Flächentrgwerke - WS 05/06 4.4 Kreiszylinderschle und Kugelschle 4.4. Kreiszylinderschle 4.4.. Biegetheorie 4.4.. embrntheorie 4.4..3 Behältertheorie und Rndstörprobleme 4.4. Kugelschle 4.4.. Biegetheorie 4.4.. embrntheorie 4.4..3 Rndstörprobleme
4.4. Kreiszylinderschle r =, r = r =, = π Hns Eschenuer, Wlter Schnell: Elstizitätstheorie, 3., vollständig überrbeitetet und erweiterte Auflge, Wissenschftsverlg, 993.
4.4. Kreiszylinderschle Die Grundgleichungen der Biegetheorie und embrntheorie der Zylinderschle können us den Grundgleichungen der llgemeinen Biegetheorie der Rottionsschlen gewonnen werden, indem mn die folgenden Beziehungen verwendet: r =, r = r =, = d = r d, = r π Hns Eschenuer, Wlter Schnell: Elstizitätstheorie, 3., vollständig überrbeitetet und erweiterte Auflge, Wissenschftsverlg, 993.
p + = Q p + + = Q Q p + = 0 Q + = 0 Q + = Gleichgewichtsbedingungen: 4.4.. Biegetheorie
4.4.. Biegetheorie Kinemtik: u v w u v γ = = + = + w w v w v κ κ κ = = = +
4.4.. Biegetheorie Werkstoffgesetz: = D + ν ( ) = D + ν ( ) ν = D γ = K κ + νκ ( ) = K κ + νκ = K ( ) ν κ Insgesmt: 7 Gleichungen für 7 Unbeknnten!
Sonderfll: Rottionssymmetrische Belstung p = 0 = = Q = 0, v= γ = κ = 0, = 0 d d dq d d Gleichgewicht Kinemtik Werkstoff d = p = p Q = 0 κ = = = du d w dw d 0 Gleichungen für 0 Unbeknnten! = D + ν ( ) = D + ν = Kκ ( ) = νkκ
4.4.. embrntheorie Gleichgewichtsbedingungen: + = p + = p = p
4.4.. embrntheorie Kinemtik: γ u = v = + u = + w v
4.4.. embrntheorie Werkstoffgesetz: ( ν ) = D + ( ν ) = D + ν γ = D Insgesmt: 9 Gleichungen für 9 Unbeknnten!
4.4.. embrntheorie Rottionssymmetrische Belstung: p = 0 v= γ = = 0, = 0 6 Gleichungen für 6 Unbeknnten! d = p d = p du = = w = D + ν ( ) = D + ν ( ) Gleichgewicht Kinemtik Werkstoff
4.4..3 Behältertheorie und Rndstörprobleme Die Behältertheorie ist ein Sonderfll der llgemeinen Biegetheorie für rottionssymmetrische Belstung! Gleichgewicht Kinemtik Werkstoff d d dq d d d = p = Q = 0 p κ = = = du d w dw d = D + ν ( ) = D + ν = Kκ ( ) = νkκ
4.4..3 Behältertheorie und Rndstörprobleme Annhme: p = 0 = 0 Werkstoff ( ) = D + ν = 0 = ν Gleichgewicht d p d = dq = d d Q = 0 d p d = p d Kinemtik du d = ν w
4.4..3 Behältertheorie und Rndstörprobleme κ = = Kκ dw d dw = K d = D + ν du = = d = w ( ) νw D ( ) = ν w
4.4..3 Behältertheorie und Rndstörprobleme d = d p dw = K d D ( ) = ν w () w IV + 4λ 4 w= p K () () 4 d d (), () IV d, ξ = = = = ( / ) ξ ξ 4 d d d 4 4 D ( ) ( 4 ) λ = ν = ν K h 4 Behältergleichung Abklingkonstnte
4.4..3 Behältertheorie und Rndstörprobleme Abklingkonstnte: λ >>, d h<<! Die Behältergleichung ht eine ähnliche Form wie die Differentilgleichung für einen elstisch gebetteten Blken: IV Gesmtlösung: 4 w + 4λ w= p EI w= w + w h p
Homogene Lösung Homogene Lösung ξ ξ ( ) ( ) λξ wh = Acos λξ + Asin λξ e + A ( ) ( ) λξ 3cos λξ A4sin λξ + e T / T / Der. Anteil klingt von unten nch oben b, während der. Anteil von oben nch unten bklingt. Keine gegenseitige Beeinflussung von beiden Anteilen, flls die Schle lng genug ist. Die Integrtionskonstnten A i können us den RB bestimmt werden.
Homogene Lösung Periode: λt π π = π T = = λ ν 4 3( ) h Amplitudenverhältnisse: Bereich der Rndstörungen: λ ( + T) e = = = =0.00=0.% λ λt π e e e 0 e λ ( + T/) / = = λ λt/ π 0 e e e = =0.04=4% T, 4 = π π h h λ = 4 3( ν ) <<
Homogene Lösung Bemerkungen: Amplitude ist nch einer hlben Periode prktisch bgeklungen (bis uf 4%). Beide Lösungsnteile können getrennt behndelt werden, flls die Schle lng genug ist. Die Integrtionskonstnten A und A können us den RB m ξ=0ξ = 0 bestimmt werden, flls die Schle lng genug ist. Die Integrtionskonstnten A 3 und A 4 können us den RB m ξ=0 ξ = 0 bestimmt werden, flls die Schle lng genug ist.
Prtikuläre Lösung Prtikuläre Lösung Polynom 3. Grdes: p( ξ) = c + cξ + c ξ + cξ 3 0 3 w ( ) p ξ = d + dξ + d ξ + d ξ 3 0 3 (Anstz vom Typ der rechten Seite) w ( ξ ) = 0 IV Schwch veränderliche Lst p: w ( ξ ) 0 IV p p IV w p + w = 4 4λ p K 4 p embrntheorie w p = p Eh embrnlösung
Behältertheorie: Zusmmenfssung IV 4 + 4 4 = w w λ w p K = D + ν ( ) = D + ν Q = Kκ ( ) = νkκ = d d du d = ν w κ du = = w = dw d
4.4. Kugelschle r = r =, r = sin Hns Eschenuer, Wlter Schnell: Elstizitätstheorie, 3., vollständig überrbeitetet und erweiterte Auflge, Wissenschftsverlg, 993. W. Becker, D. Gross: echnik elstischer Körper und Strukturen. Springer-Verlg, 00.
4.4. Kugelschle W. Becker, D. Gross: echnik elstischer Körper und Strukturen. Springer-Verlg, 00. Die Grundgleichungen der Biegetheorie und embrntheorie der Kugelschle können us den Grundgleichungen der llgemeinen Biegetheorie der Rottionsschlen gewonnen werden, indem mn die folgenden Beziehungen verwendet: r = r =, r = sin
(sin ) 4.4.. Biegetheorie Gleichgewichtsbedingungen: + cos + sinq = sinp (sin ) + + cos + sinq = sinp (sin Q ) Q + sin sin = sinp (sin ) + + cos sinq = 0 (sin ) + cos sinq = 0
Kinemtik: 4.4.. Biegetheorie Dehnungen und Verzerrung u = + w v = + ucos+ wsin sin u v v γ = + cos sin sin
Kinemtik: Verkrümmungen κ κ κ 4.4.. Biegetheorie w = u w cos w = vsin u + sin sin u w cos w v = cosv sin + + sin
4.4.. Biegetheorie Werkstoffgesetz: ( ν ) = D + ( ν ) = D + ν D γ ( κ νκ ) = K + ( κ νκ ) = K + = = ν K κ Insgesmt: 7 Gleichungen für 7 Unbeknnten!
Sonderfll: Rottionssymmetrische Belstung p = 0 = = Q = 0, v= γ = κ = 0, = 0 Gleichgewicht (sin ) cos + sinq = sinp (sin Q ) sin sin = sinp (sin ) cos sinq = 0 () ()= d d
Sonderfll: Rottionssymmetrische Belstung κ κ Kinemtik = ( u + w), = ucot+ w d = u w d ( ) ( ) cos = u w sin ( ) Werkstoff ( ν ) = D + ( ν ) = D + ( κ νκ ) = K + ( κ νκ ) = K + Insgesmt: Gleichungen für Unbeknnten!
4.4.. embrntheorie Gleichgewichtsbedingungen: (sin ) (sin ) + cos = sinp + + cos = sinp + = p
4.4.. embrntheorie Kinemtik: u = + w v = ucos wsin + + sin γ u v v = + sin sin cos
4.4.. embrntheorie Werkstoffgesetz: ( ν ) = D + ( ν ) = D + = D ν γ Insgesmt: 9 Gleichungen für 9 Unbeknnten!
4.4.. embrntheorie Rottionssymmetrische Belstung: p = 0 v= γ = = 0, = 0 d () () = d 6 Gleichungen für 6 Unbeknnten! (sin ) cos = sinp + = p = ( u + w) = ucot+ w ( ) ( ν ) = D + ( ν ) = D + Gleichgewicht Kinemtik Werkstoff
4.4..3 Rndstörprobleme Zur Behndlung der Rndstörprobleme (Rndstörungen, Rndeffekte) wird ngenommen: p = 0 = = Rottionssymmetrische Belstung p p 0 Gleichgewicht (sin ) cos + sinq = sinp (sin Q ) sin sin = sinp (sin ) cos sinq = 0
4.4..3 Rndstörprobleme ( ) = u + w, ( ucot w) = + dχ cot κ = = χ, κ = χ d χ = u w ( ) Kinemtik Werkstoff ( ν ) = D + ( ν ) = D + ( κ νκ ) = K + ( κ νκ ) = K + Insgesmt: Gleichungen für Unbeknnten!
Biegetheorie der Kugelschle: Rndstörprobleme 3. Gleichgewichtsgleichung: (sin ) cos sinq = 0 ( ) = K + = K + = K + = K cot + ( κ νκ ) ( χ ν cotχ ) ( κ νκ ) ( χ νχ ) Q χ + cotχ ν + cot χ = 0 K
Erste beide Gleichgewichtsgleichungen (sin ) cos + sinq = 0 sin (sin Q ) sin sin = 0 cos + Q = sin (sin ) sincos sin 0 cos (sin Q ) cossin sincos = 0 + + = sin (sin ) sin Q cos (sin Q) cossin 0 sin (sin ) = cos (sin Q) = cotq
Biegetheorie der Kugelschle: Rndstörprobleme Alterntiver Weg: Globles Gleichgewicht: Q = = cotq cos sin 0 Hns Eschenuer, Wlter Schnell: Elstizitätstheorie, 3., vollständig überrbeitetet und erweiterte Auflge, Wissenschftsverlg, 993.
Biegetheorie der Kugelschle: Rndstörprobleme. Gleichgewichtsgleichung: (sin Q ) sin sin = 0 = Q Komptibilitätsgleichung: u cot = u ucot cot + u cot+ w sin = ( u w ) = χ ( ) ( ) ( )cot = χ
Biegetheorie der Kugelschle: Rndstörprobleme ( ν ) = D + ( ν ) = D + Werkstoff Komptibilität ( )cot χ = ( ) Q + cotq + ν cot Q + Ehχ = 0 = + D ( ) ( ν ) ν = + D ( ) ( ν ) ν = Q cot = Q = + ν D ( ) ( Q cot Q ) ν = + ν D ( ) ( Q Q cot ) ν
Biegetheorie der Kugelschle: Rndstörprobleme ( ) χ + cotχ ν + cot χ Q = 0 K Q + cotq + ν cot Q + Ehχ = 0 ( ) Lχ νχ = Q K LQ + νq = Ehχ LLχ + = LLQ 4 4μ χ 0 + = 4 4μ Q 0 L = + () () cot () cot () eissner-opertor Eh 4μ = ν = 4λ ν K 4 4
Biegetheorie der Kugelschle: Rndstörprobleme Behndlung der Rndstörprobleme: Reduzierung von Gleichungen uf Gleichungen für den Biegewinkel und die Querkrft. Ekte Lösung der Differentilgleichungen (eissner-lösung) für den Biegewinkel und die Querkrft ls hypergeometrische Funktionen ist möglich, ber sehr kompliziert. Dher wird im Folgenden nur die äherungslösung nch Geckeler gezeigt.
Rndstörprobleme: äherungslösung χ Q e μ e μ μ (), () μ, () μ μ μ e e e μ >> >> >> () () () μ >> cot ( Annhme : nicht zu klein!) 4 4 4 4μ = 4λ ν 4λ L() = () + cot () cot () () χ Q IV IV + = 4 4λ χ 0 + = 4 4λ Q 0 4 ( 4 ) λ = ν h entkoppelte homogene Differentilgleichungen!
Rndstörprobleme: äherungslösung ( ) ( ) λω ( ) ( ) χ( ) = A cos λω + A sin λω e + A cos λω + A sin λω e 3 4 λω ( ) ( ) λω ( ) ( ) Q ( ) = B cos λω + B sin λω e + B cos λω + B sin λω e 3 4 λω Hns Eschenuer, Wlter Schnell: Elstizitätstheorie, 3., vollständig überrbeitetet und erweiterte Auflge, Wissenschftsverlg, 993.
Rndstörprobleme: äherungslösung Hinweise zu den Rndbedingungen: Die Rndbedingungen für die Ränder ω und ω können unbhängig voneinnder behndelt werden. A, A und A beeinflussen sich nicht gegenseitig! 3, A4 Für jeden Rnd sind insgesmt Rndbedingungen vorhnden, ber 4 Integrtionskonstnten sind zu bestimmen A, A, B, B. Für die äherungslösung nch Geckeler gelten die Beziehungen χ Q = 0 Q + Ehχ = 0 K D.h. die Lösungen für und χ sind bhängig voneinnder. n Q ( ) brucht lso nur eine dvon mit unbeknnten Konstnten, nicht ber beide Lösungen gleichzeitig mit 4 unbeknnten Konstnten!
Rndstörprobleme: äherungslösung Lösungsmöglichkeit : Für eine Rndlst R 0 und ein Rndmoment 0 m Rnd ω = 0: λω ( ) ( ) χ ( ) = A cos λω + Asin λω e ( ) Q ( ) RB RB A, A
Rndstörprobleme: öglichkeit IV χ + = 4 4λ χ 0 χ Q cot κ = χ, κ = χ ( κ νκ ) = K + ( κ νκ ) = K + = cot Q, = Q = D ( ) ( ν ) ν = D ( ) ( ν ) ν uw,
Rndstörprobleme: äherungslösung Lösungsmöglichkeit : Für eine Rndlst R 0 und ein Rndmoment 0 m Rnd ω = 0: λω ( ) ( ) Q ( ) = Bcos + Bsin e λω λω χ( ) RB B, B ( ) RB
Rndstörprobleme: öglichkeit Q IV + = 4 4λ Q 0 χ Q cot κ = χ, κ = χ ( κ νκ ) = K + ( κ νκ ) = K + = cot Q, = Q = D ( ) ( ν ) ν = D ( ) ( ν ) ν uw,