Μηχανική του στερεού σώματος

Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη Θεώρημα: Εστω ένα στερεό σώμα που εκτελεί αυθαίρετη κίνηση και Ο ένα σημείο πάνω σε αυτό. Κάθε χρονική στιγμή η κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να γραφτεί ως επαλληλία μιας μεταφορικής κίνησης του Ο και μιας περιστροφικής κίνησης ως προς έναν άξονα που περνάει από το Ο. Σχήμα 1.1: Η γενική στιγμιαία κίνηση στερεού σώματος ανάγεται σε μεταφορικήκίνησητουοκαισεπεριστροφικήκίνησητουσώματοςωςπροςέναν άξοναπουπερνάειαπότοο. Θεωρούμεένανέοσύστημααναφοράς Σ I μεαρχήσυντεταγμένωνστο O όπωςστοσχήμα 1.. Ηθέσητηςαρχήςτωνσυντεταγμένωνστοαρχικό σύστημααναφοράς Σ I είναι R.ΘεωρούμεένασημείοΡτουσώματοςτοοποίο έχειδιάνυσμαθέσης rστο Σκαι r I στο Σ I. 1

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ Ηθέση r I του Pστοαδρανειακόσύστημααναφοράς Σ I δίνεταιαπό r I = R + r (1.1 Εφαρμόζονταςτοθεώρημαηταχύτητα v I τουσημείουρθαδίνεταιαπό όπου V = d R dt η μεταφορική ταχύτητα του O. v I = V + ω r (1. Σχήμα1.: Τασυστήματααναφοράς Σ I (x I,y I,z I μεαρχήαξόνων O I (αδρανειακόκαι Σμεαρχήαξόνων O (x,y,z(μηαδρανειακότοοποίοκινείται μαζίμετοσώμα. 1. Τανυστής ροπής αδράνειας Η στροφορμή του στερεού μάζας M υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την στροφορμή από κάθε στοιχειώδες κομμάτι dm L = = ( dm r I v I = dm r + R ( V + ω r = ( ( dm r V + dm r ( ω r + R V ( + R ω dm r dm + όπου χρησιμοποιήσαμε την(1.1 και την(1.. Ο παραπάνω τύπος απλοποιείται ανδιαλέξουμετοσημείο O,τηναρχήδηλαδήτωναξόνωντουκινούμενουΣΑ, ναείναιτοκέντρομάζας.σεαυτήτηνπερίπτωση dm r = και L = M R V + dm r ( ω r = M R V + L cm (1.

1.. Τανυστής ροπής αδράνειας Η στροφορμή ισούται δηλαδή με το άθροισμα της στροφορμής του κέντρου μάζαςκαιτηςστροφορμής L cm ωςπροςτοκέντρομάζας L cm = dm r ( ω r (1.4 Αναπτύσσοντας το διπλό εξωτερικό γινόμενο η στροφορμή γράφεται σε μορφή πινάκων ως L 1 I 11 I 1 I 1 ω 1 L = I Ω L = I 1 I I ω (1.5 L I 1 I I ω Ο συμμετρικός πίνακας I ονομάζεται τανυστής ροπής αδράνειας και δίνεται από τη σχέση I ij = dm ( r δ ij r i r j (1.6 όπου δ ij τοδέλτατου Kronecker δ ij = { 1για i = j για i j (1.7 Στηνπερίπτωσηπουτοσώμααποτελείταιαπόδιάφορεςδιακριτέςμάζες m a,a = 1,...,nτότετοολοκλήρωμαστησχέση(1.6αντικαθίσταταιμεάθροισμα I ij = n a=1 ( m a (r a δ ij ri a ra j (1.8 Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να βρούμε και την έκφραση για την κινητική ενέργεια ενός στερεού σώματος όπου T = 1 M V + 1 Ω I Ω T = T μετ + T περ T περ = 1 (ω 1, ω, ω I 11 I 1 I 1 I 1 I I I 1 I I ω 1 ω ω (1.9 Η κινητική λοιπόν ενέργεια είναι επίσης άθροισμα δύο όρων, ο πρώτος είναι η μεταφορική κινητική ενέργεια του κέντρου μάζας και ο δεύτερος η κινητική ενέργεια περιστροφής ως προς το κέντρο μάζας. Ο τανυστής ροπής αδράνειας μπορεί γραφτεί σε διαγώνια μορφή επιλέγοντας κατάλληλα το ΣΑ. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται διαγωνοποίηση και ανάγεται στην επίλυση της πολυωνυμικής εξίσωσης det (I x1 = det I 11 ρ I 1 I 1 I 1 I ρ I I 1 I I ρ = (1.1

4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ ηοποίαπροσδιορίζειτιςιδιοτιμές ρ = I 1,I,I οιοποίεςονομάζονταικύριες ροπές αδράνειας. Υστερα αντικαθιστώντας στην I 11 I i I 1 I 1 a 1 (I I i 1 A = I 1 I I i I a = I 1 I I I i a βρίσκουμε τα ιδιοανύσματα τα οποία αντιστοιχούν στους κύριους άξονες της ροπής αδράνειας. Στο σύστημα αναφοράς των κυρίων αξόνων οι εκφράσεις της στροφορμής και της κινητικής ενέργειας παίρνουν απλούστερη μορφή και συγκεκριμένα L cm = (I 1 ω 1, I ω, I ω (1.11 και T περ = 1 ( I1 ω 1 + I ω + I ω (1.1 Οτανυστήςροπήςαδράνειαςείναιέναςσυμμετρικόςπίνακας I ij = I ji,και κατάσυνέπειααπότα9στοιχείατουμόνοτα6είναιανεξάρτητα. Πρέπεινα σημειώσουμε επίσης ότι ο ορισμός(1.8 του τανυστής ροπής αδράνειας είναι γενικός και ισχύει θεωρώντας ως αρχή οποιοδήποτε σημείο του σώματος και όχι μόνο το κέντρο μάζας. 1..1 Πρόβλημα 1: Ροπή αδράνειας τετράγωνης πλάκας Να υπολογιστεί ο τανυστής ροπής αδράνειας και να βρεθούν οι κύριοι άξονες και οι κύριες ροπές αδράνειας μιας ομογενούς τετράγωνης πλάκας μεπλευράς aκαιμάζας m,θεωρώνταςωςαρχήτωναξόνωντοσημείο O του σχήματος. Τοστερεόείναιομογενέςκαιάρα dm = σdyόπου σ = m/a ηεπιφανειακή πυκνότητα. Εφαρμόζοντας τον ορισμό(1.6 I 11 = dy ( x + y + z x = σ dyy (1.1 καθώς η πλάκα βρίσκεται στο επίπεδο z =. Εκτελώντας τις ολοκληρώσεις a I 11 = σ x y a = σ a a = m a a a = m a (1.14 Ομοίως I 1 = σ = σ x a y dy ( xy = σ a = m a a a x = m a 4 dy y (1.15

1.. Τανυστής ροπής αδράνειας 5 Σχήμα1.: Τετράγωνηπλάκακαιοικύριοιάξονεςστοεπίπεδο x y(διακεκομμένες γραμμές. Ο τρίτος κύριος άξονας συμπίπτει με τον άξονα των z. και Επίσης I και και I = σ I 1 = I 1 = σ = m a a a = m a = σ = σ = m a dy ( x + y + z y = σ I = I = σ dy ( x + y + z z = σ dy ( x + σ dy ( xz = (1.16 x dy = σ x a y a (1.17 dy ( y z = (1.18 Ο τανυστής ροπής αδράνειας γράφεται λοιπόν I = m a m a ma 4 4 m a m a dy ( y = I 11 + I = dy ( x + y (1.19 (1.

6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ Οι κύριες ροπές αδράνειας είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα I m a ρ m a 4 m a det m a 4 ρ = m a ρ [ (m a ] (m ρ m a 4 a ρ = 16 (ρ m ( (ρ a 7m a m a ρ = 1 1 ρ 1 = m a 1, ρ 7m a = 1, ρ = m a (1.1 Η οποία δίνει κύριες ροπές αδράνειας I 1 = m a 1, I 7m a = 1, I = m a Οι κύριοι άξονες προσδιορίζονται από τα ιδιοανύσματα του πίνακα I. Ετσι για τοιδιοάνυσμαπουαντιστοιχείστηνιδιοτιμή I 1 έχουμε m a I 1 m a m a 4 m a 4 I 1 m a I 1 p q s = m a 4 p m a 4 q = (1. 7m a s = 1 (1. καικατάσυνέπεια s =,p = qκαιτοκανονικοποιημένοιδιοάνυσμαείναι ˆǫ 1 = 1 (1, 1, (1.4 Προχωρώντας ανάλογα για τις άλλες δύο ιδιοτιμές βρίσκουμε ˆǫ = 1 (1, 1, (1.5 ˆǫ = (,, 1 (1.6 Οι κύριοι άξονες συμπίπτουν με τις διευθύνσεις των ιδιοανυσμάτων και οι δύο φαίνονταιστοσχήμαενώοτρίτοςσυμπίπτειμετονάξονατων z.

1.4. Εξισώσεις του Euler 7 1.4 Εξισώσεις του Euler Οπως αναφέραμε, η μελέτη της γενικής κίνησης ενός στερεού σώματος απαιτεί συνήθως την εισαγωγή δύο συστημάτων αναφοράς: Το αδρανειακό σύστημα αναφοράς που είναι το σύστημα αναφοράς(σα ενός ακίνητου παρατηρητή και τοσατωνκυρίωναξόνων(βλσχήμα1..τοδεύτεροείναιχρήσιμογιατίσε αυτό ο πίνακας ροπής αδράνειας είναι διαγώνιος. Δεν πρέπει όμως να ξεχνάμε ότιτοσατωνκυρίωναξόνωνείναιμηαδρανειακόκαθώςκινείταιμαζίμετο σώμα. Ηχρονικήμεταβολήμιαςδιανυσματικήςποσότητας BστοαδρανειακόΣΑ συνδέεταιμεαυτήτουμήαδρανειακόμετησχέση d B dt = d B + ω B dt (1.7 A MA όπουοιδείκτεςακαιμαδηλώνουντοαδρανειακόκαιμήαδρανειακόσα αντίστοιχα. Εφαρμόζοντας την(1.7 για το διάνυσμα της στροφορμής παίρνουμε τ = d L dt = d L + ω L dt (1.8 A KA όπου επιλέξαμε το ΜΑ σύστημα να είναι το σύστημα αναφοράς των κυρίων αξόνων(κα. Στο ΚΑ ο πίνακας ροπής αδράνειας είναι διαγώνιος, για ένα οποιοδήποτεσώμαέχειτρίαστοιχεία(κύριεςροπέςαδράνειας I 1 = I 11,I = I και I = I.Επομένωςηστροφορμήδίνεταιαπό L = L 1 L L = I 1 ω 1 I ω I ω (1.9 Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω, αν το άθροισμα των ροπών που ενεργούν στο σώμαέχεισυνιστώσες τ = (τ 1,τ,τ καιηγωνιακήταχύτηταπεριστροφής δίνεταιαπό ω = (ω 1,ω,ω,οιεξισώσειςκίνησηςγράφονταιστηνμορφή τ 1 τ τ = d dt = I 1 ω 1 I ω I ω I 1 ω 1 I ω I ω + + ˆx ŷ ẑ ω 1 ω ω I 1 ω 1 I ω I ω ω ω (I I ω 1 ω (I 1 I ω ω 1 (I I 1 Επομένως οι εξισώσεις κίνησης δίνονται από = I 1 ω 1 + ω ω (I I I ω + ω 1 ω (I 1 I I ω + ω ω 1 (I I 1 (1. I 1 ω 1 + (I I ω ω = τ 1 I ω + (I 1 I ω 1 ω = τ (1.1 I ω + (I I 1 ω ω 1 = τ

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ που είναι γνωστές ως Εξισώσεις του Euler. 1.4.1 Πρόβλημα 1: Ροπή σε ορθογώνια πλάκα Ναβρεθείηροπήπουπρέπειναασκήσουμεσεορθογώνιαπλάκαμάζας m καιδιαστάσεων a,bγιαναπεριστραφείγύρωαπότημίαδιαγώνιότηςμε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Σχήμα 1.4: Περιστροφή ορθογώνιας πλάκας ως προς τη μία διαγώνιο. Οι κύριοι άξονες της ορθογώνιας πλάκας(για περιστροφές ως προς άξονα που περνάει από το σημείο Ο είναι οι δύο διακεκομμένες γραμμές του σχήματος (x,yκαιοκάθετοςάξονας(zστοεπίπεδοτουσχήματοςστοσημείοο.οι κύριες ροπές αδράνειας της πλάκας είναι αντίστοιχα I 1 = m a 1, I = m b 1, I = m (a + b 1 (1. Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας στο ΣΑ των κυρίων αξόνων γράφεται ω = ( ω b ω a a + b, a + b, (1. Εστω τ = (τ 1,τ,τ ηάγνωστηροπή,οιεξισώσειςτου Euler,λαμβάνοντας υπόψινότι ω = δίνουν Η ροπή λοιπόν είναι τ 1 = (I I ω ω = τ = (I 1 I ω 1 ω = τ = (I I 1 ω ω 1 = m (b a abω 1(a + b τ = m (b a abω 1(a + b ẑ (1.4 και παρατηρούμε ότι μηδενίζεται όταν a = b(τετραγωνική πλάκα καθώς σε αυτήν την περίπτωση η γωνιακή ταχύτητα είναι παράλληλη προς κύριο άξονα.

1.4. Εξισώσεις του Euler 9 1.4. Πρόβλημα : Ελαφριά συμμετρική σβούρα Συμμετρική σβούρα μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο. Υποθέστε ότι τοβάροςτηςσβούραςείναιμικρόκαιότιμπορείνααγνοηθείηεπίδραση της βαρύτητας στη μελέτη της κίνησής της. Να υπολογιστεί η γωνιακή συχνότητα περιστροφής της σβούρας. Σχήμα 1.5: Συμμετρική σβούρα. Με διακεκομμένη γραμμές το σύστημα των κυρίων αξόνων. Θεωρούμε τη συμμετρική σβούρα του Σχήματος 1.5. Λόγω συμμετρίας ο ένας κύριος άξονας αδράνειας συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας της σβούρας (zενώτονρόλοτωνδύοάλλοκύριωναξόνων(x, yμπορούνναπαίξουν οποιοιδήποτε κάθετοι μεταξύ τους άξονες στο κάθετο στον z επίπεδο(βλέπε σχήμα. Εστω I = I 11 = I και I = I οικύριεςροπέςαδράνειαςωςπρος τους κύριους άξονες(x, y και(z αντίστοιχα. Θα εργαστούμε αρχικά στο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς των κυρίων αξόνων. Αγνοώντας τη βαρύτητα οι ροπές μηδενίζονται και οι εξισώσεις του Euler(1.1 παίρνουν την απλή μορφή: I ω 1 + (I I ω ω = (1.5 I ω + (I I ω 1 ω = (1.6 I ω = (1.7 Απότην(1.7συμπεραίνουμεότι ω ==σταθεράκαιοι(1.5,(1.6παίρνουν τη μορφή ω 1 + w ω = (1.8 ω w ω 1 = (1.9 όπου w = I I I ω

1 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ Το τελευταίο σύστημα επιλύεται παραγωγίζοντας την πρώτη εξίσωση ως προς τοχρόνοκαιαντικαθιστώνταςτο ω απότηδεύτερη ω 1 + w ω 1 = (1.4 Η(1.4 έχει τη μορφή της διαφορικής εξίσωσης του αρμονικού ταλαντωτή και έχει λύση ω 1 = A sin (w t + φ (1.41 όπου A μια σταθερά. Αντικαθιστώντας στην(1.9 παίρνουμε ω = ω 1 w Η γωνιακή ταχύτητα της σβούρας είναι λοιπόν = A cos (w t + φ (1.4 ω = (A sin (w t + φ,a cos (w t + φ,ω (1.4 Οι συνιστώσες της στροφορμής στο σύστημα αναφοράς των κυρίων αξόνων είναι και κατά συνέπεια Παρατηρούμε ότι L i = I i ω i, i = 1,, (1.44 L = (AI sin (w t + φ,ai cos (w t + φ,i ω (1.45 Σχήμα 1.6: Κίνηση των διανυσμάτων της γωνιακής ταχύτητας και της στροφορμήςστομηαδρανειακό ΣΑτωνκυρίωναξόνων. Εδώ w > δηλαδή I > I. ω 1 + ω = A [ sin (w t + φ + cos (w t + φ ] = A (1.46

1.5. Βαριά συμμετρική σβούρα 11 και L 1 + L = A I [ sin (w t + φ + cos (w t + φ ] = A I (1.47 πουσυνεπάγεταιότιοικορυφέςτωνδιανυσμάτων ωκαι Lδιαγράφουνκύκλους, ακτίνων Aκαι AI αντίστοιχα,στοεπίπεδο x y. Επομένως,στοΣΑτων κυρίων αξόνων, η γωνιακή ταχύτητα και η στροφορμή εκτελούν μεταπτωτική κίνησηγύρωαπότονκύριοάξονα zμεσυχνότητα w. Για τον προσδιορισμό της κίνησης στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς ξεκινάμε από τις σχέσεις(1.45,(1.4, με τη βοήθεια των οποίων διαπιστώνουμε ότι ω = 1 ( L I + 1 I w ẑ = 1 L I I + w ẑ (1.48 πουσυνεπάγεταιότιταδιανύσματα L, ω,ẑείναισυνεπίπεδα. Επιπλέον,καθώςηστροφορμήδιατηρείται,επιλέγουμετονένααπότουςάξονες(z I του αδρανειακούσακατάμήκοςτηςστροφορμής L L = Lẑ I (1.49 Σεαυτότοσύστημααναφοράςτα ẑκαι ωεκτελούνμεταπτωτικήκίνησηγύρω από τον άξονα z(διεύθυνση της στροφορμής. Η γωνιακή συχνότητα περιστροφήςθασυμπίπτειμετηγωνιακήσυχνότηταπεριστροφήςτουκύριουάξονα ẑ I, οποίος είναι ακίνητος στο μη αδρανειακό ΣΑ και χρησιμοποιώντας την(1.7 dẑ dt = ω ẑ = ( 1 I L w ẑ ẑ = L I ẑi ẑ (1.5 Η τελευταία σχέση συμπίπτει με την έκφραση για την περιστροφή του διανύσματος ẑ με γωνιακή συχνότητα μέτρου w = L I (1.51 γύρωαπότονάξονα z I. Κατάσυνέπεια,στοαδρανειακόσύστημααναφοράς ηδιεύθυνσητηςστροφορμήςπαραμένεισταθερήκατάμήκοςτουάξονα z I και τα διάνυσμα της γωνιακής συχνότητας εκτελεί μεταπτωτική κίνηση γύρω από τονάξοναμεγωνιακήσυχνότητα w = L/I. Μετηνίδιασυχνότηταεκτελεί μετάπτωσηγύρωαπότονάξονα z I τομοναδιαίοδιάνυσμα ẑ. 1.5 Βαριά συμμετρική σβούρα Συμμετρική σβούρα μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο. Το κέντρο βάρουςτηςαπέχειαπόσταση lαπότοσημείοεπαφήςτηςσβούραςμετο έδαφος. Να βρεθούν οι εξισώσεις κίνησης της σβούρας και να επιλυθούν (iστηνπερίπτωσηπουηγωνία Euler θείναισταθερή( θ = (iiστην περίπτωσημικρώνμεταβολώνγωνιών θ, φ 1.

1 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ Σχήμα 1.7: Μεταπτωτική κίνηση του διανύσματος της γωνιακής συχνότητας ω και του μοναδιαίου διανύσματος ẑ γύρω από το διάνυσμα της στροφορμής στο αδρανειακό ΣΑ. Εισάγοντας τις γωνίες του Euler η γωνιακή ταχύτητα παίρνει τη μορφή ( ω = φsin ψ sin θ + θ cos ψ, φ cos ψ sin θ θ sin ψ, φ cos θ + ψ (1.5 Λόγωσυμμετρίαςθεωρούμετιςκύριεςροπέςαδράνειας I 1 = I = Iκαι I ως προςτουςάξονες x,yκαι z αντίστοιχα.ηκινητικήενέργειαγράφεται και η δυναμική ενέργεια είναι T = 1 ω L = I ( ω 1 + ω I + ω = = I ( θ + φ sin θ + I ( φcos θ + ψ (1.5 Η συνάρτηση Langrange δίνεται από L = T V = I ( θ + φ sin θ + I V = m g l cos θ (1.54 Οι εξισώσεις κίνησης δίνονται από ( d L dt ψ L ψ = d ( ψ + dt φ cos θ = ( φcos θ + ψ m g l cos θ (1.55 ψ + φ cos θ =σταθερά = ω (1.56 ( d L dt φ L φ = d ( I dt φ sin θ + I ω cos θ = I φsin θ + I ω cos θ =σταθερά = B ( d L dt θ L θ = I θ = I φ sin θ cos θ I ω φsin θ + m g lsin θ (1.57

1.5. Βαριά συμμετρική σβούρα 1 Συνοψίζοντας οι εξισώσεις κίνησης παίρνουν τη μορφή ψ + φ cos θ = ω (1.58 I φsin θ + I ω cos θ = B (1.59 I θ = (I φ cos θ I ω φ + m g l sin θ (1.6 Σταθερή γωνία θ Στηνπερίπτωση θ = ητελευταίαεξίσωσηπαίρνειτημορφή Ηοποίαέχειωςλύσεις φ I ω I cos θ φ + m g l I cos θ = (1.61 φ = I ω I cos θ ( 1 ± 1 και η άκρη της σβούρας διαγράφει κύκλο ( φ(t = I ω I cos θ 1 ± 1 4mglI cos θ I ω 4mglI cos θ I ω (1.6 t + φ (1.6 Μικρέςμεταβολέςγωνιών θ, φ 1 Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να αγνοήσουμε τον τετραγωνικό όρο στην εξίσωση(1.59 ( I θ = m g l I ω φ sin θ (1.64 Παραγωζίζοντας την(1.58 ως προς τον χρόνο παίρνουμε I φ sin θ + I φ θ cos θ I ω sin θ θ = (1.65 καιαγνοώνταςτονόρο φ θέχουμε I φsin θ I ω θ = (1.66 Παραγωγίζοντας την τελευταία εξίσωση και αγνοώντας όρους ανώτερης τάξης έχουμε όπου ω n = I ω I I d φ dt sin θ I ω θ = d φ dt + I ω I ( I ω φ m g l d φ dt + ω n ( φ ωs (1.67 και ω s = m g l I ω.ηγενικήλύσητηςτελευταίαςεξίσωσηςείναι φ = ω s + C cos (ω n t + β (1.68

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ όπου Cκαι βσταθερές. Ολοκληρώνονταςάλλημιαφοράωςπροςτοχρόνο παίρνουμε φ(t = ω s t + C ω n sin(ω n t + β + φ (1.69 όπου φ μιανέασταθερά.εισάγονταςτηλύσηστην(1.66 θ = I sin θ I ω φ = C sin θ sin (ωn t + β (1.7 Ανκάνουμετηνυπόθεσηότιηγωνία θδεναλλάζειπολύμπορούμεναθέσουμε sin θ = sin θ καιναλύσουμετηντελευταίαεξίσωση θ(t = D + C sin θ ω n cos (ω n t + β (1.71 Παρατηρούμε ότι σε αυτήν την περίπτωση η άκρη της σβούρας διαγράφει κύκλο οοποίοςόμωςδιαταράσσεταιμεσυχνότητα ω n απόμιακίνησημπρος πίσω. Η κίνηση αυτή είναι γνωστή ως κλόνιση(nutation.