Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Transcript

1 Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που πρέπει να περιλαμβάνει όλες τις ιδιάζουσες τιμές του Χ(). Iδιότητα Γραμμικότητα -οστής Παραγώγου στον Χρόνο Αλλαγή Κλίμακας Χρόνου - oστού Ολοκληρώματος στον Χρόνο Μαθηματική Σχέση ax(t) + by() t a X() + by() dx( t) X() x() dt x(at) X ( ) a a t t X() x () x () x ()... x(t)(dt) Μετάθεση στον Χρόνο e X a x(ta) () Μετάθεση στο at e x(t) X( + a) Πολ/σμος με t d X() t x( t) ( ) d Διαίρεση με t Συνέλιξη Αρχική Τιμή Τελική Τιμή x(t)... X()(d) t 3 t x(t τ) y( τ) dτ X() Y() limx(t) limx() t limx(t) limx() t Iδιότητες Μετασχηματισμού aplace

2 Μετασχηματισμοί στον Διακριτό χρόνο Μετασχηματισμός k () = ( ) = () + () +... X xk x x k= j = re Ω, > (Μονόπλευρος) X() = xk ( ) k= k (Αμφίπλευρος Απαιτείται περιοχή σύγκλισης) = j e Ω (Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Σήματος)

3 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις ) δ[] Δ() = ) u[] U()= /-, > 3) α A() = /-α, a <, k () = ( ) = /( ) = /( ) A a a a k = Μονόπλευρος = Αμφίπλευρος (αιτιατό σήμα) Αν υπολογίσουμε τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό του σήματος x[]=-α u[--] X() = au[ ] = a = ( a ) = / a = = = X() = /-α, a <, Ιδιότητες Για αιτιατά σήματα x[-m] -m X[] Με αρχικές συνθήκες x[-m] -m X[]+ m i= x( i ) + m i Y[] = X[] H [] A[]Y[] = B[] X[] H[] = q i bi () / i= p i= ai () i

4 Παράδειγμα Θεωρούμε το σύστημα διακριτού χρόνου ης τάξης με συνάρτηση μεταφοράς, Η(): b H( ) =,(b,a,a) R + a + a ± jω και συζυγείς μιγαδικούς πόλους ρ = r e., b H() = + a + a + a + a = ( re )( re ) = r co( Ω ) + r jω jω Επομένως : a =-r co(ω ) και a =r. Για να βρούμε την απόκριση μοναδιαίου παλμού, θα πρέπει να φέρουμε την συνάρτηση μεταφοράς στην μορφή : H() A B = +. Έχουμε: bz H() b r i( Ω ) H( ) = = r co( ) r r co( ) r r i( ) Ω + Ω + Ω b r i( Ω ) Η ( ) = r r r i( Ω) co( Ω) + b h ( ) = Z { H( )} = r i[( + ) Ω ] u ( ) ή h ( ) b + ri( Ω) r = i( Ω) i[( + ) Ω ] u ( )

5 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Ο αντίστροφός μετασχηματισμός oρίζεται από την σχέση: x( ) ( ) π j = X d c όπου C είναι μια κλειστή καμπύλη οριζόμενη εντός της περιοχής σύγκλισης και περιέχει την αρχή των αξόνων. Το ολοκλήρωμα αυτό μπορεί να υπολογιστεί με χρησιμοποίηση του (θεωρία μιγαδικών αριθμών) θεωρήματος του Cauchy. Στην συνέχεια θα δώσουμε πρακτικές μεθόδους για τον υπολογισμό του αντιστρόφου μετασχηματισμού. Πρόκειται για την μέθοδο της ατέρμονος ή μακριάς διαίρεσης (log diviio) και την μέθοδο ανάπυξης σε μερικά κλάσματα (partial fractio expaio). Και οι δύο αυτές μέθοδοι δεν θα βασιστούν στον προηγούμενο ορισμό. Μέθοδος της μακράς διαίρεσης : Όταν έχουμε τον μετασχηματισμό υπό την μορφή κλάσματος δύο πολυωνύμων διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Συνήθως η διαίρεση εξαντλείται. Παράδειγμα ο : Έστω X( ) = +. Μετά από διαίρεση έχουμε: Eπομένως: X 4 3 () = x() = δ( ) ( ) u ( ) Παράδειγμα ο : Έστω X() = +.Μετά από διαίρεση έχουμε: X() = Eπομένως είναι φανερό ότι: x() = u ( ) H προηγούμενη μέθοδος δεν οδηγεί πάντα σε κλειστή λύση για την εύρεση του αντιστρόφου μετασχηματισμού. Είναι εντούτοις χρήσιμη σε περιπτώσεις που αναζητούνται μερικές τιμές του σήματος σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές ή όταν η κλειστή λύση έιναι τόσο πολύπλοκη που είναι προτιμότερο να εκφράσουμε το x() σαν δυναμοσειρά.

6 Ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα : H μέθοδος είναι γενικά γνωστή και από την θεωρία των σημάτων συνεχούς χρόνου και χρησιμοποιείται εκεί για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού aplace. Παράδειγμα ο : Εστω Χ ( ) = ( + )( + ). Nα βρεθεί το x(). X ( ) = = A + B + C ( + )( + ) + + ( + ) X( ) A= ( + ) = = d X( ) B= + = d ( ) X() C = + = = ( ) 4 = Αρα : X( ) 4 = (+ ) + Επομένως : x() =( ) + ( ) + ( ), Τα προηγούμενα μπορούν να γενικευτούν για οποιαδήποτε ρητή συνάρτηση του. Αν η τάξη του αριθμητή του κλάσματος είναι μεγαλύτερη από την τάξη του παρονομαστή, και έστω ο αριμθητής τάξης q και ο παρονομαστής p, θα έχουμε: X( ) A B = + + i ( ) q p p r i i i c i i= i= i i= Η προηγούμενη σχέση υποθέτει ότι υπάρχει πόλος = o με βαθμό πολλαπλότητας r. Οι συντελεστές Β i μπορούν να υπολογιστούν από τον εξής γενικό τύπο : ri d rx( ) Bi= [ ] ri ( r i)! d

7 Ευστάθεια στο επίπεδο Γνωρίζουμε την συνθήκη για ευστάθεια ενός ΓΧΑ συστήματος όταν εκφράζεται με την απόκριση παλμού. Στην περιπτωση συστήματος με εξισώσεις διαφόρων ή ευστάθεια εξαρτάται από την θέση των πόλων σε σχέση με τον μοναδιαίο κύκλο. Γενικά, αν ένας πόλος είναι εκτός του μοναδιαίου κύκλου το σύστημα δεν είναι ευσταθές. Από την ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα του μετασχηματισμού κατά είναι προφανές ότι για σήμα με πόλους βαθμού πολλαπλότητας, θα έχουμε : x() = c i i ( ) d i Για την γενικότερη περίπτωση που ο κάθε πόλος έχει βαθμό πολλαπλότητας r i = ( ) x() c r i i ( d i ) i Και στις δύο προηγούμενες σχέσεις d i είναι οι διάφοροι πόλοι. Η συμπεριφορά του σήματος ή του συστήματος θα καθορίζεται από τον πόλο με το μεγαλύτερο μέτρο, έστω d o, βαθμού πολλαπλότητας r. Αν d < o αντίστοιχος όρος μειώνεται με την αύξηση του. ( r lim[ ) d ] =, µε d < Αν d > το x() μπορεί να αυξάνεται χωρίς φραγμό. ( r ) Πράγματι τότε lim[ d ], µε d > Στην περίπτωση d =, το αποτέλεσμα εξαρτάται από τον βαθμό πολλαπλότητας του αντίστοιχου πόλου. ( r ) Για r έχουμε ότι: lim[ d ], Στην περίπτωση r =, η συνεισφορά του αντίστοιχου πόλου θα έχει μία από τις μορφές : ( ac ) (),( bc ) ( ),( γ) c co( θ + φ) Για απλούς πόλους που βρίσκονται πάνω στην περιφέρεια του μοναδιαίου κύκλου έχουμε σήματα ή συστήματα οριακά ευσταθή.

8 Τα ανωτέρω ισχύουν τόσο για τον μετασχηματισμό ενός σήματος όσο και για την συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος. Επομένως η ευστάθεια της εξόδου ενος ΓΧΑ συστήματος εξαρτάται τόσο από την ευστάθεια του σήματος εισόδου όσο και από την ευστάθεια του συστήματος.

9 Σύνδεση Μετασχηματισμού και Μετασχηματισμού aplace (). Όπως γνωρίζουμε οι αντίστοιχοι μετ/σμοι δίνονται από τις σχέσεις: t X dt = = () {x(t)} x(t)e X() Z{x()} x() = = = όπου x(t)=, t< (αιτιατό σήμα). Ας θεωρήσουμε το σήμα x(), ως το γίνομενο του σήματος x(t) και μιας παλμοσειράς δέλτα, (t). Δηλαδή: x() t = x(t) (t) = x(t) δ( t T ) = x(t ) δ( tt ) = = Για τον μετασχηματισμό aplace αυτού του σήματος x (t) θα έχουμε : + t = t X () = {x ()} t = x() te dt = ( x(t ) δ( t T )) e dt = + t δ = = TS x(t ) ( t T ) e dt = x( T) e e TS Αν θέσουμε TS e =: X() x(t { ) T S = e = x( ) = X( ) = x( ) = TS Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι : X( ) = X(), διότι = e = ( ) Άρα μπορούμε να προσδιορίσουμε τον μετ/σμό ενός σήματος διακριτού χρόνου, x(), μέσω του μετ/σμού aplace του σήματος x (t) T

10 Βάσει αυτής της αντιστοιχίας μεταξύ των δύο μεταβλητών και (=e T ) μπορούμε να προσδιορίσουμε τον τρόπο απεικόνισης του - επιπέδου στο - επιπεδο. = σ + jω = e = e = e e TS ( σ+ jω) ΤS σts jωτs = e e = e e = e σ ΤS j Τ S σ ΤS j TS σ ΤS { Συνεπώς αν: σ< < σ> > σ= = Eπιπλέον, επειδή ο μετ/σμος Χ () είναι περιοδικός με περίοδο π jk. T k= ±, ±, ±3,., διότι : π j Τ η γενικότερα π + π ( + j ) T T jπ T X( + j ) = x(t) e Τ = x( T) e e { = x(t) e = X() Τ = = = Θα έχουμε την εξής αντιστοιχία : α) Περιοχές του αρνητικού ημιεπιπέδου (σ<) με εύρος π j Τ θα απεικονίζονται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου στο επίπεδο ( <). (περιοχές,,, κ.λ.π.) π β) Περιοχές του θετικού ημιεπιπέδου (σ>) με εύρος j θα απεικονίζονται στο Τ εξωτερικό του μοναδιαίου κύκλου στο επίπεδο ( >. (περιοχές,,, κ.λ.π.) γ) Τμήματα του φανταστικού άξονα jω (σ=) με μήκος π θα απεικονίζονται στην T περιφέρεια του μοναδιαίου κύκλου και η διαδρομή απο το σημείο j π έως το Τ σημείο π + j επάνω στον jω άξονα στο επίπεδο θα αντιστοιχεί σε διαδρομή από T το jπ έως στο + jπ επάνω στην περιφέρεια του μοναδιαίου κύκλου στο επίπεδο.

11

12 Παράδειγμα Έστω το σήμα διακριτού χρόνου x()=e -a.u(). Προφανώς αυτό το σήμα έχει προέλθει από την δειγματοληψία του σήματος συνεχούς χρόνου x(t)=e -at.u(t) με την υπόθεση ότι Τ=. Αν ακολουθήσουμε την διαδικασία που περιγράψαμε προηγουμένως θα έχουμε : x(t) at e ut () + x() t x(t) (t) x(t) δ ( t TS) = = = = = ats x(t S) δ( t T S) e δ( t TS) = = = = O μετ/σμός aplace θα είναι : ats X() S {x S()} ( t δ( S )) = = t = e t T e dt = at S TS ( + a)ts = e e = e = = X() =, ( at ) e + υπό την προϋπόθεση ότι ( a) T e + < Με την αντικατάσταση = ( ) θα έχουμε: T X() = X() = = = = = e ( + a)ts ( ) ats at = ( ) S e e e e TS = ( ) TS a επειδή Τ S = Πράγματι : = = = = a e. a a X() Z{x()} Ze { } Z{( e )}