και φυσικά υπάρχει πληθώρα νέων ασκήσεων. H ανάγκη βελτίωσης προέκυψε απ την δεκαετή διδασκαλία του μαθήματος απ τη συγγραφέα.

Tο βιβλίο αυτ απευθ νεται στους τεταρτοετείς φοιτητές των Mαθηματικών τμημάτων και σε σους ασχολο νται με τη Στατιστική και έχουν καλ υπ βαθρο στη Mαθηματική Aνάλυση και στη θεωρία των Πιθανοτήτων Tο βιβλίο αυτ αντικαθιστά το «Mαθηματική Στατιστική τ μος I» των Φ Kολυβά - Mαχαίρα και K Mπαγιάτη H θεωρία αποτελεί βελτίωση της θεωρίας του προηγο μενου βιβλίου, ενώ οι ασκήσεις είναι ανανεωμένες ως προς το πνε μα και ως προς το φος και φυσικά υπάρχει πληθώρα νέων ασκήσεων H ανάγκη βελτίωσης προέκυψε απ την δεκαετή διδασκαλία του μαθήματος απ τη συγγραφέα Σ αυτή την έκδοση διατηρήθηκε η δομή του προηγο μενου βιβλίου, για να μην αισθάνονται σε ξένο περιβάλλον οι φοιτητές παλαιοτέρων ετών που θα ξαναδιαβάσουν το μάθημα Tο βιβλίο περιέχει τέσσερα κεφάλαια και δ ο παραρτήματα Στο πρώτο κεφάλαιο μελετάται η κατανομή του τυχαίου δείγματος καθώς επίσης και οι κατανομές των κλασσικών στατιστικών συναρτήσεων Στο δε τερο κεφάλαιο μελετώνται οι ιδι τητες των εκτιμητών και ο τρ πος κατασκευής εκτιμητών που έχουν κάποιες επιθυμητές ιδι τητες Στο τρίτο κεφάλαιο δίνονται μέθοδοι ε ρεσης εκτιμητών με αναλυτικ τρ πο, ασχέτως ιδιοτήτων, και συγκρίνονται οι μέθοδοι ως προς την ποι τητα των εκτιμητών που παρέχουν Στο τέταρτο κεφάλαιο δίνονται μέθοδοι κατασκευής διαστημάτων εμπιστοσ νης Tο παράρτημα A είναι ένα λεξικ πιθανοτήτων με ορισμο ς και τα κυρι τερα θεωρήματα (χωρίς απ δειξη) που θεωρο νται απαραίτητα εργαλεία για τη Mαθηματική Στατιστική Tο παράρτημα B είναι οι πίνακες των κυριοτέρων κατανομών που χρησιμοποιο νται στα διαστήματα εμπιστοσ νης και είναι απαραίτητοι σε κάθε βιβλίο Στατιστικής Kάθε ένα απ τα τέσσερα κεφάλαια περιέχει πολλά παραδείγματα για την καταν ηση των εννοιών και λυμένες ασκήσεις (συνολικά 100 ασκήσεις) στο τέλος κάθε κεφαλαίου Σε κάθε άσκηση μελε- 5

6 τάται ένα πρ βλημα ολοκληρωμένα ενώ με τα παραδείγματα αποσαφηνίζονται οι έννοιες κάθε φορά που ορίζονται Mερικές ασκήσεις και θεωρήματα ξεφε γουν απ τις απαιτήσεις των εξετάσεων, μπήκαν μως για να κεντρίσουν το ενδιαφέρον αυτών που τους ενδιαφέρει η Στατιστική σαν αντικείμενο περαιτέρω έρευνας Tελειώνοντας θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τους μεταπτυχιακο ς φοιτητές Γιάννη Aνδρεάδη και Δέσποινα Δάσιου για τη βοήθειά τους στη δι ρθωση των δοκιμίων Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 1993 Φ Kολυβά - Mαχαίρα

7 1 KATANOMH KAI XAPAKTHPIΣTIKA TYXAIOY ΔEIΓMATOΣ 11 EÈÛ ÁˆÁ 11 1 MÂÏ ÙË ÙË Î Ù ÓÔÌ ÙÔ Â ÁÌ ÙÔ 1 11 ÂÚ appleùˆûë È ÎÚÈÙÔ Ú ÈÎÔ appleïëı ÛÌÔ 1 1 ÂÚ appleùˆûë Û ÓÂ Ô Ú ÈÎ Î Ù ÓÔÌ 14 13 MÂÏ ÙË ÙË ÛÎ ÙË ÂÌappleÂÈÚÈÎ Î Ù ÓÔÌ 16 13 X Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎ Â ÁÌ ÙÔ 19 131 È ÙÂÙ ÁÌ ÓÔ Â ÁÌ 19 13 Ù ÙÈÛÙÈÎ Â ÁÌ ÙÔ 1 133 MÂÏ ÙË ÙË Î Ù ÓÔÌ ÙË Ì ÛË ÙÈÌ Î È ÙË È ÛappleÔÚ ΛYMENEΣ AΣKHΣEIΣ7 IΔIOTHTEΣ EKTIMHTPIΩN 1 EÈÛ ÁˆÁ 39 KÚÈÙ ÚÈ ÂÎÏÔÁ ÂÎÙÈÌËÙÚÈÒÓ4 1 AÌÂÚfiÏËappleÙÔÈ ÂÎÙÈÌËÙ 43 EÎÙÈÌËÙ ÂÏ ÈÛÙË È ÛappleÔÚ ( Ô )47 3 Eapple ÚΠÂÎÙÈÌËÙ 50 4 H ÓÓÔÈ ÙË ÛÙ ÙÈÛÙÈÎ appleïëúfiùëù 60 5 XÚ ÛË ÙˆÓ Âapple ÚÎÒÓ ÛÙÛ ÛÙËÓ Â ÚÂÛË Ô ÂÎÙÈÌËÙÒÓ 64 3 EÎıÂÙÈÎ ÔÈÎÔÁ ÓÂÈ Î Ù ÓÔÌÒÓ 74 4 E ÚÂÛË Ô ÂÎÙÈÌËÙÒÓ Ì ÙË Ô ıâè ÙË ÓÈÛfiÙËÙ Cramér - Rao84 5 AÓ ÎÂÊ Ï ˆÛË ÙˆÓ ÌÂıfi ˆÓ Î Ù ÛΠԠÂÎÙÈÌËÙÒÓ10 6 AÛ ÌappleÙˆÙÈÎ È ÈfiÙËÙ ÂÎÙÈÌËÙÚÈÒÓ103 ΛYMENEΣ AΣKHΣEIΣ107 3 MEΘOΔOI EKTIMHΣHΣ 31 M ıô Ô ÙˆÓ ÚÔappleÒÓ165 3 M ıô Ô Ì ÁÈÛÙË appleèı ÓÔÊ ÓÂÈ 169 31 I ÈfiÙËÙ ÂÎÙÈÌËÙÒÓ Ì ÁÈÛÙË appleèı ÓÔÊ ÓÂÈ 175 3 AÛ ÌappleÙˆÙÈÎ È ÈfiÙËÙ ÂÎÙÈÌËÙÒÓ Ì ÁÈÛÙË appleèı ÓÔÊ ÓÂÈ 177

8 33 M ıô Ô ÂÏ ÛÙˆÓ ÙÂÙÚ ÁÒÓˆÓ181 331 EÎÙÈÌËÙ ÂÏ ÛÙˆÓ ÙÂÙÚ ÁÒÓˆÓ ÙÔ ÁÚ ÌÌÈÎÔ ÌÔÓÙ ÏÔ 185 33 I ÈfiÙËÙ ÂÎÙÈÌËÙÒÓ ÂÏ ÛÙˆÓ ÙÂÙÚ ÁÒÓˆÓ187 333 EÎÙ ÌËÛË ÙË È ÛappleÔÚ ÙˆÓ ÛÊ ÏÌ ÙˆÓ189 334 Ù ıìèûì ÓÔÈ ÂÎÙÈÌËÙ ÂÏ ÛÙˆÓ ÙÂÙÚ ÁÒÓˆÓ ( EET)19 34 ÙÔÈ Â applefi ÙË ıâˆú appleôê ÛˆÓ193 341 M ıô Ô miimax196 34 M ıô Ô Bayes197 35 M ıô Ô ÂÏ ÛÙÔ X 05 ΛYMENEΣ AΣKHΣEIΣ07 4 EKTIMHΣH ΣE ΔIAΣTHMA 41 È ÛÙ Ì Ù ÂÌappleÈÛÙÔÛ ÓË 43 4 M ıô Ô Î Ù ÛÎÂ È ÛÙËÌ ÙˆÓ ÂÌappleÈÛÙÔÛ ÓË 45 43 AÛ ÌappleÙˆÙÈÎ È ÛÙ Ì Ù ÂÌappleÈÛÙÔÛ ÓË 54 44 ÂÚÈÔ ÂÌappleÈÛÙÔÛ ÓË 58 45 M ÁÂıÔ Â ÁÌ ÙÔ 64 ΛYMENEΣ AΣKHΣEIΣ68 Παράρτημα A ΣTOIXEIA ΘEΩPIAΣ ΠIΘANOTHTΩN A1 B ÛÈÎÔ ÔÚÈÛÌÔ 93 A ÙÔ ÛÙÈÎ Û ÁÎÏÈÛË - NfiÌÔÈ ÌÂÁ ÏˆÓ ÚÈıÌÒÓ99 A1 ÁÎÏÈÛË99 A NfiÌÔÈ ÌÂÁ ÏˆÓ ÚÈıÌÒÓ 30 A3 K ÓÔÓÈÎ Î Ù ÓÔÌ Î È apple Ú ÁfiÌÂÓ apple Ù Ó Î Ù ÓÔÌ 303 Παράρτημα B ΠINAKEΣ31 Bιβλιογραφία 333

9 ÂÔÂ ÌÂÚfiÏËappleÙÔ ÂÎÙÈÌËÙ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ ÂÏ ÈÛÙË È ÛappleÔÚ ÔÂ ÌÂÚfiÏËappleÙÔ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ ÂÏ ÈÛÙË È ÛappleÔÚ Â ıìô ÂÏÂ ıâú Â È ÛÙËÌ ÂÌappleÈÛÙÔÛ ÓË EET ÂÎÙÈÌËÙ ÂÏ ÛÙˆÓ ÙÂÙÚ ÁÒÓˆÓ EM ÂÎÙÈÌËÙ Ì ÁÈÛÙË appleèı ÓÔÊ ÓÂÈ KO ÎÂÓÙÚÈÎfi ÔÚÈ Îfi ıâòúëì Û Î Û Ó ÚÙËÛË ıúôèûùèî Î Ù ÓÔÌ ÛÎ Û Ó ÚÙËÛË Î Ù ÓÔÌ Ûapple Û Ó ÚÙËÛË appleèı ÓfiÙËÙ Ûappleapple Û Ó ÚÙËÛË apple ÎÓfiÙËÙ appleèı ÓfiÙËÙ ÛÙÛ ÛÙ ÙÈÛÙÈÎ Û Ó ÚÙËÛË Ù Ù Ô Â ÁÌ ÙÌ Ù ÌÂÙ ÏËÙ EET ÛÙ ıìèûì ÓÔÈ ÂÎÙÈÌËÙ ÂÏ ÛÙˆÓ ÙÂÙÚ ÁÒÓˆÓ Û Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎ Û Ó ÚÙËÛË C - R Cramér - Rao P -Æ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù appleèı ÓfiÙËÙ Û --Æ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Û Â fió È KN ---Æ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù ÓfiÌÔ A Ó ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ apple Ó Î A A 1 ÓÙ ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ apple Ó Î A deta ÔÚ Ô Û ÙÔ apple Ó Î A x ~ È Ó ÛÌ ÛÙ ÏË ~ x È Ó ÛÌ ÁÚ ÌÌ applefiï ÙË ÙÈÌ ÙÔ

11 11 Eισαγωγή T Ê ÈÓfiÌÂÓ ÔÈ appleïëı ÛÌÔ appleâúèáú ÊÔÓÙ È Ì ÙË Ô ıâè ÙˆÓ Ù ˆÓ ÌÂÙ ÏËÙÒÓ Î È ÙˆÓ Î Ù ÓÔÌÒÓ ÙÔ, appleô ÙÈ appleâúèûûfiùâúâ ÊÔÚ ÂÓ Â Ó È Ù ÏÂÈ ÁÓˆÛÙ H ÌÂÏ ÙË ÌÈ Î Ù ÓÔÌ ÂappleÈÙ Á ÓÂÙ È Ì ÙË ÌÂÏ ÙË λων ÙˆÓ ÛÙÔÈ Â ˆÓ ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ÙÔ Ê ÈÓÔÌ ÓÔ appleô appleâúèáú ÊÂÈ, appleú ÁÌ appleô Â Ó È ÙÈ appleâúèûûfiùâúâ ÊÔÚ appleú ÎÙÈÎ Ó ÙÔ Â Ù ÏfiÁˆ ÎfiÛÙÔ Â Ù ÏfiÁˆ ÏÏÂÈ Ë ÚfiÓÔ È Ó Î Ù Ï ÍÔ Ì ÏÔÈapplefiÓ ÛÂ Û ÌappleÂÚ ÛÌ Ù ÁÈ ÙËÓ Î Ù ÓÔÌ, ÚËÛÈÌÔappleÔÈÔ ÌÂ Ó Ó ÚÈıÌfi ÓÂÍ ÚÙËÙˆÓ apple Ú ÙËÚ ÛÂˆÓ fiûô ÙÔ Ó ÙfiÓ ÓÙÈappleÚÔÛˆapple ÙÈÎfiÙÂÚˆÓ ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ÙÔ Ê ÈÓÔÌ ÓÔ appleô ÌÂÏÂÙ Ì Oρισμ ς 111 Tυχαίο δείγμα (τδ) X ~ Â Ó È Ó appleâappleâú ÛÌ ÓÔ Û ÓÔÏÔ ÓÂÍ ÚÙËÙˆÓ ÔÎÈÌÒÓ (X 1, X,, X ) ÙË È ÙÌ X O ÚÈıÌfi Ï ÁÂÙ È μέγεθος ÙÔ Â ÁÌ ÙÔ T appleôùâï ÛÌ Ù ÙˆÓ ÔÎÈÌÒÓ ÛËÌÂÈÒÓÔÓÙ È Ì x = (x ~ 1, x,, x ) και δεν είναι τμ ÂÓÒ ÙÔ Ù X ~ = (X 1, X,, X ) είναι τμ O ÙÚfiappleÔ Ì ÙÔÓ ÔappleÔ Ô Ï Ì ÓÂÙ È ÙÔ Â ÁÌ Ï ÁÂÙ È δειγματοληψία Î È Á ÓÂÙ È Â Ù Ì Âapple Ó ıâûë  Ù ˆÚ Âapple Ó ıâûë O appleïëı ÛÌfi applefi ÙÔÓ ÔappleÔ Ô appleúô Ú ÂÙ È ÙÔ Â ÁÌ ÌappleÔÚÂ Ó Â Ó È appleâè- ÚÔ appleï ıô, appleâappleâú ÛÌ ÓÔ ÙÔ appleôï ÚÈıÌ ÛÈÌÔ appleï ıô AÓ Ô appleïëı ÛÌfi Â Ó È appleâèúô ÙfiÙ ÔÈ ÙÌ X 1, X,, X Â Ó È ÓÂÍ Ú- ÙËÙÂ Î È ÈÛ ÂÈ: f X~ (x 1, x,, x ) = f X1 (x 1 ) f X (x ) f X (x ) fiappleô f X~ (x 1, x,, x ) Â Ó È Ë ÎÔÈÓ Î Ù ÓÔÌ ÙÔ Ù ~ X = (X 1, X,, X ) Î È f Xi (x i ),,,, Â Ó È Ë Î Ù ÓÔÌ ÙË ÙÌ X i AÓ Ô appleïëı ÛÌfi Â Ó È appleâappleâú ÛÌ ÓÔ Î È Ë ÂÈÁÌ ÙÔÏË Á ÓÂÙ È χωρίς επανάθεση ÙfiÙ ÔÈ ÙÌ X 1, X,, X Â Ó È ÂÍ ÚÙËÌ ÓÂ Î È ÈÛ ÂÈ:

1 f(x 1, x,, x ) = 1 N 1 (N1) 1 (N+1) = 1 (N) fiappleô N Â Ó È ÙÔ Ì ÁÂıÔ ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ÂÓÒ Â Ó È ÙÔ Ì ÁÂıÔ ÙÔ Â Á- Ì ÙÔ AÓ Ô appleïëı ÛÌfi Â Ó È appleâappleâú ÛÌ ÓÔ ÏÏ Ë ÂÈÁÌ ÙÔÏË Á ÓÂÙ È με επανάθεση ÙfiÙ ÔÈ ÙÌ X 1, X,, X Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙÂ Î È ÈÛ ÂÈ: f(x 1, x,, x ) = 1 N Σημείωση: Aν δεν υπάρχει ιδιαίτερη ένδειξη υποθέτουμε τι η δειγματοληψία γίνεται με επανάθεση οπ τε το δείγμα είναι τυχαίο ÙÔ ÂÍ ı appleôı ÙÔ Ì apple ÓÙÔÙ fiùè ÙÔ Â ÁÌ Ì Â Ó È Ù Ô ËÏ ÔÈ ÙÌ X 1, X,, X ı Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙÂ Î È ÈÛfiÓÔÌÂ Î È Û ÓÂappleÒ ı ÈÛ ÂÈ: f X~ ( ~ x) = P f Xi (x i ) 1 Mελέτη της κατανομής του δείγματος 11 Περίπτωση διακριτο αρχικο πληθυσμο ŒÛÙˆ X ÌÈ È ÎÚÈÙ ÙÌ appleô apple ÚÓÂÈ ÙÈ ÙÈÌ 1,,, N, Ì Π٠ÓÔÌ P(X= i) = p i,  p i =1 i ÙË Ù ÙÈÛÙÈÎ Ù p i ıâˆúô ÓÙ È ÁÓˆÛÙ apple Ú ÌÂÙÚÔÈ appleô appleúôûapple - ıô ÌÂ Ó appleúôû ÈÔÚ ÛÔ Ì Ì ÙË Ô ıâè ÙÔ Â ÁÌ ÙÔ K ÓÔ Ì ÔÎÈÌ, apple ÚÓÔ ÌÂ Ó Â ÁÌ ÌÂÁ ıô Î È appleôı ÛÔ Ì ˆÚ appleâúèôúèûìfi ÙË ÁÂÓÈÎfiÙËÙ fiùè: Ë ÙÈÌ 1 ÂÌÊ Ó ÂÙ È k 1 ÊÔÚ»» k»» i» k i» ÙÛÈ ÒÛÙ k i 0,  k i = i  k i i = 1

Ú ÙËÚÔ ÌÂ ÏÔÈapplefiÓ fiùè ÓÙÈÛÙÔÈ ÒÓÙ ÛÂ Î ıâ ÙÈÌ ÙË ÙÌ X ÙÔÓ ÚÈıÌfi k i ËÌÈÔ ÚÁÂ Ù È ÌÈ Î ÈÓÔ ÚÁÈ Î Ù ÓÔÌ appleô Î ÏÂ Ù È εμπειρική κατανομή Ú ÊÈÎ Ë ÂÌappleÂÈÚÈÎ Î Ù ÓÔÌ apple ÚÈÛÙ ÓÂÙ È ÌÂ ÙÔ ραβδ γραμμα συχνοτήτων ( Ì 11) f (x) k 3 k i k 13 k 1 1 3 i x Σχήμα 11 H ıúôèûùèî Û Ó ÚÙËÛË Î Ù ÓÔÌ F (x) appleô ÓÙÈÛÙÔÈ Â ÛÙÔÓ apple Ú - apple Óˆ ÂÌappleÂÈÚÈÎfi ÓfiÌÔ, Â Ó È ÙÔ appleôûôûùfi ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ appleô Â Ó È ÌÈÎÚfiÙÂÚÂ ÛÂ ÙÔ x Î È ÔÚ ÂÙ È ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ó Â Ó È Û ÓÂ applefi ÚÈÛÙÂÚ Ú ÊÈÎ Ë ÛÎ F (x) apple ÚÈÛÙ ÓÂÙ È ÌÂ ÙÔ apple Ú Î Ùˆ Û Ì 1 f (x) k 1 +k +k 3 k 1 +k k 1 1 3 x Σχήμα 1

14 1 Περίπτωση συνεχο ς αρχικής κατανομής ŒÛÙˆ fiùè Ë ÙÌ X appleô appleâúèáú ÊÂÈ ÙÔÓ appleïëı ÛÌfi Â Ó È Û ÓÂ Ø ÙfiÙ apple Ú ÂÈ Î appleôè (Û Ó ıˆ ÁÓˆÛÙË) Ûappleapple f(x) ÁÈ ÙËÓ ÔappleÔ ÈÛ ÂÈ: f(x) 0 " xœr Î È Ú R f(x) dx = 1 K ÓÔ Ì ÔÎÈÌ Î È apple ÚÓÔ ÌÂ: ÛÙËÓ 1Ë ÔÎÈÌ ÙËÓ ÙÈÌ x 1» Ë»»» x» -ÛÙ»»» x ÚÔÊ ÓÒ ÈÛ ÂÈ: P(X=x 1 ) = 0, P(X=x ) = 0,, P(X=x ) = 0 Eapple ÛË Â Ó È appleôï appleèı ÓfiÓ fiï Ù x i Ó Â Ó È È ÊÔÚÂÙÈÎ ÌÂÙ Í ÙÔ Â ÌÈ Û Ó Π٠ÓÔÌ Ô appleïëı ÛÌfi Â Ó È appleâèúô Î È Û ÓÂappleÒ fiïâ ÔÈ ÙÈ- Ì x i,,,, Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙ ÌÂÙ Í ÙÔ ŒÙÛÈ ÓÙÈÛÙÔÈ ÒÓÙ Û Πıâ ÙÈÌ x i appleèı ÓfiÙËÙ ÛË Ì 1 ËÌÈÔ ÚÁÔ Ì ÌÈ Î ÈÓÔ ÚÁÈ Î Ù - ÓÔÌ, ÌÈ È ÎÚÈÙ ÂÌappleÂÈÚÈÎ Î Ù ÓÔÌ ÙÔ apple Ú Î Ùˆ Û Ì 13 Ô Ì ÙËÓ ÁÚ ÊÈÎ apple Ú ÛÙ ÛË ÙË Î Ù ÓÔÌ ÙÔ Ú ÈÎÔ appleïëı ÛÌÔ Î È ÙÔ Ú - fiáú ÌÌ appleô ÓÙÈÛÙÔÈ Â ÛÙËÓ ÂÌappleÂÈÚÈÎ Î Ù ÓÔÌ Ú ÙËÚÔ Ì fiùè, ÙÔ Ú fiáú ÌÌ Û ÓÔÙ ÙˆÓ Ì ÓÂÈ appleôï ÌÈÎÚ appleïëúôêôú ÁÈ ÙÔÓ Ú ÈÎfi appleïëı ÛÌfi Ù Ó ÙËÓ appleâú appleùˆûë ÛÎÂÊÙfiÌ - ÛÙ ˆ ÂÍ : AÊÔ Ô Ú ÈÎfi appleïëı ÛÌfi ÂÈ Û Ó Π٠ÓÔÌ ÂÓ ÌappleÔ- ÚÔ ÌÂ Ó ÓÙÈÛÙÔÈ ÛÔ Ì ıâùèî appleèı ÓfiÙËÙ Û ÛËÌ Ô, ÏÏ ÌfiÓÔ ÛÂ È - ÛÙËÌ ŒÙÛÈ ˆÚ Ô Ì ÙÔ appleâ Ô ÔÚÈÛÌÔ ÙË ÙÌ ÛÂ È ÛÙ Ì Ù appleô Ú - ÎÙËÚ ÔÓÙ È Î È ÓÙÈappleÚÔÛˆapple ÔÓÙ È applefi Ù Ì Û ÙÔ Î È Û Ó appleèı ÓfiÙËÙ ıâˆúô Ì ÙËÓ apple ÎÓfiÙËÙ ÙˆÓ ÔÎÈÌÒÓ Û Ùfi ÙÔ È ÛÙËÌ Ø ËÏ Û Πıâ È ÛÙËÌ ÓÙÈÛÙÔÈ Ô Ì ÙÔÓ ÚÈıÌfi k i fiappleô k i Â Ó È ÙÔ appleï ıô ÙˆÓ ÔÎÈ- ÌÒÓ appleô Ó ÎÔ Ó Û Ùfi ŒÙÛÈ ÏÔÈapplefiÓ Ë ÁÚ ÊÈÎ apple Ú ÛÙ ÛË ÙË ÂÌappleÂÈÚÈÎ Î Ù ÓÔÌ ÛÙËÓ appleâú - appleùˆûë Û ÓÂ Ô Ú ÈÎ Î Ù ÓÔÌ Â Ó È ÙÔ ιστ γραμμα συχνοτήτων, appleô Â Ó È Ó Û ÓÔÏÔ apple Ú ÏÏËÏÔÁÚ ÌÌˆÓ Ì ÛË ÙÔ È ÛÙËÌ (x i, x i+1 ),,, 1 Î È ÂÌ fió ÛÔ Ì k i Ô Ùˆ ÒÛÙ ÙÔ ıúôèûì ÙˆÓ ÂÌ ÒÓ Ó Â Ó È ÛÔ Ì ÙË ÌÔÓ Ú ÙËÚÔ Ì fiùè ÙÔ ÈÛÙfiÁÚ ÌÌ Û ÓÔÙ ÙˆÓ ÌÔÈ ÂÈ Ì ÙËÓ Ûappleapple Î È Ì ÏÈÛÙ, fiûô ÙÔ appleï ıô ÙˆÓ apple Ú ÙËÚ ÛÂˆÓ Î È ÙˆÓ È ÛÙËÌ ÙˆÓ ÌÂÁ ÏÒÓÂÈ ÙfiÙ ÙÔ Û Ì 14 I Ù ÓÂÈ Ó Ù ÙÈÛı Ì ÙÔ Û Ì 14 II

15 f (x) I AÚ ÈÎfi appleïëı ÛÌfi ÌÂ Û ÓÂ Î Ù ÓÔÌ x f i 1 x 1 x x 3 x 4 x i x i+1 II È ÎÚÈÙ ÂÌappleÂÈÚÈÎ Î Ù ÓÔÌ f (x) x Σχήμα 13 0 I IÛÙfiÁÚ ÌÌ Û ÓÔÙ ÙˆÓ x f(x) 0 II Ûappleapple Û ÓÂ Ô Ú ÈÎ Î Ù ÓÔÌ x Σχήμα 14

16 13 Mελέτη της σκ της εμπειρικής κατανομής A ıâˆú ÛÔ Ì ÙËÓ ÙÌ X appleô ÂÈ Î appleôè ÛÎ F(x) K ÓÔ Ì ÓÂ- Í ÚÙËÙ ÔÎÈÌ, apple ÚÓÔ ÌÂ Ó Ù X = ~ (X 1, X,, X ) Î È Û Πıâ x i ÓÙÈÛÙÔÈ Ô Ì appleèı ÓfiÙËÙ 1 K Ù ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiappleÔ ËÌÈÔ ÚÁÔ Ì ÙËÓ ÂÌappleÂÈÚÈÎ Î Ù ÓÔÌ Eapple ÛË ıâˆúô Ì ÌÈ Û Ó ÚÙËÛË F (x) appleô apple ÚÈÛÙ - ÓÂÈ ÙÔ ÎÏ ÛÌ, appleôûôûùfi, ÙˆÓ ÛËÌ ˆÓ ( ÔÎÈÌÒÓ) appleô Ú ÛÎÔÓÙ È ÚÈÛÙÂÚ ÙÔ x È apple Ú ÂÈÁÌ, Ó ÔÈ apple Ú ÙËÚ ÛÂÈ Â Ó È x 1 x x k x < x k+1 x ı Â Ó È F (x) = k ŒÙÛÈ ÁÈ Î ıâ xœr Ë F (x) ÔÚ ÂÈ ÌÈ ÙÌ appleô ÙËÓ ÔÓÔÌ Ô Ì εμπειρική συνάρτηση κατανομής ÙÔ Â ÁÌ ÙÔ X = (X ~ 1, X,, X ) H ÂÌappleÂÈÚÈÎ ÛÎ Â Ó È È ÎÚÈÙ Ì ÛËÌÂ Û Ó ÂÈ Ù ÛËÌ x 1, x,, x ÌÂ Ì 1 Ó fiï Ù ÛËÌÂ Â Ó È È ÊÔÚÂÙÈÎ (Û Ì 15) f(x) 1 F(x) 0 x f(x) 1 (1)/ ()/ 3/ / 1/ 1/ 1/ 1/ F (x) 1 1/ x 1 x x 3 0 x x 1 x x Σχήμα 15 ÙË Û Ó ÂÈ ÁÈ Î appleôèô ÛÙ ıâúfi x ıâˆúô Ì ÙËÓ ÙÌ R (x) appleô ÔÚ Â-

Ù È ˆ ÂÍ : R (x) Â Ó È ÙÔ appleï ıô ÙˆÓ ÛÙÔÈ Â ˆÓ ÙÔ Â ÁÌ ÙÔ appleô Ú - ÛÎÔÓÙ È appleúèó applefi ÙÔ x AÓ: {R (x)=k} fi Ì Ï k applefi Ù x i Â Ó È <x Ó k»» x i» x ÙfiÙÂ: P(R (x)=k) = Ê ˆ Ë k F(x)k (1F(x)) k, k=0, 1,,, Ú ÙËÚÔ Ì fiùè Ë ÙÌ R (x) ÎÔÏÔ ıâ ÈˆÓ ÌÈÎ Î Ù ÓÔÌ B(, p=f(x)) ŒÙÛÈ: E(R (x)) = F(x) E Ê R (x) ˆ = F(x) Ë var(r (x)) = F(x) (1F(x)) fi var Ê R (x) ˆ = Ë F(x) (1F(x)) ŸÌˆ applefi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙË ÂÌappleÂÈÚÈÎ ÛÎ F (x) Î È ÙË ÙÌ R (x) Ô - Ì fiùè: F (x) = R (x) Ú : E(F (x)) = F(x) Î È var(f (x)) = ÕÚ, F(x) (1F(x)) EÊ ÚÌfi ÔÓÙ ÙËÓ ÓÈÛfiÙËÙ ÙÔ Chebychev Ô ÌÂ: ŸÌˆ P ( F (x)f(x) > Â) F(x) (1F(x))  F(x) (1F(x)) Â Æ 0 fiù Ó Æ " Â>0 F (x) p --Æ F(x) ÌÊˆÓ Ì ÙÔÓ ÈÛ Úfi ÓfiÌÔ ÙˆÓ ÌÂÁ ÏˆÓ ÚÈıÌÒÓ Î Ùˆ applefi ÙÈ ÈÂ Û Óı ΠÈÛ ÂÈ: Û F (x) --Æ F(x) appleô ÛËÌ ÓÂÈ fiùè Ë ÎÏÈÌ ÎˆÙ Û Ó ÚÙËÛË F (x) Û ÁÎÏ ÓÂÈ appleúô ÙË Û ÓÂ Û Ó ÚÙËÛË F(x), fiù Ó ÙÔ Ì ÁÂıÔ ÙÔ Â ÁÌ ÙÔ ÌÂÁ ÏÒÓÂÈ (Æ ) Ú ÁÌ ÙÈ: 17

18 AÓ ÁÈ Î ıâ xœr ÔÚ ÛÔ Ì ÙÈ ÙÌ Y j (x), j=1,,, applefi ÙË Û ÛË: Y j (x) = Ó Ì Ï 1 Ó X j x 0 Ó X j > x j=1,,, ÙfiÙ ÔÈ ÙÌ Y j (x) Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙ Ì Π٠ÓÔÌ B(1, p = F(x)) ÌÊˆÓ Ì ÙÔÓ ÈÛ Úfi ÓfiÌÔ ÙˆÓ ÌÂÁ ÏˆÓ ÚÈıÌÒÓ 1  Y j (x) --Æ Û F(x) j=1 fiìˆ 1  Y j (x) = F (x) j=1 Ô H ÚËÛÈÌÔappleÔ ËÛË ÙË F (x) Û Ó ÂÎÙÈÌ ÙÚÈ ÙË ıâˆúëùèî Î Ù ÓÔÌ F(x) ÈÎ ÈÔÏÔÁÂ Ù È Î È applefi ÙËÓ apple Ú Î Ùˆ appleôï ÈÛ Ú È ÈfiÙËÙ Θεώρημα 11 (Cliveko - Catelli) H ÂÌappleÂÈÚÈÎ Û Ó ÚÙËÛË Î Ù ÓÔÌ F (x) Û ÁÎÏ ÓÂÈ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ appleúô ÙËÓ ıâˆúëùèî Û Ó ÚÙËÛË Î Ù ÓÔÌ F(x) Ì appleèı ÓfiÙËÙ 1, sup F (x)f(x) x Û ----Æ 0 Æ Aπ δειξη È ÔÛÌ ÓÔ Â > 0 ıâˆúô Ì ٠ÛËÌ c 1, c,, c Î Ù ÙÔÈ ÒÛÙ F(c i )F(c i1 ) < Â,,,, Î+1 Ì c 0 =, c Î+1 = AÊÔ ÈÛ ÂÈ F (x) Û --Æ F(x) ÙfiÙ ÁÈ > 0 apple Ú ÂÈ N i ÙÛÈ ÒÛÙ P( F (c i )F(c i ) < Â, " >N i) > 1 Î+1 (11) Eapple ÁˆÁÈÎ ÌappleÔÚÂ Ó ÂÈ ıâ fiùè: P Ë Á Ê Î+1 «A i  ˆ Î+1 P(A i )Î (1) È Ï ÁÔÓÙ Û Ó N= max{n 1,, N Î+1 } Î È ÂÊ ÚÌfi ÔÓÙ ÙËÓ (1) Ï ÁÈ ÙÔ ÂÓ Â fiìâóô A i = Ì F (c i )F(c i ) <  ÁÈ >N Ë (11) Á ÓÂÙ È: Ó

P ( F (c i )F(c i ) <  " >N,,,, Î+1) > (Î+1) Ë Ê1 Î+1 ˆ 19 Î = 1 (13) OÈ ÛÎ F Î È F Â Ó È ÌË Êı ÓÔ ÛÂ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ applefi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ Î È ÙÛÈ fiù Ó Û Ì ÓÂÈ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi { F (c i )F(c i ) < Â, " >N,,,, Î+1} ÙfiÙ ÁÈ c i1 < x < c i ÈÛ Ô Ó: F (x)f(x) < F (c i )F(c i1 ) = F (c i )F(c i )+F(c i1 ) <  F(x)F (x) < F(c i )F (c i1 ) = F(c i )F(c i1 )(F (c i1 )F(c i1 )) <  ËÏ F (x)f(x) < Â, " x Ú sup F (x)f(x) <  ÏfiÁˆ ÙË (13) x P(sup F (x)f(x) < Â, " >N) < 1 Ô x È appleôï ÌÂÁ Ï Â ÁÌ Ù ÈÛ ÂÈ ÙÔ appleôù ÏÂÛÌ Sup F (x)f(x) < x c ` 13 Xαρακτηριστικά δείγματος 131 Διατεταγμένο δείγμα ˆÚÔ ÌÂ Ó Ù ~ X = (X 1, X,, X ) applefi ÌÈ ÙÌ X Î È ÙÔ È - Ù ÛÛÔ Ì Π٠ÍÔ Û ÛÂÈÚ ÌÂÁ ıô TÔ Â ÁÌ appleô appleúôî appleùâè Ï ÁÂÙ È διατεταγμένο δείγμα, Î È Â Ó È: mi{x 1, X,, X } = X (1) X () X () = max{x 1, X,, X } OÈ ÙÌ X 1, X,, X Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙÂ Î È ÈÛfiÓÔÌÂ Î È Ì ÂÓ È - Ê ÚÂÈ Ë ÎÔÈÓ Î Ù ÓÔÌ ÙˆÓ ÙÌ Y 1 =X (1), Y =X (),, Y =X () Θεώρημα 131 AÓ ÔÈ ÙÌ X 1, X,, X Â Ó È Û Ó  ÓÂÍ ÚÙËÙÂ Î È ÈÛfiÓÔÌ Ì ÛÎ F X (x) = P(X x) Î È Ûappleapple f X (x) ÙfiÙÂ: (i) H Ûappleapple f Î (y) ÙË ÙÌ Y Î =X (Î) Â Ó È: f Î (y) =! (Î1)! (Î)! (F X(y)) Î1 (1F X (y)) Î f X (y), Î=1,,, È Î=1: f 1 (y) = (1F X (y)) 1 f X (y) È Î=: f (y) = (F X (y)) 1 f X (y)

0 (ii) H ÎÔÈÓ Î Ù ÓÔÌ ÙˆÓ ÙÌ Z=X (Î), Y=X (s), 1 Î s Â Ó È: f Îs (z, y) = Ì Ï c (F X(z)) Î1 (F X (y)f X (z)) sî1 (1F X (y)) s f X (z) f X (y), z<y Ó 0, z y fiappleô c=! (Î1)! (sî1)! (s)! (iii) H ÎÔÈÓ apple ÎÓfiÙËÙ ÙˆÓ X (1), X (),, X () Â Ó È: f 1,,, (y 1, y,, y ) = Ó Ì Ï! f X (y 1 ) f X (y ) f X (y ), y 1 <y < <y 0, ÏÏÔ I È ÙÂÚÔ ÂÓ È Ê ÚÔÓ apple ÚÔ ÛÈ ÂÈ Ë appleâú appleùˆûë appleô ÔÈ ÙÌ X 1, X,, X Â Ó È Ó Ù applefi ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Î Ù ÓÔÌ U(0, 1) ÙfiÙÂ: (i) H Î Ù ÓÔÌ ÙË ÙÌ Y Î =X (Î) Â Ó È: Î È f Î (y) =! (Î1)! (Î)! yî1 (1y) Î E(X (Î) ) = Î +1, varx (Î) = Î(Î+1) (+1) (+), (ii) H ÎÔÈÓ Î Ù ÓÔÌ ÙˆÓ x (1), x () Â Ó È: Ì cov (X (1), X () ) = f 1 (z, y) = Ó Ì Ï (1) (yz), 0 z < y 1 0, ÏÏÔ 1 (+1) (+) Î=1,,, Oρισμ ς 131 AÓ X 1, X,, X Â Ó È Ó Ù applefi Î appleôè Î Ù ÓÔÌ ÙfiÙÂ Â Ó È: (i) ε ρος ή πλάτος του δείγματος Ë appleôûfiùëù R= X () X (1) (ii) διάμεσος ή διχοτ μος του δείγματος Ë appleôûfiùëù Ô Ï X (Î) Ó =Î+1 d= Ì X (Î) +x (Î+1) Ó Ô Ó =Î (iii) μέσο του πλάτους του δείγματος Ë appleôûfiùëù X (1)+X () H Î Ù ÓÔÌ ÙË ÙÌ R= X () X (1), fiù Ó X i U(0, 1), Â Ó È

1 f R (r) = (1)r 1 (1r), 0<r<1 Ì ER= 1 +1 Î È varr= (1) (+1) (+) 13 Στατιστικά δείγματος Oρισμ ς 13 ŒÛÙˆ Ù ~ X = (X 1, X,, X ) applefi ÙÌ X K ıâ ÌÂÙÚ ÛÈÌË Û Ó Ú- ÙËÛË ÙÔ Â ÁÌ ÙÔ U(X 1, X,, X ) appleô ÂÓ appleâúè ÂÈ ÁÓˆÛÙ apple Ú - Ì ÙÚÔ Î ÏÂ Ù È στατιστική συνάρτηση (στσ) M ÙË Ô ıâè ÙˆÓ ÛÙÛ ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ÔÚ ÛÔ Ì ٠ÛÙ ÙÈÛÙÈÎ ÙÔ Â - ÁÌ ÙÔ ÛÂ Ó ÏÔÁ Ì ÙÈ apple Ú Ì ÙÚÔ ÙÔ appleïëı ÛÌÔ applefi ÙÔÓ ÔappleÔ Ô appleúô- Ú ÂÙ È T ÛÙ ÙÈÛÙÈÎ Ù Â Ó È: i) O δειγματικ ς μέσος: ii) H δειγματική ροπή r τάξης X = 1  X i m r = 1  X r i, r=, 3, H ÂÈÁÌ ÙÈÎ ÚÔapple appleúòùë Ù ÍË Â Ó È Ô ÂÈÁÌ ÙÈÎfi Ì ÛÔ iii) H δειγματική κεντρική ροπή r τάξης m r = 1  (X i X) r, r=, 3, È r= Ô Ì τη δειγματική διασπορά appleô Û Ì ÔÏ ÂÙ È: S = 1  (X i X) ÔÏÏ ÊÔÚ fiìˆ Î È ÁÈ ÏfiÁÔ appleô ı ÂÍËÁ ÛÔ Ì apple Ú Î Ùˆ Û ÂÈÁÌ ÙÈÎ È ÛappleÔÚ apple ÚÓÔ Ì ÙËÓ appleôûfiùëù S = 1 1  (X i X)

H appleôûfiùëù S S Ï ÁÂÙ È δειγματική τυπική απ κλιση AÓ Y = ~ (Y 1, Y,, Y ) X = ~ (X 1, X,, X ) Â Ó È Ó Ù applefi ÙÌ Y Î È Â Ó È Ó Ù applefi ÙÌ X ÙfiÙÂ: iv) Δειγματική ή εμπειρική συνδιασπορά Â Ó È: S xy = 1  (X i X) (Y i Y) S xy = 1 1  (X i X) (Y i Y) v) Δειγματικ ς ή εμπειρικ ς συντελεστής συσχέτισης Â Ó È: r xy = S xy S x S y = Â(X i X) (Y i Y) i ````````  (X i X)  i i (Y i Y) 133 Mελέτη της κατανομής της μέσης τιμής και της διασποράς OÈ ÛÙÛ Â Ó È ÙÌ Î È Û ÓÂappleÒ Ô Ó Î appleôè Î Ù ÓÔÌ ÙË Û Ó ÂÈ ı ÌÂÏÂÙ ÛÔ Ì ÙËÓ Î Ù ÓÔÌ ÙË Ì ÛË ÙÈÌ X Î È ÙË È ÛappleÔÚ S ÂÓfi  ÁÌ ÙÔ appleô appleúô Ú ÂÙ È applefi Î ÓÔÓÈÎ Î Ù ÓÔÌ Θεώρημα 13 ŒÛÙˆ X ~ = (X 1, X,, X ) Ó Ù applefi Î ÓÔÓÈÎ Î Ù ÓÔÌ N(Ì, Û ) TfiÙÂ Ë Î Ù ÓÔÌ ÙË ÂÈÁÌ ÙÈÎ ÙÈÌ X Â Ó È Î ÓÔÓÈÎ N ÊÌ, Û ˆ Ë Aπ δειξη H Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎ Û Ó ÚÙËÛË ( Û) ÙË Ì ÛË ÙÈÌ X = 1  X i Â Ó È: i t Ê X (t) = EeitX  X i = Ee = E it e Xi = ŸÌˆ X i N(Ì, Û ) ÙÛÈ Ë (14) Á ÓÂÙ È: it Ee Xi = () t Ê X i (14) Ê X (t) = e i t Ì Û t = e itì Û t (15)

3 H Û ÛË (15) ÂÓ Â Ó È ÏÏË applefi ÙËÓ Û ÙË Î Ù ÓÔÌ N ÊÌ, Û ˆ Ë Ô Θεώρημα 133 ŒÛÙˆ ~ X = (X 1, X,, X ) Ù applefi Î Ù ÓÔÌ F(x) Ì E(X i )=Ì Î È varx i = Û < ÙfiÙÂ: XÌ Û KN ` --Æ N(0, 1) Aπ δειξη TÔ ıâòúëì Ùfi Â Ó È ÌÂÛË applefi ÂÈÍË ÙÔ ıâˆú Ì ÙÔ ÙˆÓ Lideberg - Lévy (KO ) Î È Ë Û ÁÎÏÈÛË Â Ó È Î Ï ÁÈ 30 Θεώρημα 134 ŒÛÙˆ X ~ = (X 1, X,, X ) Ù applefi Î ÓÔÓÈÎ Î Ù ÓÔÌ N(Ì, Û ) TfiÙ ÔÈ ÙÌ X Î È S Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙÂ Ë ÙÌ XÌ ` ÎÔÏÔ ıâ Î Ù - S ÓÔÌ t 1 Î È Ë ÙÌ (1)S Û ÎÔÏÔ ıâ Î Ù ÓÔÌ X 1 Aπ δειξη H ÂÈÁÌ ÙÈÎ È ÛappleÔÚ S ÁÚ ÊÂÙ È S = 1 1 S (X i X) = 1 1 Ë ÁÊ (X i Ì) ( XÌ) fi ˆ fi (1)S Û + ( XÌ) Û = S Ë Ê X i Ì Û ˆ S (16) ˆÚÔ Ì ÙÔÓ ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi Y i = X iì ÔapplefiÙ Y i N(0, 1) Î È ÔÈ ÙÌ Û Y i Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙÂ,,, M ÙËÓ apple Ú Ù ÚËÛË fiùè: Ë (16) Á ÓÂÙ È: S  X i Ì Y i = = XÌ Û Û fi XÌ Û = 1 S Y i (1)S Û + 1 Ë Á Ê S Y i ˆ = S Yi (17)

4 ÙË Û Ó ÂÈ ıâˆúô Ì ÎfiÌË Ó ÁÚ ÌÌÈÎfi ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi: Z ~ = ø Y ~ Y= ~ ø Z ~ fiappleô ø Â Ó È Ó ÔÚıÔÁÒÓÈÔ apple Ó Î ( ËÏ ø =ø 1 ) ÙÔ ÔappleÔ Ô Ë appleúòùë ÁÚ ÌÌ Â Ó È Ë Ê 1 ˆ Ë `, 1 `,, 1 ` H Ûappleapple ÙË ÙÌ ~ Z Â Ó È: g(z 1, z,, z ) = f(y 1 (z 1, z,, z ),, y (z 1, z,, z ))Ø detø = = 1Ø Ê 1 ˆ Ë apple = Ê 1 ˆ Ë apple exp Ó ÌÏ exp Ó ÌÏ 1 ~Y Y ~ = Ë Ê 1 apple ˆ 1 ~Z ~ Z exp Ó ÌÏ 1 ~Z øø ~ Z = (det ø Â Ó È Ë ÔÚ Ô Û ÙÔ apple Ó Î ø Î È ÈÛ ÂÈ detø = 1) Ú ÙËÚÔ Ì ÏÔÈapplefiÓ fiùè ÔÈ ÙÌ Z i ÎÔÏÔ ıô Ó Î Ù ÓÔÌ N(0, 1),,,, Î È Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙ ÌÂÙ Í ÙÔ Eapple ÛË S Zi = Z ~ Z ~ = Y ø ø ~ Y ~ = Y ~ Y ~ = S Yi (18) Î È Z 1 = 1 ` S Y i = 1 ` XÌ Û = 1 XÌ Û ` Î È Z 1 = 1 Ë ÁÊ ˆ S Y i (19) M ÙË Ô ıâè ÙˆÓ (18) Î È (19) Ë Û ÛË (17) Á ÓÂÙ È: (1)S Û +Z1 = S Z (1)S i Û = S Zi (110) i= Συμπέρασμα i) Aapplefi ÙË Û ÛË (19) È appleèûùòóô Ì fiùè Ë ÙÌ X Â Ó È Û Ó ÚÙËÛË ÌfiÓÔ ÙÔ Z 1 Î È applefi ÙË Û ÛË (110) fiùè ÙÔ S Â Ó È Û Ó ÚÙËÛË ÌfiÓÔ ÙˆÓ Z, Z 3,, Z ÕÚ ÔÈ ÙÌ X Î È S Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙ ii) (1)S Û X 1 ÊÔ Z i N(0, 1) ŒÙÛÈ: ES =Û Î È vars = Û 4 Û4 (1) = (1) 1

5 iii) Aapplefi ÙÔ ıâòúëì 13 ÈÛ ÂÈ: XÌ ` N(0, 1) Û ÕÚ Û ÌÊˆÓ Ì ÙÔ ıâòúëì A 39 Ô Ì fiùè: XÌ Û ` Û ``(1)S = XÌ ` t 1 Ô S TÔ appleôù ÏÂÛÌ Ùfi Â Ó È appleôï Ú ÛÈÌÔ ÛÙË ÔÎÈÌ Û ÙˆÓ appleôı ÛÂˆÓ ÈfiÙÈ Û Ó ıˆ ÛÙËÓ appleú ÍË Ë ıâˆúëùèî È ÛappleÔÚ Â Ó È ÁÓˆÛÙË ÔapplefiÙ ÙËÓ ÓÙÈÎ ıèûùô Ì Ì ÙË ÂÈÁÌ ÙÈÎ È ÛappleÔÚ A Ùfi fiìˆ ÂÈ Û Ó appleôù ÏÂ- ÛÌ Ó ÏÏ ÂÈ Ë Î Ù ÓÔÌ ÙÔ X, applefi Î ÓÔÓÈÎ Û Studet Θεώρημα 145 AÓ X ~ Â Ó È Ó Ù ÌÂÁ ıô applefi Î Ù ÓÔÌ N(Ì 1, Û1 ) Î È Y ~ Â Ó È Ó Ù ÌÂÁ ıô m applefi Î Ù ÓÔÌ N(Ì, Û ) Î È Ù Â ÁÌ Ù Â Ó È ÓÂ- Í ÚÙËÙ ÙfiÙ X Y N Ë Ê Ì 1 Ì, Û 1 + Û m ˆ Aπ δειξη H applefi ÂÈÍË Â Ó È ÌÂÛË Û Ó appleâè ÙˆÓ ıâˆúëì ÙˆÓ A31 Î È 13 Θεώρημα 146 AÓ X ~ Â Ó È Ù ÌÂÁ ıô applefi Î Ù ÓÔÌ N(Ì 1, Û1) Ì ÂÈÁÌ ÙÈÎ È ÛappleÔÚ S1 Î È Y ~ Â Ó È Ù ÌÂÁ ıô m applefi Î Ù ÓÔÌ N(Ì, Û ) Ì ÂÈÁÌ ÙÈÎ È ÛappleÔÚ S Î È Ù Ô Â ÁÌ Ù Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙ ÙfiÙÂ: S 1 Û 1 S Û F 1, m1 Aπ δειξη H applefi ÂÈÍË Â Ó È ÌÂÛË Û Ó appleâè ÙˆÓ ıâˆúëì ÙˆÓ A37 Î È 133

6 Θεώρημα 147 AÓ X ~ Î È Y ~ Â Ó È Ô ÓÂÍ ÚÙËÙ Ù applefi appleïëı ÛÌÔ N(Ì 1, Û ) Î È N(Ì, Û ) ÓÙ ÛÙÔÈ ÙfiÙÂ Ë ÙÌ X Y(Ì 1 Ì ) (1)S1 `````` +(m1)s +m ``1 + 1 m ÎÔÏÔ ıâ Î Ù ÓÔÌ t +m fiappleô : X Â Ó È Ë Ì ÛË ÙÈÌ, S1 Â Ó È Ë È ÛappleÔÚ Î È ÙÔ Ì ÁÂıÔ ÙÔ Â ÁÌ - ÙÔ X ~ = (X 1, X,, X ) Y Â Ó È Ë Ì ÛË ÙÈÌ, S Â Ó È Ë È ÛappleÔÚ Î È m ÙÔ Ì ÁÂıÔ ÙÔ Â ÁÌ - ÙÔ Y ~ = (Y 1, Y,, Y m ) Aπ δειξη ÌÊˆÓ Ì ٠ıâˆú Ì Ù 13 Î È A31 Ô Ì X N ÊÌ Ë 1, Û ˆ Y N ÊÌ Ë, Û ˆ m X Y N ÊÌ 1 Ì, Û ˆ Ë Ë Ê 1 + 1 m ˆ Eapple ÛË Û ÌÊˆÓ Ì ٠ıâˆú Ì Ù 133 Î È A34 (1) S 1 Û X 1 (m1) S Û X m1 Ô Ô ŒÙÛÈ Û ÌÊˆÓ Ì ÙÔ ıâòúëì A36 Ë ÙÌ fi (1) S 1+(m) S Û X +m X Y (Ì 1 Ì ) Û ``1 + 1 m ```` (1) S1+(m1) S Û +m ÎÔÏÔ ıâ ÙËÓ t +m Î Ù ÓÔÌ = X Y (Ì 1 Ì ) (1)S1 ```````` +(m1)s 1 +m Ë Ê + 1 m ˆ ÔÂ

7 ΛYMENEΣ AΣKHΣEIΣ 11 Έστω X ~ = (X 1, X,, X ) τδ απ κατανομή f X (x) Nα βρεθεί η κατανομή της στσ T( X) ~ = X i ταν η κατανομή είναι: α) Γάμμα G(α, β) β) Γεωμετρική γ) Beroulli B(1, p) δ) Poisso P(λ) Λ ση OÈ ÙÌ X 1, X,, X Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙÂ Î È ÈÛfiÓÔÌÂ Û Ó ÛÙÔÈ Â ÙÔ Ù X ~ ÓÂappleÒ Ë ÚÔappleÔÁÂÓÓ ÙÚÈ ÙÔ ıúô ÛÌ ÙÔ T( X) ~ =  X i ÈÛÔ Ù È Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÚÔappleÔÁÂÓÓËÙÚÈÒÓ ÙˆÓ ÙÌ X i ËÏ : M Xi (t) = P M Xi (t) α) ÌÊˆÓ Ì ÙÔÓ apple Ó Î AII Ë ÚÔappleÔÁÂÓÓ ÙÚÈ ÙË Î Ù ÓÔÌ G(, ) Â Ó È: M X (t) = Ê1 t ˆ ŒÙÛÈ: Ë ÕÚ Ë ÛÙÛ T( ~ X) =  M Xi (t) = P Ë Ê1 t = Ê1 ˆ t ˆ Ë X i ÎÔÏÔ ıâ ÙËÓ Î Ù ÓÔÌ G(, ) β) ÌÊˆÓ Ì ÙÔÓ apple Ó Î AI, Ë ÚÔappleÔÁÂÓÓ ÙÚÈ ÙË ÂˆÌÂÙÚÈÎ Î Ù - ÓÔÌ Â Ó È M X (t) = pe t 1(1p)e t ŒÙÛÈ: M Xi (t) = P ÕÚ Ë ÛÙÛ T( ~ X) =  ÓÔÌ, Û ÌÊˆÓ Ì ÙÔÓ apple Ó Î AI pe t 1(1p)e t = Ê pe t Ë 1(1p)e t ˆ X i ÎÔÏÔ ıâ ÙËÓ ÚÓËÙÈÎ ÈˆÓ ÌÈÎ Î Ù -

8 γ) ÌÊˆÓ Ì ÙÔÓ apple Ó Î AI Ë ÚÔappleÔÁÂÓÓ ÙÚÈ ÙË Î Ù ÓÔÌ Beroulli B(1, p) Â Ó È: M X (t) = (1p+pe t ) ŒÙÛÈ: M Xi (t) = P (1p+pe t ) = (1p+pe t ) A Ù Ë ÚÔappleÔÁÂÓÓ ÙÚÈ, ÂÓ Â Ó È ÏÏË applefi ÙËÓ ÚÔappleÔÁÂÓÓ ÙÚÈ ÙË Èˆ- Ó ÌÈÎ Î Ù ÓÔÌ B(, p) δ) H ÚÔappleÔÁÂÓÓ ÙÚÈ ÙË Î Ù ÓÔÌ Poisso P(Ï) Â Ó È: M X (t) = exp{ï(e t 1)} ŒÙÛÈ: M Xi (t) = P exp{ï(e t 1)} = exp{ï(e t 1)} ËÏ Ë ÙÌ T( ~ X) =  X i ÎÔÏÔ ıâ ÙËÓ Î Ù ÓÔÌ Poisso P(Ï) 1 Έστω X ~ = (X 1, X,, X ) τδ απ ομοι μορφη κατανομή U(α, β) Aν x (1) = mi{x i,,,, } και x () = max {x i,,,, }, να βρεθεί η κατανομή των παρακάτω στσ: α) T 1 ( ~ x) = X (1) β) T ( ~ x) = X () γ) T 3 ( ~ x) = 1 (X (1)+X () ) δ) T 3 ( ~ x) = X () X (1) Λ ση H Ûappleapple Î È Ë ÛÎ ÙË ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Î Ù ÓÔÌ U(, ) Â Ó È ÓÙ - ÛÙÔÈ : f X (x) = 1 Î È F X(x) = x, xœ[, ] ÌÊˆÓ Ì ÙÔ ıâòúëì (131) Ë Ûappleapple ÙˆÓ ÙÌ Y 1 =X (1) Î È Y =X () Â Ó È ÓÙ ÛÙÔÈ : f 1 (y) = (1F X (y)) 1 f X (y) f (y) = (F X (y)) 1 f X (y) ÕÚ : α) f 1 (y) = Ê1 y ˆ Ë β) f (y) = (y )1 ( ) 1 1

9 H ÎÔÈÓ Ûappleapple ÙˆÓ ÙÌ Y 1, Y Â Ó È: f 1 (y 1, y ) = (1) (y y 1 ) ( ) y 1 < y γ) ˆÚÔ ÌÂ Ô Ó Â ÙÌ Z Î È W ÙÛÈ ÒÛÙÂ: Z=Y 1 Ô W= 1 (Y 1+Y ) Ô fi Ó ÌÏ Y 1 =Z Y = WZ, z < wz J= D(Y 1, Y ) D(Z, W) = Ô Ô y 1 z y z y 1 w y w Ô Ô = Ô 1 0 Ô Ô 1 Ô = f Z, W (z, w) = f Y1, Y (z, wz) J = (1) (wz) ( ) w w 1 f W (w) = fz, W (z, w) dz = (1) (wz) Ú ( ) dz= 1 (w ) 1 Ú ( ) ÓÂappleÒ Ë Ûappleapple ÙË ÛÙÛ T 3 ( ~ X) = 1 (X (1)+X () ) Â Ó È Ë: f W (w) = 1 (w )1 ( ) < w < δ) È Ó ÚÔ Ì ÙË Ûappleapple ÙË ÛÙÛ T 4 ( ~ X) = X () X (1), ıâˆúô ÌÂ Ô Ó Â ÙÌ Z Î È R ÙÛÈ ÒÛÙÂ: Z=Y 1 R= Y Y fi Ì Ï Y 1 =Z 1 Ó Y = R+Z, z < z+r J = D(Y 1, Y ) D(Z, R) = Ô 1 0 Ô Ô 1 1 Ô = 1 f Z, R (z, r) = f Y1, Y (z, r+z) J = (1) r ( ) r f R (r) = fz, R (z, r) dz = (1) r Ú Ú ( ) dz = (1)r ( r) ( ) ÕÚ Ë Ûappleapple ÙË ÛÙÛ T 4 ( ~ x) = X () X (1) Â Ó È Ë:

30 f R (r) = (1)r ( r) ( ) 0 < r < 13 Έστω X ~ = (X 1, X,, X ) τδ απ κατανομή G(α, β), αœƒ, β>0 Nα δειχθεί τι η τμ Z= β  X i ακολουθεί την X α - Λ ση κατανομή ÌÊˆÓ Ì ÙËÓ ÛÎËÛË 11 Ë ÙÌ W=  X i ÎÔÏÔ ıâ Î Ù ÓÔÌ G(, ) ˆÚÔ Ì ÙÔÓ ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi Z= W H ÚÔappleÔÁÂÓÓ ÙÚÈ ÙË ÙÌ Z Â Ó È: M Z (t) = E(e tz ) = E(e tw ) = E(e t W ) = Ê1 t ˆ = Ë = Ê1 t ˆ = (1t) Ë ÌÊˆÓ Ì ÙÔÓ apple Ó Î AII Ë M Z (t) = (1t) Â Ó È Ë ÚÔappleÔÁÂÓÓ - ÙÚÈ ÙË X - Î Ù ÓÔÌ Ô 14 Θεωρο με δ ο ανεξάρτητα τδ ~ X = (X 1, X,, X ) και Λ ση Y ~ = (Y 1, Y,, Y m ) απ κατανομές G(1, β 1 ) και G(1, β ) αντίστοιχα Nα δειχθεί τι η τμ W= β 1 X, που X= 1  X i β Y και Y = 1 Âm Y j, ακολουθεί την F, m - κατανομή j=1 ÌÊˆÓ Ì ÙËÓ ÛÎËÛË 13 Ë ÙÌ Z 1 = 1  Π٠ÓÔÌ ÂÓÒ Ë Z =  m j=1 ÊˆÓ Ì ÙÔ ıâòúëì A310 Ë ÙÌ W= Ù ÓÔÌ X i ÎÔÏÔ ıâ ÙËÓ X - Y j ÎÔÏÔ ıâ ÙËÓ X m - Î Ù ÓÔÌ Ì- Z 1 Z m ÎÔÏÔ ıâ ÙËÓ F, m - Î -

31 ŸÌˆ ÕÚ Ë ÙÌ W= 1X Y Z 1 Z m = 1   m X i Y j j=1 m = 1X Y ÎÔÏÔ ıâ ÙËÓ F, m - Î Ù ÓÔÌ Ô 15 Nα υπολογιστο ν τα ολοκληρώματα: α) Ú 0 x α1 e βx dx, α>0, β>0 β) Ú 0 1 x α1 (1x) β1 dx, α>0, β>0 Λ ση α) ˆÚÔ Ì ÙË Ûappleapple ÙË ÌÌ Î Ù ÓÔÌ G(, ) f X (x) = ( ) x 1 e x x>0, >0, >0 ÓˆÚ Ô Ì fiùè: Ú 0 fx (x) dx = 1 ÕÚ Ú x 1 e x dx = 1 fi 0 ( ) Ú x 1 e x dx = ( ) 0, fiappleô Ë Û Ó ÚÙËÛË ( ) ÂÈ ÙÈ ÂÍ È ÈfiÙËÙ : ( ) = Ú 0 x 1 e x dx >0 ( ) = ( 1) ( 1) ( )= ( 1)! Ó Œƒ Ê 1 ˆ Ë = ``apple β) H Ûappleapple ÙË B Ù Î Ù ÓÔÌ (, ) Â Ó È:

3 f X (x) = ( + ) ( ) ( ) x 1 (1x) 1, xœ(0, 1), >0, >0 ŒÙÛÈ: Ú 0 1 x 1 (1x) 1 dx = ( ) ( ) ( + ) Ô 16 Aν X 1, X είναι ανεξάρτητες, τμ απ κατανομές G(α 1, β), X G(α, β) αντίστοιχα τ τε οι τμ Y 1 = X 1 +X και Y = 1 (X 1 +X ) είναι επίσης ανεξάρτητες και έχουν κατανομή Γ(α 1 +α, β) και β(α 1, α ) αντίστοιχα Λ ση H ÎÔÈÓ Î Ù ÓÔÌ ÙˆÓ ÙÌ (X 1, X ) Â Ó È ÏfiÁˆ ÙË ÓÂÍ ÚÙËÛ ÙˆÓ X 1 Î È X : 1 f X1, X (x 1, x ) = f X1 (x 1 ) f X (x ) = x 11 1 e x 1 x 1 e x ( 1) ( ) ıâˆúô Ì ÙÔÓ ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi: H I Έ È Ó Â Ó È: J = Y 1 = X 1 +X X Y = 1 Ô Ô fi Ì Ï X 1 = Y 1 Y X 1 +X Ó X = Y 1 Y 1 Y x 1 x 1 y 1 y x x y 1 y Ô Ô TfiÙ g Y1, Y (y 1, y ) = J f X1, X (y 1 y, y 1 (1y )) = = = = Ô y y 1 1y Ô ÔÔ y = y 1 1 1+ ( 1) ( ) (y 1 y ) 11 (y 1 (1y )) 1 e y 1 y 1 = 1+ ( 1+ ) y 1+ 1 1 e y 1 Ø ( 1+ ) ( 1) ( ) y 11 (1y ) 1 = = g Y1 (y 1 )Øg Y (y ), y 1 >0, 0 < y < 1 ËÏ ÔÈ ÙÌ Y 1 Î È Y Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙÂ Î È ÎÔÏÔ ıô Ó Î Ù ÓÔÌ ( 1+, ) Î È ( 1, ) ÓÙ ÛÙÔÈ ÔÂ

33 17 Aν η τμ Z= ms σ ακολουθεί την X m - κατανομή και η δεσμευμένη κατανομή της τμ Y ταν γνωρίζουμε το S είναι η N Ê0, σ ˆ Ë S, τ τε η τμ Y ακολουθεί την t m - κατανομή του Studet Λ ση Aapplefi Ù Â ÔÌ Ó ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ Ô Ì fiùè: f Z (z) = m H Ûappleapple ÙË ÙÌ S = Û Z m 1 Ê m ˆ Ë Â Ó È: f S (s ) = f Z (s ) Ô dz Ô Ô ds Ô = 1 Ê m Ë Ê mˆ Ë m z 1 exp ms Û ˆ Ï Ì Ó z m 1 Ï exp Ì Ó, z>0 ms m Û Û, s >0 H ÂÛÌÂ Ì ÓË Ûappleapple ÙË ÙÌ Y fiù Ó ÓÂÙ È ÙÔ S Â Ó È: f y/s (y/s ) = S ```apple Û exp Ó ÌÏ s y Û, yœr ŸÌˆ : f y/s (y/s ) = f Y, S (y, s ) f S (s Î È f Y, S (y, s ) = f y/s (y/s ) Ø f S (s ) ) H Î Ù ÓÔÌ ÙË ÙÌ Y ı ÓÂÙ È applefi ÙÔÓ Ù appleô: f Y (y) = Ú 0 fy, S (y, s ) ds = Ú 0 fy/s (y/s ) f S (s ) ds = = Ú 0 m+1 m ```` mapple Ê m ˆ Ë s Ê ˆ Ë Û m+1 1 Ï exp Ì s Ó Û (y +m) d s Û = m+1 m = ```` mapple Ê m ˆ Ë Ú 0 ˆm+1 1 exp{(y +m)ˆ} dˆ =

34 m+1 Ê m+1 ˆ = 1 Ê m ˆ ```` mapple Ê m ˆ Ë m+y Ê m+1 Ë ˆ = Ê1+ y ˆ Ë Ë m ```` mapple Ê mˆ Ë Ë m+1, yœr Ô 18 Έστω ~ X = (X 1, X,, X ) τδ απ κατανομή με σππ f(x ; θ) = exp{(xθ)} x θ>0 Θεωρο με το διατεταγμένο δείγμα ~ Y = (Y 1, Y,, Y ) που Y i =X (i),,, Nα δειχθεί τι οι τμ Y s Y 1, s=, 3,, και Y 1 είναι ανεξάρτητες, και να υπολογισθεί η κατανομή της τμ Y s Y 1 Λ ση H ÎÔÈÓ Î Ù ÓÔÌ ÙˆÓ ÙÌ Y s Î È Y 1 ÓÂÙ È applefi ÙÔÓ Ù appleô: f 1s (x, y) =! (s)! (s)! (F(y)F(x))s (1F(y)) s f(x) f(y) x<y ÙÔ appleúfi ÏËÌ Ì F(x) = Úı x exp{(tı)} dt = 1exp {(xı)} OapplefiÙÂ: f 1s (x, y) =! (s)! (s)! (exp {(xı)}exp{(yı)})s exp{(yı)} s+1 ÙË Û Ó ÂÈ ıâˆúô Ì ÙÔÓ ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi: f Z, W (z, w) = f 1s (z, z+w) J = = Z=Y 1 Y 1 =Z W= Y S Y fi 1 Y s = Z+W fi J = Ô Ô 1 0 1 1 Ô Ô = 1 Øexp{(xı)}! (s)! (s)! exp{(zı)} (1exp{w}) s exp{w} s+1 = = exp{(zı)} (1)! (s)! (s)! (1exp{w})s exp{w} s+1 f W (w)= Ú fz, W (z, w) dz = (1)! ı (s)! (s)! (1exp{w})s exp{w} s+1, 0 w< f Z (z) = Ú ı fz, W (z, w)dw = exp{(zı)}, z ı

Ú ÙËÚÔ Ì fiùè f Z, W (z, w) = f Z (z) f W (w), Û ÓÂappleÒ ÔÈ ÙÌ Y 1 Î È Y s Y 1, s=,, Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙ Ô 35 19 Έστω ~ X = (X 1, X,, X ) τδ απ εκθετική κατανομή με σππ: Λ ση f(x, ~ θ) = 1 θ 1 exp Ï Ì Ó Nα δειχθεί τι οι στσ T 1 = S xθ I θ (θ, )(x) 1 (X i X (1) ) και T = X (1) που X (1) = mi{x 1, X,, X } είναι ανεξάρτητες και ακολουθο ν κατανομές: G Ê1, 1 ˆ, και εκθετική με σππ Ë θ 1 f(z 1, ~ θ) = 1 θ 1 exp Ï Ì Ó z 1θ θ 1 K Ù Ú Ó apple Ú ÙËÚÔ Ì fiùè S I (θ, ) (z 1 ) αντίστοιχα X i = S Ù ÚËÛË ÛÙÔ È ÙÂÙ ÁÌ ÓÔ Â ÁÌ ÓÂappleÒ T 1 = S X i X (1) = S X (i) X (1), ÁÈ Ùfi ı ÂÚÁ ÛıÔ Ì ÁÈ ÙÈ ÛÙÛ T 1 = S X (i) fiappleô X (i) Â Ó È Ë i apple Ú - X (i) X (1) Î È T =X (1) X - ÚÈÓ appleïfiùëù Ô Ì X (i) =Y i,, H ÎÔÈÓ Î Ù ÓÔÌ ÙÔ È ÙÂÙ - ÁÌ ÓÔ Â ÁÌ ÙÔ ~ Y = (Y 1, Y,, Y ) Â Ó È: f Y~ ( ~ y) =!f X~ ( ~ y) =! 1 Ï Ô ı1 exp Ó Ô ÌÔ 1 ı 1 S (y i ı ), y i >ı,,,, Ô ÂˆÚÔ Ì ÙÔÓ ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi: Z=A ~ Y ~ ÙÛÈ ÒÛÙÂ: Z 1 = Y 1 Z = (1) (Y Y 1 ) Z 3 = () (Y 3 Y ) Z = Y Y 1 Ô Ô fi S Z i = S Y i

36 O apple Ó Î ÙÔ ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌÔ Â Ó È: A= Ê Á Ë 0 0 0 (1) 1 0 0 0 () 0 0 0 0 1 ˆ fi A =! H ÎÔÈÓ Î Ù ÓÔÌ ÙË ÙÌ ~ Z = (Z 1, Z,, Z ) Â Ó È: f Z~ ( ~ z) = f Y~ ( ~ z) A 1 = 1 ı1 exp Ó Ô ÌÔ Ï 1  ı 1 = 1 Ï exp z 1ı ı 1 Ì Ó ı 1 P i= Ô (z i ı ) = Ô 1 Ï exp Ì z i, z ı i 0, i=,,, z 1 ı 1 Ó ı 1 OÈ Î Ù ÓÔÌ ÙˆÓ ÙÌ Z 1, Z,, Z Ú ÛÎÔÓÙ È ˆ ÂÍ : f Z1 (z 1 ) = 1 Ï exp Ì z 1ı ı 1 ı 1 Ú 0 Ú 1 0 Ó = 1 Ï exp Ì z 1ı, z ı 1 ı 1 ı 1 Ó ı 1 1 exp Ó Ô ÌÔ Ï 1 ı 1 S i= Ô z i dz dz = Ô f Zi (z i ) = Ú ı Ú fz ( 0 ~ z) dz 1 dz i1 dz i+1 dz = 1 Ï exp Ì z i,z i 0, i=,, ı 1 Ó ı 1 E ÎÔÏ È appleèûùòóâù È fiùè ÔÈ ÙÌ Z 1, Z,, Z Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙ ÈfiÙÈ: f Z~ ( ~ z) = P f Zi (z i ) H Î Ù ÓÔÌ ÙˆÓ ÙÌ Z,, Z Â Ó È Ë G Ê1, 1 ˆ ÕÚ Ë ÙÌ Ë S ı 1 ÎÔÏÔ ıâ Î Ù ÓÔÌ G Ê1, 1 ˆ Ë ı 1 ŸÌˆ : S Z i = S Z i Z 1 = S Y i Y 1 = S X (i) X (1) = T 1 i= Z 1 = Y 1 = X (1) = T Z i i=

ÓÂappleÒ ÔÈ ÛÙÛ T 1 Î È T Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙ ÊÔ Ë T Â Ó È Û Ó Ú- ÙËÛË ÙË ÙÌ Z 1 Î È Ë T Â Ó È Û Ó ÚÙËÛË ÙˆÓ ÙÌ Z,, Z Î È Ë T ÎÔÏÔ ıâ Î Ù ÓÔÌ ÌÌ G Ê1, 1 ˆ Î È Ë T Ë ı 1 ÎÔÏÔ ıâ ÂÎıÂÙÈÎ Î - 1 Ù ÓÔÌ Ì Ûappleapple f(z 1, ~ ı) = 1 Ï exp Ì z 1ı, z ı 1 ı Ô 1 ı 1 Ó 37 110 Έστω (X 1, Y 1 ), (X, Y ),, (X, Y ) τδ απ διδιάστατη κανονική κατανομή N( μ, Σ) που μ = (μ X, μ Y ) και ~ ~ Σ = Á Ê σ X σ XY Ë σ XY σ ˆ με σ XY = ρσ X σ Y, (μ X, μ Y )ŒR, Y (σ X, σ Y )Œ(R+ R + ), ρœ[1, 1] Nα δειχθεί τι η τμ ( X, Y) ακολουθεί διδιάστατη κανονική κατανομή N Êμ, 1 ˆ Ë ~ Σ Λ ση H ÚÔappleÔÁÂÓÓ ÙÚÈ ÙË Î Ù ÓÔÌ N ( ~ Ì, ) Â Ó È: Ï Ì Ó M X, Y (t 1, t ) = Ee t 1X+t Y = exp Ì X t 1 +Ì Y t + 1 (Û Xt1 +ÚÛ XÛ Y t 1 t +ÛYt ) H ÚÔappleÔÁÂÓÓ ÙÚÈ ÙË ÙÌ ( X, Y) ı Â Ó È: M X, Y (t 1, t )= Ee t 1X+t Y = Eexp Ó Ô ÌÔ Ï t 1 S = Eexp Ó Ô ÌÔ Ï Ô Ë Ê t 1 X i+ t Y i ˆ Ô S Ô X i + t S Y i = Ô fiሠÙË ÓÂÍ ÚÙËÛ ÙˆÓ ÙÌ (X 1, Y 1 ), (X, Y ),, (X, Y ) ÈÛ ÂÈ: Ï Ô M X, Y (t 1, t ) = Eexp Ó Ô ÌÔ S Ë Ê t 1 X i + t Y i = P E exp Ì ˆ Ït 1 Ô Ó X i + t Y i = = P exp Ó Ì Ï Ì t 1 X + Ì t Y + 1 Ë Ê ÛX Ë Ê t 1 t +ÚÛX Û 1 t Y ˆ ˆ + Û Y Ë Ê t = ˆ = exp Ì Ï Ì X t 1 +Ì Y t + 1 Ó Ë Ê ÛX t 1 +Ú Û XÛ Y t 1 t + Û Y t ˆ

38 ÕÚ Ë ÙÌ ( X, N ÊÌ, 1 ˆ Ë ~ ËÏ : Y) ÎÔÏÔ ıâ ÙË È È ÛÙ ÙË Î ÓÔÓÈÎ Î Ù ÓÔÌ Ì X =Ì X, Û X = 1 Û X, Û X Y = 1 Û XÛ Y Ì Y =Ì Y, Û Y = 1 Û Y