ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
|
|
|
- Πρόκρις Λιακόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΣΚΗΣΗ 1η ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A 90 ο ) με γωνία B 30 ο. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΓ κατά τμήμα ΓΔ ΑΓ. Να αποδείξετε ότι: α) γ β 3 β) ΒΔ ΑΒ γ) η ΒΓ διχοτομεί την A BΔ α) Έχουμε: B 30 ο β α β. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: α β + γ (β) β + γ γ 3β άρα γ β 3 β) Αφού ΑΓ β, θα είναι ΓΔ ΑΓ β οπότε ΑΔ β + β 3β. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: ΒΔ ΑΔ + ΑΒ γ + (3β) 3β + 9β 1β Επομένως ΒΔ β 3 γαβ. ο γ) Αφού ΓΒΓΔβ και BΓΑ ˆ 60 θα είναι ˆ ˆ ο Δ ΓΒΔ 30 ΓΒΑ ˆ. Άρα ΒΓ διχοτόμος της ABΔ ˆ.
2 ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ γ, ΑΓ β, ΒΓ α και η διάμεσος ΑΜ μ α που αντιστοιχεί στη πλευρά ΒΓ. Αν η γωνία Α 60 0 β 7 και γ β, να αποδείξετε ότι μ α. Με τη βοήθεια του νόμου των συνημιτόνων έχουμε: α β +γ -βγσυνα β +γ -βγσυν60 ο β +γ -βγ 1 β +γ βγ Αφού είναι γ β η παραπάνω σχέση γράφεται: α β + (β) - β β + β -β 3β. Επομένως για την διάμεσο μ α του τριγώνου έχουμε: () άρα μ α
3 ΑΣΚΗΣΗ 3η Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΒΓ α και γωνία Γ 15 ο. Να υπολογίσετε τις κάθετες πλευρές β και γ του τριγώνου ως συνάρτηση της υποτείνουσας α. Φέρνουμε την διάμεσο του τριγώνου ΑΜ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του. Είναι ΑΜ ΜΓ, συνεπώς το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισοσκελές, και επομένως είναι 1 15 ο και ο - 30 ο 150 ο. Ακόμη είναι συν 150 ο συν (180 ο 30 ο ) - συν30 ο - συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΜΓ έχουμε: β άρα είναι β συν 150 ο 3 3, επομένως εφαρμόζοντας τον νόμο των 3 ( 3) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: γ α β α ( 3) - ( 3) 3. Επομένως είναι γ
4 ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται ορθογώνιο αλλά μη ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( A 90 ο ) και η διάμεσός ΑΜ αυτού. Από το σημείο Μ φέρνουμε την κάθετη στην διάμεσο ΑΜ που τέμνει την ευθεία ΑΓ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: ΕΒ + ΕΓ ΕΑ. Στο τρίγωνο ΒΕΓ η ΜΕ είναι διάμεσός του και εφαρμόζοντας το πρώτο θεώρημα των διαμέσων έχουμε: ΕΒ + ΕΓ ΜΕ B + (1) Το τρίγωνο ΑΜΕ είναι ορθογώνιο στο Μ και εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: ΕΑ ΜΑ + ΜΕ, B αλλά ΜΑ, συνεπώς η πυθαγόρεια σχέση γράφεται: ΕΑ +ΜΕ + ΜΕ άρα ΕΑ +ΜΕ () Από τις σχέσεις (1) και () έχουμε: ΕΒ + ΕΓ ΕΑ.
5 ΑΣΚΗΣΗ 5η Η διάκεντρος των κύκλων (Κ, α) και (Λ, α) έχει μήκος 6α. α) Να υπολογίσετε το μήκος δ της κοινής εξωτερικής εφαπτομένης τους και την οξεία γωνία που σχηματίζει αυτής με τη διάκεντρο. δ β) Αν δ 1 τo μήκος της κοινής εσωτερικής εφαπτομένης τους τότε να αποδείξετε ότι δ1 δ. α) Έστω ΑΒ η κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων. Φέρνουμε την ΛΓΑΚ, τότε το τετράπλευρο ΑΒΛΓ είναι ορθογώνιο και είναι ΒΛ ΑΓ α, οπότε ΓΚ α α 3α. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΓ είναι ΓΛ ΚΛ - ΚΓ (6α) (3α) 36α -9α 7α επομένως είναι δ ΓΛ α α. Εξάλλου ΚΛ ˆ ο ˆ ο. ΚΓ ΚΛΓ 30 ΚΜΑ 30 β ) Έστω ΑΒ η κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων. Φέρνουμε την ΛΓΑΚ, τότε το τετράπλευρο ΑΒΛΓ είναι ορθογώνιο και είναι ΒΛ ΑΓ α, οπότε ΓΚ α + α 5α. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΓΛ είναι ΓΛ ΚΛ - ΚΓ (6α) (5α) 36α -5α 11α επομένως είναι δ 1 ΓΛ α 11. δ Για να είναι δ1 δ αρκεί α 7 α 11 α 7, δηλαδή 7<<108 που ισχύει.
6 ΑΣΚΗΣΗ 6η Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε την διάμεσό του ΑΜ και το ύψος του ΒΕ. Να αποδείξετε ότι: ΜΑ ΜΒ + ΑΓ ΑΕ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ εφαρμόζουμε το πρώτο θεώρημα των διαμέσων: ΑΒ + ΑΓ ΜΑ B + (1) Επειδή <90 ο εφαρμόζοντας το θεώρημα της οξείας γωνίας έχουμε: ΒΓ ΑΒ + ΑΓ ΑΓ ΑΕ () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () έχουμε: ΒΓ ΜΑ B + ΑΓ ΑΕ (3) Αλλά (3) ΜΑ B ΜΑ B + ΑΓ ΑΕ ΜΑ + ΑΓ ΑΕ ΜΑ ΜΒ + ΑΓ ΑΕ + ΑΓ ΑΕ
7 ΑΣΚΗΣΗ 7η Δίνεται κύκλος (Ο,R) και ΑΒ μια διάμετρός του. Φέρνουμε χορδή ΓΔ//ΑΒ, αν Ρ είναι τυχαίο σημείο της διαμέτρου ΑΒ, να δείξετε ότι ΡΓ + ΡΔ ΡΑ + ΡΒ Έστω Κ το μέσο της χορδής ΓΔ, τότε στο τρίγωνο ΓΡΔ από το 1 ο θεώρημα διαμέσων έχουμε: ΡΓ + ΡΔ ΡΚ + ΡΚ + ΚΔ όμως από τα τρίγωνα ΡΚΟ και ΟΚΔ, έχουμε: ΡΚ ΟΡ + ΟΚ και ΟΚ + ΚΔ ΟΔ Επομένως: ΡΓ + ΡΔ ΡΚ + ΚΔ ΟΡ + ΟΚ +ΚΔ ΟΡ + ΟΔ ΟΡ + R (1) Ακόμη: ΡΑ + ΡΒ (R ΟΡ) + (R + ΟΡ) R + OΡ (). Από (1) και (), έχουμε: ΡΓ + ΡΔ ΡΑ + ΡΒ
8 ΑΣΚΗΣΗ 8η Δίνεται κύκλος (Ο,R) και ΑΒ μια διάμετρός του. Μια χορδή ΓΔ του κύκλου σχηματίζει με την διάμετρό του ΑΒ γωνία 5 μοιρών. Αν Ρ είναι η τομή των ΑΒ και ΓΔ, να δείξετε ότι: ΡΓ + ΡΔ R Φέρνουμε το απόστημα ΟΜ της χορδής ΓΔ. Το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΜΡ είναι και ισοσκελές, επομένως είναι ΜΡ ΜΟ α. Αφού το σημείο Μ είναι το μέσο της χορδής ΓΔ ισχύει: ΜΔ ΜΓ β και επιπλέον είναι ΡΓ ΜΓ ΜΡ β α. Επομένως έχουμε: ΡΓ + ΡΔ (β α) + (β + α) β αβ + α + β + αβ + α (α + β ) R Εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΜΟΔ.
9 ΑΣΚΗΣΗ 9η Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α, στην προέκταση της πλευράς του ΒΓ παίρνουμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΓΔ ΒΓ. Αν Μ είναι το μέσο της ΑΔ να υπολογίσετε τις πλευρές ΜΓ, ΜΒ του τριγώνου ΜΒΓ καθώς και τα ύψη αυτού, ως συνάρτηση του α. Έχουμε ΜΓ//ΑΒ και ΜΓ AB α. ο Εξάλλου Γˆ Βˆ ο 60, οπότε MΓΒ ˆ 10 και 1 ο MB ΓM ΓΒ ΓΜ ΓΒσυν10 Άρα α 7 ΜΒ. α α 1 7α α α Έστω ΜΜ, ΒΒ, ΓΓ τα ύψη του τριγώνου ΜΒΓ. ΑΑ α 3 Αν ΑΑ το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ τότε ΜΜ // ΑΑ και MM. ο Εξάλλου ˆ ˆ α 3 Γ Γ1 60 Γ3 και ΒΓ ΑΓ BB Γ Α Α Γ ΒΒ ΑΑ.. Τέλος: 7α α α 7 ΓΒ ΜΒ ΜΓ ΜΒ ΜΓ α ΜΓ α α α 3α ΜΓ Γ Γ ΓΜ Γ Μ α 3 Γ Γ. 7
10 ΑΣΚΗΣΗ 10η Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και ο εγγεγραμμένος του κύκλος (O,R). Aν Μ είναι τυχαίο σημείο του κύκλου να αποδείξετε ότι: ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ 5 α Ο εγγεγραμμένος κύκλος (Ο, R) εφάπτεται στο μέσο Δ της πλευράς του τριγώνου ΒΓ. Επειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, το Ο είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου, επομένως είναι ΟΔ 3 1 ΑΔ και ΟΕ ΟΔ R, τότε θα είναι: ΑΕ ΕΟ ΟΔ R 3 1 ΑΔ (1) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΒ έχουμε: ΑΔ α - α - 3 Άρα ΑΔ επομένως από την (1) έχουμε R ΑΔ και R 1 Στο τρίγωνο ΜΒΓ η ΜΔ είναι διάμεσός του επομένως ΜΒ + ΜΓ ΜΔ + () Στο τρίγωνο ΜΑΟ η ΜΕ είναι διάμεσός του επομένως ΜΑ + ΜΟ ΜΕ AO + ΜΕ (R) + ΜΕ + R άρα ΜΑ + R ΜΕ + R MA ME + R (3) Προσθέτοντας τις σχέσεις () και (3) έχουμε: ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ ( ΜΔ + ΜΕ ) + + R ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ ( ΜΔ + ΜΕ ) + + () 1 Αλλά στο τρίγωνο ΕΜΔ η ΜΟ R είναι διάμεσός του, επομένως ΜΔ + ΜΕ ΜΟ + R (R) + R 1 3 Επομένως η σχέση () γίνεται:
11 ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ α ΑΣΚΗΣΗ 11η Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΒΓ και ύψος ΑΔα. Προεκτείνουμε τη ΒΓ κατά τμήμα ΓΕ β. Η παράλληλη από το Α προς την ΒΓ και η παράλληλη από το Ε προς την ΑΔ τέμνονται στο σημείο Ζ. Αν η ΖΕ τέμνει την προέκταση της ΑΓ στο σημείο Η, να αποδείξετε ότι: α) ΑΗ (α + β) β) BH α + (α + β) o α) Έχουμε προφανώς ΔΒ ΔΓ α και Aˆ ˆ 1 A 5. ο Αφού ΓΗΕ ˆ Αˆ 5, τα τρίγωνα ΗΕΓ, ΗΖΑ είναι ορθογώνια και ισοσκελή με ΕΗ ΕΓ β και ΗΖ ΑΖ ΔΕ α + β Άρα: ΑΗ ΑΖ + ΖΗ (α + β) + (α +β) (α + β) ΑΗ (α + β) β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΒ έχουμε ΑΒ α + α α και εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΗ έχουμε: ΒΗ ΑΒ + ΑΗ α + (α + β) ΣΧΟΛΙΟ 1 ο Η παραπάνω άσκηση αποτελεί παραλλαγή της πρότασης 10 του δεύτερου βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη και αποδίδεται στους Πυθαγόρειους. Η πρόταση αυτή τους οδήγησε στον ορισμό των πλευρικών και διαμετρικών αριθμών και στην μετέπειτα ανακάλυψη της ασυμμετρίας. ΣΧΟΛΙΟ ο Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΗ είναι ΒΕ α + β, επομένως αν εφαρμόσουμε το πυθαγόρειο θεώρημα
12 έχουμε: ΒΗ (α + β) + β, τότε με βάση το ii) ερώτημα έχουμε την γεωμετρική απόδειξη της αλγεβρικής ταυτότητας : (α + β) + β α +(α +β). ΑΣΚΗΣΗ 1η Δίνεται κύκλος (Ο,R) και ΑΒ μια διάμετρός του. Θεωρούμε σημείο Γ του (Ο,R) τέτοιο ώστε Γ ˆΑ Β30 0 και σημείο Μ της προέκτασης της ΑΒ τέτοιο ώστε ΟΜR. α. Να δείξετε ότι η ΜΓ είναι εφαπτομένη του κύκλου. β. Αν θεωρήσουμε σημείο Κ της ΑΒ με ΓΚ 3R, να δείξετε ότι το ΓΚ είναι κάθετο στην ΑΜ. α. Επειδή Γ ˆ Β 30 0 έχουμε για την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία Γˆ Β Στο τρίγωνο ΟΓΜ έχουμε: ΓΟ R, OM R και Γˆ Β Από νόμο συνημιτόνων προκύπτει: ΓΜ ΟΓ +ΟΜ ΟΓΟΜσυν60 0 ή ΓΜ 3 R. Στο τρίγωνο ΟΜΓ ισχύει: ΟΜ R και ΟΓ +ΓΜ R +3R R δηλαδή ΟΜ ΟΓ +ΓΜ επομένως, από αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος, είναι Οˆ Μ90 0, δηλαδή ΜΓΟΓ. (Άλλος τρόπος για να δείξουμε ότι η ΓΜ εφάπτεται στον κύκλο: ΜΒΜΑR3R3R ΜΓ, επομένως το τμήμα ΜΓ είναι εφαπτόμενο στον κύκλο που ορίζουν τα σημεία Α, Β και Γ από εφαρμογή σελ. 0 σχολικού βιβλίου). β. Αρκεί το Κ να ε ιναι μέσο του ΑΜ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΓΜ με Οˆ Μ90 0 και Γ ˆ Μ60 0, προκύπτει Γ ˆ Ο30 0. Έτσι, το τρίγωνο ΓΑΜ είναι ισοσκελές με ΑΓ ΓΜ 3 R. Αρκεί να δείξουμε ότι το Κ είναι μέσο της ΑΜ. Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΓΚ έχουμε: ΓΚ ΑΓ + ΑΚ ΑΓΑΚσυν30 0 3R 3 3R + ΑΚ 3 RΑΚ 9R 3R ΑΚ 3RAK + 0 ή (ΑΚ ) 0
13 ΑΚ 3R, δηλαδή το Κ είναι μέσο της ΑΜ ΑΣΚΗΣΗ 13η Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ 90 0 και από τυχαίο σημείο Δ της ΒΓ φέρνουμε την κάθετη στη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Η και την ΒΑ στο Ζ. Έστω Μ το σημείο τομής της ΒΗ με την ΖΓ. α. Να δείξετε ότι ΗΑΗΓ ΗΒΗΜ. β. Αν Κ, Λ οι προβολές των Α, Μ αντίστοιχα πάνω στην ΒΓ και ισχύει ΒΚ ΛΓ, να δείξετε ότι το Δ είναι μέσο της ΒΓ. α. Στο τρίγωνο ΔΒΓ, τα ΖΔ και ΓΑ είναι ύψη που τέμνονται στο Η. Άρα το Η είναι ορθόκεντρο του ΔΒΓ, επομένως το ΒΜ είναι ύψος του. Επειδή Β ˆ Γ90 0 Β ˆ Γ, το τετράπλευρο ΒΑΜΓ είναι εγγράψιμο σε κύκλο και οι χορδές ΑΓ, ΒΜ του αντίστοιχου κύκλου τέμνονται στο σημείο Η. Επομένως ΗΑΗΓ ΗΒΗΜ. β. Ισχύει ΚΓ ΚΛ + ΛΓ ΚΛ + ΒΚ ΒΛ (1) Στα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΜΓ, τα ΑΚ, ΜΛ αντίστοιχα είναι ύψη που αντιστοιχούν στην υποτείνουσα ΒΓ, επομένως: ΑΚ ΒΚΚΓ και ΜΛ ΒΛΛΓ. Η υπόθεση ΒΚ ΛΓ και η (1) μας δίνουν: ΑΚ ΜΛ ή ΑΚ ΜΛ. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΚ και ΜΛΓ είναι ίσα ( ˆ ˆ 90 0, ΑΚ ΜΛ και ΒΚ ΛΓ) επομένως ˆ Γˆ,
14 δηλαδή το τρίγωνο ΒΖΓ είναι ισοσκελές, άρα το ύψος του ΖΔ είναι και διάμεσος. ΑΣΚΗΣΗ 1η Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ τέμνονται στο Η. Να δείξετε ότι: ΒΓ ΒΔΒΗ + ΓΕΓΗ Αν ΑΜ είναι το τρίτο ύψος του τριγώνου, έχουμε: Οι γωνίες Δ και Μ είναι παραπληρωματικές, επομένως το τετράπλευρο ΔΗΜΓ είναι εγγράψιμο, συνεπώς ΒΗΒΔ ΒΜΒΓ (1) Ακόμα οι γωνίες Ε και Μ είναι παραπληρωματικές επομένως και το τετράπλευρο ΕΒΜΗ είναι εγγράψιμο, συνεπώς ΓΗΓΕ ΓΜΒΓ () Με πρόσθεση των (1) και () κατά μέλη έχουμε: ΒΔΒΗ + ΓΕΓΗ ΒΜΒΓ + ΓΜΒΓ ΒΓ(ΒΜ + ΓΜ) ΒΓ ΒΓ ΒΓ
15 ΑΣΚΗΣΗ 15η Δίνονται κύκλοι (Ο,) και (Κ,), με ΟΚ6. Στο σημείο Η της ΟΚ με ΗΚ φέρουμε μια ευθεία ε κάθετη στην ΟΚ και θεωρούμε τυχαίο σημείο της Μ. α. Να βρεθεί η διαφορά ΜΟ ΜΚ β. Να δείξετε ότι οι δυνάμεις του σημείου Μ ως προς τους δύο κύκλους είναι ίσες. Είναι ΟΚ R+ρ + 6 επομένως οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. Στο τρίγωνο ΜΟΚ, αν Λ είναι το μέσο του ΟΚ, τότε ΗΚ < ΚΛ 3, άρα το Η βρίσκεται μεταξύ των Λ και Κ και η πλευρά ΟΜ είναι μεγαλύτερη της ΜΚ. Επίσης ΗΛ ΚΛ ΗΚ 1. Από το ο θεώρημα διαμέσων έχουμε: ΜΟ ΜΚ ΟΚΛΗ 1. β. Είναι:,) (,) ( (ΜΟ ) ( ΜΚ ) ΜΟ ΜΚ 1 0 άρα,) ( (,)
16 ΑΣΚΗΣΗ 16η Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α 90 0 και ΑΒΑΓ. Αν Ν το μέσο της διαμέσου ΑΜ και Κ σημείο της ΒΓ με ΒΚ 3 ΒΓ, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΓΝΚ είναι ορθογώνιο. 8 Η ΑΜ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΒΓ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, άρα: ΑΜ. Έτσι, ΜΝ και ΜΚ ΜΒ ΚΒ Επίσης, ΒΓ ΑΒ +ΑΓ ή ΒΓ ΑΓ (1) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές επομένως η διάμεσος ΑΜ είναι και ύψος του. Έτσι, το τρίγωνο ΝΜΚ είναι ορθογώνιο με ˆ 90 0, οπότε από Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: ΝΚ ΝΜ +ΜΚ Από το τρίγωνο ΑΜΓ, με εφαρμογή του 1 ου θ. διαμέσων έχουμε: ΓΝ ΓΜ ΑΓ ΑΜ ΒΓ ΒΓ ΒΓ Άρα 5 ΒΓ 16 ΒΓ ΒΓ ΑΓ. (από την (1)) ΓΝ + ΝΚ 5 ΒΓ ΒΓ 16 και ΓΚ ΓΜ + ΜΚ ΒΓ + ΒΓ 5 ΒΓ ΒΓ 8 ή
17 ΓΚ 5 ΓΝ + ΝΚ, 6 δηλαδή ΓΝΚ είναι ορθογώνιο με Nˆ ΑΣΚΗΣΗ 17η Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α και τα τόξα ΑΓ και ΒΔ των κύκλων (Δ, α) και (Α, α). Να δείξετε ότι η ακτίνα R του κύκλου που εφάπτεται στα τόξα ΑΓ, ΒΔ και στην πλευρά ΑΔ του τετραγώνου είναι ίση με α/6. Φέρνουμε την ΕΚ κάθετη στην ΑΔ. Είναι ΒΕ α + R και ΑΕ α R αφού τα ζεύγη των κύκλων (Β, α), (Ε, R) και (Α, α), (Ε, R) εφάπτονται εξωτερικά και εσωτερικά αντίστοιχα. Επίσης η ΕΚ που είναι κάθετη στην ΑΔ εφάπτεται στον κύκλο (Ε,R). Αν Ν η προβολή του Ε στην ΑΒ, προκύπτει ΑΝR. Από το γενικευμένο Πυθ. θεώρημα στο τρίγωνο ΑΕΒ έχουμε: ΕΒ ΕΑ +ΑΒ ΑΒΑΝ (α + R) (α R) + α α R α 6α R 0 αφού α 0 έχουμε Δεύτερη Λύση Στο ΑΚΕ: συν(90 φ)ημφ R α R. Από νόμο συνημιτόνων στο ΑΕΒ: ΕΒ ΕΑ +ΑΒ ΑΕΑΒσυν(90 φ)
18 ΑΣΚΗΣΗ 18η Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒC, Δ είναι το μέσο της υποτείνουσας του ΒC και Ε το μέσο της ΒΔ. Να βρείτε την ΑΕ ως συνάρτηση των πλευρών α, β και c του τριγώνου ABC με Stewart Είναι a BE και CE 3 a. Από το θεώρημα του Stewart έχουμε BE b CE c a AE a BE CE, οπότε μετά τις αντικαταστάσεις των BE, CE και επειδή ισχύει από το Πυθαγόρειο Θεώρημα a b c, βρίσκουμε με ομοιότητα AE b 9c. Φέρω την προβολή EF στην AB. Τα τρίγωνα BFE, BAC είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 1, οπότε b c FE, BF και c 3 c AF c. Από Πυθαγόρειο στο τρίγωνο AFE παίρνουμε: AE b 9c.
19 με δύναμη σημείου ως προς κύκλο Αν Κ το σημείο τομής του κύκλου με την ΑΒ τότε επειδή η διάμεσος ΚΕ ισούται με το μισό της αντίστοιχης πλευράς. Έτσι Κ μέσο της ΑΒ επειδή Δ μέσο της ΒΓ και ΔΚ//ΑΓ, άρα Α εξωτερικό σημείο του κύκλου, έτσι: AB AK AE R BE KE, δηλαδή το τρίγωνο ΒΚΔ είναι ορθογώνιο c AK. c c AE 16 AE c b c 16 AE 9c b Με θεώρημα διαμέσων Είναι a AD DB, και η AE είναι διάμεσος δηλαδή AE a a c απ' όπου 8 c a 8 c c b 9 c AE AE b 16 16
20 με πυθαγόρειο Έστω Z η προβολή του E επί της AC και έχουμε EZ AB AC AZ ( λόγω BC BE ). Άρα, ( AE) ( AZ) ( EZ) ( AZ ) ( EC) ( ZC) ( EC) ( AZ ZC) ( ZC AZ) 9a b 9b 9c 8b b 9c ( AE) AE b 9c με αναλυτική γεωμετρία Με τον συνήθη συμβολισμό έστω A(0,0), B(0, b), C( c,0) c b D μέσο του BC άρα D, E μέσο του BD άρα c b 0 b c 3b E,, c b 0 c b c AE b κι επειδή θεώρησα πως AB b και AC c, εναλλάσσοντας στον τελικό τύπο τις θέσεις των c, b έχουμε τον ζητούμενο τύπο AE b 9c
21 με διανύσματα Έστω AB c, AC b και AE x 1 1 b c b 3c Είναι BE BC και BE BC, άρα BE BC x c x. Άρα b 6 b c 9 c b 9c AE x 16, αφού b c και b b, c c με τριγωνομετρία Είναι συνβ c a (1) Από ν. συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΕΒ είναι: AE AB BE AB BE B 1 a a c 16 a AE c c AE 8c a a b c 16 AE b 9c ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ ΣΠΥΡΟΣ Μc. D Μεθοδολογίας και Διδακτικής Των Μαθηματικών
Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ
1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,
4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις
2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015
ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην
ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;
1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )
ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι
ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ
6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.
1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται
ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.
1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β
1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Όλη η ύλη 08-05-16 Θέμα 1 ο : Α. Σε ποιες κατηγορίες ταξινομούνται τα τρίγωνα με βάση τις πλευρές τους και σε ποιες με βάση τις γωνίες τους; (αναλυτικά)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο
Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων.
Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Καρδαμίτσης Σπύρος «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα
Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΑΙΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Για να είναι όμοια δυο τρίγωνα αρκεί να ισχύει ένα από τα παρακάτω: ΐ) Να έχουν 2 γωνίες ίσες μία προς μία. (Ασκήσεις: Εμπέδωσης 1). ϊϊ) Να έχουν δυο πλευρές ανάλογες και
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας, τη λέξη Σωστό ή Λάθος,
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
µ =. µονάδες 12+13=25
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β 1 ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε α=7, β=5, γ=4. Να βρείτε: 1. το είδος του τριγώνου. την προβολή της β πάνω στη γ 3. το µήκος της διαµέσου ΒΜ 4. την προβολή
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε
1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.
1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο
Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015
Τράπεζα Θεμάτων 8 -//0 ο Θέμα Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Θεωρήματα διχοτόμων..8.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας και Φέρουμε τις διχοτόμους
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Σε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ ΔΕΖ να δείξετε ότι: α) Οι διχοτόμοι ΑΚ ΔΛ είναι ίσες β) Οι διάμεσοι ΒΜ ΕΘ είναι ίσες 2 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A τα ύψη του ΒΔ ΓΕ Να αποδείξετε
Θεώρημα Θαλή. μ10. μ 10 γ) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια, ώστε
Θεώρημα Θαλή.8975. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και 5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (14) -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα
Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29
Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ
ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε
ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε
ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr 9--0 Θεώρημα Θαλή.897. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις
α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των
Μαθηματικά για την Α Λυκείου Αφορμή για Επανάληψη στη Γεωμετρία της Α Λυκείου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Κώστας Βακαλόπουλος Τάσος Γαβράς Στήλη
α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M
Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο
Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου
Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των 1. γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Δ και η παράλληλη από το Ο προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Ε. α. Να δείξετε
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:
Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες
Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα
ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις
Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.
Αναλογίες. ΘΕΜΑ 2ο. (Μονάδες 5) β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) ΑΒ από το σημείο Γ ; (Μονάδες 15)
Αναλογίες 2_20863. Στο παρακάτω σχήμα είναι 12 και 8. α) Να υπολογίσετε τους λόγους και. (Μονάδες 6) β) Να υπολογίσετε το ΑΓ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) γ) Να υπολογίσετε τον λόγο. Σε τι λόγο λ διαιρείται
ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι
β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΓ είναι όμοια και στη συνέχεια να συμπληρώσετε
ΘΕΜΑ 4 Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ η ευθεία ΜΛ είναι παράλληλη στις βάσεις ΑΒ και ΔΓ του τραπεζίου και ισχύει ότι = α) Να αποδείξετε ότι = και = (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΓ είναι
ΑΕ = ΑΓ από τα δεδομένα ΒΑΕ=Α+ΓΑΕ=Α+ΒΑ = ο φυλλάδιο ΛΥΣΕΙΣ (Version )
3.-3. ο φυλλάδιο ΛΥΣΕΙΣ (Version -0-06) Ε.Στο εξωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τμήματα ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ, ώστε ΒΑ = ΓΑΕ. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΔ. Λύση Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΔΓ έχουν: ΑΒ = Α από τα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του
«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης
Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 26/5/2017 ΘΕΜΑ 1 ο Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη
ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ Ο 1. Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει τις AB,AΓ στα Δ,E αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι AΔ = AB
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 34 1ο ΣΧΕ ΙΟ ιδακτική ενότητα: Πυθαγόρειο Θεώρηµα ΘΕΜΑ 1ο Α. (1,5 µονάδες) Αν στο διπλανό σχήµα το Α είναι ύψος του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και Ε ΑΒ,
2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών
= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β
1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να
2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB
2ο ΘΕΜΑ 2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τη ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι
8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version )
8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 3-8-205) Σ.Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανάλογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια. Θεωρούμε τα τραπέζια ΑΒΓΔ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.
Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά
Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο,
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι