Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Transcript

1 Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23

2 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V σύνολο ακµών E σύνολο δισυνόλων στοιχείων του V Μια ακµή προσπίπτει / πρόσκειται στους κόµβους που ενώνει. Η (, ) πρόσκειται στους και. Οι και είναι γειτονικοί. c Η (c, c) ονοµάζεται βρόχος. V = {,, c, } E = { {, }, {, }, {, }, {c, c} } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 2 / 23

3 Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: σύνολο κορυφών / κόµβων V, σύνολο κατευθυνόµενων ακµών E διµελής σχέση επί του V c e c e e Στην κατευθυνόµενη ακµή (, ): είναι αρχική κορυφή (til). είναι τερµατική κορυφή (he). c Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 3 / 23

4 Πολυγραφήµατα (Multigrphs) Πολυγράφηµα G είναι γράφηµα (V, E) όπου το E είναι πολυσύνολο: διατεταγµένων Ϲευγών από το V V, αν G κατευθυνόµενο, µη διατεταγµένων Ϲευγών από το V V, αν G µη κατευθυνόµενο. 4 3 c 1 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 4 / 23

5 Γειτονιά Κόµβου/Κορυφής Σε µη κατευθυνόµενο γράφηµα Γειτονιά του v V: N G (v) = { u V {u, v} E } Σε κατευθυνόµενο γράφηµα (µε ή χωρίς ϐρόχους) ύο ειδών γειτονιές για κάθε κόµβο: «Εξερχόµενη» Γειτονιά: N + G (u) = { v V : (u, v) E } «Εισερχόµενη» Γειτονιά: N G (u) = { v V : (v, u) E } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 5 / 23

6 Βαθµός Κόµβου/Κορυφής Σε µη κατευθυνόµενο γράφηµα: πλήθος προσκείµενων ακµών. απλό χωρίς ϐρόχους: (u) = { {u, v} E : v V } = N G (v) απλό µε ϐρόχο {u, u}: (u) = 2 + { {u, v} E : v V \ {u} } Σε κατευθυνόµενο γράφηµα (µε ή χωρίς ϐρόχους) ύο ειδών ϐαθµοί για κάθε κόµβο: «Εξερχόµενος» Βαθµός: «Εισερχόµενος» Βαθµός: + (u) = { (u, v) E : v V} = N + G (v) (u) = { (v, u) E : v V} = N G (V) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 6 / 23

7 Βασικές Σχέσεις Βαθµών Κόµβων Βασική Ταυτότητα. Σε κάθε απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα: 2m = v V (v) Σε κάθε απλό κατευθυνόµενο γράφηµα: 2m = ( ) (v) + + (v) v V m = v V (v) + v V + (v) Θεώρηµα. Κάθε απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα έχει άρτιο πλήθος κόµβων µε περιττό ϐαθµό. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 7 / 23

8 Απόδειξη Το πλήθος κόµβων µε περιττό ϐαθµό είναι άρτιο. Απόδειξη: { (v) περιττός για κάθε v V1, Εστω V = V 1 V 2, όπου: (v) άρτιος για κάθε v V 2. Τότε: 2m = v V (v) = v V 1 (v) + v V 2 (v). Το άθροισµα είναι άρτιο και v V 2 (v) άρτιος. Αρα ϑα πρέπει v V 1 (v) άρτιος (ενώ τα (v) εδώ είναι περιττά). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 8 / 23

9 Ειδικές Περιπτώσεις Γραφηµάτων Πλήρη Γραφήµατα n κόµβων (συµβ.: K n ) Κύκλοι (Cycles) n κόµβων (συµβ.: C n ): Ρόδες (Wheels) n + 1 κόµβων (συµβ.: W n ): Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 9 / 23

10 ιµερή Γραφήµατα ιµερές Γράφηµα G(V, E) αν: µπορούµε να διαµερίσουµε το V σε µη κενά ξένα υποσύνολα V 1 και V 2, ώστε για κάθε δύο κόµβους v 1, v 2 V 1 ή v 1, v 2 V 2 είναι {v 1, v 2 } E. Παραδείγµατα: Ο C 6 είναι διµερής. Ο C 3 δεν είναι διµερής. Για κάθε n 3, ο K n δεν είναι διµερής. Γιατί; Σε ένα τουλάχιστον από τα δύο µέρη ϑα υπάρχουν ακµές. Εξαίρεση, ο K 2 (µια ακµή µόνη της), όπου κάθε µέρος έχει έναν κόµβο. Ο C n είναι διµερής αν και µόνο αν n είναι άρτιος. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 10 / 23

11 Παραδείγµατα g f c f c e (α) e (ϐ) Είναι καθένα από αυτά τα γραφήµατα διµερές; Το (α) είναι πράγµατι διµερές: V 1 = {,, }, V 2 = {c, e, f, g}. Το (ϐ) δεν είναι διµερές: Ο f ϑα πρέπει να αποτελεί µόνος του το ένα από τα δύο µέρη. ιότι συνδέεται µε όλους τους υπόλοιπους κόµβους. Αρα, οι {,, c,, e} (που έχουν ακµές µεταξύ τους) ϑα αποτελούν το έτερο µέρος της διαµέρισης. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 11 / 23

12 ιµερή Γραφήµατα Θεώρηµα: Απλό G(V, E) είναι διµερές αν και µόνο αν: κάθε κόµβος του χρωµατίζεται µε ένα από 2 χρώµατα, ώστε δύο γειτονικοί κόµβοι να µην έχουν το ίδιο χρώµα. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 12 / 23

13 Απόδειξη Αν το G είναι διµερές, έστω V = V 1 V 2 η απαιτούµενη διαµέριση του V. Χρωµατίζουµε κάθε v V 1 µε το χρώµα 1 και κάθε v V 2 µε το χρώµα 2. G διµερές N G (v) V 2 για κάθε v V 1, N G (v) V 1 για κάθε v V 2. Αρα κάθε κόµβος έχει γείτονες µε διαφορετικό χρώµα από το δικό του. Αν µπορούµε να χρωµατίσουµε το G όπως προδιαγράφεται, ορίζουµε: V 1 να περιέχει όλους τους κόµβους του ενός χρώµατος V 2 να περιέχει όλους τους κόµβους του έτερου χρώµατος Για κάθε v V, για κάθε x N G (v) οι v και x έχουν διαφορετικό χρώµα. Αρα: v V 1 N G (v) V 2 και v V 2 N G (v) V 1. Εποµένως, το G είναι διµερές. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 13 / 23

14 Πλήρη ιµερή Γραφήµατα Συµβολίζονται µε K m,n, όπου m = V 1, n = V 2. Ολοι οι κόµβοι του V 1 συνδέονται µε όλους τους κόµβους του V 2. Το πλήθος ακµών του K m,n είναι m n. Μέγιστο πλήθος ακµών διµερούς γραφήµατος µε n συνολικά κόµβους; n 1 στη µία πλευρά της διαµέρισης, n 2 στην άλλη πλευρά: n 1 + n 2 = n. Πλήθος ακµών: n 1 n 2 = n 1 (n n 1 ) = n 1 n n1 2. Μέγιστο n 2 /4, για n 1 = n 2 = n/2. Επειδή n ακέραιος, µέγιστο n n 2 2. K 2,3 K 3,3 K 3,5 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 14 / 23

15 Υπογραφήµατα Υπογράφηµα H(W, F) του γραφήµατος G(V, E): όταν W V και F E. Το γράφηµα που επάγεται από ένα υποσύνολο κόµβων W V του G: είναι το υπογράφηµα H(W, F), όπου F = { (u, v) u W και v W }. δηλαδή, το F περιέχει ακµές µόνο µεταξύ κόµβων στο W e e c Πλήρες γράφηµα K 5 Υπογράφηµα επαγόµενο από {,,, e} Οποιοδήποτε υποσύνολο κόµβων πλήρους γραφήµατος επάγει πλήρες υπογράφηµα. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 15 / 23

16 Πράξεις σε/µε Γραφήµατα Αφαίρεση Ακµής: G e = G( V, E \ {e} ). Πρόσθεση Ακµής: G + e = G( V, E {e} ). ( { } ) Αφαίρεση Κόµβου: G v = G V \ {v}, E \ {x, v} E x V. Συρρίκνωση Ακµής {u, v}: οι δύο κόµβοι u και v «ταυτίζονται» σε έναν νέο κόµβο w, κάθε ακµή {x, u} ή {x, v} αντικαθίσταται από την {x, w}, αφαιρείται η ακµή {u, v} από το σύνολο ακµών. Ενωση (απλών) Γραφηµάτων: G 1 G 2 = G( V 1 V 2, E 1 E 2 ). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 16 / 23

17 Παραδείγµατα Συρρίκνωση των c, e στον x. c e x Ενωση των G 1 και G 2. c c c e f e f G 1 G 2 G 1 G 2 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 17 / 23

18 Αναπαράσταση Γραφηµάτων Πίνακας Γειτνίασης A = [ ij ]: { ij = 1 αν {i, j} E 0 αν {i, j} E A = A = Μη κατευθυνόµενο γράφηµα συµµετρικός πίνακας γειτνίασης. Κατευθυνόµενο γράφηµα όχι πάντα συµµετρικός πίνακας. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 18 / 23

19 Αναπαράσταση Γραφηµάτων Πίνακας Πρόσπτωσης M = [m ij ]: { 1 αν η e j E πρόσκεται στον κόµβο i. m ij = 0 αν η e j E δεν πρόσκεται στον κόµβο i e e 3 e 1 1 e 2 A = e 1 e 2 e 3 e Χρήσιµο και για πολυγραφήµατα, εφόσον οι ακµές είναι ονοµατισµένες. Ο πίνακας είναι και τότε 0 1 (ακόµα και αν υπάρχουν ϐρόχοι). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 19 / 23

20 Ισόµορφα Γραφήµατα ύο απλά γραφήµατα G 1 (V 1, E 1 ) και G 2 (V 2, E 2 ) είναι ισόµορφα αν: υπάρχει 1-1 και επί συνάρτηση f : V 1 V 2, τέτοια ώστε: {x, y} E αν και µόνο αν {f(x), f(y)} E c 4 3 f() = 1, f() = 3, f(c) = 2, f() = 4 g() = 4, g() = 2, g(c) = 3, g() = 1 Αλλά όχι: h() = 1, h() = 2, h(c) = 3, h() = 4. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 20 / 23

21 Αναλλοίωτες Ιδιότητες στον Ισοµορφισµό Ο έλεγχος ισοµορφισµού είναι αλγοριθµικά δύσκολο προβλήµα. Υπάρχουν n! δυνατές συναρτήσεις (1 1 και επί) προς δοκιµή. Βρίσκοντας f αποδεικνύουµε ότι δύο γραφήµατα είναι ισόµορφα. Για Ν Ο δεν είναι, πρέπει να αποκλείσουµε όλες τις n! συναρτήσεις!!! Αναλλοίωτες Ιδιότητες: «επιβιώνουν» του ισοµορφισµού. Αν κάποια δεν ισχύει για οποιαδήποτε f, τότε τα γραφήµατα δεν είναι ισόµορφα. Προφανείς Αναλλοίωτες Ιδιότητες: πλήθος κόµβων, πλήθος ακµών. Επίσης, Βαθµός Κόµβων: ϑα πρέπει να ισχύει (f(v)) = (v). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 21 / 23

22 Παράδειγµα (1) c c e e Τα δύο γραφήµατα δεν είναι ισόµορφα. Το δεξιό έχει έναν κόµβο ϐαθµού 1 (τον e) και έναν ϐαθµού 4 (τον ). Το αριστερό δεν έχει κόµβο µε ϐαθµό 1 ή 4. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 22 / 23

23 Παράδειγµα (2) s t e f w x h g z y c v u Τα δύο γραφήµατα δεν είναι ισόµορφα. Ο κόµβος (αριστερά) είναι ϐαθµού 2. εποµένως µπορεί να αντιστοιχηθεί µε κάποιον από τους t, u, x, y (δεξιά). Οµως ο έχει µόνο γείτονες ϐαθµού 3 (, ). Καθένας από τους t, u, x, y έχει έναν γείτονα ϐαθµού 2. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 23 / 23