ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Σχετικά έγγραφα
Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Ιστορία της μετάφρασης

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

Ιστορία της μετάφρασης

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας

Παράκτια Τεχνικά Έργα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Διοικητική Λογιστική

Διπλωματική Ιστορία Ενότητα 2η:

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Οδοποιία IΙ. Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας. Γεώργιος Μίντσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Ατομικά Δίκτυα Αρδεύσεων

Στρατηγικό Μάρκετινγκ

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Διπλωματική Ιστορία. Ενότητα 12η: Ο Β Παγκόσμιος Πόλεμος Η Ευρώπη. του Hitler Ιωάννης Στεφανίδης, Καθηγητής Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Φ 619 Προβλήματα Βιοηθικής

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Αξιολόγηση και ανάλυση της μυϊκής δύναμης και ισχύος

Γεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 9

Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Διδακτική της Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Συγκριτικό Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Φ 619 Προβλήματα Βιοηθικής

Μάθηση σε νέα τεχνολογικά περιβάλλοντα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο Ι (Μεταπτυχιακό)

Συμπεριφορά Καταναλωτή

Επιμέλεια μεταφράσεων και εκδοτικός χώρος

Εφαρμογές πληροφορικής σε θέματα πολιτικού μηχανικού

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

Εκκλησιαστικό Δίκαιο Ι (Μεταπτυχιακό)

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Διδακτική της Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal

Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον

Χώρος και Διαδικασίες Αγωγής

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Χώρος και Διαδικασίες Αγωγής

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

Διαγλωσσική μεταφορά και διαμεσολάβηση

Επικοινωνία Ανθρώπου- Υπολογιστή Σχεδίαση Αλληλεπίδρασης

Transcript:

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης Λουκάς Βλάχος

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Εφαρμογή Ερώτημα: Με τί ρυθμό γεμίζει το κυλινδρικό δοχείο από μια βρύση; 4

Εφαρμογή Ερώτημα: Με τί ρυθμό γεμίζει το κυλινδρικό δοχείο από μια βρύση; Μετράμε το ρυθμό μεταβολής της στάθμης του νερού στο δοχείο: dh dt Υπολογίζουμε έπειτα το ρυθμό μεταβολής του όγκου, παραγωγίζοντας τον όγκο ως προς t και αντικαθιστώντας το ρυθμό μεταβολής της στάθμης που βρήκαμε προηγουμένως. 5

Πρόβλημα Του Ανεστραμμένου Κώνου Έστω ανεστραμμένος κώνος ύψους h 80cm Γεμίζουμε τον ανεστραμμένο κώνο με ρυθμό 10 και ακτίνας r 40cm. cm 3 / sec Να υπολογίσετε το ρυθμό ανόδου της στάθμης του νερού, όταν αυτή βρίσκεται σε ύψος 0 cm από το έδαφος. 6

Πρόβλημα Του Ανεστραμμένου Κώνου Λύση Ο όγκος του κώνου είναι V 1 r 3 h 7

Πρόβλημα Του Ανεστραμμένου Κώνου Λύση Ο όγκος του κώνου είναι 1 r 3 Από τα όμοια τρίγωνα υπολογίζουμε την ακτίνα του κώνου όταν η στάθμη είναι σε ύψος 0 cm. V h 8

Πρόβλημα Του Ανεστραμμένου Κώνου Λύση Ο όγκος του κώνου είναι 1 r 3 Από τα όμοια τρίγωνα υπολογίζουμε την ακτίνα του κώνου όταν η στάθμη είναι σε ύψος 0 cm. Από τα στοιχεία του κώνου γνωρίζουμε ότι h = r (αφού h = 80 cm και r = 40 cm) V h 9

Πρόβλημα Του Ανεστραμμένου Κώνου Λύση Ο όγκος του κώνου είναι V 1 r 3 Από τα όμοια τρίγωνα υπολογίζουμε την ακτίνα του κώνου όταν η στάθμη είναι σε ύψος 0 cm. Από τα στοιχεία του κώνου γνωρίζουμε ότι h = r (αφού h = 80 cm και r = 40 cm) Παραγωγίζουμε τον όγκο ως προς το χρόνο, αντικαθιστώντας r = h/: dv dt d dt 1 h 3 h h 10

Πρόβλημα Του Ανεστραμμένου Κώνου Λύση dv d 1 h d 1 3 1 h h 3h dt dt 3 dt 1 1 dh dt Λύνουμε ως προς το ρυθμό μεταβολής της στάθμης: dh dt 1 dv dt 1 3h 11

Θεωρήματα Rolle, Μέσης Τιμής Θεώρημα του Rolle: Για μια συνεχή συνάρτηση () της οποίας είναι γνωστές οι τιμές στα άκρα ενός διαστήματος (a,b): ' 0 ( a) ( b) a b 1

Θεωρήματα Rolle, Μέσης Τιμής Θεώρημα του Rolle: Για μια συνεχή συνάρτηση () της οποίας είναι γνωστές οι τιμές στα άκρα ενός διαστήματος (a,b): ' 0 ( a) ( b) a b Θεώρημα της Μέσης Τιμής: Για μια συνεχή συνάρτηση () της οποίας είναι γνωστές οι τιμές στα άκρα ενός διαστήματος (a,b): ( b) b a ( a) ' a b ( ) 13

Διαφορικό Συνάρτησης Μετατόπιση κατά Δ: ( ) ( ) '( ) Διαφορικό της συνάρτησης : ( ) ( ) ' 0 1 14

Ασυμπτωτική Συμπεριφορά Συνάρτησης Εάν μια συνάρτηση τείνει ασυμπτωτικά προς μια ευθεία: y m b Μπορούμε να υπολογίσουμε τους όρους m, b ως εξής: ( ) m lim b lim ( ) m 15

lim Ασυμπτωτική Συμπεριφορά Συνάρτησης Η πρώτη σχέση αποδεικνύεται ως εξής: ( ) y 0 lim ( ) m b 0 lim ( ) m b 0 lim ( ) m b 0 16

lim Ασυμπτωτική Συμπεριφορά Συνάρτησης Η πρώτη σχέση αποδεικνύεται ως εξής: ( ) y 0 lim ( ) m b 0 lim ( ) m b 0 lim ( ) m b 0 lim ( ) m 1 b 0 lim ( ) m b 0 17

Ασυμπτωτική Συμπεριφορά Συνάρτησης Η πρώτη σχέση αποδεικνύεται ως εξής: lim ( ) m 1 b 0 lim ( ) m b 0 lim ( ) lim m b 0 lim ( ) m 18

Ασυμπτωτική Συμπεριφορά Συνάρτησης Η δεύτερη σχέση αποδεικνύεται, με χρήση της πρώτης, ως εξής: lim ( ) m b 0 b lim ( ) m 19

Ακρότατα Αν έχουμε μια συνάρτηση () και αναζητούμε τα ακρότατα της, παραγωγίζουμε και θέτουμε () = 0. Η λύση αυτής της εξίσωσης θα μας δώσει τα σημεία στα οποία η παράγωγος μηδενίζεται, δηλαδή εκείνα τα σημεία στα οποία η κλίση της () είναι μηδέν. Βρίσκουμε αν ένα ακρότατο είναι μέγιστο ή ελάχιστο, από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου στο ακρότατο: ''( ) 0 ''( ) 0 0

Ακρότατα: Εφαρμογή 1 Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει την κορυφή του στην αρχή των αξόνων και τις δύο κορυφές του στην καμπύλη y 7. Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδό του τριγώνου. 1

Ακρότατα: Εφαρμογή 1 Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει την κορυφή του στην αρχή των αξόνων και τις δύο κορυφές του στην καμπύλη y 7. Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδό του τριγώνου. Λύση Το εμβαδό του τριγώνου θα είναι: 1 E( ) 7 E'( ) 3 7 Ακρότατο: E' ( ) 0 3

Ακρότατα: Εφαρμογή 1 Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει την κορυφή του στην αρχή των αξόνων και τις δύο κορυφές του στην καμπύλη y 7. Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδό του τριγώνου. Λύση Υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο: E' '( ) 6 E' '(3) 18 Άρα το μέγιστο εμβαδό του τριγώνου θα είναι E( 3) 54 3

Ακρότατα: Εφαρμογή Α θ1 Β Γ Να δειχθεί ότι το φως θα ακολουθήσει τη διαδρομή ελάχιστου χρόνου για v1 sin1 v sin όπου οι ταχύτητες του φωτός στα δύο μέσα θ v 1,v 4

Ακρότατα: Εφαρμογή Α θ1 Β θ Γ Να δειχθεί ότι το φως θα ακολουθήσει τη διαδρομή ελάχιστου χρόνου για v1 sin1 v sin όπου οι ταχύτητες του φωτός στα δύο μέσα v 1,v a A t v 1 v a v 1 v 5

Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Λουκάς Βλάχος.. Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.auth.gr/eclass_courses.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Νικόλαος Τρυφωνίδης Θεσσαλονίκη, 015

ΣΗΜΕΙΏΜΑΤΑ

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.