Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)

Transcript

1 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς σύνολο ακµών E Μια ακµή προσπίπτει / πρόσκειται στους κόµβους που ενώνει. σύνολο δισυνόλων στοιχείων του V Η (, ) πρόσκειται στους και. Οι και είναι γειτονικοί. Η (, ) ονοµάζεται βρόχος. V =,,, } E =, },, },, },, } } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 2 / 2 Κατευθυνόµενα γραφήµατα Πολυγραφήµατα (Multigrphs) Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: σύνολο κορυφών / κόµβων V, σύνολο κατευθυνόµενων ακµών E Στην κατευθυνόµενη ακµή (, ): είναι αρχική κορυφή (til). είναι τερµατική κορυφή (h). διµελής σχέση επί του V Πολυγράφηµα G είναι γράφηµα (V, E) όπου το E είναι πολυσύνολο: διατεταγµένων Ϲευγών από το V V, αν G κατευθυνόµενο, µη διατεταγµένων Ϲευγών από το V V, αν G µη κατευθυνόµενο. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) / 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) / 2

2 Γειτονιά Κόµβου/Κορυφής Βαθµός Κόµβου/Κορυφής Σε µη κατευθυνόµενο γράφηµα Γειτονιά του v V: N G (v) = u V u, v} E } Σε κατευθυνόµενο γράφηµα (µε ή χωρίς ϐρόχους) ύο ειδών γειτονιές για κάθε κόµβο: «Εξερχόµενη» Γειτονιά: N + G (u) = v V : (u, v) E } Σε µη κατευθυνόµενο γράφηµα: πλήθος προσκείµενων ακµών. απλό χωρίς ϐρόχους: (u) = u, v} E : v V } = N G (v) απλό µε ϐρόχο u, u}: (u) = 2 + u, v} E : v V \ u} } Σε κατευθυνόµενο γράφηµα (µε ή χωρίς ϐρόχους) ύο ειδών ϐαθµοί για κάθε κόµβο: «Εισερχόµενη» Γειτονιά: N G (u) = v V : (v, u) E } «Εξερχόµενος» Βαθµός: «Εισερχόµενος» Βαθµός: + (u) = (u, v) E : v V} = N + G (v) (u) = (v, u) E : v V} = N G (V) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 5 / 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 6 / 2 Βασικές Σχέσεις Βαθµών Κόµβων Απόδειξη Βασική Ταυτότητα. Σε κάθε απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα: 2m = v V (v) Σε κάθε απλό κατευθυνόµενο γράφηµα: 2m = ( ) (v) + + (v) m = (v) + + (v) v V v V v V Το πλήθος κόµβων µε περιττό ϐαθµό είναι άρτιο. Απόδειξη: (v) περιττός για κάθε v V1, Εστω V = V 1 V 2, όπου: (v) άρτιος για κάθε v V 2. Τότε: 2m = v V (v) = v V 1 (v) + v V 2 (v). Θεώρηµα. Κάθε απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα έχει άρτιο πλήθος κόµβων µε περιττό ϐαθµό. Το άθροισµα είναι άρτιο και v V 2 (v) άρτιος. Αρα ϑα πρέπει v V 1 (v) άρτιος (ενώ τα (v) εδώ είναι περιττά). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 7 / 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 8 / 2

3 Ειδικές Περιπτώσεις Γραφηµάτων ιµερή Γραφήµατα Πλήρη Γραφήµατα n κόµβων (συµβ.: K n ) ιµερές Γράφηµα G(V, E) αν: µπορούµε να διαµερίσουµε το V σε µη κενά ξένα υποσύνολα V 1 και V 2, ώστε για κάθε δύο κόµβους v 1, v 2 V 1 ή v 1, v 2 V 2 είναι v 1, v 2 } E. Κύκλοι (Cyls) n κόµβων (συµβ.: C n ): Παραδείγµατα: Ο C 6 είναι διµερής. Ο C δεν είναι διµερής. Για κάθε n, ο K n δεν είναι διµερής. Γιατί; Ρόδες (Whls) n + 1 κόµβων (συµβ.: W n ): Σε ένα τουλάχιστον από τα δύο µέρη ϑα υπάρχουν ακµές. Εξαίρεση, ο K 2 (µια ακµή µόνη της), όπου κάθε µέρος έχει έναν κόµβο. Ο C n είναι διµερής αν και µόνο αν n είναι άρτιος. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 9 / 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 10 / 2 Παραδείγµατα ιµερή Γραφήµατα g (α) Είναι καθένα από αυτά τα γραφήµατα διµερές; (ϐ) Θεώρηµα: Απλό G(V, E) είναι διµερές αν και µόνο αν: κάθε κόµβος του χρωµατίζεται µε ένα από 2 χρώµατα, ώστε δύο γειτονικοί κόµβοι να µην έχουν το ίδιο χρώµα. Το (α) είναι πράγµατι διµερές: V 1 =,, }, V 2 =,,, g}. Το (ϐ) δεν είναι διµερές: Ο ϑα πρέπει να αποτελεί µόνος του το ένα από τα δύο µέρη. ιότι συνδέεται µε όλους τους υπόλοιπους κόµβους. Αρα, οι,,,, } (που έχουν ακµές µεταξύ τους) ϑα αποτελούν το έτερο µέρος της διαµέρισης. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 11 / 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 12 / 2

4 Απόδειξη Αν το G είναι διµερές, έστω V = V 1 V 2 η απαιτούµενη διαµέριση του V. Χρωµατίζουµε κάθε v V 1 µε το χρώµα 1 και κάθε v V 2 µε το χρώµα 2. G διµερές N G (v) V 2 για κάθε v V 1, N G (v) V 1 για κάθε v V 2. Αρα κάθε κόµβος έχει γείτονες µε διαφορετικό χρώµα από το δικό του. Αν µπορούµε να χρωµατίσουµε το G όπως προδιαγράφεται, ορίζουµε: V 1 να περιέχει όλους τους κόµβους του ενός χρώµατος V 2 να περιέχει όλους τους κόµβους του έτερου χρώµατος Πλήρη ιµερή Γραφήµατα Συµβολίζονται µε K m,n, όπου m = V 1, n = V 2. Ολοι οι κόµβοι του V 1 συνδέονται µε όλους τους κόµβους του V 2. Το πλήθος ακµών του K m,n είναι m n. Μέγιστο πλήθος ακµών διµερούς γραφήµατος µε n συνολικά κόµβους; n 1 στη µία πλευρά της διαµέρισης, n 2 στην άλλη πλευρά: n 1 + n 2 = n. Πλήθος ακµών: n 1 n 2 = n 1 (n n 1 ) = n 1 n n. Μέγιστο n 2 /, για n 1 = n 2 = n/2. Επειδή n ακέραιος, µέγιστο n n 2 2. Για κάθε v V, για κάθε x N G (v) οι v και x έχουν διαφορετικό χρώµα. Αρα: v V 1 N G (v) V 2 και v V 2 N G (v) V 1. Εποµένως, το G είναι διµερές. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 2 K 2, K, K,5 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 2 Υπογραφήµατα Πράξεις σε/µε Γραφήµατα Υπογράφηµα H(W, F) του γραφήµατος G(V, E): όταν W V και F E. Το γράφηµα που επάγεται από ένα υποσύνολο κόµβων W V του G: είναι το υπογράφηµα H(W, F), όπου F = (u, v) u W και v W }. δηλαδή, το F περιέχει ακµές µόνο µεταξύ κόµβων στο W Αφαίρεση Ακµής: G = G( V, E \ } ). Πρόσθεση Ακµής: G + = G( V, E } ). ( } ) Αφαίρεση Κόµβου: G v = G V \ v}, E \ x, v} E x V. Συρρίκνωση Ακµής u, v}: οι δύο κόµβοι u και v «ταυτίζονται» σε έναν νέο κόµβο w, κάθε ακµή x, u} ή x, v} αντικαθίσταται από την x, w}, Πλήρες γράφηµα K 5 Υπογράφηµα επαγόµενο από,,, } Οποιοδήποτε υποσύνολο κόµβων πλήρους γραφήµατος επάγει πλήρες υπογράφηµα. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 15 / 2 αφαιρείται η ακµή u, v} από το σύνολο ακµών. Ενωση (απλών) Γραφηµάτων: G 1 G 2 = G( V 1 V 2, E 1 E 2 ). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 16 / 2

5 Παραδείγµατα Αναπαράσταση Γραφηµάτων Συρρίκνωση των, στον x. Ενωση των G 1 και G 2. x Πίνακας Γειτνίασης A = [ ij ]: 1 αν i, j} E ij = 0 αν i, j} E A = A = G 1 G 2 G 1 G 2 Μη κατευθυνόµενο γράφηµα συµµετρικός πίνακας γειτνίασης. Κατευθυνόµενο γράφηµα όχι πάντα συµµετρικός πίνακας. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 17 / 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 18 / 2 Αναπαράσταση Γραφηµάτων Πίνακας Πρόσπτωσης M = [m ij ]: 1 αν η j E πρόσκεται στον κόµβο i. m ij = 0 αν η j E δεν πρόσκεται στον κόµβο i Ισόµορφα Γραφήµατα ύο απλά γραφήµατα G 1 (V 1, E 1 ) και G 2 (V 2, E 2 ) είναι ισόµορφα αν: υπάρχει 1-1 και επί συνάρτηση : V 1 V 2, τέτοια ώστε: x, y} E αν και µόνο αν (x), (y)} E A = () = 1, () =, () = 2, () = Χρήσιµο και για πολυγραφήµατα, εφόσον οι ακµές είναι ονοµατισµένες. Ο πίνακας είναι και τότε 0 1 (ακόµα και αν υπάρχουν ϐρόχοι). g() =, g() = 2, g() =, g() = 1 Αλλά όχι: h() = 1, h() = 2, h() =, h() =. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 19 / 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 20 / 2

6 Αναλλοίωτες Ιδιότητες στον Ισοµορφισµό Παράδειγµα (1) Ο έλεγχος ισοµορφισµού είναι αλγοριθµικά δύσκολο προβλήµα. Υπάρχουν n! δυνατές συναρτήσεις (1 1 και επί) προς δοκιµή. Βρίσκοντας αποδεικνύουµε ότι δύο γραφήµατα είναι ισόµορφα. Για Ν Ο δεν είναι, πρέπει να αποκλείσουµε όλες τις n! συναρτήσεις!!! Αναλλοίωτες Ιδιότητες: «επιβιώνουν» του ισοµορφισµού. Αν κάποια δεν ισχύει για οποιαδήποτε, τότε τα γραφήµατα δεν είναι ισόµορφα. Προφανείς Αναλλοίωτες Ιδιότητες: πλήθος κόµβων, πλήθος ακµών. Επίσης, Βαθµός Κόµβων: ϑα πρέπει να ισχύει ((v)) = (v). Τα δύο γραφήµατα δεν είναι ισόµορφα. Το δεξιό έχει έναν κόµβο ϐαθµού 1 (τον ) και έναν ϐαθµού (τον ). Το αριστερό δεν έχει κόµβο µε ϐαθµό 1 ή. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 21 / 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 22 / 2 Παράδειγµα (2) s t w x h g z y v u Τα δύο γραφήµατα δεν είναι ισόµορφα. Ο κόµβος (αριστερά) είναι ϐαθµού 2. εποµένως µπορεί να αντιστοιχηθεί µε κάποιον από τους t, u, x, y (δεξιά). Οµως ο έχει µόνο γείτονες ϐαθµού (, ). Καθένας από τους t, u, x, y έχει έναν γείτονα ϐαθµού 2. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 2 / 2