אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום, סגור או פתוח) ו R f : D היא פונקציה רציפה (אך לא בהכרח במ"ש). ננסה להבין מה זה אומר להיות רציף במ"ש ומה ההבדל בין רציפות במ"ש לרציפות. באופן אינטואיטיבי, רציפות במ"ש אומרת שעבור כל זוג נקודות קרובות, הערכים שהפונקציה תקבל עליהן יהיו קרובים, כך שמידת הקירבה לא תלויה במיקום הנקודות. רציפות במ"ש ודאי גוררת רציפות. באופן אולי מפתיע, הוכחתם בכיתה שאם D קטע סגור וחסום, אז פונקציה הרציפה ב D רציפה בו במידה שווה. מתי, אם כן, פונקצייה רציפה לא תהיה רציפה במ"ש? מאחר ועבור קטעים סגורים וחסומים תתקיים בהכרח רציפות במ"ש, נסיק שרציפות במ"ש יכולה לא להתקיים רק כאשר D הינו קטע פתוח (לפחות באחד קצוותיו) או לא חסום - שם, כאשר המשתנה שואף לאינסוף או לנקודת הקצה בה הפונקציה לא מוגדרת, עשויות להתרחש מספר תופעות שימנעו מהפונקצייה להיות רציפה במ" ש. נביט במספר דוגמאות לתופעות כנ"ל. נתחיל במקרה [b D =,a) עבור a. R במקרה זה מתקיים ש f רציפה במ"ש אמ"מ ל f יש הרחבה רציפה ל [ b,a] וזה מתקיים אמ"מ הגבול מימין של f ב a קיים. לכן, קיבלנו ש טענה. יהיו a < b מספרים ממשיים. ותהא f : (a, b] R פונקצייה רציפה. אזי f רציפה במ"ש אמ"מ f(x) lim x a קיים. במילים אחרות, התופעה היחידה שעשוייה למנוע מפונקצייה רציפה f :,a) [b R להיות רציפה במ"ש היא אי קיום הגבול של f מימין ל a. נעבור למקרה השני בו תופעות הקורות "באינסוף" מונעות מפונקצייה רציפה להיות רציפה במ" ש. נניח אם כן ש R f :,a] ( הינה פונקצייה רציפה. מתי f לא תהיה רציפה במ"ש? במקרה הקודם, ראינו שקיום הגבול בנקודה "הבעייתית" שקול לרציפות במ"ש. נשאלת אם כן השאלה שאלה: האם מתקיים ש f רציפה במ"ש אמ"מ f(x) lim x קיים? התשובה היא לא. מצד אחד, אם הגבול קיים אז f הינה רציפה במ"ש (ראו תרגיל 4). עם זאת, יכול להיות ש f רציפה במ"ש והגבול לא קיים - למשל, קל לראות שהפונקצייה
f(x) = x רציפה במ" ש, אבל f(x) lim x לא קיים (ואם מאד רוצים, ניתן למצוא פונקצייה רציפה במ"ש f, :,a] ( R כך שהגבול לא קיים גם במובן הרחב - למשל כל פונקציה רציפה, מחזורית ולא קבועה תעבוד). מה, אם כן, יכול לגרום ל f כנ"ל להיות לא רציפה במ"ש? נראה שתי דוגמאות, בהן יש התנהגות "לא סדירה" באינסוף המונעת מהפונקצייה להיות רציפה במ"ש. הדוגמא הראשונה תהיה של גידול מהיר והדוגמה השנייה תהיה של תנודות מהירות. דוגמא ראשונה (גידול מהיר לאינסוף): נגדיר f : [0, ) R ע"י.f(x) = x נביט בגרף הפונקצייה. נשים לב שאם אנחנו מסתכלים מספיק "רחוק" אז f יכולה לקבל ערכים מאד רחוקים אחד מהשני על נקודות מאד קרובות. לכן ננחש ש f לא תהיה רציפה במ"ש ואכן, נבחר = ɛ ותהא > 0 δ צ"ל שקיימות נקודות ) [0, y x, כך ש δ x y <,y = x + δ עבור ) [0, x שיבחר בהמשך. מתקיים וגם f(y). f(x) נקח ש δ x y = δ < ונותר להראות שניתן לבחור את x כך ש f(y). f(x) נחשב f(x) f(y) = x y = x + y x y = (x + δ ) δ > x δ ואם נבחר x = δ נקבל ש f(y) f(x) כנדרש. דוגמא שנייה (תנודות מהירות באינסוף): נגדיר f : [0, ) R ע"י ).f(x) = sin(x גרף הפונקצייה מבצע תנודות בין ל כאשר תדירות התנודות הולכת וגדלה. לכן, אם אנחנו שוב מסתכלים מספיק "רחוק", נוכל למצוא נקודות קרובות מאד כך ש f מבצעת תנודה מלאה בינהן ולכן ננחש ש f לא תהיה רציפה במ"ש. ואכן, נקבע = ɛ תהא > 0 δ צ"ל שקיימים ) [0, y x, כך ש δ x y < וגם f(y) ( f(x נשים לב ש f עוברת מהערך 0 ל בין הנקודות πn ו πn + π. הוכחנו בעבר ש πn + π. נבחר πn < כך ש δ n ולכן קיים lim n πn + π πn = 0.x = πn + π, y = πn מתקיים x y < δ ומצד שני, כנדרש. f(x) f(y) = sin(πn + π ) sin(πn) = לאחר שראינו מקרים של פונקציות רציפות f :,0] ( R שאינן רציפות במ"ש, ננסה לראות מתי פונקציות כנ"ל הן כן רציפות במ"ש. משתי הדוגמאות האחרונות, ראינו שפונקצייה כזו צריכה להתנהג בצורה "סדירה" באינסוף - למשל, לא לגדול מהר מידי ולא לבצע תנודות מהירות. תנאי מפורסם שכופה התנהגות כזו הוא "תנאי ליפשיץ": הגדרה.3 תהא f : D R פונקצייה. נאמר ש f לפשיצית (או, מקיימת תנאי לפישיץ) אם קיים > 0 K כך שלכל x, y D מתקיים הקבוע K נקרא קבוע ליפשיץ של הפונקצייה. f(x) f(y) K x y
טענה.4 כל פונקצייה ליפשיצית הינה רציפה במ" ש. הוכחה: תהא f : D R פונקצייה ליפשיצית עם קבוע ליפשיץ K. יהא > 0 ɛ. נקבע.δ = ɛ K כעת, בהינתן x, y D המקיימים, x y < δ מתקיים f(x) f(y) K x y < Kδ = ɛ נביט בדוגמא. נגדיר f : [, ) R ע"י.f(x) = x נראה ש f ליפשיצית עם קבוע ליפשיץ : מתקיים, לכל ) [, y x, x y = x y x + y x y מכאן, f גם רציפה במ"ש. y x = + מה קורה עם מרחיבים את f לקרן )?[0, נגדיר f : [0, ) R ע"י.f(x) = x האם עדיין f ליפשיצית? נראה שלא. יהא > 0 K. צ"ל שקיימים (,0] y,x כך = x מתקיים ש y. f(x) f(y) > K x נבחר = 0 y ו (K+) x y = K + 0 > K + K K + = K = K x y (K + ) כנדרש. ראינו ש f אינה ליפשיצית ולכן לא נוכל להשתמש בטיעון מקודם ע"מ להוכיח שהיא רציפה במ"ש. האם היא רציפה במ"ש בכל זאת? נראה שכן. נשים לב ש f רציפה במ"ש על [,0] מפני שהיא רציפה שם. כמו כן, f רציפה במ"ש על (,] לפי מה שהראינו קודם. לכן יהיה סביר לנחש ש f תהיה רציפה על כל הקרן (,] [,0] = (,0]. ואכן, רציפותה במידה שווה של f נובעת מרציפותה במ"ש ב [,0] וב (,] יחד עם הטענה הבאה טענה.5 תהא f :,a] ( R פונצקיה רציפה ברציפה במ"ש ב [ c,a] וב (,c] עבור.[a, רציפה במ"ש ב ( f אזי.c [a, ) הוכחה: יהי > 0.ε קיים > 0 δ כך שלכל c] u, v [a, המקיימים u v < δ מתקיים. f(u) f(v) < ε קיים > 0 δ כך שלכל ) [c, u, v המקיימים u v < δ מתקיים. f(u) f(v) < ε נניח בה"כ כעת יהיו ) [a, u, v המקיימים. u v < δ ניקח }.δ = min{δ, δ.u < v 3
אם u, v c או,u, v c נובע ישירות מבחירת δ ש ε. f(u) f(v) < אם,u < c < v אז מתקיים c u < δ < δ ולכן. f(c) f(u) < ε כמו כן מתקיים v c < δ < δ ולכן, f(v) f(c) < ε ומכאן:, f(v) f(u) < f(v) c + c f(u) < ε + ε = ε כדרוש. דוגמא לחישוב גבול של פונקציה במובן הרחב הגדרה. תהא f פונקצייה המוגדרת בסביבה מנוקבת של הנקודה x. 0 R נאמר ש f שואפת לאינסוף כאשר x שואף ל x 0 ונסמן = f(x) lim x x0 אם לכל M R קיימת > 0 δ כך שלכל x המקיים x x 0 < δ < 0 מתקיים.f(x) > M באופן דומה, מגדירים שאיפה למינוס אינסוף..f(x) = ex נראה ש = f(x).lim x 0 יהא.M R נבחר x דוגמא. נביט בפונקציה min{.δ = כעת, בהניתן x המקיים x < δ <.0 מתקיים > x ומכאן e M, } f(x) = ex x e x > e e M = M M ומכאן, = f(x) lim x 0 כנדרש. 3 משפטי ויירשטראס על קטעים אינסופיים ומשפט ערך הביניים שני משפטים חשובים הנוגעים לפונקציות רציפות הם משפטי ויישטרס לפיהם פונקציה רציפה על קטע סגור הינה חסומה ומקבלת מינימום ומקסימום בקטע. המשפטים הנ"ל לא עובדים כלשונם בקטעים שאינם סגורים. למשל, הפונקציה,f(x) = x המוגדרת על כל הישר, אינה חסומה. קל וחומר, f אינה מקבלת מינימום או מקסימום. עם זאת, אם נדרוש התנהגות מסויימת באינסוף. למשל ע"י קיום גבול, נוכל לנסח טענות אנולוגיות גם לפונקציות המוגדרות על קטעים פתוחים/אינסופיים. למשל טענה 3. תהא f : R R פונקצייה רציפה המקיימת = f(x) lim x f(x) = lim x. אזי f מקבלת מינימום. הוכחה: נסמן f(0).k = קיים > 0 M כך שלכל M < x מתקיים.f(x) > K באופן דומה, קיים < 0 M כך שלכל x < M מתקיים.f(x) > K כעת, ממשפט ויירשטראס קיימת נקודה ] c M], M שבה מתקבל המינימום של f ב f(c) f(x) מתקיים x R ומכאן שלכל,f(c) f(0) = K בפרט מתקיים:.[M, M ] (על ידי פיצול לשלושת הקטעים ),.((, M ),[M, M ],(M 4
שאלה: תהא f : R R פונקצייה רציפה ונניח שמתקיים = f(x) lim x f(x) = lim x.0 lim x f(x) קל לוודא ש = f(x) = האם f מקבלת מינימום? לא! נגדיר x+ = 0 f(x).lim x כמו כן, f חיובית (כלומר, לכל (f(x) > 0,x R ולכן = 0 R} inf{f(x) : x ומכאן, לו הייתה f מקבלת מינימום בנקודה,c R היה צריך להתקיים = 0 f(c) וקל לראות שאין נקודה c R המקיימת את הנ"ל. האם f חסומה? כן! כמו בהוכחת הטענה האחרונה, ניתן למצוא M < M כך שכל ] x / [M, M מתקיים <. f(x) ולכן f חסומה מחוץ לקטע ].[M, M מצד שני, f רציפה בקטע הנ"ל ולכן חסומה שם, ובסה"כ, f חסומה על כל הישר. באופן דומה לגרסה של משפטי ויישטרס לקטעים אינסופיים, ניתן להוכיח גרסה של משפט ערך הביניים לקטעים אינסופיים: טענה 3. תהא f : R R פונקצייה רציפה המקיימת = f(x) lim x f(x) =, lim x. אזי לכל y R קיים c R כך ש y.f(c) = למעשה ראיתם הוכחה דומה בהרצאה, כאשר הוכחתם שלכל פולינום ממעלה אי זוגית יש שורש - מהנחות הטענה, ניתן למצוא x, x R כך ש (.f(x ) < y < f(x לכן, ממשפט ערך הביניים "הרגיל" קיימת נקודה c בין x ל x כך ש y.f(c) = שאלה: תהא f : R R פונקצייה רציפה ונניח שעבור a, b R מתקיים = f(x) lim x f האם בהכרח.a < y < b מקבלת כל ערך f ע"י טיעון דומה,.a < b = lim x f(x) מקבלת את הערכים a ו b עצמם? תשובה: לא! נגדיר (x).f(x) = tan מתקיים = lim x f(x) = π < π π < f(x) < π ולכן f לא מקבלת את f(x).lim x עם זאת, לכל x R מתקיים הערכים. π, π תרגילי כיתה - אם ישאר זמן למשל נגדיר = f(x) כן!. תהי f : (0, ] R רציפה האם ייתכן ש f על?R.R רציפה ועל f. x sin( x ). תהי f : [0, ) R פונקצייה רציפה ונניח כי הסדרה f(n) a n = מתכנסת. האם f(x) lim קיים? לא! נגדיר sin(πx).f(x) = לכל f(n) = 0,n N ולכן x הסדרה f(n) מתכנסת ל 0. מצד שני, הגבול f(x) lim לא קיים. x 3. האם קיימת [,0] [,0] : f, מונוטונית עולה (חלש) שיש לה אינסוף נקודות אי רציפות? כן! נגדיר { f(x) = n x ( n+, n ], n N 0 x = 0 לא קשה לראות ש f מונוטונית עולה (חלש) ויש לה אינסוף נקודות אי רציפות. 5