ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)"

Θαΐς Γιάγκος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να κατατάξετε τις διαφορικές εξισώσεις, δηλ να δώσετε την τάξη της, να πείτε αν είναι γραμμική ή όχι, να δώσετε την ανεξάρτητη μεταβλητή όπως και την εξαρτημένη μεταβλητή (δηλ την άγνωστη συνάρτηση) d u du 5v u 0 (β) dv dv d d 0 (γ) d d ΣΔΕ ης τάξης, γραμμική, άγνωστη συνάρτηση v(u) (β) ΣΔΕ ης τάξης, γραμμική, άγνωστη συνάρτηση () (γ) ΣΔΕ ης τάξης, μη-γραμμική, άγνωστη συνάρτηση y() dy sin( y) d Να δείξετε ότι η ( ) είναι λύση του ΠΑΤ y( ) y( ) y( ) 0, y(0), y(0) 6 Λύση: Πρώτα ελέγχουμε τις αρχικές συνθήκες Με y( ) ( ), υπολογίζουμε y 0 (0) y( ) 6, y(0) 6, y ( ) Αφού οι ΑΣ ικανοποιούνται, αντικαθιστούμε στη ΣΔΕ: (πράγματι!) 6 ( ) 0 Να βρεθεί ο ολοκληρωτικός παράγοντας για τις πιο κάτω ΣΔΕ: (β) ( ) w ( ) w( ) 4 y y Πρώτα γράφουμε την ΣΔΕ στη μορφή w( ) w( ) 4 w( ) w( ) 4 Ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι d ln( ) ln( ) () (β) Πρώτα γράφουμε την ΣΔΕ στη μορφή y ( ) y y y Ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι d ln( ) ln( ) ()

2 4 Να λυθούν οι εξής ΣΔΕ ή ΠΑΤ: dy dy y d (β) y d y() 0 (γ) dw 4w 0 d w(0) 4 / (δ) dy cos( ) sin cos d y 5 y( / 4) dy Πρώτα γράφουμε την ΣΔΕ στη μορφή y d Ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι d () και πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της ΔΕ με το μ(), παίρνουμε d y y ( ) d y ( ) C d y( ) C (β) Πρώτα γράφουμε την ΣΔΕ στη μορφή dy y dy y Ο d d ολοκληρωτικός παράγοντας είναι d ln( ) ln( ) ( ) και πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της ΔΕ με το μ(), παίρνουμε d y y( ) d y( ) C y( ) C d Από την δοθείσα αρχική συνθήκη, βρίσκουμε τη σταθερά C: y() = C C 0 και έτσι y( ) dw (γ) Πρώτα γράφουμε την ΣΔΕ στη μορφή 4w Ο ολοκληρωτικός παράγοντας d είναι 4d 4 () και πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της ΔΕ με το μ(), παίρνουμε d w w d w C w() C d Από την δοθείσα αρχική συνθήκη, βρίσκουμε τη σταθερά C: w(0) = 4/ 4 C C και έτσι () 4 w

3 (δ) Πρώτα γράφουμε την ΣΔΕ στη μορφή dy sin y cos Ο ολοκληρωτικός d cos sin d cos lncos( ) lncos( ) παράγοντας είναι ( ) cos( ) και cos πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της ΔΕ με το μ(), παίρνουμε d d cos cos cos cos y cos y d y C y( ) cos C cos Από την δοθείσα αρχική συνθήκη, βρίσκουμε τη σταθερά C: 5 y( / 4) cos Ccos C και έτσι y( ) cos cos 5 Να λυθούν οι εξής ΣΔΕ: y y 4 y 0 (β) y 4 y 4 y 0 (γ) y y y 0 (δ) y y y 0 (ε) y y y 0 r r 4 0 r 4 r 0 r 4, r Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι y( ) C C 4 (β) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι y( ) C C (γ) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι r 4r 4 0 r 0 r r 4 i r r 0 r, i y( ) C sin C cos r r 0 r 0 r (δ) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι y( ) C C (ε) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι , r r r, r r y( ) C C 4

4 6 Να λυθούν τα εξής ΠΑΤ: 4 y 4y 9y 0 y(0) 0, y(0) 8 (β) 6 y 40y 5y 0 9 y(0), y(0) 4 (γ) 4y 4y 7y 0 y( ) 0, y( ) 0 (δ) y 4y 49y 0 y( 4), y( 4) 5 Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι i r 4r 9 0 r, r 5i y( ) Csin( 5 ) Ccos( 5 ) Από τις δοθείσες αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε τις σταθερές C, C: y(0) 0 0 C y( ) C sin( 5 ) Επίσης και έτσι, y( ) C sin( 5 ) 5C cos( 5 ) 8 8 y C C y 5 5 (0) ( ) sin( 5 ) (β) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι , r r r r r 4 y( ) C C Από τις δοθείσες αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε τις σταθερές 5 /4 5 /4 C, C: y(0) C y( ) C Επίσης 5 /4 5 /4 και έτσι, 5 5 y( ) C C /4 5 /4 5 / y C C y /4 5 /4 (0) 6 ( ) 6 (γ) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι r r r r i i , y( ) C sin( / ) C cos( / ) τις σταθερές C, C: Από τις δοθείσες αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε y( ) 0 0 C sin( / ) C cos( / ) C 0 y( ) C cos( / ) Επίσης y C C ( ) cos( / ) sin( / ) και έτσι, y( ) 0 0 C cos( / ) C sin( / ) C 0 y( ) 0

5 (δ) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι 5 r r r r r y( ) C C Από τις δοθείσες αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε τις σταθερές 7 7 C, C: y( 4) C 4C Επίσης 8 8 y( ) 7C C 7C άρα y( 4) 5 5 7C C 8C 5 7C 9C Έχουμε να λύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους: C 4C C C 8 C C 9 C 7 7 C C C C y( ) Να βρεθεί η μορφή της ειδικής/μερικής λύσης για τη ΣΔΕ y( ) y( ) y( ) g( ), όπου g() δίδεται από cos( ) (β) (γ) sin( ) (Δεν χρειάζεται να υπολογίσετε τους συντελεστές) Πρώτα βρίσκουμε τη λύση για το ομοιογενές πρόβλημα: r r 0 r, r y ( ) C C H y ( ) A B CDcos( ) E sin( ) (β) ( ) y A B (γ) Η μέθοδος ΔΕΝ εφαρμόζεται 8 Να βρεθεί η γενική λύση των πιο κάτω ΣΔΕ: y( ) y( ) y( ) (β) y ( ) y( ) y( ) 4 (γ) y ( ) y( ) (δ) y ( ) 7 y( ) (ε) y y y ( ) ( ) 5 ( ) sin( ) Πρώτα βρίσκουμε τη λύση για το ομοιογενές πρόβλημα: r r 0 r, r y ( ) C C H y ( ) A και έχουμε y ( ) A y ( ) A y ( ) 9A

6 9A 9A A 0A 0A A / 0 6 y y y C C ( ) H( ) ( ) / 0 (β) Πρώτα βρίσκουμε τη λύση για το ομοιογενές πρόβλημα: r r 0 r, r 4 y ( ) C C 4 H y ( ) A 4 και έχουμε y ( ) A y ( ) A 4 A y ( ) 4A 4A 6A 8A 6A A 6A A 4A A 7A 7A A / 7 y( ) y ( ) y ( ) C C / 7 H 4 4 (γ) Πρώτα βρίσκουμε τη λύση για το ομοιογενές πρόβλημα: r 0 r, r yh ( ) C C y( ) A B και έχουμε y ( ) A B y ( ) A y ( ) 0 A B A, B y( ) y ( ) y ( ) C C H (δ) Πρώτα βρίσκουμε τη λύση για το ομοιογενές πρόβλημα: r 7r 0 r 0, r 7 y ( ) C C 7 H y A B C A B C ( ) και έχουμε y ( ) A B C y ( ) A B C y ( ) 6A B 6A B 7 A B C A (6A 4 B) 7C B A,(6 A 4 B) 0, 7C B 0 A /, B / 49, C / 4 y y y C C 7 ( ) H( ) ( ) / 4 / 49 / (ε) Πρώτα βρίσκουμε τη λύση για το ομοιογενές πρόβλημα: r r 5 0 r 5, r 7 y ( ) C C 5 7 H

7 7 y( ) Asin( ) Bcos( ) C D και έχουμε y ( ) Asin( ) B cos( ) C D y ( ) Acos( ) B sin( ) C y A B C ( ) sin( ) cos( ) 9 Asin( ) B cos( ) 9C Acos( ) Bsin( ) C 5 Asin( ) B cos( ) C D sin( ) A B B A C D 6 sin( ) 5 cos( ) 5 sin( ) 6A B,5B A 0, C, 5D D / 5, C /, B / 50, A 9 / y( ) yh( ) y( ) C C sin( ) cos( ) Αν αντί για αρχικές τιμές, μας δοθούν τιμές σε δύο σημεία, τότε έχουμε ένα Πρόβλημα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ) αντί για ένα ΠΑΤ Να βρείτε τη λύση του ΠΣΤ: y y sin( ), y(0), y( / ) 0 Λύση: Πρώτα βρίσκουμε τη λύση για το ομοιογενές πρόβλημα: r r i r i yh C C 0, ( ) sin( ) cos( ) και έχουμε y ( ) Asin( ) Bcos( ) y ( ) Asin( ) Bcos( ) y ( ) Acos( ) Bsin( ) y ( ) 4Asin( ) 4Bcos( ) 4Asin( ) 4B cos( ) Asin( ) B cos( ) sin( ) A /, B 0, η γενική λύση είναι y( ) y ( ) y ( ) C sin( ) C cos( ) sin( ) / H Από τις συνοριακές συνθήκες έχουμε: y(0) C, y( / ) 0 C 0 και έτσι y( ) cos( ) sin( ) /

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΣ 203: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 2017 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΣ 203: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 2017 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΣ 3: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή. Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές. 3 d