ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΣΕΝΑΡΙΟ ΑΠΟ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣ: Η ΠΕ- ΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑ- ΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΣΕΝΑΡΙΟ ΑΠΟ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣ: Η ΠΕ- ΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑ- ΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Δέσποινα Δεσλή & Ηλιάνα Αβραμίδου Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Πύργος Παιδαγωγικής, Θεσσαλονίκη ddesli@eled.auth.gr Περίληψη Σκοπός της παρούσας εργασίας ήταν να μελετήσει την ικανότητα των υποψήφιων εκπαιδευτικών στην κατασκευή προβλημάτων με σενάριο. Για το σκοπό αυτό πραγματοποιήθηκε έρευνα στην οποία συμμετείχαν 154 φοιτητές/ριες του Π.Τ.Δ.Ε. του Α.Π.Θ. από τους οποίους ζητήθηκε να κατασκευάσουν, σύμφωνα με μία δοσμένη αριθμητική πράξη, ένα πρόβλημα πρόσθεσης κλασμάτων και ένα πρόβλημα πολλαπλασιασμού κλασμάτων με σενάριο. Ένα σημαντικό ποσοστό των συμμετεχόντων δυσκολεύτηκε πολύ να κατασκευάσει πρόβλημα με σενάριο, ιδιαίτερα στον πολλαπλασιασμό κλασμάτων. Στα προβλήματα που κατασκεύασαν επικεντρώθηκαν κυρίως στην πρόσθεση μερών καθώς και την αντίληψη του πολλαπλασιασμού ως μέρος ενός κλάσματος, ενώ αναφέρονταν πολύ συχνά σε φαγώσιμα υλικά ως μονάδες μέτρησης. Abstract The aim of the present study was to investigate the ability of pre-service primary school teachers to construct word problems. For this purpose, 154 student teachers were asked to write two word problems that represent symbolic expressions, one of fraction addition and one of fraction multiplication. A great percentage of participants faced difficulties to construct appropriate word problems, in particular problems that corresponded to fraction

264 32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας multiplication. Most of them constructed addition word problems that involved addition of parts and multiplication word problems that dealt with multiplication as a part of a fraction. Last, they mostly used food-related objects as their units of measure. Εισαγωγή Στη διεθνή βιβλιογραφία είναι ευρέως αναγνωρισμένη η συμβολή της επίλυσης προβλήματος τόσο στην ανάπτυξη του μαθηματικού συλλογισμού των παιδιών όσο και στη διαδικασία της διδασκαλίας και μάθησης των μαθηματικών στο σχολείο. Μέσα από αυτή την οπτική, η δημιουργία προβλημάτων με σενάριο 1 στα πλαίσια της επίλυσης προβλήματος λειτουργεί αφενός ως κινητήριο μέσο για την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών από τα παιδιά και της ενθάρρυνσης για μαθηματική γνώση (Bonotto, 2013) και αφετέρου ως μέσο για τη σύνδεση αυτών των εννοιών και την ενασχόληση των παιδιών με μαθηματικά που έχουν νόημα (Barlow & Drake, 2008. van de Walle, 2007). Σύμφωνα με τους Barlow και Drake (2008), η ικανότητα των εκπαιδευτικών να συνθέτουν προβλήματα με σενάριο αντανακλά τις βασικές μαθηματικές τους γνώσεις, οι οποίες μπορούν να ταξινομηθούν σε ένα ιεραρχικό σύστημα επιπέδων απόδοσης. Το υψηλότερο επίπεδο απόδοσης της μαθηματικής γνώσης θα πρέπει να περιλαμβάνει την πλήρη κατανόηση και εφαρμογή των μαθηματικών ακόμη και σε λεκτικές αναπαραστάσεις. Η δημιουργία προβλημάτων με σενάριο, ωστόσο, για τη χρήση τους στη διδασκαλία των μαθηματικών δεν φαίνεται να είναι μία εύκολη υπόθεση για τους εκπαιδευτικούς. Έρευνες έχουν δείξει πως οι εκπαιδευτικοί συχνά αντιμετωπίζουν δυσκολίες όταν καλούνται να δημιουργήσουν μαθηματικά προβλήματα με σενάριο (Ball, 2008), οι οποίες τις περισσότερες φορές φαίνεται να συνδέονται με τις ελλιπείς γνώσεις τους για το περιεχόμενο των μαθηματικών (μαθηματική γνώση περιεχομένου). Για παράδειγμα, στην έ- ρευνα των Unlu Ertekin (2012) στην Τουρκία, υποψήφιοι εκπαιδευτικοί σε σημαντικό ποσοστό διατύπωσαν προβλήματα πολλαπλασιασμού κλασμάτων, ενώ τους είχε ζητηθεί να διατυπώσουν προβλήματα διαίρεσης κλασμά- 1 Ο Schoenfeld (1992) ορίζει το πρόβλημα ως ένα εμπόδιο, μία κατάσταση για την οποία το άτομο δεν γνωρίζει άμεσο τρόπο αντιμετώπισης και λύσης. Τα μαθηματικά προβλήματα που έχουν σενάριο αποτελούν δραστηριότητες οι οποίες εξοικειώνουν τους μαθητές με διάφορες μαθηματικές έννοιες μέσω ενός ρεαλιστικού ή μη ρεαλιστικού πλαισίου (Verschaffel, Greer & De Corte, 2000).

32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας 265 των. Παρόμοιες δυσκολίες με τη διατύπωση προβλημάτων διαίρεσης κλασμάτων εντόπισαν και οι Leung και Carbone (2013) με υποψήφιους εκπαιδευτικούς στο Χονγκ Κονγκ. Οι ερευνητές κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οι γνώσεις των υποψηφίων εκπαιδευτικών συχνά περιορίζονταν στην εκτέλεση του σχετικού υπολογισμού (διαδικαστική γνώση), αδυναμία που οφείλεται στην έλλειψη της εννοιολογικής κατανόησης για το συγκεκριμένο μαθηματικό αντικείμενο. Την αδυναμία των εκπαιδευτικών να δημιουργήσουν προβλήματα με σενάριο έδειξε και η έρευνα του Luo (2009) σε Αμερικανούς υποψήφιους εκπαιδευτικούς πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης από τους οποίους ζητήθηκε να αναπαραστήσουν συγκεκριμένες αλγοριθμικές παραστάσεις πολλαπλασιασμού κλασμάτων σε πρόβλημα με σενάριο. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι ένα σημαντικό ποσοστό των υποψήφιων εκπαιδευτικών δεν μπόρεσαν να κατασκευάσουν ένα κατάλληλο πρόβλημα που να αντιπροσωπεύει την δοσμένη αριθμητική πράξη και ότι στο σύνολό τους οι σημασιολογικές δομές που χρησιμοποιήθηκαν στα προβλήματα ήταν περιορισμένες και ανεπαρκείς. Προσπαθώντας ο Luo να ε- ξηγήσει το λόγο της αποτυχίας των υποψήφιων εκπαιδευτικών αναφέρεται α- φενός στην ενδεχόμενη ελλιπή γνώση για τη συγκεκριμένη μαθηματική έννοια και αφετέρου στη γενικότερη αδυναμία των εκπαιδευτικών για δημιουργία μαθηματικών προβλημάτων με σενάριο. Οι εν ενεργεία εκπαιδευτικοί εμφανίζουν, επίσης, δυσκολίες στη δημιουργία προβλημάτων με σενάριο. Η Timmerman (2011), για παράδειγμα, εξέτασε τις επιδόσεις των εκπαιδευτικών στην κατανόηση της διαίρεσης παρουσιάζοντας στους εκπαιδευτικούς αριθμητικά δεδομένα με σκοπό να δημιουργήσουν πρόβλημα και μάλιστα υποστηριζόμενο από διάγραμμα. Τα προβλήματα που δημιούργησαν οι εκπαιδευτικοί δεν ήταν επιτυχημένα, παρ όλα αυτά το 81% των διαγραμμάτων των προβλημάτων ήταν σωστά. Καθώς η έρευνα αυτή στόχευε στην ανάλυση των κατασκευασμένων προβλημάτων διαίρεσης, βρέθηκε πως οι εκπαιδευτικοί δεν αναγνωρίζουν στις περισσότερες περιπτώσεις το είδος της διαίρεσης που εντάσσουν στο κάθε πρόβλημα, παρουσιάζοντας και πάλι ανεπάρκεια στην κατανόηση της μαθηματικής έννοιας. Το εύρημα αυτό σε ένα βαθμό εξηγεί και τη δυσκολία των εκπαιδευτικών να επιλέξουν προβλήματα που θα χρησιμοποιήσουν οι ίδιοι στη διδασκαλία των μαθηματικών αλλά και προβλήματα που αναπτύσσουν τη δημιουργικότητα των παιδιών στα μαθηματικά (Desli & Zioga, 2015). Καθώς η έρευνα στο χώρο της κατασκευής προβλημάτων με σενάριο είναι αρκετά περιορισμένη, και μηδαμινή στον Ελλαδικό χώρο, η παρούσα εργασία έχει ως στόχο να διαπιστώσει τις επιδόσεις των υποψήφιων εκπαιδευτικών στην κατασκευή προβλημάτων με σενάριο που εμπεριέχουν μια

266 32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας δοσμένη αριθμητική πράξη πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού κλασμάτων. Τα επιμέρους ερευνητικά ερωτήματα είναι: α) Ποιο είναι το επίπεδο επιτυχίας των υποψήφιων εκπαιδευτικών όταν κατασκευάζουν ένα πρόβλημα με σενάριο;, β) ποιο είναι το μαθηματικό περιεχόμενο των προβλημάτων που κατασκευάζουν;, γ) ποια είναι τα υλικά στα οποία αναφέρονται όταν δημιουργούν προβλήματα με σενάριο;. Τα παραπάνω ερωτήματα θα εξεταστούν αναφορικά τόσο με το επίπεδο φοίτησης των υποψήφιων εκπαιδευτικών όσο και ως προς το είδος της αριθμητικής πράξης για την οποία χρειάζεται να κατασκευάσουν πρόβλημα. Μεθοδολογία Συμμετέχοντες. Στην έρευνα συμμετείχαν συνολικά 154 προπτυχιακοί φοιτητές και φοιτήτριες (91,6% γυναίκες και 8,4% άντρες) του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, οι οποίοι φοιτούσαν στο δεύτερο (36,6%), το τρίτο (34,6%) και το τέταρτο έτος (28,8%) των σπουδών τους και είχαν ασχοληθεί στα πλαίσια των μαθημάτων τους με ζητήματα της διδακτικής των μαθηματικών. Η επιλογή του δείγματος έγινε με τη μέθοδο της τυχαίας δειγματοληψίας. Σχεδιασμός Εργαλείο μέτρησης. Για τους σκοπούς της έρευνας σχεδιάστηκαν και παρουσιάστηκαν δύο έργα στους συμμετέχοντες με τη χρήση ερωτηματολογίου. Στο πρώτο έργο δόθηκε μια πρόσθεση κλασμάτων (2/3 + 4/5), ενώ στο δεύτερο ένας πολλαπλασιασμός κλασμάτων (1/2 Χ 2/3), και ζητήθηκε από τους υποψήφιους εκπαιδευτικούς να κατασκευάσουν από ένα πρόβλημα με σενάριο το οποίο να περιλαμβάνει τη συγκεκριμένη αριθμητική πράξη. Η σειρά παρουσίασης των έργων δεν ήταν πάντα σταθερή έτσι ώστε να διασφαλιστεί ότι η σειρά δεν επηρεάζει την ικανότητα των συμμετεχόντων για κατασκευή προβλημάτων. Μέσα από τα έργα επιχειρήθηκε να εξεταστούν: α) η ορθότηταεγκυρότητα του προβλήματος που κατασκεύασαν οι συμμετέχοντες, δηλαδή ο βαθμός σαφήνειας του προβλήματος. Κάθε πρόβλημα βαθμολογήθηκε στη βάση της κλίμακας των Kaiser και Willander (2005)- με βάση έναν βαθμό που δήλωνε ένα από τα πέντε επίπεδα επιτυχίας, τα οποία κυμαίνονταν από το «0», που αντιπροσώπευε το κατώτερο επίπεδο αποτυχίας, έως το «4», που αντιπροσώπευε το ανώτερο επίπεδο επιτυχίας. β) το μαθηματικό περιεχόμενο του προβλήματος που δημιουργήθηκε, δηλαδή το είδος της α- θροιστικής και της πολλαπλασιαστικής σχέσης που οι συμμετέχοντες χρησιμοποίησαν στο πρόβλημα που κατασκεύασαν. Τόσο για τα προβλήματα πρόσθεσης όσο και για τα προβλήματα πολλαπλασιασμού η κατηγοριοποίηση που χρησιμοποιήθηκε (0: Καμία πρόσθεση, 1: Πρόσθεση μερών, 2:

32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας 267 Πρόσθεση ομώνυμων μερών, 3: Άλλο μαθηματικό περιεχόμενο πρόσθεσης και 0: Κανένας πολλαπλασιασμός, 1: Πολλαπλασιαστικές σχέσεις-από το ένα στα πολλά, 2: Εμβαδόν, 3: Μέρος ενός κλάσματος, 4: Άλλο μαθηματικό περιεχόμενο πολλαπλασιασμού, αντίστοιχα) βασίστηκε στη βιβλιογραφία για τα χαρακτηριστικά των αριθμητικών πράξεων (π.χ., van de Walle, 2007. Nunes & Bryant, 2007). γ) το θέμα που χρησιμοποιήθηκε στα σενάρια των προβλημάτων που οι συμμετέχοντες κατασκεύασαν, με σκοπό να εξεταστεί αν υπάρχουν περισσότερο ή λιγότερο δημοφιλή θέματα που επιλέγονται στα προβλήματα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού κλασμάτων. Διαδικασία. Η συμπλήρωση των ερωτηματολογίων ήταν εθελοντική, ανώνυμη, πραγματοποιήθηκε σε χώρους του πανεπιστημίου και διήρκησε περίπου 20-30 λεπτά. Το ποσοστό επιστροφής των συμπληρωμένων ερωτηματολογίων άγγιξε το 85%. Αποτελέσματα α. Κατασκευή προβλημάτων. Γενικά, ένα αρκετά μεγάλο ποσοστό των υποψήφιων εκπαιδευτικών σημείωσαν είτε αδύναμη είτε πολύ καλή (35,3% και 40%, αντίστοιχα) στη δημιουργία προβλημάτων πρόσθεσης κλασμάτων (βλ. Σχήμα 1). Επιπρόσθετα, στατιστικά σημαντικές διαφορές βρέθηκαν στα επίπεδα ς αναφορικά με τη διατύπωση προβλημάτων πρόσθεσης ως προς το έτος φοίτησης των συμμετεχόντων (x 2 (8)=15,767, p<.05), με τους δευτεροετείς φοιτητές να παρουσιάζουν χαμηλότερα επίπεδα ς σε σχέση με τους τριτοετείς και τους τεταρτοετείς που βρέθηκε να δυσκολεύονται σε παρόμοιο βαθμό. 60 50 40 30 20 10 0 Αποτυχία Φτωχή Αδύναμη Καλή Πολύ καλή 2-ετείς 3-ετείς 4-ετείς Σχήμα 1: Επίπεδα ς των συμμετεχόντων στη δημιουργία προβλημάτων πρόσθεσης κλασμάτων ως προς το έτος φοίτησης

268 32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας Ωστόσο, τα επίπεδα ς των συμμετεχόντων στη δημιουργία προβλημάτων πολλαπλασιασμού κλασμάτων ήταν ιδιαίτερα χαμηλά (βλ. Σχήμα 2): περισσότεροι από τους μισούς συμμετέχοντες είτε δεν δημιούργησαν πρόβλημα με σενάριο βασισμένο σε πολλαπλασιασμό κλασμάτων (34,6%) είτε δημιούργησαν προβλήματα με λογικά λάθη (25,5%) με αποτέλεσμα να μην υπάρχει νόημα στο συγκεκριμένο πολλαπλασιασμό κλασμάτων. Μόνο το 15,7% των συμμετεχόντων κατάφερε να κατασκευάσει ένα σωστό πρόβλημα πολλαπλασιασμού κλασμάτων. Οι τριτοετείς φοιτητές παρουσίασαν πιο συχνά τα ανώτερα επίπεδα ς στη δημιουργία προβλημάτων πολλαπλασιασμού κλασμάτων σε σχέση με τους δευτεροετείς και τους τριτοετείς φοιτητές, αναδεικνύοντας στατιστικά σημαντικές διαφορές ως προς το έτος φοίτησης (x 2 (8) =42,236, p<.001). 60 50 40 30 20 10 0 Αποτυχία Φτωχή Αδύναμη Καλή Πολύ καλή 2-ετείς 3-ετείς 4-ετείς Σχήμα 2: Επίπεδα ς των συμμετεχόντων στη δημιουργία προβλημάτων πολλαπλασιασμού κλασμάτων ως προς το έτος φοίτησης Προκειμένου να εξεταστεί η των συμμετεχόντων στην κατασκευή προβλημάτων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού κλασμάτων, χρησιμοποιήθηκε το t-test για συσχετισμένες ομάδες το οποίο έδειξε στατιστικά σημαντικές διαφορές ανάμεσα στα προβλήματα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού που οι υποψήφιοι εκπαιδευτικοί δημιούργησαν (t=8,402, df=153, p<.001). Συγκεκριμένα, οι συμμετέχοντες είχαν καλύτερη στην κατασκευή προβλημάτων πρόσθεσης σε σχέση με τα προβλήματα πολλαπλασιασμού (βλ. Πίνακα 1). Τέλος, δεν βρέθηκε να επηρεάζει στατιστικά σημαντικά η σειρά παρουσίασης των έργων την των συμμετεχόντων ούτε στην κατασκευή προβλημάτων πρόσθεσης (x 2 (4)=4,802, p=.308) ούτε στην κατασκευή προβλημάτων πολλαπλασιασμού (x 2 (4) =3,010, p=.556).

32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας 269 Διατύπωση προβλημάτων: Επίπεδο φοίτησης 2-ετείς 3-ετείς 4-ετείς Σύνολο Πρόσθεσης 2,23 (1.34) 2,98 (1.2) 2,68 (1.11) 2,62 (1.26) Πολλαπλασιασμού 1 (1.23) 1,62 (1.6) 1,84 (1.34) 1,46 (1.44) Επίπεδα ς: 0-4 Πίνακας 1: Μέσοι όροι (τυπικές αποκλίσεις) σωστών απαντήσεων στη διατύπωση προβλημάτων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού κλασμάτων ως προς το επίπεδο φοίτησης β. Μαθηματικό περιεχόμενο. Η πλειοψηφία των συμμετεχόντων (81,7%) δημιούργησαν προβλήματα πρόσθεσης κλασμάτων που παρουσίαζαν πρόσθεση μερών, χωρίς στατιστικά σημαντικές διαφορές στην εμφάνιση τέτοιου είδους προβλημάτων ανά έτος φοίτησης (x 2 (16) =8,275, p=. 219). Ένα πολύ μικρό ποσοστό, από το δεύτερο και το τρίτο έτος φοίτησης (14,2% και 5,6%, αντίστοιχα), δημιούργησαν προβλήματα που δεν αφορούσαν πρόσθεση κλασμάτων (βλ. Πίνακα 2). Μαθηματικό περιεχόμενο Επίπεδο φοίτησης 2-ετείς 3-ετείς 4-ετείς Προβλήματα πρόσθεσης κλασμάτων Σύνολο Καμία πρόσθεση 14,2% 5,6% - 7,2% Πρόσθεση μερών 75% 84,9% 86,4% 81,7% Πρόσθεση ομώνυμων 5,4% 3,8% 6,8% 5,2% Άλλο 5,4% 5,7% 6,8% 5,9% Προβλήματα πολλαπλασιασμού κλασμάτων Κανένας πολ/σμός 67,9% 52,8% 20,5 49% Από το ένα στα πολλά 5,4% 1,9% 9,1% 5,2% Εμβαδόν 12,5% - - 4,6% Μέρος ενός κλάσματος 5,4% 39,6% 54,5% 31,4% Άλλο 8,8% 5,7% 15,9% 9,8% Πίνακας 2: Κατανομή συχνότητας του μαθηματικού περιεχομένου στα προβλήματα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού κλασμάτων ως προς το επίπεδο φοίτησης Ωστόσο, βρέθηκαν στατιστικά σημαντικές διαφορές στο μαθηματικό περιεχόμενο που οι συμμετέχοντες παρουσίασαν αναφορικά με τα προβλή-

270 32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας ματα πολλαπλασιασμού κλασμάτων ως προς το έτος φοίτησης (x 2 (18) =49,456 p<.001). Αυτές οι διαφορές οφείλονται κυρίως στο ότι στην πλειοψηφία τους οι φοιτητές του δεύτερου έτους και του τρίτου έτους (67,9% και 52,8%) πρότειναν προβλήματα χωρίς κανένα πολλαπλασιασμό (βλ. Πίνακα 2). Ενδιαφέρον, επίσης, παρουσιάζει το γεγονός ότι πολλοί από τους φοιτητές του τρίτου έτους αλλά και η πλειοψηφία αυτών του τέταρτου έτους (39,6% και 54,5%, αντίστοιχα) δημιούργησαν προβλήματα πολλαπλασιασμού που αφορούσαν μέρος ενός κλάσματος, αναδεικνύοντας αυτή την ιδέα για τον πολλαπλασιασμό περισσότερο συχνά. γ. Μονάδες μέτρησης Υλικά. Περίπου το 75% των συμμετεχόντων, χωρίς στατιστικά σημαντικές διαφορές ανά έτος φοίτησης (x 2 (14)=19,132, p=.160), δημιούργησαν προβλήματα πρόσθεσης κλασμάτων με σενάριο το οποίο αναφέρονταν σε φαγώσιμα υλικά (κυρίως πίτσα/πίτα). Στα προβλήματα πολλαπλασιασμού κλασμάτων, οι συμμετέχοντες παρουσίασαν στατιστικά σημαντικές διαφορές στις αναφορές τους σε μονάδες μέτρησης ως προς το έτος φοίτησης (x 2 (12)=28,532, p<.01): ενώ οι δευτεροετείς και τριτοετείς φοιτητές (περίπου 45%) δεν χρησιμοποίησαν κάποιο συγκεκριμένο υλικό, ένα σημαντικό ποσοστό των τεταρτοετών (περίπου 40%) αναφέρθηκε σε φαγώσιμα υλικά. Ωστόσο, όλοι οι συμμετέχοντες αναφέρθηκαν και σε άλλες μονάδες μέτρησης (περίπου 26%) όπως είναι τα μήκη των πλευρών, τμήματα δαπέδου κλπ. (βλ. Πίνακα 3). Υλικά Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Καμία μονάδα μέτρησης 4,6% 36,6% Πίτσα / Πίτα 36,5% 9,2% Κέικ / Τούρτα 11,8% 7,2% Σοκολάτα 7,8% 9,2% Φρούτα 7,2% 5,9% Άλλο φαγώσιμο υλικό 5,6% 6,5% Αγόρια / Κορίτσια 2,8% - Άλλη μονάδα μέτρησης 23,7% 25,4% Πίνακας 3: Κατανομή συχνότητας των υλικών που αναφέρθηκαν στα προβλήματα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού κλασμάτων Συζήτηση - Συμπεράσματα Υψηλά ποσοστά στα επίπεδα αποτυχίας, φτωχής και αδύναμης ς κατά τη δημιουργία προβλημάτων πρόσθεσης κλασμάτων βρέθηκαν, ι- διαίτερα από τους νεότερους σε επίπεδο φοίτησης υποψήφιους εκπαιδευτι-

32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας 271 κούς. Ακόμα χαμηλότερες επιδόσεις παρουσιάστηκαν στα προβλήματα πολλαπλασιασμού κλασμάτων που κατασκεύασαν οι υποψήφιοι εκπαιδευτικοί όλων των ετών φοίτησης, ακόμα και των τελειόφοιτων. Τα απογοητευτικά αυτά αποτελέσματα συμφωνούν με τα αποτελέσματα της έρευνας του Luo (2009), αναδεικνύοντας αυτή την αδυναμία των υποψήφιων εκπαιδευτικών ως σημαντικό εμπόδιο στη διδασκαλία των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο. Δεν είναι τυχαίο που η διεθνής έρευνα αναφορικά με τη δημιουργία προβλημάτων κατευθύνεται στην επιμόρφωση των εκπαιδευτικών με σκοπό τη σύνδεση της δημιουργίας προβλημάτων με τη διαδικασία επίλυσης (Ellerton, 2013). Η ανάλυση του μαθηματικού περιεχομένου των προβλημάτων της πρόσθεσης κλασμάτων έδειξε ότι η πλειοψηφία των συμμετεχόντων κατασκεύασαν προβλήματα πρόσθεσης μερών κλάσματος. Δεν υπήρχε διαφοροποίηση μεταξύ των υποψηφίων εκπαιδευτικών ως προς το επίπεδο φοίτησης, ενώ διαφορετικό μαθηματικό περιεχόμενο πρόσθεσης εμφανίστηκε σε πολύ μικρότερη συχνότητα. Σχετικά με το μαθηματικό περιεχόμενο των προβλημάτων του πολλαπλασιασμού κλασμάτων, τα υψηλότερα ποσοστά των υποψήφιων εκπαιδευτικών ειδικά του δεύτερου και του τρίτου έτους, δεν παρουσίασαν πολλαπλασιασμό στα προβλήματά τους, εύρημα που είχε αναδειχθεί και κατά την ανάλυση της επίδοσής τους στη δημιουργία προβλήματος με σενάριο. Όσοι από τους συμμετέχοντες δημιούργησαν προβλήματα πολλαπλασιασμού κλασμάτων, κυρίως του δεύτερου και του τρίτου έτους φοίτησης, αυτά συνήθως περιελάμβαναν μέρος ενός κλάσματος. Η μονομέρεια στο μαθηματικό περιεχόμενο των προβλημάτων που κατασκεύασαν οι συμμετέχοντες κάνει ακόμα περισσότερο επιτακτική την ανάγκη για ευρύτερη και περισσότερο ποιοτική εκπαίδευση των υποψήφιων εκπαιδευτικών σε επιμέρους θέματα των μαθηματικών. Τέλος, επιβεβαιώθηκε και στην παρούσα έρευνα, όπως και σε άλλες (π.χ., Luo, 2009), η αξιοποίηση συγκεκριμένου υλικού στη σύνθεση προβλήματος: οι πιο συχνές μονάδες μέτρησης που αναφέρθηκαν για την αναπαράσταση πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού κλασμάτων αφορούσαν φαγώσιμα υλικά. Το εύρημα αυτό ίσως αποτελέσει ευκαιρία για τους εκπαιδευτικούς να απομακρυνθούν από την στερεοτυπική εικόνα αναπαράστασης του κλάσματος (ως μήλου, πίτσας κλπ.) και να εμπλέξουν μία ποικιλία μοντέλων για τα κλάσματα, όπως αυτά του εμβαδού, της μέτρησης και των συνόλων (van de Walle, 2007), προκειμένου να αναπτυχθούν επαρκώς στα παιδιά οι κλασματικές έννοιες.

272 32 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας Βιβλιογραφία Ball, D.L. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407. Barlow, A.T. & Drake, M. (2008). Division by a fraction: Assessing understanding through problem writing. Teaching Children Mathematics, 13, 326-332. Bonotto, C, (2013). Artifacts as sources for problem-posing activities. Educational Studies in Mathematics, 83(1), 37-55. Desli, D. & Zioga, M. (2015). Looking for creativity in primary school mathematical tasks. Proceedings of the ninth congress of the European Society for Research in Mathematics Education. Czech: Prague. Ellerton, N. (2013). Engaging pre-service middle-school teacher-education students in mathematical problem posing: development of an active learning framework. Educational Studies in Mathematics, 83(1), 87-101. Kaiser, G. & Willander, T. (2005). Development of mathematical literacy: Results of an empirical study. Teaching Mathematics and its Applications, 24 (2-3), 48-60. Leung, I. & Carbone, R.E. (2013). Pre-service teachers knowledge about fraction division reflected through problem posing. The Mathematics Educator, 14, 80-92. Luo, F. (2009). Evaluating the effectiveness and insights of pre-service elementary teachers abilities to construct word problems for fraction multiplication. Journal of Mathematics Education, 2(1), 83-98. Nunes, T., & Bryant, P. (2007). Τα παιδιά κάνουν μαθηματικά. Αθήνα: Gutenberg. Schoenfeld, A.H. (1992). Learning to think mathematically: problem solving, meta-cognition and sense making in mathematics. In D.A. Grouwes (ed.), Handbook of research in mathematics teaching and learning (pp.334-370). NY: Macmillan. Timmerman, M. (2011). Making connections: Elementary teachers contruction of division word problem and representations. School Science and Mathematics, 115(3), 115-123. Unlu, M. & Ertekin, E. (2012). Why do pre-service teachers pose multiplication problems instead of division problems in fractions? Procedia Social and Behavioral Sciences, 46, 490-494. van de Walle, J.A. (2007). Διδάσκοντας μαθηματικά. Θεσσαλονίκη: Επίκεντρο. Verschaffel, V., Greer, B. & de Corte, E. (2000). Making sense of word problems. Lisse, the Netherlands: Swets & Zeitlinger.