwn ston ˆxona twn pragmatik n arijm n. To sônolo autì dðdei ta shmeða ìpou ja lhfjoôn deðgmata apì to suneqèc s ma. Ac eðnai T h perðodoc thc deigmatolhyðac. Me bˆsh thn idiìthta thc katanom c Dirac, f(t)δ(t t 0 ) = f(t 0 )δ(t t 0 ), gia exagwg deigmˆtwn apì èna s ma, orðzetai h sunˆrthsh deigmatolhyðac s(t) = T δ(t nt ). To apotèlesma thc deigmatolhyðac tou s matoc f(t) eðnai to ginìmeno autoô tou s matoc me th sunˆrthsh deigmatolhyðac f s (t) = s(t)f(t), pou dðdei f s (t) = T f(nt )δ(t nt ). H deigmatolhyða sunepˆgetai periodikopoðhsh sto fˆsma twn suqnot twn. Prˆgmati o metasqhmatismìc Fourier tou s matoc f s (t) prokôptei apì th sunèlixh tou F (ω) me to S(ω), to metasqhmatismì Fourier thc s(t). Epeid h s(t) eðnai periodik sunˆrthsh, mporeð na parastajeð me th bo jeia miac seirˆc Fourier, pou eðnai h akìloujh s(t) = e j2πn t T, afoô oi suntelestèc aut c thc seirˆc Fourier eðnai Ðsoi me th monˆda. Opìte brðskoume S(ω) = 2π δ(ω 2πn T ). Epomènwc to apotèlesma thc sunèlixhc eðnai F s (ω) = 42 F (ω 2πn T ).
H sunˆrthsh aut eðnai profan c periodik, me perðodo th suqnìthta deigmatolhyðac ω s = 2π T. Sto z thma an eðnai dunatì na anakataskeuasjeð to suneqèc s ma apì ta periodikˆ tou deðgmata ìpwc orðsjhkan prohgoômena apantˆ to je rhma thc deigmatolhyðac. Je rhma deigmatolhyðac An to s ma f(t) eðnai peperasmènhc z nhc suqnot twn, dhlad, an F (ω) = 0, ω > ω M, tìte arkeð h suqnìthta deigmatolhyðac na eðnai megalôterh apì th suqnìthta Nyquist, ω s > 2ω M, gia na mporeð na apokatastajeð tèleia to suneqèc s ma apì to diakritì pou dðdei h deigmatolhyða. Sto Sq ma 5.1 faðnetai h periodikopoðhsh tou fˆsmatoc twn suqnot twn lìgw deigmatolhyðac se sunj kec isqôoc tou jewr matoc thc deigmatolhyðac. H anakataskeu tou sune- 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 w Sq ma 5.1: PeriodikopoÐhsh tou fˆsmatoc qoôc s matoc epitugqˆnetai qrhsimopoi ntac èna fðltro pou dðdei tèleia thn kôria perðodo tou F s (ω) { 1, ω ω s H(ω) = 2 0, ω > ωs 2 Profan c èqoume F (ω) = H(ω)F s (ω). O antðstrofoc metasqhmatismìc Fourier tou H(ω) eðnai h(t) = 1 T sincπt T, ìpou sincx = sin x x. Opìte h parembol gia opoiad pote tim tou t dðdetai apì thn akìloujh sunèlixh π(t nt ) f(t) = f(nt )sinc. T 43
An h suqnìthta deigmatolhyðac eðnai kˆtw apì th suqnìthta Nyquist, tìte prokôptoun epikalôyeic sto fˆsma twn suqnot twn, m' apotèlesma na eðnai adônato na anakthjeð tèleia to suneqèc s ma. Oi suqnìthtec pou lìgw epikˆluyhc allˆzoun jèsh onomˆzontai yeud numec, kai eisˆgoun paramìrfwsh sto suneqèc s ma. Sunep c tìte oi parapˆnw exis seic den isqôoun. Gia ton periorismì aut c thc paramìrfwshc sunistˆtai h qr sh tou fðltrou H(ω) prin th deigmatolhyða. Parˆdeigma 5.1. Ac jewr soume èna s ma me mia kajar suqnìthta ω M = 3, f(t) = cos 3t. Gia na mhn emfanisjoôn yeud numec suqnìthtec ja prèpei h suqnìthta thc deigmatolhyðac na eðnai megalôterh apì 2ω M. An wstìso upojèsoume ìti h deigmatolhyða gðnetai me suqnìthta ω s = 4, tìte h anadðplwsh tou fˆsmatoc parˆgei mia kajar suqnìthta ω = 1 kai to s ma pou anaktˆtai eðnai ˆf(t) = cos t. Prˆgmati ta deðgmata pou lambˆnontai eðnai cos 3n π 2 = cos nπ 2 = cos nπ 2. Paramìrfwsh mporeð epðshc na eisaqjeð, èstw ki an ikanopoioôntai oi sunj kec tou jewr - matoc thc deigmatolhyðac, an to fðltro thc parembol c den eðnai idanikì. An dhlad den qrhsimopoihjeð to idanikì fðltro, pou den eðnai praktikˆ ulopoi simo, allˆ kˆpoio ˆllo pou na to proseggðzei, èqontac gia parˆdeigma peperasmènhc diˆrkeiac apìkrish. Tètoia fðltra parembol c eðnai ta akìlouja: h 0 (t) = { 1 T, t T 2 0, t > T 2 h 1 (t) = h 0 (t) h 0 (t) = { 1 T ( ) 1 t T, t < T 0, alloô h 2 (t) = h 1 (t) h 0 (t) Sto Sq ma 5.2 dðdetai h parembol me h 0 (t) kai h 1 (t) gia èna hmitonoeidèc s ma me araiˆ deðgmata. 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 0.2 0.2 0.4 0.4 0.6 0.6 0.8 0.8 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sq ma 5.2: Parembol apì to plhsièstero deðgma (h 0 ) ta dôo plhsièstera deðgmata (h 1 ). 44
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα
Σημείωμα αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί..
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Κρήτης, Γιώργος Τζιρίτας. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς. Σημειώσεις: Δειγματοληψία». Έκδοση: 1.0. Ηράκλειο/Ρέθυμνο 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://www.csd.uoc.gr/~hy215/