תורת המשחקים (2) 80429

תורת המשחקים (2) 80429 חיים שחור סיכומי הרצאות של פרופ' סרג'יו הרט ט"ז אדר תשע"ג (שעור 1) יש תרגול ביום רביעי. יש תרגיל להגשה כל שבוע. חובה להגיש 10% מהציון הסופי. נדבר על כל מיני נושאים בתורת המשחקים. נתחיל במשחקים שיתופיים ואח"כ נעבור לדברים אחרים. רשימת הספרים גדולה מאוד כי כל פעם מוסיפים משהו, אף פעם לא מורידים. יש כל מיני מודלים שמדברים על הרכבת קואליציה, אפשר לתת כל מיני תחזיות, וכשנגיע לזה, נראה מה זה אומר. זה יכול לנתח מה רצוי לכל אחד מהצדדים, אבל לא לומר מה יקרה. 1 משחקים קואליציוניים נתחיל מדוגמא פשוטה. נניח שיש לנו 3 שחקנים (3,1).,2 בניגוד למשחקים 1, בו כל שחקן בוחר את האסטרטגיה שלו. כאן יש לנו ברון שמוכן לתת כסף. אם אחד מגיע לבד, הוא לא מקבל שום דבר. אם,1 2 באים יחד, הם מקבלים 50 ש"ח. באופן דומה,1. 3 אבל אם,2 3 באים הם מקבלים 100, ואם,1,2 3 באים יחד, הם גם מקבלים 100. המשמעות היא: יש תשלום לכל תת קבוצה של {3,1}.,2 הבעיה היא שהם צריכים להסכים על החלוקה הפנימית ביניהם. הצעה: שחקנים 2, 3 יתחלקו.50, 50 1

תשלום ב' תשלום א' קואליציה 0 0 1 0 0 2 0 0 3 50 50 1,2 100 50 1,3 100 100 2,3 100 100 1,2,3 באפשרות ב' האם ישנו שיווי משקל? משחק n שחקים בצורה קואליציונית: לכל תת קבוצה של שחקנים ("קואליציה"), נתון סה"כ התשלום שהם יכולים להשיג. השאלה היא כיצד לחלק את התשלומים. באופן פורמלי, קואליציה S. N אוסף הקואליציות הוא 2. N הגדרה 1.1 משחק n שחקנים בצורה קואליציונית מורכב מ [n] N, = ופונקציה ל v נקרא פונקציית,v : 2 N שמתאימה לכל S N מספר ממשי (S).v R השווי או פונקציה אופיינית,.characteristic fnc, worth fnc בד"כ נשתמש בפונקציה המקיימת = 0 ( ) v. בקיצור נסמן (v,n). בספרות קוראים לזה משחק קואליציוני או משחק שיתופי.coalitional game, cooperative game תכונות אפשריות של הפונקציה v:.v (S) v (T ) S T נקראת מונוטונית אם v. S, v (S) נקראת אי שלילית אם 0 v v נקראת סופר אדיטיבית אם עבור = T S מתקיים v (S T ) v (S) + v (T ) מונוטוניות גורר אי שליליות כי = 0 ( ) v. אם v סופר אדיטיבית ואי שלילית, אז v מונוטונית. במשחק סופר אדיטיבי (מונוטוני), (N) v הוא התשלום המקסימלי. הגדרה 1.2 וקטור תשלום,x = (x 1,..., x n ) R N כאשר x i התשלום של שחקן.i x = (x i ) i N נקרא וקטור תשלום 2

סביר פרטית, אם ({i}).individually rational i N, x i v יעיל אם (N) i N xi = v. (זה אפשרי, כלומר הסכום קטן מ( N ) v, ואופטימלי כי הסך גדול שווה ל ( N ) v). הגדרה 1.3 וקטור תשלום שהוא סביר פרטית ויעיל ייקרא חלוקה.imputation נסמן } (N) X (N, v) = { x R N i N, x i v (i), i N xi = v את קבוצת החלוקות במשחק (v,n). בדוגמאות א' ב' לעיל, 3 100 = X (כופלים כל וקטור בסימפלקס במאה). אם נסתכל בדוגמא ב' מקודם, יש שיקולים נוספים. אם נתחיל מחלוקה (50,0),,50 שחקנים,1 3 יכולים לשת"פ ולקבל 100, ולחלק ביניהם (75,25).,0 לכן יהיה לנו תנאי נוסף לוקטור תשלום. הגדרה 1.4 וקטור תשלום ייקרא סביר קואליציונית coalitionally rational אם לכל קואליציה,S N x i v (S) i S הגדרה 1.5 קבוצת החלוקות שהן סבירות קואליציונית נקראת הליבה של המשחק { }.core C (N, v) : = x X (N, v) S N, x i v (S) = i S { = x = ( x i) i N RN S N, x i v (S) } x i = v (N) i S i N דוגמאות: 2 =,n והתשלומים = 0 (2) v v (1) = אבל = 1 2) (1,.v חלוקה היא.X = C = זהו 2.x 1 + x 2 כך שהסכום = 1 x = (x 1, x 2 ) 3 =,n והתשלום לכל S N הוא = 0 (S),v אבל = 1 (N).v זהו משחק "הפה האחד". גם כאן, 3 = C.X = 3

0 S {0, 1},X = 3 זהו משחק הרוב..v (S) = 1 S {2, 3} 3 =,n התשלומים אבל הפעם =.C,v (12) = v (13) = v (123) = 1.v (i) = 0 i מוכר ושני קונים.,n = 3.C = {(1, 0, ו{( 0,X = שוב 3.v (23) = 0 בדוגמא א' לעיל, יש לנו דרישות 0 1.x 3 50, x 2 50, x ומאחר והסכום צריך להיות 100, יש לנו רק (50,0),50 בליבה. x 1 + x 2 50 x 1 + x 3 100 x 2 + x 3 100 x 1 + x 2 + x 3 = 100 במשחק ב', מערכת המשוואות היא ומכאן נובע כי 0 1,x 3 50, x 2 0, x וזה גורר ליבה ריקה. 0 S 1 3 =,n התשלומים = 2 S.v (S) = 0.5 שוב 3 =.X בליבה 1 S = N x i + x j 1 2, i j {(.C = conv 0, 1 2, 1 ) ( 1, 2 2, 0, 1 ) ( 1, 2 2, 1 )} לכן 0.5 k.x לכן 2, 0 שבוע הבא נדבר על השאלה מתי הליבה ריקה ומתי לא. כ"ג אדר תשע"ג (שעור 2) תזכורת: אנחנו עוסקים במשחק n שחקנים בצורה קואליציונית (v,n) כאשר [n] N = ו R.v : 2 N אנו מניחים = 0 ( ).v הגדרנו וקטורי תשלום.x = (x 1,..., x n ) R N חלוקה הוא וקטור x R N המקיים i N, v (i) x i (סבירות פרטית), ו ( N ) i N xi = v (יעילות). הגדרנו (v X = X,N) אוסף החלוקות למשחק. אח"כ הגדרנו את הליבה (v C,N) שהיא כל החלוקות שהן סבירות קואליציונית. S N, v (S) i S xi 4

במשחק עם = 3,n,v (i) = 0, v (N) = 1 קבוצת החלוקות היא. 3 תנאי הליבה מוסיפים לנו תנאים של זוגות. x 1 + x 2 v (1, 2) x 1 + x 3 v (1, 3) x 2 + x 3 v (2, 3) מתי הליבה לא ריקה? את תנאי הליבה אפשר לסכם ולקבל 2v (1, 2, 3) = 2 ( x 1 + x 2 + x 3) v (1, 2) + v (1, 3) + v (2, 3) כלומר אם הליבה לא ריקה, בהכרח זה גורר את אי השוויון הבא: ( ) : 1 2 v (1, 2) + 1 2 v (1, 3) + 1 v (2, 3) v (1, 2, 3) 2 x 1 + x 2 v (1, 2) x 3 v (3) v (1, 2) + v (3) v (1, 2, 3) באופן דומה, גורר כי אם הליבה לא ריקה, זו התכונה של סופר אדיטיביות (התכונה הראשונה לא נובעת מסופר אדיטיביות, כי אפשר לבנות משחק סופר אדיטיבי שלא יקיים אותה). אפשר להגדיר סופר אדיטיביות בצורה כוללת יותר. בקואליציה בחלק מהזמן, ובקואליציה אחרת בחלק מהזמן. נניח ששחקן יכול להשתתף שחקן 1 יכול להשתתף בקואליציה {2,1} חצי מהזמן, ובקואליציה {3,1} חלק מהזמן. ניתן לבנות ככה "אוסף מאוזן של קואליציות". טענה 1.6 במשחק סופר אדיטיבי של 3 שחקנים, ( ) v).c (N, הוכחה: כיוון אחד ראינו, כיוון שני ינבע ממשחק שנראה בהמשך. אפשר גם לבנות וקטור בליבה למקרה הפרטי הזה. 5

הגדרה 1.7 אוסף B 2 N של קואליציות נקרא אוסף מאוזן balanced collection of coalitions אם קיימות משקלות > 0 S δ לכל S B כך שלכל שחקן i N מתקיים S B,S i δ S = 1 למשל במשחק 3 שחקנים 3}} {2,, 3} {1,, 2} {{1, = B הוא אוסף מאוזן עם 0.5) (0.5, 0.5, :,δ או {3}}, 2} {{1, = B עם 1) (1, : S.δ ( למשל 2 : S δ. אלו לא המשקלות 3, 1 3, 1 3, 1 ) {3}}, 3} {2,, 3} {1,, 2} {{1, = B עם 3 ( 3 ) 1 = 4, 1 4, 1 4, S.δ בדוגמאות הקודמות דווקא היה אוסף היחידים, אפשר גם 2 משקלות מאזנים יחיד. הגדרה 1.8 המשחק (v,n) ייקרא משחק מאוזן balanced game אם לכל אוסף מאוזן {δ S } S B מתקיים: של קואליציות B 2 N עם משקלות מאזנים δ S v (S) v (N) S B הערה 1.9 זה כולל את כל אי השוויונים של סופר אדיטיביות v (S) + v (T ) v (S T ) עבור ) = T (S כאשר.S T = N הגדרה 1.10 משחק v) (N, הוא מנורמל 0 אם = 0 (i). i N, v משחק הוא מנורמל 1 0 שלם אם הוא מנורמל 0 ו 1 = (N) v. בהינתן משחק כלשהו (v,n), נגדיר משחק ) 0,N) v ע"י S N, v 0 (S) := v (S) i S v (i) בתרגיל ניתן לראות ש( v X,N) ו ( X,N) v 0 מתקבלות זו מזו בעזרת טרנספורמציה הפיכה. ) 0 (N, v הוא משחק מנורמל.0 (S) v 1 (S) := v 0 לכל.S N זה גורר אם > 0 (N),v 0 נגדיר משחק 1) (N, v ע"י (N) v 0 כי ) 1 (N, v הוא מנורמל 1 0. 6

משפט :Bondareva Shapley 1.11 הליבה של משחק (v,n) לא ריקה אם"ם המשחק (v,n) הוא משחק מאוזן. הוכחה: : נניח כי הליבה של משחק (v,n) לא ריקה, נראה כי (v,n) משחק מאוזן. יהי B אוסף מאוזן עם משקלות } S δ}, נראה כי δ S v (S) v (N) S B יהי v).x C (N, לכל i S xi v (S),S N. נסתכל על δ S v (S) δ S x i = δ S x i = δ S x i = x i S B S B i S S B i S i N S B,S i i N = x i 1 = x i = v (N) i N i N S B,S i δ S = : נניח כי המשחק (v,n) מאוזן, צריך להראות כי הליבה שלו לא ריקה. נוכיח את המשפט עבור משחקים מנורמלים 1 0. אנו מניחים = 0 (i).v (N) = 1, i, v x C (N, v) x n S N, i S x i v (S) מספיק להסתכל על S כך ש 0 > (S) v. לגבי האחרים זה נובע מ 0 i,i. x נגדיר 0} > (S),P = {S v נראה כי קיים x n כך ש S P x i v (S) S P i S i S x i v (S) 1 נגדיר משחק עזר של 2 שחקנים סכום אפס Γ באופן הבא: שחקן I בוחר i. N שחקן II בוחר P ) S P כי.(N P התשלום (מII ל I ) יהיה 1 i S h (i, S) := v (S) 0 i / S אסטרטגיה מעורבת של שחקן I הוא x, n והתשלום הוא h (x, S) = i N x i h (i, S) = i S 7 x i 1 v (S)

x C אם"ם x היא אסט' מעורבת של I כך שלכל אסט' S של II מתקיים.λ = v (Γ) לכן הליבה לא ריקה אם"ם 1.h (x, S) 1 נשים לב כי > 0 λ, כי אם שחקן I מערב ממש, הוא מבטיח תשלום חיובי (כל קואליציה ששחקן II יבחר תכיל לפחות שחקן אחד). שתבטיח שהתשלום קטן מ λ y אסטרטגיה מעורבת II כלומר, יש לשחקן v, (Γ) = λ (משפט המינימקס), ז"א יש לכל y S 0,S P כך ש 1 = S S P y, ולכל אסט' h (i, y) = S P טהורה של,I כלומר לכל,i N מתקיים.h (i, y) λ y S h (i, S) = S P,S i y S 1 v (S) λ i N i N S P,S i S P,S i y S 1 v (S) λ y S λv (S) 1 כלומר y S ר"ח ניסן תשע"ג (שעור 3) נרצה לייצר אוסף מאוזן מאי השוויון הקודם. נסמן 0 = S δ. יש לנו שתי λv (S) בעיות: קודם, יש לנו אי שוויון. חוץ מזה, אנחנו צריכים להראות כי > 0 S δ. נגדיר δ {i} := 1 S P,S i δ S 0 לכל,i N נגדיר } 0 > {i} B := {S P δ S > 0} { {i} i N, δ (נזרוק מהאוסף P בצירוף 1 S B δ S v (S) = S P i N, S B,S i הקבוצות {i} את אלו עם המשקלות 0). B הוא אוסף מאוזן עם המשקלות } S δ} כי δ S = δ S + δ {i} = 1 S P,S i כאשר המעבר הראשון מוסיף אפסים, והמעבר השני מהגדרת {i} δ. לכן = 1 (N) S B δ Sv (S) v כי המשחק מאוזן. אבל δ S v (S)+ i N δ {i} v (i) = S P 8 y S λv (S) v (S) = 1 λ y S = λ 1 1 S P

לכן 1 λ, וזה כאמור גורר שהליבה לא ריקה. הגדרנו בשבוע שעבר אוסף מאוזן. את התנאי > 0 S δ אפשר להחליף עם 0 S δ, ואז אפשר להכניס ל B את כל (N) P. ההגדרה B אוסף מאוזן עם משקלות > 0 S δ שקולה להגדרה כי יש משקלות 0 S δ לכל S, N כך ש ( ) i N, δ S = 1 S i והשקילות מתאפשרת ע"י = 0 S δ לכל.S / B הגדרה 1.12 לכל קואליציה S, נגדיר את הווקטור האופייני של R n 1 S S ע"י 1 i S 1 i S := 0 i / S כעת התנאי ( ) שקול ל S N δ S1 S = 1 N. משחק v) (N, ייקרא מאוסן כאשר לכל,{δ S } δ S 1 S = 1 N δ S v (S) v (N) S N S N יש הרבה דברים שניתן לומר על הליבה ואוספים מאוזנים. ניקח מודל כלכלי פשוט ונראה שיש לו קשר חזק לנושא הליבה. 2 משחקי שוק Market Games (שווקים קוואזי לינאריים). יש מוצרים בשוק. יש אנשים סוחרים (לא במובן המקצועי) שיש להם מוצרים. מודל השוק: קבוצה סופית n} N = {1,..., של סוחרים. קבוצה סופית L של מוצרים. 9

לכל סוחר,i N יש סל מוצרים התחלתי + L a i k 0.ai R היא הכמות ההתחלתית של מוצר k שנמצאת אצל סוחר i (ביחידות המוצר). לכל סוחר u i : R L + R,i N שנקראת פונקצית התועלת של.(utility)i עבור סל + L u i (x),x R הוא התועלת של i מהסל.x שיווי משקל תחרותי (עם כסף) (שמ"תכ). p = (p 1,..., p l ) R L הוא וקטור המחירים. לכל מוצר k L יש מחיר.p k בהינתן וקטור מחירים p. R L כל סוחר i N בוחר סל מוצרים טוב ביותר u i (x) עבורו. אם הסל הסופי של i הוא x, הוא רוצה למקסם את l ( ) p k xk a i k = u i (x) p, x a i k=1 { arg max u i (x) p, x a i } x R L + לכן אוסף הסלים הטובים ביותר הוא.x arg max x R L + {u i (x) p, x a i } אם demand p במחירים i ייקרא ביקוש של x i R L + סה"כ הביקוש הוא i N xi. סך ההיצע supply הוא i N ai. סך ההיצע שווה לסך הביקוש (בשיווי משקל). ) ( כך ש x i וקטורי ביקוש, וסך הביקוש שווה לסך ההיצע. לכן שמת"כ הוא p, (x i ) i N הערה 2.1 i p, a קבוע, עדיין הכנסנו אותו, כי i p, x a הוא התשלום שישולם בפועל. נסתכל על מודל מתמטי שקול מודל ייצור. קבוצה סופית [n] N = של יצרנים.producers קבוצה סופית [l] L = של חומרי גלם. לכל יצרן,i ווקטור התחלתי של חומרי גלם + L.a i R לכל יצרן.u i : R L + R,i לכל סל של חומרי גלם + L i,x R מייצר (x) u i יחידות של המוצר הסופי ("כסף"). 10

שיווי משקל תחרותי כלכלי: וקטור מחירים.p R L לכל יצרן x i R L,i N ייקרא ביקוש של i במחירים,p אם i x.arg max x R L + {u i (x) p, x a i } סך ההיצע שווה לסך הביקוש. ( p, (x i ) i N באותם תנאים. המודל המתמטי זהה. ) כעת שוו"מ יהיה שוב v (1, 2) = מה זה שייך למשחקים? מה יצרן i יכול לקבל לבד? ) i u. i a) מה יצרנים,1 2 יכולים לעשות לבד? { max ( u 1 x 1) + u ( 2 x 2)} x 1,x 2 R L +,x1 +x 2 =a 1 +a 2 לכל קואליציה S N נגדיר (S) v בתור מקסימום הייצור הכולל של השחקנים ב S : v (S) := max i S u i ( x i) s.t. x i = a i, x i R L + i S i S כך הגדרנו משחק קואליציוני (v,n) מתוך השוק שלנו. ח' ניסן תשע"ג (שעור 4) למשחק השוק )) i (a i R L +, u i : R L + R) (N, L, (a i ), (u נוסיף שתי הנחות:.1 לכל,i N הפונקציה u i רציפה..2 לכל i N הפונקציה u i קעורה, כלומר לכל + L x, y R ו [ 1 [0, λ מתקיים u i (λx + (1 λ) y) λu i (x) + (1 λ) u i (y) משחק השוק הנגזר הוא (v,n), כאשר לכל קואליציה S, N v (S) = max u ( i x i) s.t. x i = a i, i S : x i R L + i S i S i S טענה 2.2 אם u i רציפה המקסימום מושג. 11

הוכחה: זוהי פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית (עם המגבלה על x i ). משפט 2.3 אם (v,n) משחק שוק, הליבה שלו לא ריקה. הוכחה: נוכיח ש ( v,n) משחק מאוזן. יהי B 2 N אוסף מאוזן עם משקלות } S δ}, > 0 S.δ אזי i N, δ S = 1 S B,S i δ S v (S) v (N) S B צריך להוכיח כי.(y i S ) i S ז"א לכל S, נסמן את פתרון בעיית המקסימיזציה ע"י v (S) = i S ys i = i S i S ys i R L + u ( ) i ys i a i z i := δ S ys i S B,S i נגדיר לכל,i N אזי + L z i R (כי + RL ys i ו 0 > S.(δ z i = δ S ys i = δ S ys i = δ S ys i = δ S a i = i N i N S B,S i S B i S S B i S S B i S = δ S a i = δ S a i = a i δ S = a i S B i S i N S B,S i i N S B,S i i N לכן, v (N) = max x n u ( i x i) i=1 n u ( i z i) i=1 12

u i ( z i) = u i ( S B,S i δ S y i S ) S B,S i δ S u ( ) i ys i כמו כן, בשל קעירות u i והעובדה כי δ S הם מקדמים חיוביים שסכומם 1. לכן v (N) n u ( i z i) δ S u ( ) i ys i = δ S u ( i ys) i = i=1 i N S B,S i S B i S = δ S u ( ) i ys i = δ S v (S) S B i S S B דוגמא: [3] =,N u i (x) =.a 1 = (2, 0), a 2 = (0, 2), a 3 = (1, 1).L = {1, 2}.u i (x 1, x 2 ) = x 1 x 2... כ"ט ניסן תשע"ג (שעור 5) a i R L +,(a i ) i N תזכורת: שוק מורכב מ N שחקנים, L סחורות, מתת התחלתית u i : R L + R,(u i ) i N ומניחים u i רציפה וקעורה. ופונקצית תועלת משחק השוק הוא (v,n), כאשר לכל S N v (S) := max u ( i z i) s.t. z i = a i i S, z i R L + i S i S i S טענה 2.4 משחק שוק הוא משחק מאוזן הליבה לא ריקה. z i R L +,(z i ) i N כך ש: שיווי משקל תחרותי עם כסף הוגדר ע"י p R L והקצאה [ z i arg max u i (y) p, ( y a i) ] y R L + z i = a i i N i N x i := u i (z i ) p, (z i a i ) נגדיר i N ש.מ.ת.ע.כ., לכל ( p; (z i ) i N ) משפט 2.5 יהי.(N, v) נמצא בליבה של משחק השוק x = (x i ) i N (התשלום של i בש.מ.ת.ע.כ.) אזי 13

הוכחה: צריך להוכיח לכל i S xi v (S),S N וכן (N) i N xi v. x i = [ ( u i z i) p, ( z i a i) ] = u ( i z i) p, z i + p, a i = i N i N i N i N i N = u ( i z i) v (N) i N z i, ואי השיוויון מכך ש ( N ) v היא,(y i S ) i S כלומר כאשר המעבר השני נובע מכך ש a i = מקסימום על חלוקות כמו ) i z). כעת, תהי קואליציה S. N נניח כי (S) v מושג ע"י v (S) = i S ys i = i S i S u ( ) i ys i x i = u i ( z i) p, ( z i a i) u i ( y i S a i (הכל ב + R). L מתנאי השיווי משקל נובע כי ) p, ( y i S a i) x i i S i S לכל.i S לכן u ( ) i ys i p, ys i + p, a i = v (S) i S i S להכללות של המשפט הזה קוראים "משפט הרווחה הראשון", ומשמעותה היא ששיווי משקל בו כל אחד מבצע את האופטימיזציה שלו והשוק מתנכה, כולם מרוצים (כולל כל הקואליציות). אם היינו מראים שקיים שיווי משקל זה היה הוכחה לכך שהליבה לא ריקה. בדוגמאות נראה כי בהרבה מקרים הליבה גדולה מאוסף שיוויי המשקל. אם מספר הסוחרים הולך וגדל, ותחת תנאים מסויימים (כולם בגודל סביר אין למישהו נתח שוק משמעותי), הליבה הולכת וקטנה, ובגבול נשאר רק שיווי המשקל. מה קורה אם מסתכלים על תת קבוצה של סוחרים? נצטמצם לתת קבוצה T N של סוחרים. ז"א נסתכל במשחק (v,t). v 2 T ),T) גם זה משחק שוק, ולכן הוא מאוזן. מסקנה 2.6 משחק שוק מאוזן, וגם כל תת משחק שלו מאוזן. 14

אם v) (T, מאוזן, זה אם"ם לכל אוסף מאוזן עבור T המקיים S δ S1 S = 1 T עבור 0 S δ מתקיים δ S v (S) v (T ) S T הגדרה (v 2.7,N) הוא משחק מאוזן לחלוטין totally balanced אם כל תתי המשחקים שלו מאוזנים, ז"א (v,t) מאוזן לכל T. N 4 S = 4 דוגמא: עבור = 4, N ו 3 = 2, S.v (S) = 2 אנו יודעים כי הוקטור 0 S = 0, 1 C (1,1),,1,1 כלומר המשחק מאוזן. האם הוא מאוזן לחלוטין? לא. עבור 3 1, 2, = T המשחק הוא = 2 3) (1, 2, v v (1, 2) = v (2, 3) = v (2, 3) = אולם. 1 2 2 + 1 2 2 + 1 2 2 2 נסתכל על משחק סימטרי ( S ) v. (S) = f המשחק מאוזן אם"ם k f (n) n f (k) לכל [n] k. כלומר הגרף של הפונקציה f נמצא מתחת לישר מהראשית ל (( n ),n). f זה כמו קמירות של פונקציה, רק שהוא מופעל רק על המיתר בין,0. n משחק סימטרי יהיה מאוזן לחלוטין אם"ם k m n מתקיים f (k) k m f (m) האם זה דורש ש f קמורה? לא. זוהי רק דרישת קמירות לראשית (למשל, נתחיל עם פונקציה קמורה עד נקודה מסויימת, ומשם נמשיך בישר המקביל לישר מהראשית). משפט 2.8 (שאפלי שוביק, (N, v) (1969,Shapley-Shubik מאוזן לחלוטין אם"ם v) (N, משחק שוק. הוכחה: כיוון אחד הראינו. נראה שאם משחק מאוזן לחלוטין קיים שוק שמייצר אותו. נניח (v,n) משחק מאוזן לחלוטין. נגדיר את השוק הבא (השוק הישיר direct 15 :(market N = קבוצת הסוחרים.

N = קבוצת הסחורות. לכל.a i := e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) = 1 {i},i N u (x) = max S N α S v (S) s.t. לכל,u i u,i N כאשר α S 1 S = x, α S 0 S N טענות: כלומר, לוקחים את + N x R ומחשבים אותו כקומבינציה לינארית אי שלילית של 1 N 2 הקואליציות, ולכל צירוף לינארי מחשבים את הערך, וממקסמים. 1. הפונקציה u מוגדרת היטב כי המרחב של α S הוא 1 N 2 ממדי, והאילוצים שלי הם של שוויון או אי שוויון חלש, לכן אנחנו ממקסמים פונקציה לינארית ולכן רציפה על קבוצה סגורה וחסומה והמקסימום מושג. 2. u פונקציה רציפה (תרגיל קשה לכתוב מדוייק, אבל עבור סדרה שואפת (m) α נקבל את S (m) α. בתת סדרה מתכנסת של S ל x x, (m) וסדרות של המקסימום עבור x..3 (x) u (λx) = λu עבור > 0 λ ו + x R N (אם נשים באילוצים,λx נקבל α S פי λ, והמקסימום יהיה באותה נקודה)..4 לכל + N u (x + y) u (x) + u (y),x, y R (ניתן למקסם עבור x ועבור y ע"י משקלות α S ו β, S המקסימום הוא לפחות כמו המשקלות α): S + β S נניח כי המקסימום מושגים ב(,(α S ), (β S כלומר u (x) = α S v (S), α S 1 S = x u (y) = β S v (S), β S 1 S = y γs 1 S = α S 1 S + β S 1 S = x + y אזי נגדיר γ S = α S + β S ונקבל u (x + y) γ S v (S) = α S v (S) + β S v (S) = u (x) + u (y) ולכן 16

.5 u פונקציה קעורה: יהי 1] [0, λ אזי u (λx + (1 λ) y) u (λx) + u ((1 λ) y) = λu (x) + (1 λ) u (y) 1 S = T = S α נקבל 0 o.w. בעזרת טענות,3. 4.6 לכל u (1 T ) = v (T ),T N כי בעזרת u (1 T ) 1 v (T ) = v (T ) α S 1 S = 1 T, α S 0 S T כמו כן, נניח כי זה גורר (מהיות המשחק מאוזן לחלוטין) כי αs v (S) v (T ) { } u (1 T ) = max αs v (S) v (T ) α S ולכן גם (נשים לב כי לקואליציות עם שחקנים שאינם ב T בהכרח מקבלים משקל = 0 S α לצורך תנאי האיזון, ולכן אפשר להסתכל על R T במקום R). N יהי (vˆ,n) משחק השוק הנוצר (מהשוק הישיר הנ"ל). נרצה להראות vˆ. = v אכן: ˆv (T ) = max u ( i z i) s.t. z i = a i, z i R N + i T i T i T במקרה שלנו נקבל u ( i z i) = i T i T u ( ( ) ( ) ( ) z i) u z i = u a i = u 1 {i} = u (1 T ) = v (T ) i T i T i T לכן ) (T ˆv (T ) = max {...} v כי כל ביטוי בתוך המקסימום הוא ) (T.v 17

i T := 1 i.z אזי בכיוון ההפוך, לכל i T נגדיר T 1 T z i = 1 T = a i i T i T ( ) ( ) 1 u i z i = T u T 1 T = u (1 T ) = v (T ) ולכן ) (T.ˆv (T ) v לכן vˆ = v ז"א v הוא אכן משחק שוק משחק השוק הנוצר ע"י השוק הישיר. מה עשינו כאן? לקחנו את הערכים של v ושמנו בקודקודי הקובייה, והרחבנו אותה ל u בצורה שהיא הומוגנית וסופר אדיטיבית. זה אפשרי בשל העובדה שהמשחק מאוזן לחלוטין. זו ההרחבה המינימלית. 3 שליטה ופתרון י"ג אייר תשע"ג (שעור 6) 3.1 הגדרות יהי v) (N, משחק. נניח x, y R N וקטורי תשלום. הגדרה x 3.1 שולט Dominates על y דרך הקואליציה S אם:.i S לכל x i > y i.1. i S xi v (S).2 המשמעות חברי S יכולים להשיג את x, וכל אחד מהם מעדיף את x על פני y. נסמן.x S y הגדרה 3.2 נאמר ש x שולט על y אם קיימת קואליציה S כך ש y x. S טענה 3.3 הליבה היא קבוצת כל החלוקות שאינן נשלטות ע"י אף וקטור תשלום. ( 1 x y אזי y = 3, 1 3, 1 ) דוגמא: משחק הרוב עם 3 שחקנים. (0,0.5),0.5 = x ו 3 דרך הקואליציה {2,1} אבל לא דרך {1} לבד. 18

הוכחה: כיוון אחד, אם y חלוקה, וקיימים,x S כך ש y x, S i S x i > y i y i < x i v (S) i S i S כלומר.y / C בכיוון השני, נניח y / C חלוקה. קיימת קואליציה S כך ש y i < v (S) i S ( ε = 1 v (S) ) y i > 0 S i S יהי נגדיר x i := y i + ε לכל.i N נקבל.x S y הערה 3.4 במקרה זה קיבלנו x שאינו חלוקה. ניתן לקבל x S y כך ש x חלוקה אם y i + ε = i x כאשר v (i) + δ 0 δ = ( ) v (S) + i S i / S j N\S v (j) v (N) המשחק מקיים (חלק מתנאי סופר אדיטיביות). כי אז ניתן להגדיר 1 v (N) v (S) N S i N\S v (i) מסקנה 3.5 אם המשחק סופר אדיטיבי, ולכן ( ) מקיים, אזי הליבה היא קבוצת כל החלוקות שאינן נשלטות ע"י אף חלוקה. הערות:.x S y y S z x S z טרנזיטיבי. כלומר S.1 19

2. אינו טרנזיטיבי. למשל במשחק הרוב עם 3 שחקנים, ( 2 3, 1 ) ( 1 3, 0 {1,2} 3, 0, 2 ) ( {1,3} 0, 2 3 3, 1 ) ( 2 {2,3} 3 3, 1 ) 3, 0 }{{}}{{}}{{}}{{} a b c a אולם הוא אנטי רפלקסיבי. גם a b c אולם,a c ואלו.c a נדבר מכאן ואילך על (v,n) ס"א. ננסה להגדיר את ה"שמיבה" כקבוצת כל החלוקות שאינן נשלטות ע"י אף חלוקה בשמיבה. מתי קבוצה K X של חלוקות היא שמיבה?.1 כל x K לא נשלט ע"י אף.y K (א) זה שקול ל לכל x y,x, y K (יציבות פנימית)..2 כל x / K נשלט ע"י איזה שהוא.y K (א) זה שקול ל לכל x / K קיים y K כך ש x y (שליטה חיצונית). הגדרה 3.6 קבוצה K X נקראת פתרון solution פון נוימן מורגנשטרן, או קבוצה יציבה stable set אם היא מקיימת יציבות פנימות (א) ושליטה חיצונית (ב). הגדרה 3.7 לכל חלוקה x ולכל S נגדיר y}.dom S x := {y X x S כעת Dom (x) := S Dom S (x) = {y X x y} נגדיר Dom (K) := Dom (x) x K ולסט K X נגדיר כלומר K היא פתרון אם"ם (K) K, = X\Dom כלומר היא נקודת שבת של האופרטור.ϕ (A) = X\Dom (A) מסקנה 3.8 אם K פתרון, C K כי החלוקות בליבה לא נשלטות. 20

נתון משחק, מהם הקבוצות היציבות? יש הרבה קבוצות יציבות. חיתוך או איחוד שלהם לא חייב להיות יציב. בעיה פתוחה מימי פון נוימן עד שנות ה 70, האם לכל משחק יש פתרון? מסתבר שלא. אפשר להראות שעבור =,4,5 6 n תמיד יש פתרון. עבור = 2,n יש משחק מנורמל יחיד = 1 2) (1, v.c = X = 2.v (i) = 0, והוא הפתרון היחיד. עבור = 3 n ומשחק "פה אחד", שוב 3 = X C = ולכן שוב זה הפתרון היחיד. למה אין שום שליטה? מהתנאי x i > y i ו ( S ) x i v נקבל (S) y i < v. אולם 0 i y, לכן אין לנו אפשרות לשלוט. מסקנה 3.9 אי אפשר לשלוט על חלוקה דרך קואליציה N, ולא דרך קואליציות = S.1 < S < n היא כאשר S לכן שליטה דרך,{i} = 3,n משחק הרוב. 3 =,X.C = מהם הפתרונות? נסתכל על הקבוצה. 3 עבור,x X מהו (x)?dom {1,2} צריך,x 2 > y 2,x 1 > y 1 ו 1 = 2) (1, v.x 1 +x 2 התנאי האחרון מתקיים אוטומטית. נשארנו עם 2}.Dom {1,2} (x) = {y : y R 2< x R במשולש, 3 זוהי המקבילית המורכבת מהקודקוד (001), צלעות הסימפלקס והקודקוד Dom {2,3} ו ( x ) Dom {1,3} (x) וסגור בצלעות שליד.(001,x בצלעות שליד (פתוח x מוגדרים באופן דומה. סה"כ כדי לקבל את (x),dom ניקח את שלושת הקוים המקבילים לצלעות הסימפלקס ולוקחים את המקביליות (ולא את המשולשים) הנוצרות. מכאן אפשר לבדוק בוודאות האם הליבה ריקה. נניח K פתרון. 1 1. K, נקודה בודדת לא יכולה לקיים שליטה חיצונית..2 K.x y,x, y הקו דרך x, y (נסמן (xy מקביל לאחד הבסיסים. אחרת.y x או x y > 2 3. K כי שתי נקודות על אותו קו מקביל לאחד הצירים, לא שולטות על הנקודות האחרות על הקו. 4. נחלק לשני מקרים: (א) כל הנקודות של K על קו ישר אחד. אנחנו חייבים לקחת את כל הקו, כי אין לנו שליטה על כל הקו. ברור כי כל מה שמעל לקו נשלט ע"י הקו (אם נזוז על כל הקו). מתחת לקו, עשוי להיות משולש בלתי נשלט אם הקו גבוה 21

מדי. אם הקו נמצא מתחת לחצי נקבל שהמשולש יעלם (אם הקו נמצא בדיוק בחצי, הנקודה האמצעית בקו התחתון לא תישלט). (ב) לא כל הנקודות של K על קו ישר אחד. אנו יודעים כי 3 K. יהיו,x,y z K שונות. כל זוג נקודות ביניהם הוא על ישר המקביל לצירים. אם נסתכל על,x y במקום מסוים על אותו ישר, יש שתי אפשרויות למקם את z. מעל הישר או מתחתיו. כלומר יש לנו פתרון מהסוג =: i,c K.0 c ולכל < 1 2 i לכל = 1, 2, 3 {x X xi = c} i. קונפיגורציה,x,y z A, על משולש בכיוון של. 3 לא ניתן להוסיף עוד נקודות.,x,y z מקיימות יציבות פנימית, אבל המשולש הפנימי xyz אינו נשלט. כלומר {z,x},y אינו פתרון..ii קונפיגורציה,x,y z B, על משולש הפוך בתוך. 3 נשארו שלושה משולשים במרכזי הצלעות, אם נדחק את,x,y z עד לצלעות,)} נקבל כי 1 K 0 = 2, 1 ) ( 2, 0, 0, 1 2, 1 ) ( 1, 2 2, 0, 1 )} כל המשולש חוץ מהם נשלט, והאוסף 2 הוא פתרון. זה נקרא הפתרון הסימטרי. הפתרון מגדיר סטנדרט התנהגות יציב בחברה, שאם כולם מאמינים בו, הוא יישאר הסטנדרט. יש פתרון סימטרי, או אפלייתי מוציאים את אחד השחקנים החוצה, ושני השחקנים האחרים מסכמים ביניהם, כשמאמינים שהוא אף פעם לא יקבל יותר. כ' אייר תשע"ג (שעור 7) הגדרנו x S y ו y.x הגדרנו כי K X פתרון אם"ם, x, y K, x y וגם. x K, y K, y x באופן כללי יכול להיות יותר מפתרון אחד, או שאין אף פתרון (הדוגמא הכי קטנה 7 שחקנים). דוגמא: = 3, N מוכר ושני קונים. = 1 3) (1, 2, v v (1, 2) = v (1, 3) = ואחרת.C = {(1, 0, 0)} אזי.v (S) = 0 נשים לב כי עבור 3 x נקבל } y,dom {1,2} x = { y x {1,2} כלומר x 1 > y 1 x 2 > y 2 x 1 + x 2 v (1, 2) = 1 האחרון הוא תנאי ריק כי אנחנו מדברים על חלוקות. לכן זה מקבילית מ x לקודקוד 1).(0, 0, באופן דומה Dom {2,3} x הוא המקבילית לקודקוד 0).(0, 1, בניגוד לדוגמא 22

הקודמת, אין לנו מקבילית לקודקוד השלישי. פתרון יהיה קו רציף מהקודקוד (0,1),0 עד לבסיס = 0 1 x, כך שהשיפוע הוא בתחום )} ±30. לקו התיכון של המשולש יש } ) t t, t 2, 1 או המשוואה.x 1 = x 2 גם הצלע הכי פרמטריזציה של 1] [0, t 2 ימנית היא פתרון, והפרמטריזציה שלה היא 1]} [0, t t, t, 0) {(1 או המשוואה = 0 3 x. אפשר גם ללכת ישר למטה, ואז לשבור בזוית של 30. בהתחלה ככל שהראשון מקבל פחות, הם מתחלקים בשווה, ובשלב מסויים הכל הולך לשני. {( 1 t, f 2 (t), f 3 (t) ) t [0, 1], f 2 (t) + f 3 (t) = t, f 2, f 3 monotonic increase } המונוטוניות חשובה כי לשחקנים,2 3 יש זהות אינטרסים לקבל יותר משחקן 1. אם יש להם זהות אינטרסים על כלל חלוקה כלשהו (t) f 2 (t), f 3 מונוטוניות, יש לשניהם אינטרס להוציא ביחד כמה שיותר משחקן 1. כלומר פתרון הוא קואליציה בין,2 3 מול 1, וחלוקה של התשלום של הקואליציה {3,2} בין 2 ל 3 באופן מונוטוני (כלומר כאשר הסה"כ גדל, כל אחד מקבל יותר במובן החלש). 3.2 משחקי רוב משוקלל הגדרה 3.10 משחק v) (N, נקרא פשוט אם לכל.v (S) {0, 1},S N במשחק פשוט S קואליציה מנצחת אם"ם = 1 (S).v דוגמא למשחקים פשוטים היא משחק הרוב המשוקלל.weighted majority games.w i > 0,(w i ) i N רוב > 0.q המשחק המשחק מוגדר ע"י [n] N, = אוסף משקלות 1 i S v (S) = wi q 0 o.w. מוגדר ע"י נסמן את המשחק ע"י ] n.[q; w 1, w 2,..., w המשחק 1] [3; 1, 1, הוא משחק פה אחד. המשחק 1] [2; 1, 1, או 2] 50; 49; [51; הוא משחק הרוב. נסמן 1} = (S) W := {S v ו { 0 = (S).L := {S v משחק פשוט הוא חזק strong אם S. W N\S L משחק הרוב על 3 שחקנים הוא חזק. משחק פה אחד אינו חזק כי L {3}, {2,1}. דרך אחרת לרשום את הקריטריון היא = 1 (N\S).v (S) + v במשחק רוב משוקלל, אם S W ו S T אז.T W אם S L ו L T אז T L המשחק מונוטוני. 23

נגדיר S מנצחת מינימלית אם S W ולכל.T L,T S נסמן ב W m את אוסף הקואליציות המנצחות המינימליות. במשחק מונוטוני נקבל } m.w = {T S T, S W הצגה ] n [q; w 1,..., w של משחק רוב משוקלל נקראת הצגה הומוגנית אם לכל S w i = q i S,W m יש משחקי רוב משוקלל שאין להם הצגה הומוגנית. למשל [1 ;5],2,2,2,1 (תרגיל). הגדרה 3.11 משחק רוב משוקלל נקרא הומוגני, אם יש לו הצגה הומוגנית (הצגה הומוגנית היא יחידה עד כדי הכפלה בקבוע ושחקני דמי). משפט NM) 3.12 V) יהי משחק רוב משוקלל חזק והומוגני, ותהי [( i ;q] w) הצגה הומוגנית שלו. לכל S W m נגדיר y S R N ע"י w i i S ys i := q 0 i / S תהי } m,k := {y S S W אזי K פתרון. דוגמא: עבור [1 ;2],1,1 (חזק והומוגני), W m {1, 2} {1, 3} {2, 3} y S {( }}{ 1 2, 1 ) 2, 0 ( 1 2, 0, 1 ) 2 ( 0, 1 2, 1 ) 2 }{{} כבר ראינו שזהו הפתרון הסימטרי. המשחק [1 ;3].,2,1,1 האם זה משחק חזק? כן, יש לנו 5 קולות שלמים, והרוב הוא 3, לכן המשלים של קואליציה מנצחת הוא לכל היותר 2, והמשלים של כל קואליציה 24

מפסידה הוא לפחות 3. הקואליציות הזוכות הן W m i S wi y S { 2 {1, 2} 3 3, 1 } 3, 0, 0 { 2 {1, 3} 3 3, 0, 1 } 3, 0 { 2 {1, 4} 3 3, 0, 0, 1 } 3 { {2, 3, 4} 3 0, 1 3, 1 3, 1 } 3 {y S } S Wm הוא פתרון. המשחק הוא הומוגני, לכן האוסף הוכחה: קל לראות כי.K X לכל y i S v (i),s W m (אם = 0 (i),v זה ברור..( wi q כלומר = 1 wi = q Wומתקיים m = {{i}} אם = 1 (i) v, מהיות המשחק חזק, כמו כן, i N y S i = i S w i q + 0 = q q = 1 i/ S כי S W m ואנחנו בהצגה הומוגנית. K מקיימת יציבות פנימית: נניח בדרך השלילה כי יש שליטה בתוך K, ז"א קיימים S, T W m ו N U כך ש.y S U y T לכל y i S > yi T 0,i U ואז v (U) i U y i S > 0 ולכן = 1 (U),v כלומר.U W כמו כן, לכל,yS i > 0 i U ולכן i S (עבור i / S y S S { כלומר y T } נקבל = 0 i.(ys ז"א,U S אבל S W m ו W,U לכן.U = S w i ז"א. i S, ys i > yi T אולם, לכל,i N ו {,K {S, T מתקיים, 0 q,yk i.i S לכל yt i כלומר = 0.yi T = ו 0 yi S = wi ואי שוויון חזק יכול להתקיים רק אם q כלומר.S N\T אולם,S W ו L N\T כי T W והמשחק חזק. הגענו לסתירה במונוטוניות. wi או 0). לכן בדרך קצרה יותר: לכל,yi S > yi T,i U לכן = 0 T i) yi מקבל רק q.t W N\T L U L אבל,U N\T לכן.i N\T כלומר,i / T 25

כ"ז אייר תשע"ג (שעור 8) K מקיימת שליטה חיצונית: תהי x / K חלוקה. נגדיר } T := {i N x i < wi q אם,T W קיים S T כך ש.S W m אזי K y S S x כי i S ys i = i S i S y i S = wi q > xi w i q = 1 = v (S) אם,T / W אזי N\T W וקיימת S N\T כך ש.S W m מתקיים לכל i S x i wi (כי,(S N\T לכן q כי 1 = i N x i = i S x i + i/ S x i i S w i q + 0 = 1 i/ S זה אומר שכל אחד מאי השוויונות הוא שווה. כלומר i S x i = wi q i / S x i = 0 ז"א,x = y S K אבל הנחנו כי.x / K 3.3 משחקי BOT T 1 S k.v (S) =, n 0 S < k צריך לפחות k כדי לנצח. כלומר 2 < k n שחקנים. n למשל (2,3) הרוב בין 3 שחקנים. או (3,5) הרוב של 2 שחקנים. אלו משחקים חזקים ומשפט פון נוימן מורגנשטרן מתייחס אליהם, אולם (4,5) הוא משחק לא חזק, או משחק פה אחד (5,5). במשחק (5,7) יש שתי קואליציות חוסמות מינימליות ועוד שחקן בודד. שתי הקואליציות החוסמות הן מנצחות ביחד. בעצם מתקיים משחק פה אחד בין שתי הקואליציות. לכן כל חלוקה בין שתי הקואליציות אפשרית, ובתוך הקואליציות כולם מתחלקים בשווה. כלומר 0) β, (α, α, α, β, β, כאשר 0 β α, 26

ו 1 = (β α) + 3 (עד כדי תמורה על השחקנים). כלומר כל החלוקות של 7 לשתי קואלציות של (1 3 + k b) = n ושחקן עודף. כאשר שחקני קואליציה אחת מקבלים β. ושחקני קואליציה שניה מקבלים α כשמוצאים פתרון זה טוב, אבל קשה מאוד למצוא את זה. היום יודעים את כל הפתרונות לכל המשחקים עד 5 שחקנים. שאפלי טען שאפשר לבנות את המשחק סביב הפתרון. 4 ערך שאפלי נניח שאני נכנס למשחק הרוב של 3 שחקנים, אני מצפה בממוצע לקבל שליש. יכול להיות שאף פעם לא אקבל שליש (האפשרויות הן ), 1, 0 אבל זה יהיה הממוצע. רוצים 2 להתאים לכל משחק (v,n) ולכל שחקן i N "ערך" כלשהו. מה יהיו דרישות סבירות על הערך? סבירות פרטית לפחות (i) v. סכום הערכים הוא (N) v. סימטריה (אם יש סימטריה במשחק, היא תישמר בפתרון). שחקן אפס (מי שלא תורם לא מקבל). נקבע ביחידות. מונוטוניות (בין משחקים,u). v נקבע N. נסתכל על כל המשחקים (v,n). Γ N := { (N, v) v : 2 N R, v ( ) = 0 },i N כאשר לכל ϕ (N, v) = (ϕ i (N, v)) i N אנחנו מחפשים ϕ : Γ N R N כאשר.(N, v) במשחק i הוא הערך של שחקן ϕ i (N, v) R האקסיומות ש ϕ תקיים:.1 יעילות (N) i Nϕ i (N, v) = v. 27

2. סימטריה \ יחס שווה equal treatment אם,i j N הם שחקנים חליפיים substitutes במשחק v).ϕ i (N, v) = ϕ j (N, v),(n, שחקנים i, j חליפיים אם לכל j}.v (S {i}) = v (S {j}),s N\ {i,.3 שחקן אפס אם i N שחקן אפס במשחק v) (N, (כלומר לכל {i},s N\.ϕ i (N, v) אזי = 0,(v (S {i}) = v (S).4 אדיטיביות w).ϕ i (N, v + w) = ϕ i (N, v) + ϕ i (N, משפט 4.1 (שאפלי, 1953): קיים ϕ אחד ויחיד המקיים את ארבע האקסיומות 1. 4 הוכחה: יחידות: נניח כי ϕ, ψ : Γ N R N שתי פונקציות המקיימות,1 4 צ"ל.(N, v) לכל ϕ (N, v) = ψ (N, v) לכל T N ולכל,c R נגדיר את המשחק u T,c ע"י c S T u T,c (S) = 0 o.w. "פה אחד על T עם תשלום c". עבור,i / T הוא בהכרח שחקן אפס, ולכן = 0 ) T,c ϕ i (N, u T,c ) = ψ i (N, u לפי אקסיומה 3. עבור,i, j T קל לראות כי הם שחקנים חליפיים, לכן לפי אקסיומה 2,.ψ וכנ"ל עבור ϕ i (N, u T,c ) = ϕ j (N, u T,c ) לפי אקסיומה 1, c = i N ϕ i (N, u T,c ) = i/ T 0 + i T ϕ i (N, u T,c ) c.ϕ i (N, u T,c ) = ψ i (N, u T,c ) = T i T 0 o.w. וכולם מקבלים אותו ערך, לכן הראינו אם כן יחידות הערך עבור המשחק ) T,c,N). u טענה 4.2 כל (v,n) ניתן להציג בתור קומבינציה לינארית של המשחקים ) 1,T,N) u (נסמן T,1.(u T = u 28

הוכחה: Γ N מהווה מרחב וקטורי ממימד 1 n 2 (כי = 0 ( ) (v עם חיבור והכפלה {u T } =T N בקבוע כפי שהגדרנו בכפל בקבוע וחיבור פונקציות. משחקי הפה אחד מהווים בסיס למרחב Γ N כי מספר המשחקים הוא 1 n 2 כגודל המימד, ונראה כי הם בת"ל: נניח α T u T = 0 0 = α T u T (S) = =T N וכי קיימת קואליציה S מינימלית ב S כך ש 0 S α. אזי α T u T (S) = α T 1 = α T +α S = 0+α S = α S =T N =T N =T N,T S =T S והגענו לסתירה. מאחר ו { u} T מהווים בסיס, ניתן לייצג כל משחק (v,n) כקומבינציה לינארית של איברי הבסיס {( T,N)}. u v, λ T R, v = λ T u T = =T N =T N u T,λT כעת, ובעזרת אקסיומת האדיטיביות (4) ניתן להסיק כי ϕ i (N, v) = ϕ i (N, u T,λT ) = ψ i (N, u T,λT ) = ψ i (N, v) =T N =T N. תרגיל: עבור = 3 N, לכתוב את הוקטורים המתאימים למשחקי פה אחד, ולהראות איך הם בסיס (זו מטריצה של 7 7). י"ב סיון תשע"ג (שעור 9) תזכורת: אנחנו מסתכלים על } 0 = ( ) v Γ := { (N, v) N finite, v : 2 N R, או על } 0 = ( ) v Γ N := { v v : 2 N R, עבור N קבוצה סופית כלשהי. הגדרנו עבור פונקציות מהסוג ϕ : Γ N R N, ϕ (N, v) = ( ϕ i (N, v) ) i N את האקסיומות הבאות:.1 יעילות: (N) i Nϕ i (N, v) = v. 29

2. סימטריה, או טיפול שוויוני: אם,i j שחקנים חליפיים ב ( v,n) (כלומר.ϕ i (N, v) = ϕ j (N, v) אזי ( S i, j, v (S {i}) = v (S {j}) 3. שחקן אפס player) :(dummy אם i שחקן אפס במשחק (v,n) (כלומר.ϕ i (N, v) אזי = 0 ( S i, v (S {i}) = v (S).4 אדיטיביות: w) ϕ i (N, v + w) = ϕ i (N, v) + ϕ i (N, (אפשר גם למצע ראינו שמתקיימת הומוגניות). משפט :(Shapley) 4.3 קיים ערך אחד ויחיד המקיים את אקסיומות 1. 4 הוכחה: יחידות הוכחנו בשיעור שעבר. נראה קיום: נניח כי [n].n = נגדיר 1]) ([i.ψ i (N, v) := v ([i]) v הפונקציה ψ מקיימת את האקסיומות הבאות: 1. יעילות: n ψ i (N, v) = i=1 n (v ([i]) v ([i 1])) = v ([n]) v ( ) = v (N) i=1.3 שחקן אפס: אם i שחקן אפס, 1]) ([i v ([i 1] {i}) = v ולכן.ψ i (N, v) = 0 4. אדיטיביות: ψ i (N, v + w) = (v + w) ([i]) (v + w) ([i 1]) = = v ([i]) + w ([i]) v ([i 1]) w ([i 1]) = = ψ i (N, v) + ψ i (N, w) 2. סימטריה לא מתקיימת: ניקח את v להיות משחק פה אחד עבור 2 N. 1 i = n נקבל כי = (v ψ, i,n) למרות שהמשחק סימטרי לחלוטין. 0 i < n 30

הפתרון הוא לבצע סימטריזציה בין השחקנים. כרגע אנחנו תלויים בסדר בין השחקנים (מי 1 ומי n). אם נמצע על כל הפרמוטציות בין השחקנים, נקבל סימטריה. לכל פרמוטציה,π S N נגדיר π),ψ i π (N, v) := v (P i π {i}) v (P i כאשר.π בסדר i היא קבוצת הקודמים של Pπ i := {j N π (j) < π (i)} 1 = v),ϕ i (N, ונראה כי ϕ מקיימת את כל האקסיומות: כעת נגדיר v) ψπ i (N, n! π S N לכל פרמוטציה ψ π π, מקיים את אקסיומות,1,3 4 (כמו ψ), ולכן גם ϕ מקיימת אותם. ϕ גם מקיימת סימטריה (2), כי אם,i j שחקנים חילופיים, לכל פרמוטציה π יש פרמוטציה j) π = π (i, עבורה v) ψ ĩ π (N, v) = ψ j π (N, ו ( v.ψ j π (N, v) = ψi π (N, מיצוע על כל π S N הוא בדיוק כמו מיצוע על כל π, ולכן ϕ. i = ϕ j לכן ϕ מקיימת ϕ i (N, v) = 1 ( ( v P i n! π {i} ) v ( )) Pπ i π S N את כל האקסיומות. קיבלנו: כלומר התרומה השולית של שחקן i לקואליציה של קודמיו (בסדר π), כאשר ממצעים על כל התמורות. ערך שפלי של שחקן i הוא תוחלת התרומה השולית של i לקודמיו בסדר מקרי. דוגמאות עבור = 3 : N ( 1. 3, 1 3, 1 ) משחק פה אחד 3 ( 1 (משחקים סימטריים). 3, 1 3, 1 ) משחק הרוב 3 מוכר ושני קונים: הערך הוא מהסוג β) (α, β, כאשר = 1 2β.α + π ψ 1 π 123 v (1) v ( ) = 0 132 v (1) v ( ) = 0 213 v (1, 2) v (2) = 1 231 v (1, 2, 3) v (2, 3) = 1 312 v (1, 3) v (3) = 1 321 v (1, 2, 3) v (2, 3) = 1 31

( 2 (אפשר היה לחשב את β באותה 3, 1 6, 1 ) = 4 6 1,ϕ ולכן הערך הוא לכן = 2 3 6 צורה, אבל אפשר לחלץ מ 1 = 2β α). + נשים לב כי זה משחק פשוט ומונוטוני, ובמשחק כזה, התרומה השולית אינה אפס רק אם = 0 (S) v אבל ({i} v S) ואז היא 1. לכן במשחק פשוט ומונוטוני, הערך של שחקן i הוא מספר הפרמוטציות בהן התרומה השולית היא 1, חלקי!n. התרומה השולית היא 1 אם"ם = 0 π) v (P i אבל = 1 {i}),v (P i π כלומר שחקן i הוא שחקן המפתח בסדר π. לכן Sh i במשחק פשוט ומונוטוני הוא ההסתברות ששחקן i הוא שחקן המפתח בסדר מקרי. נשנה את סדר הסכימה של ערך שפלי שהגדרנו לא נסכום לפי התמורות, אלא לפי הקבוצות שיכולות להיות P. i π עבור {i} S, \N היא יכולה להופיע כ π P i ב!( 1 S S! ( N תמורות S!) אפשרויות לסדר פנימי, ו!( 1 S ( N אפשרויות לסדור שאר השחקנים שאחרי i). Sh i (N, v) = 1 v ( Pπ i {i} ) v ( ) Pπ i = n! S=Pπ i π S N S! ( N S 1) = (v (S {i}) v (S)) n! S N\{i} k! (n k 1)! 1 1 = =, לכן ערך שאפלי הוא תוחלת n! n (n 1)! n ( ) n 1 נשים לב כי k!(n k 1)! k של (S) v (S {i}) v במודל הסתברותי שנותן לכל {i} S N\ את ההסתברות 1. מודל כזה הוא: n ( ) n 1 S.1 בוחרים את 1) n.k U (0,..., ( n 1 ) 2. בהינתן k, לכל תתי הקבוצות של {i} \N שגודלן k ניתן סיכוי שווה. יש k 1. 1 n ( n 1 k כאלו, ולכן כל אחת תקבל סיכוי של ),γ = 1 n = γ 1 אולם N\{i},γ S := n ( ) n 1 נשים לב כי אם S 1 = {j} γ. לכן ככל שהקואליציות גדלות, יש יותר קואליציות כאלו n (n 1) = γ N\{i,j} והמשקל שלהם נמוך יותר, עד שמגיעים לאמצע, משם המשקלות חוזרים ועולים. (היתה הצעה להשתמש במשקל שווה לכל S, וזה לא יעיל, ואם מנרמלים זה לא מקיים דברים אחרים. כמובן = 1 S S N\{i} γ כי זו התפלגות. 32

[ 1. הערך β) Sh = (α, β, β, 2 ; 1 3, 2 9, 2 9, 2 ] משחק רוב משוקלל: 2] [5; 3, 2, 2, = 9 כאשר = 1 3β α. + מהו?Sh 1 יש לנו לסדר 4 שחקנים. הוא יכול להיות בכל אחד מארבעתם באותו סיכוי. אם הוא במקום הראשון או הרביעי, הוא לא שחקן α = 2 4 = 1 2 מפתח. אם הוא במקום השני או השלישי הוא שחקן מפתח. לכן ( 1.Sh = 2, 1 6, 1 6, 1 ) = 1 6.β לכן ו 6 י"ט סיון תשע"ג (שעור 10) הגדרנו ערך שאפלי ע"י Sh i (N, v) = 1 ( ( v P i n! π {i} ) v ( )) Pπ i π S N במשחק פשוט {1,0} (S) v ומונוטוני השונה מאפס, Sh i הוא ההסתברות שi שחקן מפתח בסדר מקרי. [ 1 אזי β).sh = (α, α, β, β, מהו?Sh 1 מהם 2 ; 1 3, 1 3, 1 9, 1 9, 1 ] משחק הרוב 9 הסדרים האפשריים? 1 נמצא במקומות, 5....1,.Sh = Order 1 is key condition P r (1 key π (1) = k) 1xxxx no 0 x1xxx 2 before 1 1 4 xx1xx always 1 xxx1x 2 after 1 1 4 xxxx1 no 0 ( 9 30, 9 30, 4 30, 4 30, 4 30 ) = 1 5 1.Sh ו ( 1 4 + 1 + 1 ) לכן = 3 4 10 בשני המקרים האחרונים, לשחקן הגדול יש כוח של 1 3 מהקולות, אולם במקרה הראשון בו יש שחקן גדול חזק, הכוח שלו הוא 1 יותר משליש. אולם במקרה 2 בו יש שני שחקנים חזקים, הכוח של כל אחד הוא פחות משליש. זה מה שקרה במעבר במד"י ממפלגה גדולה אחת לשתי מפלגות גדולות. הכוח עבר מהמפלגה הגדולה למפלגות הקטנות. ערך שאפלי הוא לא מה שיצא בפועל (קואליציה זוכה מינימלית או כמעט מינימלית), אלא מה כל שחקן מצפה לקבל מהמשחק בממוצע. 33

5 בעיות מיקוח 5.1 מבוא משחק שני שחקנים בצורה אסטרטגית ( ) 2, 1 0, 0 0, 0 1, 2 היו לנו שני שוו"מ טהורים, ושוו"מ מעורב של = 2 p ו = 1 3 q. התשלומים הם 3 ( 2, (2,1), (1,2). לכן הם לא מעוניינים במעורב. אבל לכל אחד יש העדפה 3, 2 ) 3 משלו לאן ללכת, ואם הם לא יתאמו, הם יקבלו (0,0). יש פתרון: נטיל מטבע הוגן, ולפי זה נחליט לאן ללכת. זה נותן תשלום של (1.5,1.5). המשמעות: כשמשחקים את המשחק, יש כל מיני צורות של תשלום, אבל כשהם עורכים הסכמים ביניהם, אפשר להגיע לדברים חדשים. האם קיימת אסטרטגיה של q) (p, 1 p), (q, 1 כך שהם יקבלו 1.5)?(1.5, לא ניתן להגיע ע"י זוג אסטרטגיות מעורבות. סכום התשלומים הוא 3, כלומר ההתפלגות חייבת ליפול רק על האלכסון הראשי. זה אפשרי רק באסטרטגיות טהורות, ואז יש רק שתי אפשרויות שהן (לא ( התשלום המבוקש. 0.5 0 הדרך היחידה לקבל את התוצאה המבוקשת היא התפלגות של, והיא לא 0 0.5 מתקבלת ממכפלת וקטורי התפלגות. אלו סכומים יכולים להתקבל? יש לנו את התשלום ( ) 1, 1 5, 0 שוו"מ טהור יחיד הוא (1,1), אבל אפשר להגיע ל ( 4,4). במשחק 0, 5 4, 4 כשאנחנו רואים משחק, אנחנו שואלים מהם ההסכמים האפשריים. בסופו של דבר מעניין אותנו מה תהיה התוצאה מבחינת תשלום. מאחר והחוזה מדבר רק על המשחק מלחמת המינים, התוצאה תהיה אחת מארבע משבצות, אולם עשויות להיות הסתברויות. למשל בהסכם הטלת מטבע נקבל תוחלת תשלום (1.5,1.5). כמובן שהחוזה צריך להיות אכיף. בהסכם, מסתכלים על התשלומים מההסכם, וזה מתאים להתפלגות על המשבצות. תוחלת התשלום היא α (2, 1) + β (0, 0) + γ (0, 0) + δ (1, 2) 34

כאשר 4 δ).(α, β, γ,,u i קבוצת : S 1 S 2 במשחק 2 שחקנים ) 2 ; S 1, S 2 ; u 1, u 2} ({1, כאשר R התשלומים האפשריים בהסכמים היא conv {( u 1, u 2) ( s 1, s 2) R 2 s 1 S 1, s 2 S 2} אם נסתכל על אסטרטגיות טהורות כוקטורי יחידה של אסטרטגיות מעורבות, אזי ע"י אסטרטגיות מעורבות ניתן ) i S) היא קבוצת האסטרטגיות המעורבות של i. להגיע ל {( u 1, u 2) ( z 1, z 2) z 1 ( S 1), z 2 ( S 2)} בהסכם ניתן להגיע ל {( u 1, u 2) (z) z ( S 1 S 2)} = conv {( u 1, u 2) ( s 1, s 2) s 1 S 1, s 2 S 2} נניח שיש לנו את קבוצת ההסכמים האפשריים, ואנחנו רוצים לבחור את ההסכם הטוב ביותר. ראינו שלפעמים עם אקסיומות פשוטות אפשר להגיע לתוצאות יפות. נתונה קבוצה קמורה של הסכמים אפשריים. נרצה לקבוע כללים שיתאים לכל משחק הסכם (או תשלום) יחיד. מה היינו רוצים שהכללים יקיימו? נניח כי יש לי קבוצה קמורה במישור של x 1, x 2 התשלומים לשני השחקנים. כדי לקבוע את ההסכם, חשוב לדעת מה יהיה אם לא יהיה הסכם. יש לנו a C שהיא נקודת אי ההסכמה. 5.2 בעיית מיקוח (טהור) של שני שחקנים Bargaining Problem בעיה מוצגת כזוג (C,a) כאשר : C R 2 1. קמורה וקומפקטית (קבוצת התשלומים של ההסכמים האפשריים). Agreements Disagreement התשלומים כאשר אין הסכם (נקודת אי ההסכמה). a R 2 2. Point C a (אפשר להסכים שלא מסכימים). נניח: 35

קיים הסכם x C כך ש x i > a i עבור = 1, 2.i נסמן ב B את קבוצת כל בעיות המיקוח, כלומר B := { (a, C) a C R 2, C compat and convex, x C, x a } פונקצית פתרון היא f : B R 2 כאשר (a, C) B, f (a, C) C. (דרישות סבירות) אקסיומות על פונקצית פתרון f: 1. יעילות אין f.,a) (C x C (באופן גיאומטרי השפה מהקצה העליון לקצה הימני). 2. סימטריה (טיפול שווה) אם הבעיה סימטרית, הפתרון שלה סימטרי: ((( x 1, x 2) C ( x 2, x 1) C ) a 1 = a 2) f 1 (a, C) = f 2 (a, C) כ"ז סיון תשע"ג (שעור 11) תזכורת: בעיית מיקוח מוגדרת מזוג (C,a), כאשר C R 2 קמורה וקומפקטית,.a C וקיים.a x C הגדרנו B אוסף כל בעיות המיקוח, ופונקצית פתרון f : B R 2 כך ש B (a, C) מתקיים.f (a, C) C האקסיומות של פונקצית הפתרון הן:.1 יעילות: C) x C, x f (a,..2 סימטריה: אם (x 1, x 2 ) C (x 2, x 1 ) C וגם a 1 = a 2 אזי = C) f 1 (a,.f 2 (a, C) 3. אינווריאנטיות תחת טרנספורמציות ליניאריות: עבור h i : R R כך ש h (x 1, x 2 ) = ע"י h : R 2 נגדיר R 2,α i > ו 0 h i (z) = α i z + β i )) 2,(h 1 (x 1 ), h 2 (x קל לראות כי (h (a), h (C)) B האקסיומה דורשת שמתקיים.f (h (a), h (C)) = h (f (a, C)).4 אי תלות באפשרויות לא רלוונטיות independence of irrelevant alternatives או :IIA נניח ויש לנו בעיית מיקוח עם פתרון טוב. כעת מגלים כי ביטלנו חלק מהאפשרויות, אבל ההסכם שבחרנו עדיין אפשרי עבור,a) (C,,a) (D B כך ש D,C אם f (a, D) C אזי D).f (a, C) = f (a, 36

משפט 5.1 (נאש) קיימת פונקצית פתרון אחת ויחידה המקיימת את 4 האקסיומות. נסמן אותה ב (N f N לכבוד נאש) והיא נתונה באופן הבא: לכל f N (a, C),(a, C) B ממקסמת את ) 2 (x 1 a 1 ) (x 2 a על כל הקבוצה = a C.{x C x a} הוכחה: צריך להוכיח 3 דברים:.1 N f מוגדרת היטב. 2. N f מקיימת את ארבעת האקסיומות. 3. N f היחידה המקיימת את האקסיומות. הגדרה היטב: נראה כי לכל,a), (C B יש נקודה יחידה ב C a הממקסמת את.g (x) = (x 1 a 1 ) (x 2 a 2 ) הקבוצה C a לא ריקה ) a a), C קמורה (חיתוך של שתי קבוצות קמורות) וקומפקטית (חיתוך של C). הפונקציה g רציפה, ולכן קיימת נקודה מקסימלית. נניח כי x y C a שניהם ממקסמים את,g אזי,z = 1 2 (x + y) C a וקל להראות כי (x) g (z) > g (תרגיל), לכן ל g יש נקודת מקסימום יחידה. קיום האקסיומות:.1 יעילות: ב C a נקבל > 0 ) 2,(x 1 a 1 ), (x 2 a לכן אם קיים C),x f N (a, נקבל C)).g (x) > g (f N (a,.2 סימטריה: בבעיה סימטרית, אם עבור C),b = f N (a, מתקיים,b1 b 2 גם ˆb היה ממקסם את,g והגענו לסתירה )) 1.(ˆb = (b 2, b.3 טרנס' ליניארית: ) 2.h (x 1, x 2 ) = (α 1 x 2 + β 1, α 2 x 2 + β בבעיה (C)) (h (a), h אנחנו ממקסמים את )) 2,(y 1 h 1 (a 1 )) (y 2 h 2 (a כאשר ) i y i = h i (x עבור x i כלשהו. לכן אנחנו ממקסמים את ( α 1 x 1 + β 1 α 1 a 1 β 1) ( α 2 x 2 + β 2 α 2 a 2 β 2) = = α 1 α 2 ( x 1 a 1) ( x 2 a 2) ומאחר ו 0 > 2 α, 1 α זו אותה בעיית מקסום. 37

,C a ונמצאת ב D a על g ממקסם את b = f N (a, D) C אם,C a D a :IIA.4 היא תמקסם את g גם על C. a ג' תמוז תשע"ג (שעור 12) f N היחידה המקיימת את האקסיומות: תהי f : B R 2 פונקצית פתרון כלשהי המקיימת את 4 האקסיומות. נראה כי C) f (a, C) = f N (a, לכל.(a, C) B נראה עבור המקרה הפרטי 0) (0, =,a ו ( 1 (1, = C).f N (a, ההיפרבולה הכי גבוהה המשיקה ל C היא = 1 2 x. 1 x נצייר את המשיק להיפרבולה בנקודה (1,1). משוואת המשיק היא = 2 2 x 1 + x (ההיפרבולה סימטרית, והנקודה סימטרית, לכן גם המשיק סימטרי והשיפוע הוא אחד ההיפרבולה גזירה ולכן קיים משיק יחיד, הקבוע הוא 2 בגלל הנקודה (1,1)). למה 5.2 אם x C אזי x נמצא מתחת המשיק 2) 2.(x 1 + x הוכחה: אם יש נקודה מעל המשיק, C קמורה לכן כל הקו בין x ל ( 1,1) נמצא ב C, והקו איננו משיק, לכן הוא חותך את ההיפרבולה. נקודות מעל ההיפרבולה (תרגיל בית). מנקודת החיתוך ל ( 1,1) נקבל יהי D ריבוע שצלע אחת שלו הוא המשיק, הוא מספיק גדול כך ש D C, ויהיה סימטרי מול האלכסון f,a) (D x. 1 = x 2 צריך להיות גם על האלכסון (D בעייה סימטרית) ובשל אילוץ היעילות נקבל (1,1) = (D f.,a) אולם לפי אקסיומת,IIA f (a, C) = f (a, D) = (1, 1) = f N (a, C) המקרה הכללי: תהי (a, C) B בעיית מיקוח. נסמן C) b = f (a, ו ( C.d = f N (a, צ"ל.b = d נשים לב כי d a (כי d ממקסם מכפלה). נגדיר h i : R R ע"י,h 2 (x 2 ) = x2 a 2 בעקבות זאת d 2 a ו 2 h1 (x 1 ) = x1 a 1 d 1 a = 1 1 d 1 a 1 x1 a1 d 1 a 1 נגדיר h : R R ע"י )) 2 h (x 1, x 2 ) = (h 1 (x 1 ), h 2 (x אזי 0) (0, = )) 2,h (a) = (h 1 (a 1 ), h 2 (a ואלו 1) (1, = )) 2 h (d) = (h 1 (d 1 ), h 2 (d לכן f N (h (a), h (C)) = h (f N (a, C)) = h (d) = (1, 1) h (a) = (0, 0) כלומר הבעיה ((C) h) (a), h שייכת למקרה הפרטי. לכן h (b) = h (f (a, C)) = f (h (a), h (C)) = f N (h (a), h (C)) = h (d) 38

מאחר ו h טרנספורמציה לינארית עם מקדם שונה מאפס, h 1, h 2 הפיכות, ולכן b, = d כלומר C).f (a, C) = f N (a, 5.3 נקודת אי ההסכמה אנחנו התחלנו ממשחק, למשל מלחמת המינים. קבוצת ההסכמים האפשריים היא הקמור של {(2,1), (1,2), (0,0)}. קל לראות כי ההסכם יהיה על הישר בין (1,2) ל ( 2,1). הנקודה תלויה בנקודת אי ההסכמה. אפשר להציע כמה אפשרויות מה שכל שחקן יכול להבטיח לעצמו, אחד משיוויי המשקל האפשריים. נקודת אי ההסכמה באה ממה שהשחקנים עושים אם לא מסכימים. זה די ריק מתוכן. אבל כל שחקן מעוניין להגיע להסכם, בו יקבל תשלום גבוה ככל האפשר. כרגע המטרה של כל שחקן היא לבוא למקום שבו התשלום הסופי יהיה גבוה יותר. זה משחק על נקודת אי ההסכמה, אבל לא על התוצאה של אי ההסכמה עצמה, אלא על התוצאה של ההסכם שלה. זה יוצר "משחק האיומים" (נאש, 51?) או variable (optimal) threat.game השחקנים בוחרים מה לעשות אם אין הסכם (=איום), באופן כזה שהתשלום בהסכם הסופי יהיה גדול ככל האפשר. היכולת של השחקנים לאיים הוא לנקוט באסטרטגיה: אם לא יהיה הסכם אני הולך לאופרה. או 3 לאופרה. האסטרטגיה של שחקן i במשחק האיומים היא אסטרטגיה 4 מעורבת של שחקן i במשחק המקורי. זוג איומים נותן זוג תשלומים שיהווה נקודת אי ההסכמה. משם זה נותן לנו (לפי פתרון נאש) נקודת הסכם סופי. זהו משחק שני שחקנים אבל עם תשלומים אחרים. משחק 2 שחקנים (בצורה אסטרטגית): שחקן 1 בוחר S 1 ) s 1 S 1 סופית). שחקן 2 בוחר.s 2 S 2 תשלומים ) 2 g 1 (s 1, s 2 ), g 2 (s 1, s לשני השחקנים. הרחבה לאסטרטגיות מעורבות:.z i (S i ) = Z i ) 2 g i (z 1, z פונקצית תשלום. 39

קבוצת ההסכמים האפשריים: } 2 C = conv {(g 1, g 2 ) (s 1, s 2 ) s 1 S 1, s 2 S.R 2 C ϕ : C (כאשר x} C := {x C x x C s.t. x היא השפה היעילה של C) תוגדר ע"י: אם.ϕ (a) = f N (a, C),(a, C) B אם a ϕ (a) C,(a, C) / B (קיימת נקודה יחידה כזו). ϕ ממפה נקודת אי הסכמה להסכם סופי. משחק האיומים: שחקן i בוחר.z i Z i התשלום הוא )) 2.ϕ (g 1 (z 1, z 2 ), g 2 (z 1, z משפט 5.3 (נאש) קיימים זוג איומים אופטימליים,z 1 Z 1, z 2 Z 2 והסכם C c z 1 Z 1 )) ( )) ϕ (g (z 1, z 2 ϕ 1 g (z 1, z 2 = c z 2 Z 2 )) ( )) ϕ (g (z 2, z 2 ϕ 2 g (z 1, z 2 = c כך ש ) מהווה שיווי משקל נאש במשחק יתר על כן, c יחיד ) 2 z 1, z לאו דוקא יחידים). (z 1, z 2 האיומים. נשים לב כי בגלל שהתוצאות של המשחק הן בשפה היעילה, זה דומה יותר למשחק סכום אפס אין מצב שאחד מרויח בלי שהשני מפסיד. תכונות הפונקציה ϕ: 1. ϕ רציפה (תרגיל). למה 5.4 עבור 1) (0,,α ו ( C,b = αa+(1 α) f N (a, אזי C).f N (a, C) = f N (b, הוכחה: במקרה הפשוט (0,0) = a, ו C הוא משולש שווה שוקיים ששתי צלעותיו בראשית. אזי מסימטריה נקבל כי אנו עולים לאורך האלכסון עד ל ( C f. N,a) נקודה.f N (a, C) = f N (a, B) תהיה סימטרית גם היא, ולכן b 40

מקרה מורכב יותר: אם C משולש לא שווה שוקיים, אפשר להסיק מיציבות לטרנס' לינאריות כי הפתרון הוא במרכז היתר. אם b על הישר בין (C,a, f N,a) הנקודה C. b תהיה עדיין באמצע היתר של המשולש המושרה f N,a) (C במקרה של C a שאינו משולש נאביר את המשיק להיפרבולה שמפריד בין C להיפרבולה, ונרחיב ל C D כך ש D a היא משולש. נשתמש באקסיומת.IIA אם נסתכל על נקודת הסכם סופי ב C, מהו אוסף נקודות אי ההסכמה שמקיים ϕ). 1 ((c) ϕ (x) = c אם השפה C היא ישר בודד, אפשר לקחת את השפה היעילה, ולשקף אותה בנקודה c, ולקבל את הקו שמוביל אליו. נקודות שהאלכסון מהם לא פוגע בשפה, יתנקזו לקצה של השפה. י' תמוז תשע"ג (שעור 13) הגדרנו C ϕ : C ע"י C) ϕ (a) = f N (a, עבור a שאינה על השפה, עם השלמה לנקודות השפה היעילה והיעילה ממש. הראינו שהמאפיין של (C f N,a) הוא שאם נחבר אותה עם a בקו ישר, הוא ישקף את המשיק של השפה C בנקודה C).f N (a, לכן אם (a)] b [a, ϕ אזי (a).ϕ (b) = ϕ עבור נקודה [b d,a] נקבל כי (d) ϕ נמצאת על C בין (a) ϕ ל ( b ) ϕ. למה? כי הישר e בנקודת החיתוך (אחרת [b, ϕ (b)] ולא את [a, ϕ (a)] לא יכול לחצות את [d, ϕ (d)] יש סתירה לגבי (e) ϕ). נרצה לדבר על נקודה ב C ולשאול מהם כל נקודות אי ההסכמה שמגיעות אליה (x) ϕ. 1 עבור שפה פוליטופית של C, בקטע ישר נקבל כי המשיק הוא הצלע, ובשיקוף נקבל בין שתי נקודות על אותו ישר קוים מקבילים. בנקודת שבר יש את הקוים המקבילים בכל אחד מהצדדים, וכל החלק שבאמצע (משולש) הולך לנקודת השבר. הסיבה היא שבנקודת השבר יש כמה תומכים, ויש לנו את האיחוד של הקוים המשקפים שלהם. מסקנה (x) 5.5 ϕ 1 הוא קו או קונוס. ( ) 2, 1 0, 0 II שחקן.p [0, 1] בוחר אסטרטגיה מעורבת, I, דוגמא: במשחק 1, 0 1, 2 בוחר 1] [0,.q מחשבים את q) g 1 (p, q), g 2 (p, כנקודת אי ההסכמה, ומפעילים את ϕ כדי להגיע להסכם סופי. משוואת השפה היעילה היא = 3 2 x, 1 x+ והישרים המשקפים הם עם משוואה x. 1 x 2 = k שחקן I רוצה ש k יהיה כמה שיותר גדול, ושחקן II רוצה להקטין את,k כאשר q).k = g 1 (p, q) g 2 (p, לכן לפעמים עדיף לו לאיים במצב בו הוא מקבל פחות, אבל נקודת אי ההסכמה תהיה יותר. במשחק שלנו, נרשום 41

( ) 1 0, נשים לב כי אם משתמשים באסטרטגיות מעורבות, את המשחק על k : 1 1 k מתקבל באופן לינארי (כמו במשחק סכום אפס). במשחק זה נקודת שיווי משקל יחידה בה הראשון משחק למעלה, והשני משחק ימינה. כלומר = 0 k p = 1, q = 0, הפתרון יהיה נקודת המפגש של = 3 2 x 1 + x (יעילות) עם k,x 1 x 2 = כלומר בנקודה (1.5 השפה היעילה היא 2)] (2,, 3) [(0, ו [( 0 (3,, 2).[(2, דוגמא נוספת: משוואת 0)] (3,, 2) [(2, היא = 6 2.2x 1 +x ומשוואת 2)] (2,, 3) [(0, היא = 6 2.x 1 +2x יש לנו איזורים א', ב' וקונוס ג'. באיזור א' המשחק הוא על משוואה x. 1 2x 2 = k ב' הוא על 2x. 1 + x 2 = k נניח והפתרון בא', משחק ה k הוא. אנחנו מחפשים אסטרטגיות אופטימליות. מתקיים 6p + 6 (1 p) = 3p 2 (1 p) p = 8 17 ( ( המשחק.(1.5, ) ) באיזור 0, 3 6 3, 0 3 0, 3 6 2, 2 2 k a = 6 17 איפה הקו = 6 2 x 1 2x נמצא? מחוץ לתחום א', וזה לא טוב. 17 הזה הוא ( הקו ) שוב אין אסטרטגיות דומיננטיות, נפתור 3 6 3 2 באיזור ב', משחק ה k המשחק הוא את בעיית האופטימליזם: 3p + 3 (1 p) = 6p + 2 (1 p) 3 6p = 2 + 4p p = 0.1 k b = 0.3 + 3 0.9 = 2.4 הקו = 2.4 2 2x 1 x נמצא בתחום ב', ולכן איומים אופטימליים הם = 2 5 q p = 1 10, וההסכם הסופי יקיים 2x 1 + x 2 = 6 2x 1 x 2 = 2.4 x = (2.1, 1.8) 42

למה זה הפתרון? אם הראשון יאיים = 1 1 z הוא מבטיח = 2.4 k, כלומר נקודת אי 10 ההסכמה תהיה על הקו הזה, או ימינה לו. הבחינה: חומר סגור, מותר להביא דף עזר (שני צדדים). הבחינה יכולה לכלול ניסוח משפטים, הוכחה של משפט או טענת עזר. תרגילים (לא הכי קשים ולא הכי קלים ממה שהיה בבית). אין בחירה. לקבל 100 זה לאו דווקא לפתור את כל הבחינה. אפשר לבדוק משנים קודמות. ( ) 0, 0 2, 1. השפה היעילה C מורכבת משני קטעים, ומחלקת דוגמא נוספת: 1, 2 3, 1 את C לשלושה איזורים. הקו 1)] (3,, 1) [(2, הוא עם משוואה = 5 2 2x 1 + x והקו ) 1)] (2,, 2) ( [( 1, משוואתו = 5 2.x 1 + 3x באיזור א' k = x 1 3x 2 והמשחק הוא 1 13 = 2 x 1 3x הוא מתחת לתחום =.p הקו 0 1 שפתרונו 1 2 = k, 14 2 7 6 ( ) 0 3 א'. באיזור ב' המשחק הוא על k = 2x 1 x 2 כלומר, ושחקן II בוחר 4 7 שמאלה, ואז שחקן I בוחר למעלה. הישר = 0 2 2x 1 x הוא מעל תחום ב'. 1 13 2,x 1 3x כלומר נקודת אי כששחקן I מאיים = p הוא יכול לאיים על 2 14 ההסכמה היא באיזור ג' או ב'. באופן דומה שחקן II מבטיח נקודת אי הסכמה באיזור א' או ג', ולפסול את ב'. לכן נקודת אי ההסכמה תהיה באיזור ג' (המשולש), ו p a, q b זוג איומים אופטימליים. ההסכם הסופי (1,2) = d. איומים אופטימליים לא חייבים להיות יחידים, למשל במשחק הקודם = 1 p אופטימלי. שיווי משקל יכולים לבוא מאוסף אסטרטגיות אופטימליות. תובנה: בהנחה שבסיכוי מאוד גבוה בסופו של דבר נגיע להסכם, השיקול הוא להגיע לנקודת אי ההסכמה הטובה יותר כבסיס להסכם, ולא לנקודה הטובה יותר באיום עצמו. איום יכול להזיק לי, אבל אם הוא מזיק לצד השני יותר, הוא יוביל להסכם טוב יותר. זה יכול להביא לשיקול בבחירת האיום הנכון. נחשוב על מודל מיקוח אמיתי. שני אנשים מתמקחים על קבוצה C. הראשון מציע הסכמה בנקודה מסויימת d. השני יכול להסכים או להציע הצעה אחרת e. וכך הלאה. במודל יש מחיר לזמן המושקע בהתמקחות, והוא מבוטא ע"י הקטנת התשלומים בפקטור מסויים < 1 δ מידי יום. מהם שיוויי המשקל במשחק זה? אם I כל הזמן מציע d, ו II מציע e. נרצה לדבר על שוו"מ משוכלל לתתי משחקים, ואז מסתבר שיש רק שיווי משקל יחיד. בשלב מסוים שחקן I יציע d, 2 ואם שחקן II יחכה למחר, הוא יציע.δe 2 התהליך יעצור כאשר d 2 = δe 2 ו e 1 = δd 1 (משפט להוכיח 43

שאנחנו לאט לאט נתכנס). 44