ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών Διπλωματική Εργασία της Ευθυμίας- Βικτωρίας Σιούτα Σύμβουλος Καθηγητής: ΣΠΥΡΟΣ ΕΥΣΤ. ΤΖΑΜΑΡΙΑΣ Μηχανικά και Κλασσικά Ανάλογα της Σύγχρονης Φυσικής Πάτρα 009
Μηχανικά και Κλασικά Ανάλογα της Σύγχρονης Φυσικής Στα κβαντομηχανικάφαινόμενα μικρόκοσμο που εμφανίζονται στον μικρόκοσμο δεν έχουμε εποπτεία, οπότε ως εκπαιδευτικός-επιστήμονας, προσπαθώ να απομονώσω την ύλη που θα διδάξω και να τη συνδυάσω με φαινόμενα στα οποία υπάρχει εποπτεία. Επειδή αυτή υπάρχει στον κόσμο της κλασικής φυσικής, θα πρέπει να αναζητήσουμε κλασικά ανάλογα, κάτι που εκ πρώτης όψεως φαίνεται παράλογο. Θα αναζητήσουμε τα κλασικά ανάλογα από το πεδίο της κλασικής κυματικής θεωρίας.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ (ΥΠΕΡΘΕΣΗ) ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ - ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΣΥΜΒΟΛΗ Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΟΥ ΜΕΤΑΦΕΡΟΥΝ ΤΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ENOΣ ΝΗΜΑΤΟΣ (ΜΙΑΣ ΧΟΡΔΗΣ)
Με σφαίρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ YOUNG Θα περιγράψουμε τα αποτελέσματα όμοιων πειραμάτων διπλής σχισμής τα οποία διεξήχθησαν με χρήση σφαιρών πολυβόλου, υδάτινων κυμάτων και ηλεκτρονίων. Συγκρίνοντας και αντιπαραβάλλοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν με αυτά τα τρία διαφορετικά υλικά, θα μπορέσουμε να δώσουμε μια ιδέα των βασικών χαρακτηριστικών της κβαντομηχανικής συμπεριφοράς. Σε αυτό το πείραμα και μόνο μπορούν να αναδειχθούν όλα τα προβλήματα και τα παράδοξα της κβαντικής φυσικής. Η πιθανότητα άφιξης μιας σφαίρας μεταβάλλεται ανάλογα με τη θέση του κουτιού-ανιχνευτή. Το σύνολο τον σφαιρών σε κάθε κουτί όταν και οι δύο σχισμές είναι ανοικτές ισούται με το άθροισμα των σφαιρών : Π 1 = Π 1 + Π. Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι στο πείραμα με τις σφαίρες το αποτέλεσμα με τις δυο οπές ανοιχτές είναι το άθροισμα των αποτελεσμάτων με την μια οπή ανοιχτή, ή όπως λέγεται, δεν παρατηρείται συμβολή.
Με μηχανικά κύματα Αντίθετα απ' ό,τι στο πείραμα με τις σφαίρες, βλέπουμε ότι η ενέργεια των κυμάτων δεν φτάνει στον ανιχνευτή κατά ορισμένη ποσότητα όπως οι σφαίρες που έφταναν σε μία μόνο θέση (μεταφέροντας ενέργεια) κάθε χρονική στιγμή. Εδώ βλέπουμε ότι η ενέργεια του αρχικού κύματος κατανέμεται κατά μήκος του ανιχνευτή, αφού το ύψος του κύματος που προκύπτει από τα δύο ανοίγματα στον ανιχνευτή μεταβάλλεται ομαλά από μηδέν μέχρι κάποια μέγιστη τιμή. Η καμπύλη Ε 1 εκφράζει το τετράγωνο της διαταραχής που προκαλείται από το κύμα το οποίο διέρχεται από το άνοιγμα 1: Ε 1= h1 Με τον ίδιο τρόπο, η καμπύλη Ε αναπαριστά την ένταση στην περίπτωση όπου το άνοιγμα είναι ανοικτό και το άνοιγμα 1 κλειστό, οπότε, Ε = h θα ισχύει: Η συνολική διαταραχή του νερού σε κάθε θέση κατά μήκος του ανιχνευτή δίνεται από το άθροισμα των διαταραχών τις οποίες προκαλούν τα κύματα που προέρχονται από τα ανοίγματα 1 και. Αν συμβολίσουμε το ύψος του κύματος από το άνοιγμα 1 με h 1, το ύψος του κύματος από το άνοιγμα με h, και το συνολικό ύψος που παίρνουμε και από τα δύο ανοίγματα με h 1, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση:h 1 = h 1 + h. Η ένταση που προκύπτει είναι ακριβώς το τετράγωνο αυτού του ύψους (ή πλάτους με αυστηρότερη διατύπωση) του κύματος: Ε 1 = h1 Ε = (h + h ) 1 1 το οποίο προφανώς δεν ισούται με το άθροισμα των Ε 1 και Ε.
Με ηλεκτρόνια Τα ηλεκτρόνια φεύγουν από την πηγή ως «ολότητες» και φτάνουν στον ανιχνευτή επίσης ως «ολότητες» ωστόσο, από την εικόνα άφιξης των ηλεκτρονίων στον ανιχνευτή, φαίνεται ότι στον ενδιάμεσο χώρο κινήθηκαν ως κύματα! Η καμπύλη που παίρνουμε, είναι η χαρακτηριστική εικόνα συμβολής για κύματα, αν και κλασικά θεωρούμε ότι τα ηλεκτρόνια φτάνουν στον ανιχνευτή όπως ακριβώς οι σφαίρες! Δηλαδή, η Π 1 για τα ηλεκτρόνια, είναι σαν την Ε 1 για τα κύματα. Π1 Π1+ Π Συνοψίζοντας, τα ηλεκτρόνια φτάνουν στον ανιχνευτή σαν σωματίδια, αλλά η πιθανότητα να φτάσει ένα ηλεκτρόνιο κατανέμεται σαν την ένταση ενός κύματος. Με αυτή την έννοια, ένα ηλεκτρόνιο δεν είναι ούτε σωματίδιο ούτε κύμα. Σύμφωνα με το νέο τρόπο σκέψης που υπαγορεύεται από την εμπειρία του μικρόκοσμου, η σωματιδιακή και κυματική φύση της ύλης θεωρούνται συμπληρωματικές απόψεις και είναι αμφότερες ουσιαστικές για την πλήρη περιγραφή των φαινομένων (Complemetarity priciple). Πειράματα με ηλεκτρόνια έχουν πραγματοποιηθεί στη σύγχρονη εποχή, επιβεβαιώνοντας την κβαντομηχανική.
Το πείραμα των A. Toomura, J. Edo, T. Matsuda, T. Kawasaki, (America Joural of Physics, Feb. 1989). Το συγκεκριμένο πείραμα πραγματοποιήθηκε στα τέλη της δεκαετίας του 80 και από πλευράς παιδαγωγικής αποτελεί μία από τις καλύτερες επιδείξεις της κυματικής υφής των στοιχειωδών σωματιδίων. Λόγω του φαινομένου Bohm-Aharoov, τα ηλεκτρόνια που φθάνουν στον ανιχνευτή από τις δύο τροχιές έχουν διαφορετική φάση. Το βασικό πλεονέκτημα αυτού του πειράματος είναι ότι μπορούσαν να διοχετευθούν ηλεκτρόνια με τόσο αργούς ρυθμούς έτσι ώστε είτε ένα ή κανένα ηλεκτρόνιο ανά πάσα στιγμή εισέρχετο στον ανιχνευτή. Με άλλα λόγια, η πιθανότητα αλληλεπίδρασης ενός ηλεκτρονίου με ένα άλλο ηλεκτρόνιο και η συμβολή τους είχε αποκλειστεί. Κάθε χρονική στιγμή, μόνο ένα (ή κανένα) ηλεκτρόνιο ευρίσκεται μεταξύ των «οπών» και του πετάσματος. Συνεπώς: Τα ηλεκτρόνια δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους για να παραχθεί η «περιθλαστική» εικόνα στο πέτασμα Οι εικόνες πάρθηκαν μετά την διέλευση από τις «οπές»: a) 10 ηλεκτρονίων, b) 100 ηλεκτρονίων, c) 3000 ηλεκτρονίων, d) 0.000 ηλεκτρονίων και e)70.000 ηλεκτρονίων.
ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΗΣ ΔΙΠΛΗΣ ΣΧΙΣΜΗΣ ΤΟΥ YOUNG ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ο Thomas Youg το 1801 επέδειξε το φαινόμενο της συμβολής δύο φωτεινών κυμάτων. Αυτές οι δύο σχισμές παίζουν τον ρόλο ενός ζεύγους σύμφωνων πηγών φωτός, διότι τα κύματα που αναδύονται από αυτές προέρχονται από το ίδιο κυματικό μέτωπο (ισοφασική επιφάνεια) και επομένως η διαφορά φάσης τους είναι σταθερή. Τα φαινόμενα συμβολής που οφείλονται σε δύο πηγές δημιουργούνται εξαιτίας της διαφοράς φάσης ανάμεσα στα κύματα που εκπέμπονται από αυτές. Επειδή οι δύο αυτές πηγές είναι σύμφωνες και τα δύο κύματα που εκπέμπουν έχουν το ίδιο μήκος κύματος, η διαφορά φάσης τους εξαρτάται μόνο από την διαφορά διαδρομής των δύο κυμάτων. Εάν υποτεθεί ότι τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία είναι παράλληλα και ότι τα δύο κύματα έχουν το ίδιο πλάτος Ε 0 : Ε 1=Ε0siωt Ε 1=Ε0si(ωt+φ)
Ε Ρ = Ε 1 + Ε = E 0 [si ωt + si(ωt + φ)] φ φ Ε Ρ = Ε0 cos( )si( ω t + ) Η ένταση των φωτεινών κυμάτων στο Ρ είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του συνιστάμενου ηλεκτρικού πεδίου στο σημείο αυτό: φ φ Ι Ε Ρ=4Ε0cos ( )si (ωt+ ) Ι ( Ε 0+Ε 0) = ( Ε 0) = 4Ε0 Η ένταση του συνιστάμενου κύματος σε ένα σημείο είναι ανάλογη προς το τετράγωνο τού πλάτους τού συνισταμένου κύματος στο σημείο αυτό. Η ένταση, δηλαδή είναι ανάλογη προς το (Ε 1 + Ε ). Το κλασικό ανάλογο του πειράματος Yougμε ηλεκτρόνια είναι το φως.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ HEISENBERG Ας δείξουμε τι συμβαίνει με την αβεβαιότητα κατά την προσπάθειά μας να μετρήσουμε ταυτόχρονα τη θέση και την ορμή ενός σωματίου. Έστω ηλεκτρόνιο που προσπίπτει σε πέτασμα με οπή εύρους b. Εάν αντιμετωπίσουμε το ηλεκτρόνιο σαν κυματοπακέτο, επειδή η οπή δεν επιτρέπει να περάσει ολόκληρο το μέτωπο κύματος, αναμένουμε στα δεξιά του πετάσματος το χαρακτηριστικό φάσμα της περίθλασης. Για το ελάχιστο 1 ης τάξης έχουμε γωνιακή διεύθυνση: λ θ=± b Παρατηρούμε πως όσο «ανοίγει» το εύρος της οπής, τόσο στενεύει» ο κεντρικός κροσσός. Ας επιστρέψουμε στη σωματιδιακή εικόνα. Ηλεκτρόνιο προσπίπτει σε οπή και διέρχεται μέσω αυτής.η αβεβαιότητα στη διεύθυνση του ηλεκτρονίου στο δεξιά του πετάσματος χώρο θα είναι: και επειδή η Δθείναι πολύ μικρή, μπορούμε να πούμε: Από τη σχέση De Broglie έχουμε Άρα h x p h h λ h p = λ b b p = p si θ 0 λ p p0 θ p0 b
Η Αρχή της αβεβαιότητας Παρατηρήσιμα φαινόμενα Η σταθερότητα και το μέγεθος των ατόμων Ας εφαρμόσουμε την αρχή της απροσδιοριστίας για να κάνουμε μια εκτίμηση της τάξης μεγέθους του ατόμου, δηλαδή του α: h x p h p α Η αβεβαιότητα σε μία κατανομή τιμών είναι η διασπορά των τιμών γύρω από τη μέση τιμή: Δεχόμαστε πως: p p άρα ( ) ( h ) Ας δούμε τώρα την κινητική ενέργεια 1 p K= meυ = m p = p α e ( p) = p p Η ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου θα είναι το άθροισμα της κινητικής του ενέργειας συν τη δυναμική ενέργεια Coulomb: p e E(α) = K + V = me α qe e= 4π = h ο e E(α) Μετά από τις αντικαταστάσεις καταλήγουμε πως m α α e 0 Η βασική κατάσταση του ατόμου θα είναι εκείνη που αντιστοιχεί σε κατάσταση ελαχίστης ενέργειας: h 10 de h e α = + = 0 0 = = 0.58 10 m : ακτίνα Bohr 3 me e dα m α α e Παρατηρούμε πως για τιμές της ακτίνας μικρότερες της α 0 η συνάρτηση της ενέργειας είναι αύξουσα. Δηλαδή αν προσπαθήσουμε να συμπιέσουμε πιο πολύ το άτομο, φέρνοντας το ηλεκτρόνιο πιο κοντά στον πυρήνα, τότε αυξάνεται η ενέργεια. Επομένως, όσο πιο μικροσκοπική είναι η «φυλακή» του, τόσο πιο πολύ «αντιδρά» το σωματίδιο αυξάνοντας την ενέργειά του! Έτσι παρά το τεράστιο ενδοατομικό κενό, το άτομο συμπεριφέρεται ως μία συμπαγής και ασυμπίεστη σφαίρα.
Το μέγεθος των πυρηνικών ενεργειών Για την ενέργεια των σωματιδίων του πυρήνα στο άτομο του Bohr έχουμε: h h m α h m α Επ = m R m R m α m α m R e e p p e e p 6 7 Επ = (10 10 )Eατ Επ µερικά MeV Δυνάμεις από απόσταση και οι φορείς της αλληλεπίδρασης Η ενέργεια για α < α ο είναι αύξουσα συνάρτηση του μεγέθους του ατόμου, επομένως οι πυρηνικές ενέργειες είναι κατά ένα εκατομμύριο φορές μεγαλύτερες από τις ατομικές (ενέργειες των ηλεκτρονίων στα άτομα). Ο πυρήνας είναι ένας γίγαντας ενέργειας ακριβώς επειδή είναι ένας νάνος μεγέθους! Τα πυρηνικά σωματίδια «κινούνται σαν τρελά» ακριβώς επειδή είναι στριμωγμένα σε έναν τόσο μικρό χώρο. Στην κβαντική μηχανική μπορούμε να περιγράψουμε αυτή την αλληλεπίδραση μέσω εκπομπής και απορρόφησης φωτονίων. Η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση μεταξύ δύο φορτισμένων σωματιδίων μεταδίδεται με τα φωτόνια, που μεσολαβούν μεταξύ των φορτισμένων σωματιδίων. Δt: χρόνος διάδοσης της αλληλεπίδρασης (φωτονίου) Αβεβαιότητα στην ορμή: Δp=p(ορμή του φωτονίου) Αβεβαιότητα στη θέση: Δx=r (απόσταση των φορτίων) h p x = p r h p r p h hc 1 F = F ~ = ~ t r t r r r c= t
Αν οι αλληλεπιδράσεις των φορτισμένων σωματιδίων μεταδίδονται με φωτόνια, από πού προέρχεται η απαιτούμενη ενέργεια για τη δημιουργία των φωτονίων; Από την αρχή της αβεβαιότητας έχουμε ότι μια κατάσταση, που υπάρχει για ένα μικρό χρονικό διάστημα Ε t ħ Δt, έχει αβεβαιότητα ενέργειας ΔΕ τέτοια ώστε: (1) Αυτή η αβεβαιότητα επιτρέπει τη δημιουργία φωτονίου με ενέργεια ΔΕ, με την προϋπόθεση πως αυτό δεν ζει περισσότερο χρόνο από τον Δt. Ένα φωτόνιο, που μπορεί να υπάρχει για πολύ λίγο χρόνο εξαιτίας αυτής της αβεβαιότητας στην ενέργεια, ονομάζεται πλασματικό(ή δυνητικό) φωτόνιο. Είναι σαν να υπήρχε μια τράπεζα ενέργειας μπορούμε να δανειστούμε ενέργεια ΔΕ, αρκεί να την επιστρέψουμε μέσα στο χρονικό όριο Δt. Σύμφωνα με την Εξ. (1), όσο περισσότερα δανειστούμε, τόσο συντομότερα πρέπει να τα επιστρέψουμε.
Μεσόνια Υπάρχει σωματίδιο που είναι φορέας της πυρηνικής δύναμης; Το 1935 ο Ιάπωνας φυσικός Hideki Yukawa πρότεινε ότι ένα υποθετικό σωματίδιο, που ονόμασε μεσόνιο, θα μπορούσε να δράσει σαν μεσολαβητής της πυρηνικής δύναμης. Το σωματίδιο πρέπει να ζει αρκετό χρόνο Δt, ώστε να διανύει αποστάσεις συγκρίσιμες με την εμβέλεια της πυρηνικής δύναμης, που είναι της τάξης του r 0 = 1,5 x 10-15 m = 1,5 fm. Υποθέτοντας ότι η ταχύτητα του σωματιδίου είναι 4 συγκρίσιμη με την ταχύτητα του φωτός στο κενό c, η διάρκεια του Δtπρέπει να είναι της τάξης του: t= = 5, 0x10 s c r 0 Η απαραίτητη αβεβαιότητα ενέργειας είναι: ħ Ε= = 130MeV tt Η μάζα που αντιστοιχεί σε αυτή την ενέργεια είναι: Ε = = c 8 m,3x10 kg Το 1947 ανακαλύφθηκε μια κατηγορία τριών σωματιδίων, που ονομάζονται μεσόνια π ή πιόνια. Τα φορτία τους είναι + e, -e, και μηδέν και οι μάζες τους είναι περίπου 70 φορές η μάζα του ηλεκτρονίου. Τα πιόνια αλληλεπιδρούν ισχυρά με τους πυρήνες, και είναιτα σωματίδια που πρόβλεψε ο Yukawa.
Η σχέση μεταξύ της ενέργειας και της ορμής αυτού του νέου σωματιδίου θα είναι η σχετικιστική έκφραση: 4 E = p c + m c Επειδή η ενέργεια Ε είναι ίση με το μηδέν (ή τουλάχιστον αμελητέα σε σχέση με τη μάζα m) η ορμή προκύπτει φανταστική: p= imc,οπότε για την περίπτωση της πυρηνικής διεργασίας θα πάρουμε ένα πλάτος ανταλλαγής, το οποίο για μεγάλες τιμές της απόστασης θα πρέπει να μεταβάλλεται ως: e mc R ħ R Επομένως, η δύναμη μεταξύ δύο νουκλεονίων θα μπορούσε να περιγραφεί από μια δυναμική ενέργεια U(r) με τη γενική μορφή: (πυρηνικό δυναμικό). U(r) = f r/r 0 e r
Η ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ HEISENBERG ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ταχύτητες στην κυματική κίνηση Κυματομάδες και ομαδική ταχύτητα Κυματοπακέτα Κυματομάδα με πολλές συνιστώσες. Το θεώρημα εύρους ζώνης Για την περίπτωση μιας ομάδας με πολλές συνιστώσες συχνότητες, που κείνται μέσα στο στενό εύρος συχνοτήτων Δω, καθεμιά με πλάτος α, το πλάτος που προκύπτει από την επαλληλία των συνιστωσών συχνοτήτων 1 R= α cos( ω t+ δ) 0 si α R(t) A cos ωt α ω t α= α = όπου Α=α και,όπου δ ήταν η σταθερή διαφορά φάσης μεταξύ διαδοχικών συνιστωσών Όταν t= 0, siα/α 1 και όλες οι συνιστώσες προστίθενται με μηδενική διαφορά φάσης, δίνοντας το μέγιστο πλάτος R(t)=Α =α. Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα Δt, όταν οι φάσεις μεταξύ των συνιστωσών συχνοτήτων είναι τέτοιες ώστε ω t α= =π το προκύπτον πλάτος R(t) να είναι μηδέν. Άρα ΔfΔt=1, όπου Δω = πδf. Το θεώρημα λέει ότι οι συνιστώσες ενός παλμού με εύρος συχνοτήτων Δω συμβάλλουν με τη δημιουργία σημαντικού πλάτους R(t) μόνο για ένα διάστημα Δt, προτού ο παλμός εξασθενίσει εξ αιτίας τυχαίων διαφορών φάσης. Όσο μεγαλύτερο είναι το εύρος Δω, τόσο συντομότερο είναι το διάστημα Δt.
Η αρχή της αβεβαιότητας του Heiseberg Σύμφωνα με αυτό, μια ομάδα κυμάτων με ομαδική ταχύτητα υ g, και σε μια περιοχή συχνοτήτων Δfπροστίθεται δίνοντας σημαντικό πλάτος μόνο για ένα χρονικό διάστημα Δt, όπου ΔfΔt 1. Ομοίως, μια ομάδα στην περιοχή κυματαριθμών Δk επιπροστίθεται στο χώρο σε μια απόσταση Δx, όπου ΔxΔk π. Αλλά η ταχύτητα του υλικού κύματος de Broglie ουσιαστικά είναι μια ομαδική ταχύτητα και αντιστοιχεί σε ορμή h h p= = k= ħk λ π Επειδή h E= hf = ω= ħω ππ ħ h = p = k π, προκύπτει ότι και το θεώρημα εύρους ζώνης γίνεται η αρχή της ħ αβεβαιότητας του Heiseberg: Ε = Ε t h f και Ε ħ ω x p h, είναι επίσης εκφράσεις της αρχής της αβεβαιότητας του Heiseberg. Καταλήγουμε πως η απροσδιοριστία των σωματίων στην κλασική κυματική αντιστοιχεί στη συμπεριφορά των κυματοπακέτων στην κβαντομηχανική.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΣΗΡΑΓΓΑΣ Διαπέραση φράγματος Δυναμική ενέργεια - διατήρηση ενέργειας φ φ 1 Υποθέτουμε πως οι περιοχές με τα διαφορετικά δυναμικά ήταν πολύ κοντά η μία στην άλλη, έτσι ώστε η δυναμική ενέργεια να άλλαζε ξαφνικά από την τιμή V 1 στην τιμή V. λ 1 λ r Θεωρούμε την κατάσταση της Εικόνας η οποία περιέχει δύο κουτιά που διατηρούνται σε σταθερές τιμές δυναμικού φ 1 και φ καθώς και μία περιοχή ανάμεσα τους για την οποία θα υποθέσουμε πως το δυναμικό μεταβάλλεται με ομαλό τρόπο καθώς μεταβαίνουμε από το ένα κουτί στο άλλο. Υπάρχει κάποια πιθανότητα να παρατηρηθεί το σωματίδιο στη δεύτερη περιοχή -στην οποία κλασικά δεν θα μπορούσε να βρεθεί με κανένα τρόπο-ωστόσο, το πλάτος για αυτό είναι πάρα πολύ μικρό, εκτός από περιοχές που βρίσκονται σχεδόν πάνω στο όριο.
Η διείσδυση του πλάτουςπιθανότητας δια μέσου ενός φράγματος δυναμικού. Αυτό το φαινόμενο είναι γνωστό ως η κβαντομηχανική «διείσδυση ενός φράγματος». Εάν υπάρχει κάποια στενή περιοχή που βρίσκεται σε δυναμικό με τιμή ίση με V η οποία είναι τόσο μεγάλη ώστε η κλασική κινητική ενέργεια να ήταν αρνητική, το σωματίδιο, από την κλασική σκοπιά του θέματος δεν πρόκειται ποτέ να διέλθει μέσα από αυτή. Αλλά από την πλευρά της κβαντομηχανικής, το εκθετικά ελαττούμενο πλάτος πιθανότητας μπορεί να περάσει μέσα από αυτή την περιοχή και να δώσει μία μικρή πιθανότητα να παρατηρηθεί το σωματίδιο στο άλλο άκρο, στο οποίο η κινητική ενέργεια θα εξακολουθεί να είναι αρνητική. Αν η περιοχή υψηλού δυναμικού είναι επαρκώς στενή (1 με λ) υπάρχει μικρή, αλλά σημαντική πιθανότητα το σωματίδιο να ξεπεράσει την περιοχή και να μεταδοθεί παραπέρα (φαινόμενο σήραγγας).
Εφαρμογές του κβαντικού φαινομένου σήραγγας Δίοδοι σήραγγας (tuel diode) Επαφή Josephso(Josephso juctio) Σαρωτικό μικροσκόπιο σήραγγας Πυρηνική φυσική και διάσπαση α
Σαρωτικό μικροσκόπιο σήραγγας Σε ένα απλουστευμένο μοντέλο της δομής των μετάλλων, μπορούμε να φανταζόμαστε τα ηλεκτρόνια να κινούνται μέσα σε ένα ελκτικό «φρέαρ δυναμικού», το οποίο οφείλεται στο πλέγμα των θετικών ιόνιων του μετάλλου. Εφόσον απαιτείται ενέργεια για να απομακρυνθούν τα ηλεκτρόνια από το μέταλλο, θα πρέπει να υπάρχουν κάποια ηλεκτρικά «τοιχώματα», ή φράγματα, στα άκρα του που να τους απαγορεύουν να διαφύγουν (Εικόνα(α)). Αν, τώρα, εκθέσουμε το μέταλλο σε ένα ισχυρό ηλεκτρικό πεδίο, τότε το ηλεκτρικό δυναμικό θα τροποποιηθεί και θα αποκτήσει τη μορφή που φαίνεται στην Εικόνα(β). Όπως παρατηρούμε, ενώ εξακολουθεί να υπάρχει ένα φράγμα δυναμικού που αποτρέπει τα ηλεκτρόνια να εγκαταλείψουν ανεμπόδιστα το μέταλλο, αυτά μπορούν πλέον να το διαπεράσουν και να διαφύγουν. Για την επιφάνεια ενός μετάλλου το φαινόμενο σήραγγας αντιστοιχεί στην ύπαρξη πεπερασμένης πιθανότητας να βρίσκονται ηλεκτρόνια και έξω από τα όρια της επιφάνειας. Στο STMέχουμε ένα μέταλλο ή ημιαγωγό και την ακίδα, η οποία είναι μεταλλική, όπου εμφανίζεται μια διαρροή ηλεκτρονίων και από τις δύο πλευρές και μπορεί να υπάρξει αλληλοεπικάλυψη μεταξύ των ηλεκτρονιακών νεφών. kd I V e, k = mφ όπου d η απόσταση μεταξύ δείγματος-ακίδας, φ είναι το τοπικό φράγμα δυναμικού μεταξύ ακίδαςδείγματος ή μία μέση τιμή των έργων εξόδου ακίδαςδείγματος, mη μάζα του ηλεκτρονίου ħ Η επιβολή δυναμικού V μεταξύ ακίδας και δείγματος έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση ροής ηλεκτρονίων από το δείγμα προς την ακίδα ή αντίστροφα(tuelig curret). Αν καταστεί δυνατόν να ελεγχθεί με πολύ μεγάλη ακρίβεια η απόσταση της αιχμής της ακίδας από την επιφάνεια, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ένταση του ρεύματος για να μετρήσουμε το μέγεθος διάφορων χαρακτηριστικών πάνω στη μεταλλική επιφάνεια. Το 1986, οι Biigκαι Rohrerτιμήθηκαν με το βραβείο Νόμπελ φυσικής.
Πυρηνική φυσική και διάσπαση α Οι ισχυρές πυρηνικές δυνάμεις ανάμεσα στα νουκλεόνια μπορεί να θεωρηθεί ότι δημιουργούν ένα ελκτικό φρέαρ δυναμικού που τα κρατά όλα μαζί μέσα στον πυρήνα, σχεδόν όπως συγκρατούνται μέσα στο μέταλλο τα ηλεκτρόνια. Μέσα στον πυρήνα, όμως, δύο πρωτόνια και δύο νετρόνια ενίοτε ενώνονται και σχηματίζουν ένα σωματίδιο α. Το προκύπτον δυναμικό, το οποίο «αισθάνεται» το σωματίδιο α, φαίνεται στην Εικόνα. Αυτό το πυρηνικό δυναμικό μοιάζει τώρα πολύ με εκείνο το οποίο «αισθάνεται» ένα ηλεκτρόνιο μέσα σε ένα μέταλλο παρουσία ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Αν και το ύψος του φράγματος είναι περίπου 30 MeV, το σωματίδιο α μπορεί να διαφύγει από τον πυρήνα και να εμφανιστεί ως ελεύθερο σωματίδιο με ενέργεια μόλις 4 MeV! Αυτό συμβαίνει επειδή ξεκίνησαν με ενέργεια Ε από το εσωτερικό του πυρήνα και «δραπέτευσαν» δια μέσου του φράγματος δυναμικού. Το πλάτος πιθανότητας μεταβάλλεται χοντρικά έτσι όπως φαίνεται στο τμήμα (β) της Εικόνας. Ο εκθετικός όρος δίνει ένα τρομακτικά μικρό παράγοντα με τιμή ίση με e -45, που οδηγεί με τη σειρά του σε μία εξαιρετικά μικρή, αλλά παρόλα αυτά συγκεκριμένη πιθανότητα διαφυγής.
ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΣΗΡΑΓΓΑΣ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Κυματικό φαινόμενο σήραγγας si(θ ) = si(θ ) 1 i t Αυξάνοντας σταδιακά τη γωνία πρόσπτωσης θ i θα αυξηθεί αντίστοιχα και η γωνία διάθλασης θ t, σύμφωνα με τη σχέση si(θ t ) = ( / 1 ) si(θ i ). Ωστόσο, το ημίτονο μιας γωνίας θ t δεν γίνεται να ξεπεράσει τη μονάδα! Αυτό αντιστοιχεί σε μια κρίσιμη γωνία πρόσπτωσης θ i =θ κ τέτοια ώστε : si(θ κ ) = si(90 ) = 1 0 1 Σε μια τέτοια γωνία πρόσπτωσης, θ t =90, δηλαδή η διαθλώμενη δέσμη είναι εφαπτομενικήτης διαχωριστικής επιφάνειας. Για θ i > θ κ το κύμα στο αραιό μέσο λέγεται αποσβενόμενο ή διαφεύγον κύμα (evaescet wave), το οποίο πολύ γρήγορα, μέσα στο λεγόμενο επιδερμικό βάθος, εξασθενίζει εκθετικά, και έτσι δεν διαδίδεται στο αραιό μέσο καθόλου ενέργεια. Το κύμα ανακλάται ολικά, και έχουμε το φαινόμενο της Ολικής Εσωτερικής Ανάκλασης (Total Iteral Reflectio), που ανακαλύφθηκε από τον Johaes Kepler. Επομένως το κλασικό ανάλογο του κβαντομηχανικού φαινόμενου σήραγγας είναι το φαινόμενο της Ολικής Εσωτερικής Ανάκλασης του φωτός.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Άτομα σε ηρεμία - στάσιμες καταστάσεις Για ένα σωματίδιο που βρίσκεται σε κατάσταση κάποιας συγκεκριμένης ενέργειας E ο, το πλάτος πιθανότητας εύρεσης του σωματιδίου στο σημείο (χ, ψ,z) τη χρονική στιγμή tείναι ίσο με -i(ε ο/h)t αe, όπου α είναι κάποια σταθερά. Κβαντικό σύστημα σε ηρεμία πλάτος δεν εξαρτάται από θέση πιθανότητα να το βρω στο χώρο παντού η ίδια! Ε καθορισμένη ορμή καθορισμένη, Δp=0, Δx= Παρόλο που τα πλάτηπιθανότητας μεταβάλλονται με το χρόνο, εάν η ενέργεια είναι συγκεκριμένη, αυτά μεταβάλλονται ως ένα φανταστικό εκθετικό και επομένως το απόλυτο τετράγωνο τους δεν μεταβάλλεται καθόλου. Ένα άτομο που διαθέτει κάποια συγκεκριμένη ενέργεια βρίσκεται σε μία στάσιμη κατάσταση. Εάν έχουμε μία "κατάσταση" η οποία αποτελείται από ένα μίγμα δύο διαφορετικών καταστάσεων με διαφορετικές ενέργειες, τότε, το πλάτος για κάθε μία από τις δύο καταστάσεις θα είναι: i(e 1 / )t και e ħ i(e / )t e ħ
Το μοριακό ιόν του υδρογόνου Κυματοσυναρτήσεις Ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης Φυσικά μεγέθη ως μέσες τιμές τελεστών Σωματίδιο σε κουτί Η συνάρτηση U(x) (το δυναμικό αλληλεπίδρασης) είναι 0 όταν 0<x<L U(x) = όταν x 0 ή x L Μέσα στο κιβώτιο η εξίσωση του Schrodigerγίνεται: επειδή είναι: V=0. ψ= Α si kx+ Bcos kx me k = ħ d ψ m Eψ 0 dx + ħ = Με βάση τις συνοριακές συνθήκες ψ=0 για x=0 και x=l, θα έχουμε: ψ(0) = Α 0+ Β 1= 0 Β= 0 ψ= A si kx ψ(l) = A si kl= 0 kl= π με =1,, k me π = = ħ L E π = ħ ml
πx ψ = A si, =1,,... L + L L πx L ψ dx= ψ dx= A si dx= A 0 0 L 0 L ψ dx= 1 A= L Οι ιδιοσυναρτήσεις για αυτό το σωμάτιο θα είναι: ψ πx si L L = με =1,,. και με ιδιοτιμές για την ενέργεια: E π = ħ ml
ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Στάσιμα κύματα σε χορδή σταθερού μήκους Μια χορδή με σταθερό μήκος lκαι με σταθερά τα δύο της άκρα παρουσιάζει άπειρη αντίσταση και στα δύο άκρα. Θα εξετάσουμε τώρα τη συμπεριφορά κυμάτων σε μια τέτοια χορδή. Ας θεωρήσουμε την περίπτωση ενός μονοχρωματικού κύματος με συχνότητα ω και με μία συνιστώσα με πλάτος α που οδεύει κατά τη θετική κατεύθυνση x και μία άλλη με πλάτος b που οδεύει κατά την αρνητική κατεύθυνση x. Η μετατόπιση της χορδής σε οποιοδήποτε σημείο θα δίνεται τότε από την έκφραση: i(ωt kx) i(ωt+ kx) ψ αe be = + με τη συνοριακή συνθήκη ότι ψ = 0 στο x= 0 και x=l, κάθε χρονική στιγμή. iωt ikx ikx iωt ψ= αe (e e ) = ( i)αe si kx Η συνθήκη ψ = 0 στο x= 0 δίνει 0 = (α + b)e iωt για κάθε t, οπότε a= -b. μια έκφραση για το ψ που ικανοποιεί τη χρονικά ανεξάρτητη μορφή στάσιμου κύματος της κυματικής εξίσωσης: x ψ + kψ = 0 Η συνθήκη ότι ψ = 0 στο x=l για κάθε tαπαιτεί: ωl si kl= si = 0 c ω l = π c περιορίζοντας τις επιτρεπόμενες τιμές συχνοτήτων στις πc c c λ ω = f = = l= l l λ ω x x π si = si Οι συχνότητες αυτές είναι οι κανονικές συχνότητες ή τρόποι ταλάντωσης c l
Σωματίδιο σε κουτί (κυματική θεώρηση) Θα μελετήσουμε το σύστημα το οποίο αποτελείται από ένα σωματίδιο, που ανακλάται ελαστικά μεταξύ δύο ακλόνητων τοίχων σε απόσταση L. Θεωρούμε το πρόβλημα μονοδιάστατο με το σωματίδιο να κινείται κατά μήκος του άξονα xκαι οι τοίχοι να βρίσκονται στις θέσεις x= 0 και x= L. Οι συγκρούσεις είναι τελείως ελαστικές και επομένως το σωματίδιο ποτέ δεν αποκτά επιπλέον ενέργεια ούτε χάνει η ενέργεια του και το μέτρο της ορμής του pπαραμένουν σταθερά. Το σύστημα αυτό περιγράφεται σαν «σωματίδιο σε κουτί». Επειδή το σωματίδιο είναι περιορισμένο στο διάστημα 0 < x< L, αναμένουμε να μηδενίζεται η κυματοσυνάρτηση του έξω από το παραπάνω διάστημα. Επιπλέον, η συνάρτηση ψ να είναι συνεχήςσυνάρτηση του x. Θα πρέπει να μηδενίζεται στα σημεία x= 0 και x= L. ψ(x) = Α si kx όπου k είναι ο κυματαριθμόςk =π/λ. Η Εξ. (1) ικανοποιεί την απαίτηση του μηδενισμού της ψ (x) στο x= 0. Είναι επίσης μηδέν στο x= L αν επιλέξουμε τιμές για τον k τέτοιες ώστε kl= ηπ, ( =1,, 3,...). Οι δυνατές τιμές του kκαι του λ είναι, επομένως: k = π λ λ = π L k = p h = = λ h L E p m h 8mL = = Αυτές είναι όλες οι επιτρεπτές ενεργειακές στάθμες ενός σωματιδίου σε κουτί. Σε κάθε τιμή του η αντιστοιχεί μία κυματοσυνάρτηση, την οποία συμβολίζουμε με ψ. Καταλήγουμε στη σχέση: πx ψ (x) = A si L
Στην παρούσα μονοδιάστατη περίπτωση, η ποσότητα (με το ψ υπολογισμένο για μία συγκεκριμένη τιμή του x) είναι η πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο στο μικρό διάστημα dx κοντά στο x. ψ dx Στην περίπτωση μας: πx ψ dx= A si dx L ψ (x) = πx A si L Η αβεβαιότητα ως προς τη θέση είναι Δx= L (το πλάτος του κουτιού). Το μέτρο της ορμής pστην κατάσταση είναιp= h/l. Μία λογική εκτίμηση της αβεβαιότητας στην ορμή είναι η διαφορά στην ορμή μεταξύ δύο καταστάσεων, που διαφέρουν κατά μία μονάδα στις τιμές του, δηλαδή Δp=h/L. Το γινόμενο, τότε, ΔxΔpπου εμφανίζεται στην αρχή της αβεβαιότητας, είναι ΔxΔp=h/. Αυτό είναι όμοιο με το όριο που επιβάλλεται από την αρχή της αβεβαιότητας. Επομένως, το κλασικό ανάλογο των στάσιμων καταστάσεων της κβαντομηχανικής, είναι τα στάσιμα κύματα.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Webcast της ΘΕ ΚΦΕ 61του Ε.Α.Π.: Θέματα Σύγχρονης Φυσικής, Διαλέξεις Κβαντομηχανικής. S.E. Tzamarias, Lifelog educatio for educators, Quatum descriptio of the world. S.E. Tzamarias, Lifelog educatio for educators, Lectures i moder physics. Serway R. A.: Physics for scietists ad egieers, third editio. Hey T., Walters P.: The ew quatum uiverse, 003 Cambridge uiversity press. The Feyma lectures o Physics, Volume III, 009 Εκδόσεις Τζιόλα. Jim Al-Khalili: Quatum A guide for the perplexed, 003. A. P. Frech: Vibratios ad waves, 1971 Norto. A. P. Frech, E. F. Taylor: A Itroductio to Quatum Physics, 1978 Norto. Ασημέλλης Γ., Μαθήματα Οπτικής, Θεσσαλονίκη, 006 Εκδόσεις Ανίκουλα Ταμβάκης, Κ., Κβαντική Μηχανική, Αθήνα 1990, Εκδόσεις Συμεών. Youg H.D.: Πανεπιστημιακή Φυσική, όγδοη έκδοση. Pai, H. J., Φυσική των ταλαντώσεων και των κυμάτων, 1991Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα. http://esperia.iesl.forth.gr/~kafesaki/moder-physics/traxaas-short-otes/