1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Αν Ν είναι το σημείο τομής των ευθειών ΜΔ και ΡΕ να αποδείξετε ότι: i) ΜΔ = ΡΕ ii) ΜΔΑ ΡΕΑ iii) ΜΝ = ΡΝ i. Τα τρίγωνα ΜΔΒ και ΡΕΓ έχουν: ΜΒ = ΡΓ (ως μισά ίσων πλευρών), Βˆ Γˆ (επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές) και ΒΔ = ΕΓ. Επομένως τα τρίγωνα ΜΔΒ και ΡΕΓ είναι ίσα (ΠΓΠ). Οπότε ΜΔ =ΡΕ και ˆ ˆω. ii. Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ έχουν: ΑΒ = ΑΓ, Βˆ Γˆ και ΒΔ = ΕΓ. Επομένως τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ είναι ίσα (ΠΓΠ). Οπότε ΒΔΑ ΓΕΑ και επειδή ˆ ˆω θα είναι ˆη ˆ. iii. Επειδή ˆ ˆω θα είναι και ΝΔΕ ΝΕΔ, οπότε το τρίγωνο ΝΔΕ είναι ισοσκελές με βάση τη ΔΕ. Επομένως ΝΔ = ΝΕ και εφόσον ΜΔ = ΡΕ θα είναι και ΜΝ = ΡΝ.
2 ΑΣΚΗΣΗ 2 η Σε σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ φέρνουμε τη διάμεσο ΑΔ και την προεκτείνουμε κατά τμήμα ΑΔ = ΔΕ. Στη συνέχεια φέρνουμε το ύψος ΑΗ και στην προέκταση του παίρνουμε τμήμα ΗΖ = ΗΑ. Να αποδείξετε ότι: ii. ΑΓΒ ΒΓΖ iii. Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΑΔΓ είναι ίσα iv. Αν Ο είναι το σημείο τομής των ΒΕ και ΓΖ, τότε το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ισοσκελές. i) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΓΗ και ΗΓΖ είναι ίσα εφόσον ΑΗ = ΗΖ και ΗΓ κοινή πλευρά. Επομένως ΑΓΗ ΗΓΖ, δηλαδή ΑΓΒ ΒΓΖ (1). ii) Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΑΔΓ έχουν: ΒΔ = ΔΓ (η ΑΔ είναι διάμεσος), ΑΔ = ΔΕ και ΑΔΓ ΒΔΕ (ως κατακορυφήν). Επομένως τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΑΔΓ είναι ίσα (ΠΓΠ). Συνεπώς ΑΓΔ ΔΒΕ (2). iii) Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι ΗΓΖ ΔΒΕ, επομένως το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ισοσκελές.
ΑΣΚΗΣΗ 3 η Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ =ΑΓ και Α 90 0. Στα σημεία Β και Γ φέρνουμε τις κάθετες Βχ και Γψ αντίστοιχα στη ΒΓ. Αν η κάθετη στο Α, προς την πλευρά ΑΓ τέμνει τη Βχ στο σημείο Μ και η κάθετη στο Α, προς την πλευρά ΑΒ τέμνει τη Γψ στο σημείο Ν, να αποδείξετε ότι ΒΜ = ΓΝ. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 3 α) Έστω ˆΑ 90 0. (σχ.1) Τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΝΑΓ έχουν: 0 ΑΒ = ΑΓ, Α ˆ ˆ ˆ 1 90 Α Α2 0 0 και Βˆ 90 Βˆ 90 Γˆ Βˆ ( Β ˆ Γ ˆ λόγω του ισοσκελούς τριγώνου). 1 2 Επομένως τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΝΑΓ είναι ίσα (ΓΠΓ) και άρα ΒΜ = ΓΝ. β) Έστω ˆΑ 90 0. Τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΝΑΓ έχουν: 0 ΑΒ=ΑΓ, Αˆ 90 Αˆ Αˆ και 0 0 ΑΒΜ 90 Βˆ 90 Γˆ ΑΓΝ ( Β ˆ Γ ˆ λόγω του ισοσκελούς τριγώνου). 1 2 Επομένως τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΝΑΓ είναι ίσα (ΓΠΓ) και άρα ΒΜ = ΓΝ
ΑΣΚΗΣΗ 4 η Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και θεωρούμε σημεία Κ,Ζ,Λ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΑK = ΒΖ = ΓΛ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΖ είναι ισόπλευρο 4 Τα τρίγωνα ΑΚΛ και ΒΚΖ έχουν: ΑΚ = ΒΖ από την υπόθεση ˆ = ˆ =60 0 ως γωνίες ισοπλεύρου τριγώνου ΑΛ = ΒΚ γιατί ΑΛ = ΑΓ-ΓΛ = ΑΒ-ΑΚ = ΒΚ Από το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα, επομένως ΚΛ=ΚΖ (1) Ομοίως δείχνουμε ότι τα τρίγωνα ΑΚΛ και ΓΛΖ είναι ίσα, επομένως ΚΛ=ΛΖ (2) Από (1) και (2) έχουμε ότι ΚΛ=ΚΖ=ΛΖ δηλαδή το τρίγωνο ΚΛΖ είναι ισόπλευρο.
5 ΑΣΚΗΣΗ 5 η Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ > ˆ, ΑΔ το ύψος του και ΑΜ η διάμεσός του. Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΖ. Αν Ε σημείο του τμήματος ΜΓ τέτοιο ώστε ΔΕ = ΓΔ - ΔΒ, να δείξετε ότι: i) To M είναι μέσο της ΔΕ ii) Ζ ˆ Μ=90 0. i) H ισότητα ΔΕ = ΓΔ-ΔΒ γράφεται: ΔΜ + ΜΕ = (ΓΜ + ΜΔ)- ΔΒ ή ΔΜ + ΜΕ = ΒΜ + ΜΔ ΔΒ ή ΜΕ = ΒΜ ΔΒ ή ΜΕ = ΔΜ, δηλαδή το Μ είναι μέσο της ΔΕ. ii) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΖΜΕ: ΑΜ = ΜΖ (υπόθεση) ΔΜ = ΜΕ (από i) ερώτημα) Α ˆ Δ = Ζ ˆ Ε (ως κατακορυφήν γωνίες) Από το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα, επομένως Ζ ˆ Μ= Α ˆ Μ = 90 0.
6 ΑΣΚΗΣΗ 6 η Δίνονται τρία διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ μιας ευθείας ε. Με πλευρές τις ΑΒ και ΒΓ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΑ Γ προς το ένα μέρος της ευθείας και με πλευρά την ΑΓ κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ Γ προς το άλλο μέρος της ευθείας. Να δείξετε ότι τα τμήματα ΑΑ, ΒΒ και ΓΓ είναι ίσα μεταξύ τους. Τα τρίγωνα AΑ Γ και ΒΒ Γ έχουν: Α Γ=ΒΓ (γιατί το τρίγωνο ΒΑ Γ είναι ισόπλευρο) ΑΓ=Β Γ (γιατί το τρίγωνο ΑΑ Γ είναι ισόπλευρο) Α ˆ Α=Β ˆ Β = 60 0 (ως γωνίες των αντιστοίχων ισοπλεύρων τριγώνων) Από το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως ΑΑ =ΒΒ. Με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι τα τρίγωνα ΑΓ Γ και ΑΒ Β είναι ίσα οπότε ΓΓ =ΒΒ. Τελικά έχουμε ΑΑ = ΒΒ =ΓΓ. ΑΣΚΗΣΗ 7 η Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α και ΒΔ<ΓΔ. Στην προέκταση της ΑΔ παίρνουμε τμήμα ΔΕ=ΑΔ και πάνω στην ΒΓ παίρνουμε τμήμα ΔΖ=ΔΒ. Αν η ΕΖ τέμνει την ΑΓ στο Η, να δείξετε ότι: i) Το τρίγωνο ΑΗΕ είναι ισοσκελές ii) ΑΓ>ΑΒ. i) Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΖΔΕ έχουν: ΑΔ=ΔΕ (υπόθεση) ΒΔ=ΔΖ (υπόθεση) Α ˆ Β=Ζ ˆ Ε ως κατακορυφήν Από το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως ΑΒ=ΕΖ (1) και Β ˆ Δ=Δ ˆ Ζ άρα Δ ˆ Γ=Δ ˆ Ζ (αφού η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α) δηλαδή το τρίγωνο ΑΗΕ είναι ισοσκελές με ΗΑ=ΗΕ. ii) Έχουμε ΑΓ > ΗΑ = ΗΕ και ΗΕ > ΕΖ = ΑΒ (από την (1)). Επομένως ΑΓ>ΑΒ.
ΑΣΚΗΣΗ 8 η Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και ˆ =20 0. Έστω σημείο Δ της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΔ = ΒΓ. Να βρεθεί η γωνία Α ˆ Β. Κατασκευάζουμε στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ, ισόπλευρο τρίγωνο ΒΚΓ. Λόγω του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ έχουμε 180 ˆ = ˆ 0 ˆ = = 80 0, επομένως 2 Α ˆ Κ=Α ˆ Γ-Κˆ Γ = 80 0-60 0 = 20 0 (1). Τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΚΓ έχουν τις τρεις πλευρές τους μία προς μία ίσες άρα είναι ίσα και Α ˆ Β = Αˆ Γ. Ισχύει Α ˆ Β + Αˆ Γ+ Β ˆ Γ = 360 0 επομένως 360 Α ˆ Β = Α ˆ 0 ˆ 360 0 0 60 Γ= = =150 0 (2). 2 2 7 Τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΒΔ έχουν: ΑΒ κοινή πλευρά ΒΚ = ΑΔ (γιατί ΒΚ = ΒΓ = ΑΔ) Α ˆ Κ= Β ˆ Δ=20 0 (από την (1)). Από κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως Α ˆ Β= Α ˆ Β =150 0 (από (2)).
8 ΑΣΚΗΣΗ 9 η Έστω κύκλος (Ο,R) και Α ένα σημείο εξωτερικό του κύκλου. Κατασκευάζουμε τον κύκλο (Ο, ΟΑ) και στο σημείο τομής Ε της ΟΑ με τον κύκλο (Ο,R) φέρουμε μια κάθετη ευθεία που τέμνει τον κύκλο (Ο, ΟΑ) στα σημεία Γ και Δ. Αν Β και Κ είναι το σημεία τομής των ΟΓ και ΟΔ αντίστοιχα με τον κύκλο (Ο, R), να δείξετε ότι Οˆ Α=90 0 και Ο ˆ Α = 90 0 (με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να φέρουμε εφαπτόμενα τμήματα από το εξωτερικό σημείο Α του κύκλου (Ο,R)). Τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΕ έχουν: ΟΑ = ΟΓ (ως ακτίνες του κύκλου (Ο,ΟΑ)). ΟΒ=ΟΕ (ως ακτίνες του κύκλου (Ο,R)) A ˆ B = Γˆ Ε (κοινή γωνία) Από κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε Ο ˆ Α= Ο ˆ Γ = 90 0. Με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΔΟΕ είναι ίσα, οπότε Ο ˆ Α= Ο ˆ Δ = 90 0
ΑΣΚΗΣΗ 10 η Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και σημείο Ε της ΔΓ. Φέρουμε τη διχοτόμο ΑΖ της γωνίας Ε ˆ Β που τέμνει την ΒΓ στο Ζ. Από το Δ φέρνουμε κάθετη προς την ΑΖ που τέμνει την ΑΕ στο Κ και την ΑΒ στο Λ. Να δείξετε ότι: i) Το τρίγωνο ΔΕΚ είναι ισοσκελές. ii) Τα τρίγωνα ΑΔΛ και ΑΒΖ είναι ίσα. iii) ΑΕ = ΔΕ + ΒΖ. 9 i) Αφού η ΑΖ είναι διχοτόμος της γωνίας Ε ˆ Β, είναι Ε ˆ Ζ = Ζ ˆ Β = ω. Τότε Α ˆ Δ= 90 0 -ω και Α Δˆ Λ = ω, οπότε Λ Δˆ Ε = 90 0 -ω. Όμως Α Κˆ Λ = 90 0 -ω και Δ Κˆ Ε = 90 0 -ω ως κατακορυφήν με την Α Κˆ Λ. Άρα Δ Κˆ Ε = ΛΔˆ Ε=90 0 -ω, δηλαδή το τρίγωνο ΔΕΚ είναι ισοσκελές. ii) Το τρίγωνο ΑΚΛ είναι ισοσκελές γιατί η ΑΖ είναι διχοτόμος και ύψος. Άρα ΑΛ=ΑΚ. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΛΔ και ΑΒΖ έχουν iii) ΑΔ=ΑΒ και Α Δˆ Λ = Ζ ˆ Β= ω, άρα είναι ίσα. Από τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΚΛ και ΔΚΕ έχουμε ΑΚ=ΑΛ και ΚΕ = ΔΕ. Επίσης από την ισότητα των τριγώνων ΑΛΔ και ΑΒΖ έχουμε ΑΛ = ΒΖ. Επομένως: ΑΕ= ΑΚ + ΚΕ = ΑΛ + ΔΕ = ΔΕ + ΒΖ.
ΑΣΚΗΣΗ 11 η 10 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με A =45 0 και ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τα ύψη του. Αν Η το σημείο τομής των υψών του τριγώνου, να δείξετε ότι ΑΗ = ΒΓ. Το τρίγωνο ΑΒΕ έχει ˆ =90 0 και ˆ = 45 0 επομένως είναι ισοσκελές με ΑΕ = ΒΕ (1). Ομοίως, το τρίγωνο ΑΓΖ έχει ˆ = 90 0 και ˆ = 45 0, άρα Α ˆ Ζ = 45 0. Έτσι, το τρίγωνο ΓΗΕ έχει ˆ =90 0 και ˆ =45 0 επομένως είναι ισοσκελές με ΗΕ = ΕΓ (2). Τα τρίγωνα ΑΕΗ και ΒΕΓ έχουν: ΑΕ=ΒΕ (από (1)). ΗΕ=ΕΓ (από (2)). Α ˆ Η=Β ˆ Γ=90 0, δηλαδή τα τρίγωνα είναι ίσα, επομένως ΑΗ = ΒΓ. ΑΣΚΗΣΗ 12 η Δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με A = A = 90 0. Αν ισχύουν ΑΒ > Α Β και ΑΓ > Α Γ, να δείξετε ότι ΒΓ > Β Γ. Πάνω στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε σημεία Β και Γ αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΑΒ = Α Β και ΑΓ = Α Γ. Τότε τα τρίγωνα ΑΒ Γ και ΑΒ Γ είναι ίσα γιατί έχουν ˆ = Α Γ. Επομένως Γ Β = Γ Β (1). ˆ = 90 0, ΑΒ = Α Β και ΑΓ = Τα πλάγια τμήματα Γ Β και Γ Β ικανοποιούν τη σχέση Γ Β < Γ Β (2), γιατί οι αποστάσεις των ιχνών τους Β και Β από το ίχνος Α της καθέτου ικανοποιούν τη σχέση ΑΒ < ΑΒ. Ομοίως, για τα πλάγια τμήματα Γ Β και ΓΒ, ισχύει Γ Β < ΓΒ (3), γιατί ισχύει αντίστοιχα ΑΓ < ΑΓ. Από τις σχέσεις (2), (3) και τη μεταβατική ιδιότητα, προκύπτει Γ Β < ΓΒ άρα από την (1) έχουμε Γ Β < ΓΒ.
ΑΣΚΗΣΗ 13 η 11 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με A < 45 0 και ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τα ύψη του. Αν Η το σημείο τομής των υψών του τριγώνου, να δείξετε ότι ΑΗ > ΒΓ. Το τρίγωνο ΑΒΕ έχει ˆ = 90 0 και ˆ <45 0 είναι Α ˆ Ε > 45 0. Επειδή Αˆ Ε > ˆ ισχύει ΑΕ > ΒΕ (1). επομένως Από το τρίγωνο ΑΖΓ με ˆ = 90 0 και ˆ < 45 0 έχουμε Ε ˆ Ζ > 45 0. Επομένως στο τρίγωνο ΕΓΗ με ˆ = 90 0 και Ε ˆ Η > 45 0, ισχύει Ε ˆ Γ < 45 0, δηλαδή Ε ˆ Η > Ε ˆ Γ άρα ΕΗ > ΕΓ (2). Τώρα, στα ορθογώνια τρίγωνα ΑΕΗ και ΒΕΓ ισχύουν από (1) και (2): ΑΕ > ΒΕ και ΕΗ > ΕΓ. Από το συμπέρασμα προηγούμενης άσκησης έχουμε ΑΗ > ΒΓ ΑΣΚΗΣΗ 14 η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και παίρνουμε τυχαίο σημείο Δ της διχοτόμου ΑΚ. Να αποδείξετε ότι: ΑΓ ΑΒ > ΔΓ ΔΒ. Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΑΕ =ΑΒ. Είναι ΕΓ= ΑΓ ΑΕ, άρα ΕΓ = ΑΓ ΑΒ (1). Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΕ έχουν την πλευρά ΑΔ κοινή, ΑΒ=ΑΕ και Α ˆ ˆ 1 Α2 (εφόσον ΑΚ διχοτόμος). Επομένως τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΕ είναι ίσα (ΠΓΠ) και άρα ΒΔ = ΔΕ (2). Στο τρίγωνο ΔΕΓ, σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα και τις σχέσεις (1) και (2) ισχύει: ΕΓ>ΔΓ ΔΕ ΑΓ ΑΒ>ΔΓ ΔΒ.
ΑΣΚΗΣΗ 15 η 12 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ότι: ˆΑ 90 0 και Δ, Ε τυχαία σημεία των πλευρών ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε i. Η γωνία ΒΔΓ είναι αμβλεία ii. ΟΒ > ΒΕ, όπου Ο είναι το σημείο τομής των ΒΔ και ΓΕ iii. ΒΔ + ΓΕ > ΒΕ + ΕΔ + ΓΔ i. Η ΒΔΓ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΒΔ. Άρα 0 ΒΔΓ Α 90, δηλαδή η ΒΔΓ είναι αμβλεία. Προκύπτει ότι ΟΓ > ΓΔ (1). ii. Παρόμοια αποδεικνύουμε ότι και η ΒΕΓ είναι αμβλεία, επομένως ΟΒ > ΒΕ (2). iii. Ισχύουν : ΟΓ>ΓΔ, ΟΒ>ΒΕ και ΕΟ+ΟΔ>ΕΔ (τριγωνική ανισότητα), οπότε αν προσθέσουμε τις ανισότητες κατά μέλη προκύπτει η ζητούμενη σχέση: ΟΓ + ΟΒ + ΕΟ + ΟΔ > ΓΔ + ΒΕ + ΕΔ, Δηλαδή: ΒΔ + ΓΕ > ΒΕ + ΕΔ + ΓΔ. ΑΣΚΗΣΗ 16 η Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με B > 45 ο και Γ <45 ο και ΑΔ το ύψος του. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ > ΒΔ β) ΔΓ >ΑΔ > ΒΔ α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε: B + A 1 =90 ο. Αφού είναι B >45 ο τότε θα είναι A 1 <45 ο A επομένως έχουμε ότι B > 1 (επειδή σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται ομοιότροπα άνισες πλευρές) τότε είναι ΑΔ >ΒΔ β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε A 2 + =90. Αφού είναι <45 ο τότε θα είναι A 2 >45 ο επομένως έχουμε ότι < 2 και από το (α) ερώτημα έχουμε τελικά ΔΓ >ΑΔ > ΒΔ. A τότε είναι ΔΓ> ΑΔ
13 ΑΣΚΗΣΗ 17 η (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Μ και Κ, Λ είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές. β) Να δείξετε ότι ΜΚ = ΜΛ α) Αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές τότε B ˆ ˆ B ˆ ˆ B ˆ ˆ ως μισά ίσων γωνιών 1 1 αφού η ΒΜ και ΓΜ είναι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Β και Γ. Αφού είναι Bˆ ˆ 1 1 έχουμε ότι το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές. β) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΒΚΜ και ΛΜΓ, αυτά έχουν ΒΚ = ΓΛ (ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ) ΒΜ = ΜΓ (αφού το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές από το α ερώτημα) KBM ˆ ˆ M γιατί κάθε μια γωνία είναι άθροισμα ίσων γωνιών, των γωνιών Β και Γ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ και των ίσων γωνιών Β 1 και Γ 1. Επομένως τα τρίγωνα είναι ίσα, συνεπώς θα είναι και ΚΜ = ΛΜ. Οι ασκήσεις είναι από το περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β από άρθρα των μαθηματικών Πάλλα Μαρίνα Μπρίνου Παναγιώτη Μάγκου Θάνου Καρδαμίτση Σπύρου