4 فصل : 9 سیستم مدار بسته خطی : عنصر اندازه گیری مثل ترموکوپل - Set point + فرآیند عنصرکنترل نهایی کنترل کننده load بار i proce خطوط انتقال مقدار مطلوب m عنصر اندازه گیری مقدار مقرر تعریف : et point عبارت است از مقدار مطلوب متغیر تحت کنترل و هدف از مدار کنترل رساندن متغیر کنترل شونده به مقدار مطلوب آن است. رساندن به تعریف : Load عبارت است از تغییر در هر متغیری که بتواند متغیر کنترل شونده را تحت تأثیر قرار دهد. Load i است. مثل w و تعریف اصل پس خور : استفاده از خود متغیر تحت کنترل در اینجا یا دما برای کنترل کردن متغیر تحت کنترل را اصل پس خور گویند که بهترین روش کنترل می باشد. پس خور به دو نوع مثبت و منفی می باشد : پس خور منفی : در سیستم پس خور منفی از اختالف بین et point و متغیر اندازه گیری شده q q k c m برای کنترل فرآیند استفاده می شود یعنی : i, m,, q, m برای پس خور مثبت i, m,, q,
4 مسئله Servo مسئله egulator اگر در سیستم کنترل بارها Load ثابت باشند و et point تغییر کند یعنی مقدار مطلوب ما مطابق یک برنامه زمانی تغییر کند سیستم کنترل از نوع ervo است. مثال تانک ذخیره همزن ervo است. i دار است. w, ثابت و دمای مطلوب تغییر می کند مسئله در et point egulator ثابت است و بارها loadها تغییر میی کنید. بیرای مثیال در ایین i,w ثابت اما سیستم می تواند تغییر کند. این نوع سیسیتم را از نیوع تنمییم کننیده ییا egulator می نامند. دو مسئله عکس هم دیگرند. i k c wc wc m m ervo G egulator i G اگر بگوید بصورت پله ای یا ایمپالس t 5u 5 S t t?
4 خطا در فصل فرآیند عنصر کنترل نهایی کنترل کننده = مقدار مطلوبpoint Set ی مقدار اندازه گیری شده et point مقدار اندازه گیری شده *هر واحدی می تواند داشته باشد به شرطی که et point و مقدار اندازه گیری شده بعدشان یکی باشد. خطا وارد کنترل کننده می شود. کنترل کننده خطا را دریافت می کند و متناسب با این خطا و نوع خطا کننده فرمان نهایی را به عنصر کنترل نهایی می دهد. می تواند بصورت فشار ولتاژ آمپر و... باشد. در صنایع فرآیندی بیشتر عنصر کنترل یک شیر کنترل است. valve control که اگر این شیرکنترل از نوع بادی یا نیوماتیک باشد فرمان صادره از کنترل کننده بصورت فشار هوا می باشد. در مورد عنصر کنترل نهایی که فرمانی که از عنصر کنترل کننده به عنصر نهایی می دهد که عنصر نهایی هم می تواند یک شیر یا valve باشد که این شیر کنترل از نوع بادی است. شیر کنترل بادی از یک دیافراگم که از ورقه فلزی نازکی به قابلیت ارتجاعی و ییک میلیه کیه بیه انتهای آن یک مخروط ناقص متصل شده و به آن پیستون و plag می گویند و یک فلیز تشیکیل شده است. اگر فشار زیاد شود یک نیرو بر دیافراگم اعمال می کند و میله شیر و در نتیجه پیستون به سمت پایین حرکت می کند و شیر را می بندد بنابراین شدت جریان Q کاهش پیدا می کند. رابطه بین P و Q است. چنان چه رابطه بین P و Q خطی باشد شیر را خطی گویند. این شیر که با افزایش فشار می بندد از نوع بسته شدن با هوا یا air to cloe می نامند. چنان چیه مخلیوط ناقص به میله شیر متصل شود شیر را از نوع باز شدن با هوا air to open می نامند. شکل را از کتاب بنویسیم. شکل -
4 pig نسبی است. یعنی در pig کامال باز یا کامال بسته اند و در شیرهای صنعتی بین تا 5 pig کامال بسته یا باز می شوند. هوای تغذیه برای سیستم های کنترل شده معموال 5pig است. تابع انتقال عنصر کنترل نهایی یا همان شیر کنترل : P عنصر کنترل نهایی Q Q P هر شیر کنترل دارای تاخیر دینامیکی یا کندی انتقال است. یعنی تغییرات فشار روی دیافراگم آن فورا به تغییرات برای Q منجر نمی شود. چون ثابت زمانی این شیرها کوچک است. Q v P v = بهره یا حساسیت شیر کنترل کننده ا ست. v = ثابت زمانی شیر کنترل v : تغییرات دبی بین دو حالت teady v تعریف به تغییرات فشار بین آن دو حالت است. شیوه های عمل کنترل : در کنترل کننده ها از شیرهای کنترل تناسبیP انتگرالی مشتقیD استفاده می شود.
4 فصل P کنترل کننده تناسبی P Proportional : ε کنترل کننده تناسبی c p p = p + c ε اگر این کنترل کننده نیوماتیک یا بادی باشد سیگنال خروجی فشار خواهد بود. در کنترل کننده های الکترونیکی سیگنال خروجی ولتاژ خواهد بود. p فشار در حالت teady یعنی وقتی که = c است. ε حساسیت یا بهره..teady به تغییرات خطا در حالت teady عبارت است از تغییرات فشار بین دو حالت : c c = صفر تغییرات فشار ییییییییییییی تغییرات ε p = p + c ε p p = c ε ε P = c ε P = c ε P ییییی ε c = ییییی Δ p Δ ε = c دامنه تناسبی یا P.B : Proportional Band در صنعت بجای c از P.B استفاده می کنند. عبارت است از درصد خطای الزم برای اینکه عنصر کنترل نهایی بر روی تمام محدوده خود حرکت کند به عنوان مثال شیر کنترل از حالت کامال باز به حالت بسته و یا از حالت کامال بسته به حالت کامال باز تبیدیل شیود. دامنیه تناسیبی بصیورت درصدی از کل محدوده متغیر اندازه گیری شونده بیان می شود.
4 کنترل کننده قطع و وصل on-off : هر وقت حساسیت کنترل کننده بسیار زیاد باشد کنترل کننده قطع و وصلی میی گوینید. مثیل ترموستات شیر آب منزل یا تهویه دامنه تناسبی برابر با صفر است. کنترل کننده تناسبی انتگرالی P : ε P p = p + c ε + c ییییی τ : τ ثابت زمانی کنترل کننده انتگرالی p p c t c dt c P c t dt P = c ε [+ یییی τ ] P ییییی ε = c [+ ییییی τ ] ε PD کنترل کننده تناسبی مشتقی PD : p = p + c ε + c τ D d ε ییییی d t p p = c ε ε + c τ D d ε - ε یییییییییی d t P = c ε + c τ D P d ε ییییی d t الپالس = c + τ D ییییی ε P = c ε + τ D
44 کنترل کننده تناسبی انتگرالی مشتقی : PD ε P PD =ییییی c [+ ییییی ε τ [S + τ D سه تا را با هم جمع می کنیم + - B -B+ + + -B+ - + + - B B دالیل افزودن شیوه های مختلف انتگرالی و مشتقی به کنترل کننده تناسبی : فرض می کنیم در یک مدار کنترل ورودی بصورت پله ای افزایش یابد. چنان چه را بطه ی کنترل کننده قطع باشد = c متغیر تحت کنترل افزایش می یابد و به مقدار teady جدییدی میی چنان چه رسد. c یا > c از افزایش متغیر تحت کنترل جلوگیری می کند. اگر کنتیرل کننده فقط تناسبی باشد متغیر تحت کنترل احتماال با نوسان همراه خواهد بیود و در نهاییت بیه مقدار teady جدیدی می رسد که به مقدار مطلوب نزدیک است. اما این کنترل کننده تناسبی قادر نیست متغیر تحت کنترل را به مقدار مطلیوب خیود برسیاند و همیشه با یک خطا خواهد بود که به آن offet یا افت کنترل یا خطای ماندگار می گویند.
444 اگر انتگرالی استفاده شود P پاسخ دارای نوسان بیشتر over hoot بزرگتر ولی در هر حال بعد از چند نوسان به مقدار مطلوب می رسد. اگر مشتقی به همراه تناسبی انتگرالی استفاده کنیم PD نوسان را کاهش می دهد. پاسخ زودتر PD به مقدار مطلوب می رسد. اضافه کردن مشتقی به تناسبی باعث می شود که از نوسانات جلوگیری شود اما در هر صورت دارای offet خواهد بود. دو نوع کنترل کننده,PD P دارای خطای ماندگار هستند. فصل فصل : Forward path عالئم استاندارد مدار بسته : پیش رو + ε + M پیش رو G c G G B - D یا U Feedback path پس خور H عناصر داخل هر جعبه توابع انتقال و بقیه عوامل متغیرها هستند. et point مقدار مطلوب : متغیر تحت کنترل متغیر اندازه گیری شده : :B D یاU : load یا بار آشفتگی یا اغتشاش error. : خطا B ε = ε یا e یا E متغیرها بصورت سیگنال در مدار چرخش می کنند. توابع انتقال : : فرآیند G : کنترل کننده G c
44 : H عنصر اندازه گیری : کنترل نهایی G تابع انتقال کلی مدار بسته : تابع انتقالی که بتواند را به یا را به u ارتباط دهد تابع انتقال کلی مدار بسته نامیده میشود. load نداریم. در مسئله u =, ervo است یعنی تغییر در load است. در مسئله =, egulator است یعنی تغییر در - تابع انتقال کلی مدار بسته برای مسئله :ervo _ G c G G B H در مسیر Forward یا Feed back اگر بین جعبه ها block ها جمع کننده نداشته باشیم می توان توابع انتقال را در هم ضرب کرد و بجایش یک block قرار داد. + - ε G G = G c G G B H X G Y G B Z Y یییییی X Z یییییی Y = G = G B Y یییییی X Z = G Y ییییی.G B Z یییییی X = G G B X G. G B Z
44 ε G - G = G c G G B H یییییییی =? خودش متغیر است = G ε ε = B B = H = G-B = G -GH + GH = G +GH = G G ییییییییییییییی + GH G یییییییییییییی ییییییییییییییی= + GH - تابع انتقال کلی مدار بسته برای مسئله :egulator D یا U + M+U G c G G = ε M + - B H ε = - B, M= ε G G, =M+UG ε = - B = - H = G M + G U = G [G c G ε] + G U = G [G c G - H] + G U ییییییییییییییی یییییییییییی U = + GH G = GH + معادله مشخصه مدار بسته
44 بنابراین پاسخ سیستم مدار بسته عالوه بر اینکه بر و u بستگی دارد به ریشه های = GH + = u = = u = = + u G G ییییییییییییییی + GH + = u ییییییییییییییی + GH Super poition بستگی دارد. Y ییییی X = F ± L Y و X حاصلضرب توابع انتقال مدار بسته در مسیر پیش رو بین : F : L حاصلضرب توابع انتقال مدار بسته مثبت : پس خور منفی منفی: پس خور مثبت یییییی = F + L F G G c G G L G c G G H مثال : u u + - ε G G c + + G G B B H H H * H = H G یییییییییییییی ییییییی = + GH یییییی u = G G ییییییییییییییی + GH G c G G G = G B ییییییییییی G H ییییییییییییییییییییییییییییییی = u + G H B ییییییی u = G G H یییییییییییییییییییی + GH
44 مثال : u u + - ε G c G c G - + G + G H B H الف + - ε G c ب H + ج تقلیل نخستین ج نمودار تک جعبه ای نهائی شکل 4 تقلیل نمودار جعبه ای الف نمودار اصلی ب Gc G c G GG G G H G G G G G c c c H
44 اگر مدارها با یکدیگر تداخل داشته باشند ابتدا باید سعی کنیم که یک مدار در داخل مدار خارجی قرار گیرد سپس از قاعده پس خور استفاده کنیم. برای این منمور باید سعی کنیید ابتیدا جمیع کننده ها را کنار هم قرار دهیم سپس با یک جابجایی مناسب یک مدار را کامال در داخیل میدار دیگر یا در کنار آن قرار دهیم. در صورتی می توان جای دو جمع کننده را عوض نمود که بین دو جمع کننده تابع انتقالی وجود نداشته باشد. X G a + - G b + Y + G c الف X + - G b G c + Y + G a
44 ب شکل م..
44
44 فصل افت کنترل یا خطای ماندگار: t Offet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - روش محاسبه Offet از نمودار جعبه ای داده شده : > < t - مشخص بودن مساله ervo یا egulator - نوشتن برای ervo و یا برای egulator با توجه به قوانین ساده سازی نمودار جعبه ای و قواعد پس خور و ساده سازی آنها تا حد امکان. - نوشتن t و برای ervo و نوشیتن ut و u بیرای egulator بیا اسیتفاده از توضیحات مساله. 4- جایگزینی در و جایگزینی u در. 5- محاسبه offet از فرمول داده شده
4 تلاح : P عون هدننک لرتنک رییغت کی و رد دحاو یا هلپ et point : S t u t S o W offet S S im S l offet lim lim lim wc P wc i
44 تلاح P عون هدننک لرتنک و load رد دحاو یا هلپ رییغت کی : t u t i i i i W offet S S im S l offet lim lim wc P wc i
4 تلاح : Pعون هدننک لرتنک رد دحاو یا هلپ رییغت کی و etpoint : + k=.6 - ریغتم رییغت : wc k k k k k k t u t c c c c c c c c S k S k S k k S k S k S k k ~ k S S im S l offet lim wc k c wc
4 V تلاح عون هدننک لرتنک P Load رد یا هلپ رییغت کی و : t u t i i k i S S S S ~ S S S im S l offet lim wc k wc
4 Vتلاح : PD عون لرتنک رد یا هلپ ریغتم کی و etpoint : S S S t u t o o / o o W S S im S l offet lim wc k D wc i
4 تلاح V : PD عون هدننک لرتنک load رد یا هلپ رییغت کی و : t u t i i S D i o W S S im S l offet lim wc k D wc i
4 تلاح V : PD عون هدننک لرتنک رد یا هلپ رییغت کی و etpoint : t u t o O o o o o o S S im S l offet lim wc k D wc i
4 تلاح V : PD عون هدننک لرتنک load رد یا هلپ رییغت کی و : t u t i i D i o D S S im S l offet lim wc k D wc i
4 تسبولطم ریز لرتنک رادم هب هجوت اب e overhoot + k=.6 - مود هجرد متسیس درادناتسا مرف x y 8 8 6 5 6 5 / / 8 8 6 5 6 5 / / 9 9 9 9 8 9 9 5 e overhoot offet 9 9 8 S S im l offet t u t 5 ++
4 8 8 c lim c 9 9 8 9
4 در مدار کنترل زیر به.5 = ζ مقدار? = را پیدا کنید به ازای یک تغییر پله ای واحد در + - 6 + + یییییییی 6 + یییییییییییییییییییییییی ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی = = + 6 + یییییییییییییییییییییییی + offet را محاسبه کنید 6 یییییییییییییییییییییییییییییییییی + +6 + یییییییی = 6 ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی یییییییییییییییییییییییییییییییییی + +6 +6 = t = ut = = یییییی ی 6 + 6 یییییییییییییییییییییییییییییییییییییی S [ + +6 τ +6] Offet = c =-= = Lim t t = Lim = = Lim c = 6/6 = τ = τ = ζ τ = =
44 فصل 4 تعریف پایداری سیستم های خطی : سیستمی است که به ازای ورودی محدود پاسخ محدود بدهد. هر سیسیتمی کیه بیه ازای ورودی محدود پاسخ نامحدود بدهد. سیستم ناپایدار است از جمله ورودی های محدود ورودی های پله ای f t = e at سینوسی پالسی و نمایی نزولی -at e هستند. ورودی های نامحدود f t = at f t = at + b t +c معیار پایداری روت outh راست این معیار یک روش کامال جبری است که به کمک آن تعداد ریشه های ناپایدار کننده یعنی ریشه هایی که دارای قسمت حقیقی مثبت هستند را معرفی می کنند. در مواردی که معادله مشخصیه e مداربسته آنها بصورت یک چند جمله ای بر حسب باشد. اگر دارای عامیل تیاخیر انتقیالی + GH = a n + a n- + + a n- + a n = نکات مهم : باشد نمی توان استفاده کرد. منفی باشد طرفین معادله را در - ضرب می کنیم. - اگر a - اگر حتی یکی از ضرایب و ریشه ها منفی باشد سیستم ناپایدار می گردد. - اگر همه ضرایب مثبت باشد سیستم ممکن است پایدار یا ناپایدار باشد. برای معیار outh آزمون outh ابتدا باید جدول یا رشته outh را تشکیل دهیم. عناصر دو سطر اول و دوم از ضرایب معادله مشخصه نوشته می شود و بقیه سطرها بیه کمیک دو سیطر ماقبل تکمیل می شود.
4 ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی n n- n-... n- n n+ a a a 4 a 6... a a a 5 a 7... b b b c c c.. e f g a b = a a a b = یییییییییییییییییییییی a a a 4 a a 5 ییییییییییییییییییییی a b = a a b یییییییییییییییییییییی b b a 5 a b یییییییییییییییییییییی = b تعداد سطرها + n عناصر هر سطر از دو سطر قبلی بوجود می آید. عناصر هر سطر را می توان بر یک عدد ثابت و مثبت تقسیم کرد. اگر n زوج باشد سطر اول یک عنصر بیشتر از سطر دوم دارد. : قضایای تست outh 4 -شرط الزم و کافی برای اینکه تمام ریشه های معادله مشخصه مدار بسته دارای قسمت حقیقی a, a, b باشد تمامی عناصر ستون اول یعنی..., منفی باشد یعنی در واقع سیستم پایدار مثبت و غیر صفر باشد. - اگر تعدادی از عناصر ستون اول منفی باشند در این صورت تعداد ریشه های ناپاییدار کننیده برابر است با تعداد تغییر عالمت ها در ستون اول.
4 - اگر یک جفت ریشه موهومی روی محور موهومی و به فاصله مساوی از مبدا قرار گیرد و سیایر ریشه ها سمت چپ محور موهومی قرار گیرند عنصر سطر n ام حذف می شود و محل این ریشه موهومی از معادله ای به نام معادله کمکی بدست می آید. S +D= عناصر سطر -n ام به ترتیب از چپ به راست می باشد.,D مثال ی به کمک معیار روت پایداری سیستمی را که معادله مشخصه یک مدار بسیته زییر را دارد بررسی کنید ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی 5 4 + + 5 + 4 + = 4 * 5 4 * ییییییییییییییییییییییییی 4 44/ -6 ییییییییییییییییی 6 ییییی= / 5
4 مهم c مثال ی با استفاده از معیار روت تعیین کنید به ازای چه مقداری از سیستمی که دارای معادله + + + + c = مشخصه مدار بسته زیر است پایدار است. باید کوچکتر از بزرگتر از باشد. یییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی c + c c ییییییییییییییی > c < < c < 6 4 + c > مثال : پایداری سیستم زیر را بررسی کنید 4 + + + 4 + 5 = ییییییییییییییییییییییییییییییییی 5 4 + 5 _ -6 + 5 این سیستم دو تا ریشه ناپایدار کننده دارد. معیار پایداری روت فقط تعداد ریشه های ناپایدار کننده را مشخص می کند که چند تا ریشه سمت راست محور موهومی داریم اما اینکه با چه فاصله از محور موهومی قرار گرفته با این معیار مشخص
4 نمی شود. چون ریشه هایی که سمت چپ هستند و به محور موهومی نزدیک هستند خیلی دیرتر میرا می شوند. اگر فاصله از محور موهومی زیاد باشد خیلی زودتر میرا می شوند. حالت های خاص : - اگر یک عنصر در ستون اول باشد ولی بقیه عناصر یا تنها یکی از آن ها مخالف صفر باشد و یا عنصر باقی مانده دیگری وجود نداشته باشد به جای عنصر صفر یک عدد بسیار کوچک مثبت مانند قرار داده و بقیه جدول را تکمیل می کنیم. اگر عالمت باال و پایین صیفر یکسیان باشید بدون تغییر عالمت یک جفت ریشه موهومی محض بصورت j وجود خواهد داشت. چنانچه عالمت باال و پایین مخالف باشند یک تغییر عالمت محسوب شده و به ازای هر تغییر عالمیت یک ریشه در سمت راست محور موهومی داریم. : + + + = ییییییییییییییییییییییییییییییی ε 4 مثال : + + + = + + = = - + = = ± j : - + = ییییییییییییییییییییییییییییییی - ε -ε-/ ε = + = - ضریب
4 - اگر تمامی عناصر یک سطر صفر باشند در اینصورت ریشه ها به صورت زیر می توانند باشند: = δ, δ ± j w ± a ± j w a ± j w, -a ± j w در این حالت ابتدا معادله کمکی را تشکیل می دهیم. معادله کمکی معادله ای است که ضرایب آن از عناصر سطر ماقبل صفر تشکیل می شود. سپس از معادله کمکی مشتق می گییریم و ضیرایب مشتق معادله کمکی را در سطر صفر جایگذاری کرده جدول را تکمیل می کنیم : مثال: 5 + 4 + 4 + 48 5 5 = معادله درجه 5 بنابراین 5 ریشه دارد. معادله کمکی را تشکیل می دهیم : 4 + 48 5 = 8 + 96 = + = ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی 4-5 48-5 4-5 8/4-5 = 5 48Z S =Z, Z + ریشه های معادله کمکی را بدست می آوریم. = = +, = - = - 5 = +5 j 4 = -5 j 4- مجموع ریشه های یک چند جمله ای=
4 + + + 4 + 5 = - a /a 5 = - فصل 5 مکان هندسی ریشه ها : τ معیار پایداری روت را تکمیل می کند ولی اگر چند جمله ای عامل e داشته باشد کارایی ندارد. مفهوم مکان هندسی ریشه ها : U + - G c + G G H ییییییییییی G c = c H = τ + ییییی = G ییییییییییییییییی G G G c + GH یییییییییی = G τ + = G یییییییییییییییییی + GH یییییییییی = G τ + c τ +τ +τ + + ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی + = GH + τ +τ +τ + = c τ +τ +τ + یییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی Pole قطب GH تابع انتقال مدار باز c ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی= GH = ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی = + τ +τ +τ + / τ + / τ + / τ = ییییییییییییییییییییییییییییییییییییی = ییییییییییییی c P P P τ P = - / τ τ τ قطب های مدار باز : P = - / τ P = - / τ
4 +GH= τ + τ + τ + + c = مقادیری از هستند که GH را بی نهایت می کنند. رسم مکان هندسی ریشه ها : اولین کار باید تابع GH را به صورت استاندارد بنویسیم. GH =k z z z z m ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی P P P P n k > n m تا را قطب های مدار باز گویند. روی شکل با مشخص می کنیم تا را صفرهای مدار باز گویند. با یک دایره توخالی o نشان می دهیم. P n z m P z به ازای صفرهای مدار باز صفر می شود و به ازای قطب های مدار باز بی نهایت می شود. GH N ییییییییییی GH = D N ییییییییییی +GH = + = D N = - D ییییییییییی N = z z z z m D = p p p p n
4 y z = x + j y معیار مقدار و معیار زاویه : z x. z در آرگومان z = مقدار z اندازه Z برابر است با اندازه θ = z = tan - y/x z = z.z z = z. z z = z + z = θ + θ z = z / z اندازه z و آرگومان z بدست آورید z = z / z z = θ - θ = z - z k z z z m - = یییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی p p p n. z z z m =ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی p p p n - z + - z + + z m } - { p + + p n } = n +
4 قواعد رسم مکان هندسی ریشه ها : + + + + = یییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی + 4 + + + j j++j+-j ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی GH = m = n=5 P = Z = - P =-j Z = - P =j P 4 =--j P 5 =-+j قواعد در پس خور منفی : GH = k z z z m ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی p p p n 4- تعداد شاخه های مکان هندسی ریشه ها برابر است با تعداد قطب های مدار باز n - شاخه های مکان هندسی ریشه ها به ازای = از قطب های مدار بیاز شیروع میی شیود. چنانچه صفر در مدار باز وجود داشته باشد m تا از شاخه های مکان هندسی ریشه ها به صفرهای مکان باز ختم می شود و n-m تای دیگر به صفرهایی ختم می شود که در بی نهایت قرار گرفته اند و یا به عبارت دیگر n-m تای شاخه ها به مجانب ها در بی نهایت می رسند. اگر یک قطب درجه تا شاخه از آن خارج می شود. اگر یک صفر درجه q باشد q مکان هندسی به آن ختم q باشد q + + می شود. قطب صفرها یییییییییییییییی P, = P = - Z = -
44 - مکان هندسی ریشه ها روی محور حقیقی: هر گاه سمت راست نقطه ای از محور حقیقی مجموع تعداد قطب ها و صفرهای مدار باز فرد باشد آن نقطه روی مکان هندسی ریشه ها قرار می گیرد. واضح است که قطب ها یا صیفرهای مخیتلط آثارشان موقع استفاده از این قاعده از بین می رود زیرا همیشه بصورت زوج ظاهر میی شیوند. در نتیجه فقط کافی است قطب ها و صفرهای حقیقی را در این قاعده به حساب آوریم. یک قطب و یا صفر درجه q باید q بار شمرده شود. + - - - - - مجانب ها : تعداد مجانب ها برابر است با n-m تا. یعنی n-m تا از مکان هندسی ریشه ها به صفرهایی ختم می شوند که در بی نهایت روی مجانیب هیا واقیع شیده انید. مجانیب هیا خطیوط مستقیمی هستند که یکدیگر را در نقطه ای روی محور حقیقی قطع می کنند. این نقطه مرکز ثقل مجانبها نامیده می شود و با نمایش می دهند. n j = P j - m i= z i یییییییییییییییییییییییییییییییییییییی = γ n m 8 = θ زاویه مجانبها با محور حقیقی مثبت + ییییییییییییییییییی n m =,,,n-m-
4 مطلوبست = n m GH = سه قاعده داخل کتاب هست. +++ ییییییییییییییییییییییییییییییییی زاویه مجانب با یکدیگر یییییییییییی مرکز ثقل - - - =,,,n-m- = - θ= k + یییییییییییییییییییییییی / 5 / - - - - - =ییییییییییییییییییییی= γ ییییییییی =زاویه مجانبها مکان هندسی شاخه ها: از قطب شروع می شود به صفر یا مجانب n-m ختم می شود. 5- نقطه جدایی هر گاه بین دو قطب مجاور واقع بر محور حقیقی مکان هندسی ریشه ها واقع شود شیاخه هیای مکان هندسی که از قطب های مجاور شروع شده اند به هم برخورد کرده و محور حقیقی را ترک می کنند. این نقطه نقطه جدایی نامیده می شود point.break in
4 همچنین اگر شاخه های مکان هندسی از دو قطب مختلط شروع شیوند و بخواهنید بیه صیفر ییا صفرهای روی محور حقیقی برسند در نقطه ای وارد محور حقیقی می شوند که به آن نییز نقطیه جدایی می گویند. point Break a way زاویه ترک قطب نقطه جدایی زاویه میل به صفر نقطه جدایی زاویه میل به صفر زاویه ترک قطب نقطه جدایی نقطه جدایی
4 +. یییییی + ییییی + + + یییییی + = یییییییی n j= p j = m i= ییییییییی z i - - - -. +5+6 +4+ ++++++++ ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی +++ ++ = + + ییییییییییییییییییییییی +6 + +6 راه دیگری برای پیدا کردن نقطه جدایی : سه تا پرانتز را در هم ضرب و بعد مشتق بگیریم و مساوی صفر قرار دهیم. =-.4 N ییییی +GH = + = = D -D N d k ییییی = d +++=.58 اگر پس خور مثبت بگوید قابل قبول می شود. θ = [k+ + m i= p a z i - n j= p a - p j ] 6- زاویه ترک قطب و میل به صفر. =,,,q- z =- z =-+4j z = --4j P =-+j P=--j P=-.5 - +j - = -+j tan - /- =-6.44 o - +j -+4j = -+j+-4j=-j+ tan - -/=-6.44 -+j++4j=+6j tan - 6/=8.5 o -+j+.5=.5+j tan - /.5 =75.96 -+j---j=4j tan - 4/=9o Θ=8+-6.44-6.44+8.5-75.96-9= -. -+j
4 ] i θ = [k+ + n j= z b p j - m i= z b - z زاویه میل به صفر 7- محل تالقی مکان هندسی ریشه ها با محور موهومی حتما یک زوج ریشه است. ریشه های بصورت باید در معادله در مشخصه مداربسته = +GH صدق کند. ± j w =ییییییییییییییییییییییییییییییییی+ +++ ++++ ییییییییییییییییییییییییییییییییییی +++ = ++++ = +6 ++6+= دو روش برای پیدا کردنw, k تستی: معادله چند جمله ای به ازای چه مقداری از در آستانه پایداری است. از طریق outh یییییییییییییییییییییییییییییییییییی 6 k+6 6- / 6 +6 6- / 6 = =6 +6 ++6+ حل می کنیم. outh - 6 +k+6= 6 +66= = - = ± j = ±.j - راه دوم بجای = J w را در معادله -jw -6w +jw+6+= +6-6w +j-w +w=+j 6= 6-= غیر قابل قبول -w +w = w= +6-6w = w=.
4 +. - - - -. مثال.75+5j- معیار مقدار و معیار زاویه را مقایسه کنیم. - z + - z + + z m } = -i + =,75 + 7.5j حدس =8 +].5j.75 +.5j + +.75 +.5j + +.75 + صورت مسأله وجود نداشت -66-8 -.95 +.5j حدس بعدی -.5+.5j.5+.5j.5+.5j -.95 +.5j + + -.95 +.5j + + -.95 +.5j +] =-8 مثال : نمودار جعبه ای یک سیستم بصورت زیر می باشد. مکان هندسی ریشه ها را رسم کنیید نسبت به پایداری بحث کنیم. + - c [+/ +/] ++ +/ + / ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی ++.5+.5+ z z ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی S p p p
4 G = G = + + ییییییییییییییییییی c [+/]+ یییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی یییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی G = = 5 +/+/+ 5 +/+/+ P = p =. z =.5 P = -.5 p 4 = - z = - + += + / +/ = فصل [+/]+ 8 پاسخ فرکانسی: فاز خروجی دامنه خروجی فاز ورودی دامنه ورودی Xt = in ω t G D in ω t +φ = D/= Gj ω φ = Gj w مشخصات پاسخ فرکانسی سیستم در جه اول : G = G j w = مطلوب است محاسبه و φ = G j ω = ییییییییییی +jτw = یییییییییییییییی = +jτω ییییییییییییییییی φ = } {= +jτ ω = -tan - ωτ =-tan - ω τ ییییییییییییییییییییی = G τ +ζτ + مشخصات پاسخ فرکانسی درجه دوم : = G j ω = ییییییییییییییییییییی τ +ζτ + = یییییییییییییییییییییییییییی τ j ω +ζjωτ + ییییییییییییییییییییییییییییییییی = - τ ω +ζjτω + = یییییییییییییییییییییییییییییییییییییی - τ ω +4ζ ω τ
4 φ = ζτω یییییییییییییییی - -tan G j ω = τ ω - = tan - -ζτω ییییییییییییییی - τ ω سیستم تاخیر انتقالی : Xt = in ω t G = e τ yt = in ωt -τ = یییییی = = G j ω = e -τ j w = o ω τ j Sin ω τ e ± τ j ω = φ = ω t- τ - ω t = -ω τ برحسب راد یان = φ =- ω τ * 8 رادیان -ω τ x=? نمودارهای ب د : Bode از دو قسمت یکی لگاریتم نسبت دامنه بر حسب لگاریتم فرکانس و دیگری اختالف فاز یا تغییر فاز بر حسب لگاریتم فرکانس تنمیم شده است. نمودار بد نمایش ترسیم لگاریتم log بر حسب log ω و بر حسب log ω می باشد. روی این نمودارها چون عملیات لگاریتم گیری انجام می شود عملیات ضرب بصورت حاصل جمع و عملیات تقسیم بصورت تفاضل می شود. با استفاده از
4 خطوط مستقیمی که مجانب کلی نامیده می شود می توان رفتار سیستم را در فرکانس های کم یا زیاد پیش بینی کرده و پایداری سیستم را تشخیص داد. همچنین از روی مجانب کلی و نمودار فاز می توان تابع انتقال تقریبی سیستم را حدس زد. یییییییییییی = G τ + نمودار بد برای سیستم در جه اول : ییییییییییییییییی = Log = log log = - log +ω τ - مجانب فرکانس پایین را باید بدست آوریم. L.F. Low frequency aymptate Lim ω τ Log = Lim ωτ - log +ω τ Log = = یک خط با شیب صفر و مقدار = است. - مجانب فرکانس باال H.F. Log = Lim ωτ - log +ω τ Log = - log ω τ Log = -log ω τ
4 = یک خط با شیب - و یییییییی است. ω τ نمودار فاز : φ= -tan - ω τ ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی ω τ φ. -5.7-45 -6.45-84.5-9
44 بیشترین انحراف در نمودار بهره در فرکانس گوشه corner اتفاق می افتد که با ω c نشان داده می شود. محل تالقی مجانب فرکانس پایین و باال است. ییییییییییییییییی = = =.77 ییییییی G شیب فرکانس گوشه درجه اول ω c τ = ω c = ω c Φ مجانب کلی : خط شکسته ای است که در فرکانس های پایین تا فرکانس گوشه بر مجانب فرکانس پایین منطبق است و از گوشه تا فرکانس های باال بر مجانب فرکانس باال منطبق است.
4 صورت = ω c + tan -ω τ مخرج = ω c - - tan -ω τ صورت مخرج درجه دوم = = ω c ω c + - tan - -tan - صورت e - τ = -ω τ * صورت = ω= +n +n9 S n = مخرج -n -n9 ω= سیستم های در جه اول متوالی : یییییییییییییی *ییییییییییییی = G τ + τ + یییییییییییی *ییییییییییی = G + +5 = G j ω = یییییییییییییییییی *ییییییییییییییییییی وφ?= مثال : G =G *G G n = * n φ = φ + φ + + φ n φ = - tan - ωτ - tan - ωτ = φ + φ φ = G j ω+ G j ω
4 ییییییییییی *یییییییییی = G + +5 مثال: ی یییییییییییییییییییییییییییی ω = G j = = + یییییییییییییییییییییییییییییییییییی Log = log log +ω - log [ = log +ω - log [ φ = φ + φ = - tan - ω - tan - ییییییییییییییییی * ییییییییییییییی =
4 عدد ثابتی که ایجاد می شود بر حسب می نویسیم. شیب - است. ییییییییییییییییییییییییی / /5 ω. یک عامل درجه یک در صورت +log می شود. فرکانس پایین تا می شود. در صورت G = τ + یک خط با شیب + = خط با شیب صفر = ω τ φ ییییییییییییییییییییییییی ω. φ = - tan - ω - tan -
4 نمودار بد برای سیستم درجه دو : یییییییییییییییییییییییی = G τ +ζτ+ ییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی = ϕ = tan - Log = - log [-ω τ +ζωτ ] L.F. Lim G = = شیب صفر ω τ Log = - log ω τ 4 Log = - log ω τ ω τ در فرکانس باال یک خط با شیب - داریم و مقدارش یییییییییییی = ω τ
4 G = e τ = φ = -ω τ * 8 / 6 فرکانسی را که در آن ماکزیمم مقدار تشدید می گویند. بر حسب ω تشکیل می شود فرکانس رزونانسی یا ω τ از بر حسب ω مشتق بگیریم. G = c مطلوب است رسم نمودار فاز و بهره = c φ = = G j ω = c
4 کنترل کننده : P G = c [+ ] φ = -tan - عامل مشتقی : n G = n = G j ω = j ω n = ω Log = log w n = -n log w یک خط به شیب n Log = log ω if n = + = ω G j ω= jω n = j ω=tan - = tan - =9 n= 9 n= 8 n= = α ω = tan - - = 8 زاویه n می شود n تا 9 درجه
4 φ = n 9 n اگر در مخرج باشد همه راه حل بر عکس می شود. عامل انتگرالی مهم : نمودار بد تابع زیر را رسم کنید G = e.5 سیستم کنترل مدار بسته وقتی ناپایدار است که پاسخ فرکانس مدار باز سیستم در فرکانسی که تا 8 فاز ایجاد می کند دارای نسبت دامنه بزرگتر از باشد. فرکانسی که تاخیر فاز ایجاد 8 می کند فرکانس گذرا نام دارد. برای بررسی پایداری سیستم به روش بد پایه منحنی بهره و فاز بر حسب فرکانس در دسترس باشد. خط 8- درجه را با منحنی فاز قطع می دهیم و فرکانس گذرا را به دست می آوریم. سپس از فرکانس گذرا خطی عمود رسم می کنیم تا منحنی بهر را قطع کند. مقدار بهره را با نشان می دهیم. اگر < باشد سیستم ناپایدار است. اگر > باشد سیستم پایدار است.اگر = سیستم در آستانه ناپایداری است.
4 ' G.m بهره -8 فاز Ph.m w w Marjin پایدار ناپایدار Gain حاشیه یا فاز بهره G.M = G.M > G.M <.G M عکس نسبت دامنه بد فرکانسی در تغییر فاز 8 دارد. عبارت است از تفاوت فاز بین 8- درجه و زاویه فازی که در آن نسبت دامنه برابیر ییک اسیت. Margin Ph M. Phae حد با حاشیه فاز در طراحی سعی می شود حد فاز درجه انتخاب شود PH.M معموال بین تیا 6 درجیه قابل قبول است. همچنین =.7 G.M در نمر می گیرند. الپالس معکوس Ph.m =8 + ϕ معیار پایداری کل مکان هندسی نمودار است.
4
44 تمرین ها یک مسئله نمونه از نمودار ب د : d برای سیستم کنترلی که تابع انتقال آن به صورت زیر داده شده است. الف ی به ازای.. مطلوبست :. رسم منحنی های بهره و فاز نمودار Bode در منحنی بهره عالوه بر مجانب ها رسم مقدار واقعی بهره الزامی است.. از نمودار رسم شده مقادیر مناسب بهره حاشیه بهره و حاشیه فاز را تعیین کنید. GH c e d اگر شیبی با خط - d الف ی. GH. c e. c e GH. c e GH jw jw c jw jw e.wj jw.wj w e c w w w c.. 4. 5
4 مجانب ها : log w log w log w w w L. F. H. F. log log w. wj e w log log w w w w L. F. log 4 w H. F. log 4 w w w 4 w log log L. F. log 5 w H. F. log 5 5 log 5 w log tan w 8 w 9 tan w w g tan 4 5
4 w c..4 57.4. 5.9 84..5. 78.6..5 74.9..9 8...74 97. 5..469 5.6 7..6 5 8.76 6..4..56 99.7. تعیین مقادیر مناسب بهره و حواشی بهره و فاز : 8 w c 9. 8 rad فرکانس گداز زمان واحد c. G. M.7 تعیین c با استفاده از. c. c c c.476..476.5.7.57.8 اکنون به کمک نمودار ب د Ph.M را تعیین می کنیم. c.7 844 6 با در نمر گرفتن حاشیه.7 داریم : G. M.7 PhM. 6 c.8 Ph.M تعیین c با استفاده از Ph.M 8 5 c.. c..
4 c. وقتي که5 G. M.57 L. وقتي که8 c c c انتخاب بهره و حواشی فاز و بهره مناسب ی بین مقادیر تعیین شد..8 را انتخاب می کنیم. یک مسئله نمونه دربارة مایکوئیست تابع انتقال مدار باز یک سیستم کنترل زیر وارد شده است.. الف ی نمودار بایکوئیست را رسم کنید ب ی درباره پایداری سیستم بحث نمائید. ج ی مقادیری از را تعیین کنید که سیستم پایدار و ناپایدار می شود. GH. حل : مسیر بسته نایکوئیست را مطابق شکل انتخاب می کنیم.
4 الف :.4 نگاشت abc از مسیر بسته نایکوئیست e GH GH j 9 9 j j. e. e j j e e j. j. e e 7 8 9 9 8 7 9 6 6 9 GH w. GH.5 jw w GH GH. jw jw jw jw GH jw GH jw. w jw 7 tan w w w.8.. 5. 5 jw 7 55.6 6.7 9.7 8 4.6.4 9.
4. نگاشت df e GH j j j. e e j e e j 9 9 9 9 قرینه نگاشت cd نسبت به محور حقیقی است زیرا GHjw 4. نگاشت dfa ی نگاشت fa مزدوج کمپلکس GH-jw است. ب- بحث پایداری : قرار گیرد در اینصورت تعداد دورخوردنهای j+- عبارتست. اگر نقطه j+- در محدوده M-N از : N N Z P P a Z Z یعنی هیچ ریشه ای از معادله مشخصه مداربسته در سمت راست محور موهومی قرار نمی گیرد و سیستم پایدار است. سمت چپ نقطه M قرار گیرد در اینصورت :. اگر نقطه -+jo
4 N P Z Z N Z P یعنی دو ریشه ناپایدار کننده دو ریشه در سمت راست محور موهومی وجود خواهد داشت و در نتیجه سیستم ناپایدار می گردد. ج- تعیین مقدار. jw. w wj GH jw jw w j GH w. w. w j w w در نقطه M قسمت موهومی jw GH برابر با صفر است.. w w w w شرط پایداری آنست که نقطه M سمت چپ نقطه -+jo واقع شود.. w. w یا. w. 5w بنابراین 5 w 5 سیستم ناپایدار سیستم در آستانه ناپایداری 5 حل مسئله مکان هندسی ریشه ها. مکان هندسی ریشه ها را برای سیستمی که تابع انتقال مدار باز آن بصورت زیر داده شده است رسم کنید و درباره پایداری آن بحث نمایید. GH h
4 ی لح 4 m P n P j P j P 4 یاه هشیر h n = 4 اب ربارب اه هشیر یسدنه ناکم یاه هخاش دادعت.دشاب یم.دنوش یم سامم اه بناجم رب تیاهنیب رد و هدش عورش اه بطق زا یسدنه ناکم یاه هخاش n-m=4-=4 اب ربارب اه بناجم دادعت ی اه بناجم.دشاب یم 4 5 4 j j m n j Pj m j n j 4 4 5 4 4 n n m n - = زا یقیقح روحم ی یقیقح روحم یور ناکم ات = -... و اه هشیر یسدنه ناکم زا لیکشت.. m i n j i j j j. 6 6 5 4
4 بقیه ریشه های این معادله بر روی مکان قرار نمی گیرند بنابراین نقطه جدایی محسوب نمی گردند. - محل تالقی با محور موهومی GH 4 5 6 6 jw w.95 - زاویه ترک قطب //.. پایداری : توجه به نمودار سیستم پایداری < +b پایدار است. تمرین : مقداری از و تعیین که معادله مشخصه را برای ریشه مضاعف باشد. همچنین به ازای این مقدار تمامی ریشه ها را بدست آورید. تمرین : برای مقدار که... محور...