Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Transcript

1 Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί το σύστημα στη συγκεκριμένη κατάσταση. Η ποσότητα Η κυματοσυνάρτηση αποτελεί την πυκνότητα πιθανότητας της κατάστασης. t Η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωμάτιο σε όγκο d γύρω από ένα σημείο είναι P d t d t Είναι t d t υπακούει την εξίσωση Schödge t U t t t Τα φυσικά μεγέθη δηλ. οποιαδήποτε ιδιότητα ενός συστήματος που μπορεί να μετρηθεί στην Κβαντομηχανική αναπαρίστανται από τελεστές π.χ. θέση: Τελεστής Χ Ορμή στον άξονα Χ: Τελεστής Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα Η δράση του ενός τελεστή Α στην κυματοσυνάρτηση οδηγεί στην αρχική συνάρτηση πολλαπλασιασμένη επί μια σταθερά πρόβλημα ιδιοτιμών τελεστή. Δηλ. A a Η τιμή α λέγεται ιδιοτιμή του τελεστή ενώ η κυματοσυνάρτηση ονομάζεται ιδιοσυνάρτηση του τελεστή. Για να είναι ένα φυσικό μέγεθος Q σαφώς καθορισμένο κβαντομηχανικά η κυματοσυνάρτηση του συστήματος θα πρέπει να είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή του Q. Τότε η τιμή του Q είναι η ιδιοτιμή του. Μέση αναμενόμενη τιμή ενός φυσικού μεγέθους Q σε κάθε χρονική στιγμή Q * Qd

2 Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Ελεύθερο σωμάτιο σε τρισδιάστατο κύβο ακμής Γενίκευση του μονοδιάστατου προβλήματος πηγάδι δυναμικού Εισαγωγή νέων συντεταγμένων νέων βαθμών ελευθερίας Αύξηση της πολυπλοκότητας Αναζήτηση συμμετριών και διατηρίσιμων φυσικών μεγεθών Υπενθύμιση: Σωμάτιο σε μονοδιάστατο απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού d d Κβάντωση Ενέργειας! s Κλασικό σωμάτιο: Ελαστικές κρούσεις στα τοιχώματα Διατήρηση ενέργειας Διατήρηση του μέτρου των συνιστωσών της ορμής Κβαντικό σωμάτιο: Υλικό κύμα που περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση t που προσδιορίζεται από την εξίσωση Schödge εντός του κύβου ενώ μηδενίζεται εκτός του. Κινητική Ενέργεια t t U t t t Δυναμική Ενέργεια Χρονική Εξέλιξη Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα

3 Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα U Χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schödge Ελεύθερο σωματίδιο Μηδενικές δυνάμεις Μηδενικό δυναμικό: U Χωρισμός μεταβλητών σε καρτεσιανές συντεταγμένες κυβική συμμετρία Διαιρώντας με την καταλήγουμε στην Αναζήτηση λύσεων στάσιμων καταστάσεων χωρισμός μεταβλητών t e t

4 Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα Επειδή ο κάθε όρος της εξίσωσης εξαρτάται μόνο από μια χωρική μεταβλητή ή η εξίσωση ικανοποιείται όταν όπου οι σταθερές διαχωρισμού ή Λύσεις: Αυτές του μονοδιάστατου απειρόβαθου πηγαδιού για κάθε διάσταση! Επιτρεπτές ενέργειες κβαντωμένες... Επιτρεπτές συνιστώσες ορμής κβαντωμένες p p p

5 Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Το σύστημα ενός ελεύθερου σωματιδίου σε κυβικό κουτί χαρακτηρίζεται από τρεις κβαντικούς αριθμούς { } που αντιστοιχούν στους τρεις βαθμούς ελευθερίας του. Αυτοί καθορίζουν την ολική του κινητική ενέργεια και τις τιμές των συνιστωσών των ορμών του. Η κυματοσυνάρτηση που το περιγράφει είναι η As s s Συνθήκη κανονικοποίησης : dv A / / s s s Ενέργεια βασικής κατάστασης: { } Ενέργεια πρώτης διεγερμένης κατάστασης: { { { } } } 6 Εκφυλισμός Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα

6 Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Εκφυλισμός είναι το φαινόμενο κατά το οποίο διαφορετικές καταστάσεις έχουν την ίδια ενέργεια. Τότε η αντίστοιχη ενεργειακή στάθμη ονομάζεται εκφυλισμένη. Εκφυλισμός Άρση εκφυλισμού Παράδειγμα μερικής άρσης εκφυλισμού: Σωμάτιο σε κουτί με ακμές και =. Υψηλός βαθμός συμμετρίας Μείωση σπάσιμο βαθμού συμμετρίας Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα