جبربردارها هندسه تحلیلی جبرخطی و حساب دیفرانسیل و انتگرال :

جبربردارها هندسه تحلیلی جبرخطی آنالیز برداری و حساب دیفرانسیل و انتگرال : VETOR ALGEBRA ANALITIAL GEOMETRY; LINEAR ALGEBRA VETOR ANALYSIS ; DIFFERENTIAL AND INTEGRAL ALULUS ریاضی عمومی

جبر بردار ها : تعاریف و مفاهیم اولیه روش های تمرین ها ضرب های مختلف بردار ها هندسی تحلیلی و مولفه ای اثبات قضایاو حل هندسه تحلیلی:مباحث خط و صفحه و معادالت پارامتری منحنی های ویژه مبحث سیکلوئید ها چرخ نما و چرخ دنده ها رویه های فضائی درجه دوم. مقدمه ای بر حساب دیفرانسیل و انتگرال: توابع برداری توابع چند متغیره انتگرال های دوگانه سه گانه منحنی الخط و رویه ای. میدان های برداری سه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل گرین واگرایی دیوارژانس و استوکس : Green Divergence Sokes

جدول زمان بندی : فصل اول : جبر بردارها سر فصل خالصه زیر فصلهای مربوطه زمان T شروع درس از صفحه... Â اندازه تعريف بردار سوی همسنگي بردار صفر و غيره بردار قرينه Â A = A A... A A مفاهيم اوليه و بردار های ويژه قوانين و خواص جبری تعاريف اوليه ضرب عدد اسكالر در يك بردار - جمع و تفاضل بردارها قوانين جبری مربوطه و مفرفي يك فضای برداری... 5 ˆ دستگاه مختصات قائم معرفي بردارهای يكاني اصلي ˆi k ˆ j و - n تايي های مرتب: _ بعدیn n در فضای A... n نمايش مولفه ای بردار n و يادر فضای مختلط برای : =.n معرفي نرم و اندازه. R A A

T ضرب بردارها : - ضرب نقطه ای -ضرب عددی یا نقطه ای : خواص و کاربرد های هندسي - مؤلفه يك بردار بر بردار ديگر - قوانين جبری - اثبات قانون Do Produc توزيع پذيری و مثالهای مربوطه A B os θ تعريف : B = A. - ضرب خارجی یا برداری : خواص مفهوم هندسي سه بعدی اثبات قانون توزيع پذيری فقط با استفاده از تعريف -ضرب برداری Vecor Produc A B= A B Sin θ * ضرب سه گانه عددی = عدد = A B. A B A B - ضرب سه گانه عددی Sclr Triple Produc 5 A B Sclr Triple Produc * ضرب سه گانه برداری = بردار= Vecor Triple Produc 4- ضرب سه گانه برداری Vecor Triple Produc ترتيب ها و مثالهای مربوطه با اثبات 4

سر فصل خالصه زیر سر فصلهای مربوطه زمان براساس تعداد جلسات T 5 5 جدول زمان بندی فصل دوم : معادالت پارامتری منحنی های مسطح ویژه جالب معادالت پارامتری: پرتابه تعریف پرتابه و دستگاه پارامتری : حذف پارامتر و معادله دکارتی سهمی ما بقی این مسئله به عنوان تمرین برای دانشجویان است Projecile معادالت پارامتری: منحني های جالب دايره - بيضي - سهمي و هذلولي v cos / g v sin Hperol- Prol-Ellipse-ircle تعریف: سيكلوئيد چرخنما اپي سيكلوئيد برچرخنما و هيپوسيكلوئيد در چرخ نما معادالت پارامتری هر سه با رسم شكل و اثبات کامل. * تمرین برای دانشجو سيكلوئيدها يا چرخزاد يا چرخ نما ها : هیپو سیکلوئید 5

T4 The second degree surfces in -spce Qudric Surfces جدول زمان بندی 4 فصل سوم : رويه های درجه دوم فضائي صفحه و معادله جبری درجه دوم 5 ساده ترين فرم رويه فضائي c d c d e g h k l تعريف استوانه در حالت کليمحور مولد منحني هادی در صفحه ای که شامل محور و مولد نباشد - استوانه های مستدير- بيضي وار - سهموی - هذلولوی - تعيين روش ترسيم و 5 توصيف با ظاهر نشدن يكي از متغير های در معادله استوانه. 5. c... c استوانه linder کره sphere رويه زير را ترسيم و توصيف کنيد c R Algeric Qudric Equion 5 بيضي گون Ellipsoid را ترسيم و توصيف کنيد کره داخل يك مكعب مستطيل به ابعاد قطع رويه فوق با صفحات R c c و توضيح هندسي کره با معادله به دست آمده : c 6

T4 5 رويه c را ترسيم و توصيف کنيد هنگامي که =c يا = يا =c ادامه جدول زمان بندی 4 بیضی گون دو ار Roing Ellipsoid رويه های فضائي 5 رويه مخروط بيضي وار قائم را ترسيم و توصيف کنيد c مخروط مستدير قائم : =... مخروط one 5 c c رويه را ترسيم و توصيف کنيد رويه را ترسيم و توصيف کنيد Hperoloid of one shee هذلولیگون یکپارچه وهذلولیگون دو پارچه Hperoloid of wo shees 7

T4 ادامه جدول زمان بندی 4 c سهميگون بيضي وار رويه را ترسيم و توصيف کنيد c Proloid Ellipic رويه سهميگون هذلولي زين اسب Proloid Hperolic را ترسيم و توصيف کنيد 5 انتقال رويه مثال: را ترسيم و توصيف کنيد رويه مثال: را ترسيم و توصيف کنيد ماتريس دوران به اندازه α درجه محورها دوران و محورها cos sin ' sin cos ' در حل مسا یل مربوط به دوران محور ها معموال از 45 α استفاده میشود 8

T5 جدول زمان بندی 5 فصل دوم : مختصات فضائي 6 r تعريف روش نقطه يابي - منحني های استاندارد : خم ارشميدس = r دايره بشعاع r دلنما : rdioid r cos خانواده منحني های r cos. لی ماسون r sin لمینسکات : دایره ها : مماس بر محور ها در مبدا r cos r sin تعميم قطبي به استوانه ای با اضافه کردن محور Z در قطب عمود برصفحه قطبي - تفسير کامل هندسي و رسم چند رويه - روش ترسيم و توصيف رويه های فضائي با توجه به عدم حضور يك متغير در معادله آنها تفسير وترسيم ميشوند. r r / 4 دستگاههای همزمانی : هيليكس مستدير و هيليكس مخروطي r e مثال : دستگاه مختصات قطبی Polr oordines خانواده منحني های لي ماسون دستگاه مختصات استوانه ای lindricl oordines هیلیکسمستديرو قائم Heli 9

T5 4 4 مثال:رويه را ترسيم مثال:رويه ln را ترسيم مثال: cos 4sin مثال : مثال: و را ترسيم و r را ترسيم و را ترسيم توصيف و توصيف توصيف توصيف و توصيف کنيد کنيد کنيد کنيد کنيد یا توروس Torus چنبره در حالت کلي r f * مثال: ويا : ادامه مختصات استوانه ای اهميت محور تقارن و و... * تعريف مختصات رسم مكان های روابط *توضيح با يكديگر. r cos مختصات کروی Sphericl oordines. اهميت مرکز تقارن مثال:معادالت کروی که در آنها دو مختص ظاهر مي شوند. cos cos r c r 4 r sin r r cos c ادامه جدول زمان بندی 5 فصل دوم مختصات استوانه مختصات کروی و مثالهای مربوطه :

T فصل اول : - مفاهیم اولیه جبر بردارها : همسنگی الف ب تمرین: تعریف : بردار - کالس های هم ارزی قوانین جبری = جمع بردارها تفاضل بردارها بردارسوی ضرب عدد در بردار- بردار های ويژه : بردار صفر و قرينه... A µ اگر نقطه پاره خطAB را به نسبت تقسيم کند آنگاه نشان دهيد : O OA OB : یاد آوری : دستگاه قائم تحلیل کامل مختصات دکارتی نقطه بردار مکان یک نقطه در فضای حقیقی سه بعدی یا اندازه یک بردار بردار واصل دو نقطه λ B A A P : اثبات و نما یش برداری یک پاره خط مفروض - مفروض و فقط با استفاده از مفاهیم فوق الذگر: ^ ^ P PP i j P k ^ n ₁ ₂ n : تعریف کامل - یک تائی مرتب به عنوان بردار یا عنصری بصورت n

: چند نکته مهم برای روشهای حل مسائل مربوط به مفاهیم اولیه روش هندسی و روش مولفه ای روش هندسی : برای حل مسائل با روش هندسی می بایست فقط و فقط از مفاهیم و تعاریف اولیه بردار ها و خواص جبری آنها استفاده نمود. دو مثالی که در صفحه قبل بیان شده را با روش هندسی حل کرده ایم. روش مول فه ای یا دکارتی و بردار های اصلی یکانی نکته : درحل مسائل برداری با روش مولفه ای در واقع از سیستم مختصات دکارتی ا ستفاده می گردد. توجه کنید که تا کید ما بر کاربرد روش های باال در حل یا اثبات مسائل وقضایای برداری به دلیل این است که درهر معادله یا همسنگی طرفین یک تساوی در یک عبارت برداری بطور کلی ویا بطور خاص مانند: اثبات قانون توزیع پذیری ضرب خارجی بردارها معموال مشاهده میشود که ˆ j kˆ تحلیل موضوع اصلی هر مسئله یا قضیه فقط بوسیله روش هندسی و با استفاده ازمفاهیم و تعاریف اولیه می بایست انجام شوند و نه به روش دکارتی زیرا روش هندسی اثبات قضایا یا قوانین برداری قبل از روش دکارتی انجام شده. iˆ

نکته از نظر تاریخی پدیده مختصات دکارتی مهم ترین ابزار محاسباتی و آسان سازی حل و اثبات بسیاری از مسائل برداری در ریاضیات است. ولی در اثبات قوانین و قواعد جبری و یادر اثبات برقراری طرفین یک تساوی بطور منحصر نمی توان فقط از روش مولفه ای استفاده نمود. زیرا بدیهی است که در یک قانون یا یک قاعده به عنوان یک مفهوم اولیه روش دکارتی می بایست همواره درستی آن قانون را نقض نکند. زیرا که: اوال: خود سیستم دکارتی بر پایه همین قواعد وقوانین پایدار است. ثانیا: اگر روش دکارتی یا مولفه ای جواب ندهد اشکال کار نمی تواند از قانونی باشد که که بوسیله مفاهیم اولیه تا ئید شده است بلکه ممکن است در اجرای محاسبات و عملیات جبری مربوطه که گاهي مي توانند طوالني و پيچيده باشند اشتباهی رخ داده باشد. به مثال ها وتمرین های زیر توجه کنید : برای درک کامل تر می توانید به اثبات فرمول قانون توزیع پذیری ضرب برداری و ضرب برداری سه گانه در صفحات بعد بدقت توجه کنید. در ادامه نمونه هائی از مسائل را ارائه میدهیم که در حل آنها فقط از روش های هندسی یعنی تعاریف ومفاهیم اولیه استفاده می شود :

مسئله راهنمائی:. مثلث را بهم وصل که نقاط مياني دو ضلع مثلث با روش هندسي بردار ها نشان دهيد پاره خط DE B مي کند نصف ضلع سوم مثلث است یعنی : AB و AB در ميان و را با نقاط AB A DE E D در نظر بگيريد و با استفاده از جمع بردارها مسئله را حل کنيد. مسئله به روش هندسي نشان دهيد اقطار يك متوازی االضالع منصف يكديگرند. فرض کنيد نقطه پاره خط AB را به نسبت : : آنگاه به روش هندسي نشان دهيد که : تقسیم می کند. مسئله حل مسئله فوق در حالت کلی : مسئله 4 فرض کنید بردار مکان نقاط و نسبت به مبدا به ترتیب بردار های و باشند. نشان دهید بردار : يعني بردار مكان نقطه پاره خط را به نسبت تقسيم مي کند. باشد آنگاه بردار ميانه خط را بر حسب بردار های و بنويسيد. A O B O OA OB B A AB AB همچنين اگر اين نقطه نقطه مياني AB O هر يك از سه بردار داده شده را بصورت مجموع ضرايبي يا ترکيبي خطي از دو بردار ديگر بنويسيد : = ₁ ₂ = ₁ ₂ c = c₁ c₂ مسئله : 5 4

4 به مسائل و و مثال در صفحه توجه ویژه نمائید. زیرا همگی با جمع و تفاضل بردار های شکل فوق حل می شوند. ما نند مثال در صفحه را که در واقع بصورت عبارات زیر می توان حل نمود. توجه : اگر مقادير را به صورت زير انتخاب کنيم نتيجه ای که بدست مي آيد را مي توان براحتي برای هنگامي که نقطه در میان خط AB قرار گيرد و يا برای بردار میانه یک مثلث استفاده نمود: چطور =تمرين A O OA [ ] B O OB : راهنمائي مسئله 5 حل بصورت جبری است و براحتي بوسيله حل يك دستگاه دو معادله و دو مجهول انجام ميشود. 5

ضرب داخلی دو بردار : بردار A و B و زاویه بین آنها را در نظر می گیریم آنگاه با توجه به شکل زیر میتوان مشاهده نمود که جواب این نوع ضرب یک عدد حقیقی است نقطه ای یا داخلی نیز می نامند. بنابراین این نوع ضرب را ضرب عددی A B > یا = یا < حال با توجه به تعریف این ضرب میتوان قضایا نکات و نتایج زیر را به آسانی اثبات نمود : - دو بردار بر هم عمودند اگر وفقط اگر ضرب داخلی آنها برابر صفر باشد. B = - قانون جابجائی در ضرب داخلی برقرار است. - اگر سه بردار A = A و را در نظر بگیریم آنگاه : و = c c c الف ضرب نقطه ای دو بردار برابر است با مجموع حاصل ضرب مولفه های متناظر دو بردار. ب اگر عدد R ج قانون توزیع پذیری آنگاه A = A B. A. B. 6

مثال ها تمرین های مختلف مربوط به ضرب داخلی : آنگاه : فرض کنیم بردار های مثال: نشان دهيد بردار بردار نيمساز دو بردار و است. راهنمائی: با تشکیل و براحتی می توان نشان داد که بردار نیمساز است. مثال: همچنين براحتي مي توان با ضرب داخلي نمايش داد که بردار و عمود مي باشند در جائي که : تمرین : v :... به ازای چه مقداری از دو بردار باهم موازيند نشان دهید که در یک متوازی االضالع با دو ضلع مجاورش و رابطه زیر برقرار است: مساحت متوازی االضالع v N w v iˆ و ˆj ˆ 4iˆ 5 ˆj. v. v w sin... : سمت راست وچپ تساوی فوق را تحلیل هندسی نمائید. با متوازی االضالع مقایسه شود. 7

برخی کاربرد های مهم ضرب داخلی : مفاهیم و فرمول های مربوط به و مولفه تصویر یک بردار بر برداری دیگر : بر بردار غیرصفر B از انتهای و ابتدای بردارA خطی عمود : با توجه به شکل صفحه قبل برای بدست آوردن مولفه بردار A - بر امتداد بردار B رسم کرده ایم. درشکل مشاهده میشود که بردار O روی امتداد بردار B نمایان می گردد. اندازه بردار O را مولفه Aبر بردار B می نامند وآنرا با حرف p نمایش میدهند. O proj proj A B A B B p B A B. B. B A B. B p B O B B تصویریک بردار بر برداری دیگر : - 8

وA خواص ضرب داخلي : قانون توزیع پذیری در ضرب داخلي:...{ M N P A B. A. B. مولفه بردار B A بر = مولفه A بر مولفه B بر MP = MN + NP <=> نتیجه مهم: برای سه بردار هم صفحه وB همیشه می توان یکی از آنها را بر حسب دو تای دیگر نوشت. برابر ترکیب خطی از دو تای است. ویا یکی از بردار ها A B A θ c or B A projb A. B A proj A B. B مثال : یک لوزی متوازی االضالع است اگر و فقط اگر اقطارش بر هم عمود باشند. 9

مثال : برای نقاط نقطه P 4 P 5 داشته باشند : P i طوری که 45=i شرطي بدست آوريد که دو در يك طرف صفحه M تعریف مختصری که در صفحه قبل برای مفاهیم مولفه و تصویر یک بردار بر برداری دیگرارائه شد با ذکر مثال های زیر کامل تر خواهند شد. در واقع این مثال ها کاربرد این مفاهیم را در حل برخی مسائل کاربردی نشان می دهند. شامل سه نقطه ديگر قرار M P بنابر شكل روبرو شرط مورد نظرميبايست به صورت نا مساوی زير باشد PP.N PP.N 4 N N 5 تمرین اعداد مثبت يا منفي P P 4 P P 5 و بردار های : اثبات نامساوی فوق را با استفاده از مفهوم حاصل ضرب دو مولفه بر بردار عمود بر صفحه يعني N بيان کنيد.

در مثال زیر این موضوع مهم مطرح می شود که بسیاری از مواقع نیاز است که یک بردار مفروض را بصورت مجموع دو بردار دیگر بنوسیم که یکی موازی و دیگری عمود بر امتداد و جهت بردار مفروض باشد. فرض کنید می خواهیم برداری مانند i + j را بر حسب مجموع دو بردار و بنویسم طوری که i + j موازی بردار مثال : باشد و عمود بر باشد. حل : این مسئله را به دو روش زیر حل می کنیم : الف: = i + j = i - j...وو و ب : روش دوم با استفاده مفاهیم اولیه است. یعنی دو بردار موازی یا ضریبی از یکدیگرند و یا نسبت مولفه های متناظردو بردار موازی برابر یک مقدار ثابت اند. بنابراین: = j = i + j. +i از این دو تساوی و با توجه به اینکه می خواهیم + = i j+ باشد می توان نتیجه گرفت که: با ضرب نقطه ای طرفین تساوی اخیر در j i + براحتی می توان بدست آورد که =. بنابراین: = i + j = i-j و = i + j

مثال: زوایای هادی ^ ^ j ck مفروض بردار A با بردار سوی آن یعنی : ^ i u cos i ^ cos j ^ ^ cos k را در نظر بگیرید. با توجه شکل زیر نشان دهید که " مجموع مجذور کسینوس های هادی برابر است. î kˆ u ĵ î ĵ... c در سوی بردار ˆk... A A cos cos مولفه بردار A ^ i ^ u A A cos ^ j ^ c k A. i A cos A. cos cos ^ ^ j A cos ^ A. k A cos c c c cos c c

ضرب خارجی : دو بردار û ᶱ مفهوم فضائی ضرب خارجی دو بردار برداریست عمود بر صفحه شامل دو بردار. اثبات قانون توزیع پذیری A B A: ضرب خارجی و تفسیر فضایی آن. در حالت کلي سه بعدی و بدون استفاده ازبردارهای B = B = و يا مختصات دکارتي راهنمای کامل اثبات اين قضيه را با توجه به شكل روبرو در صفحه بعد مطالعه نمائيد. روش مولفه ای: اگر دو بردار زیر را در نظر بگیریم c A B فقط به روش هندسی و با استفاده از تعریف B B ᶱ A B A B ^ ^ = ^ k j i A= و B = به صورت دترمینان A B : A B S مساحت = متوازی االضالع A B کاربرد هندسی :

4 تابثا لیمکت تهج رد یجراخ برض یریذپ عیزوت نوناق یواست زا هطوبرم لکش هب هجوت اب دش هتفگ لبق هحفص رد هک یاه یاه یگنسمه دیسیونب لماک روطب ار روکذم نوناق تابثا یسدنه شور هب طقف و دینک هدافتسا ریز : B B B Sin و B A B A B Sin A B B B Sin A B A A A B B A B B A A B B A B B A A B B A B B B A B A A A A B B A A B A B A

B قانون سینوس ها در مثلث : مثال : رابطه زوایا واضالع یک مثلث بصورت فوق را می توان با این خاصیت که مساحت c A یک مثلث برابر نصف مساحت متوازی االضالعی است که از همان مثلث ساخته می شود اثبات کرد. تمرین : قانون کسینوس ها را اثبات کنید. sin A sin B sin c و رابطه زیر برقرار است: تمرین : نشان دهید که در یک متوازی االضالع با دو ضلع مجاورش بصورت بردار های تمرین : سمت راست وچپ تساوی فوق را تحلیل هندسی نمائید. 5

6 4 5 sin ˆ ˆ 5 ˆ 5 ˆ ˆ 6 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S : -لاثم هیواز مه اب یناکی رادرب ود.دنزاس یم هجرد دیریگب رظن رد ار علاضا زا لکشتم یثلثم. ˆ ˆ ˆ ˆ ثلثم تحاسم :لح : - لاثم رادرب هس ره یارب : تسا رارقرب یگنسمه. لح : نیرمت : - لاثم رارقرب یگنسمه هحفصمه راد رب راهچ ره یارب تسا. لح : دینک تابثا هیلوا میهافم زا هدافتسا اب. : -4 لاثم دیهد ناشن - لح نیرمت. : -5 لاثم هک تفرگ هجیتن ناوتیم هناگ هس یرادرب برض فیرعت زا یتحارب : و... :-6 لاثم درب ناوت یم هاگنآ دنشابن هحفصمه ای دنشاب لقتسم رگیدکی هب تبسن دننام رادرب هس قوف رادرب راهچ زا رگا را :ینعی تشون روکذم رادرب هس زا یطخ بیکرت تروصب ناوتیم ار دننام یمراهچ هک ییاج رد : لح : نیرمت ] [ ] [ ] [ c c c d c d c c..... c d d c d c d c d c c d d c ]. [ ]. [ ]. [ ]. [ ]. [ ]. [ d c c d d c d c d c d c c d c d d c d c...... d c

= o c A B d c برخی مسائل برداری با روش زیر حل می شوند : c است. c c d مثال: d نشان دهید بردار بر صفحه گذرنده از نقاط A و B و عمود d و AB B حل : و مثال: می خواهیم اندازه مجموع بردارهای یعنی را بیابیم اگر داده ها بصورت زیر باشند و برای حل مسائلی این چنین می بایست رابطه ای بین اندازه های داده شده بدست آورد. لذا از خاصیت مجذور اندازه یک بردار برابر است با ضرب داخلی همان بردار در خودش" : می توان استفاده نمود = =...= 7

وA = و 4 ضرب عددی سه گانه فرض کنید : را مي توان بوسيله دترمينان نمايش داد. آنگاه A. B براحتي از نتيجه فوق و با جابجايي سطر های دترمينان مي توان نشان داد که جابجائي و تغيری در حاصل پديد نمي آورد. α A. B A. B وB کاربرد هندسی ضرب برداری سه گانه : : حجم متوازی االسطوح برابر است با : A B A. B B. A 5 = اثبات : فرض کنید : فرض کنید : 8

D تساوی زير برقرار است : B D A. B مثال : نشان دهيد برای چهار بردار دلخواه A B. D. D A. B A. حل : عبارت سمت چپ تساوی فوق را بصورت ضرب عددی سه گانه در نظر گرفته و سمت راست را مطا بق تعريف بر حسب تفاضل دو عبارت نوشته وآنگاه براحتي مي توان به دترمينان دو در دو سمت راست دست يافت. : تمرین باروش های هندسی یا مولفه ای تساوی زیر را اثبات کنید : vˆ cosiˆ sin ˆj اثبات نمائید. تمرین : برابر : با توجه به هرم روبرو با شش یال و چهار را س نشا ن دهید که حجم آن و را با شرط زیر در نظر w u v sin uˆ cos iˆ sin ˆj تمرین : بردار های موضع : بگیرید :. آنگاه : فرمول sin cos sin cos V u 6 v w 9

معادله دکارتی و دستگاه معادالت پارامتری خط : مقدمه : خط را بصورت ساده ترین فرم از منحنی ها در نظر می گیریم. بنابراین در این مبحث از بردارها دستگاه معادالت پارامتری یک منحنی در حالت فضائی را معرفی می کنیم. منحنی های مسطح و منحنی های فضائی را می توان به ترتیب بصورت مکان هندسی مجموعه ای نا متناهی از نقاط در صفحه فضای دو بعدی و در فضای سه بعدی تجسم نمود. { / f } - در این سطح ازدانش هندسه عموما با گزارة یا نماد ریاضی : آشنائی دارید. معادله دکارتی f در واقع همان مکان هندسی مذکور است که می توان آن را به عنوان شرط اصلی چینش بی نهایت نقاط روی منحنی مسطح یا متعلق به مجموعه فوق در نظر گرفت. - در حالت منحنی های فضائی همچنین مکان هندسی نقاطی است که مختصات آنها می بایست شرائط مورد نیاز قرار گرفتن روی منحنی را بطور همزمان دارا باشند. در این حالت خط که ساده ترین فرم منحنی هاست را خواهیم دید که براحتی می توان بصورت معادله دکارتی نمایش داد. در بخشی دیگر نتیجه می گیریم که این معادله خط در واقع معادله فصل مشترک حداقل سه صفحه می باشد. از همین خاصیت می توان بصورت تجسمی مشاهده کرد که :

الف در این قسمت به برخی از اصول و مفاهیم اولیه هندسه اقلیدسی در ارتباط با خط می پردازیم : از یک نقطه بی نهایت خط عبور می کند. روی یک خط بی نهایت نقطه وجود دارد. از دو نقطه یک و تنها یک خط عبور می کند. 4 دو خط تنها وتنها در یک نقطه متقاطعند. 5 یک خط فصل مشترک حداقلدو صفحه است. 6 یک صفحه فقط و فقط شامل دو خط نا متنافرند. 7 حداقل سه نقطه یک صفحه منحصر بفرد پدید می آورند. 8 یک خط و یک نقطه غیرواقع بر آن یک صفحه منحصر پدید می آورند. 9 اصل توازی از یک نقطه خارج از یک خط فقط یک خط موازی خط اول می توان رسم کرد. تعریف: اگربه کلمات در جمالت =6 دقت کنیم یک نظم ویژه در تبدیل یک گزاره به گزاره متناظرش وجود دارد. در جمالت و در واقع جابجائی کلمات نقطه و خط وهمچنین حفظ قاعده دستور زبان سازگاری هندسی گزاره ها را خدشه دار نمی کند. این خاصیت را اصل دوگانی نامند. Duli Principl of ب در مختصات دکارتی دو بعدی و یا در صفحه درنظر می گیریم : برخی معادالت خط درحالت کلی را که با آنها آشنائی دارید { c c c } ج روش های مختلف برای توصیف معادله سازی تحلیل و ترسیم منحنی ها در منابع مربوطه و در دوران مختلف بررسی و مطرح شده است. یا مکان ها ویا نمودار های هندسی

در هندسه اقلیدسی و در هندسه های مدرن دیگری که طی چند قرن گذشته تحت عنوان شده اند بغیر از اصل توا زی همگی در مابقی اصول دیگر مشترکند. نا اقلیدسی طرح اقلیدس اصل توازی خود را بعنوان یک قضیه طرح نمود. بعد از او بمدت سال ریاضی دانان سعی Euclid در اثبات آن کردند. تا قرن هجدهم که در هندسه تصویری Geomer Projecive قضیه بودن اصل توازی حذف گردید. بدین معنا که کلیه خطوط موازی نیز با معرفی نقاط خطوط و صفحات واقع در بی نهایت قطع می کنند. یکدیگر را در یک نقطه در بی نهایت مفاهیم اولیه در هندسه Poin A Infini نظیر: نقطه خط و صفحه پدیده های کامال محض یا مجرد می باشند به عبارتی موجود خارجی یا قابل لمس و مشاهده نیستند. ابزاری که فقط برای تجسم آنها مورد نیاز می باشند عبارت است از: یک لبه راست و یک پرگار. Srigh Edge nd ompss خط یا لبه راست LINE Srigh Edge OR تعریف : خط مجموعه ای از بی نهایت عنصر به نام نقطه است که در یک امتدادراست میباشند. با توجه به گزاره ها و اصول فوق الذکر در این بخش که با مفهوم بردار ها در فضاهای حقیقی سر و کار داریم برای معرفی معادله یک خط نیاز به یک نقطه و یک راستای مفروض که شامل نقطه و موازی برداری مفروض است. بنا براین به طرح و حل مسئله زیر نی پردازیم :

مقایسه معادالت منحنی در حالت کلی و خط بعنوان ساده ترین منحنی در فضا : A P مسئله : معادله خطی را بیابید که از نقطۀ مفروض بگذرد و P موازی بردار مفروض باشد ^ ^ ^ i j k PP PP A PP A... ^ ^ ^ i j c k A P L : R c P P L A c مسئله فوق به عبارتی دیگر : خط L مکان هندسی نقاطی مانند P است که شامل c و موازی بردار مفروض P نقطه مفروض می باشد یعنی همان بردار هادی. مسئله : معادله منحنی B که مکان هندسی نقاطی مانند P است که مختصات آن در دستگاه معادالت پارامتری زیر صدق می کند در واقع یک حالت کلی از معادله از خط L سمت راست است. بدیهی است که به ازای هر عدد حقیقی یا پارامتر یک نقطه متناظر با یکی از بینهایت نقاط منحنی بدست می آید. و بر عکس می توان گفت که : هر نقطه از منحنی متناظر است با یک عدد یا پارامتر :... A B A A c

حذف پارامتر از دستگاه فوق و نتیجه گیری معادله دکارتی خط حذف پارامتر از دستگاه معادالت یک منحنی لزوما به یک معادله دکارتی مانند معادله خط منتهی نمی گردد. : L در معادله پارامتری خط براحتی می توان نشان داد که پس از حذف پارامتر معادله دکارتی خط بصورت زیر پدید می آید : c L همانطور که مشاهده نمودیم در واقع معادله دکارتی خط نشان می دهد که P می گذرد و با بردار هادی خود از نقطه یعنی A c موازی است. روشی دیگر برای تجسم هندسی یک خط را در بخش بعدی که مربوط به صفحه است می توان بطور کامل تر مشاهده نمود. در این بخش فقط بصورت شهودی به پدیده منحنی به عنوان فصل مشترک دو رویه غیر مسطح یا آسان تر: خط به عنوان فصل مشترک دو صفحه می نگریم. با توجه به مثال زیر میتوان رویه هائی که از برخورد آنها منحنی مورد نظر پدید آمده را بدست آورد : مثال: از دستگاه معادالت پارامتری منحنی زیر : cos : sin π و با حذف پارامتر : : منحنی مذکور فصل مشترک استوانه و صفحه است. یعنی دایره. 4

دو خط متنافر: یکی از کاربرد های مهم فاصله دو خط متنافر به صورت: مولفه بردار P دو نقطه دلخواه روی عمود است. وP در سوی بردار باشند مولفه یک بردار بر برداری دیگر در جائي که N بر دو خط متنافر N : P P وLL L وL h l l. l l PP مثال : نشان دهيد دو خط آنها را بيابيد متنافرند و آنگاه کوتاهترين فاصله بين P L P L L ˆj kˆ L L : L ˆ i ˆj : PP kˆ h iˆ ˆj kˆ حل : 5

4- معادله صفحه : P گذشته و بر يك بردار مفروض N باشد. عمود iˆ j ˆ ckˆ معادله صفحه ای که از نقطه مفروض P N i j ck P P P. N c d d c کند. مثال : معادله صفحه ای را به دست آوريد که از سه نقطه P عبور P P N P N PP P P P P d : مفروضند : تمرین : صفحه p : و خط الف نشان دهيد و متقاطعند و نقطه تالقي آنها را پيدا کنيد. ب معادله تصوير قائم d بر p يعني خط d يا بردار d را بيابيد p d 6

فصل مشترک دو صفحه و بردار فصل مشترک دو صفحه معادله دکارتي خط يعني را در نظر بگيريد. هر کدام از کسرها رابا c بصورت زير نمايان ميشوند : A B نام گذاری کرده با تساوی جفت های سه کسر سه صفحه M M M M c c M : M : : c c 4 مثال فصل مشترك دو صفحه را بيابيد N N iˆ ˆj بردارهای فصل مشترك ˆk P L : A B : L A A B خط فوق در واقع فصل مشترک سه صفحه است. عکس مثال فوق : مثال:.این صفحه یکی از صفحات صورت مسئله است بطور کلی : " از معادله دکارتی یک خط می توان حداقل سه صفحه گذرنده از آن خط را بدست آورد. خط فصل مشترک 7

زاویه بین دو صفحه : N حاده زاويه بين دو صفحه را زاويه بين دو صفحه در نظر مي گيرند. N M M مثال: را زاويه بين دو صفحه بيابيد N. N N N cos cos 4 9 DR. A. R. Sdeh 8

فاصله یک نقطه تا یک خط: فاصله خارج از صفحه قرار دارد آنگاه c P h P N d N P نقطه تا صفحه بصورت کسر زير است : c d h c با توجه به شکل روبرو براحتی می توان مشاهده نمود که " N سوی بردار Pدر P برابر " مولفه بردار h P OP V V : مثال: نشان دهيد که فاصله مبداء تا خط که از نقطه P بموازات بردار مفروض V رسم شده برابربا L V V h o V P V L Vˆ h OP Vˆ sin OP h h V OP OP V V V 9

نیرمت : و طخ ود هكنيا یارب يفاک و مزلا طرش رفانتم هک تسنآ دنشاب : L : c c c : L c c c 4

دستگاه معادالت پارامتری منحنی های ویژه جالب اشاره هائی که در صفحه در باره این مبحث در حاالت کلی مسطح یا فضائی برای منحنی های پارامتری انجام شده را در این بخش به برخی منحنی های ویژه مانند هیپوسیکلوئید پرتابه تمرین چرخزاد سیکلوئید برچرخزاد اپی سیکلوئید و درچرخزاد تعمیم میدهیم : تعریف: روش عمومی برا ی یافتن معادله پارامتری این گونه منحنی ها بر این اساس است که تجسم کنیم یک نقطه طبق تعریف داده شده آن منحنی در صفحه حرکت می کند. آنگاه مسیر حرکت آن نقطه در صفحه که در واقع همان منحنی ویژه است میبایست با تغیر یک پارامتر مناسب انتخابی که باید مبی ن حرکت آن نقطه باشد ترسیم گردد. بنابراین توضیح ابتداء این روش را برای امتحان می نمائیم : بدست آوردن دستگاه معادالت پارامتری دایره ای به شعاع مثال: در شکل روبرو پارامتر مناسب که مبی ن حرکت یک نقطه روی دایره ای به شعاع باشد را زاویه θ در نظر می گیریم. سپس مختصات آن نقطه را بر حسب پارامتر انتخابی از روی شکل بدست می آوریم : - تمرین مهم : دستگاه معادالت پارامتری پرتابه را بطور کامل بنویسید. P θ M = osθ = Sinθ ν ν = پارامتر= زمان 4

مثال: همچنین بصورت مشابه دستگاه معادالت پارامتری بیضی بشعاع های و عبارت است از : = os θ P = Sin θ نکته: معموال با حذف پارامتر از برخی دستگاه ها می توان θ به یک معادله دکارتی استاندارد دست یافت. بدیهی است M در مثال های فوق براحتی این تبدیل جبری-هندسی قابل مشاهده است. ولی منحنی های ویژه ای مانند سیکلوئید ها چرخزاد یا چرخ نما ها وجود دارند که حذف پارامتر از معادالت آنها نه کارائی دارند و اگر هم بتوان به معادله دکارتی آنها رسید معادالتی پیچیده پدید می آیند. تعریف: نقطه M را بصورت ثابت یا چسبانیده روی محیط دایره ای با شعاع در نظر بگیرید. دایره را مانند یک چرخ فرض کنید که در صفحه روی محور ها شروع به چرخش کند بدون لغزش یا س ر خوردن و شروع حرکت را طوری تنظیم کنید که نقطه M از روی مبداء در شروع حرکت جدا شود. آنگاه مسیری که نقطه M در اثر غلتیدن دایره یا چرخ در صفحه می پیماید را چرخ نما یا چرخ زاد cloid نامند. P θ o M A B o 4

اثبات : با توجه به شکل سیکلوئید و مختصات نقطه P روی آن که متناظر با پارامتر θ می باشد بدیهی است که : = MB - AB MB کمان = پاره خط PB = θ و AB = P = Sin θ یعنی : دستگاه مورد نظر بصورت: = θ - Sin θ = B = O B - O = - os θ = - os θ است. 4

Epiccloids بر چرخ نماها اپی- سیکلوئید: M A B تمرین: - از روی شکل مشابه چرخ نما در جایی که در این حالت چرخ غلتان روی دایره ثابت با شعاع بدون لغزش می چرخد مسیر نقطه M را اپی سیکلوئید نامند. مطلوبست دستگاه معادالت پارامتری این θ منحنی ویژه. F D N P راهنمائی: در میان برهان از تساوی دو کمان NM و NP α O θ استفاده نمائید یعنی : 44

رویه های فضائی با معادالت جبری درجه دوم 45

رویه های درجه دوم فضائی : با معادله جبری درجه دوم در حالت کلي زير نمايش داده مي شوند و : مكان بصورت P هندسي بي نهايت نقاطي است مانند که در معادله زير صدق مي کنند F c d e f g h kl نکته مهم:در معادله درجه دو حقیقی به عنوان مثال : شرایط حقیقی بودن ایجاب می کند که همگی ضرایب نمیتوانند باهم یک معادله حقیقی نیست. در معادله درجه دو ترم وجود صفر باشند. طوری که همگی 9 مولفۀ در فضای حقیقی c... دارد. به عبارت دیگر تائی مرتب l اول آن صفر نباشند را می توان بصورت یک رویه فضائی در در نظر گرفت. n در جائی که : {... / i... n} n i 46

با معادله c : ساده ترین رویه فضائی است d که در معادله درجه دو فوق قرار دارد. - صفحه Plne براحتی می توان مشاهده کرد که معادله صفحه نیز در معادله درجه دو جبری مستتر است. همچنین آن بصورت : تائی مرتب... g h k l نمایش داده می شود. و یا... c d در بخش جبر بردارها مفاهیم اولیه مربوط به: نقطه خط و صفحه را مطرح نمودیم. در باره صفحه مشاهده شد که برای بدست آوردن صفحه کافی است یک نقطه مفروض که صفحه از آن عبور کند و یک بردار مفروض که صفحه بر آن عمود باشد را در دست داشته باشیم. linder 47

مولد است که روی به خط محور و g l استوانه linder ها در حالت کلی : تعریف : منحنی هادی مسطح بسته یا باز l موازات حرکت می کند : به موازات l استوانه را تولید می کند. حرکت مولد روی با توجه l g 48 به تعریف کلی استوانه منحنی هادی یک استوانه می تواند هر نوع منحنی مسطح باشد بنابراین بی نهایت استوانه وجود دارد که کافی است : و و آنها را شناسائی کنیم. روش های مختلف : درک تجسم توصیف و ترسیم رویه های استوانه ای : تعریف استوانه آشکار می سازد که : وجود منحنی هادی در واقع تجسم و موجودیت یک استوانه را امکان پذیر می سازد الف- بدون معادلۀ دکارتی یا پارامتری منحنی مسطح هادی تجسم توصیف و ترسیم ناممکن است. ب - بنابراین با در دست داشتن فقط معادله منحنی و محور رویه استوانه بوسیله دوران یک خط راست مولد روی منحنی و بموازات محور استوانه قابل ترسیم خواهد شد. ج - در نتیجه اگر بخواهیم در رابطه با رسم و توصیف معادلۀ رویه ای که استوانه را پدید آورد مسئله ای را طرح کنیم می بایست به نکات زیر توجه و دقت نمائیم :

در واقع ساده ترین فرم های استوانه ها آنهائی هستند که : - محورشان یکی از محور های مختصات باشد. - منحنی هادی آن ها یک از چهار منحنی مقاطع مخروط یعنی دایره بیضی سهمی ویا هذلولی باشند که در یکی از صفحه های مختصات یا صفحه های موازی صفحه های مختصات باشد. - استوانه هائی که محورشان محور Z باشند را استوانه های قائم linder Righ نامند. بدین سبب که قائم بر صفحۀ XY هستند. استوانه های ویژه : استوانه مستدیر - استوانه با منحنی هادی دایره را irculrنامند linder. نامند. نامند. Ellipic linder Prolic linder - استوانه با منحنی هادی بیضی را را استوانه بیضی وار - استوانه با منحنی هادی سهمی استوانه سهمی وار نامند. Hperolic linder استوانه هذ لو لوی 4- استوانه با منحنی هادی هذلولی را 49

مقایسه دو روش برای تجسم توصیف و رسم استوانه ها روش تحلیلی- تجس می بنا بر معادله رویه معادله درجه دو گیریم. را در نظر می همانطور که در سمت راست این ستون مشاهده روش جبری با توجه به معادله رویه معادله درجه دو می گیریم. می نمائیم دایره در صفحه به شعاع و با مرکز مبداء مختصات در واقع همان منحنی هادی استوانه است. اکنون روش کلی برای رسم رویه هائی در فضا با چنین: معادالتی که در آنها یکی از سه متغیر ظاهر نشود گوئیم : رویه استوانه ای است که محور آن همان خط متغیرغایب در معادله است و معادله داده شده معادله منحنی هادی آن استوانه است. را در نظر اگر معادله را در صفحه یا فضای حقیقی در نظر گیریم شکل هندسی آن یک دایره با شعاع است. ولی می بایست رویه ها را در فضای - بعدی دکارتی ترسیم نمائیم. اگر رویه ای یا حجمی را بصورت نا مرئی در فضای - بعدی تجسم کنیم و آنرا با صفحه های مختصات و همچنین با صفحه های موازی صفحه های مختصات c c c به روش جبری قطع دهیم نتایج زیر را بدست می آوریم 5

مثال: حل : رویه فصل مشترک یا منحنی مشترک رویه وصفحه : را توصیف و رسم نمائید : قطع یا ب رش رویه بصورت جبری با صفحات زیر : صفحه... رویه...... صفحه... رویه... صفحه... رویه...... دو خط موازی که در صفحه یا در صفحه قرار دارند. دو خط موازی که در صفحه یا در صفحه قرار دارند. دایره صفحه در تمرین : رویه - - رویه - رویه تحلیل و رسم نمائید. تحلیل و رسم نمائید. تحلیل و رسم نمائید. راهنمائی: با توجه به روش تحلیلی تجسمی فوق براحتی می توان گفت که کلیه رویه های فوق استوانه اند و برای هر کدام محور مولد و منحنی هادی کامال معین است. بنابراین فقط می بایست در رسم -بعدی آنها دقت نمود. در شکل های زیر به ترتیب مراحل در جدول فوق منحنی های فصل مشترک درستون راست را رسم نموده و در نهایت شکل فضائی را کامل می کنیم : 5

در شکل های زیر به ترتیب مراحل در جدول فوق منحنی های فصل مشترک درستون راست را رسم نموده و در نهایت شکل فضائی را کامل می کنیم : l g استوانه مستدیر قائم 5

- ک ره SPHERE رویه را تحلیل و ترسیم نمائید : c R حل: معادله درجه دو باال را می توان بصورت استاندارد زیر نیز نمایش داد : برای تحلیل این نوع از رویه های درجه دوم که معادله آنها شامل هر سه متغیر می باشند فقط می توان از روش جبری قطع رویه با صفحه های مختصات و صفحه های موازی آنها استفاده نمود. الف- معادله فوق در صورت مسئله را با صفحه یعنی صفحه موازی صفحه قطع می دهیم. فصل مشترک دو رویه دایره ای است بشعاع R و مرکزc با معادله c R که با شکل روبرو نمایش داده شده : c c R 5

دایره ب : c R R : ب مشابه قسمت الف معادله رویه را با صفحه قطع می کنیم. حاصل دایره ای است بشعاع R و مرکز c در صفحه که در واقع موازی صفحه است و معادله آن عبارت است از : به شکل روبرو توجه کنید : ج با قطع معادله رویه فوق با صفحه که موازی صفحه است مجددا فصل مشترک بدست آمده دایره ای است در و معادله صفحه مذکور با مرکز c با رسم این دایره شکل فضائی رویه مورد نظر تکمیل می شود. دایره ج R R c R ک ره Sphere 54

حاالت مختلف تجس م ک ره : R اول مقادیری که در معادله کره تحت عنوان مختصات مرکز c در فضای R و اندازه شعاع کره که همواره یعنی اعداد حقیقی c عددی است مثبت در R از اهمی ت ویژه ای در تجسم تحلیل و ترسیم رویۀ کره برخوردار است. دوم از بخش اول براحتی می توان نتیجه گرفت که یک کره را می توان درون یک مکعب با ابعاد R قرار داد. شش وجه مکعب هر یک در مرکز خود یعنی نقطه تقاطع قطر های آن بر ک ره مماس می باشند. واضح است صفحه های موازی وجوح مکعب که خارج از آن مکعب وجود دارند هیچ کدام کره را قطع نمی کنند. ولی برعکس صفحه هائی که موازی وجوه اند و مکعب را قطع می کنند همگی ک ره را در یک دایره قطع می نمایند. تعداد چهار تا از این دایره ها ویژه اند به نام دایره های عظیمه. سوم c در این بخش از بررسی معادله کره فرض کنید مرکز کره مبداء مختصات باشد یعنی هر سه عدد است. به عبارت دیگر می توان گفت که برابر صفر باشند. آنگاه معادله کره بصورت: R مجموع مجذور سه متغیر برابر هر عدد مثبتی نمایش دهنده یک کره است. 55

P O برخی از خو اص ویژة ک ره : - با توجه به مفاهیم اولیه ای در هندسه اقلیدسی مطرح شد برای یک کره می توان تعریف زیر را در نظر گرفت : تعریف : مکان هندسی نقاطی در فضای که فاصله آنها از یک نقطه ثابت به نام مرکز برابر عددی ثابتبه نام شعاع باشند را ک ره نامند. - حال با توجه به تعریف کره و معادله آن و همچنین با توجه به شکل ک ره با مرکز آن در مبداء مختصات می توان بردار های موضع یا مکان نقاط کره را در نظر گرفت. بنابراین - بردار های مکان نقاط یک کره دارای اندازة ثابت اند و فقط جهت آن ها متغیرند. P روی کره دارای بردار با توجه مطالب فوق و با در نظر گرفتن شکل مربوطه فرض کنید نقطه iˆ OP باشد. آنگاه فاصله هر نقطه از مبداء و یا بطور کلی تابع فاصله را j ˆ kˆ P مکان f نوشت. این نوع تابع در فصل توابع چند متغیره بطور کامل می توان بصورت : بررسی خواهند شد. 56

57 نیرمت : تروصب ار هر ک هلداعم : :تفگ ناوتیم هاگنآ دیریگب رظن رد هیقب و دنشاب ربارب نآ روذجم یاه ریغتم بیارض هک یا ود هجرد تلاداعم هر ک هلداعم ناوتیم یریگ روتکاف و اه داحتا ندومن لماک اب هاگنآ دنشاب رفص ربارب ود هجرد یاه مرت بیارض دروآ تسدب ار درادناتسا ای لوا عون زا. تلاح رد هرک هلداعم بیارض یاجب هاوخلد یقیقح دادعا یراذگیاج اب نونکا : دیروآ تسدب ار. R c c R c R c دوشیم یسررب هریغتم دنچ عباوت لصف رد لماک روطب ثحب نیا :دومن لیلحت ار هر ک کی ناوت یم هک یرگید ئاه شور. :درادناتسا تلاداعم تفرگ رظن رد ریز مرف هس هب ناوت یم ار تاصتخم ءادبم زکرم هب هرک کی : - - و و - f R R R R

و نیم ک ره باالئی حالت : معادله با عالمت مثبت در رویه ای است که کلیه نقاطش دارای مختص Z مثبت می باشند. یعنی R Z =R R f نیم ک ره پائینی حالت : معادله با عالمت منفی در رویه ای است که کلیه نقاطش دارای مختص Z منفی می باشند. یعنی + - R R حالت : بطور مشابه در حالت بحث را برای و ادامه دهید و به ترتیب در حالت همچنین برای حالت نیم ک ره های جلو با نیم ک ره های راست با های های + و نیم ک ره عقب با و با های را بعنوان تمرین کامل کنید. نیم ک ره چپ های 58

نکته مهم: دارای مرکز تقارن در باره دو رویه است. استوانه و ک ره این است که استوانه ها دارای محور تقارن می باشند و ک ره c 4- بیضیگون با توجه به معادله این رویه که شامل هر سه متغیر است که نتیجتا استوانه نمی تواند باشد از روش بررسی مقاطع مشترک رویه با صفحه های مختصات و صفحه های موازی آنها استفاده می کنیم. بنابراین مشابه رسم ک ره براحتی می توان مشاهده نمود که فصل مشترک رویه به ترتیب با : و و صفحه های مختصات : بیضی های: و و می باشند c c 59

رسم نتایج فوق : براحتی می توان مشاهده نمود که سه بیضی دو به دو متعامد در صفحه های مختصات طرح اصلی رویه مورد نظر را مشخص می سازد : o شعاع های بیضیگون : - شعاع کوچک : یعنی به اندازه روی محور ها از مرکز تا سطح رویه بیضیگون. - شعاع بزرگ : عدد که در مخرج کسر مربوط به متغیر است و برابر فاصلۀ از مرکز تا سطح رویه روی محور جدا شده است. - شعاع متوسط : یعنی فاصله c از مرکز تا رویه روی محور می باشد. 6 باتوجه به شکل فوق و تعریف شعاع های یک ک ره می توان براحتی تجسم ومشاهده نمود که : c c بیضیگون درون یک مکعب مستطیل با ابعاد قرار دارد. همانند ک ره که درون یک مکعب با ابعاد دو برابر شعاع کره قرار می گرفت در این جا نیز مکعب مستطیلی که بیضیگون را در بر میگیرد دارای ابعاد دو برابر شعاع های بیضیگون است.

فصل مشترک بیضیگون و صفحه های موازی صفحه های مختصات : فرض کنید بیضیگون را با صفحه هائی که موازی صفحه می باشند قطع دهیم. برای این کار شرایط زیر می بایست برقرار باشند : الف- c c اگر بیضیگون را با صفحه قطع دهیم آنگاه بدیهی است که شرط الزامی است زیرا در غیر این صورت یعنی برای صفحه قاطع خارج از مکعب مستطیل و موازی وجه های آن قرار می گیرد. حال با قرار دادن در معادله بیضیگون بیضی در صفحه c c می آید. چرا بدست ب- بطور مشابه مقاطع بیضیگون را با صفحه های و را بدست آورید. تمرین حاالت مختلف برای تساوی دو به دوی شعاع های بیضیگون : بیضیگون دوار فرض کنید آنگاه بیضی واقع در صفحه یک دایره می شود در این صورت بیضیگون حاصل را یک را یک نامند زیرا این بیضیگون را می توان از دوران هر کدام از بیضی هائی که صفحه آنها عمود بر صفحه نامند. است حول محور بدست آورد. در این حالت محور را محور بیضیگون دو ار با معادله : c به شکل های زیر دق ت کنید : 6

V =Volume of he Ellipse ⅛ V ; wih ll c c ب رشی از بیضیگون دوار که در یک هشتم c اول مختصات قرار دارد و نمایش ربع دایره هائی که با ب رش مذکور می باشند. فصل مشترک صفحه های c c c ب برای حالت و یعنی هنگامی که است نیز بصورت شکل های قوق عمل می کنیم.تمرین 6

ONE -4 مخروط : تعریف: دو خط متقاطع به ترتیب به نام مولد و محور و منحنی بسته مسطحی مانند بگیرید که صفحه آن موازی نباشد و از نقطه یعنی تقاطع مولد و محور نیز عبور نکند. را محور مخروط و را مولد مخروط و را منحنی هادی مخروط و را رأس مخروط نامند را طوری در نظر l O g Z O l O g l g g l g o g g l خطی است ثابت و همواره گذرنده از رأسO و روی دوران می کند. از دوران رویه مخروط پدید می آید. 6

64 لاثم : دیئامن میسرت ارنآ سپس و فیصوت ار هیور. :لح تسا یمود هجرد عون زا قوف هلداعم تسا یهیدب اب ارنآ ناوت یم یلک تلاح رد هک - داد شیامن وربور بترم یئات : ناوت یم ار قوف هلداعم نینچمه داد شیامن ریز وربور یاه مرف هب : یاه هحفص دروخرب شور نامه زا تسیاب یم دراد دوجو ود هجرد زا ریغتم هس ره اهنآ رد هک یتلاداعم یارب یلک روطب تاصتخم تاصتخم یاه هحفص دوخ اب زاین تروص رد و هدافتسا اهنآ کرتشم لصف مسرو یسرربو لاوس دروم هیور اب.دومن هب هجوت اب قوف هلداعم یارب اه هحفصو اه هیور دروخرب لودج مینک یم میسرت قوف تروصب ار هیور : c c c c c یئاضف هیور شرب یاه هحفص Z = Z = c لصف ینخنم کرتشم هطقن یضیب : c c c c c c

65 هچراپکی نوگیلولذه -5 : Hperoloid of one shee : c یئاضف هیور شرب یاه هحفص X = = Z = Z = c = -c لصف ینخنم کرتشم يلولذه : يلولذه : یضیب : یضیبود هحفص رد :قوف یاه c c c c c c -4-4 -4-4 - -5 5 -is surfce -is -is

66-6 هچراپود نوگیلولذه : Hperoloid of wo shee c یئاضف هیور شرب یاه هحفص X = = Z = Z = c = -c لصف ینخنم کرتشم يلولذه : يلولذه : درادن دوجو هطقنود یاه هحفص رد اه روحم یور و قوف : c c c c c c c

-is 4 Ellipic proloid. -7 رويه c سهمیگون بیضی وار رسم کنيد را 4 -is - -4-4 - -is 4 Ellipic Proloid رویه فضائی = Z X = = صفحه های برش منخنی فصل مشترک c c سهمی : مبداء مختصات سهمی : c c c c c Z = c = -c c یک بیضی در صفحه Z=c وصفحه Z = - c رویه را قطع نمیکند. 67

-is 5 hperolic proloid رويه رسم کنيد را c -8 5 سهمیگون هذلولوی ویا زین اسب -5 - -5 Hperolic Proloid - 4 -is - -4-5 -is 5 رویه فضائی = Z X = = صفحه های برش منخنی فصل مشترک c c سهمی : دوخط گذرنده از مبداء سهمی : مختصات : c c c c c Z = c = -c c یک هذلولی در صفحه Z=c و یک هذلولی در صفحه Z = - c 68

مثال: رويه توضیح: رسم کنيد را بدیهی است که معادله درجه دوم فوق بصورت معادلۀ هیچ یک از رویه های استاندارد هشت گانه باال نیست. روش توصیف و ترسیم : معادالتی که از نوع فوق اند یعنی در آنها عبارات حاصل ضرب جفت متغیرهای وجود ندارند و همچنین قابل تکمیل شدن به اتحاد های جبری می باشند آنگاه معادله فوق را می توان بصورت زیر تبدیل نمود : روش انتقال محور ها: متا سفانه این روش را در دوران تحصیالت پیش دانشگاهی نه در ارتباط با رویه های فضائی بلکه فقط جهت تمرین در تکمیل اتحادی ها و در تبدیل اصطالحا سیستم دکارتی قدیم رویه فوق مورد استفاده قرار گرفته به سیستم انتقال یافته جدید بنابراین معادله رویه پس از انتقال محور به اندازه واحد و محور بکار گرفته می شده است. که در معادلۀ ها به اندازه - واحد به ترتیب به محور های ' ' ' جدید و محور متناسبا به محور جدید تبدیل می گردد. حال براحتی مشاهده می شود که رویه با ' ' ' معادله بر حسب یعنی: 69 یک مخروط است. X ' Y' Z' Z X ' Y ' Z' X Y Z Y X

مثال: رويه توضیح: کنید رسم نوعی دیگر از معادالتی که از درجه دو اند و دارای یک یا دو ونهایتا سه عبارت از فرم های درجه دو می باشند. روش توصیف و ترسیم : رویه هائی که در معادالت آنها عباراتی مانند حاصل ضرب های فوق وجود دارند را با دوران متناسب محور ها به اندازه 45 درجه در جهت مثبت مثلثاتی به معادله یکی از رویه های هشت گانه تبدیل می نمائیم. روش دوران محور ها : 45 در معادله فوق با توجه عبارت حاصل ضرب از دوران صفحه مربوطه حول محور به اندازه استفاده می کنیم. بنابراین جهت یادآوری دانشجویان شکل و توضیحات زیر را در نظر می گیریم : Y N o N OM = ON = OM = ON = P M β M α X os Sin Sin os X ' Y ' 7

OM OPos ON OP Sin OM ' OPos ON' OP Sin بایک نگاه به اشکال و محاسبه های هندسی فوق براحتی میتوان با 45 نتیجه گرفت که: Y' X ' 'Z که یک زین رویه مورد نظر یعنی در واقع همان اسب است که سوار بر محور است Y ' 7

بخش دو فصل چهار: توابع برداری Vecor Funcions فصل پنج : توابع چند متغيره Funcions of Severl Vrieles 7

فصل چهارم سر فصل ها خالصه زير فصل ها و مثال های مربوطه زمان توابع برداری یک متغیره : توابع برداری تعريف : فرض کنيد R يا F همواره در اثر تغيير يك پارامتر مانند اسكالر تغيير کند. در اين صورت R يا F را تابعي برداری از نامند و بصورت : يا نمايش مي دهند. T7 F R معرفی نماد پارامتریک یک منحنی فضائی حرکت کی ذره هنگامی که زمان فرض شود. مفاهيم مختلف کاربرد توابع برداری يك متغيره را در حساب ديفرانسيل و انتگرال در نظر مي گيريم. چنين توابعي را مي توان بعنوان دستگاه معادالت پارامتری منحني های فضائي يا مسطح نيز فرض نمود. تعبير توابع برداری يك متغيره حقيقي با متغير بعنوان زمان در واقع تعيين موضع حرکت يك نقطه يا يك ذره متحرك در فضای دو يا سه بعدی است. 7

T7 فصل چهارم سر فصل ها توابع برداری یک متغیره : توابع برداری تعریف : خالصه زير فصل ها و مثال های مربوطه فرض کنيد R يا F همواره در اثر تغيير يك پارامتر مانند اسكالر تغيير کند. در اين صورت R يا F را تابعي برداری از نامند و بصورت : R يا F نمايش مي دهند. معرفی نماد پارامتریک یک منحنی فضائی حرکت کی ذره هنگامی که زمان فرض شود. مفاهيم مختلف کاربرد توابع برداری يك متغيره را در حساب ديفرانسيل و انتگرال در نظر مي گيريم. چنين توابعي را مي توان بعنوان دستگاه معادالت پارامتری منحني های فضائي يا مسطح نيز فرض نمود. مانند : R ˆ i ˆj kˆ و یا بصورت پارامتریک برداری : تعبير توابع برداری يك متغيره حقيقي با متغير بعنوان زمان در واقع تعيين تغيرات مكان يك نقطه يا يك ذره متحرك در فضای دو يا سه بعدی است. 74

مشتقات بردار موضع برداری ديگری باشند. ميتوانند توابع برای شروع مطالعة اين نوع توابع با مفهوم برداری حرکت در صفحه يادر فضای سه بعدی آغاز مي کنيم. فقط در مواقعي که حرکت در صفحه انجام مي گيرد مؤلفه سوم بردارها را برابر صفر در نظر مي گيريم. يك ذره در فضا بوسيله سه مختص مكان آن ذر ه يعني هرکدام را بصورت نمايش R ˆ i ˆj kˆ توابعي يك متغيره حقيقي از زمان و بصورت: مي دهيم. همچنين بردار مكان متحرك را بر حسب پايه استاندارد : ˆi { بصورت تابع برداری : ˆ j kˆ} R ˆ i ˆj kˆ نمايش داده مي شوند. مشتقات توابع برداری به عنوان سرعت و شتاب هرگاه افزايش يابد يعني ذره در حال حرکت روی مسيری است که يك منحني فضائي با معادله : است که در فضای سه بعدی حرکت مي کند. Veloci & Accelerion تغییرات و حرکت Moion 75

تعريف : تعريف حد در توابع برداری عينا همانند تعريف حد يك تابع يك متغيره در نقطه است. ˆ f در نقطه i f ˆj f kˆ F حد يك تابع برداری ˆi l وجود داشته باشد طوری l ˆj l kˆ وجود دارد هر گاه برداری مانند L / F که : L F بيانگر طول در فضای سه بعدی است. بنابراين داريم : در جائي که L lˆ i f ˆ ˆ l j f l k f i l i i F L f lim F L لذا اگر F در دارای حد L باشد ميتوان نوشت : حد و پیوستگی و مشتق پذیری توابع برداری قضيه مهم F f i f ˆj در دارای حد باشد f kˆ ˆ قضيه : هر گاه دارای حد است و بالعكس. f در f آنگاه هر کدام از توابع f ˆi L l است هر گاه هر l ˆj گوئيم در دارای حد kˆ l F f در دارای حد باشند و اين حدود بترتيب کدام از توابع f f برابر l باشند. l l گوئيم ˆ ˆ در پیوسته است اگر هر f ˆ i f j f k F پيوسته باشند. سه تابع يك متغيره f f f در تعریف کلی : 76

تعریف : همانند حساب ديفرانسيل عددی و معمولي مشتق يك تابع برداری F بصورت زير تعريف مي شود: فرض کنيد به اندازه افزايش يابد و يا به عبارت ديگر فرض کنيد در فاصله زماني از به ذره از موضع R به موضع R R R حرکت کند. بنابراين سرعت میانگین آن به صورت : است که در واقع بردار موازی بردار وتر PQ از R به R است. ويا موازی بردار R است. حال اگر سرعت ميانگين هنگامي که دارای حد باشد آنگاه گوئيم که : مشتق پذیر است و حد آنرا سرعت لحظه ای ذره در زمان در R نامند. بنابراين : R R R d R lim lim V R P R R V Q dr. V درجایی که : بديهي است : بردار سرعت لحظه ای فوق در جهت مماس بر منحنی در نقطه P است يعني V به سمت جهت حرکت اشاره دارد. R يعني دارای مشتقات پيوسته مي باشد ولي در i j مثال : منحني نقطه مبدا هموار نيست. همچنين در مبدا R ˆ i ˆj. V R R R تعريف مشتق توابع برداری سرعت ميانگين و سرعت لحظه ای سرعت يعني برابر صفر است تعریف :تندی ذره ولي در همه نقاط ديگر منحني هموار است و ˆ ˆ V iˆ j ˆ Veloci تندی Speed * بردار سرعت در جهت مماس بر منحني مسير و درسمت حرکت است * 77

V مشتق پذیری توابع برداری از قوانين جمع و ضرب اسكا لربردارها ميتوان عبارت زير را نتيجه گرفت : R R lim ˆ ˆ lim i j kˆ d R d d d V iˆ ˆj kˆ بنابراین : تابع در مشتق پذیر است هر گاه سه مؤلفه آن در مشتق پذير با شند و بالعكس. تعریف : بردار شتاب ذره را به صورت مشتق بردار سرعت ذره تعريف کرده و آنرا بصورت : يا نمايش مي دهيم. مثال : بنابر قانون دوم حرکت نیوتن داريم : بردار شتاب موازی و ضريبي از بردار نيرو است که حرکت ذره را ايجاد مي کند.. d R R شتاب يعني اگر ذره دارای جرم باشد قانون مذکور به صورت F m است m dv F Accelerion 78

و iˆ R را توصيف کنيد ˆ مثال: منحني kˆ j از آنجا که معادله برداری فوق براحتي نتيجه مي دهد که معادالت پارامتری منحني است. بنابراين: مي توان نتيجه گرفت که: منحني: : بصورت: است. منحني فصل مشترك دو رويه استوانه شكل مثال: ذره ای روی منحني با معادله به سمت راست با تندی برابر 5 در حرکت است. سرعت و شتاب ذره را در نقطه بيابيد : قواعد مشتق گیری F به ترتيب توابع برداری از تابعي اسكالر باشد آنگاه داريم G اگر H d df dg dh d d d F i F G H ii F F iii d F. G dg F. d F. G iv d F G F dg d F G v d F. G H d F. G H dg F. H F. G d H vi d d F [ F G H ] G H dg F H F G d H 79

مثال : اگر دارای اندازه ثابت يعني ثابت = F باشد F و يا به عبارت ديگر : کليه توابع برداری با اندازه آنگاه ثابت بر مشتق خودشان عمودند. مثال : حل به عنوان تمرین برای دانشجو نشان دهيد که توابع برداری با جهت : : خاصيت توابع برداری با اندازه ثابت و با جهت ثابت ثابت دارای خاصيت زير مي باشد با توجه به مطالب فوق الذکر iˆ برداريست ˆj بردار k F d d F d F d F F c F. F F.. F F. iii d F F d R d F d d F d ˆ d F F d F بردار ˆT مماسی - یکانی در جهت مماس بر منحني مسير حرکت و شيب آن برابر است با شيب منحني در نقطهP و اندازه تندی آن برابر است با : d R d d d 8

ds اگر به جای پارامتر از پارامتر يعني طول قوس استفاده کنيم d R و را تابعي از در نظر بگيريم مي توان اندازه وجهت ds P را مورد مطالعه قرار داد : برای اينكار فرض مي کنيم نقطه در حال Q R s s R s PQ PQ lim s Rs s P P drˆ همان ذره متحرك روی منحني مسير: حرکت باشد. مبدا حرکت را نقطه P در نظر گرفته و طول قوس پيموده شده Q و نقطه P تا P را از را متناظر با پارامتر s s فرض مي کنيم. آنگاه بردار را بررسي مي نمائيم : قابل مشاهده است که هرگاه روی قوس يعني نسبت و يا s آنگاه در حد نسبت ميل مي کند. يعني : R s برداريست يكاني و در جهت مماس و يا به سمت انتخاب لذا بردار Tˆ برمنحني در نقطهP بردار سوی بردارسرعت است لذا dr. در واقع اين بردار همان v Tˆ v : s s Q P ds s R lim R s QP R s dr ds R طول قوس بعنوان پارامتر بجای پارامتر زمان و بررسی بردار : d R ds? بردار سوی بردار سرعت یا بردار مماسی یکانی Tˆ dr ds 8 Tˆ

ˆT برداريست يكاني و و جهت آن در جهت افزايش با استفاده از قاعده زنجيری dr Tˆ dr ds ds با توجه به مطالب قبل نتيجه مي گيريم: مماس بر منحني مسير مشترك در نقطهP طول قوس است. بنابراين مي توان نوشت : : رابطه طول قوس و مکان متحرک و یا محاسبه طول قوس منحنی مسیر حرکت انتگرال توابع برداری اگر همچنين کمان PP را با طول قوسs نمايش مي دهيم. آنگاه در نظر گرفته شود : dr d iˆ ds ds dr ds dr ds Tˆ R s sˆ i s ˆj s kˆ d ˆ d j kˆ ds ds dr ds Tˆ. Tˆ ds d d d نتيجه ديگر از مطالب فوق را مي توان باعبارت زير توصيف کرد : s ds s ds dr d d تا از 8

cos sin مثال : فرض کنيد متحرکي مانند P روی منحني : حرکت کند آنگاه و طول قوس منحني از = تا نقطه ای مانند P را محاسبه کنيد. حل : R cos iˆ sin j ˆ kˆ Tˆ s dr توضيح اينكه منحني فوق الذکردر واقع يك هيليكس مستدير است و يا آنرا مي توان بصورت : مثال : اگر منحني مسير را با نمايش داد. سرعت و شتاب را مي توان محاسبه کرد : نمايش دهيم آنگاه در لحظه R sin cos dr ds dr ds c cosiˆ sin j ˆ ckˆ Tˆ sin iˆ cos j ˆ kˆ s = v o dr j ˆ ckˆ v c iˆ 8

T 7 6 مثال : فرض کنيد طول قوس لذا با استفاده از قاعده زنجيری مي توان زير که تابعي از طول قوس است بيان نمود : kˆ مثال : مطلوبست ds طول قوس منحني از تا را تابعي از df ds بصورت s df ds F iˆ sin ˆj df cos ˆj kˆs ds R e cos iˆ e sin ˆj e e e e ds e s ds cos sin T ds e dr ds e [cos sin e e e kˆ s cos s s ˆj sin cos s kˆ s ] e [cos sin ˆ i sin cos ˆj kˆ] 84

P ds P d ds s P n d ds d d d Tˆ Tˆ n d ds d d : زاويه را زاويه بين بردار يكاني مماسي و محور ها در نظر ميگيريم آنگاه نسبت تغييرات زاويه طول قوس يعني يعني بر تغييرات را انحنای منحني در نشان مي دهند : داريم d d d d n d ds Tˆ نقطه P نامند.و آنرا با کاپا راديان در واحد طول... d ds بنابراين از شكل فوق نتيجه مي گيريم : ds d d d d [ d ] d d d d d / / ds d d s // [ d d انحنای منحنی با استفاده از [ / ] ] / کاپا انحنای منحنی f 85

نسبت انحنای و شعاع یک دایره. دایره انحناء بوسان شعاع انحناء و مرکز انحناء مثال: انحنای دایره با شعاع آن نسبت عکس دارد : شعاع دايره را در نظر مي گيريم و فرض مي کنيم متحرك طول قوس s را از تا P پيموده باشد زاويه متناظر با s را در نظرگرفته و از روابط فوق براحتي نتيجه ميشود : o P s P d / d ds / d P s يعني هر چه شعاع دايره کوچكتر شود چرخش به دور آن تغيير جهت سريعتری در واحد طول قوس را نشان مي دهد. تعریف: دايره ای را که مرکزش در قسمت مقعر منحنی انحنائی مساوی انحنای منحنی در نقطهP و دراین نقطه مماس بر منحنی است دایره انحناء circle osculing ويا دایره بوسان نامند. از مثال و تعريف فوق ميتوان نتيجه گرفت که شعاع دايره که آنرا شعاع انحناء نامند برابر عكس انحنای منحني است. مرکز دايره بوسان را نيز مرکز انحناء نامند. بنابراين:... / K Tˆ [ d / d d / d ] 86

نكته قابل تاکيد در رابطه با دايره انحناء ˆT اين است که مشتق اول و دوم دايره و منحني در نقطه برابرند يعني تحدب و تقعر يكسان و مماس يكسان دارند. * بنابراین مسایل مربوط به سرعت و شتاب لحظه ای متحرک بر روی منحنی را می توان بصورت سرعت و شتاب متحرک روی دایره انحناء مربوطه محاسبه وتحلیل کرد. محاسبه و تحلیل متحرک روی دایره انحناء بجای محاسبه روی منحنی مسیر از روی شكل روبرو مي توان مشاهده کرد : اول اينكه بر عمود است و دوم اندازه آن برابر واحد است. در نظر بگيريم آنگاه بنابراين اگر جهت آن نيز از تساوی زير بدست مي آيد : ˆN همان ˆT است که به اندازه / در جهت مثبت دوران کرده است. را بردار قائم اول يا Vecor Norml Principl نامند. بردار قائم اول اگر بجای از طول قوس s بعنوان پارامتر استفاده نمائیم داریم : dtˆ Nˆ d P Tˆ s P Tˆ P Tˆ ios ˆ dtˆ Nˆ d dtˆ os / ˆ i Sin / ˆj d dtˆ dtˆ d Nˆ ds d ds ˆjSin P dtˆ isin d dt Tˆ ˆ d jos Nˆ Nˆ 87

مفهوم فضای سه بعدی بردار انحناء در اگر برای منحني مسير متحرك جهت حرکت اختيار کنيم آنگاه را مي توان مثبت در نظر گرفت هر گاه تابعي صعودی ازs باشد وهمچنين مي توان آنرا منفي در نظر گرفت هر گاه تابعي نزولي از s باشد : Nˆ dtˆ ds dt ds or بنابراين: ˆ و Nˆ Nˆ dtˆ / ds dtˆ / ds dtˆ ds dtˆ ds مفهوم در فضا با پارامترs با مفهوم در صفحه منطبق است dt را بردار انحناء مينامند. وهمچنين بردار ˆ ds dr بر منحني يعني: Tˆ نشان داديم T 7 6 مثال : در مثال صفحه ds iˆ R e os مماس است بنابراين : e Sin ˆj e kˆ با توجه به فرمول های و ˆT به راحتي مي توان آنها را محاسبه نمود : ds ˆ dr ds e T [cos sin ˆ i cos sin ˆj kˆ] حال ميتوان انحناء و بردار ˆN را محاسبه کرد : ds dtˆ dt / /[ Sin osˆ i os Sin ˆj ds ds / e e 88

وهمچنين: jˆ Sin os iˆ ˆB را که يكاني است و بر صفحه بوسان که Tˆ تعریف: بردار ˆN شامل ˆT و ˆN مي باشد عمود است وآنرا بردار قائم دوم بر منحني در نقطه نامند. توجه کنيد بردارهای يكاني دو به دو بر هم عمود ندو dtˆ / ds dtˆ / ds تشكيل يك دستگاه مختصاتی متحرک راستگرد ک نج ف ر نه- س ره را تشكيل مي دهند که در بررسي حرکت ذر ات روی منحني های فضائي از اهميت ويژه ای برخوردار است. در واقع اين مبحث مقدمه ای بر شاخه ای مهم در رياضيات بنام : Nˆ Bˆ Tˆ Nˆ Geomer Differenil است. os Sin P هندسه دیفرانسیل کنج فرنه سره یا دستگاه راستگرد Tˆ Bˆ Nˆ و بردار قائم دوم : Bˆ Uni Binorml Vecor 89

معادله دایره بوسان برای هر نقطه روی منحنی مسیر با توجه به مطالبي در مورد دايره انحناء مي دانيم فرض کنيد معادله منحني مسير متحرك بصورت f باشد. در نقطه P انحنای منحني يعني برابر است با و شعاع دايره بوسان طبق تعريف [ ] / عكس اين رابطه است. بنابراين اگر مرکز انحناء را c و معادله دايره بوسان در حالت کلي c c در نظر بگيريم آنگاه با يكبار و دوبار c را بصورت R مشتق گيری از اين رابطه و در نهايت با حل دستگاه دو معادله و دو مجهول c c که مختصات مرکز دايره اند خواهيم داشت : ' c c d بايك بارمشتق گيری : c c d f c c d d d d و مشتق بار دوم : و در نتيجه: مختصات مرکز دایره بوسان : 9

5 تاب منحنی مثال : اگر منحني مسير باشد در نقطه و معادله دايره انحنا ء با استفاده از مطالب فوق بصورت : 6 [ ] R / 9 [ ] 4 6 / c 6 c 6 6 4 تغیرات نسبت به طول قوس پیموده شده روی منحنی با در نظر گرفتن بردار قائم دوم و با شرط اينكه db ميتوان نشان داد ds Bˆ که بردار db بر بردارهای ˆT و ˆB عمود است و لذا با موازی است. Nˆ طبق تعریف ˆN B ˆT از طرفين اين رابطه نسبت به s مشتق مي گيريم: dtˆ برابر صفر است چرا. از طرفي عبارت باقي مانده در عبارت فوق N ds ˆ ˆ ˆ نتيجه مي دهد که بر عمود است. حال Tˆ db ˆ db Tˆ يعني : dn ds ds ds چون بنابراين dbˆ پس db بر صفحه شامل صفحه راستگرد عمود است. بنابراين با ˆN موازی است و اسكالری مانند يافت مي شود که تابعي است از طوری که نتيجه فوق بدست مي آيد. ميرسيم dbˆ Nˆ ds BT ds / 6 از اين تساوی با داليل زير به نتيجه مطلوب B ds s dbˆ ds 4/ Bˆ ds 5/9 dtˆ dnˆ Nˆ Tˆ ds ds Bˆ Torsion اثبات همسنگی مهم : dbˆ Nˆ ds 9

در واقع تاب يا ترشن Torsion درجه پيچش يك منحني را اندازه گيری مي نمايد و يا به عبارت ديگر مقداری است که در يك نقطه منحني از مسطح بودن خارج مي شود. بر اساس راستگرد يا چپ گرد بودنش ميتواند مثبت يا منفي باشد. قدر مطلق تاب s در يك نقطه Rs روی منحني c در واقع ˆB باشد s Bˆ مقدار تغييرات چرخش ˆB است. اگر زاويه بين s s Tˆ آنگاه : Nˆ Bˆ Nˆ Bˆ Tˆ lim s Tˆ Bˆ s s Nˆ c dnˆ ds dn ˆ ds dbˆ ds dtˆ N N ds ادامه مباحث با استفاده از ˆ ˆ ميتوانيم را محاسبه کنيم : d ds Bˆ Tˆ dbˆ Tˆ ds dnˆ ds ˆ ˆ dt B ds Bˆ Nˆ Tˆ Bˆ Nˆ Tˆ 9

و هنرف یاهلومرف ار لومرف هس.دنمان هرس يسيرتام تروصب اي و : لكش قوف یاهلومرف زا هدافتسا اب ناوتيم نتسناد اب هجيتن رد دروآ تسدب ار ينحنم كي زا يلماک اتبسن. سكيليه ينحنم یور : لاثم يناكي یاهرادرب و بات و ءانحنا هک يئاج رد ديبايب ار ياهلومرف هنرف هرس Frenne -Serre N ds dt T B ds dn N ds B d ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B N T B N T ds d ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ s s csk j cs Sin i cs os s R ˆ ˆ ˆ c s s T B N ˆ ˆ ˆ 9

94 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ c N c j cs Sin c i cs os c ds db ck j cs cos i cs csin c k cs Sin cs cos j i cs os cs csin i N T B j cs Sin i cs os ds dt s s N or c ds dt s j cs Sin c i cs os c ds dt ck j cs cos i cs csin s T لااب لاثم لح :

مشاهده مي شود : v vtˆ v v v مثال : بردار شتاب بر حسب ترکیب خطی از بردارهای dv dr v از تعاريف سرعت و شتاب dv dv : روابط فوق بر حسب مثال از مثال فوق مي توان نتيجه گرفت درسوی جهت است لذا : Bˆ Nˆ T ˆ Tˆ dtˆ v dv Bˆ Tˆ dbˆ ds Nˆ Tˆ dv v Nˆ Tˆ dtˆ v ds Bˆ Nˆ Bˆ ds dnˆ ds KT ˆ v جهت حرکت متحرك 95

مثال : انحنائ مسير يك متحرك را بر حسب بردار های سرعت وشتاب و تندی آن متحرك بنويسيد. dv v vtˆ [ Tˆ v dv v Tˆ Tˆ v KTˆ Nˆ Bˆ K v v KNˆ ] Bˆ جهت حرکت متحرك Tˆ صفحه قائم صفحه بوسان از طرفی : متحرک Nˆ منحنی مسیر db ˆ ds صفحه راستگرد برخی مواقع راحت تر است که از استفاده شود و برای محاسبه dtˆ dtˆ ds dtˆ v vknˆ ds ds ˆN می توان روابط زیر را بکار گرفت : Nˆ vk dtˆ dtˆ dtˆ 96

مثال با راهنمائی : تمرین. d d dv ˆ KNˆ T v چندين عبارت ديگر همچنين با توجه به ˆN خواهد بود Bˆ پديدار مي شوند تنها عبارتي که شامل ˆT عبارتي است که از محاسبات و عمليات جبری روی روابط زير بدست ميآيد d v dnˆ v dnˆ v ds v Bˆ Tˆ..بنابراين برای برخي اسكالرهای ويژه مانند داريم : T Nˆ v v ˆ KBˆ KBˆ d v. v v K. d v : v و از آنجائي که 97

فصل پنج : توابع دو سه... n - متغیره lculus Of Severl Vriles فهرست : 98

T8 فصل پنجم : توابع چند متغیره تعریف توابع دو سه... متغیره مفهوم دامنه Domin و ب رد Rnge تعریف : مفهوم توابع يك متغيره مانند f که از فضای حقيقي R به خودش تعريف شده است را ميتوان به توابع دو سه و بيش از سه متغير مانند متغير... تعميم داد. مانند : n n n R قاعده ای است که برای هر نقطه در f : R تعریف: تابع n R f n P درD که زير مجموعه ای است از R بنام دامنه... n مانند يك مقدار برایf مانند W وجود داشته باشد. يعني : W f... n مثال: کميت های بسياری در طبيعت وجود دارند که بستگي به بيش از يك متغير دارند مانند حجم يك استوانه مستدير به شعاع r و ارتفاع h که V تابعي است از دو V r مي باشد. دراينجا گوئيم که بصورت h V f r h متغيرhr. يعني : 6 مثال: در تابع مشاهده مي شود که دامنه D در واقع n بزرگترين زيرمجموعه ای است از R طوری که برای هر نقطه در D تابع D f و برد f کليه مقاديری { 6 تعريف شده باشد. لذا : { است برای طوری که f به ازای نقاط مختلف D تعريف شده باشد: { R / D} R f n 99

:لاثم عبات طاقن رگا ايو هلصاف هاگنآ دنوش فيرعت طخ یور :دنهديم شيامن اب ار هطقن ود نيا نيب هلصاف :ميراد فلتخم تلااح رد اذل هطقن يگياسمه رد هليسوب : شيامن.دوش يم فيرعت تروصب و دوش يم هداد هليسوب هطقن يگياسمه رد : لكشب و هرياد كي.دوشيم هداد شيامن تروصب هطقن يگياسمه یارب هر ک كي :دوش يم فيرعت ريز ترابع هب ودوش يم هداد شيامن هلصاف موهفم تلااح رد فلتخم اه یگیاسمه تلااح رد فلتخم 6 } /6 { 4} / { D R R f f R A B A B......... : : : : n n n n n n B A B A n n R B A B A n R B A B A n R B A n R R P P } / { N } / { N R R P } / { P N

f : R باشد. D زير R يا f : R تعريف : فرض کنيد R مجموعهای از R يا R را که در آن بتوان به کمك يك منحني هر دو نقطه آنرا به هم وصل کرد طوری که کليه نقاط آن منحني در D باشند آنگاه D N P D اگر: است رانقطه درونيD P را يك ناحیه همبند نامند. N Q با D نقطه N P ولي و Q نقطه مرزی D است هر گاه D مشترك داشته باشد. P D Q است. و Q يك نقطه خارجي Q يعني: N Q D نقاط درونی و نقاط مرزی گراف یا نمودار هندسی توابع و خم های تراز نمودار هندسي يا گراف f در صفحه را مي شناسيم. تعميم اين f مجموعه نقاطي است در مفهوم به نمودار هندسي تابع دو متغيره متعلق به فضای سه بعدی با مختصات در جائي که f n D است. در واقع اين نمودار رویه ای در R با دامنهD درR است. نموداريك Hper surfce را يك ابررویه W f تابع سه متغيرهf با معادله 4 n R متغيره در در فضای چهار بعدی يا R نامند. در حالت کلي گراف يك تابع واقع يك رويه در است. onor curves Level curves کاربرد آن در نقشه های توپو گرافيك Topogrphic mp

تعریف : خم تراز خمي است که در دامنه تابع قرار دارد و در امتداد f به عبارت ديگر آن تابع دارای مقداری ثابت است يعني: c مكان هندسي نقاطي دردامنه مي باشد طوری که بازای آنها مقدار تابع ثابت است را خم تراز نامند. 75 مثال: تابع 84 Z =84 75 5

= =.5 4 c 4 4 = = c

تعريف : مفهوم حد و پيوستگي توابع چند متغير مشابه اين مفاهيم در توابع يك متغير است. لذا تعريف اين مفاهيم را برای توابع دو متغير در نظر مي متغير ميگيريم. که قابل تعميم به حالت کلي n متغير ميباشد. * گوئيم تابع f به حد L نزديك ميشود هرگاه به نقطه اگر کليه نقاط همسايگي f L نزديك شود و مي نويسيم : lim F و اگر باشد امكانا به جز خود نقطه f متعلق به دامنه به L نزديك شود هرگاه به ميل کند. * به عبارت ديگر : lim f مانند اگر و فقط اگر به ازای هر عدد مثبت عددی وجود داشته باشد که به وابسته است طوری که : f L f L و يا طوری که : اگر حد وجود داشته باشد منحصر به فرد است. * در توابع يك متغير f داشتيم که وجود lim ايجاب ميکند f که اگر به سمت ميل کند چه از طرف راست و چه از طرف چپ مقدار f به یک عدد ثابت ميل خواهد کرد. L حد و پیوستگی توابع چند متغیر 4

بطور مشابه : برای يك تابع دو متغيره f به یک مقدار ثابت L ميل خواهد کرد هرگاه نقطه روی هر مسیری به سمت نقطه ميل کند. * اين شرط الزم نيست که L = f باشد حتي اگر f تعريف شده باشد. کليه قواعد حدود در توابع يك متغيره بطور بديهي قابل تعميم به توابع چند متغيره مي باشند. بعنوان مثال اگر g lim مي باشند. M lim f L lim lim f g f g LM L M آنگاه : قواعد حدود f L lim g M M پيوسته باشد آنگاه همچنين اگر f در نقطه Lim f =f هرگاه به ميل کند 5

* فرض کنيد تابع n متغيره n f و نقطه n A= مفروض باشند. f در A پيوسته است اگر و تنها اگر سه شرط در R n آنگاه زير برقرار باشند : نقطه n P= را در نظر بگيريم. A Df - تابع f در A تعريف شده باشد. - حد تابع هنگامي که وجود داشته باشد. P A lim f P f P PA - ناپيوستگي اساسی : اگر شرط دوم برقرار نباشد. ناپيوستگي رفع شدنی : اگر شرط اول يا شرط سوم برقرار نباشد. lim lim Sin 4 9 5 Sin 6 - تعریف پیوستگی ناپیوستگی ها مثال 6

مثال : رفتار حدی تابع بررسي نمائيد : را هنگامي که در تابع مشاهده مي شود که دامنه تابع در تمام نقاط صفحه تعريف شده است. حال سؤال اين است که آيا حد تابع هنگامي که. f f وجود دارد یا ندارد روی مسير = روی محور ها لذا اگر حد وجود داشته باشد مي بايست روی هر مسيری برابر صفر باشد. lim لذا حد وجود ندارد. مثال : حد تابع بررسي نمائيد : را هنگامي که f حل: تابع فوق روی محورهای مختصات از بين مي روند و به صفر ميل lim f اگر وجود داشته باشد. ميکنند. لذا f ولي روی مسير = آنگاه : f f 4 روی مسير =m مي بينيم که : 7

يمهس : = ريسم یور دراد دوجو ادبم هب هدننک ليم یاه ريسم رد دح فلتخم ريداقم..درادن دوجو دح نیاربانب و تسا دح یاراد ادبم رد عبات هک ديهد ناشن :لاثم تسا رفص ربارب هک يماگنه نآ دح هک يئاجنآ زا : دح فيرعت قبط نياربانب : باختنا دشاب هاوخلد ار رگا ميراد و مينک يم : lim 4 m m m k m m m f 4 4 4 f f f 8

ادامه مثال های حد : بنابراين F دارای حد صفر است هر گاه : lim 4 مثال: نشان دهيد که 5 وجود دارد حل: مي بايست نشان دهيم که به ازاء هر 4 5 طوری که : لذا مي بايست δرا بر حسب ε بيابيم : از طرفي و چون لذا : 4 4 4 5 4 5 5 يعني با انتخاب ε = 5δ يا 5/ε δ = حد وجود دارد و برابر 5 است. 9

حال فرض مي کنيم = Wو f ناحيه Dقلمرو تابع fباشد. نقاط P و Pرا دو نقطه نزديك به هم در D در نظر گرفته و در جائي که = + Δ = + Δ و در شكل موارد فوق متناظر خواهد بود با : = +Δ ₒ w P Δ w L P +Δ +Δ Δ D مشتق سوئی Direcionl Derivives = +Δ متناظر با مقدار = + Δ = + Δ تغييرات wيعني Δw وقتي برابر است با : w w w f P f P f f فرض کنيدکمان کوچك Δs روی منحني غير تراز مانند روی خط L w w همچنين فرض کنيد φزاويه خط Lبا قسمت مثبت محور ها باشد.

تعريف : در شكل فوق اگر حد lim وجود داشته باشد مقدار آن را S S مشتق سوئی حد را w = f در نقطه P در سوی خط L تابع نامند و بصورت زير نمايش داده مي شود : lim S P W S s lim S f توجه کنيد که مقدار اين حد به تابع در نقطه P و به سوئي که ميل مي کند بستگي دارد. حاالت خاص از مطالب فوق: P P در طول خط موازی محور اگر انجام شود آنگاه : هايعني روی خط P L : f - تعریف مشتق سوئی در سوی خط L مشتقات جزئی بعنوان حاالت خاصی از مشتقات سوئی حد فوق را مشتق نسبي wنسبت به در نقطه P نامند و آنرا با نمادهای : dw ds W f f lim lim S S S W P W f P W P f P P نمايش مي دهند.

L : P بطور مشابه : P P در طول خط موازی محور ها. آنگاه : يا روی یا - اگر P W f f lim lim S S S روش مشتق گیری جزئی حد حاصل را مشتق نسبيw نسبت به در نقطه P نامند و آنرا با W نشان مي دهند. f نمادهای : P P W f P P مشتقات جزئي وقتي مطرح اند که در يك تابع چند متغيره فقط يك متغير تغيير کند و بقيه متغير ها ثابت بمانند. لذا مشتق گيری معمولي نسبت به آن يك متغير گرفته مي شود و بقيه متغيرها به عنوان عدد ثابت فرض مي شوند.

تعبیر هندسی جزئی مشتق در مطالب فوق نشان داده شده است که مشتقات جزئي چگونه شكل مي گيرند با استفاده از مفهوم مشتق سوئي به شكل زير توجه کنيد : رویه : w f Z wیا P P ₁: w = f ₀ P ₂: W = f ₀ P₁₁ ₁ ₁: w = f ₀ در نقطه خطی است که واقع Lخط w = f مماس بر منحنی در صفحه = و شیب آن برابر است با : n F P ₁ Z یا w P P L

₂: W = f ₀ = و شيب آن F : n خط L مماس بر منحني P خطي است واقع در صفحه برابر است با L P ₂: W = f ₀ P ₁ مثال : R بردار موضع نقطه فرض کنيد kˆ î ĵ R باشد. فرض کنيد در مختصات کروی داده شده باشند. مطلوبست حل: از آنجائي که os Sin Sin Sin os لذا : R î ĵ kˆ Sin Sin î Sin os ĵ R Sin r 4

osf f : مثال: اگر حل : مشتق نسبت به : f نشان دهيد f Sin os f Sin os os f os os و مشتق f نسبت به : و با جاگذاری در رابطه فوق تسائي برابر صفر در مي آيد: همچنين در اين مثال مي توان مشاهده نمود که مشتق ترکيبي نسبت به و و بر عكس نسبت به و با هم برابر نيستند. يعني: f f 5

قضیه برای توابع بیش از دو متغیر قضیه : نمو تابع f یا W : w f f در توابع يك متغيره f = ديده ايم که f نمو تابع f در است. و در صورت مشتق پذير بودن f در همسايگي ميتوان عدد مثبتي مانند چنان يافت که : f در جائيکه که هرگاه f f f مثال: اگر f W f f W مطالب فوق بصورت قضيه زير به توابع دو و يا چند متغيره قابل تعميم است : قضیه: فرض کنيد تابع در سراسر ناحيه يكپارچه D در صفحه پيوسته و دارای مشتقات نسبي f f پيوسته باشند آنگاه : W ميتوان f f با قرار دادن f f اثبات نمود:...* در جائي که : هرگاه 6

اگر شرايط فوق در قضيه برای تابع f برقرار باشد مي توان گفت که رويه W=f در نقطه P دارای صفحه مماس است. تعریف : اگربتوان که : W بصورت معادله * بيان کرد و آنگاه مي توان گفت تابع W=fدر نقطه مشتق پذیر است وجود صفحه مماس بر رویه W=f مشتق پذیری توابع. df f دیفرانسیل کل f تابع f یا df و دیفرانسیل های جزئی تعریف : اگر تابع f در نقطه مشتق ذير باشد آنگاه عبارت : d d را ديفرانسيل کل f نامند و هر کدام از عبارات سمت راست تساوی فوق را ديفرانسيل نسبي تابع f نامند. 7

حالت کلی dw و Δw برای تابع در واقع مي توان گفت که ديفرانسيل کل تابع fيعني dfو dw تغييراتي است در تابع f که در اثر تغييرات جزئي در متغيرهای و بطور همزمان پديد مي آيد. W W در حالت کلي : اگر n W=f آنگاه : W *... W n... n...... n هر گاه... در جائي که n و در حالت کلي برای ديفرانسيل کل تابع wيا f داريم : n n متغیره n V df dw f d f d f d... مثال: استوانه ای به شعاع سانتي متر و ارتفاع 4 سانتي متر را در نظر ميگيريم. اگر شعاع را به.9 کاهش و ارتفاع آنرا به 4. افزايش دهيم چه تغييری در حجم استوانه پديد مي آيد r r h f 4 h r dv V dh rh 9. 4. 4 h در جائی که dr=-. dr dh=..6 4 dh V r 4 f n d n 8

P رد f هاگنآ دشاب ريذپ قتشم P هطقن ردf هيضق : رگا تسا هتسويپ..دشاب هطبار زا هاگنآ * =rs =rs =f دينک ضرف ميراد : يتقو ار نآ دح و مينک يم ميسقت Δr هطبار نيفرط رب ار.مينک يم يسررب زا هاگنآ رگا هک دينک هجوت هک دوش يم هجيتن هاگنآ دح رد اذل : هكنيا هب هجوت اب : هباشم روطب و : قتشم طابترا یگتسویپو یریذپ هریغتم ود عباوت یریجنز هدعاق... s r s r r s r s r r r r r r r r r r r r r r r r lim lim lim lim r s r s r r r r r s r s r r r r r r r r lim lim lim lim r r r 9

یارب رگا هاگنآ تسبولطم رگا تسا ضورفمw= + + لاثم : عبات یلک تلاح یریجنز هدعاق...... n m i i i...n m n n m m m n n n n......... S os in dw in os S d w d w d w dw dw

: اگر اعدادی ثابت با شند و u=+ w=u +nhu+osu w w or w dw u u du or w dw u u du Sech u Sinu w Sech u Sinu مثال نشان دهيد : w =w حل : Jcoin ژاکوبین تبدیل یا دترمینان تابعی اگر * و اگر u v بصورت تابعي ضمني بر حسب بيان d d شده باشد مي توان u u v v را بدست آورد. تعریف : از دستگاه فوق ديفرانسيل کل d d را مي نويسيم : u du v du dv dv u v u v نمايش داده در اين دستگاه دترمينان را با u u v v و آنرا J يا ژاکوبین تبدیل مي نامند. يعني : J u v w u v u v

. v v u u مطلوبست u v مثال - اگر u v دو مسئله مهم در بحث ژاکوبین آنجائي که vu در دستگاه فوق توابعي ضمني از اند لذا داريم : حل : همچنين از دستگاه صورت مسئله داريم : du ud u d... dv vd vd d udu vdv اگر dv du را در مجهول فرض کنيم d و با استفاده از دستور کرامر داريم : udu vdv du dv d d u u J J v v d d v du... dv v d J J u d J J v u d d

هسياقم زا و ميراد : زا نياربانب -لاثم ديهد ناشن :لح. ميراد J u J u J v J v v v u u v u v u v v u u J v v u u vu uv 6 6 6 6 6 6 6 u v v u v uv u J v u v u u u v uv u v v u v v u v uv u u u v u v v u uv v u u v u v u v v u u J v u J J J J v u v u v u v u v u u v u v v u v u J v u J u v u v

جهت يادآوری به توابع يك متغيره مي پردازيم و مطلب را به توابع چند متغيره تعميم مي دهيم : * فرض کنيد f= بصورت تابعي ضمني از باشد. با تقسیم بر d df d d f df f d f d f f d d d * بطور مشابه فرض کنيدF= وتابعي ضمني از باشد آنگاه : F df Fd Fd F d... فرض کنيد =fبصورت ضمني باشد. آنگاه داريم : d d= d+ df F d F d F d : مشتق گیری از توابع ضمنی با جايگذاری در داريم F F d F F d و نتيجتا dd متغيرهای مستقل اند لذا از ترکيب خطي فوق چون نتيجه مي شود که : ضرائب برابر صفراند يعني : F F F F F F F F d d f f 4

مثال : تابع -+4-5 F== + + مفروض است. مطلوبست. F F 4 F F 6 4 : 4 حل 5

صفحه مماس و خط قائم : تعريف : فرض کنيد Z=fمعادله رويه ای مانند Sو نقطه P روی S در نظر مي گيريم اگر نقطه دلخواه Pرا روی Sنزديك به P فرض کنيم آنگاه اگر نقطه گذرنده از P بر S مماس است اگر : هر گاه Pبه سمت P ميل کند و در اثر آن اندازه Sزاويه بين Tو خط P P همواره به سمت صفر ميل مي کند. خط قائم بر رویه : تعريف : خط گذرنده از Pو عمود بر صفحه Tرا خط قائم بر S نامند. L P V N V n n f f P P f f شيب خط L شيب خط L P / β α 6

از شكل قبل از شكل قبل N V V V î ĵ kˆ V f f î f ĵ î f N îf ĵf f f kˆ معادله خط قائم : بردار قائم بر رویه در نقطه P V در صورت وجود صفحه مماس در نقطه Pاين صفحه شامل دو خط L L و يا شامل دو بردار V است. بردار قائم N بر صفحه مماس در نقطه P عمود است لذا با استفاده از معادله صفحه گذرنده از نقطه P و عمود بر N داريم : در جائي که صفحه مماسي P kˆ kˆ PP.N f f معادله صفحه مماس 7

در نقطه P مثال : مطلوبست معادله صفحه مماس و خط قائم بر رويه 4 4 f N î صفحه مماس 4 4 ĵ kˆ f f 4 حل : 8

N N خالصه سرفصل ها مشروح سر فصلها مثال : دو رويه =fو =gمفروضند. را منحني فصل مشترك P g f دورويه در نظر ميگيريم. واقع بر آن. مطلوبست بردار مماس بر در نقطه î g î f ĵ kˆ ĵ kˆ N P N N حل : بردار مماس بر فصل مشترک دو رویه فضائی عمود است بر رويه است بر رويه f g و عمود N N N = بردار مماس بر در = P N N i f g j f g k 9

مشتق سوئی در حالت کلی در سوی زاویه φ مجددا ميل کردن نقطه Pبه سمت P را در نظز مي گيريم و اين بار روی نيم خط Lبا مبدا Pطوری که Lبا محور قسمت مثبت آن زاويه φ بسازد. آنگاه حد نسبت تغييرات تابع ωرا نسبت به s بشكل زير در نظر مي گيريم : در هنگامي که نقطه Pبه سمت P ميل کند روی Lيا در سوی φدر نقطه P اگر حد زير وجود داشته باشد مقدار آنرا مشتق سوئی تابع ω در نقطه P در سوی φ نامند. يعني: در جائي که : φ Δ Δ +Δ lim s P P s d ds f f قضیه : هر گاه ω=fدر سراسر همسايگي نقطه P پيوسته و دارای مشتقات نسبي پيوسته fدر f نقطه Pباشد آنگاه مشتق سوئی ω در سوی φدر نقطه Pوجود دارد و به وسيله عبارت زير تعريف مي شود: d ds f os f Sin

اثبات قضیه فوق اثبات : با توجه به رابطهΔωبه عنوان عبارت ε دار اگر از طرفين رابطه مذکور حد بگيريم بعد از تقسيم طرفين بر Δsهنگامي که Δs و يا ΔΔدر سوی φ داريم : lim limf f lim lim s s s s s s d f ds d ds f d ds در جائي که. و در εهر ε گاه ΔΔ بنابراين عبارات ε دار صفر ميشود. و در حد lim Sin lim os s s بنابراين d ds f os f Sin

P قضیه مشتق سوئی در سوی یک بردار سویدر حالت سه بعدی قضيه : هر گاه w=f در سراسر همسايگي نقطه پيوسته و دارای مشتقات نسبي پيوسته f f f در نقطه P باشد آنگاه ˆu در os iˆ os ˆj os مشتق سوئي تابع w در سوی بردار ˆk dw w D يا نمايش داده و به u نقطه P وجود دارد و آنرا با عالمت ds P وسيله رابطه زير تعريف مي شود : lim s w dw f P os f P os f P os ds ds اثبات : اگر P P در امتداد بردار û براحتي مشاهده مي شود که : c β α w lim s s lim f p lim f s s s d os s ds os s d ds و با استفاده از رابطهΔw os s برای سه متغير داريم : p lim s s اثبات قضیه فوق و لذا عبارت مورد نظر پس از حد گرفتن بدست خواهد آمد. d ds f p lim s s s s s

w P گرادیان wدر نقطه P تعريف : گراديان تابع w=f را بصورت w يا grd w يا f نمايش مي دهند. در جائي که دلتای وارونه را دل يا نبال nl خوانده که بصورت عملگر ديفرانسيل برداری شبيه به d عمل مي کند و بصورت زير تعريف مي شود : d w w î û w ĵ w kˆ بنابراین داریم : iˆ ˆj kˆ در قضيه فوق مي توان w در سوی تعبیر هندسی بردار گرادیان : با توجه به رابطه مشتق سوئي مشاهده کرد که : û P dw ds P w.ˆ u P p î f p ĵ f p kˆ.os î os ĵ os kˆ f يعني : همانند شكل روبرو ميتوان مشتق سوئي wدر سوی را بعنوان مولفه بردار گراديان wدر سوی û در نظر گرفت لذا : dw حال با در نظر گرفتن بعنوان تصوير w بر û داريم. w ds dw هنگامي ماکزيمم است که =θ زاويه بين گراديان و بردار سوی û ds برابر صفر باشد. و يا به عبارت ديگر : û dw در سوی بردار گرادیان ماکزیمم است. ds

[û w P w P يعني در سوی ] و يا تابع w=f در سوی بردار گراديان خود در هر نقطه دارای بيشترين مقدار تغييرات است. مثال کاربردی گرادیان مثال: در چه سوئي تابع w= از نقطه - P دارای مشتق سوئي ماکزيمم است. و يا به عبارت ديگر : حداکثر تغييرات تابع wاز نقطه P در چه سوئي است حل : از آنجائي طبق مطالب فوق تابع w در سوی بردار گراديانش دارای حداکثر تغييرات است. و يا دارای مشتق سوئي ماکزيمم است لذا مي بايست û را تعيين نمود : û î ĵ w 4î 4ĵ 6 4 4 4 4 w 4 9 P kˆ kˆ 4

و خواص هندسی بردار گرادیان f w i- در نقطه تابع f در جهت دارای سريعترين افزايش است. بنابراين بيشترين مقدار تغييرات افزايش برابراست f f - ii در نقطه تابع f در جهت دارای سريعترين کاهش است. بنابراين بيشترين مقدار تغييرات کاهش f برابراست با - iii مقدار تغييرات f در نقطه برابر صفر است. ميگذرد f در جهت مماس بر منحني تراز f که از نقطه مثال : در ناحيه ای از صفحه درجه حرارات نقاط برابر Tاست در جائيكه : -. T= e حرارت دارای سريعترين افزايش است و درآن جهت مقدار افزايش در چه جهتي از نقطه 4 چقدر است T e î e ĵ T î ĵ e 4 e در نتيجه در جهتĵ î تابع T سريعترين افزايش را يابد و مقدار اين افزايش برابر است : T 5 سانتي گراد در واحد طول

*از مطالب فوق در واقع مي توان نتيجه گرفت که : بردار گراديان تا w=fدر نقطه P يعني w برداريست که : P دارای بيشترين مقدار است. الف- سوی آن همان سوئي است که در آن dw ب- طول آن نيز برابر بيشترين مقدار ds P dw ds P است. * نقاطي w w=f=w ثابت است بر روی هو در فضا تشكيل رويه ای را مي دهند که درآنها که دارای معادله = F=f-w است. اين رويه ها را رويه های تراز نامند. گرما باشد رويه را سطح هم دما نامند و w اختالف پتانسيل اختالف سطح الكتريكي باشد اگرwاگر رويه را سطح هم پتانسيل يا همظرف نامند. 6

مشتقات نسبی از مراتب باالتر : اگر تابع fدارای مشتقات نسبي در ناحيه ای از صفحه باشد آنگاه توابع مشتق نيز خود مي توانند مجددا توابعي از باشند يعني توابع مشتق خود دارای مشتقات نسبي مرتبه دوم سوم و باالتر باشند مانند : f f f f f f f f fو يا fرا مشتقات مرتبه دوم ترکيبي نامند و اگر f f توابعي پيوسته باشند آنگاه مشتقات ترکيبي با هم برابرند يعني : f =f m m m n f f يعني مشتق ترکيبي f n n يعني مشتقات مرتبه mام و مشتقات ترکيبي لذا بطور کلي m n m+n ام m مرتبه نسبت به و n مرتبه نسبت به که آنرا بصورت داد. f هم مي توان نشان...... n m f f f f بعنوان مثال برای مشتق ترکيبي سوم : برای توابع پيوسته f i f ii f f f f f : f اگر مثال : نشان دهيد f 7

لح : f f 4 4 f f هباشم روطب f f f 4 4 ميراد بيترت هب : هب تبسنf +f =f نيفرط زا یريگ قتشم اب f f f f f f f f f f f f f f ینیز طاقن و ممینیم و ممیزکام حطس هيحان یور f عبات كيriicl poins ينارحب طاقن ناونعب ينيز طاقن و ممينيم و مميزکام دنوش يم فيرعت ريز تروصب تسا : ينورد هطقن یاراد هکR R رد هطقن ره یازاب رگا تسا رد قلطم ممیزکام هطقن كي یارادf : فیرعت f < f ЄR هطقن ره یازاب رگا تسا رد قلطم ممینیم هطقن كي یاراد ردf هباشم روطب f > f R 8

تعریف: نقاط مازيمم و مينيمم مطلق را يك اکسترمم مطلق نيز مي نامند. اگر تابع =f تابعي پيوسته روی ناحيه بسته R باشد آنگاه f دارای ماکزيمم و مينيمم مطلق در R ميباشد. تعريف: اگر هر کدام از نامساویهای فوق برای نقاط در یک همسایگی از برقرار باشند. آنگاه گوئيم f دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی در است. تعریف: يك نقطه بحرانی تابع f نقطه ای است مانند که در آن : f =f = در واقع در يك چنين نقطه ای صفحه مماس بر رويه =f در حالت افقي قرار دارد. ماهيت نقاط بحراني يا بصورت نقاط اکسترمم اند و يا بصورت نقطه زینی لذا مي توان مشاهده کرد که يك نقطه بحراني لزوما اکسترمم نيست. Mimum Minimum R 9

مثال : نقاط بحراني تابع F= - را بيابيد و نشان دهيد تابع مذکور دارای نقاط اکسترمم نيست. تنها نقطه بحراني است = = f =- f = f =f f=f-f f=f -f f اگر روی خط = به طرف حرکت کنيم داريم و اگر روی خط = به طرف حرکت کنيم داريم f f = f=f بنابراين عالمت f به جهت حرکت نقطه به مبدا بستگي دارد لذا نميتواند يك نقطه اکسترمم باشد. نقطه زینی : تعريف : اگر عالمت f بستگي به جهت حرکت نقطه به سمت نقطه بحراني داشته باشد آنگاه نقطه بحراني را يك نقطه زینی نامند. نقطه بحراني Pرا که در = fرا =f در نظر مي گيريم. با توجه با اينكه : =m - =l - f f f l f l f f m m l f lmf m f * بسط تيلور تابع f حال اگرf بخواهد در نقطه صفر شود بايد معادله درجه دوم f f f دارای ريشه حقيقي باشد بنابراين بايد 4

آزمون مشتقات نسبی مرتبه دوم قضیه : فرض کنيد تابع f و تمام مشتقات نسبي مرتبه اول و دوم آن در نقاط بحراني خود مانند پيوسته باشند. اگر A=f و =fو B=fو D=B -A آنگاه الف- اگر <D نقطه يك نقطه زيني است. ب- اگر =D با اين روش نتيجه ای حاصل نمي شود و به آزمون های دیگر نیاز است. ج- اگر >D تابع در نقطه دارای يك مينيمم نسبي است اگر <A و دارای يك ماکزيمم نسبي است. اگر <A يا > باشد. f f f= + - - + مثال: حل: ماهيت نقاط بحراني تابع برای نقاط بحراني داريم را تعيين کنيد f f 6 6 6 6 : f f f 6 6 6 f 4

ماکزيمم نسبي = A=-6< D=-6< مينيمم نسبي= A=6> D=-6< نقطه زيني است = - D-=6> نقطه زيني است = =6> D f -5+ f= + + را تعيين کنيد 5 f 6 6 6 f 5 5 ماهيت نقاط بحراني تابع نقاط زیني مثال : مثال کاربردی مثال: مي خواهيم يك جعبه چوبي در بازی بسازيم به حجم 4 سانتي متر مكعب طوری که کمترين مقدا چوب مصرف شود. S مساحت چوب مورد نياز 4 7 4 حل : 8 8 8 S f S 8 8 S 8 4

و و S 6 6 S S S D S و چون <A لذا تابع در نقطه دارا منم است پس ابعاد چوب مورد ناز = و تمرین : ماهیت نقاط بحران تابع f را مشخص کنید 4

فصل شش -انتگرال دوگانه انتگرال دوگانه يك تابع حداکثر دو متغيره f روی ناحيه مسطح D در صفحه يك حاصل جمع حاصلضرب های دو عبارتی به شكل زير تعريف ميشود به عنوان حد : * فرض کنيد D ناحيه ای بسته و محدود به منحني های = از چپ و = از راست باشد. * -- f روی توابع Φ Φ و روی بازه ] [ پيوسته است و Φ Φ برای هر =Φ از پائين و Φ از باال و خطوط ای در فاصله. [ ] * افراز: ناحيه D با خطوط عمودی و افقي به زير ناحيه های کوچك Δs i افراز مي شوند طوری که. i= n برای ΔS i = Δ i Δ i 44

* نقطه i M i = i را در Δs i طوری انتخاب مي کنيم که نزديكترين نقطه آن به مبدا مختصات باشد. فقط زير ناحيه مستطيل شكل ΔS i هائي را در نظر ميگيريم که کامال در داخل D قرار گرفته باشند. *نهايتا حاصل جمع حاصل ضرب های دو عبارتي زير را تشكيل ميدهيم : n S f S f S... f S S f S n n n n n i i i i i i i i S i i i حذ ف می شود حذ ف می شود n تا با قی می مانند M i i i i i i i 45

روش سه مرحله ای حل انتگرال دوگانه - رسم شکل ا ز ر وی حد ود م ر زی د اده شده د ر مس ئل ه و تع ین مخ تصات نقاط ب رخو رد منحنی ها -تعین ترتیب انتگرال با انتخاب نوار عمودی یا افقی وسپس نوشتن نماد ریاضی D - حل انتگرال دوگانه با حدود بدست آمده در نماد فوق بوسیله دوبار انتگرال گیری های معین یگانه داخلی و خارجی انجام می شود. مثال های نمونه انتگرال دوگانه : : مثال - انتگرال دوگانه f = را روی ناحیه D که محصور به منحنی های مرزی و = و محور ها است را محاسبه نمائید. حل : مرحله اول با توجه به روش سه مرحله ای فوق ناحیه در یک هشتم اول مختصات است واز سمت راست به خط و از باال به شاخه سمت راست سهمی و از پائین به محور ها محدود می باشد. 46

47 مرحله دوم : معموال حل مسائل را با ترتیب نوار عمودی آغاز می نمائیم. اگر با این انتخاب مسئله حل ناشدنی و یا مشکل باشد انتخابمان را به ترتیب نوار افقی تبدیل می کنیم. آنگاه مشاهده میشود برای آنکه کلیه ناحیه انتگرال گیری با حرکت نوار عمودی انتخابی پوشش داده شود می بایست عرض آن یعنی بعنوان یک نقطه از چپ به راست حرکت کند یعنی از مبداء صفر تا تغیر کند. آنگاه در اثر این حرکت به ازای هر یک سر نوار روی منحنی پائینی و سر دیگر آن روی منحنی باالئی است. بنابراین نماد ریاضی ناحیه بصورت خواهد شد مرحله سوم :... روش محاسبه با ترتیب : d d نوار افقی D / d d d d 5 [ ] d d با انتخاب ترتیب می بایست کلیه معادالت توابع مرزی ناحیه را معکوس نمود. بنابراین مراحل دو و سه در روش فوق تغیر می کند. حال مشاهده می شود که نماد ریاضی ناحیه براحتی بصورت زیر D / o بدست می آید : مطابق قضیه مهمی که در آنالیز ریاضی وجود دارد برای توابع پیوسته مقدار انتگرال دوگانه بستگی به ترتیب انتگرال گیری ندارد : d d...

- انتگراله دوگانه زیر را محاسبه کنید : dd d d [ ] d d[ ] 4 4 بدون رسم شکل بصورت دو بار انتگرال گیری های مکرر و باید توجه داشت که برخی مسائل را می توان معین یگانه حل نمود. در این مثال هر کدام از چهار حد انتگرال دو گانه عدد می باشند. بنابراین ناحیۀ در صفحه یک مستطیل است. حال به تمرین های مهم زیر دق ت کنید : d آیا می توانید را بدون ترسیم شکل ناحیه محاسبه نمائید...... 5... n Sin n d 4 6... n d d cos sin n sin n k d k تمرین : - -4 راهنمائی: 48

تعویض ترتیب انتگرال دوگانه مثال: f ترتيب انتگرال گيری را عوض کنيد در انتگرال دوگانه dd e =e = = ln =e ترتيب زيرا d d است. حل : - رسم شکل از روی حدود داده شده و تعيين مختصات نقاط برخورد منحني های - نوار در صورت اين مسئله عمودی است يعني نماد Dدر مسئله بصورت زير است : = D / ln e 49

- توابع داده شده درحدود انتگرال را معكوس نموده و نماد D نوار را نيز تغير مي دهيم. بنابراين برای نوار عمودی جديد خواهيم داشت : D / eln است. e f dd e ln f dd : مثال: جواب بصورت انتگرال e dd را محاسبه کنيد حل : چون انتگرال نسبت به تابع اوليه ندارد لذا ترتيب انتگرال گيری را عوض مي کنيم. e dd = = e e dd e e d e D / D / d تمرین انتگرال دوگانه را محاسبه کنید Sin dd : 5

کاربرد های هندسی انتگرالهای دوگانه حجم - - محاسبه حجم : اگر تابع زير انتگرال Inegrnd به ازای همه مقادير مثبت باشد و =f نمايشگر يك رويه در نظر گرفته شود. آنگاه مقدار انتگرال دوگانه برابر است با حجم زير آن رويه و باالی ناحيه انتگرال گيری. D به عبارت ديگر جمالت f i i ΔS i در S n هر کدام تقريبي مناسب برای حجم آن قسمتي از جسم است که بر قاعده ΔS i قرار دارد. بنابراين n تقريبا برابر حجم کل جسم است و حد اين مجموع مجموع هنگامي که f i i i S i n و يا i ΔS حجم دقيق زير رويه را مشخص مي نمايد. يعني : V lim n i f i i S i D f ds 5

S = ΔS i مساحت قاعده ΔS i MX I Y I i = f i ارتفاع مکعب مستطیل بلند D مثال : مطلوبست محاسبه حجم جسمي که از پائين به ناحيه D واقع بين خمهای = = و در = صفحه و از باال به رويه = محدود است. V ds dd D 8 D = = 5

= - مساحت محاسبه مساحت : فرض کنيد در تمام نقاط ناحيه بسته Dتابع = f باشد: آنگاه = مساحت D D = مساحت D = f ds dd D D n i f i i S dd i n i S مثال : مطلوبست محاسبه سطح ناحيه D محدود به خمهای : = = عمودی افقی D D / dd / dd i d 5

کاربردهای و هندسی فیزیکی انتگرال دوگانه * اگر f = معادله رويه فضائي و اگر =fبرای هرنقطه باشد آنگاه به ترتيب انتگرال دوگانه f برابر حجم و مساحت خواهد شد. حال اگر مشابه مطالب فوق برای عبارت زير انتگرال يعني f ماهيت های مختلف ديگری مانند چگالي و يا فاصله در چگالي را در نظر بگيريم مفاهيمي چون گشتاور و جرم و غيره را خواهيم داشت :... M - اگر f برابر چگالي نقاط برابر جرم D است. يعني δ در ناحيه fds باشد آنگاه انتگرال D D D.. M + M - اگر f برابر δ برای نقاط در D باشد انگاه انتگرال ds برابر D گشتاور مرتبه اول D نسبت به محور ها و اگر f برابر δ باشد بطور مشابهds برابر گشتاور مرتبه اولD نسبت به محور ها خواهد شد. = m S گشتاور مرتبه اول سطح جزئي ΔS i نسبت به محور ها زيرا : ها = i i i i i m S i i i i i i i گشتاور مرتبه اول سطح جزئي ΔS i نسبت به محور آنگاه = I ممان اینرسی يا گشتاور در مرتبه دوم ds δ ها D... - اگر f برابر D نسبت به محور I 54

= آنگاه I ممان اینرسی يا گشتاور در مرتبه دوم ds δ برابر f اگر -4... I D نسبت به محور ها... I -5 اگر f برابر + δ آنگاه: ds I گشتاور قطبي D نسبت o D به مبدا يا گشتاور ماند نامند M M M D G که به صورت: مي باشند. مختصات گرانیگاه -6... G M تغییر متغیر ها در حالت کلی و با استفاده از ژاکوبین دستگاه تبدیل : تبديالت Trnsformion : با توجه به تعريف تابع و نگاشت به عنوان يك قاعده ای که به هر عضو از يك مجموعه يك و فقط يك عضو از مجموعه دوم را نسبت مي دهد چنين توابع يا تبديالت راکه مجموعه ای از نقاط صفحه uv را به مجموعه ای از نقاطمتناظر خود در صفحه تبديل ميكند را با دستگاه معادالت تبديل : نمايش مي دهند. u v u v 55

v u اين تبديالت در صفحه را مي توان با در نظر گرفتن دستگاه بعدی تعميم داد. u v w u v w u v w به فضای سه مروری بر ژاکوبین تبدیل توجه : با توجه به مطالب قبلي در مورد ژاکوبين ها برای دستگاههای نظير دستگاههای تبديالت فوق و وجود توابع ضمني مشاهده خواهيم نمود که ژاکوبين تبديالت در اين مبحث نقش عمده ای را ايفا ميکند. را در نظر بگيريم واين تبديالت را روی ناحيه مثلثي R در صفحه مثال : اگر تبديالت u v v u که بصورت ناحيه محصور به خطوط : =} - R : {= + = است اثر دهيم در صفحه که مثلثي است محصور به خطوط u+v=v-u=u+v= S uv R ای مانند تصوير uvناحيه بدست خواهد آمد. 56

رگيد ترابع هب : u v v u * = R += -= S u v * * * * v u So u v So v u u v v u هک دينک هجوت قوف لاثم رد 5 : v u J اذل : 5 v u J :فیرعت كي رد ليدبت كي هب كي نآ تشاگن هک یا هطقن كي دشابن دشاب ريذپ سوكعم و ربتعم دناوت يم.دنمان دنشابيم تياهن يب اي رفص ليدبت نيبوکاژ طاقن نيا رد. Singulr طاقن ار طاقن نيا نيكت اي 57

مثال: تبدیالت مختصات دکارتی به قطبی r os r Sin * نشان دهيد تبديل ناحيه Gدر صفحه rθرا به ناحيه Rدر صفحه تبديل مي کند. G : r r os r Sin r مستطیل G r ربع اول صفحه محدود به R تمرین : نشان دهيد تبديل زير ناحيه R را به S uv نگاشت مي کند برای > u : R u oshv u Sinh v J u v u 58

v u= u= S v= v=/ u u u v v وابستگی تابعی J باشد آنگاه مشاهده خواهد شد که بين vu يك رابطه هماني اگر در دستگاه : ideni برقرار است و يا به عبارت ديگر برای چنين توابعي که بطور تابعي وابسته هستند J= 59

لاثم : v u u u u J u v 4 لاثم : e v u J u u ln ln ln ln ln ln ln ln / v e e e v e u u u u r =+osθ یامنلد يئلااب همين نورد هک D رد هيحان Frθ=r Sinθ لاثم : عبات هناگود لارگتنا دينک هبساحم ار دراد رارق. dr dθ θ d dr Sin r rdr d r Sin os os 4... d os Sin d os r Sin 6

n r f r f Δθ D O D Δr انتگرال دو گانه در مختصات قطبی: مساحت قطاع بزرگ مساحت قطاع کوچک D F r da? A B r i r Ar i r = مساحت قطاع بزرگ مساحت قطاع کوچک = OAD OB M i r i i ri O D Δr r i r ri r ri r ri r - ناحیه انتگرال گیری دو گانه در صفحه قطبی همانطور که در شکل باال سمت چپ نمایش داده شده ناحیه بسته D است. r f و از باال به منحنی r f محدود است و از پائین به منحنی واز چپ با شعاع از راست با شعاع D - - نماد ریاضی ناحیه بنا بر شکل و توضیحات باال می توان بصورت زیر نمایش داد : { r / f r f } F r تابع زیر انتگرال تابعی است پیوسته و برای کلیه نقاط تعریف شده است. D dar dr d 5- افراز ناحیه : ناحیه را به زیر ناحیه های کوچک A که شکل هندسی آنها بصورت یک قطعه از دایره است تقسیم می کنیم. i D D -4 6

افراز نواحی در سیستم های مختلف مختصاتی همیشه بر اساس تجزیه مختصات به عناصر کوچک انجام می گیرد. مانند افراز یک ناحیه در دستگاه دکارتی که توسط خطوط موازی محور ها ناحیه به مستطیل های بسیار کوچک به طول و عرض های و ها که هردو ماهی ت پاره خط بودن را دارند. ولی در مختصات قطبی با r و برای افراز به طول های کوچک r ها که روی هر شعاع تقسیم می شوند و به قوس های کوچک که روی قسمتی ازدایره ها به مرکز قطب جدا می شوند. اکنون ناحیه انتگرال گیری D را با دوران محور قطبی در جهت مثبت که آنرا حرکت شعاعی یا مانند حرکت برف پاک کن از نمایش داده می شود. تا می پوشانیم. همانطور که در نماد ریاضی این ناحیه تغیرات بصورت حال برای تغیرات r مشاهده می کنیم که برای پوشش ناحیه در اثر حرکت شعاعی همواره به ازای هر ای یک سر شعاع روی منحنی پائینی داخلی یعنی r f و سر دیگر آن روی منحنی باالئیخارجی یعنی r f قرار می گیرد. بنابراین حداقل و f نمایش داده می شوند. بنا براین از مفاهیم فوق نتیجه حداکثر مقادیر در نماد ریاضی بصورت: r f r می شود : n f Lim F ri i Ai F r da n i D f F r r dr d 6

قاعده جسمي ناحيه واقع بين دو دايره = - + 4= - + است و جسم از باال به محدود است حجم آنرا بيابيد. مثال : رويه V dd V. rdr d D 4os os 8 r os 4. مثال : حدود ناحيه ای در مختصات دکارتي عبارتست از : } } حدود ناحيه مذکور را در مختصات قطبي تعيين کنيد D r 4 Sin = r Sin r rθ θ = = است که در قطبي : r rsin Sin Sin f dd 4 زيرا يك مرز D بصورت f ros rsin rdr d 6

تعریف انتگرال سه گانه: از طریق حد مجموع منظم نسبت متناهي و فرض کنيد تابع پيوسته Fدر ناحيه V بسته و کراندار و به يكي از محورها در فضای سه بعدی تعريف شده باشد. * ناحيه V را به n زير ناحيه ΔV i بر i=.n افراز مي کنيم. Fدر هر نقطه i M i i i يعني i اگر i F i i مقدار i i * انتگرال سه گانه F روی V بصورت زير تعريف مي شود : n n i V i i i -امين زير ناحيه باشد آنگاه : V F dv lim F V * * تعريف فوق به شرطي برقرار است که حد سمت راست تساوی فوق وجود داشته باشد هنگامي که همه ابعاد ΔV i ها بسمت صفر ميل کنند. مقدار حد فوق برای توابع پيوسته مستقل از نوع تقسيم بندی يا افراز است. 64 روش محاسبه انتگرال سه گانه * روش محاسبه انتگرال سه گانه بوسيله انتگرالهای معين يگانه يا سه بار انتگرال گيری مكرر امكان پذير است.

* مفاهیم و تعاریف واژه های اساسی -. است بسته V R اگر شامل نقاط مرزی اش باشد. - V متناهی است. اگر درون يك کره يا يك مكعب مستطيل قرار گيرد. - ناحيه Vنسبت به محور ها منظم است اگر هر خط موازی محور ها از يك نقطه وارد V و از يك نقطه خارج از V شود. 4- ناحيه V را منظم گويند هر گاه نسبت به هر سه محور مختصات منظم باشد. V M i i i i 5- منظور از قطر يك ناحيه بسته و متناهي دورترين فاصله بين دو نقطه آن است. 6- افراز V يعني تقسيم آن به زير ناحيه های بسته متناهي وکوچك مانند مكعب مستطيل R 65

* حدود انتگرال گيری نشان مي دهد که به ازای هر i در i مي R تواند از رويه پائيني i =f i تا رويه باالئي i =f i تغير کند و حدود انتگرال دو گانه خارجي برای به روش معمول انتگرال دوگانه روی R انجام مي شود. گاهي V مي تواند شامل سطح جانبي استوانه ای موازی محور ها باشد و گاهي سطح مجزای جانبي برای Vوجود ندارد. در اين حالت معادله مرز R با مساوئ قرار دادن =f =f يعني از تساوی f =f بدست مي آيد. * فرض کنيد L خطي موازی محور ها باشدکه از نقطه ای چون در R بصورت قائم مي گذرد. L از =f به Dوارد و از f= از D خارج مي شود. يعني حد باال و پائين انتگرال داخلي نسبت به را تعين مي کند. انتگرال داخلي نسبت به گرفته مي شود و جواب آن تابعي از : است f يعني : dd و انتگرال دوگانه خارجي يعني F d dd R R f به روش معمول انتگرال دوگانه محاسبه مي شود. کاربرد هندسی انتگرال سه گانه حجم * يك ناحيه D در فضا عبارتست از : dv به عبارت ديگر تابع زير انتگرال يعني D را برابر یک در نظر گرفته ايم و اين جسم يعنيVi F lim n n i 66

مثال : اگر جسمي محصور به صفحه = و + صفحه = باشد که در يك هشتم اول مختصات قرار گرفته است را در نظر بگيريم حجم آن جسم را محاسبه کنيد Volume ddd ddd ddd ddd ddd ddd مثال : انتگرال سه گانه تابع F=را روی ناحيه Dمحدود به رويه =- - و صفحه = که در هشت يك اول قرار دارد را محاسبه کنيد. d dd dd [ ]... 6 67

D / مختصات استوانه ای و مختصات کروی * اگر با اجسامي سروکار داشته باشيم که دارا محور تقارن باشند مانند استوانه ها يا مخروط برای صرفه جوئي در محاسبات از مختصات استئانه ای استفاده مي کنيم و اگر با اجسامي که دارا ی مرکز تقارن باشند مانند کره از مختصات کروی اسنفاده مي کنيم. 68

dr جزء حجمی یا عنصر حجمی در مختصات استوانه ای و کروی - عنصر حجمي در مختصات استوانه ای : d dθ rdθ dv d r dr d f dv D D r f r os r Sin d rdr d r Sin Sin d - عنصر حجمي در مختصات کروی : d ds dv d Sin d d dv Sin ds d d D f dv D f Sin os Sin Sin os Sin d d d 69