1 סכום ישר של תת מרחבים

אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב

סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 + + U k הוא ישר אם כל אחד מהסכומים המופיעים בו הוא ישר פורמלית,,W ((U + U 2 ) + U 3 ) + + U k ואנו דורשים שלכל k,i,, הסכום (U + + U i ) + U i+ { (U + + U i ) U i+ הוא ישר, או באופן שקול: במקרה כזה, כותבים W U U 2 U k ואומרים שזו הצגה של W כסכום ישר דוגמא: הסכום R R 3 {(x,, ) : x R + {(, y, ) : y R + {(,, z) : z הוא ישר למה אם B B B 2 B k בסיס של,V והקבוצות B, B 2,, B k זרות, אז V span B span B 2 span B k תרגיל מצא מרחב וקטורי V ותת מרחבים U, U 2, U 3 V כך שכל אחד מהסכומים U + U 2, U 2 + U 3, U + U 3 הוא ישר, אבל הסכום U + U 2 + U 3 אינו ישר (רמז: קח (V R 2 למה 2 יהי W U U 2 U k אזי: א אם u + + u k וכל,u i U i אז k u u ב לכל w W יש הצגה יחידה כסכום w u + + u k כך ש u i U i לכל i,, k { ג לכל i,, k מתקיים i (U + + U i + U i+ + + U k ) U ד לכל W U σ() U σ(2) U σ(k),σ S k תרגיל הראה שגם ההיפך נכון, כלומר כל אחת מהתכונות המובאות בסעיפי תרגיל 3 גוררת שהסכום הוא ישר למה 3 יהי V U U 2 U k א dim V dim U + dim U 2 + + dim U k ב לכל,i,, k יהי B i בסיס של U i נסמן B B B 2 B k אזי B בסיס של V למה 4 יהי V V V 2 V k לכל,i יהיו נתונים תת מרחבים U i, W i V i אזי: (U U 2 U k ) (W W 2 W k ) (U W ) (U 2 W 2 ) (U k W k ) 2 תת מרחבים אינוריאנטים הגדרה 2 יהי T : V V אופרטור תת מרחב U V ייקרא אינוריאנטי (תחת (T אם לכל u U מתקיים T u U הגדרה 22 יהיו T : V V אופרטור, U V תת מרחב אינוריאנטי, ו E בסיס של U אזי T U : U U אופרטור, וניתן T] ] E במלים אחרות, עבור קבוצה בת"ל E V שאינה דווקא בסיס, [T U ] E נסמן הצגה זו בקצרה: להציג אותו כמטריצה [T ] E [T span E ] E תסומן אם span E אינוריאנטי, אז המטריצה T U span {e, e 2 אינוריאנטי, ו [T ] [ ( {e,e 2 T span{e,e 2 ]{e,e 2 x y z ) y z דוגמא,T : R 3 R 3

הגדרה 23 מטריצה אלכסונית בלוקים היא מטריצה מהצורה A O O O A 2 O O O A k כך שכל A i ("בלוק") היא מטריצה ריבועית אנו מרשים גם את המקרה הטריויאלי, בו k למה 24 (הצגה אלכסונית בלוקים) יהי T : V V אופרטור יהי V U U 2 U k סכום ישר של מרחבים אינוריאנטים, ולכל,i,, k יהי B i בסיס של U i נסמן B B B 2 B k אזי: [T ] B O O [T ] B O [T ] B2 O O O [T ] Bk [T ] B A O O O A 2 O 2 מצד שני, אם O O A k מטריצה אלכסונית בלוקים, אז יש חלוקה של B לאיחוד זר,,B B B 2 B k כך שלכל,i,, k התת מרחב [T ] Bi A i הוא אינוריאנטי, ו U i span B i v F את הוקטור ש k רכיביו הראשונים הם u בהוכחת הלמה, נשתמש בסימון הבא עבור v F k, u F l נסמן ב k+l רכיבי v, והרכיבים הנותרים הם רכיבי u (שירשור שני הוקטורים) הוכחה: באינדוקציה על k () במקרה k אין מה להוכיח הוכחת המקרה 2 :k יהיו,V U U 2 כאשר U, U 2 אינוריאנטים, B, B 2 בסיסים של U, U 2 בהתאמה, B B B 2,v כיון ש B U ו U אינוריאנטי, T (v) U ולכן ניתן להציגו כצירוף לינארי של אברי B לכן, ( לכל B ) [T v]b [T v] B [T u] B u B מתקיים בדומה, לכל u] 2 [T B2 יהיו d B {v,, v r, B 2 {u,, u אזי [T ] B ([T v ] B,, [T v r ] B, [T u ] B,, [T u d ] B ) ( [T v ] B [T v r ],, B,,, [T u ] B2 [T u d ] B2 [T ]B O O [T ] B2 ) כעת נניח את נכונות הטענה () עבור פחות מ k מחוברים, ונוכיחה עבור k מחוברים מהנתון, V (U U 2 U k ) U k סכום ישר של שני תת מרחבים אינטריאנטים, ו B (B B k ) B k 2

איחוד זר של בסיסים של שני מרחבים אלה מהמקרה 2 k, נקבל ש [T [T ] B ]B B k O O [T ] Bk [T ] B B k [T ] B O O O [T ] B2 O מהנחת האינדוקציה עבור k, O O [T ] Bk [T ] B [T ] B O O O O [T ] B2 O O O [T ] Bk O O O [T ] Bk ולכן (2) גם כאן המקרה k טריויאלי, והטענה נובעת באינדוקציה מהמקרה 2 k נוכיח איפוא מקרה זה A F r r, A 2 F d d A O יהי d B {v,, v r, u,, u נסמן,[T ] B נניח תהי O A 2 B {v,, v r, B 2 {u,, u d ו (i, 2) U i span B i A O ([T v ] B,, [T v r ] B, [T u ] B,, [T u d ] B ) [T ] B O A 2 A e A e r,,,,, A 2 e A 2 e d A e i U span ולכן שייך ל B (בלבד), v,, v r צירוף לינארי של T v i ובפרט [T v i ] B לכן, לכל,i,, r לכן,,T [U ] span T [B ] U כלומר U הוא אינוריאנטי יתר על כן, כיון ש T v i צירוף לינארי של v,, v r בלבד,,A e i [T v i ] B ולכן [T v i ] B [T ] B ( [T v ] B,, [T v r ] B ) (A e,, A e r ) A,A ונתבונן באופרטור L A : R 3 R 3 של כפל משמאל ב L A (v) : Av,A בדיקה ישירה U span u :, u 2 : [L A ] [LA ] {u,u 2 O {u,u 2,w O [L A ] {w 2 [T ] B2 באותו אופן (בדוק!), U 2 אינוריאנטי ומתקיים A 2, W span w : 2 2 7 3 6 4 2 3 דוגמא תהי מראה שהתת מרחבים הם אינוריאנטים ושסכומם ישר לכן, [T ] B A O O O A 2 O מסקנה 25 אם O O A k 3

אלכסונית בלוקים, אז לכל σ, S k יש בסיס B (המתקבל מ B על ידי שינוי סדר איבריו), כך ש A σ() O O [T ] B O A σ(2) O O O A σ(k) הוכחה: מהחלק השני של הלמה הקודמת, יש פירוק של B לאיחוד זר, B B B 2 B k כך שלכל,i,, k B B σ() B σ(2) B σ(k) בצורה אחרת: B נסדר את אברי [T ] Bi התת מרחב U i span B i הוא אינוריאנטי, ו A i מהחלק הראשון של הלמה, [T ] Bσ() O O A σ() O O O [T ] Bσ(2) O A σ(2) [T ] B O O O [T ] Bσ(k) O O O A σ(k) A O O O A 2 O מסקנה 26 תהי O O A k מטריצה אלכסונית בלוקים לכל σ, S k מטריצה זו דומה למטריצה A σ() O O O A σ(2) O O O A σ(k) כלומר, החלפת סדר הבלוקים באלכסון נותנת מטריצה דומה הוכחה: כל מטריצה היא הצגה של אופרטור לכן אפשר להשתמש במסקנה הקודמת למה 27 יהיו T : V V אופרטור ו V U U 2 U k פירוק לסכום ישר של מרחבים אינוריאנטים אזי: ker T ker T U ker T U2 ker T Uk im T im T U im T U2 im T Uk 3 מרחבים עצמיים מוכללים הגדרה 3 יהי n dim V לכל ערך עצמי λ של T, נגדיר את המרחב העצמי המוכלל { K λ K λ (T ) ker(t λi) n v V : (T λi) n v הגדרה 32 קבוצה (לאו דווקא פורשת) מהצורה v,e { T m v,, T 2 v, T v, כאשר v T m ו v,t m תיקרא מסלול מאורך m 4

אפשר לחשוב על T m,v, T 2,v T,v v כמסלול שמתחיל ב v, ובכל פעם מתקדם ל T של מה שהיה קודם, ועוצר בדיוק לפני שמגיעים ל מכאן השם "מסלול" למה 33 כל מסלול הוא קבוצה בת"ל הוכחה: נניח ש v α v + α T v + + α m T m נפעיל m T על שני האגפים, לקבל T m T m ( α v + α T v + + α m T m v ) α T m v + α T m v + α 2 T m+ v + + α m T 2m 2 v α T m v + + + + α T m v ולכן α לכן, v α T v + + α m T m v α v + α T v + + α m T m נפעיל איפוא m 2 T על שני האגפים, לקבל T m 2 T m 2 ( α T v + + α m T m v ) α T m v + α 2 T m v + + α m T 2m 3 v α T m v + + + α T m v ולכן α לכן, v α 2 T 2 v + + α m T m v α T v + α 2 T 2 v + + α m T m אם נפעיל כעת m 3 T על שני האגפים, נקבל ש 2 α, וכו' לכן, כל המקדמים הם K λ למה 34 בסימונים הנ"ל: { v V : k, (T λi) k v V λ K λ 2 (p(x) F[x] לכל p(t ) אינוריאנטי תחת (ולכן T אינוריאנטי תחת K λ 3 הוכחה: () ההכלה ( ) מיידית (ניקח (k n נוכיח את ההכלה ( ) יהי k הטבעי הקטן ביותר כך ש v T) λi) k אזי הוקטורים (T λi) k v,, (T λi) v, v הם מסלול ולכן בת"ל לכן, n dim V k לכן, k n ונקבל (T λi) n v (T λi) n k (T λi) k v (T λi) n k V λ { (2) מ,() λ v V : (T λi) v K v K λ יהי T λi מתחלף עם כל חזקה של T לכן, T (T λi) T T λt (T λi)t :T λi מתחלף עם T (3) אז T (T λi) n T v T (T λi) n v לכן, גם T v K λ את העובדה שאם תת מרחב הוא אינוריאנטי תחת אופרטור T, אז הוא אינוריאנטי תחת ) p(t לכל פולינום,p(x) נשאיר כתרגיל לקורא למה 35 בסימונים הנ"ל: אם λ µ ו v K λ, אז (T µi) v K λ { 2 אם,λ µ אז µ K λ K 5

הוכחה: () כיון ש v K λ ו K λ אינוריאנטי תחת כל פולינום ב,T גם (T µi) v K λ נניח ש v (T µi) אז T v µv נזכור שבמקרה כזה, לכל F[x] p(x) מתקיים p(t )v p(µ)v בפרט, עבור p(x) (x λ) n נקבל v,(t λi) n v (µ λ) n בסתירה להנחה ש v K λ (2) נניח שיש v K λ K µ מ,() נקבל שכל הוקטורים הבאים שייכים ל K λ ושונים מ : v, (T µi) v, (T µi) 2 v,, (T µi) n v בפרט, v,(t µi) n בסתירה לכך ש v K µ למה 36 יהי λ ערך עצמי של אופרטור T : V V נסמן I λ im(t λi) n אזי: λ I אינוריאנטי V K λ I λ 2 הוכחה: () T מתחלף עם T λi (2) יהי v K λ I λ אזי v (T λi) n u ולכן (T λi) n v (T λi) 2n u ולכן (מהלמה הקודמת) u v (T λi) n ממשפט המימדים ומשפט הדרגה של העתקה לינארית, נקבל dim(k λ I λ ) dim K λ + dim I λ dim V למה 37 (הפולינום האופייני של אופרטור נילפוטנטי) יהי T : V V אופרטור נילפוטנטי אזי הפולינום האופייני של T הוא חזקה של x (כלומר,,p T (x) x n כאשר (n dim V בפרט, הוא הערך העצמי היחיד של T הוכחה:,T n O לכן m T (x) x n כיון שכל גורם אי פריק של (x) p T מופיע ב (x) m T ומעלת (x) p T היא p T (x) x n,n למה 38 יהי λ ערך עצמי של,T ונסמן T T Kλ אזי,p T (x) (x λ) m כאשר m dim K λ הוכחה: T λi : K λ K λ מקיים,(T λi) n O לכן נילפוטנטי מהלמה על הפולינום האופייני של אופרטור נילפוטנטי,(37) x m p T λi(x) xi (T λi) (x + λ)i T p T (x + λ) ואם נציב y x + λ נקבל p T (y) (y λ) m למה dim K λ 39 שווה לריבוי האלגברי של λ הוכחה: ניקח בסיסים,B C עבור K λ, I λ בהתאמה מלמת ההצגה האלכסונית בלוקים (24), [T ]B O, [T ] B C O [T ] C ולכן (x) p T (x) p T Kλ (x) p T Iλ p T Kλ (x) (x λ) dim K λ מהלמה הקודמת, { מצד שני, λ אינו ערך עצמי של T Iλ (כי V λ K λ ו λ,(k λ I ולכן x λ אינו גורם ב (x) p T Iλ כיון שכאמור, (x) x λ,p T (x) p T Kλ (x) p T Iλ מופיע dim K λ פעמים ב (x),p T וזהו הריבוי האלגברי של λ משפט 3 (פירוק למרחבים עצמיים מוכללים) נניח שהפולינום האופייני של T מתפרק לגורמים לינאריים מעל F λ,, λ k הערכים העצמיים השונים של T אזי יהיו V K λ K λk פירוק של V לסכום ישר של תת מרחבים אינוריאנטים 6

הוכחה: א באינדוקציה על,i,, k נראה שהסכום K λ + + K λi הוא ישר: עבור i אין מה להוכיח המקרה 2 i הוכח לעיל (למה (35 נניח איפוא שהסכום עד i הוא ישר, ונוכיח עבור + :i יהי i+ v (K λ + + K λi ) K נציגו v v + + v i כאשר כל v j K λj נפעיל,(T λ i+ I) n לקבל (T λ i+ I) n v (T λ i+ I) n v + + (T λ i+ I) n v i כיון שכל K λi אינוריאנטי תחת T λ i+ I (למה,(34 זו הצגה של כאיבר של K λ + + K λi מהנחת האינדוקציה סכום זה ישר, ולכן ההצגה יחידה, ולכן היא בעצם + +, כלומר (T λ i+ I) n v (T λ i+ I) n v i לכן,,v K λi+ K λ ולכן v מאותה סיבה, גם i,v 2 v ולכן v ב כיון שהסכום K λ + + K λk ישר,,dim (K λ + + K λk ) dim K λ + + dim K λk ששווה לסכום הריבויים האלגבריים של הערכים העצמיים של T (למה 39) כיון שהפולינום האופייני של T מתפרק לגורמים לינאריים, סכום זה שווה למימד של,V ולכן V K λ + + K λk 4 מבוא למשפט ג'ורדן משפט 4 (משפט ג'ורדן) תהי A F n n מטריצה שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים שכל בלוקיה הם בלוקי ג'ורדן (λ) J: m J m (λ ) O O O J m2 (λ 2 ) O O O J mk (λ k ) ) k λ,, λ אינם בהכרח שונים) 2 יהי T : V V אופרטור כך שהפולינום האופייני של T מתפרק לגורמים לינאריים אזי T ניתן להצגה כמטריצה כנ"ל יתר על כן, הצגות המטריצה או האופרטור בעזרת בלוקי ג'ורדן כנ"ל הן יחידות, עד כדי שינוי סדר הבלוקים הגדרה 42 הצגה של מטריצה/אופרטור בעזרת בלוקי ג'ורדן כנ"ל תיקרא צורת ג'ורדן של המטריצה/אופרטור הערה 43 משפטים רבים בקורס נובעים מיידית ממשפט ג'ורדן למשל: כל מטריצה שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינארים ניתנת לשילוש 2 משפט קיילי המילטון (כאשר הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים דבר שאפשר להבטיח על ידי הרחבת שדות, שתלמדו בקורס אחר) 3 הפולינום המינימלי מחלק את האופייני והאופייני מחלק חזקת המינימלי (כאשר הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים) בהוכחת משפט ג'ורדן, נשתמש בחלק ממשפטים אלה לכן, אין לראות בזה הוכחה חדשה של המשפטים הקודמים, אלא יותר המחשה כמה משפט ג'ורדן מסכם יפה דברים רבים שלמדנו, ותורם להבנת המבנה של מטריצות ותכונותיהן מסקנה 26 מסבירה מדוע היחידות של צורת ג'ורדן היא רק עד כדי סדר הבלוקים נקודת המוצא להוכחת משפט ג'ורדן היא משפט הפירוק למרחבים עצמיים מוכללים (3):,K λ,, K λk בהתאמה יהיו λ, λ 2,, λ k הערכים העצמיים השונים של T V K λ K λk יהיו B,, B k בסיסים של כיון שכל K λ אינוריאנטי (למה 34), נקבל מלמת ההצגה האלכסונית בלוקים ש [T ] B O O [T ] B O [T ] B2 O O O [T ] Bk יהי i,, k מהגדרת מרחב עצמי מוכלל, (T λ i I) n מתאפס על K λi לכן, אם נגדיר,N i : T λ i I נקבל ש: 7

K λi אופרטור נילפוטנטי על N i [T ] Bi [N i ] Bi + λ i I כלומר,[N i ] Bi [T λ i I] Bi [T ] Bi λ i I 2 לכן, נרצה להבין איך אפשר להציג אופרטור נילפוטנטי את זאת נעשה כעת 5 משפט ג'ורדן הנילפוטנטי בסעיף זה, נוכיח שלכל אופרטור נילפוטנטי יש צורת ג'ורדן אם בלוק (λ) J m מופיע בצורת ג'ורדן של אופרטור, אז λ מופיע בין אברי האלכסון של צורת ג'ורדן זו, וכיון שמטריצה זו משולשית עליונה, λ ערך עצמי שלה, ולכן גם של האופרטור לכן, אם יש לאופרטור נילפוטנטי צורת ג'ורדן, אז כל הבלוקים בצורה הזו הם מהסוג () m J לסיכום: המטרה שלנו היא להוכיח שלכל אופרטור נילפוטנטי יש הצגה אלכסונית בלוקים, עם בלוקים מהסוג J m () ממשפטון ההצגה האלכסונית בלוקים, מה ששקול לעשות זה למצוא בסיס מהצורה B, E E k כך שכל E i פורש [T ] E J m () ראשית נבדוק מתי קורה ש (m i #E i (עבור [T ] Ei תת מרחב אינוריאנטי, ולכל J mi (),i T n v כאשר,E { T n v,, T 2 v, T v, v [T ] E למה 5 יהיו T : V V אופרטור, E בסיס של J n () V הוכחה: ( ) יהי n E {v,, v מהנתון, ([T v ] E, [T v 2 ] E,, [T v n ] E ) [T ] E J n (), e,, e n [T v ] E ולכן T v נסמן v v n אזי,[T v i ] E ולכן i T v i v כמו כן, e i [v i ] E לכל < i, v n T v n T v, v n 2 T v n T 2 v,, v T v 2 T n v וכן T v T n v ( ) מהנתון, [T ] E ([ T (T n v) ], [ T (T n 2 v) ],, [T (v)] E E E) ( [T n v] E, [ T n v ],, [T v] ) E E, e,, e n J n () T [span {v,, v k ] span {T v,, T v k span (T [{v,, v k ]) תזכורת: לכל :v,, v k V בפרט, ] k T [span {v,, v תת מרחב של V למה 52 אם E מסלול, אז תת המרחב span E הוא אינוריאנטי הוכחה: תהי v E { T m v,, T 2 v, T v, בת"ל, כאשר v T m לכל T (T i v),(i,, m 2) T i v E T [span E] span(t [E]) לכן, T (T m v) T m v span E,i m גם עבור T i+ v E span E span E [T ] E מוגדר [T span E ] E לכן, לכל מסלול T span E : span E span E,E אופרטור, ו T ]אם ] E ורק אם E מסלול מסקנה () 53 m J הגדרה 54 בסיס שההצגה של T לפיו היא צורת ג'ורדן ייקרא בסיס מג'רדן של T מסקנה 55 (המבנה של בסיס מג'רדן) יהי T אופרטור נילפוטנטי [T ] B הוא בצורת ג'ורדן (כלומר, B הוא בסיס מג'רדן של B E E k (T איחוד של מסלולים זרים m שאורכם B ב E i שווה למספר המסלולים [T ] B יתר על כן: לכל m, מספר הבלוקים () m J ב בפרט, צורת ג'ורדן נקבעת באופן יחיד על ידי מספרי המסלולים ב B מכל אורך 8

בסיס מג'רדן נראה, איפוא, כך: יש וקטורים v,, v rk V כך שהוקטורים T k v,, T k v r {{, T k 2 v r+,, T k 2 v r2 {{,, T v rk 2 +,, T v rk {{, v rk +,, v rk {{ שייכים כולם ל,ker T וכך שהבסיס הוא איחוד המסלולים שמסתיימים בהם v v r T v T v r v r+ v r2 T k v {{ T k v r T k 2 v r+ {{ T k 2 v r2 v rk 2 + v rk T v rk 2 + {{ T v rk v rk + {{ v rk (בסידרה זו יש r + r 2 + + r k וקטורים) יהי B בסיס כזה אם נסמן,r אז: B { T i v j : d,, k : j r d +,, r d ; i,, k d נסדר את B כך שקודם קוראים את העמודה הראשונה משמאל אחריה את העמודה השניה משמאל, וכן הלאה, כאשר כל עמודה נקראת מלמטה למעלה אזי T] ] B היא אלכסונית בלוקים, עם בלוקי ג'ורדן מהצורה () m J נשתמש בסימון הבא: עבור מטריצה ריבועית A ומספר טבעי r, A O O, r A O A O O O A כאשר הבלוק A מופיע באלכסון r פעמים אזי [T ] B r J k () O O O (r 2 r ) J k () O O O (r k r k ) J () משפט 56 (משפט ג'ורדן הנילפוטנטי - קיום) יהי T : V V אופרטור נילפוטנטי מסדר k אזי יש בסיס מג'רדן של T (ולכן יש ל T צורת ג'ורדן) הוכחה: נשים לב ש,im T k ker T ולכן im T k ker T im T k 2 ker T im T k 3 ker T im T ker T ניקח בסיס T k v,, T k v r של k im T נשלים אותו לבסיס של k 2,ker T im T על ידי הוספת וקטורים T k 2 v r+,, T k 2 v r2 נשלים את מה שהתקבל לבסיס של k 3,ker T im T על ידי הוספת וקטורים T k 3 v r2+,, T k 3 v r3 נמשיך באותו אופן, עד שנקבל בסיס T k v,, T k v r, T k 2 v r+,, T k 2 v r2,, T v rk 2 +,, T v rk, v rk +,, v rk {{{{{{{{ 2 k k של ker T נוכיח שאיחוד המסלולים B v v r T v T v r T v T k v r {{ v r+ v r2 T k 2 v r+ {{ T k 2 v r2 2 v rk 2 + v rk T v rk 2 + {{ T v rk k v rk + v rk {{ k 9

k i r d i d jr d + α ij T i d v j מהווה בסיס של V אי תלות לינארית: נבחן צירוף לינארי כללי שמתאפס: נפעיל את k T על שני האגפים כמעט כל הוקטורים יתאפסו (כיון שהוקטורים בשורה התחתונה של מטריצת הוקטורים הנ"ל כולם ב,(ker T ונקבל α T k v + + α r T k v r r j α j T k v j כיון ש T k v T k v r בת"ל (אברי השורה האחרונה במטריצת הוקטורים הם בסיס של α α 2,(ker T r α, כלומר מקדמי השורה הראשונה מתאפסים לכן, k i r d i2 d jr d + α ij T i d v j k i r d i d jr d + α ij T i d v j כעת, נפעיל את 2 k T על אגף שמאל כמעט כל הוקטורים יתאפסו, ונקבל α 2 T k v + + α 2r T k v r + α 2,r+T k 2 v r+ + + α 2r2 T k 2 v r2 2 r d d jr d + α 2j T k d v j וכיון שזה צירוף לינארי של וקטורים בת"ל, נקבל ש 2r2 α, 2 α כלומר מקדמי השורה השניה מתאפסים נמשיך באותו אופן, להראות שלכל i,,, k מקדמי שורה i הם, כלומר כל המקדמים הם פרישה: לכל k,m,, הבסיס שבחרנו עבור ker T im T m מוכל ב [B] T m (התבונן ב (B ובפרט ב B],T m [span שהוא תת מרחב לכן, ker T im T m T m [span B] יהי v V אז B] T k v im T k T k [span טענה: לכל k,m,, אם B],T m v T m [span אז B] T m v T m [span T (T m v T m u) T m v T m u הוכחת הטענה: יהי u span B כך ש,T m v T m u אז כיון ש B],T m u T m [span גם v T m T m v T m u ker T im T m לכן B] T m [span T m [span B] לכן, כיון ש[ B,T k v T k [span נקבל ש B],T k 2 v T k 2 [span ומזה נקבל ש B],T k 3 v T k 3 [span וכו', ולבסוף נקבל ש v T v T [span B] span B למה 57 יהי v E { T m v,, T 2 v, T v, מסלול מאורך,m ונסמן T : T span E,V : span E אזי ( ) dim ker T im T j { j m j < m { { im T j (כיון ש (V span E בפרט, T j [V ] [E] T j (כיון ש v,(t m ולכן הוכחה: יהי m j אז ( dim ker T im T j ) יהי j < m כיון ש T v, T 2 v, T m v im T והם בת"ל, m dim im T לכן, dim ker T + (m ) dim ker T + dim im T dim V m ) T m v ker T im T j, לכן המימד הוא גם לכן,,dim ker T ובפרט dim T im T j מצד שני, (ker

משפט 58 (משפט ג'ורדן הנילפוטנטי - יחידות) יהי T : V V אופרטור נילפוטנטי מסדר k, ויהי B בסיס מג'רדן של T אזי T]) ] B נקבע באופן יחיד על ידי T בפירוט: מספר המסלולים מכל אורך ב B (ולכן גם מספר הבלוקים מכל גודל ב המסלול הארוך ביותר ב B הוא מאורך k 2 לכל,j,, k מספר המסלולים שאורכם גדול מ j הוא j) dim ( ker T im T (לכן מספר המסלולים מאורך j בדיוק הוא j) (dim ( ker T im T j ) dim ( ker T im T הוכחה: () נניח שכל המסלולים הם מאורך קטן מ k אז v T k לכל,v B ולכן לכל,v V כלומר,T k O בסתירה לנתון מצד שני, כיון ש T, k O אין מסלול באורך + k או יותר (אחרת, וקטור האפס היה שייך למסלול, בסתירה להגדרת מסלול) (2) יהיו E,, E r המסלולים ב,B ונסמן T i T Vi,V i span E i כיון ש V V V r פירוק לסכום ישר של תת מרחבים אינוריאנטים, לכל j מתקיים im T j im T j im T r j ker T ker T ker T r ( ker T im T j ker T im T j dim ( ker T im T j) ( dim ker T im T j ) ( ker T r im Tr j ) ) + + dim ( ker T r im Tr j ) לכן, ולכן מהלמה הקודמת, המחוברים בסכום מימין הם כאשר אורך המסלול קטן או שווה ל j, ואחרת לכן, סכומם שווה למספר המסלולים שאורכם גדול מ j אופרטור נילפוטנטי הוא דוגמא למטריצה עם ערך עצמי יחיד משפט 59 (משפט ג'ורדן עבור אופרטור עם ערך עצמי אחד) יהי T : V V כך שהפולינום האופייני של T הוא חזקה של x λ (במלים אחרות, (x) p T מתפרק לגורמים לינארים, ויש ל T ערך עצמי יחיד λ) אזי יש ל T הצגה אלכסונית בלוקים, עם בלוקי ג'ורדן (λ) J m הצגה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים הוכחה: קיום: האופרטור T λi הוא נילפוטנטי:,(T λi) n p T (T ) O ממשפט קיילי המילטון ממשפט ג'ורדן הנילפוטנטי (56), יש בסיס B של V כך ש J m () O O [T λi] B O J m2 () O O O J mk (),[T λi] B [T ] B כיון ש λi [T ] B J m () O O O J m2 () O O O J mk () + λi J m (λ) O O O J m2 (λ) O O O J mk (λ) T] ] B היתה הצגה אחרת כזו, אז היינו מקבלים הצגה אחרת לאופרטור הנילפוטנטי T, λi בסתירה ליחידות יחידות: אילו ל במשפט ג'ורדן הנילפוטנטי (58)

6 משפט ג'ורדן הכללי משפט 6 (משפט ג'ורדן) יהי T : V V אופרטור כך שהפולינום האופייני של T מתפרק לגורמים לינאריים אזי T ניתן להצגה כמטריצה אלכסונית בלוקים עם בלוקי ג'ורדן יתר על כן, צורת ג'ורדן היא יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים הוכחה: קיום: יהיו λ, λ 2,, λ k הערכים העצמיים השונים של T ממשפט,3 λk V K λ K יהיו B,, B k בסיסים של,K λ,, K λk בהתאמה כיון שכל K λ אינוריאנטי (למה 34), נקבל מלמת ההצגה האלכסונית בלוקים ש T] ] Bi אלכסונית בלוקים שבאלכסונה מופיעים [T ] B O O [T ] B O [T ] B2 O O O [T ] Bk לכל,i,, k כבר ראינו שהפולינום האופייני של T Kλi הוא חזקה של x λ i ממשפט ג'ורדן עבור אופרטור עם ערך עצמי יחיד, אפשר לשנות את B i כך ש בלוקי ג'ורדן ) i J m (λ T] ] B אלכסונית בלוקים ובאלכסונה מופיעים בלוקי ג'ורדן יהי λ ערך עצמי של T נשנה את יחידות: יהי B בסיס של V כך ש סדר הבלוקים (על ידי שינוי סדר אברי הבסיס) כך שכל הבלוקים מהצורה (λ) J m מכונסים בחלק השמאלי העליון של המטריצה, ושאר הבלוקים הם כל אחד עם ערך עצמי שונה מ λ אז Aλ O, [T ] B O A כאשר A λ היא המטריצה האלכסונית בלוקים של כל הבלוקים מהצורה (λ) J, m ואילו A מכילה בלוקים מהצורה (µ) J m עם T ולכן נקבע באופן יחיד על ידי λ, הוא הריבוי האלגברי של A λ של k הגודל µ λ span {v,, v k כאשר,A λ [T ] {v,,v k מהמשפטון על הצגה אלכסונית בלוקים, אם נסמן n,b {v,, v אז אינוריאנטי לכן, Aהיא λ צורת ג'ורדן של האופרטור k T, span{v,,v והפולינום האופייני שלו הוא חזקה של x λ מהמשפט על יחידות צורת ג'ורדן של אופרטור עם ערך עצמי יחיד (59), מספר הבלוקים (λ) J m מכל גודל m ב A λ נקבע באופן יחיד על ידי T הערה 62 בהצגת ג'ורדן של T, לכל ערך עצמי λ של T: מספר הבלוקים (λ) J m הוא הריבוי הגאומטרי של λ 2 ה m הגדול ביותר כך ש (λ) J m מופיע בהצגת T הוא מעלת x λ ב (x) m T מהמשפטים הנ"ל מקבלים מיידית משפטים מתאימים עבור מטריצות ריבועיות A כאשר (x) p A מתפרק לגורמים לינארים: מפעילים את המשפטים על האופרטור של כפל משמאל במטריצה A מסקנה 63 מטריצות, שהפולינום האופייני שלהן מתפרק לגורמים לינאריים, הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ג'ורדן (עד כדי סדר הבלוקים) הוכחה: אם המטריצות דומות, אז הן הצגות של אותו אופרטור (אפשר גם להוכיח ישירות) אם הפולינום האופייני אינו מתפרק לגורמים לינאריים, אפשר לעבור לשדה יותר גדול שבו הפולינום מתפרק, ולבדוק שם דמיון בעזרת חישוב צורת ג'ורדן 7 תרגול ראשית, נסכם את תהליך מציאת הבסיס המג'רדן, "מלמעלה למטה" 2

7 ג'ירדון אופרטור יהי T : V V אופרטור נחשב את (x) p T אם (x) p T אינו מתפרק לגורמים לינאריים, אז אין ל T צורת ג'ורדן נניח איפוא ש (x) p T מתפרק לגורמים לינאריים V K λ K λ2 K λm לשימוש עתידי, נחשב את (x) m T יהיו λ,, λ m הערכים העצמיים השונים של T אז פירוק של V לסכום ישר של תת מרחבים אינוריאנטים תחת (כל פולינום ב) T יש למצוא, לכל,i,, m בסיס B i של K λi שמג'רדן את T Kλi לאחר שנעשה זאת, B B B m יהיה בסיס מג'רדן, ויתקיים [T ] B O O, [T ] B O [T ] B2 O O O [T ] Bm B i אופן מציאת הבסיס λ i יהיה מטריצה אלכסונית בלוקים, שבאלכסונה מופיעים בלוקי ג'ורדן עם ערך עצמי T] ] Bi כאשר כל T ולכן מהי צורת ג'ורדן של T], ] Bi גם יאמר לנו כמה בלוקי ג'ורדן מכל גודל יש ב יהי i נתון T i : T λ i I Kλi הוא נילפוטנטי סדר הנילפוטנטיות שלו, שנסמן כאן,k הוא חזקת ) i (x λ ב (x) m T הבסיס המג'רדן של T i מתקבל איפוא בשני שלבים: בונים בסיס של ker T i על ידי התחלה מבסיס לתת המרחב הקטן ביותר ברשימה הבאה, השלמתו לבסיס למרחב הבא בתור, וכו', עד להשלמה לבסיס למרחב כולו im T k i ker T i im T k 2 i ker T i im T k 3 i ker T i im T i ker T i v, T i v,, T j j+ 2 כל וקטור בבסיס זה הוא מהצורה T j i v כך ש v Ti משלימים כל וקטור כזה למסלול השלם i v אוסף כל המסלולים הוא הבסיס המג'רדן, וכל מסלול תורם בלוק ג'ורדן אחד, שגודלו שווה לאורך המסלול ker T i K λi ker (T λ i I) ker (T λ i I) V λi im T j i K λi im (T λ i I) j בשפה של T המקורי, לכל k :j,, ולכן שרשרת התת מרחבים הנ"ל היא למעשה ker T i im T j i V λi im (T λ i I) j V λi im (T λ i I) k V λi im (T λ i I) k 2 V λi im (T λ i I) k 3 V λi im (T λ i I) V λi והמסלולים שסוללים מכל וקטור בבסיס המתקבל נראים כך (T λ i I) j v,, (T λ i I) v, v מבחינה חישובית, גם במקרה של אופרטור נעבוד בפועל עם הצגה כלשהי שלו כמטריצה לכן נתרגם את הדיון הנ"ל לשפה של מטריצות 72 ג'ירדון מטריצה תהי A F n n מטריצה ריבועית נחשב את (x) p A אם (x) p A אינו מתפרק לגורמים לינאריים, אז אין ל A צורת ג'ורדן נניח איפוא ש (x) p A מתפרק לגורמים לינאריים לשימוש עתידי, נחשב את (x) m A יהיו λ,, λ m הערכים העצמיים השונים של A יהי i נתון יהי k חזקת ) i (x λ ב (x) m A נחשב בסיס B i של K λi בשני שלבים: 3

בונים בסיס של V λi על ידי התחלה מבסיס לתת המרחב הקטן ביותר ברשימה הבאה, השלמתו לבסיס למרחב הבא בתור, וכו', עד להשלמה לבסיס למרחב כולו V λi Col (A λ i I) k V λi Col (A λ i I) k 2 V λi Col (A λ i I) k 3 V λi Col (A λ i I) V λi למשל, למציאת בסיס של k V λi Col (A λ i I) אפשר: (א) לחשב את k (A λ i I) ולקחת בסיס u,, u r של מרחב העמודות שלה (ב) עבור משתנים,x,, x r נפתור את מערכת המשוואות ) r (A λ i I) (x u + + x r u וניקח בסיס למרחב הפתרונות 2 כל וקטור בבסיס זה הוא מהצורה (A λ i I) j v כך ש v (A λ i I) j+ משלימים כל וקטור כזה למסלול השלם (A λ i I) j v,, (A λ i I) v, v אוסף כל המסלולים הוא הבסיס המג'רדן, וכל מסלול תורם בלוק ג'ורדן אחד, שגודלו שווה לאורך המסלול המטריצה המג'רדנת P היא המטריצה שעמודותיה הן אברי כל המסלולים שסללנו לעיל, מסודרים כך שקודם כותבים את סוף המסלול, וממשיכים ימינה עד להתחלת המסלול (אם נעשה להיפך, הבלוקי ג'ורדן יצאו משוחלפים) אז P AP תהיה צורת ג'ורדן של A הערה: אם ל A יש ערך עצמי יחיד λ ו k הוא סדר הנילפוטנטיות של A, λi אז,Col(A λi) k V λ ולכן לא צריך לחתוך עם V λ בחישוב המרחב השמאלי ביותר (כך עשינו גם בהוכחת משפט ג'ורדן הנילפוטנטי) הערה 7 ישנן כל מיני שיטות להאצת התהליך, אבל מעט יותר קשה להוכיח את תקפותן כמו כן, חלק מהשיטות שתוכלו למצוא באינטרנט הן פשוט לא נכונות השתמשו בזהירות כעת נתרגל עם דוגמאות קונקרטיות כל הדוגמאות הן מעל R (ולא נציין זאת במפורש בהמשך) כמובן, אפשר לתת דוגמאות מעל כל שדה 73 דוגמאות עם ערך עצמי יחיד 73 מטריצות 3 3 בחרנו דוגמאות שבהן החישובים קצרים, כדי להמחיש את השיטה בצורה קצרה יותר 2 A דוגמה : נג'רדן את המטריצה 3 2) 3 (x p A (x) (x 2) ((x )(x 3) + ) (x 2)(x 2 4x + 4) מתפרק לגורמים לינאריים, לכן אפשר לג'רדן (A מספיק לחשב את שני האיברים הראשונים של השורה הראשונה של 2I) 2 (למעשה, (A 2I) 2 O כדי לראות זאת) לכן, 2) 3 (x m A (x) p A (x) 2, כלומר הבסיס המג'רדן של האופרטור A 2I הוא מסלול אחד באורך 3 2 לכן, צורת ג'ורדן של A היא 2 כעת נראה איך מוצאים מטריצה מג'רדנת P עבור A ל A יש רק הערך העצמי 2 2 2I) (A כבר חישבנו לעיל, וסדר הנילפוטנטיות הוא 3 יש למצוא 2I A ואת בסיס ל V 2 משמאל לימין, בסדרה Col (A 2I) 2 V 2 Col (A 2I) V 2 אבל אנו כבר יודעים שהבסיס יהיה מסלול אחד מאורך 3, כלומר יש למצוא וקטור אחד במרחב השמאלי, ואז המסלול שמסתיים בו הוא הבסיס מהתבוננות במטריצה 2I) 2 (A שחושבה לעיל, רואים ש{ Col(A 2I) 2 span {e 4

AP,P ואכן חישוב כעת, e (A 2I) 2 e 3 (כי זו העמודה השלישית של,(A 2I לכן המסלול הוא: { e (A 2I) 2 e 3, (A 2I)e 3, e 3,, 2 2 2 P חייב להתקיים נשים את הבסיס שקיבלנו בעמודות מטריצה: ישיר מראה זאת, והבסיס המג'רדן 2 2 2 דוגמא 2: נדגים בקצרה את שתי האפשרויות הנותרות עבור מטריצות 3 3 עם ערך עצמי יחיד: 2 A,p A (x) (x 2) 3 ו 2) 2 (x m A (x) לכן, צורת ג'ורדן היא 2 א 2 יכיל מסלול אחד מאורך 2 ומסלול אחד מאורך כלומר, בשרשרת Col (A 2I) V 2 המרחב השמאלי (שנותן מסלולים מאורך 2) יהיה ממימד, והמרחב הימני (שנותן מסלולים מאורך ) יוסיף מימד, כלומר יהיה ממימד 2 Col (A 2I) Col span {e 3 ו,e 3 (A 2I)e לכן המסלול שתורם מרחב זה הוא e 3, e,v 2 Null(A 2I) Null אז ניקח את e 2 את e 3 עלינו להשלים לבסיס עבור 3 span {e 2, e P (e 3, e, e 2 ) המטריצה המג'רדנת תהיה 2 J כיון ש J P AP עבור P מתאימה, 2 ב במקרה הנותר, 2 x m A (x) ולכן צורת ג'ורדן היא 2 הדוגמא היחידה היא 2 A P JP P (2I)P 2I 2 2 שהיא כבר בצורת ג'ורדן (וכל מטריצה הפיכה היא "מג'רדנת", למשל P) I אם נתעקש לעשות את תהליך הג'ירדון בכל זאת, נראה שעלינו למצוא בסיס ל V 2 בלבד, כי סדר הנילפוטנטיות של A 2I הוא כלומר, יש 3 וקטורים עצמיים שתורמים כל אחד מסלול מאורך תרגיל: צורת ג'ורדן של מטריצה 3 3 נקבעת באופן יחיד על ידי הפולינום האופייני והפולינום המינימלי שלה A p A (x) (x 2) 4, m A (x) (x 2) 2 לכן יש שתי אפשרויות לבסיס המג'רדן: שני 732 מטריצות 4 4 עם ערך עצמי יחיד 7 3 4 9 2 2 6 3 5 6 7 2 3 9 מסלולים מאורך 2, או מסלול אחד מאורך 2 ושני מסלולים מאורך מספר המסלולים מאורך 2 הוא המימד של (2I Col A) 9 3 Col (A 2I) span {(A 2I)e, (A 2I)e 2 span 2 6, 3 7 2 5

לכן יש שני מסלולים מאורך 2, ואלה נותנים לנו את המטריצה המג'רדנת: 9 3 P ((A 2I)e, e, (A 2I)e 2, e 2 ) 2 6 3 7 2 AP P (זה חייב להתקיים חישוב P במפורש רצוי רק לצרכי בדיקה שלא טעינו בחישוב) 2 2 2 2 2 2 2 2 ומתקיים תרגיל: ג'רדן את המטריצה 74 דוגמא עם יותר מערך עצמי אחד, כלומר יהיה 2 2 V 2 Col(A 2I) V 2 Col V 2 A m A(x) (x ) 2 (x 2) 2 p A (x) ולכן צורת ג'ורדן היא x y z : x, y, z R 2 2 מסלול אחד באורך 2 עבור כל אחד מהערכים העצמיים של A V 2 span {e, e 2, e 3 x y z R4 : עבור הערך העצמי 2, יש לחשב איפוא את x y z שימו לב! כאן לא יכלנו לוותר על החיתוך עם V, 2 כיון ש A 2I אינה נלפוטנטית (כי ל A יש עוד ערכים עצמיים חוץ מ 2) פתרון המערכת ההומוגנית הוא z y R,x כלשהו לכן, e 2 (A 2I)e 4 בסיס עבור המרחב, ותורם את המסלול e 2, e 4 V Col(A I) V Col V x y z V span {e, e 2, e 4 : x, y, z R x y z R3 : עבור הערך העצמי, יש לחשב את x y z פתרון המערכת ההומוגנית הוא z x R,y כלשהו לכן, e (A I)e 3 בסיס עבור המרחב, ותורם את המסלול e, e 3 P AP 2 2 לכן, המטריצה ) 3 P (e 2, e 4, e, e מקיימת 6

, A,p A(x) (x )(x + ) 3 m A (x) ולכן צורת ג'ורדן היא 75 דוגמא לסיום 3 2 כלומר יהיה לנו מסלול אחד מאורך 3 עבור הערך העצמי, ומסלול אחד מאורך (כלומר, וקטור עצמי) עבור הערך העצמי V Col(A + I) 2 V Col 5 4 4 x v וצריך לקיים I)v (A + נחשב: 3 2 2 x + 5y 4y 4y 8y 8y 8y + y :λ וקטור בחיתוך 5 4 4 הוא מהצורה y ו R x כלשהו ניקח,x כלומר v e (A + I) 2 e 3 המסלול הוא,e, (A + I)e 3, e 3 שהוא לכן דרוש,, v :λ נפתור את המשוואה I)v (A למצוא וקטור עצמי P ונקבל ש P AP היא בצורת ג'ורדן ש"ניבאנו" לעיל ניקח איפוא די פשוט, אחרי הכל 7