Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής

Transcript

1 Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής (Least squares collocation) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

2 Διατύπωση προβλήματος Σε σημαντικό αριθμό πρακτικών εφαρμογών απαιτείται συχνά ο προσδιορισμός μιας πολύπλοκης άγνωστης συνάρτησης f(p) από σημειακές μετρήσεις: o των τιμών της άγνωστης συνάρτησης, y i = f(p i ) o ή/και άλλων μεγεθών που εξαρτώνται από την άγνωστη συνάρτηση, π.χ. y i = f'(p i ). Η επιθυμητή λύση συνίσταται στη βέλτιστη εκτίμηση των τιμών της συνάρτησης (α) στα σημεία μέτρησης, και (β) σε άλλα σημεία που δεν υπάρχουν μετρήσεις.

3 Διατύπωση προβλήματος?

4 Διατύπωση προβλήματος?

5 Γιατί είναι δύσκολο πρόβλημα ; Μετρήσεις τιμών της άγνωστης συνάρτησης ˆ( ) f P Εκτιμήσεις τιμών της άγνωστης συνάρτησης P Από έναν πεπερασμένο αριθμό διακριτών μετρήσεων πρέπει να εκτιμήσουμε μία πολύπλοκη συνεχή συνάρτηση ( άπειρες άγνωστες παράμετροι)

6 Γιατί είναι δύσκολο πρόβλημα ; Σε αρκετές περιπτώσεις απαιτείται η ταυτόχρονη επεξεργασία ετερογενών μετρήσεων που σχετίζονται με διάφορους τρόπους με την άγνωστη συνάρτηση, π.χ. o σημειακές τιμές της ίδιας της συνάρτησης o μέσες τιμές σε διάφορες υπο-περιοχές της συνάρτησης o τιμές παραγώγων της συνάρτησης σε διακριτά σημεία o σημειακές ή μέσες τιμές φιλτραρισμένων τμημάτων της συνάρτησης Εδώ θα ασχοληθούμε με την πιο απλή περίπτωση όπου οι διαθέσιμες μετρήσεις περιλαμβάνουν σημειακές τιμές της ίδιας άγνωστης συνάρτησης.

7 Λίγη ορολογία Least squares collocation προσδιορισμός γήινου πεδίου βαρύτητας, εκτίμηση & πρόγνωση παραμορφώσεων από γεωδαιτικά δεδομένα, μοντελοποίηση τυχαίων ατμοσφαιρικών επιδράσεων, κ.ά. Geostatistical estimation Κriging γεωστατιστική, παρεμβολή και πρόγνωση χωρικών συναρτήσεων, εφαρμογές σε γεωλογία, υδρολογία, παρακολούθηση περιβάλλοντος, κ.ά. Signal processing Wiener filtering ανάλυση σήματος, ψηφιακή επεξεργασία εικόνων, φιλτράρισμα θορύβου, αυτοματοποιημένα συστήματα ελέγχου, κ.ά.

8 Γενικευμένη περιγραφή άγνωστης συνάρτησης y f ( P ) m s i i i i y i : τιμή της συνάρτησης στο σημείο P i m i : τιμή της κυρίαρχης τάσης της συνάρτησης μοντελοποιείται μέσω κάποιας απλής παραμετρικής μορφής (π.χ. πολυώνυμο χαμηλού βαθμού, επιλεγμένοι όροι σειράς Fourier) s i : επιμέρους χρήσιμη λεπτομέρεια της συνάρτησης μοντελοποιείται με στοχαστικό τρόπο μέσω κατάλληλων στατιστικών συναρτήσεων συμμεταβλητότητας (βλέπε παρακάτω)

9 Παράδειγμα κυρίαρχη τάση λεπτομέρειες = Συνολική συνάρτηση

10 Παράδειγμα y i 2 i o 1 i 2 i m x x t x t χρήσιμες λεπτομέρειες ή αλλιώς σήμα της συνάρτησης: s y m f ( P) m i i i i i

11 Παράδειγμα y f ( P ) s i i i Η κυρίαρχη τάση της συνάρτησης μπορεί να είναι μηδενική!

12 Μερικά σχόλια περί μοντελοποίησης Ο διαχωρισμός μιας συνάρτησης σε δύο βασικές συνιστώσες (κυρίαρχη τάση + σήμα) δεν είναι κατ ανάγκη προϊόν μιας αντικειμενικής θεώρησης! Το τι επιλέγουμε να περιγράψουμε ως κυρίαρχη τάση και τι ως σήμα εξαρτάται από διάφορα χαρακτηριστικά του προβλήματος που έχουμε να αντιμετωπίσουμε, και επηρεάζει την επιλογή των αντίστοιχων μοντέλων που θα χρησιμοποιηθούν στη διαδικασία εκτίμησης (βλέπε παρακάτω).

13 Προβλήματα παρεμβολής Υπάρχουν διάφορες εκδοχές στο πρόβλημα προσδιορισμού μιας άγνωστης συνάρτησης. Συγκεκριμένα: o προσδιορισμός μόνο της κυρίαρχης τάσης από τον ελάχιστο απαιτούμενο αριθμό μετρήσεων από πλεονάζουσες μετρήσεις μέσω κλασσικής συνόρθωσης o ταυτόχρονος προσδιορισμός της κυρίαρχης τάσης & σήματος από ικανό αριθμό μετρήσεων

14 Περίπτωση 1 Mονοσήμαντος προσδιορισμός κυρίαρχης τάσης από τον ελάχιστο απαιτούμενο αριθμό παρατηρήσεων Περίπτωση Περίπτωση Βέλτιστος προσδιορισμός κυρίαρχης τάσης από πολλές παρατηρήσεις Βέλτιστος προσδιορισμός κυρίαρχης τάσης και σήματος από πολλές παρατηρήσεις

15 Προβλήματα παρεμβολής Εδώ θα μελετήσουμε το γενικότερο πρόβλημα προσδιορισμού άγνωστης συνάρτησης (3 η περίπτωση): Παρατηρήσεις Εκτίμηση συνάρτησης Λέξεις κλειδιά: εξομάλυνση, φιλτράρισμα θορύβου, εκτίμηση κυρίαρχης τάσης, πρόγνωση σήματος

16 Μαθηματικά μοντέλα συνόρθωσης Απλή μορφή εξισώσεων παρατηρήσεων (με παρουσία μόνο παραμέτρων) b Ax v 2 1 o v ( 0, P ) Διευρυμένη μορφή εξισώσεων παρατηρήσεων (με παρουσία παραμέτρων & σημάτων) b Ax s v 2 1 o v ( 0, P ) (*) το διάνυσμα s περιέχει άγνωστη πρόσθετη πληροφορία που υπάρχει στις διαθέσιμες παρατηρήσεις

17 Η χρήση του διευρυμένου μοντέλου σε προβλήματα παρεμβολής/πρόγνωσης b Ax s v 2 1 o v ( 0, P ) b v x, A s P παρατηρήσεις σημειακών τιμών άγνωστης συνάρτησης τυχαία σφάλματα παρατηρήσεων διάνυσμα αγνώστων παραμέτρων & αντίστοιχος πίνακας σχεδιασμού για την κυρίαρχη τάση διάνυσμα σημάτων της άγνωστης συνάρτησης (στα σημεία μέτρησης) πίνακας βάρους παρατηρήσεων

18 Πως μπορούν να αντιμετωπιστούν τα σήματα στη συνόρθωση ; Ως πρόσθετες ντετερμινιστικές παράμετροι x b A I v Ax v s n1 nm nn Το παραπάνω μοντέλο δεν μπορεί να συνορθωθεί λόγω αδυναμίας βαθμού στις κανονικές εξισώσεις: T T T A PA A P x A Pb PA P s Pb (*) λιγότερες παρατηρήσεις από άγνωστες παραμέτρους (n < m + n)

19 Πως μπορούν να αντιμετωπιστούν τα σήματα στη συνόρθωση ; Ως πρόσθετες στοχαστικές παράμετροι s b A x I I Ax v v n1 nm m1 nn nn Ανάγκη ύπαρξης και χρήσης πρόσθετου μοντέλου για τη στατιστική περιγραφή των σημάτων! π.χ. s ( 0, Cs ) Csv 0

20 Να θυμάστε ότι... Η στοχαστική προσέγγιση των σημάτων παρουσιάζει σημαντικά πλεονεκτήματα σε πολλές περιπτώσεις: o όταν η άγνωστη συνάρτηση παρουσιάζει πολύπλοκη συμπεριφορά που καθιστά δύσκολη την περαιτέρω παραμετροποίηση των σημάτων (δηλ. s = Bx'), o όταν διαθέτουμε σχετικά μικρό αριθμό παρατηρήσεων σε σχέση με τον αριθμό των παραμέτρων που απαιτούνται για μια πλήρη παραμετροποίηση της άγνωστης συνάρτησης, o αποτελεί καθιερωμένη μεθοδολογία για την πρόγνωση της συμπεριφοράς φυσικών διεργασιών από διακριτές μετρήσεις σε πολλά επιστημονικά πεδία (π.χ. γεωστατιστική).

21 Τι ακριβώς σημαίνει στοχαστική προσέγγιση για τα σήματα; Η στοχαστική περιγραφή του σήματος μιας άγνωστης συνάρτησης βασίζεται στο γεγονός ότι: o οι τιμές της σε γειτονικά σημεία ενδέχεται να έχουν μια ισχυρή στατιστική συσχέτιση μεταξύ τους o η παραπάνω συσχέτιση εξαρτάται συνήθως από την απόσταση μεταξύ των σημείων, και είναι λογικό να μειώνεται όσο αυξάνεται η σχετική τους απόσταση.

22 Τι ακριβώς σημαίνει στοχαστική προσέγγιση για τα σήματα; s P s P s Q s R P Q Q P R P-Q < P-R σ sp, s Q > σ sp, s R

23 Μοντέλο συνόρθωσης Εξισώσεις παρατηρήσεων: b Ax s v ντετερμινιστικές παράμετροι: x στοχαστικά σήματα: (, ) s 0 C s τυχαία σφάλματα μετρήσεων: (, ) v 0 C v Κριτήριο βελτιστοποίησης: T 1 T 1 v s v C v s C s min Το παραπάνω μοντέλο θα χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια για την επίλυση του προβλήματος της γενικευμένης παρεμβολής συνάρτησης, και θα εφαρμοστεί στο 1 ο θέμα για την εκτίμηση τιμών χρονοσειράς από διακριτά δεδομένα.

24 Γενικευμένη παρεμβολή άγνωστης συνάρτησης Το πρόβλημα συνίσταται στη χρήση παρατηρήσεων των τιμών της συνάρτησης σε ένα σύνολο σημείων, δηλ. bi mi si vi i 1, 2,..., y i N - για την εκτίμηση (των παραμέτρων) της κυρίαρχης τάσης π.χ. T 2 i ax i 0 1 i 2 i mˆ ˆ xˆ xˆ t xˆ t? - για την πρόγνωση του σήματος στα σημεία μέτρησης sˆ i? - για την πρόγνωση του σήματος σε άλλα σημεία s ˆ k?

25 Γενικευμένη παρεμβολή άγνωστης συνάρτησης T i ax i i i b s v Μέτρηση συνάρτησης T i ax i si yˆ ˆ ˆ Εκτίμηση συνάρτησης T k ax k s k yˆ ˆ ˆ Εκτίμηση συνάρτησης T n ax n n n b s v Μέτρηση συνάρτησης t i t k t n t Σημείο μέτρησης Σημείο πρόγνωσης

26 Παράδειγμα b i T yˆ axˆ sˆ i i i

27 Παράδειγμα Σημεία πρόγνωσης (κόμβοι καννάβου) Σημεία μέτρησης ( b i )

28 Διαδικασία συνόρθωσης

29 Διαδικασία συνόρθωσης Εξισώσεις παρατηρήσεων b Ax s v (με συμμετοχή ντετερμινιστικών παραμέτρων & στοχαστικών σημάτων) Σφάλματα παρατηρήσεων (στοχαστική προσέγγιση) E{ v} 0 T E{ vv } Cv Σήματα παρατηρήσεων (στοχαστική προσέγγιση) E{ s} 0 T E{ ss } Cs Κριτήριο βελτιστοποίησης: T 1 T 1 v s v C v s C s min

30 Διαδικασία συνόρθωσης Εξισώσεις παρατηρήσεων b Ax s v (με συμμετοχή ντετερμινιστικών παραμέτρων & στοχαστικών σημάτων) Σφάλματα παρατηρήσεων (στοχαστική προσέγγιση) E{ v} 0 T E{ vv } Cv Σήματα παρατηρήσεων (στοχαστική προσέγγιση) E{ s} 0 T E{ ss } Cs T E{ sv } 0 Κρίσιμη απλουστευτική παραδοχή Δεν ισχύει κατ ανάγκη σε ορισμένες πρακτικές εφαρμογές (δηλ. το σήμα και ο θόρυβος των παρατηρήσεων δεν είναι πάντα ασυσχέτιστα μεταξύ τους)

31 Διαδικασία συνόρθωσης Εξισώσεις παρατηρήσεων b Ax s v (με συμμετοχή ντετερμινιστικών παραμέτρων & στοχαστικών σημάτων) Σφάλματα παρατηρήσεων (στοχαστική προσέγγιση) E{ v} 0 T E{ vv } Cv Σήματα παρατηρήσεων (στοχαστική προσέγγιση) E{ s} 0 T E{ ss } Cs T E{ sv } 0 Τα στοιχεία του συγκεκριμένου πίνακα προσδιορίζονται μέσω μιας συνάρτησης συμμεταβλητότητας που περιγράφει τη στατιστική συμπεριφορά των σημάτων που μας ενδιαφέρουν στο πεδίο ορισμού της άγνωστης συνάρτησης.

32 Διαδικασία συνόρθωσης Εξισώσεις παρατηρήσεων b Ax s v (με συμμετοχή ντετερμινιστικών παραμέτρων & στοχαστικών σημάτων) Σφάλματα παρατηρήσεων (στοχαστική προσέγγιση) E{ v} 0 T E{ vv } Cv Σήματα παρατηρήσεων (στοχαστική προσέγγιση) E{ s} 0 T E{ ss } Cs T E{ sv } 0 π.χ. si, s j Co e (ln 0.5) 2 2 τ: απόσταση μεταξύ των σημείων i και j

33 Συνάρτηση συμμεταβλ. σήματος C( ) σήμα συνάρτησης s i s j 2 s i C ij -600 s s i j C ij t i t j 0 ij

34 Παράδειγμα Συνάρτηση συμμεταβλητότητας: C( ) Co ( 1 A 2 ) 2 (μοντέλο Hirvonen) Ενδεικτικές μορφές σήματος (για C o = 400, A = 0.014):

35 Παράδειγμα Συνάρτηση συμμεταβλητότητας: C( ) Co ( 1 A 2 ) 2 (μοντέλο Hirvonen) Ενδεικτικές μορφές σήματος (για C o = 400, A = 0.066):

36 Παράδειγμα Συνάρτηση συμμεταβλητότητας: C( ) Co ( 1 A 2 ) 2 (μοντέλο Hirvonen) Α = (ξ = 8 km) Ενδεικτικές μορφές σήματος 300 Α = (ξ = 4 km) C( ) Α = (ξ = 1 km)

37 Παραδείγματα μοντέλων Μοντέλο συνάρτησης συμμεταβλητότητας Αναλυτική μορφή Hirvonen C( ) Co ( 1 A 2 ) 2 Exponential C ( ) C A o e Gaussian C ( ) C e o A 2 Logarithmic ( ) ln B 1 C Co 2 1 1A

38 Πίνακας συμμεταβλ. σημάτων (στα σημεία μέτρησης) C s s 1 2 s s s s s si 1 1 i 1 2 s i s N s s 2 s N i N N s 1 s i s N Τα στοιχεία του υπολογίζονται με βάση κάποιο κατάλληλο μοντέλο για τη συνάρτηση συμμεταβλητότητας του σήματος s s i j C ij 2 s i C 0

39 Πίνακας συμμεταβλ. σημάτων (στα σημεία μέτρησης) C s s 1 2 s s s s s si 1 1 i 1 2 s i s N s s 2 s N i N N s 1 s i s N Είναι: τετραγωνικός συμμετρικός θετικά ορισμένος

40 Πίνακας συμμεταβλ. σημάτων (στα σημεία μέτρησης) C s 2 s s s s s 1 1 i 1 2 s i s s 2 s N i N N (*) αν τα σημεία μέτρησης ισαπέχουν μεταξύ τους (gridded data) τότε ο πίνακας έχει τη λεγόμενη μορφή Toeplitz s s s s i j i 1 j 1

41 Αλγόριθμος συνόρθωσης

42 Αλγόριθμος συνόρθωσης Εξισώσεις παρατηρήσεων b Ax s v (με συμμετοχή ντετερμινιστικών παραμέτρων & στοχαστικών σημάτων) Γενικό τυπολόγιο συνόρθωσης M C C v s 1 1 vˆ C M ( b Axˆ) v T 1 T 1 xˆ A M A A M b 1 sˆ C M ( b Axˆ ) s Βέλτιστη εκτίμηση παραμέτρων της κυρίαρχης τάσης της άγνωστης συνάρτησης Βέλτιστη πρόγνωση σημάτων στα σημεία των διαθέσιμων παρατηρήσεων Βέλτιστη πρόγνωση των τυχαίων σφαλμάτων των παρατηρήσεων

43 Αλγόριθμος συνόρθωσης Εξισώσεις παρατηρήσεων b Ax s v (με συμμετοχή ντετερμινιστικών παραμέτρων & στοχαστικών σημάτων) Γενικό τυπολόγιο συνόρθωσης M C C v s 1 T 1 T 1 xˆ A M A A M b 1 sˆ C M ( b Axˆ ) s 1 sˆ C M ( b Axˆ ) ss Βέλτιστη εκτίμηση παραμέτρων της κυρίαρχης τάσης της άγνωστης συνάρτησης Βέλτιστη πρόγνωση σημάτων στα σημεία των διαθέσιμων παρατηρήσεων Βέλτιστη πρόγνωση σημάτων σε άλλα σημεία

44 Πίνακας συμμεταβλ. σημάτων (μεταξύ σημείων μέτρησης και σημείων πρόγνωσης) s1 ss ss ss i 1 C ss s s s s s s si k 1 k i k N s s s s s s M 1 M i M N Τα στοιχεία του υπολογίζονται σύμφωνα με την ίδια διαδικασία που ακολουθείται για τον πίνακα C s s N N s 1 s k s M s s k i C ik

45 Πίνακας συμμεταβλ. σημάτων (μεταξύ σημείων μέτρησης και σημείων πρόγνωσης) s1 ss ss ss i 1 C ss s s s s s s k 1 k i k N s s s s s s M 1 M i M N Δεν είναι κατ ανάγκη τετραγωνικός πίνακας Αν είναι τετραγωνικός πίνακας τότε δεν είναι κατ ανάγκη συμμετρικός! si s N N s 1 s k s M

46 Αλγόριθμος συνόρθωσης Εξισώσεις Οι σχέσεις παρατηρήσεων αυτές έχουν τη μορφή b ενός Ax βέλτιστου s v φιλτραρίσματος των ανηγμένων τιμών των αρχικών (με συμμετοχή ντετερμινιστικών παραμέτρων & άγνωστων στοχαστικών σημάτων) παρατηρήσεων b Γενικό Αποτελούν τυπολόγιο ειδικές συνόρθωσης περιπτώσεις μιας γενικότερης τεχνικής βέλτιστης γραμμικής εκτίμησης/πρόγνωσης, γνωστή ως M Cv C σημειακή s T προσαρμογή 1 T (least-squares 1 collocation) xˆ A M A A M b 1 Βέλτιστη εκτίμηση παραμέτρων της κυρίαρχης τάσης της άγνωστης συνάρτησης 1 sˆ C ( C C ) ( b Axˆ ) s v s Βέλτιστη πρόγνωση σημάτων στα σημεία των διαθέσιμων μετρήσεων 1 sˆ C ( C C ) ( b Axˆ ) Βέλτιστη πρόγνωση σημάτων σε ss v s άλλα σημεία

47 Αξιολόγηση ακρίβειας

48 Αξιολόγηση ακρίβειας της λύσης Εξισώσεις παρατηρήσεων b Ax s v (με συμμετοχή ντετερμινιστικών παραμέτρων & στοχαστικών σημάτων) Γενικό τυπολόγιο συνόρθωσης M C C v s 1 T 1 T 1 xˆ A M A A M b e xˆ x xˆ C ex ˆ... 1 sˆ C M ( b Axˆ ) s e sˆ s sˆ C es ˆ... 1 sˆ C M ( b Axˆ ) ss e sˆ s sˆ C es ˆ...

49 Αξιολόγηση ακρίβειας της λύσης Εξισώσεις παρατηρήσεων b Ax s v (με συμμετοχή ντετερμινιστικών παραμέτρων & στοχαστικών σημάτων) Γενικό τυπολόγιο συνόρθωσης M C C v s 1 T 1 T 1 xˆ A M A A M b e xˆ x xˆ C ex ˆ... 1 sˆ C M ( b Axˆ ) s e sˆ s sˆ C es ˆ... Συνολική εκτίμηση συνάρτησης (στα σημεία μέτρησης) yˆ f() Axˆ s ˆ e yˆ y Ae eˆ yˆ xˆ s C ey ˆ...

50 Αξιολόγηση ακρίβειας της λύσης Εξισώσεις παρατηρήσεων b Ax s v (με συμμετοχή ντετερμινιστικών παραμέτρων & στοχαστικών σημάτων) Γενικό τυπολόγιο συνόρθωσης M C C v s 1 T 1 T 1 xˆ A M A A M b e xˆ x xˆ C ex ˆ... 1 sˆ C M ( b Axˆ ) ss e sˆ s sˆ C es ˆ... Συνολική εκτίμηση συνάρτησης (στα σημεία παρεμβολής) yˆ f() Axˆ s ˆ e yˆ y Ae eˆ yˆ xˆ s C ey ˆ...

51 Αξιολόγηση ακρίβειας της λύσης Ποσότητα Παράμετροι κυρίαρχης τάσης Σήματα στα σημεία μέτρησης Σφάλματα εκτίμησης e xˆ x xˆ e sˆ s sˆ C e Πίνακες συμμεταβλητοτήτων σφαλμάτων T 1 1 Cˆ ( A M A) x xˆ C C C e s sˆ sˆ C xˆ 1 T 1 sˆ s ( xˆ ) s C C M M AC A M C Τιμές συνάρτησης στα σημεία μέτρησης e yˆ y yˆ Ae xˆ e sˆ T e e e C AC A C yˆ xˆ sˆ xˆ sˆ AC e e xˆ sˆ ( AC ) T xˆ sˆ T 1 e e xˆ s C C A M C e e

52 Αξιολόγηση ακρίβειας της λύσης Ποσότητα Παράμετροι κυρίαρχης τάσης Σήματα στα σημεία παρεμβολής Σφάλματα εκτίμησης e xˆ x xˆ e sˆ s sˆ C e Πίνακες συμμεταβλητοτήτων σφαλμάτων T 1 1 Cˆ ( A M A) x C C C e s sˆ sˆ xˆ C xˆ 1 T 1 T sˆ ss ( xˆ ) ss C C M M AC A M C Τιμές συνάρτησης στα σημεία παρεμβολής e yˆ y yˆ Ae xˆ e sˆ T e e e C A C A C yˆ xˆ sˆ xˆ sˆ AC e e xˆ sˆ ( AC ) T xˆ sˆ T 1 T e e xˆ ss C C A M C e e

53 Πίνακες που δημιουργεί ο χρήστης Πίνακες συμμεταβλητοτήτων σήματος (με βάση το μοντέλο συνάρτησης συμμεταβλητότητας και την τοπολογία των σημείων μέτρησης/παρεμβολής) C s Cs C ss Πίνακες σχεδιασμού για το παραμετρικό μοντέλο της κυρίαρχης τάσης της άγνωστης συνάρτησης (με βάση το αναλυτικό μοντέλο περιγραφής της κυρίαρχης τάσης και την τοπολογία των σημείων μέτρησης/παρεμβολής) A C v A Πίνακας συμμεταβλητοτήτων θορύβου μετρήσεων (με βάση τη θεωρούμενη ακρίβεια των διαθέσιμων μετρήσεων)

54 Για περισσότερες λεπτομέρειες, βλέπε επίσης Δερμάνης Α., Φωτίου (1992) Μέθοδοι και εφαρμογές συνόρθωσης παρατηρήσεων, Κεφάλαιο 5. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Δερμάνης Α. (1987) Συνορθώσεις παρατηρήσεων και θεωρία εκτίμησης (τόμος ΙΙ), Κεφάλαιο 17. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη.