Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστημίου Πατρών, Δευτέρα 28 Ιουνίου, 2 Στοχαστική Προσομοίωση και Εκτίμηση Ακραίων Γεγονότων Βροχής Ανδρέας Λαγγούσης Πολιτικός Μηχανικός, ΕΜΠ Μάστερ (M.Sc.) στους Πολ. Μηχ. και Μηχ. Περιβάλλοντος, ΜΙΤ Διδάκτωρ (Sc.D.) Πολ. Μηχ. και Μηχ. Περιβάλλοντος, ΜΙΤ
Ακραία γεγονότα βροχής Γαλλία, Ιούνιος 2 Πολωνία, Μάιος 2 Ευρώπη 5-6/2: 6/2: νεκροί > 4 κόστος > 25 δισ. ΗΠΑ, Αύγουστος 25 Αντιπλημμυρικός σχεδιασμός: Διαστασιολόγηση Χωροθέτηση Προγραμματισμός Έργων (ταμιευτήρες, αναχώματα, δίκτυα...) ΤΚ Katrina νεκροί > 8 κόστος > 8 δισ. $ Ζώνες πλημμυρικής επικινδυνότητας (6/27 ΕΚ) Εκτίμηση ακραίων βροχοπτώσεων: Όμβριες καμπύλες......σχέσεις προσδιορισμού της συχνότητας εμφάνισης γεγονότων βροχής δεδομένης διάρκειας και έντασης
Όμβριες καμπύλες log i d,t T log d i d,t : μέγιστη ένταση βροχής διάρκειας d που υπερβαίνεται, κατά μέσο όρο, μία φορά κάθε Τ έτη Τ: περίοδος επαναφοράς γεγονότος Εκτίμηση από ιστορικά δεδομένα: Ι(d): μέση ένταση βροχής εντός χρονικής περιόδου διάρκειας d Ι yr (d):= max{i (d), I 2 (d), I yr/ του Ι(d) yr/d (d)} )}, ετήσιο μέγιστο Προσαρμογή θεωρητικής συνάρτησης κατανομής στις εμπειρικές τιμές του I yr (d) i d,t : η τιμή του Ι yr (d) με πιθανότητα υπέρβασης yr/t f I (i) Απλό πιθανοτικό προσομοίωμα empirical PDF theoretical PDF i
... μερικοί περιορισμοί Ι ΙΙ μικρού μήκους ιστορικό δείγμα (π.χ. -25 έτη) + απαιτείται συνδυασμένη ανάλυση ιστορικών δεδομένων με ιδιαίτερα χαρακτηριστικά χρήση τμήματος της υδρολογικής πληροφορίας (μόνο ετήσια μέγιστα) Τροπικοί κυκλώνες (ΤΚ) μικρή συχνότητα εμφάνισης αβεβαιότητα εκτιμήσεων Andrew (992) φυσικά χαρακτηριστικά που μεταβάλλονται συνεχώς (ένταση, ταχύτητα, μέγεθος...) περιορισμένoς αριθμός παρατηρήσεων Σύνθετα στοχαστικά προσομοιώματα: πολλαπλές πιθανοτικές συνιστώσες δομημένες με στόχο την φυσικομαθηματική περιγραφή ενός συστήματος Ι θεωρία πολυκλασματικής (multifractal) ομοιοθεσίας ΙΙ φυσικομαθηματικό προσομοίωμα + στοχαστική συνιστώσα βέλτιστη εκτίμηση μεγίστων βροχοπτώσεων από μικρού μήκους χρονοσειρές εκτίμηση μεγίστων βροχοπτώσεων από τροπικούς κυκλώνες (ΤΚ)
Ι) Πολυκλασματικά (multifractal) μοντέλα βροχής Πλεονεκτήματα: Φειδωλά σε παραμέτρους Ρεαλιστικά πεδία βροχής Εκτίμηση όμβριων καμπυλών χωρίς προσομοίωση MC y I(x) x Αποφυγή παραδοχών για την συνάρτηση κατανομής της μεταβλητής I yr (d) Αξιοποίηση του συνόλου της υδρολογικής πληροφορίας (όχι μόνο ετήσια μέγιστα) Ακόμα και 5 χρόνια ιστορικών δεδομένων αρκούν Αναλυτικές προσεγγιστικές σχέσεις υψηλής ακρίβειας (Langousis et al.,, 27)...πρακτικά με αρκετά πλεονεκτήματα!
Multifractal για Μηχανικούς... Κατασκευή: d ΙD D/2 Ι D D D Ι d = Ι D A D/d t t Ι D/2 = Ι D A 2 level level.... D Ι D t level n Προϋπόθεση Ιδιότητa K(q) K(q) (,) q Δυσκολία A D/d = A 2,, A 2,2,, A 2,n n= log 2 (D/d) iid μεταβλητές E[(A D/d ) q ] d -K(q)...εκτίμηση παραμέτρων με προσαρμογή στα δεδομένα...προσδιορισμός της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Ι D... προσεγγιστικές σχέσεις! (Langousis and Veneziano, 27)
Βροχή ως ακολουθία παλμών με δομή multifractal Ī Ι d =I D A r I D, 2 D D I D,2 D d t Ī : μέση ετήσια ένταση βροχής Ī = D: μέση περίοδος επαναφοράς καταιγίδων (απο δεδομένα) r =D/d Τυχαία μεταβλητή A r ~ (β-ln) P[A r =] = P =-r -C β (lna r A r >) ~ N[(C β -C LN )lnr,, 2C2 LN lnr] C β : ποσοστό ξηρών περιόδων εντός D C LN LN : ένταση διακυμάνσεων βροχής εντός υγρών περιόδων f Ar (i) P PDF lognormal E[A i r ] =
Multifractal όμβριες καμπύλες για Μηχανικούς I D A r + σωστή ουρά r τέτοιο ώστε να επιτυγχάνεται συμφωνία στο σώμα των κατανομών (ροπές τάξεως 2-3) προσαρμογή ουράς αλγεβρικού τύπου (ροπές μεγαλύτερης τάξεως) Αναλυτικές όμβριες καμπύλες i d,t log P[I D > i] -5 - -5-2 -25-3 -35 ακρίβεια log i* A r -4 -.5.5.5 2 2.5 3 3.5 4 log i (Langousis et al., 27) I D s* T r,γ D r (2π)2C LN γ-c β + 2C 2 ln(rr ) /2 (rr LN 2 ) C LN D r (2π)2ln(rr ) (-C β) 2 C /2 (rr ) [+(γ-) LN -C β C LN ] γ-c β + 2C LN 2 r = D/d, γ = log rr (i d,t ) 2 +C β, γ 2-C β -C LN, γ > 2-C β -C LN
Υπολογισμός όμβριων καμπυλών () ) Εκτίμηση μέσης ετήσιας εντάσεως βροχής Ī απο δεδομένα. 2) Εκτίμηση C β και C LN από διάγραμμα ροπών Ε[(Ι d /Ī) q ] συναρτήσει της διάρκειας d 3) r (C β,c LN ) από διάγραμμα (Langousis et al. 27) 4) Επιλογή D έτσι ώστε E[Ι D3 ] = Ī 3 r K(3) C β = -K() C LN =[K(3)+2K()]/6 ln E[(I d /Ī) q ] 2 6 2 8 4 q =4 q =3 q =2 q = Δεδομένα βροχής από Φλωρεντία (23 έτη) κλίση = -Κ(3) εμπειρικές τιμές MF μοντέλο C LN =.6 C β =.45 r = 4.65-4 -8 q = κλίση = -Κ() D 5 days 2 4 6 8 2 4 ln (d,min)
Υπολογισμός όμβριων καμπυλών (2) 5) Υπολογισμός θεωρητικών τιμών i d,t από αναλυτικές σχέσεις (για Ī =) mm/hour...προσαρμογή μοντέλου με 23 έτη δεδομένων T=23 yr T=2 yr T= 4 yr εμπειρικές όμβριες MF μοντέλο mm/hour 6) Πολλαπλασιασμός των θεωρητικών τιμών i d,t με τη μέση ετήσια ένταση βροχής Ī...ικανοποιητικά αποτελέσματα ακόμα και με 4 έτη δεδομένων mm/hour. δεδομένων!.... d (hours)...προσαρμογή μοντέλου με 4 έτη δεδομένων T=23 yr T=2 yr T= 4 yr εμπειρικές όμβριες MF μοντέλο...αναλυτικές σχέσεις τριών παραμέτρων.. d (hours)
ΙΙ) Όμβριες καμπύλες για ΤΚ Μία καταιγίδα που δεν είναι σαν όλες τι άλλες... A V t Katrina (25) καταστροφές από συνδυασμό ανέμων, βροχών και παλίρροιας μικρή συχνότητα εμφάνισης φυσικά χαρακτηριστικά (ένταση, ταχύτητα, μέγεθος...) που μεταβάλλονται συνεχώς ένταση βροχής που εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του ΤΚ και από την θέση ως προς το κέντρο της καταιγίδας Δορυφορικά στιγμιότυπα (PR) του πεδίου βροχής ανά 6-ωρο Επικινδυνότητα βροχοπτώσεων από ΤΚ στην θέση Α: λ d (i): ρυθμός (γεγονότα/έτος) με τον οποίο η τυχαία μεταβλητή I max (d) υπερβαίνει την τιμή i στην θέση A μέγιστη ένταση βροχόπτωσης διάρκειας d, από ΤΚ, στην θέση A Όμβριες καμπύλες: i d,t με Τ = /λ d (i) (έτη) λ d (i) = λ all ω ρυθμός αφίξεως ΤΚ [γεγονότα/έτος] στόχος μοντέλο επαναφοράς ΤΚ (βιβλιογραφία) P[I max (d) >i ω] P[ω]dω χαρακτηριστικά ΤΚ
Εκτίμηση επικινδυνότητας παράμετροι ω = [V max, R max, B, V t, y] V t A ένταση ΤΚ V max εφαπτομενική ταχύτητα ανέμου συντελεστής απομείωσης B y μέγεθος στροβίλου R max R ω [I max (d) ω] μοντέλο ΤΚ υγρασία κατακόρυφοι άνεμοι - Μέση βροχόπτωση (μεγάλη κλίμακα) 2 (Ī ω) -2-5 - -5 5 5 Απόστασηαπότοκέντρο(km) - Τυχαίες διακυμάνσεις μικρής κλίμακας 3 (I ω) -2-5 - -5 5 5 Απόστασηαπότοκέντρο(km) [I max (d) ω]
Μοντέλο εκτίμησης μέσης βροχόπτωσης από ΤΚ 3. 2.5 Αποτελέσματα φυσικομαθηματικών μοντέλων Shapiro (high) ΤΚ Frances (24) W (m/s) 2..5..5 MM5 MS Kepert (low) Κατακόρυφη ταχύτητα ανέμων. 5 5 2 μεγάλης κλίμακας μέση βροχόπτωση Βροχή: Ī = c W R (km) κατακόρυφη ταχύτητα περιεχόμενη υγρασία normalized to max =..8.6.4.2. -.2 Έλεγχος με χρήση του μοντέλου MM5 κατακόρυφη ταχύτητα βροχή -.4 2 3 R (km)
Βαθμονόμηση με χρήση δεδομένων PR PR/TRMM 3 5-5 B = R -3-3 -5 5 3 5 4 3 2 7.5 Jeanne (24).4 (mm/h) Απόστασηαπότοκέντρο(km) 3 ε = 38 στιγμιότυπα 48483 σημεία κιν. μέσος () τυπ. απόκ. () I PR I model 5 4 3 2 ε-ratio υψηλή διασπορά 5 5 2 R/R max 2 σχεδόν αμερόληπτη εκτίμηση 5 5 R/R max
Στοχαστικό μοντέλο διακυμάνσεων [I max (l) ω] 3 5 Jeanne (24) y=2km V t I max(l) = (μεγάλη κλίμακα) (μικρή κλίμακα) - I model (L) β γ max (l) -5 B L 4km B -3-3 -5 5 3 Απόστασηαπότοκέντρο(km) εκτίμηση μοντέλου για τη μέση ένταση βροχής σε κλιμακα L τυχαία μεταβλητή για διακυμάνσεις μεγάλης κλίμακας συντελεστής μεγέθυνσης για το μέγιστο σε κλίμακα l 6 B-B l=5km I max (5km) 6 B-B l=25km I max (5km) mm/h 4 2 - I model (L) - I(L) 4 2 I max (25km) -2-2 L=4km -2-2 L=4km
Κατανομές μεταβλητών [β ω] και [γ max (l) ω] Κατανομή μεταβλητής [β ω].5.4.3.2. β = - I(L) - I model (L) lnβ τυποποίηση σε (, 2 ) N(, 2 ) εκτίμηση μοντέλου μέση ένταση βροχής σε κλίμακα L β(y, Ī model ) ~ lognormal ιστόγραμμα -4-2 2 4 z Κατανομή μεταβλητής [γ max (l) ω] l=5km l=2km. γ max (l) = παραμετροποίηση σε όρους Ī I max (l) - I(L) 2 4 6 5 4 3 2 Ī(L) mm/h empirical PDF Beta model empirical PDF Beta model.5.5 2 γ max μέγιστη τιμή της εντάσεως βροχής σε κλιμακα l.25.2.5..5 2 4 6 3 2 Ī(L) mm/h empirical PDF Beta model empirical PDF Beta model 2 γ max
Εφαρμογή στην Νέα Ορλεάνη ΜοντέλοΜοντέλο επαναφοράς ω = [V max, R max V t, y] και B = V t ~ λ =.57γεγονότα/έτος y A 2km LN with m = 6m/s & σ = 2.5m/s (Vickery et al., 2, Chen et al.. 26) α ~ N[-5.4 o,(34.9 o ) 2 ] (IPET, 26) α TC z ~ U[-5km, 5km] z V t (ανεξ.) y = -z cos(α) [V max max ΔP] ~ (m/s) [R max max ΔP] ~ (km) ΔP (hpa) ~ P[V t ] P[y] lognormal with m = 4.8 ΔP.559, σ =.5 m (Willoughby and Rahn,, 24) lognormal with m = 3.962-.567.567ΔP, σ =.33 (Vickery et al., 2) shifted lognormal with m lnδp = 3.5, σ lnδp =.68, Shift par. = 8hPa (IPET, 26) P[V max,r max ] (ανεξ.) Joint density P[ω] P (παραδοχή ανεξ.)
Εφαρμογή στην Νέα Ορλεάνη: Όμβριες καμπύλες T (years) Όμβριες καμπύλες (IDFs): λ d (i) = λ P[I max (d) >i ω] P[ω]dω all ω IDFs: ένταση βροχής i ως συνάρτηση των d και T = /λ d (i) (years) 3 2 Singh and Zhang (27) Babak et al. (99) TP-4 μοντέλο ΤΚ T = /λ D =24hr d = 24hr d = 6hr d = hr 6hr 2 i (mm/hr) ` i (mm/hr) 3 2 hr 25 5 T = 5yr μοντέλο ΤΚ.32.55 d (hours) D 24hr Για υψηλές τιμές των d και T οι ΤΚ είναι ο κύριος παράγοντας επικινδυνότητας. Για χαμηλές τιμές του d ισχύει το ρητό: convection is convection
Επιμέρους συμπεράσματα Αναπτύξαμε ένα μοντέλο υπολογισμού μεγίστων εντάσεων βροχής απο τροπικούς κυκλώνες (ΤΚ) με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: [I max (d) ω] Ρητή παραμετροποίηση των χαρακτηριστικών ω=[v max, R max,v t, y] y του ΤΚ Φυσικό μοντέλο υπολογισμού του χωρικά και χρονικά μέσου πεδίου βροχής για ΤΚ με χαρακτηριστικά ω Στοχαστικό μοντέλο για τις διακυμάνσεις του πεδίου βροχής σε διαφορετικές κλίμακες Βαθμονόμηση και έλεγχος με χρήση δορυφορικών δεδομένων PR Εφαρμογή στην Νέα Ορλεάνη οι ΤΚ γίνονται κυρίαρχος παράγοντας επικινδυνότητας για d 24h και T years Πρόσθετες δυνατότητες Επέκταση του μοντέλου πέραν της ακτογραμμής (τοπογραφία) Πρόγνωση μέγιστης βροχόπτωσης σε πραγματικό χρόνο για επικείμενους ΤΚ Δυνατότητα συνδυασμού με μοντέλα εκτίμησης επικινδυνότητας για ανέμους, παλίρροια και κυματισμούς από ΤΚ
Γενικά συμπεράσματα Σύνθετα στοχαστικά προσομοιώματα: πολλαπλές πιθανοτικές συνιστώσες δομημένες με στόχο την φυσικομαθηματική περιγραφή ενός συστήματος. Πλεονεκτήματα Δυνατότητα περιγραφής και δόμησης του προβλήματος σε όρους μηχανικού (σχέσεις αιτίου-αιτιατού αιτιατού) Χρήση του συνόλου της διαθέσιμης υδρολογικής πληροφορίας (μείωση της αβεβαιότητας εκτιμήσεως) Συνδυασμένη ανάλυση ιστορικών δεδομένων από διαφορετικές πηγές και με ιδιαίτερα χαρακτηριστικά Πρόκληση Παραδείγματα Κατανόηση του φυσικού συστήματος και των δεδομένων Φυσικομαθηματική + πιθανοτική μοντελοποίηση των σχέσεων αιτίου-αιτιατού αιτιατού βέλτιστη εκτίμηση όμβριων καμπύλών από μικρού μήκους χρονοσειρές εκτίμηση μεγίστων βροχοπτώσεων από τροπικούς κυκλώνες (ΤΚ)
Στοχαστική προσομοίωση: ιδέες και εφαρμογές Οπουδήποτε η αβεβαιότητα παίζει σημαντικό ρόλο... Υδρολογία Σχεδιασμός έναντι ακραίων υδρολογικών φαινομένων (π.χ. πλημμύρες, άνεμοι, θαλάσσιοι κυματισμοί...) Πρόγνωση επικείμενων καταστροφών σε πραγματικό χρόνο (π.χ. εξωτροπικοί κυκλώνες, χαλαζόπτωση) Κλιματική μεταβλητότητα και υδρολογικό ισοζύγιο (π.χ. διαστασιολόγηση έργων αποταμίευσης νερού) Συνδυασμένη ανάλυση υδρολογικών δεδομένων από μετρητικές διατάξεις (δορυφόροι, ραντάρ, βροχογράφοι) και μετεωρολογικά μοντέλα (GCMs) Ενέργεια Μοντελοποίηση ενεργειακής ζήτησης Βέλτιστη διανομή Παραγωγή ενέργειας από ανανεώσιμες πηγές (άνεμος, ηλιοφάνεια, κυματισμοί, υδροδυναμικό) Μεταφορικά συστήματα Κατασκεύες Περιβάλλον & Υγεία Ασφάλεια