χ(k n ) = n χ(c 5 ) = 3

Σχετικά έγγραφα
Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

X i, i I Y j, j J. X i. Z j P = (J, B) G T = (I, J) 1 2 i i + 1 n. 1 i V

Διάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ

m = 18 και m = G 2

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S

P = (J, B) T = (I, A) P = (J, B) G = (V, E) i 1 i i + 1

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από

Διάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός

z 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

e 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3

Διάλεξη 13: D Σχήμα 13.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 13.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων πο

Διάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα

Χρωματισμός γραφημάτων

q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.

Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης.

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα. (μέρος ΙΙ)

Φροντιστήριο 11 Λύσεις

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

1. Σε ένα τουρνουά με 8 παίκτες μπορεί οι παίκτες να συμμετείχαν σε: 6,5,4,4,4,3,1,1 αγώνες αντίστοιχα;

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)

... a b c d. b d a c

y(p) = 0 y(p) = 0 y(p) = 0

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων

jτο πλήθος των ταξιδιών που κάνει η αεροσυνοδός µέχρι την j ηµέρα. Σχηµατίζω µία ακολουθία που αποτελείται από τα a.

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

1 + nx. 2 +nx n 1 + x n

Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης

x 3 = 0 x 6 = 0 x 4 = 0 x 5 = 0 x 2 = 0 x 1 = 0 aff(p )

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

( ) x 1 1. cone( (10.1) ( ) x ) := D (10.2) D Ax b 0 Ax 0 b. i λ i 1

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα. (μέρος Ι)

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

ILP-Feasibility conp

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΘΝΗ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑ Α

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

===========================================================================

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

OPTICAL WAVELENGTH ROUTING ON DIRECTED FIBER TREES

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

Transcript:

Διάλεξη 20: 16.12.26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιώτης Ρεπούσκος 20.1 Βασικές Ιδιότητες Θεώρημα 20.1 Για ένα πλέγμα Γ r r, ισχύει ότι bn(γ r r ) r + 1. Απόδειξη: Κατασκευάζουμε μία βάτο τάξης r + 1. Ορίζουμε ένα σύνολο που περιέχει όλη τη γραμμή r και ένα σύνολο που περιέχει τις κορυφές της στήλης r, εκτός από την κορυφή (r, r) [Σχήμα 20.1 (α), τα σύνολα που περιγράφονται με κόκκινο]. Ορίζουμε και (r 1) 2 «σταυρούς». Ο κάθε σταυρός αποτελείται από τους πρώτους r 1 κόμβους μιας από τις πρώτες r 1 γραμμές και από τους πρώτους r 1 κόμβους μιας από τις πρώτες r 1 στήλες [Σχήμα 20.1 (α), ένας σταυρός περιγράφεται με μπλε γραμμές]. r 1 ÓÐÙÑÒ r r 1 ÖÓÛ r (α) (β) Σχήμα 20.1: (α) Το πλέγμα Γ 7 7. Για κάθε σύνολο ορίζεται το αντίστοιχο εναγόμενο υπογράφημα. Συνολικά φτιάξαμε βάτο με (r 1) 2 +2 υπογραφήματα (είναι βάτος, επειδή όλοι οι σταυροί αγγίζονται ανά δύο μεταξύ τους και όλοι τους αγγίζουν τα αρχικά σύνολα, με την r γραμμή και στήλη). Ενα σύνολο κρούσης για τη βάτο πρέπει να περιέχει τουλάχιστον r 1 κορυφές για να χτυπήσει όλους τους σταυρούς, αλλιώς χάνεται μια γραμμή και μια στήλη εξολοκλήρου [Σχήμα 20.1 (β)]. Χρειαζόμαστε και για τα δύο κόκκινα σύνολα 2 κορυφές, γιατί είναι ξένα. Άρα, η τάξη της βάτου είναι τουλάχιστον r 1 + 2 = r + 1, δηλαδή bn(γ r r ) r + 1. 20-1

Διάλεξη 20: 16.12.26 20-2 Πόρισμα 20.1 Για κάθε πλέγμα Γ r r, ισχύει pw(γ r r ) = tw(γ r r ) = r. Απόδειξη: Ξέρουμε πως tw(γ r r ) pw(γ r r ) r. Άρα tw(γ r r ) = r. Παρατήρηση 20.1 Εστω ω (G) = max{το G περιέχει το K t ως έλασσον}. Ισχύει ω (G) ω(g). t Βρήκαμε ότι υπάρχουν γραφήματα G τέτοια ώστε bn(g) >> ω (G). Για παράδειγμα, το πλέγμα περιέχει ως έλασσον μέχρι το K 4, αλλά το bn (αριθμός βάτου) του είναι μη φραγμένο. 20.2 Χρωματισμός Γραφημάτων Ορισμός 20.1 k-χρωματισμός του G είναι μία συνάρτηση f : V (G) {1, 2,..., k}, τέτοια ώστε αν {x, y} E(G), τότε f(x) f(y). Το G λέγεται k-χρωματίσιμο αν υπάρχει k-χρωματισμός. Ο χρωματικός αριθμός χ(g) είναι το ελάχιστο k τέτοιο ώστε το G να είναι k-χρωματίσιμο. Παράδειγμα 20.1 Ο χρωματικός αριθμός διαφόρων γραφημάτων: χ(k n ) = n 00000000000 11111111111 χ(c 4 ) = 2 00000000000 11111111111 G διμερές, χ(g) = 2 χ(c 5 ) = 3 χ(γ r r ) = 2 (το πλέγμα είναι διμερές γράφημα)

Διάλεξη 20: 16.12.26 20-3 χ(w 6 ) = 4 Παρατήρηση 20.2 Αν f είναι ένας k-χρωματισμός του G, τότε i {1,..., k}, το f 1 (i) είναι ένα ανεξάρτητο σύνολο. χ(g) είναι ο ελάχιστος αριθμός ανεξάρτητων συνόλων που χρειαζόμαστε για να καλύψουμε το V (G). Πρόταση 20.1 Αν το H είναι ένα υπογράφημα του G, τότε χ(h) χ(g). Παρατήρηση 20.3 Σε κάθε γράφημα G ισχύει ότι χ(g) ω(g). Πρόταση 20.2 Σε κάθε γράφημα G ισχύει ότι χ(g) number του γραφήματος. V (G) α(g), όπου α(g) είναι το independence Απόδειξη: Εστω χ(g) = k. Ενας k-χρωματισμός του G ορίζει διαμέριση V (G) = V 1... V k, όπου V i ανεξάρτητο σύνολο, i {1,..., k}. V i α(g) V (G) = k V i = V (G) V (G) k α(g) k = χ(g) α(g) i=1 Πρόταση 20.3 Για κάθε γράφημα G = (V, E), U V, ισχύει χ(g) χ(g[u]) + χ(g[v \ U]). Απόδειξη: Χρωμάτισε το U χρησιμοποιώντας χ(g[u]) χρώματα και το V \ U με χ(g[v \ U]) καινούργια χρώματα. Ορισμός 20.2 Δίνεται διάταξη v 1,..., v n του V (G). Ο άπληστος χρωματισμός (greedy coloring) προκύπτει αναθέτοντας στο v i, i {1,..., n}, το χρώμα με το μικρότερο δείκτη που δεν έχει ανατεθεί στα στοιχεία του συνόλου {v 1,..., v i 1 } N(v i ). Ορισμός 20.3 Εστω G = (V, E). Λέμε ότι το G είναι k-εκφυλισμένο (k-degenerate), αν κάθε υπογράφημα του έχει κορυφή με βαθμό μικρότερο ή ίσο του k.

Διάλεξη 20: 16.12.26 20-4 v 2 v 4 v 1 v 3 v 5 Σχήμα 20.2: Εφαρμογή του άπληστου χρωματισμού [Ορισμός 20.2 ] σε ένα γράφημα G. Παρατηρώ ότι το G είναι διμερές, οπότε χ(g) = 2. Δηλαδή ο άπληστος χρωματισμός δεν δίνει βέλτιστο αποτέλεσμα. Πρόταση 20.4 Το G είναι k-εκφυλισμένο ανν υπάρχει διάταξη v 1,..., v n του V (G), τέτοια ώστε για κάθε i, η v i έχει το πολύ k γείτονες ανάμεσα στις v 1,..., v i 1. Απόδειξη: «=» Αν υπάρχει τέτοια διάταξη, για οποιοδήποτε υπογράφημα H, θεώρησε τη μεγαλύτερη κορυφή v h του V (H) στη διάταξη [Σχήμα 20.3 ]. Αυτή η κορυφή έχει το πολύ k γείτονες στο H, άρα το G είναι k-εκφυλισμένο. k v 1 v 2 v 3 v h v n 1 v n V (H) Σχήμα 20.3: Η v h έχει το πολύ k γείτονες προς τα αριστερά. «=» Εστω G k-εκφυλισμένο. Αποδεικνύουμε την ύπαρξη κατάλληλης διάταξης με επαγωγή στο n. Αφού το G είναι k-εκφυλισμένο, υπάρχει v V (G) τέτοιο ώστε d G (v) k. Ονόμασε το v, v n και όρισε G = G \ v n. Εύκολα, το G ομοίως είναι k-εκφυλισμένο και από την επαγωγική υπόθεση υπάρχει κατάλληλη διάταξη v 1,..., v n 1 του V (G ). Η διάταξη v 1,..., v n 1, v n ικανοποιεί τις ιδιότητες που απαιτούμε για το G [Σχήμα 20.4 ]. k v 1 v n 1 v n V (G ) Σχήμα 20.4: Η διάταξη v 1,..., v n 1, v n του G.

Διάλεξη 20: 16.12.26 20-5 Παράδειγμα 20.2 Διάφορα k-εκφυλισμένα γραφήματα: Κάθε δέντρο είναι 1-εκφυλισμένο. Το Γ r r είναι 2-εκφυλισμένο (η γωνία έχει πάντα βαθμό 2). Ορισμός 20.4 Ο βαθμός εκφυλισμού (degeneracy) ενός γραφήματος G ορίζεται ως dg(g) = min{k G k-εκφυλισμένο} Παράδειγμα 20.3 Για κάθε δάσος F ισχύει dg(f ) 1. Παρατήρηση 20.4 Σε κάθε γράφημα G ισχύει ότι δ(g) dg(g) (G). Θεώρημα 20.2 Σε κάθε γράφημα G ισχύει ότι χ(g) 1 + dg(g). Απόδειξη: Ονομάζουμε k = dg(g). Φιξάρουμε διάταξη v 1,..., v n του V (G), τέτοια ώστε κάθε v i να έχει το πολύ k γείτονες ανάμεσα στις v 1,..., v i 1. Χρησιμοποιούμε τον άπληστο χρωματισμό [Ορισμός 20.2 ]. Χρειαζόμαστε το πολύ k + 1 χρώματα, γιατί όταν ο αλγόριθμος χρωματίζει το v i, το πολύ k χρώματα είναι απαγορευμένα. Πόρισμα 20.2 Σε κάθε γράφημα G ισχύει ότι χ(g) 1 + (G). Παράδειγμα 20.4 χ(k n ) = (K n ) + 1 χ(c 2n+1 ) = (C 2n+1 ) + 1