فصل صفر یادآوری مفاهیم پایه

فصل صفر جبر اعداد حقیقی در این فصل به مرور مهم ترین مطالبی میپردازیم که در مباحث حساب دیفرانسیل و انتگرال بدان محتاج هستیم این مطالب مشتمل بر مروری مجد د بر خواص اعداد حقیقی است که دانشآموزان از دوره دبستان به بعد با آن آشنا شدهاند چنانچه شما در مطالعه حسابان و دروس پیش از آن به اندازه کافی با این مباحث آشنا شده باشید میتوانید آنها را به سرعت مرور کنید با این حال باید یادآوری کنیم که تسلط بر این مفاهیم بهویژه خواص ترتیبی اعداد الزمه و پیششرط درک بهتر و مؤثر مفاهیم و مباحث این درس میباشد. در واقع درک علمی این درس که خود مقدمه دروس عالیتر ریاضیات نظیر آنالیز ریاضی است بر دو مؤلفه مهم استوار است یکی تسلط بر خواص نابرابری ها و دیگری آشنا شدن با شیوههای این درس که مبتنی بر روشهای تجزیه و تحلیل و ترکیب منطقوار داده و نتایج آنها است. یادآوری مفاهیم پایه ٠ ١ اعداد حقیقی و خط حقیقی می دانیم که حسابان بر خواص دستگاه اعداد حقیقی استوار است. منظورمان از دستگاه اعداد حقیقی مجموعه اعداد حقیقی اعمال جمع و ضرب این مجموعه و خواص جبری آن است. اعداد حقیقی اعدادی هستند که بتوان آنها را به صورت اعشاری بیان کرد. برای نمونه هر یک از اعداد ذیل یک عدد حقیقی است. 3 5 = 5 / 000, = 0/ 75000 4 1 1 = 0 / 3333, = 1 / 414 3 π=3/ 14159

در هر حالت منظور از سه نقطه» «آن است که دنباله ارقام همیشه ادامه دارد. البته وقتی دنباله ارقام تکراری و از جایی به بعد همیشه برابر صفر باشند از نوشتن آنها صرف نظر میگردد. 3 5= 5, = 0/ 75 4 ام ا برای سه عدد بعدی چنین نیست. تفاوت اساسی در باب این اعداد وجود دارد برای سهتای اولی الگوی تکرار ارقام بدیهی و روشن است و دنباله ارقام بر ما معلوم میباشد لیکن برای و π هیچ الگوی شناخته شدهای برای روند تکرار ارقام وجود ندارد. سه عدد نخست را گویا و دوتای آخر یعنی و π را گنگ یا اصم مینامیم. بنابراین اعداد حقیقی به دو دسته بزرگ یعنی اعداد گویا و اعداد گنگ تقسیم میشوند. نکته جالبتر آن است که هردو دسته به گونهای بسیار فشرده و در کنار هم باهم به نوعی تنیده شدهاند. به زبان هندسی اعداد حقیقی را میتوانیم بهصورت نقاط یک خط مستقیم نشان دهیم. چنین خط مستقیمی را خط حقیقی یا محور حقیقی مینامیم. هر عدد حقیقی چه گویا و چه گنگ متناظر نقطهای بر این خط است و برعکس هر نقطه این خط نظیر یک و تنها یک عدد حقیقی است. )شکل زیر( 1 0 1 1 3 4 3 خواص اعداد حقیقی را می توان در سه رده دسته بندی کرد )1( خواص جبری )( خواص ترتیب )٣( خواص مربوط به پیوستاری اعداد حقیقی. شما در طول تحصیالت خود حتی از دوره ابتدایی با خواص جبری اعداد حقیقی آشنایی دارید. ام ا باید گفت که این آشنایی شما بیشتر جنبه تجربی داشته تا صورت ریاضی! چرا برای نمونه شما می دانید که مثال جمع اعداد خاصیت جابه جایی دارد. + ٣ = ٣ + -1 + 4 = 4 + )-1( = 4-1 و یا آنکه حساب دیفرانسیل و انتگرال + ( 3 + 1 ) = ( + 3) + 1 ام ا برقراری این گونه تساوی ها از راه تجربه حاصل شده است. در واقع تساوی های موردی مانند تساوی های فوق نیاز به برهان و استدالل نداشته است. ام ا وقتی این گونه خواص اعداد را بخواهیم در قالب یک کلی ت و به شکل یک حکم کلی ریاضی بیان کنیم دیگر با تجربه درستی آنها بر ما معلوم نخواهد شد. چرا

بهتر است صورت کلی چنین تساوی هایی را بیان داریم. به ناچار محتاج استفاده از حروف خواهیم شد. همواره + = + یا آنکه بگوییم برای هر دو عدد و + = + به زبان عادی منظورمان این است که برای هر دو عدد حقیقی و حاصل جمع با با حاصل جمع با برابر است. به عبارت»برای هر دو عدد حقیقی و «توجه کنید. اگر ما برای یکصد زوج از اعداد حقیقی یا یک میلیون زوج از اعداد و حاصل دوطرف را حساب کرده و متوجه درستی تساوی ها شویم درستی حکم کلی را محقق نساخته ایم. دلیل آن نامتناهی بودن و یا به اصطالح عامیانه بی پایان بودن مجموعه اعداد حقیقی است. یکصد سال یک میلیون سال و یا چند میلیارد سال که وقت صرف کنیم و تجربه کنیم ادعایمان محقق نمی شود زیرا مجموعه اعداد حقیقی بی پایان و نامتناهی است. زیاد ناراحت نباشید! ظاهرا راه حل ساده ای وجود دارد و آن وضع تئوری وار مجموعه اعداد حقیقی به صورت سامان یافته می باشد که آن را دستگاه اعداد حقیقی می نامیم. این راه حل ساده از این قراراست که وقتی برای درستی یک حکم نتوانیم دلیلی مستدل و منطقی اقامه کنیم و یا آنکه به عللی اصوال نخواهیم دلیلی بیاوریم آن حکم را تحت عنوان اصل موضوع )اصل( مطرح می کنیم. بنابراین اصل موضوع حکم یا گزاره ای است که آن را بدون دلیل و برهان می پذیریم. البته شواهد تجربی برای بسیاری از موارد الهام بخش ریاضیدانان و واضح کننده تئوری ها در انتخاب اصل های آن تئوری است. خالصه کالم آنکه شما تاکنون با خواص جبری اعداد حقیقی به صورت تجربی آشنا شده اید چنین خواصی مدعی اند که اعداد حقیقی را می توان باهم جمع کرد و حاصل عددی حقیقی خواهد بود. اعداد حقیقی را می توان باهم ضرب کرد و حاصل عددی حقیقی است. همچنین قواعد معمول حساب از جمله دو قاعده فوق االشاره برقرارند. اینک برخی از این احکام را در قالب اصل موضوع )اصل( بیان می داریم. مجموعه اعداد حقیقی را در مابقی این کتاب به R نشان می دهیم. ٠ ٢ اصل های جمعی )ج 1( در R یک عمل دوتایی وجود دارد که آن را جمع می نامیم. این عمل که در واقع یک تابع است با نماد + نشان داده می شود. مقدار این تابع را به ازای زوج مرتب ) (, به + نشان می دهیم که در آن, و + اعداد حقیقی اند. لذا حاصل عمل جمع بر هر زوج از اعداد حقیقی خود یک ٣

عدد حقیقی است. )ج ( برای هر دو عدد حقیقی و y داریم + y = y + این اصل را خاصیت جابه جایی جمع می نامیم. )ج ٣ ( برای هر سه عدد حقیقی و y و z داریم: z( ) + y( + z = + )y + این اصل را خاصیت شرکت پذیری R می نامیم. )ج 4( وجود عضو همانی جمع R شامل عددی است به نام ٠ )صفر( به طوری که به ازای هر عدد حقیقی = ٠ + )ج ٥( وجود عضو قرینه به ازای هر عدد حقیقی عضوی از R مانند y وجود دارد به طوری که = ٠ y + با استفاده از این پنج اصل می توانیم خواص دیگری از مجموعه اعداد حقیقی را به دست آوریم اکنون در واقع ما با یک دستگاه جبری سروکار داریم یعنی مجموعه اعداد حقیقی R به انضمام یک عمل دوتایی که در اصل های فوق صدق می کند. اینک به عنوان نمونه برخی نتایج منطقی را در باب R اثبات می کنیم. مثال : ثابت کنید عضو صفر از R منحصر به فرد است. حل : فرض کنیم O 1 و O هردو نقش صفر یعنی عضو همانی جمع R را داشته باشند در این صورت )با توجه به همانی بودن O 1 = O 1 + O )O ( با توجه به خاصیت جابه جایی( = O + O 1 )با توجه به همانی بودن = O O( 1 شما نیز می توانید برخی از خواص اعداد حقیقی را ثابت کنید. مثال : ثابت کنید عضو قرینه هر عدد حقیقی منحصر به فرد است. برهان : فرض کنیم y 1 و y هردو قرینه عدد حقیقی باشند. در این صورت ٠ + y = y )با توجه به ج )4 ( 1 = y + ) + y )با توجه به ج )٥ 1 )y + ( + y = )با توجه به ج )٣ 1 + y ٠ = )با توجه به ج )٥ 1 = y )با توجه به ج و ج ٣( حساب دیفرانسیل و انتگرال 4

معموال قرینه عدد حقیقی را با نماد - و همچنین حاصل جمع )y-( + را به شکل ساده - y می نویسیم و آن را تفاضل و y می نامیم. به عنوان مثال دیگری از خواص اعداد حقیقی به مثال زیر توجه می کنیم. مثال : برای هردو عدد حقیقی و y ثابت کنید. y -) + y( = - - حل : منظور از )y (- + قرینه + y است. پس باید نشان دهیم که: ) + y( + )- -y( = ٠ داریم: )جابه جایی جمع( -y( + y + )- -y( = )y + ( + )- )شرکت پذیری( -y] = y + [) - ( = y + )٠ - y( = y + )-y( = ٠ تمرین در کالس 1 ثابت کنید برای هر عدد حقیقی (-)- = برای هر سه عدد حقیقی z, y, اگر + z = y + z آنگاه = y )قانون حذف( ٠ ٣ ضرب اعداد حقیقی از تجربیاتمان میدانیم که ضرب دو عدد حقیقی عددی حقیقی است. این ویژگی را به عنوان یک اصل میپذیریم به عالوه برخی از ویژگیهای دیگر اعداد حقیقی را در رابطه با عمل ضرب نیز به برای هر دو عدد حقیقی و y = y y عنوان اصل میپذیریم از آن جمله برای هر سه عدد حقیقی و y و )yz( = )y(z z عددی به نام یک )با ن ماد 1( وجود دارد به قسمی که ٠ 1 و برای هر عدد حقیقی برای هر عدد حقیقی غیرصفر مانند عددی حقیقی مانند y وجود دارد به قسمی که y را وارون مینامیم. y = 1 در رابطه با عمل جمع خاصیت زیر به عنوان خاصیت توزیعپذیری ضرب روی جمع برقرار است )y + z( = y + z ) ( ٥

البته منظورمان حکم کلی است وگرنه در باب اعداد خاص بارها درستی ) ( را تجربه کرده ایم. به طور کلی وقتی حکمی مانند ) ( برحسب حروف بیان می شود منظور حکم کلی است. در واقع ) ( صورت ساده تر حکم زیر است. برای هر سه عدد حقیقی و y و )y + z( = y + z z اکنون با داشتن این احکام می توانیم برخی دیگر از ویژگی های ضرب R را ثابت کنیم. مثال : وارون هر عدد حقیقی )غیرصفر( منحصر به فرد است. حل : فرض کنیم y 1 و y هر دو وارون باشند پس y 1 = 1, y = 1 می نویسیم: y 1 = y 1 * 1 = y 1 )y ( = )y 1 (y = )y 1 (y = 1y = y بنا براین ح ق داریم وارون را با ن ماد 1- نشان دهیم گاهی وارون را با 1 نیز نشان میدهیم. مثال : وارون وارون برابر است به زبان ن مادی ) -1 ( -1 = حل : باید نشان دهیم = 1 ) ( 1- تا طبق تعریف نقش وارون 1- را داشته باشد ام ا این تساوی خود طبق تعریف وارون برقرار است. قرارداد: حاصلضرب. 1 y y را به شکل سادهتر مینویسیم در واقع حاصل تقسیم y بر y میباشد. تذکر مهم: باید توجه داشت که عدد ٠ وارون ندارد بنابراین نوشتن عبارتهایی نظیر 1 یا 0 0 و کال کسرهایی با مخرج صفر بیمعنی بوده و از آن باید مؤکدا احتراز گردد. تفسیرهای غلطی 1 0 که درخصوص اینگونه عبارتها از قبیل اینکه = میشود ناشی از عدم توجه کسانی است که با 0 فرایند مفهومسازی و صورتبندی تئوری ریاضی آشنایی کافی ندارند. lim 1 )به معنی حدی( ام ا باید گفت که این = 0 البته در بخشهای بعد خواهید دید که مثال تساوی تنها به مفهوم حدی برقرار است تا آنکه در حدگیری 1 را با 1 جایگزین کرده و از این غلط 0 فاحش استفاده کنیم و آن را برابر قلمداد نماییم! حساب دیفرانسیل و انتگرال 6

تمرین در کالس 1 ثابت کنید برای هر سه عدد حقیقی y, و )y - z( = y - z z ثابت کنید هرگاه = ٠ y آنگاه = ٠ یا = ٠ y و عکس این حکم برقرار است. ٣ برای هر دو عدد حقیقی و y الف( y( )-y( = )-( y = -) ب( )-()-y( = y ٠ ٤ بسط اعشاری اعداد گویا بسط اعشاری یک عدد گویا یک عدد اعشاری پایان پذیر نظیر و یا یک بسط اعشاری پایان ناپذیر متناوب ساده یا مرکب است نظیر بسط اعشاری متناوب ساده بسط اعشاری متناوب مرکب 3 3 = 1/ 5, = 0/ 75 4 = 0 / 666... = 0 / 6 3 5 = 0 / 8333... = 0 / 83 6 در بسط اعشاری متناوب ساده و یا مرکب دسته ارقامی که مرتب تکرار می شوند را دوره گردش عدد نامند. و باالی ارقامی که دوره گردش اند خط کشیده شده است و تعدادی رقم که بین دوره گردش و ممیز قرار دارند ارقام غیرگردش نامیده می شوند. 7 1 = 0/ 538461, = 0/ 00178514 13 56 نتیجه : اگر یک بسط اعشاری متناوب )ساده یا مرکب( داشته باشید میتوانید از فرمول زیر کسر یا عدد گویای مساوی آن را بهدست آورید. فرض کنید 1... m ارقام غیرگردش و 1... n ارقام دوره گردش عدد باشند در این صورت m n m / m n = 1 1 0 1 1 1 )1( 99 900 0 m تا صفر n تا نه مثال های زیر نحوه استفاده از فرمول )1( را نشان می دهند. 7 6 1785 1 446 0/ 6 = = 0/ 01785 = = 9 3 99900 4975

هر عدد حقیقی که بسط اعشاری آن پایان ناپذیر ولی متناوب نباشد گنگ یا اصم نامیده می شود. بنابراین اعداد گنگ اعدادی هستند که بسط اعشاری آنها بی پایان است ولی متناوب نیستند مانند: = 1/ 4141356...... 14159653 π=3/ عدد پی... 71881884 = / e عدد نپر و و و ± قضیه ١: اگر عددی گویا و غیرصفر باشد و عددی گنگ اعداد گنگ هستند. همانطور که میدانید در مجموعه اعداد گویا هر دو عدد گویا را باهم جمع یا تفریق و یا درهم ضرب کنیم حاصل عددی است گویا )اصطالحا گوییم مجموعه اعداد گویا نسبت به عمل جمع و ضرب و تفریق بسته است( و ام ا مجموعه اعداد گنگ نسبت به هیچیک از اعمال جمع تفریق ضرب و تقسیم بسته نیست زیرا: + و 3 و = 18 3 و 3 عددی گنگ است و بنابر قضیه 1 اعداد 3 گنگ هستند ولی ابوریحان بیرونی اصم ک ر ب و د زیرا جواب ندهد جوینده را اال به تقریب مثل 10 که برای آن هرگز نتوان عددی یافت که اگر آن را در خود زنی 1٠ ب و د. ( 3+ ) + ( 3 ) = 6 Q ( 3+ )( 3 ) = 7 Q 18 = 3 Q ٠ ٥ تقریب اعداد گنگ میدانیم که بسط اعشاری هر عدد گنگ به صورت کسری اعشاری با ارقام نامتناهی و بیپایان است که در آن این ارقام طبق هیچ ضابطه و نظم معینی رخ میدهند. به لحاظ تاریخی و π )عدد ارشمیدس( مشهورترین اعداد گنگاند. در رابطه با محاسبه طول قطر یک مربع به ضلع واحد حساب دیفرانسیل و انتگرال 8

پدیدار گشت و π توسط ارشمیدس به عنوان ثابت دایره کشف گردید. همه دوایر موجود در عالم چه کوچک و چه بزرگ درگیر عدد π هستند بدین معنی که نسبت محیط هر دایره بر طول قطر آن عددی است که به π نشان داده میشود. قرار دادن حرف π برای چنین عددی خود مبین این واقعیت است که این عدد گویا نیست. در طول تاریخ ریاضی محاسبه جزء اعشاری π یعنی شناخت ارقام اعشاری آن یکی از جذابترین فعالیتهای ریاضی بهشمار رفته است علت این امر را میتوانیم درچند جهت مطرح کنیم. مثال استفاده از π در محاسبه مساحت و محیط دایره. داشتن تقریبات بهتر π برای استفاده در محاسبات دقیقتر نجومی است بههر حال ارقام اعشاری π بیهیچ نظمی ادامه دارد و بشر طالب آن است که تا آنجا که برایش مقدور است این ارقام را شناسایی کند. در ریاضیات عالی بهصورتی تئوریک ثابت میشود که π گنگ است. محاسبات ارقام اعشاری π طی چندین قرن گذشته مؤید این نتیجه مهم است و لذا میتوان ادعا کرد که قدرت تئوریپردازی ریاضی مبتنی بر پیشبینی پدیدههای ریاضی با تجربیات پیچیده محاسباتی سازگاری تام و تمام دارد و این یکی از زیباییهای علوم ریاضی است. ذیال به اختصار محاسبه و تولید ارقام اعشاری π را به لحاظ تاریخی جهت آشنایی مرور میکنیم: ارشمیدس که در قرن سوم قبل از میالد میزیسته نشان داد که: 3 <π< 71 7 وی این امر را با استفاده از 96 ضلعیهای منتظم ثابت کرد که درون دایره به شعاع واحد محاط میشدند. سپس پتولمی 1 در قرن سو م بعد از میالد با استفاده از ٣6٠ ضلعی منتظم مقدار...141666/٣ را برای π بهدست آورد که تا سه رقم اعشار صحیح میباشد در سال 6٣ بعد از میالد لیوهوی با استفاده از 96 ضلعی منتظم و یک 19 ضلعی منتظم و محاسبه میانگین مقادیر بهدست آمده عدد 141864/٣ را برای π بهدست آورد که خطای این تقریب کمتر از ٠/٠1 میباشد. Ptolemy 1 Liu Hui 9

غیاث الدین جمشید کاشانی کاشانی ریاضیدان مسلمان ایرانی به جای محاسبه π به محاسبه π پرداخته است. روش ک اشانی درج چندضلعی های من تظم و محاسبه تقریبی محیط آنها و سپس استخراج نسبت این محیط به شعاع دایره مربوطه بوده است برای مثال هرگاه یک هشت ضل عی منتظم را درون دایره به شعاع r محاط کنیم و طول ضلع این هشت ضلعی را L بنامیم نسبت مربوطه برابر خواهد بود. 8L r π کاشانی ارقام π را تا 16 رقم دقیقا محاسبه کرده است و این محاسبه بسیار بسیار دقیقتر از محاسبه ارقام π بوده است که قبل از او بهدست آمده است. دقت محاسبات کاشانی بهگونهای است که تا ٠٠ سال بعد از او توسط هیچکس از او پیشی نگرفته بود و فقط لودوف 1 توانست ٠٠ سال بعد از او عدد π را تا ٠٠ رقم اعشار محاسبه کند. ماکزیمم خطای کاشانی در محاسبه کمتر از 1 9 60 است. L O r و این بدان معنی است که کاشانی عدد π را تا 16 رقم اعشار بعد از ممیز دقیقا به دست آورده است که با محاسبات رایانه های امروزی تطابق دارد! کاشانی این مقدار دقت را با محاسبه محیط یک 1٠ ٣ 18 ضلعی منتظم به دست آورده است و در دوره بعد که با پیشرفت حسابان پیشرفته )آنالیز ریاضی( اتفاق افتاد محاسبه ارقام اعشاری π با استفاده از فرمولهای آنالیزی میسر گردید همچنین 1 1 1 tn را بهدست آورد. 3 لئونارد اویلر فرمول ) ( tn π= ( ) + 8 7 79 روش های محاسبه π ب ا است فاده از رایان ه از سال 1961 شروع گردید. این روش ها مؤثرترین و کارآمدترین روش های محاسبه π را با استفاده از تئوری های ریاضی و حساب گرهای فوق مدرن عرضه می کنند. Ludolph vn culen 1 حساب دیفرانسیل و انتگرال 1٠

در اولین پروژه تحقیقاتی تحت نام پروژه گوتنبرگ اعشار π را تا یک میلیون رقم محاسبه کردند. سپس یاساما کانادا از دانشگاه توکیو توانست تعداد 1411٠٠٠٠٠٠٠٠ رقم اعشار از π را با دقت به دست آورد. این محاسبه در سال ٠٠ توسط یک سوپر رایانه هیتاچی که تریلیون عمل را در هر ثانیه انجام می داد صورت پذیرفت. در دسامبر ٠٠9 یک سوپر کامپیوتر ژاپنی به نام Tkopen Supercomputer ادعا کرده است که عدد π را تا 6٠٠ میلیارد رقم اعشار طی 7٣ ساعت و ٣6 دقیقه به دست آورده است. باز هم در این ارقام هیچ گونه نظم و قاعده ای حاکم نیست. 1 این نکته را باید متذکر شویم که تا هر تعداد از ارقام π که محاسبه شود و بقیه ارقام را نادیده بگیریم در واقع با تقریبی از π به شکل یک عدد گویا دست یافته ایم. البته با مقدار واقعی π به شکل همه ارقام اعشاری آن هرگز کار نخواهیم کرد که این امری غیرممکن است. این رویه برای کار عملی با سایر اعداد گنگ نیز مرسوم است. در واقع با تقریبات اعداد گنگ در عمل کار خواهد شد. کاشانی معتقد بود که مقدار واقعی عدد π را فقط خدا می داند. در واقع کاشانی با شهودی الهام گونه دریافته بود که π عددی گنگ است. ام ا اثبات گنگ بودن π قرن ها بعد انجام گرفت. غیاث الدین جمشید کاشانی ریاضیدان و منجم ایرانی 1 در مد ت نگارش این کتاب ارقام اعشاری π با استفاده از سوپر رایانه ها تا بیش از ٣٠٠٠ میلیارد رقم توسط محققین ژاپنی محاسبه شده است. داستان محاسبه ارقام π را صرفا جهت آشنایی شما آورده ایم تا متوجه شوید که چگونه محاسبات تکنولوژی پیشرفته با نظریه های ریاضی همخوانی دارد و این یکی از قو ت های بارز نظریه پردازی ریاضیات است که در حالی با استفاده از تئوری های جبری و آنالیز ثابت می کنند π گنگ است محاسبه ارقام آن با استفاده از سوپر رایانه ها نیز مؤید این حقیقت ریاضی است. 11

٠ ٦ ترتیب و نامساوی ها یکی از خواص مهم اعداد حقیقی مرتب بودن آنها است. تعریف ترتیب خط حقیقی: هرگاه و اعداد حقیقی باشند آنگاه کوچکتر از است اگر یعنی نشان می دهیم. عالمت ( > )یا < مثبت باشد. این ترتیب را با نامساوی - کوچکتر یا مساوی < عبارت بزرگتر از است. همارز کوچکتر از است. خواص زیرا اغلب در نامساویها به کار میروند. اگر < را با و > را با عوض کنیم خواص مشابهی بهدست میآیند. خواص نامساویها )1 هرگاه < و < c آنگاه. < c ) هرگاه < و c < d آنگاه. + c < + d )٣ هرگاه < و c عددی حقیقی باشد آنگاه. + c < + c )4 هرگاه < و > ٠ c آنگاه.c < c )٥ هرگاه < و < ٠ c آنگاه.c > c 1 1 6( )اگر و مثبت باشند( >.[ > به معنی همارزی است.] )7 )اگر و مثبت باشند(. < < تبصره : توجه کنید که نامساویها با ضرب در عددی منفی تغییر جهت میدهد. مثال هرگاه ٣- این ویژگی در تقسیم بر عددی منفی نیز صادق است. مثال هرگاه > 9 ٣-. > آنگاه 1٥- < ٥ آنگاه -٣ <. اگر سه عدد حقیقی c چنان باشند که < و < c میگوییم بین و c است و مینویسیم. < < c ٠ ٧ بازههای اعداد در حساب دیفرانسیل و انتگرال اغلب تعیین مثبت صفر یا منفی بودن عبارات اهمیت دارد مثال =y 4 که متغیر y را برحسب متغیر بیان میکند چون جذر یک عدد منفی در برای معادله R بیمعنی است باید برای حقیقی بودن y شرط ( - 4 نامنفی است( ٠-4 اعمال شود. این حساب دیفرانسیل و انتگرال 1

نام شرط معادل عبارت زیر است. - در نتیجه مجموعه اعداد نموده شده با بازهای است با نقاط انتهایی ± بر خط حقیقی )شکل زیر( نظیر شکل فوق اغلب زیرمجموعه های خط حقیقی یعنی مجموعه اعدادی که یک متغیر را نمایش می دهند بازه یا اجتماعی از بازه ها می باشند. بازه ها چند نوع اند که هریک نمادی خاص خود دارد. مثال بازه باز } ), ( = {: < < مجموعه تمام اعدادحقیقی بزرگتر از و کوچکتر از است که در آن و نقاط انتهایی بازه نام دارند و این نقاط انتهایی در بازه باز قرار ندارند. بازه هایی که شامل نقاط انتهایی خود باشند بازه بسته نام داشته و با نماد {,] [ = :} نموده می شوند. در جدول )1( نه بازه اصلی روی خط حقیقی نموده شده اند. که چهارتای او ل را بازه های کراندار و پنج تای دیگر را بازه های بی کران می نامند. بازه باز بازه بسته بازه های نیم باز بازه های نامحدود نماد بازه جدول (١) ), ( نماد مجموعه {: < < } {: } {: < {: < } {: } {: < } {: < } {: } } حقیقی است: { عددی [, ] [, ( ), ] )-, ] )-, ( ), + ( [, + ( )-, + ( منفی است نامنفی است منفی است نمودار روی خط ( ) [ ] [ ) ( ] ] ) 4 4 4 < ( [ 0 < تبصره : عالئم + و - نمایش اعدادی حقیقی نبوده و فقط با آنها میتوان شرایط بیکران را خالصهتر بیان کرد. 1٣

مثال بازه ) +,] از راست بیکران است. زیرا شامل همه اعداد حقیقی بزرگتر یا مساوی است. مثال : با فرض اینکه فشار هوا یک آتمسفر است بازههایی از خط حقیقی را توصیف کنید که نظیر ب رد دمای )به درجه سلسیوس( آب در دو حالت زیر باشند. حل : الف( مایع ب( بخار الف(چونآبدرشرایطمایعدماییبیشاز ٠ وکمتراز 1٠٠ دارد بازه 1٠٠} < < ٠ {: = 1٠٠( )٠, رامثلشکلزیرقسمت )الف( خواهیمداشت. ب(چونآبدرشرایطگاز )بخار(دماییبزرگتریامساوی 1٠٠ داردبازه } 1٠٠ {: = + ( [1٠٠, رامثلشکل زیر قسمت )ب(خواهیم داشت. ) ( الف) برد دمای آب 0 5 50 75 100 [ 100 00 300 400 ب) برد دمای بخار + به این بازه تعلق بازه متقارن: فرض کنیم ),( یک بازه باشد. معلوم است که عدد دارد )چرا ( این نقطه را نقطه میانی بازه مینامیم زیرا فاصله آن تا نقاط انتهایی و یکسان است. + هرگاه > ٠ δ بازه δ( + ٠ - δ, ٠ ) بازه ای با نقطه میانی ٠ و شعاع δ است. چنین بازه هایی را بازه متقارن نیز می نامیم. اغلب دانستن اینکه نقطه از خط حقیقی چقدر تا مبدأ فاصله دارد مهم است. همان طور که شکل زیر نشان داده او لین حدس ممکن است باشد. 0 تا ٠ وقتی <٠ فاصلۀ ام ا اگر < ٠ فاصله نیست بلکه - است )شکل زیر( مثال اگر ٥- = فاصله = ٥ )٥-(- = - می باشد. توضیح اینکه فاصله همیشه عددی نامنفی است. 0 فاصلۀ تا ٠ وقتی >٠ حساب دیفرانسیل و انتگرال 14

برای بیان مقدار میتوان برحسب حاالت چنین نوشت: اگر اگر 0, =, < 0 عالمت دیگر استفاده از است که در تعریف زیر دقیقا عرضه شده است. ٠ ٨ قدر مطلق هرگاه R قدر مطلق عبارت است از: اگر اگر 0, = =, < 0 مثال : با استفاده از دو قسمت تعریف قدر مطلق ٥- را بیابید. 5 = ( 5) حل : 5 = 5 = قضایای زیر چند خاصیت مفید قدر مطلق را بیان میدارند. قضیه (ا عمال با قدر مطلق): هرگاه و اعداد حقیقی بوده و n عدد صحیح مثبتی باشد آنگاه خواص زیر برقرار میباشند. n = n )٣ =, 0 ). = )1 اثبات به عهده دانشآموز. قضیه (نامساویها و قدرمطلق): هرگاه و اعدادی حقیقی بوده و k مثبت باشد خواص زیر برقرار میباشند. - )1.-k k اگر و فقط اگر k ). -k یا k اگر و فقط اگر k )٣ )4 نامساوی مثلثی: + + خواص و ٣ در صورت تعویض با < نیز درستاند. این احکام را برحسب < بنویسید. برهان : خاصیتهای و 4 را ثابت کرده و اثبات دو خاصیت دیگر را به عنوان تمرین به عهده دانشآموز میگذاریم. برای برهان خاصیت فرض کنید k چون - نتیجه میشود -k - k یعنی -k k 1٥

حال فرض کنید -k k اگر ٠ = و اگر ٠ = - از اینرو در هر حالت. k اثبات )4 چون - و - بنابراین -) + ( + + و بنابر قضیه + + مثال : نشان دهید برای هر دو عدد حقیقی و - - + = - + - + حل : طبق نامساوی مثلثی - - )1( پس از طرف دیگر طبق نامساوی مثلثی - = + )-( + - = + )( - - + و از )1( و )( نتیجه میشود تمرین در کالس نامساوی مثلثی را برای سه عدد 1 و ٣ بیان و اثبات کنید. آیا صورت کلی تری )برای n عدد( از این نامساوی می توانید بیان کنید را حل کرده و مجموعه جواب آن را روی خط حقیقی نشان 5 < 1 مسا ئل 1 نامعادله دهید. جواب نامعادلههای زیر را بهصورت بازه و یا اجتماعی از بازهها پیدا کنید. الف( 8 ٥ + ٣ ب( - ٣ 7 ٣-٥ 1 ج( < 9 د( < 3 ٣ هریک از نامساویهای زیر یک بازه را مشخص میسازد. این بازه را بنویسید. الف( - ب( < 1 ٥ + پ( < 1 ت( < 7-٣ ث( < ٣-٣ ٥ حساب دیفرانسیل و انتگرال 16

1 1 (, + ) 4 جواب هایی از نابرابری 1> 4 - را به دست آورید که دربازه متقارن 10 10 قرار داشته باشند. 1 ٥ جوابهایی از نابرابری < 9 را بهدست آورید که در بازه متقارن ) 4( 1000 قرار داشته باشند. 6 ثابت کنید که اگر 1>>٠ و n N آنگاه >٠ n را به دست آورید که در بازه متقارن 1 7 جواب هایی از نابرابری < 9 100 1 1 3+, 3 ) قرار دارند. ( 10 10 8 فرض کنیم < < ثابت کنید } < M {, )منظور از M ماکسیمم مقدار مجموعه است( آیا عکس این حکم درست است 9 فرض کنیم برای هر عدد مثبت < h h ٠ ثابت کنید = ٠ 1٠ ثابت کنید در هر پنج ضلعی منتظم با طول ضلع نسبت طول قطر به طول ضلع عددی گنگ است. )قضیه هیپاسوس( راهنمایی: ابتدا نشان دهید دو مثلث ABE و FEA در شکل زیر متشابهاند. E D F A C B 11 ثابت کنید 3 عددی گنگ است. 1 ثابت کنید log٣ گویا نیست. 1٣ ثابت کنید: نامساوی زیر )نامساوی برنولی( به ازای هر عدد طبیعی n و هر عدد حقیقی 1- برقرار است. )1+( n 1+n )راهنمایی: استقرا( 17