فصل دوم مثلثات نسبت های مثلثاتی دایره مثلثاتی روابط بین نسبتهای مثلثاتی

37 فصل دوم مثلثات نسبت های مثلثاتی دایره مثلثاتی روابط بین نسبتهای مثلثاتی

38 آخر این درس با چی آشنا میشی نسبت های مثلثاتی آشنایی با نسبت های مثلثاتی سینوس کسینوس تانژانت کتانژانت

39 به شکل مقابل نگاه کن!بگو خب که چی!یه خط کش بردار و با من بیا... زاویه دلخواه O را در نظر بگیر روی یه ضلع اون نقطه دلخواهی مثل A را درنظر بگیر و از اون خطی عمود خارج کن تا ضلع دیگر را در E قطع کند.به همین ترتیب نقاط دلخواه دیگه ای مثل B,C,D انتخاب کن و همون کارهای قبلی را انجام بده. حاال اندازه پاره خط های روی شکل را به دست بیار خب میدونم به دست نمیاری من به جات به دست آوردم.حاال به تساوی های زیر دقت کن.همانطور که میبینی این تساوی ها ربطی به جای قرار گرفتن A,B,C,D ندارد...پس هر کدام شایسته نامی برای خود هستن. 1. AE = BF = CG = OE OF OG 2. OA = OB = OC =. OE OF OG 3. AE = BF = CG =. OA OB OC 4. OA = OB = OC =. AE BF CG خب حاال به هر کدوم از این نسبت ها یه اسم اختصاص میدیم.در هر تساوی مقدار کسر ها با هم برابرند ولی خب مقدار این کسر ها به اندازه زاویه O بستگی داره.خب حاال به کسر ها ی اول اسم سینوس را میدیم و به صورت sino نشون میدیم.کسر های دوم را با اسم کسینوس نام گذاری می کنیم و به صورت COS O نشون میدیم.کسر های سوم را با اسم تانژانت نام گذاری می کنیم و به صورت tan O نشان میدیم.در پایان کسر های چهارم را با کتانژانت نام گداری می کنیم و به صورت cot O نشون میدیم. حاال برای اینکه یه کم مطلب را جمع و جور کنیم یکی از اون مثلث های قائم الزاویه را در نظر میگیریم و مطالب را به صورت زیر خالصه می کنیم.در اینجا زاویه B به جای زاویه O در شکل باالست. 1. sin B = ضلع مقابل وتر

41 2. cos B = 3. tan B = 4. cot B = ضلع مجاور وتر ضلع مقابل ضلع مجاور ضلع مجاور ضلع مقابل جدول زیر را یاد بگیر یه رابطه خوب برای تعیین مساحت یه مثلث با داشتن دو ضلع و زاویه بین آنها : S = absinθ 2 a c b a sina = b sinb = c sinc در هر مثلث داریم : یک مربع رسم کرده وبا رسم یک قطر آن اندازه نسبت های مثلثاتی زاویه 54 را بیابید..1

41 a) SIN 2 60 + COS 2 60 =? 2. مقدار عددی عبارت های زیر را بیابید. b) 1 + sin30 + cos 2 45 + 4sin30cos60 =? 3. در شکل مقابل نسبت های مثلثاتی زاویهB را بیابید. طول وتر یک مثلث قئم الزاویه 10 سانتی متر و سینوس یکی از زاویه های 3 5 است. محیط مثلث را بیابید..5 4. نردبانی به طول 8m به دیواری تکیه داده شده و زاویه ان با سطح زمین 70 درجه است. نوک نردبان تا زمین چقدر است

42 7. در شکل مقابل x,y,z را بیابید. 3. در مثلث قائم الزاویه ABC که AB وتر مثلث است اگر 30 = A و 4 = AB باشد مساحت این مثلث را بیابید..8 در مثلث ABC زاویه A=90 و 3 2 = BCو 2 = B tan اندازه ضلع BC را بیابید.

43 سکوی پرتاب موشکی در ارتفاع 20 متری سطح زمین قرار دارد.موشک تحت زاویه 70 درجه پرتاب میشود و به حرکت خودبا همین زاویه ادامه می دهد. اگر سایه موشک روی زمین 1000 متر طی کرده باشد موشک در چه ارتفاعی است و چه مقدار در خط مسیر خود طی کرده است.9 10. شخصی روبروی یک پرچم ایستاده است و به باالترین نقطه پرچم نگاه می کند زاویه دید چشمی این شخصی برابر 32 درجه است. ارتفاع چشم شخص از سطح زمین برابر 1/8 متر است و فاصله فرد تا میله پرچم برابر 54 است.طول میله پرچم را بیابید. 11. یک مهندس نقشه برداری برای اندازه گیری ارتفاع قله دماوند در نقطه ای از دامنه کوه ایستاده که فاصله آن تا نوک قله برابر 9218 متر می باشد و با دوربین خود نوک قله را با زاویه 30 درجه میبیند.اگر دامنه کوه در ارتفاع 1000 متری سطح دریا واقع باشد این نقشه بردار اندازه ارتفاع قله دماوند را از سطح دریا چه عددی گزارش می کند

44 12. در شکل زیر با توجه به مقادیر داده شده عرض رودخانه را بیابید. دایره مثلثاتی تو این درس چه خبره : آشنایی با دایره مثلثاتی تعیین نسبت های مثلثاتی زوایای 0 و 90 و 180 و 230 و 370 رابطه بین شیب خط و تانژانت زاویه برخورد

45 دایره مثلثاتی دایره ای است به شعاع واحد که جهت مثبت آن برخالف جهت عقربه های ساعت است. در نمودار زیر محور افقی محور کسینوس ها و محور عمودی محور عمودی محور سینوس ها خواهد بود همچنین خواهیم داشت:.sinθ = y B, cosθ = x B عالمت sinθ و cosθ در هر ناحیه به ترتیب از عالمت y,x به دست می آید. در شکل مقابل اندازه نسبت های مثلثاتی مضارب 90 درجه را می بینید. رابطه بین شیب خط و تانژانت زاویه m = tanθ بگیریم در این صورت m بگیریم و شیب خط را برابر θ را برابر X اگر زاویه برخورد خط باجهت مثبت محور

46 13. جدول مقابل را برای عالمت نسبت ها ی مثلثاتی کامل کنید. 15. برای هر یک از حاالت زیر یک مثال بیاورید. الف(زاویه ای که کسینوس آن مثبت و تانزانت آن منفی باشد. ب(زاویه ای که سینوس آن منفی و کتانژانت آن مثبت باشد. 14. اگر = 3 α cos وα ربع چهارم مثلثاتی باشد سایر نسبت های مثلثاتی را بیابید. 7

47 17. اگر = 2 θ sin باشد و θ در ربع دوم باشد سایر نسبت های مثلثاتی را بیابید. 7 13. معادله خطی را بنویسید که از نقطه A به طول 2 واقع بر محور افقی گذشته و با محور افقی زاویه 30 درجه بنویسید. 18. معادله خطی را بنویسید که زاویه آن با محور 54 x درجه بوده و از نقطه (0,2) بگذرد.

48.19 مقدار m را طوری بیابید که خط = 2 1)y (m + 2)x + ( 2m + با محور x زاویه 54 درجه بسازد. 20. با توجه به شکل معادله خط رابنویسید..21 اگر θ یک زاویه حاده و = 1 θ tan باشد مقادیر cos θ و sin θ را بیابید. 2.22 اگر 1 = x tan و 0 < x cos مقدار sin x را بیابید. 2

49 روابط بین نسبت های مثلثاتی چی یاد میگیری توی این درس : آشنایی با روابط بین نسبت های مثلثاتی آشنایی با تعدادی از کار برد های انها

51 روابط بین نسبت های مثلثاتی sin 2 θ + cos 2 θ = 1 cosθ tanθ = sinθ sinθ cotθ = cosθ tanθ cotθ = 1 1+cot 2 θ = 1 sin 2 θ 1 + tan 2 θ = 1 cos 2 θ 23. اگر انتهای کمان α در ربع چهارم باشد و داشته باشیم و 5 = α tan باشد سایر نسبت های مثلثاتی زاویه را بیابید. 3

51 باشد و داشته باشیم و = 3 α sin 7 25. اگر انتهای کمان α در ربع دوم باشد سایر نسبت های مثلثاتی زاویه را بیابید..24 ثابت کنید همواره رابطه = 1 x) sinx)(1 + sinx)(1 + tan 2 (1 برقرار است. را بیابید. sin 4 x cos 4 x 27. فرض کنید 2 = cosx sinx + باشد در این صورت مقدار عبارت sinx cosx

52 23. اگر = 3 cosθ 1 باشد و داشته باشیم > 0 θ tan θ cos باشد معین کنید انتهای کمان θ در کدام ناحیه است 5 a) 1+cosθ sin 3 x = 1 sinx(1 cosx) 28. درستی رابطه های زیر را ثابت کنید. b) 1 cos2 x 1+sinx = sinx

53 c) 1 cosx + cotx = tanx+cosx sinx 4 3 را بیابید..29 اگر = 3 cotx باشد حاصل sinx cosx 4 cos α = m 1 60 αو 2 30. فرض کنید باشد حدود تغییرات m را بیابید. 10 4+3 sin x 31. کمترین و بیشترین مقدار را بیابید.