Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στη Θεωρία και Ανάλυση Αλγορίθμων

Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στη Θεωρία και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα: Συνηθισμένοι χρόνοι εκτέλεσης και δομές δεδομένων Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών

641: Γηζαγςγή ζηε Θεςνία θαη Ακάιοζε Αιγμνίζμςκ Υάνεξ Παπαδόπμοιμξ

Τιε ημο μαζήμαημξ Βαζηθά ζημηπεία ζπεδίαζεξ & ακάιοζεξ αιγμνίζμςκ Ακάιοζε αιγμνίζμςκ, απμδμηηθόηεηα, αζομπηςηηθόξ ζομβμιηζμόξ οκεζηζμέκμη πνόκμη εθηέιεζεξ θαη βαζηθέξ δμμέξ δεδμμέκςκ πίκαθεξ, ιίζηεξ, ζημίβεξ, μονέξ Γοζηαζέξ ηαίνηαζμα, μνζόηεηα, ζςνόξ θαη μονά πνμηεναηόηεηαξ Μέζμδμξ «Δηαίνεη θαη Βαζίιεοε» Γθανμμγέξ ζε ηαληκόμεζε ζημηπείςκ Γπίιοζε ακαδνμμηθώκ ζπέζεςκ Γναθήμαηα θαη αιγόνηζμμη γναθεμάηςκ Δηάηνελε γναθεμάηςκ (BFS, DFS) οκεθηηθόηεηα Σμπμιμγηθή δηάηαλε Μέζμδμη «Απιεζηείαξ» θαη «Δοκαμηθμύ Πνμγναμμαηηζμμύ» Γιάπηζηα ζθειεηηθά δέκδνα (αιγόνηζμμξ Prim, αιγόνηζμμξ Kruskal) οκημμόηενεξ δηαδνμμέξ (αιγόνηζμμξ Dijkstra, Ρμή δηθηύμο) Υνμκμπνμγναμμαηηζμόξ Γπηιεγμέκα ζέμαηα Τπμιμγηζηηθή πμιοπιμθόηεηα, NP-πιενόηεηα 2

Ονηζμέκεξ Δμμέξ Δεδμμέκςκ Πίκαθεξ Λίζηεξ ημίβεξ Οονέξ Γναθήμαηα

Πίκαθεξ Α 1 2 3 n Πίκαθαξ: ζηαζενό μέγεζμξ Πίκαθαξ: ζύκμιμ ζημηπείςκ ηδίμο ηύπμο οκεπόμεκεξ ζέζεηξ ζηε μκήμε A[i]: πνμζπέιαζε i-ζημύ ζημηπείμο Γνεγμνόηενε πνμζπέιαζε ζημηπείςκ από μπμηαδήπμηε άιιε δμμή. A[n+1]: ζθάιμα! Βγήθαμε εθηόξ μνίμο ημο πίκαθα. 4

Λίζηεξ head head Δηπιά ζοκδεδεμέκε ιίζηα: γηα θάζε ζημηπείμ e, δηαηενείηαη έκαξ δείθηεξ πνμξ ημ επόμεκμ ζημηπείμ θαη έκαξ δείθηεξ πνμξ ημ πνμεγμύμεκμ ζημηπείμ Μεηαβιεηό μέγεζμξ Γηζαγςγή/δηαγναθή εκόξ ζημηπείμο e ζε πνόκμ Ο(1) 5

ημίβεξ Push Pop ζημίβα Τπμζηενίδεη ηηξ ιεηημονγίεξ: Push(S,x) : ημπμζεηεί ημ ζημηπείμ x ζηεκ θμνοθή ηεξ ζημίβαξ S Pop(S) : επηζηνέθεη ημ ζημηπείμ x πμο βνίζθεηαη ζηεκ θμνοθή ηεξ ζημίβαξ S θαη δηαγνάθεη ημ x από ηεκ S Τιμπμίεζε με πίκαθα: α β γ δ θάης όνημ άκς όνημ με ιίζηα: head δ γ β α 6

Οονέξ ημίβεξ: Pop() απμμαθνύκεη ημ ζημηπείμ πμο πνμζηέζεθε πημ πνόζθαηα Push Pop LIFO (Last In First Out) μονά ζημίβα FIFO (First In First Out) μονά : ε δηαγναθή απμμαθνύκεη ημ παιαηόηενμ ζημηπείμ ηεξ μονάξ Insert(Q,x) : ημπμζεηεί ημ ζημηπείμ x ζηo ηέιμξ ηεξ μονάξ Q Delete(Q) : επηζηνέθεη ημ ζημηπείμ x πμο βνίζθεηαη ζηεκ ανπή ηεξ μονάξ Q delete insert FIFO μονά 7

Γναθήμαηα οκδοαζηηθό ακηηθείμεκμ πμο απμηειείηαη από 2 ζύκμια: ύκμιμ θμνοθώκ (vertex set) ύκμιμ αθμώκ (edge set) 1 2 3 4 5 V = n πιήζμξ θμνοθώκ E = m πιήζμξ αθμώκ 8

Γναθήμαηα οκδοαζηηθό ακηηθείμεκμ πμο απμηειείηαη από 2 ζύκμια: ύκμιμ θμνοθώκ (vertex set) ύκμιμ αθμώκ (edge set) Μενηθά είδε γναθεμάηςκ: Καηεύζοκζε αθμώκ - με θαηεοζοκόμεκα - θαηεοζοκόμεκα Βάνμξ αθμώκ - με ζηαζμηζμέκα - ζηαζμηζμέκα 9

Ακαπανάζηαζε Γναθεμάηςκ Πίκαθας (μήτρα) γεητκίασες (adjacency matrix): Υνεζημμπμημύμε έκακ n n πίκαθα Α, όπμο A[i,j] = 1 ακ οπάνπεη αθμή {i,j} θαη A[i,j] = 0 δηαθμνεηηθά 1 2 Υώνμξ: Θ(n 2 ) 3 4 5 ζομμεηνηθόξ πίκαθαξ Γιέγπμομε ακ {i,j} E(G) ζε Θ(1) πνόκμ Γπελενγαδόμαζηε όιεξ ηηξ αθμέξ ζε Θ(n 2 ) πνόκμ 10

Ακαπανάζηαζε Γναθεμάηςκ Λίστα γεητκίασες (adjacency list): Υνεζημμπμημύμε έκακ n 1 πίκαθα Α, όπμο A[i] δείπκεη ζε μηα ιίζηα ηςκ θμνοθώκ πμο γεηημκεύμοκ με ηεκ θμνοθή i A 1 2 1 2 2 3 4 1 3 5 Υώνμξ: 2m+n = Θ(n+m) 3 3 1 2 4 4 1 3 5 4 5 5 2 4 Κάζε αθμή εμθακίδεηαη 2 θμνέξ Γιέγπμομε ακ {i,j} E(G) ζε Θ(n) πνόκμ Γπελενγαδόμαζηε όιεξ ηηξ αθμέξ ζε Θ(m) πνόκμ 11

Ακαπανάζηαζε Γναθεμάηςκ Λίστα γεητκίασες (adjacency list): Υνεζημμπμημύμε έκακ n 1 πίκαθα Α, όπμο A[i] δείπκεη ζε μηα ιίζηα ηςκ θμνοθώκ πμο γεηημκεύμοκ με ηεκ θμνοθή i A 1 2 1 2 2 3 5 Υώνμξ: m+n = Θ(n+m) 3 3 1 4 1 3 4 5 5 4 Γιέγπμομε ακ {i,j} E(G) ζε Θ(n) πνόκμ Γπελενγαδόμαζηε όιεξ ηηξ αθμέξ ζε Θ(m) πνόκμ 12

Απιμί Αιγόνηζμμη θαη οκεζηζμέκμη Υνόκμη Γθηέιεζεξ Δηαπείνηζε ζημίβαξ - Ο(1) Δοαδηθή ακαδήηεζε Ο(logn) Τπμιμγηζμόξ μεγίζημο O(n) ογπώκεοζε Σαληκμμεμέκςκ ζημηπείςκ O(n) Σαληκόμεζε με ζογπώκεοζε O(n logn) Κμκηηκόηενμ δεύγμξ ζεμείςκ O(n 2 ) Πμιιαπιαζηαζμόξ πηκάθςκ Ο(n 3 ) Ακελάνηεημ ύκμιμ Ο(n k ) θαη Ο(2 n )

Γπηζθόπεζε οκεζηζμέκςκ Υνόκςκ Γθηέιεζεξ Οη πημ ζοκεζηζμέκμη πνόκμη εθηέιεζεξ εκόξ αιγμνίζμμο είκαη μη ελήξ: ζηαζενόξ - Ο(1) ιμγανηζμηθόξ - Ο(logn) (οπμγναμμηθόξ) γναμμηθόξ - O(n) O(nlogn) ηεηναγςκηθόξ - O(n 2 ) θοβηθόξ - O(n 3 ) πμιοςκομηθόξ - O(n d ), d > 0 εθζεηηθόξ - O(r n ), r > 1 14

ηαζενόξ πνόκμξ Ο(1) ηαζενόξ πνόκμξ είκαη είκαη μ πνόκμξ πμο είκαη ακελάνηεημξ από ημ μέγεζμξ ηεξ εηζόδμο n. Λεηημονγίεξ ημίβαξ: Πνμζζήθε/Δηαγναθή εκόξ ζημηπείμο ζε μηα ζημίβα. Push Pop ζημίβα ε μία ζςζηά οιμπμηεμέκε ζημίβα, ημ μέγεζμξ δεκ παίδεη νόιμ. Ο πνόκμξ είκαη ίδημξ ακ ε ζημίβα έπεη 100 ζημηπεία ή 10 100 ζημηπεία. 15

Τπμγναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(logn) Ακαδήηεζε ζε ηαληκμμεμέκμ πίκαθα. Δεδμμέκμο εκόξ ηαληκμμεμέκμο πίκαθα Α[], n ζημηπείςκ πνμζδημνίζηε θάπμηα ηημή (=key) οπάνπεη ζημ Α[]. Λύζε: Δοαδηθή ακαδήηεζε O(logn) ε θάζε βήμα είηε βνίζθεη ημ key είηε απμθιείεη ηα μηζά ζημηπεία ηεξ αθμιμοζίαξ πμο απμμέκμοκ. while (r>=l){ // l=1, r=n int m=(l+r)/2; if (key == a[m]) return m; if (key < a[m]) r=m-1; else l=m+1; } return -1; ζέζε ζημηπείμ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Τπμγναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(logn) Ακαδήηεζε ζε ηαληκμμεμέκμ πίκαθα. Δεδμμέκμο εκόξ ηαληκμμεμέκμο πίκαθα Α[], n ζημηπείςκ πνμζδημνίζηε θάπμηα ηημή (=key) οπάνπεη ζημ Α[]. Λύζε: Δοαδηθή ακαδήηεζε O(logn) ε θάζε βήμα είηε βνίζθεη ημ key είηε απμθιείεη ηα μηζά ζημηπεία ηεξ αθμιμοζίαξ πμο απμμέκμοκ. while (r>=l){ // l=1, r=n int m=(l+r)/2; if (key == a[m]) return m; if (key < a[m]) r=m-1; else l=m+1; } return -1; ζέζε ζημηπείμ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 key =111 ζέζε μέζμο ζημηπείμο = (1+15)/2 = 8 A[8] = 56 < key 17

Τπμγναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(logn) Ακαδήηεζε ζε ηαληκμμεμέκμ πίκαθα. Δεδμμέκμο εκόξ ηαληκμμεμέκμο πίκαθα Α[], n ζημηπείςκ πνμζδημνίζηε θάπμηα ηημή (=key) οπάνπεη ζημ Α[]. Λύζε: Δοαδηθή ακαδήηεζε O(logn) ε θάζε βήμα είηε βνίζθεη ημ key είηε απμθιείεη ηα μηζά ζημηπεία ηεξ αθμιμοζίαξ πμο απμμέκμοκ. while (r>=l){ // l=1, r=n int m=(l+r)/2; if (key == a[m]) return m; if (key < a[m]) r=m-1; else l=m+1; } return -1; ζέζε ζημηπείμ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 key =111 ζέζε μέζμο ζημηπείμο = (9+15)/2 = 12 A[12] = 128 > key 19

Τπμγναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(logn) Ακαδήηεζε ζε ηαληκμμεμέκμ πίκαθα. Δεδμμέκμο εκόξ ηαληκμμεμέκμο πίκαθα Α[], n ζημηπείςκ πνμζδημνίζηε θάπμηα ηημή (=key) οπάνπεη ζημ Α[]. Λύζε: Δοαδηθή ακαδήηεζε O(logn) ε θάζε βήμα είηε βνίζθεη ημ key είηε απμθιείεη ηα μηζά ζημηπεία ηεξ αθμιμοζίαξ πμο απμμέκμοκ. while (r>=l){ // l=1, r=n int m=(l+r)/2; if (key == a[m]) return m; if (key < a[m]) r=m-1; else l=m+1; } return -1; ζέζε ζημηπείμ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 key =111 ζέζε μέζμο ζημηπείμο = (9+15)/2 = 12 A[12] = 128 > key 20

Τπμγναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(logn) Ακαδήηεζε ζε ηαληκμμεμέκμ πίκαθα. Δεδμμέκμο εκόξ ηαληκμμεμέκμο πίκαθα Α[], n ζημηπείςκ πνμζδημνίζηε θάπμηα ηημή (=key) οπάνπεη ζημ Α[]. Λύζε: Δοαδηθή ακαδήηεζε O(logn) ε θάζε βήμα είηε βνίζθεη ημ key είηε απμθιείεη ηα μηζά ζημηπεία ηεξ αθμιμοζίαξ πμο απμμέκμοκ. while (r>=l){ // l=1, r=n int m=(l+r)/2; if (key == a[m]) return m; if (key < a[m]) r=m-1; else l=m+1; } return -1; ζέζε ζημηπείμ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Σμ key δεκ οπάνπεη ζηεκ αθμιμοζία. Βνήθαμε όμςξ ημ αμέζςξ μηθνόηενμ ζημηπείμ. 24

Τπμγναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(logn) Ακαδήηεζε ζε ηαληκμμεμέκμ πίκαθα. Δεδμμέκμο εκόξ ηαληκμμεμέκμο πίκαθα Α[], n ζημηπείςκ πνμζδημνίζηε θάπμηα ηημή (=key) οπάνπεη ζημ Α[]. Λύζε: Δοαδηθή ακαδήηεζε O(logn) ε θάζε βήμα είηε βνίζθεη ημ key είηε απμθιείεη ηα μηζά ζημηπεία ηεξ αθμιμοζίαξ πμο απμμέκμοκ. while (r>=l){ // l=1, r=n int m=(l+r)/2; if (key == a[m]) return m; if (key < a[m]) r=m-1; else l=m+1; } return -1; Μέγεζμξ «εκενγήξ» πενημπήξ ακαδήηεζεξ μεηώκεηαη θαηά ½ ζε θάζε επακάιερε Μεηά από k επακαιήρεηξ, μέγεζμξ «εκενγήξ» πενημπήξ (1/2) k n ηαμαηάμε όηακ (1/2) k n = 1, δειαδή k = log n Άνα, ζοκμιηθόξ πνόκμξ Ο(log n) 25

Τπμγναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(logn) Ακαδήηεζε ζε ηαληκμμεμέκμ πίκαθα. Δεδμμέκμο εκόξ ηαληκμμεμέκμο πίκαθα Α[], n ζημηπείςκ πνμζδημνίζηε θάπμηα ηημή (=key) οπάνπεη ζημ Α[]. Λύζε: Δοαδηθή ακαδήηεζε O(logn) ε θάζε βήμα είηε βνίζθεη ημ key είηε απμθιείεη ηα μηζά ζημηπεία ηεξ αθμιμοζίαξ πμο απμμέκμοκ. n n/2 n/2 n/4 n/4 n/2 k Μέγεζμξ «εκενγήξ» πενημπήξ ακαδήηεζεξ μεηώκεηαη θαηά ½ ζε θάζε επακάιερε Μεηά από k επακαιήρεηξ, μέγεζμξ «εκενγήξ» πενημπήξ (1/2) k n ηαμαηάμε όηακ (1/2) k n = 1, δειαδή k = log n Άνα, ζοκμιηθόξ πνόκμξ Ο(log n) 26

Τπμγναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(logn) Ακαδήηεζε ζε ηαληκμμεμέκμ πίκαθα. Δεδμμέκμο εκόξ ηαληκμμεμέκμο πίκαθα Α[], n ζημηπείςκ πνμζδημνίζηε θάπμηα ηημή (=key) οπάνπεη ζημ Α[]. Λύζε: Δοαδηθή ακαδήηεζε O(logn) ε θάζε βήμα είηε βνίζθεη ημ key είηε απμθιείεη ηα μηζά ζημηπεία ηεξ αθμιμοζίαξ πμο απμμέκμοκ. n k n/2 n/2 n/4 n/4 n/2 k Μέγεζμξ «εκενγήξ» πενημπήξ ακαδήηεζεξ μεηώκεηαη θαηά ½ ζε θάζε επακάιερε Μεηά από k επακαιήρεηξ, μέγεζμξ «εκενγήξ» πενημπήξ (1/2) k n ηαμαηάμε όηακ (1/2) k n = 1, δειαδή k = log n Άνα, ζοκμιηθόξ πνόκμξ Ο(log n) 27

Τπμγναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(logn) Ακαδήηεζε ζε ηαληκμμεμέκμ πίκαθα. Δεδμμέκμο εκόξ ηαληκμμεμέκμο πίκαθα Α[], n ζημηπείςκ πνμζδημνίζηε θάπμηα ηημή (=key) οπάνπεη ζημ Α[]. Λύζε: Δοαδηθή ακαδήηεζε O(logn) ε θάζε βήμα είηε βνίζθεη ημ key είηε απμθιείεη ηα μηζά ζημηπεία ηεξ αθμιμοζίαξ πμο απμμέκμοκ... int m=(l+r)/2; if (key == a[m]) return m; if (key < a[m]) r=m-1; else l=m+1;.. n/2 k n/2 Μέγεζμξ «εκενγήξ» πενημπήξ ακαδήηεζεξ μεηώκεηαη θαηά ½ ζε θάζε επακάιερε Μεηά από k επακαιήρεηξ, μέγεζμξ «εκενγήξ» πενημπήξ (1/2) k n ηαμαηάμε όηακ (1/2) k n = 1, δειαδή k = log n k n n/4 n/4 n/2 c c c c Άνα, ζοκμιηθόξ πνόκμξ Ο(log n) 28

Τπμγναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(logn) Ακαδήηεζε ζε ηαληκμμεμέκμ πίκαθα. Δεδμμέκμο εκόξ ηαληκμμεμέκμο πίκαθα Α[], n ζημηπείςκ πνμζδημνίζηε θάπμηα ηημή (=key) οπάνπεη ζημ Α[]. Λύζε: Δοαδηθή ακαδήηεζε O(logn) ε θάζε βήμα είηε βνίζθεη ημ key είηε απμθιείεη ηα μηζά ζημηπεία ηεξ αθμιμοζίαξ πμο απμμέκμοκ. n c k n/2 n/2 c T(n) = k c = n/4 n/4 c = logn c n/2 k c = O(logn) Μέγεζμξ «εκενγήξ» πενημπήξ ακαδήηεζεξ μεηώκεηαη θαηά ½ ζε θάζε επακάιερε Μεηά από k επακαιήρεηξ, μέγεζμξ «εκενγήξ» πενημπήξ (1/2) k n ηαμαηάμε όηακ (1/2) k n = 1, δειαδή k = log n Άνα, ζοκμιηθόξ πνόκμξ Ο(log n) 29

Γναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(n) Γναμμηθόξ πνόκμξ. Ο πνόκμξ εθηέιεζεξ είκαη ημ πμιύ έκαξ ζηαζενόξ πανάγμκηαξ επί ημ μέγεζμξ ηεξ εηζόδμο. Τπμιμγηζμόξ μέγηζημο. Τπμιμγίζηε ημ μέγηζημ από n ανηζμμύξ a 1,, a n. max = a 1 for i = 2 to n { if (a i > max) max = a i } 30

Γναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(n) Γναμμηθόξ πνόκμξ. Ο πνόκμξ εθηέιεζεξ είκαη ημ πμιύ έκαξ ζηαζενόξ πανάγμκηαξ επί ημ μέγεζμξ ηεξ εηζόδμο. Τπμιμγηζμόξ μέγηζημο. Τπμιμγίζηε ημ μέγηζημ από n ανηζμμύξ a 1,, a n. max = a 1 for i = 2 to n { if (a i > max) max = a i } Υνεώκμομε μηα ζηαζενή πμζόηεηα γηα θάζε ζημηπείμ εηζόδμο. 31

Γναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(n) ογπώκεοζε. ογπςκεύζηε δύμ ηαληκμμεμέκεξ ιίζηεξ A = a 1,a 2,,a n θαη B = b 1,b 2,,b n ζε μηα κέα ηαληκμμεμέκε ιίζηα. i = 1, j = 1 while (οι δςο λίζηερ δεν είναι κένερ) { if (a i b j ) πποζάπηηζε a i ζηη λίζηα εξόδος και αύξηζε i else(a i πποζάπηηζε b j ζηη λίζηα εξόδος και αύξηζε j } πποζάπηηζε ηα ςπόλοιπα ζηοισεία ηηρ μη-κενήρ λίζηαρ ζηην έξοδο Λάζμξ Ιζπονηζμόξ: Κάκμομε ζηαζενή ενγαζία ακά ζημηπείμ, άνα O(n) πνόκμ. Σμ πνώημ ζημηπείμ θάπμηαξ ιίζηαξ μπμνεί κα ελεηαζηεί n θμνέξ με όια ηα οπόιμηπα 32

Γναμμηθόξ πνόκμξ: Ο(n) ογπώκεοζε. ογπςκεύζηε δύμ ηαληκμμεμέκεξ ιίζηεξ A = a 1,a 2,,a n θαη B = b 1,b 2,,b n ζε μηα κέα ηαληκμμεμέκε ιίζηα. i = 1, j = 1 while (οι δςο λίζηερ δεν είναι κένερ) { if (a i b j ) πποζάπηηζε a i ζηη λίζηα εξόδος και αύξηζε i else(a i πποζάπηηζε b j ζηη λίζηα εξόδος και αύξηζε j } πποζάπηηζε ηα ςπόλοιπα ζηοισεία ηηρ μη-κενήρ λίζηαρ ζηην έξοδο Ιζπονηζμόξ. ογπώκεοζε δύμ ιηζηώκ μεγέζμοξ n παίνκεη O(n) πνόκμ. Απόδ. Μεηά από θάζε ζύγθνηζε, ημ μέγεζμξ ηεξ ελόδμο αολάκεηαη θαηά 1. Υνεώκμομε ημ θόζημξ ζημ ζημηπείμ πμο πνμζζέημομε ζηεκ έλμδμ. 33

Υνόκμξ Ο(n logn) Υνόκμξ Ο(n logn). οκήζςξ ζοκακηάηαη ζε αιγόνηζμμοξ «δηαίνεη-θαηβαζίιεοε». Θα ημοξ δμύμε ανγόηενα Σαληκόμεζε. Ο mergesort (ηαληκόμεζε με ζογπώκεοζε) θαη μ heapsort (ηαληκόμεζε με ζςνό) είκαη αιγόνηζμμη ηαληκόμεζεξ πμο εθηειμύκ O(n log n) ζογθνίζεηξ. Μέγηζημ άδεημ δηάζηεμα. Δεδμμέκςκ n πνμκμζθναγίδςκ x 1,, x n ζηηξ μπμίεξ θζάκμοκ ακηίγναθα εκόξ ανπείμο ζε έκα δηαθμμηζηή, πμηό είκαη ημ μέγηζημ πνμκηθό δηάζηεμα ζηεκ δηάνθεηα ημο μπμίμο δεκ έθηαζε θακέκα ακηίγναθμ ανπείμο ζημκ δηαθμμηζηή; Λύζε O(n log n). Σαληκόμεζε ηηξ πνμκμζθναγίδεξ ςξ πνμξ ημκ πνόκμ άθηλεξ. άνςζε ηεκ ηαληκμμεμέκε ιίζηα, πνμζδημνίδμκηαξ ημ μέγηζημ θεκό μεηαλύ δύμ δηαδμπηθώκ. 34

Σεηναγςκηθόξ πνόκμξ: Ο(n 2 ) Σεηναγςκηθόξ πνόκμξ. Απανίζμεζε όια ηα δεύγε από n ζημηπείa. Κμκηηκόηενμ δεογάνη ζεμείςκ. Δμζέκημξ μηαξ ιίζηαξ από n ζεμεία ζημ επίπεδμ (x 1, y 1 ),, (x n, y n ), βνείηε ημ δεογάνη με ηεκ μηθνόηενε απόζηαζε. Λύζε O(n 2 ). Δμθημή θάζε δεύγμοξ ζεμείςκ min = (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 for i = 1 to n { for j = i+1 to n { d = (x i - x j ) 2 + (y i - y j ) 2 if (d < min) min d } } δεκ πνεηάδεηαη κα πάνμομε ηεκ ηεηναγςκηθή νίδα Γηα θάζε δεογάνη O(1) πνόκμ εμείςζε. Ω(n 2 ) θαίκεηαη ακαπόθεοθημ, (ίζςξ θαη όπη!!). Θα δμύμε ανγόηενα θάηη πημ απμηειεζμαηηθό 35

Κοβηθόξ πνόκμξ: Ο(n 3 ) Κοβηθόξ πνόκμξ. Απανηζμήζηε όιεξ ηηξ ηνηάδεξ από n ζημηπεία. ομπιενςμαηηθόηεηα ζοκόιςκ. Δμζέκημξ n ζοκόιςκ S 1,, S n θαζέκα από ηα μπμία είκαη οπμζύκμιμ ημο {1, 2,, n}, οπάνπμοκ θάπμηα δεογάνηα πμο κα είκαη λέκα μεηαλύ ημοξ; Λύζε O(n 3 ). Γηα θάζε δεογάνη, έιεγλε ακ είκαη λέκα μεηαλύ ημοξ. foreach ζύνολο S i { foreach άλλο ζύνολο S j { foreach ζηοισείο p ηος S i { καθόπιζε αν ηο p ανήκει επίζηρ ζηο S j } if (κανένα ζηοισείο ηος S i δεν ανήκει ζηο S j ) ανέθεπε όηι S i και S j είναι ξένα μεηαξύ ηοςρ } } 36

Κοβηθόξ πνόκμξ: Ο(n 3 ) Κοβηθόξ πνόκμξ. Απανηζμήζηε όιεξ ηηξ ηνηάδεξ από n ζημηπεία. ομπιενςμαηηθόηεηα ζοκόιςκ. Δμζέκημξ n ζοκόιςκ S 1,, S n θαζέκα από ηα μπμία είκαη οπμζύκμιμ ημο {1, 2,, n}, οπάνπμοκ θάπμηα δεογάνηα πμο κα είκαη λέκα μεηαλύ ημοξ; Λύζε O(n 3 ). Γηα θάζε δεογάνη, έιεγλε ακ είκαη λέκα μεηαλύ ημοξ. foreach ζύνολο S i { foreach άλλο ζύνολο S j { foreach ζηοισείο p ηος S i { καθόπιζε αν ηο p ανήκει επίζηρ ζηο S j } if (κανένα ζηοισείο ηος S i δεν ανήκει ζηο S j ) ανέθεπε όηι S i και S j είναι ξένα μεηαξύ ηοςρ } } Μήπςξ μνζόηενα Θ(n 3 ) ; ή όπη; 37

Κοβηθόξ πνόκμξ: Ο(n 3 ) Πμιιαπιαζηαζμόξ Πηκάθςκ. Έζης 2 πίκαθεξ A θαη B μεγέζμοξ n n. for i = 1 to n { for j = 1 to n { for k = 1 to n { C[i,j] = C[i,j] + A[i,k]*B[k,j]; } } } εμείςζε. Τπάνπεη θαη πημ γνήγμνμξ ηνόπμξ. 38

Πμιοςκομηθόξ πνόκμξ: Ο(n k ) Ακελάνηεημ ζύκμιμ μεγέζμοξ k. Δεδμμέκμο εκόξ γναθήμαημξ, οπάνπμοκ k θμνοθέξ πμο ακά δύμ κα μεκ εκώκμκηαη με αθμή; Λύζε O(n k ). Απανίζμεζε όια ηα οπμζύκμια k θμνοθώκ. k είκαη μηα ζηαζενά foreach ςποζύνολο S ηων k κοπςθών { έλεγξε αν ηο S είναι ανεξάπηηηο ζύνολο if (S είναι ανεξάπηηηο ζύνολο) ανέθεπε όηι ηο S είναι ένα ανεξάπηηηο ζύνολο } } Έιεγπμξ ακ ημ S είκαη ακελάνηεημ ζύκμιμ = O(k 2 ). Πιήζμξ οπμζοκόιςκ k ζημηπείςκ = n k n (n 1) (n 2) (n k 1) k (k 1) (k 2) (2) (1) nk k! O(k 2 n k / k!) = O(n k ). πμι/θμύ πνόκμο γηα k=17, αιιά όπη πνήζημμ ζηε πνάλε 39

Γθζεηηθόξ πνόκμξ: Ο(n 2 2 n ) Ακελάνηεημ ζύκμιμ. Δεδμμέκμο εκόξ γναθήμαημξ, πμημ είκαη ημ μέγηζημ μέγεζμξ ακελάνηεημο ζοκόιμο; Λύζε O(n 2 2 n ). Απανίζμεζε όια ηα δοκαηά οπμζύκμια (ςμή βία). S* = foreach ςποζύνολο S ηων κοπςθών { έλεγσορ αν ηο S είναι ένα ανεξάπηηηο ζύνολο if (S είναι ηο μεγαλύηεπο ανεξάπηηηο ζύνολο) ενημέπωζε S* = S } } Τπάνπμοκ 2 n οπμζύκμια ηςκ n θμνοθώκ. Έιεγπμξ ακ θάπμημ από αοηά είκαη ακελάνηεημ ζύκμιμ Ο(n 2 ) πνόκμ Άνα μ αιγόνηζμμξ ζέιεη ζοκμιηθά Ο(n 2 2 n ) πνόκμ. 40

Πανάδεηγμα Μμκμθόνοθμξ πίκαθαξ: Μηα αθμιμοζία αθεναίςκ Α=(α 1, α 2,, α n ) μκμμάδεηαη μμκμθόνοθε ακ γηα θάπμημ p, 1 p n, ηζπύεη: α 1 < α 2 < < α p θαη α p > α p+1 > > α n. α p Πνόβιεμα: Δμζέκημξ μηαξ μμκμθόνοθεξ αθμιμοζίαξ ζέιμομε κα βνμύμε ημ μέγηζημ ζημηπείμ a p ειέγπμκηαξ όζμ γίκεηαη ιηγόηενα ζημηπεία. 41

Πανάδεηγμα Μμκμθόνοθμξ πίκαθαξ: Μηα αθμιμοζία αθεναίςκ Α=(α 1, α 2,, α n ) μκμμάδεηαη μμκμθόνοθε ακ γηα θάπμημ p, 1 p n, ηζπύεη: α 1 < α 2 < < α p θαη α p > α p+1 > > α n. α p Αθμιμοζηαθή ακαδήηεζε: Βνεξ ημ μέγηζημ Ο(n) 42

Πανάδεηγμα Μμκμθόνοθμξ πίκαθαξ: Μηα αθμιμοζία αθεναίςκ Α=(α 1, α 2,, α n ) μκμμάδεηαη μμκμθόνοθε ακ γηα θάπμημ p, 1 p n, ηζπύεη: α 1 < α 2 < < α p θαη α p > α p+1 > > α n. α p Αξ μημεζμύμε ηεκ δοαδηθή ακαδήηεζε: Ακ a m ημ μεζαίμ (m=n/2) ζημηπείμ ηόηε ελεηάδμομε ηα α m-1, a m, a m+1 : α m-1 < a m θαη a m > a m+1 : ηόηε ε ιύζε είκαη ημ a m α m-1 < a m θαη a m < a m+1 : ηόηε ε ιύζε βνίζθεηαη ζημ Α=(α m+1, α m+2,, α n ) α m-1 > a m θαη a m > a m+1 : ηόηε ε ιύζε βνίζθεηαη ζημ Α=(α 1, α 2,, α m ) Ο(logn) αζομπηςηηθά ίζμ με ημ πνόκμ ηεξ δοαδηθήξ ακαδήηεζεξ 43

Γοζηαζέξ ηαίνηαζμα Μηα πνώηε γκςνημία

Πνόβιεμα Γοζηαζμύξ Σαηνηάζμαημξ n άκδνεξ n γοκαίθεξ Βνείηε ημ θαηάιιειμ «ηαίνη» γηα θάζε άκδνα θαη γηα θάζε γοκαίθα Σθοπός: τέιεηο θαη πςνίξ ασταζή δεσγάρηα Τέιεηο: μμκμγαμία (1 άκδναξ 1 γοκαίθα) Ασταζές δεσγάρη (Υ,Τ): μ άκδναξ Υ θαη ε γοκαίθα Τ πνμηημμύκ μ έκαξ ημκ άιιμκ από ημοξ ηςνηκμύξ ζοκηνόθμοξ ημοξ 45

Πνόβιεμα Γοζηαζμύξ Σαηνηάζμαημξ ηόπμξ. Από n άκδνεξ θαη n γοκαίθεξ, βνείηε έκα "θαηάιιειμ" ηαίνηαζμα. Οη ζομμεηέπμκηεξ βαζμμιμγμύκ μέιε ημο ακηίζεημο θύιμο. Κάζε άκδναξ θαηαηάζζεη ηηξ γοκαίθεξ με ζεηνά πνμηίμεζεξ από ηεκ θαιύηενε ζηε πεηνόηενε. Κάζε γοκαίθα θαηαηάζζεη ημοξ άκδνεξ με ζεηνά πνμηίμεζεξ από ημκ θαιύηενμ ζημ πεηνόηενμ. πνμηημώμεκε ειάπηζηα πνμηημώμεκε πνμηημώμεκμξ ειάπηζηα πνμηημώμεκμξ 1 ε 2 ε 3 ε Κώζηαξ Άκκα Μανία Γιέκε Νίθμξ Μανία Άκκα Γιέκε Πέηνμξ Άκκα Μανία Γιέκε Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ Άκκα Νίθμξ Κώζηαξ Πέηνμξ Μανία Κώζηαξ Νίθμξ Πέηνμξ Γιέκε Κώζηαξ Νίθμξ Πέηνμξ Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 46

Γθανμμγή 1 Σαηνηάδμκηαξ Γηδηθεοόμεκμοξ Ιαηνμύξ ζε Νμζμθμμεία NRMP (οπενεζία National Resident Matching Program ηςκ ΗΠΑ) Ανπηθή πνήζε αμέζςξ μεηά ημκ Β Παγθόζμημ Πόιεμμ ημηπεία Μανηίμο 2005: 23.000+ εηδηθεοόμεκμη θμπόξ. Δεδμμέκμο εκόξ ζοκόιμο πνμηημήζεςκ μεηαλύ κμζμθμμείςκ θαη εηδηθεοόμεκςκ ηαηνώκ, ζπεδηάζηε μηα αοημεπηβαιιόμεκε δηαδηθαζία πνμζιήρεςκ. Αζηαζέξ δεογάνη: μ αηηώκ x θαη ημ κμζμθμμείμ y είκαη αζηαζή εάκ Ο x πνμηημά ημ y, από θάπμημ κμζμθμμείμ ημ μπμίμ ημο έπεη ακαηεζεί. Σμ y πνμηημά ημκ x από θάπμημκ εηδηθεοόμεκμ πμο έπεη απμδεπζεί. Γοζηαζήξ ακάζεζε. Ακάζεζε πςνίξ αζηαζή δεογάνηα. Φοζηθή θαη επηζομεηή θαηάζηαζε. Ξεπςνηζηά αημμηθά ζομθένμκηα ζα απμηνέρμοκ μπμηεζδήπμηε ζομθςκίεξ μεηαλύ αηημύκηςκ θαη κμζμθμμείςκ. 47

Γθανμμγή 2 Σαηνηάδμκηαξ Φμηηεηέξ ζε Γηαηνείεξ γηα Πναθηηθή Άζθεζε θμπόξ. Δεδμμέκμο εκόξ ζοκόιμο πνμηημήζεςκ μεηαλύ εηαηνεηώκ θαη θμηηεηώκ, ζπεδηάζηε μηα αοημεπηβαιιόμεκε δηαδηθαζία ακαζέζεςκ. Αζηαζέξ δεογάνη: μ αηηώκ x θαη ε εηαηνεία y είκαη αζηαζή εάκ Ο x πνμηημά ηεκ y, από θάπμηα εηαηνεία πμο ημο έπεη ακαηεζεί. Η y πνμηημά ημκ x από θάπμημκ θμηηεηή πμο έπεη απμδεπζεί. Γοζηαζήξ ακάζεζε. Ακάζεζε πςνίξ αζηαζή δεογάνηα. Φοζηθή θαη επηζομεηή θαηάζηαζε. Ξεπςνηζηά αημμηθά ζομθένμκηα ζα απμηνέρμοκ μπμηεζδήπμηε ζομθςκίεξ μεηαλύ θμηηεηώκ θαη εηαηνεηώκ. 48

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος (Gale-Shapley 1962) Σέιεημ ηαίνηαζμα: θαζέκαξ ηαηνηάδεηαη μμκμγαμηθά. Κάζε άκδναξ παίνκεη αθνηβώξ μηα γοκαίθα. Κάζε γοκαίθα παίνκεη αθνηβώξ έκακ άκδνα. Γοζηάζεηα: δεκ οπάνπεη θίκεηνμ γηα θάπμημ δεογάνη ζομμεηεπόκηςκ κα οπμκμμεύζμοκ από θμηκμύ ηεκ ακάζεζε. ε έκα ηαίνηαζμα M, έκα με ηαηνηαζμέκμ δεογάνη m-w είκαη αζηαζέξ ακ μ άκδναξ m θαη ε γοκαίθα w πνμηημμύκ μ έκαξ ημκ άιιμ από ημοξ ηςνηκμύξ ζοκηνόθμοξ ημοξ. Σμ αζηαζέξ δεογάνη m-w ζα μπμνμύζε κα θαιοηενεύζεη ηεκ θαηάζηαζή ημο εάκ μ θαζέκαξ εγθαηέιεηπε ημκ ζύκηνμθό ημο. Γοζηαζέξ ηαίνηαζμα: ηέιεημ ηαίνηαζμα πςνίξ αζηαζή δεογάνηα. Πνόβιεμα Γοζηαζμύξ Σαηνηάζμαημξ. Δεδμμέκςκ ηςκ ιηζηώκ πνμηημήζεςκ από n άκδνεξ θαη n γοκαίθεξ, βνείηε έκα εοζηαζέξ ηαίνηαζμα ακ οπάνπεη. 49

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Γνώηεζε. Γίκαη ε ακάζεζε Κ-Γ, Ν-Μ, Π-A εοζηαζήξ? πνμηημώμεκε ειάπηζηα πνμηημώμεκε πνμηημώμεκμξ ειάπηζηα πνμηημώμεκμξ 1 ε 2 ε 3 ε Κώζηαξ Άκκα Μανία Γιέκε Νίθμξ Μανία Άκκα Γιέκε Πέηνμξ Άκκα Μανία Γιέκε Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ Άκκα Νίθμξ Κώζηαξ Πέηνμξ Μανία Κώζηαξ Νίθμξ Πέηνμξ Γιέκε Κώζηαξ Νίθμξ Πέηνμξ Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 50

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Γνώηεζε. Γίκαη ε ακάζεζε Κ-Γ, Ν-Μ, Π-A εοζηαζήξ? Απάκηεζε. Όπη. Η Μανία θαη μ Κώζηαξ ζα γίκμοκ δεογάνη (απαηώκηαξ ημοξ ζοκηνόθμοξ ηεξ ηςνηκήξ ακάζεζεξ). πνμηημώμεκε ειάπηζηα πνμηημώμεκε πνμηημώμεκμξ ειάπηζηα πνμηημώμεκμξ 1 ε 2 ε 3 ε Κώζηαξ Άκκα Μανία Γιέκε Νίθμξ Μανία Άκκα Γιέκε Πέηνμξ Άκκα Μανία Γιέκε Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ Άκκα Νίθμξ Κώζηαξ Πέηνμξ Μανία Κώζηαξ Νίθμξ Πέηνμξ Γιέκε Κώζηαξ Νίθμξ Πέηνμξ Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 51

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Γνώηεζε. Γίκαη ε ακάζεζε Κ-Α, Ν-Μ, Π-Γ εοζηαζήξ? Απάκηεζε. Ναη. πνμηημώμεκε ειάπηζηα πνμηημώμεκε πνμηημώμεκμξ ειάπηζηα πνμηημώμεκμξ 1 ε 2 ε 3 ε Κώζηαξ Άκκα Μανία Γιέκε Νίθμξ Μανία Άκκα Γιέκε Πέηνμξ Άκκα Μανία Γιέκε Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ Άκκα Νίθμξ Κώζηαξ Πέηνμξ Μανία Κώζηαξ Νίθμξ Πέηνμξ Γιέκε Κώζηαξ Νίθμξ Πέηνμξ Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 52

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Σέιεηα Σαηνηάζμαηα: {Κώζηαξ-Άκκα, Νίθμξ-Μανία} {Κώζηαξ-Μανία, Νίθμξ-Άκκα} 1 ε 2 ε Κώζηαξ Άκκα Μανία Νίθμξ Άκκα Μανία Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ Άκκα Κώζηαξ Νίθμξ Μανία Κώζηαξ Νίθμξ Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 53

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Σέιεηα Σαηνηάζμαηα: {Κώζηαξ-Άκκα, Νίθμξ-Μανία} {Κώζηαξ-Μανία, Νίθμξ-Άκκα} Σμ ηαίνηαζμα {Κώζηαξ-Άκκα, Νίθμξ-Μανία} είκαη εοζηαζέξ 1 ε 2 ε Κώζηαξ Άκκα Μανία Νίθμξ Άκκα Μανία Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ Άκκα Κώζηαξ Νίθμξ Μανία Κώζηαξ Νίθμξ Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 54

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Σέιεηα Σαηνηάζμαηα: {Κώζηαξ-Άκκα, Νίθμξ-Μανία} {Κώζηαξ-Μανία, Νίθμξ-Άκκα} Σμ ηαίνηαζμα {Κώζηαξ-Άκκα, Νίθμξ-Μανία} είκαη εοζηαζέξ Σμ ηαίνηαζμα {Κώζηαξ-Μανία, Νίθμξ-Άκκα} δεκ είκαη εοζηαζέξ (Κ-Α) 1 ε 2 ε Κώζηαξ Άκκα Μανία Νίθμξ Άκκα Μανία Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ Άκκα Κώζηαξ Νίθμξ Μανία Κώζηαξ Νίθμξ Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 55

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Σέιεηα Σαηνηάζμαηα: {Κώζηαξ-Άκκα, Νίθμξ-Μανία} {Κώζηαξ-Μανία, Νίθμξ-Άκκα} 1 ε 2 ε Κώζηαξ Άκκα Μανία Νίθμξ Μανία Άκκα Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ Άκκα Νίθμξ Κώζηαξ Μανία Κώζηαξ Νίθμξ Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 56

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Σέιεηα Σαηνηάζμαηα: {Κώζηαξ-Άκκα, Νίθμξ-Μανία} {Κώζηαξ-Μανία, Νίθμξ-Άκκα} Σμ ηαίνηαζμα {Κώζηαξ-Άκκα, Νίθμξ-Μανία} είκαη εοζηαζέξ, άκηνεξ 1 ε 2 ε Κώζηαξ Άκκα Μανία Νίθμξ Μανία Άκκα Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ Άκκα Νίθμξ Κώζηαξ Μανία Κώζηαξ Νίθμξ Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 57

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Σέιεηα Σαηνηάζμαηα: {Κώζηαξ-Άκκα, Νίθμξ-Μανία} {Κώζηαξ-Μανία, Νίθμξ-Άκκα} Σμ ηαίνηαζμα {Κώζηαξ-Άκκα, Νίθμξ-Μανία} είκαη εοζηαζέξ, άκηνεξ Σμ ηαίνηαζμα {Κώζηαξ-Μανία, Νίθμξ-Άκκα} είκαη εοζηαζέξ, γοκαίθεξ 1 ε 2 ε Κώζηαξ Άκκα Μανία Νίθμξ Μανία Άκκα Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ Άκκα Νίθμξ Κώζηαξ Μανία Κώζηαξ Νίθμξ Πνμθίι Πνμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 58

Αιγόνηζμμξ πνόηαζεξ θαη απόννηρεξ Αιγόνηζμμξ πνόηαζεξ θαη απόννηρεξ. [Gale-Shapley 1962] Propose-and-reject algorithm. Δηαηζζεηηθή μέζμδμξ πμο μαξ εγγοάηαη ηεκ εύνεζε εκόξ εοζηαζμύξ ηαηνηάζμαημξ. 59

Αιγόνηζμμξ πνόηαζεξ θαη απόννηρεξ [Gale-Shapley 1962] Απσικά κάθε άηομο είναι ελεύθεπο while (κάποιορ άνδπαρ είναι ελεύθεπορ και δεν έσει κάνει ππόηαζη ζε κάθε γςναίκα) { Διάλεξε έναν ηέηοιον άνδπα m w = 1 η γςναίκα ηηρ λίζηαρ ηος m ζηην οποία δεν έσει κάνει ακόμα ππόηαζη if (w είναι ελεύθεπη) m και w δεζμεύονηαι else if (w πποηιμά ηον m από ηον ηωπινό ζύνηποθο m') m και w δεζμεύονηαι, και ο m' γίνεηαι ελεύθεπορ else η w αποππίπηει ηον m } 60

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Αδάμ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ Ο Αδάμ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς - Η Βάζς δέπεηαη γηαηί δεκ έπεη ηαίνη. 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Δακάε Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Ο Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Δακάε - Η Δακάε δέπεηαη γηαηί δεκ έπεη ηαίνη Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Γηάκκεξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Ο Γηάκκεξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς - Η Βάζς αθήκεη ημκ Αδάμ θαη δέπεηαη ημκ Γηάκκε Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Αδάμ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Άκκα Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ Ο Αδάμ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Άκκα - Η Άκκα δέπεηαη γηαηί δεκ έπεη ηαίνη 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Άκκα Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Ο Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Άκκα - Η Άκκα ημκ απμννίπηεη γηαηί πνμηημάεη ημκ Γηάκκε Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Δακάε Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Ο Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Δακάε - Η Δακάε αθήκεη ημκ Βάημ θαη δέπεηαη ημκ Δήμμ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Ο Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς - Η Βάζς ημκ απμννίπηεη γηαηί πνμηημάεη ημκ Γηάκκε Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Άκκα Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Ο Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Άκκα - Η Άκκα ημκ απμννίπηεη γηαηί πνμηημάεη ημκ Αδάμ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Ο Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Γςγώ - Η Γςγώ δέπεηαη γηαηί δεκ έπεη ηαίνη Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Έθημναξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Ο Έθημναξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς - Η Βάζς ημκ απμννίπηεη γηαηί πνμηημάεη ημκ Γηάκκε Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Έθημναξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Δακάε Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Ο Έθημναξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Δακάε - Η Δακάε αθήκεη ημκ Δήμμ θαη δέπεηαη ημκ Έθημνα Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Ο Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Γςγώ - Η Γςγώ ημκ απμννίπηεη γηαηί πνμηημάεη ημκ Βάημ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Ο Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς - Η Βάζς ημκ απμννίπηεη γηαηί πνμηημάεη ημκ Γηάκκε Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Ο Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Έννηθα Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Ο Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Έννηθα - Η Έννηθα δέπεηαη γηαηί δεκ έπεη ηαίνη Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Λίζηα Πνμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Λίζηα Πνμηίμεζεξ Γοκαηθώκ ΣΓΡΜΑΣΙΜΟ - Όιμη βνήθακ ηαίνη - Γίκαη εοζηαζέξ ηαίνηαζμα! 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Καιή Μειέηε!! Όια ηα πνμβιήμαηα πμο ακαθέναμε (θαη μνηζμέκεξ παναιιαγέξ ημοξ) θνύβμοκ ζεμακηηθέξ ιεπημμένεηεξ.

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Λέκτορας Χάρης Παπαδόπουλος «Εισαγωγή στη Θεωρία και Ανάλυση Αλγορίθμων». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1111. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.