ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις Άσκηση σε Στοχαστική Ανέλιξη Poisso Ασκήσεις 5.9, 5.1, 5.19 Άσκηση σε Στοχαστική Ανέλιξη Gauss Ασκήσεις 5.7, 5.9 καθ. Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@etmode.tua.gr www.etmode.tua.gr Τρίτη 3/5/017
Άσκηση για Στοχαστικές Ανελίξεις Poisso Υπέρθεση Ανεξαρτήτων Ανελίξεων Poisso Υπέρθεση δυο ανεξαρτήτων Ανελίξεων Poisso N 1 t, N t με ρυθμούς λ 1, λ δίνει Ανέλιξη Poisso N t με ρυθμό λ = λ 1 + λ Απόδειξη (σαν όριο Διωνυμικής Κατανομής) Ανεξάρτητες εμφανίσεις N 1 t = l, N t = m γεγονότων (σημείων) Poisso στο διάστημα (0, t) με ρυθμούς λ 1, λ σημεία/sec ορίζουν Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή (Discrete Radom Variable) {N t = N 1 t + N t = l + m = k} Διαιρώ το διάστημα t σε πολύ μικρά υποδιαστήματα, t = Δt, Δt 0, Πραγματοποιώ ανεξάρτητες δοκιμές, μια σε κάθε υποδιάστημα, με εναλλακτικές: (1) Εμφάνιση (επιτυχία) σημείου της N 1 t με πιθανότητα p 1 = λ 1 Δt, () Εμφάνιση (επιτυχία) σημείου της N t με πιθανότητα p = λ Δt, (3) μη εμφάνιση (αποτυχία) με 1 p 1 p = q. Οποιοσδήποτε συνδυασμός διπλών γεγονότων (λόγω ανεξαρτησίας εμφανίσεων) για Δt 0 έχει πιθανότητα ανάλογη του (Δt) και δεν υπεισέρχεται σε οριακούς υπολογισμούς, π.χ. διπλή εμφάνιση σε ένα υποδιάστημα έχει πιθανότητα ~(λ 1 Δt) (λ Δt) = λ 1 λ (Δt). Ομοίως αποκλείονται όλα τα πολλαπλά ανεξάρτητα γεγονότα Με λ = λ 1 + λ, έχω τη πιθανότητα P N t = k για k = l + m εμφανίσεις από τις υπερτιθέμενες ανελίξεις σε ανεξάρτητες δοκιμές να δίνεται από την Διωνυμική Κατανομή: P N t = k = λδt k 1 λδt k = λt k λt k k k 1 και με Δt 0,, t = Δt:! k! k, 1 λt k e λt και P N t = k =! k! k! λt k 1 λt k λt k e λt k!
Άσκηση 5.9 Τετραγωνικό σήμα X(t) με τιμές A, 0 εναλλάξ, με περίοδο T και 1, 1 T t T d 1 T αρχή με τυχαία καθυστέρηση t d, f Td t d = 0, t d > 1 T 0, x < 0 1 (a) F X t x = P X t x =, 0 x A, f X t (x) = df X t x 1, x > A f dx = 1 [δ x + δ x A ] (b) Μέση Τιμή & Αυτοσυσχέτιση σαν Esemble Averages: E X t = xf X t x dx = δ x + δ x A dx = A = μ X Αν S qt t μοναδιαία παλμοσειρά όπως στο σχήμα, τότε για τ T : R X τ = E X t + τ X t = E[AS qt t t d + τ AS qt t t d ] ή T/ T/ x R X τ = A S qt t t d + τ S qt t t d f Td t d dt d = A 1 S qt t t d + τ S qt t t d dt T d R X τ = A (1 τ ), τ T και R T X τ = R X τ ± T, = 1,, (περιοδική με περίοδο T) (d) Η X t είναι Wide-Sese Statioary (WSS) γιατί E X t, R X τ δεν εξαρτώνται από το χρόνο t T/ T/ (c) Μέση Τιμή σαν Time Average δείγματος x t της X t : μ x = lim μ x,t = lim t t Αυτοσυσχέτιση σαν Time Average σε χρονικό διάστημα μιας περιόδου T t T : T/ R x,t/ (τ) = R x,t/ τ t d f Td t d dt d = T/ Για τ > T A T T/ T/ t 1 t t S qt (t) x τ dτ S qt t t d + τ S qt t t d dt d = A = A = μ X (1 τ T ), τ T υπάρχει περιοδικότητα και lim t R x,t τ = R X τ εργοδικότητα ως προς μ X και R X τ
Άσκηση 5.1 Ιδιότητες Αλληλοσυσχετίσεων (Cross-Correlatios) R XY τ WSS Ανελίξεων X t, Y t (a) R XY τ = E X t + τ Y t, R XY τ = E X t τ Y t = E X t Y t + τ = R YX τ (b) E X t + τ ± Y t 0 E X t + τ ± Y t = E X t + τ ] ± X t + τ Y t + Y t = E X t + τ ± E X t + τ Y t + E Y t = R X 0 ± R XY τ + R Y 0 0 R XY τ 1 [R X 0 + R Y 0 ]
Άσκηση 5.19 Κατανομή Τιμής x k σε Χρόνο t k Στατικής Στοχαστικής Ανέλιξης Gauss X(t) με μ X = 0, S X (f) Εξ ορισμού η X t k = x k έχει κατανομή Gauss με μ X = 0 και σ X = E X μ X = E X R X τ = E X t + τ X t = S X f exp jπfτ df και R X 0 = E X = σ X = S X f df f X tk (x) = 1 exp x πσ X σ, σ X = S X f df X
Στατική Στοχαστική Ανέλιξη Gauss N(t) με Άσκηση σε Στοχαστική Ανέλιξη Gauss N 0, B f B μ N = 0, S N f = 0, f > B Για N 0 = 5 Watts/Hz και B = 500 Hz να βρεθούν: 1. Η Κατανομή Πυκνότητας Πιθανότητας (PDF) της Τυχαίας Μεταβλητής Y = N t για t = 1 msec. Η Κατανομή Πυκνότητας Πιθανότητας (PDF) της Τυχαίας Μεταβλητής Z = N t 1 + N t για t 1 = 1, t = 3 msec τ = 1 = 0.001 sec B Απάντηση: R N τ = N 0 B sic(bτ) Η N t έχει κατανομή Gauss μ N = 0 και σ N = E N(t) μ N = E N(t) = R N 0 = S N f df = B N 0 =,500 f N t (x) = 1 πσ N exp x σ N, σ N = B N 0 = 50 1. Ο γραμμικός μετασχηματισμός Y = N t δημιουργεί τυχαία μεταβλητή Gauss με μ Y = μ N = και σ Y = σ N = 10,000 f Y (x) = 1 exp (x μ Y ) πσ Y σ Y. Ο γραμμικός μετασχηματισμός Z = N t 1 + N t δημιουργεί τυχαία μεταβλητή Gauss που προκύπτει σαν γραμμικός συνδυασμός των τυχαίων μεταβλητών Gauss N t 1 και N t που είναι ασυσχέτιστες και άρα ανεξάρτητες για t 1 t = τ = k msec, k = 1,, : E N t 1 N t = R N τ = N 0 B sic Bτ = R N 0.00 = 0 Άρα μ Z = μ N + μ N = και σ Z = σ N + σ N = 5σ N = 1,500 f Z (x) = 1 exp (x μ Z ) πσ Z σ Z B B
Άσκηση 5.7 Λευκός Θόρυβος σε Σειριακή Διάταξη Φίλτρων BPF LPF με Διαμόρφωση Γινομένου (DSB-SC) Είσοδος: Λευκός Θόρυβος Gauss W(t) E W t = 0, R W τ = N 0 δ τ S W f = N 0 t Έξοδος BPF: S 1 f Είσοδος LPF: S f S f = 1 4 [S 1 f + f c + S 1 f f c ] N 0 4, B < f < B (a) Έξοδος: t, R 0 τ S 0 f = 0, f B, R 0 τ = N 0B sic(bτ) (b) E t = 0, σ 0 = E t B N = R 0 0 = S 0 f df = 0 B = N 0B B (c) Η R 0 τ sic(bτ) μηδενίζεται για τ = ± m, m = 1,, B δειγματοληψία με ρυθμό B δείγματα/sec δίνει ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές (δείγματα) R 0 τ N 0 B
Άσκηση 5.9 Θόρυβος Στενής Ζώνης t, S N (f): Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (Power Spectral Desities) S NI f = S NQ f, S NI N Q f = S NQ N I f, f c = 5 Hz (a) S NI f = S NQ f = S N f + f c + S N f f c, B f B 0, f > B (b) S NI N Q f = S NQ N I f = j S N f + f c S N f f c, B f B 0, f > B