ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 Η ράβδος ΟΑ του σχήματος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα z z χωρίς τριβές Tη στιγμή t=0 δέχεται την εφαπτομενική δύναμη F σταθερού μέτρου 0 Ν, με φορά όπως φαίνεται στο σχήμα α Nα υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου β Να βρείτε το μέτρο της στροφορμής της ράβδου μετά από γωνία στροφής 5 rad γ Να γίνει το διάγραμμα P=f(t) Δίνονται: η μάζα της ράβδου M=3kg, το μήκος της l= 1 m και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα περιστροφής που περνά από το κέντρο μάζας της: M l I = 1 Ο δίσκος μάζας M= kg και ακτίνας R=40 του σχήματος αρχικά ηρεμεί και μπορεί να στρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Κ χωρίς τριβές Γύρω του είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα, του οποίου το άκρο Α αρχίζει να δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύναμης F Το μέτρο της δύναμης είναι F=10Ν Να υπολογίσετε: α το έργο της δύναμης και το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου για μετατόπιση του Ακατά 1m β τη στροφορμή τη στιγμή που η μετατόπιση είναι 1m και το ρυθμό μεταβολής του δίσκου γ τον ρυθμό που προσφέρεται ενέργεια στον δίσκο τη στιγμή που η μετατόπιση είναι 1m δ Τη στιγμή που είναι x=1m, παύει να επενεργεί η δύναμη και ένας μικρός κύβος μάζας m=kg πέφτει με ταχύτητα m/s πάνω στο δίσκο σε απόσταση R/ από το κέντρο του Για το σύστημα να βρείτε το μέτρο της νέας γωνιακής ταχύτητας και την μεταβολή της κινητικής του ενέργειας Πόσος πρέπει να είναι ο συντελεστης τριβής μ min για να μην ολισθήσει το σώμα πάνω στο δίσκο; Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα Κ είναι Ι= M R 3 Δύο ομογενείς ράβδοι είναι κολλημένες στο ένα τους άκρο (Ο), όπως φαίνεται στο σχήμα και περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το (Ο) α Αν το σύστημα αφεθεί ελεύθερο από τη θέση που φαίνεται στο σχήμα, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος εκείνη τη στιγμή, όπως επίσης και την α γων β Να βρείτε το μέτρο της στροφορμής του συστήματος τη στιγμή που η ΟΑ γίνεται οριζόντια Δίνονται: φ=60 ο m=kg, l= m, g=10 m/s και ότι η ροπή αδράνειας δοκού ως προς άξονα περιστροφής που περνά από το κέντρο μάζας της, είναι: M l I = 1 4 Η ράβδος ΟΑ του σχήματος, είναι ομογενής μήκους l=4m και βάρους w=50ν Το όριο θραύσης του νήματος ΑΓ είναι 80 Ν Να βρεθεί η μεγαλύτερη δυνατή απόσταση d από το σημείο Ο, στην οποία μπορεί να στερεωθεί σφαίρα βάρους μέτρου w 1 =40Ν χωρίς να κοπεί το νήμα Αν κοπεί το νήμα, α) ποιά είναι η α γων τη στιγμή αυτή; β) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ράβδου τη στιγμή αυτή γ) Ποια είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου Α όταν η ράβδος γίνει κατακόρυφη; η ροπή αδράνειας δοκού ως προς άξονα περιστροφής που περνά από το κέντρο μάζας της, είναι: I =M l /1
5 Η οριζόντια αβαρής ράβδος του σχήματος έχει μήκος l=1m και μπορεί να στρέφεται γύρω από την άρθρωση Α Στο άκρο της Γ κρέμεται βάρος w= 0 N H ράβδος λειτουργεί ως φρένο στον περιστρεφόμενο τροχό και τον αναγκάζει να σταματήσει Η αρχική γωνιακή ταχύτητα του τροχού είναι ω 0 =40 rad/s Δίνονται: μάζα και ακτίνα τροχού m=5 kg και R=0, m αντίστοιχα, ο συντελεστής τριβής στο σημείο Κ είναι μ= 0,5, d=0,4 m και η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του I = mr Να υπολογίσετε: α την δύναμη που δέχεται η ράβδος ΑΓ από την άρθρωση, β τη γωνιακή επιβράδυνση του τροχού, γ τον αριθμό των στροφών μέχρι να σταματήσει 6 Να βρείτε την δύναμη F ώστε η επιτάχυνση του σώματος m να είναι α =4m/s Το νήμα είναι αβαρές, το σώμα m 1 ολισθαίνει και ο κύλινδρος m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει Δίνονται: R=0, m =10 Kg, m 1 =4 kg, μ=0, μεταξύ οριζοντίου δαπέδου και σωμάτων, η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περι-στροφής του Ι = m R και g = 10 m/s Τη στιγμή s να βρείτε την κεντρομόλο επιτάχυνση του σημείου του κυλίνδρου που είναι σε επαφή με το δάπεδο 7 Μία σφαίρα μάζας m=kg και ακτίνας R=0,1m εκτοξεύεται με υ 0 =5 m/s, από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ=30 ο, προς την κορυφή του Η σφαίρα κυλάει χωρίς να ολισθαίνει Μετά από διάστημα s=,8 m, το κεκλιμένο επιπέδο είναι λείο Να υπολογιστούν: α το μέτρο της ταχύτητας υ της σφαίρας όταν διανύσει το διάστημα,8 m πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο β το ολικό διάστημα μέχρι να σταματήσει στιγμιαία η σφαίρα mr γ το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής σε όλη τη διάρκεια της κίνησης Δίνονται: I= και g=10 m/s 5 8 Συμπαγής ομογενής κύλινδρος ακτίνας R και μάζας Μ και συμπαγής σφαίρα ίδιας ακτίνας και μάζας αφήνονται ταυτόχρονα από ύψος h πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ Ο κύλινδρος και η σφαίρα κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν α Να αποδείξετε ότι η σφαίρα θα φτάσει γρηγορότερα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου β Να υπολογίσετε: 1 το λόγο της κινητικής ενέργειας της σφαίρας στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου προς εκείνη του K κυλίνδρου στην ίδια θέση το λόγο της κινητικής ενέργειας της σφαίρας λόγω περιστροφής στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου προς εκείνη του κυλίνδρου στην ίδια θέση Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g 10 m / s, η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον 1 άξονά του MR και η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που περνά από μία διάμετρό της MR 5 9 Το συμπαγούς κυλίνδρου μάζας M 3Kg είναι δεμένο στην άκρη ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K 00 N m, έτσι ώστε να μπορεί να κινείται οριζόντια χωρίς να ολισθαίνει Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα του γύρω από τον οποίο περιστρέφεται δίνεται από τη σχέση I 1 MR
α Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που δέχεται ο κύλινδρος σε μια τυχαία θέση της κίνησής του καθώς επιταχύνεται β Να υπολογιστεί ο λόγος της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής προς την κινητική ενέργεια λόγω περιστροφικής κίνησης γ Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής και η κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς του κυλίνδρου τη στιγμή που το ελατήριο διέρχεται από τη θέση φυσικού του μήκους δ Να αποδείξετε ότι το σύστημα εκτελεί αατ και να υπολογίσετε την περίοδό του 10 Το γιο - γιο του σχήματος έχει μάζα m=1 kg, ακτίνα R=6 και αρχικά ηρεμεί Γύρω του είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα, του οποίου το ένα άκρο το κρατάει ακίνητο ένας άνθρωπος Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο και αρχίζει να πέφτει Να βρείτε: α την επιτάχυνση του σώματος και την τάση του νήματος, β το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του σώματος, γ την κινητική ενέργεια Κ μετ που έχει αποκτήσει σε t=3s, I = mr δ τη δύναμη που πρέπει να ασκήσουμε στο νήμα ώστε το γιο - γιο να πεφτει με επιτάχυνση g/ και τη δύναμη που πρέπει να ασκήσουμε στο νήμα ώστε το γιο - γιο να περιστρέφεται μόνο χωρίς να πέφτει 3 11 Η ομογενής ράβδος μήκους l m και μάζας M 4kg, του σχήματος, μπορεί να περιστρέφεται 4 χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος στο ράβδο και διέρχεται από το ένα άκρο της Στο άλλο άκρο της ράβδου είναι προσκολλημένη σημειακή μάζα m kg η οποία κινείται μαζί με τη ράβδο Αρχικά η ράβδος βρίσκεται στη θέση (1) και αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί Α Να υπολογιστούν: i Η ροπή αδράνειας του συστήματος και η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος ράβδου - μάζας όταν αυτό είναι οριζόντιο ii Η μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ράβδου - μάζας Β Όταν η ράβδος φτάσει στην κάτω κατακόρυφη θέση της, η μάζα m αποκολλάται από τη ράβδο και κινούμενη οριζόντια, συγκρούεται πλαστικά με σώμα ίσης μάζας που βρίσκεται δεμένο στην ελεύθερη άκρη οριζόντιου ελατηρίου και που έχει το άλλο άκρο του στερεωμένο Το ελατήριο έχει σταθερά k = 100N / m και βρίσκεται στο φυσικό του μήκος i Να βρείτε την ταχύτητα του σφαιριδίου στην κατώτερη θέση ii Το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το συσσωμάτωμα iii Μετά από πόσο χρόνο μετά την κρούση το ελατήριο θα ξαναβρεθεί στη θέση φυσικού του μήκους Δίνεται Ι =Μl /1 1 Στο σχήμα, η ομογενής σφαίρα ακτίνας r και μάζας m, αφήνεται στο σημείο Α του κεκλιμένου επιπέδου Εάν το κεκλιμένο επίπεδο και η κυκλική στεφάνη ακτίνας R=,5 m είναι λεία, να υπολογίσετε: α Το ελάχιστο ύψος h του κέντρου της σφαίρας από το έδαφος από το οποίο πρέπει να αφήσουμε την σφαίρα ώστε να κάνει ασφαλή ανακύκλωση β Στην περίπτωση που στο κεκλιμένο επίπεδο και στην κυκλική στεφάνη αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής Θα καταφέρει η σφαίρα να κάνει μία πλήρη ανακύκλωση αν την αφήσουμε από το ύψος που υπολογίσαμε στο παραπάνω ερώτημα; γ Να υπολογίσετε το νέο ύψος Η από το οποίο πρέπει να αφήσουμε την σφαίρα ώστε να κάνει μία πλήρη ανακύκλωση Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας I mr, g=10m/s και ότι r << R 5
13 Ένα αυτοκίνητο κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα H ακτίνα των τροχών του αυτοκινήτου είναι 0, m Δύο σημεία Α και Β μιας κατακόρυφης διαμέτρου του ενός τροχού βρίσκονται σε ύψη 0,1m και 0,3m, αντίστοιχα από τον οριζόντιο δρόμο και τα μέτρα των ταχυτήτων τους είναι υ Α =1 m/s και υ Β Nα βρείτε: α το μέτρο της υ και της ω του κάθε τροχού και υ Β β την επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας των τροχών γ Αν κάθε τροχός έχει κινητική ενέργεια 30 J και η ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I = mr, πόση είναι η Κ στροφ ; 14 Ο δίσκος μάζας M= kg και ακτίνας R=1 m του σχήματος αρχικά ηρεμεί και μπορεί να στρέφεται γύρω από τον οριζόντιο άξονα Κ χωρίς τριβές Τη στιγμή t=0 αρχίζει να δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύναμης F Το μέτρο της ροπής της δύναμης δίνεται από τη σχέση: τ=+ t (SI) α Να γίνει το διάγραμμα τ - t και να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής τη στιγμή 5 s β To μέτρο της γωνιακής ταχύτητας τη στιγμή 5 s γ To έργο της ροπής μέχρι τη στιγμή 5 s και τo ρυθμό που προσφέρεται ενέργεια στο δίσκο τη στιγμή 5 s Η ροπή αδράνειας του δίσκου προς το : Ι= M R / 15 Ένας τροχός μάζας m= kg και ακτίνας R κυλάει χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Ένα λεπτό νήμα είναι τυλιγμένο σε απόσταση x=r/4 από το κέντρο του τροχού Τραβάμε το νήμα με σταθερή δύναμη μέτρου F=1 N Να υπολογίσετε: α την μεταφορική επιτάχυνση του τροχού και το μέτρο της στατικής τριβής, â ôéò ôéì Ýò ôï õ óõí ôåëåóôþ ôñéâþò ì s, ώστε ο τροχός να κυλάει, χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο γ Το έργο της δύναμης F σε s και το ρυθμό αύξησης της κινητικής ενέργειας εκείνη τη στιγμή Äßí ï í ôáéç ñï ðþ áäñüí åéáò ôï õ ôñï ï ý ùò ðñï ò ôï í Üîï í Ü ôï õ 16 Το ομογενές στερεό του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο (Ο) Τη χρονική στιγμή t=0 αφήνεται ελεύθερο να περιστραφεί Δίνονται: η μάζα m = kg, το μήκος L= m, g=10 m/s και η ροπή αδράνειας δοκού ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το M L κέντρο μάζας της, ότι είναι I 1 α Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς το σημείο (Ο) και I m R και g=10 m/s β το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του στερεού τη χρονική στιγμή t=0, όταν έχει περιστραφεί κατά 60 ο και όταν έχει περιστραφεί κατά 90 ο γ το μέτρο της στροφορμής του στερεού όταν στραφεί κατά 90 ο 17 Tο σύστημα του παρακάτω σχήματος αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί Να βρείτε τα μέτρα των επιταχύνσεων των σωμάτων του συστήματος Το αβαρές νήμα δεν ολισθαίνει ως προς την τροχαλία λόγω μεγάλης στατικής τριβής Δίνονται:
M= 10 kg, R = 0, m 1 = 10 kg, m = 8 kg, μ=0, μεταξύ οριζοντίου δαπέδου και σώματος m, η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς m R τον άξονα περιστροφής της I και ότι g=10 m/s Επίσης να βρείτε τη στροφορμή της τροχαλίας όταν το σώμα Σ1 έχει πέσει κατά 0, m 18 Tο σύστημα του παρακάτω σχήματος ελατήριο - αβαρές νήμα - τροχαλία - σώμα μάζας m, ισορροπεί Πάνω στο σώμα μάζας m αφήνουμε ένα άλλο σώμα μάζας m 1 Να βρείτε την ταχύτητα των σωμάτων όταν πέσουν κατά h = 0,1 m Δίνονται: Μ R k=00 N/m, m = kg, m 1 = kg, M = 4 kg, I = προς την τροχαλία 19 Το όχημα του σχήματος έχει 4 τροχούς και το αφήνουμε να κυλήσει, χωρίς να ολισθαίνουν οι τροχοί, σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 ο Το αμάξωμα έχει μάζα Μ=10kg και ο κάθε τροχός μάζα m=,5 kg και ακτίνα R=0, m Η ροπή αδράνειας του τροχού ως m R προς τον άξονά του είναι I, g=10 m/s και ότι το νήμα δεν ολισθαίνει ως α Να υπολογιστούν τα μέτρα της επιτάχυνσης α του κέντρου μάζας, της γωνιακής επιτάχυνσης α γων του κάθε τροχού και το μέτρο της στατικής τριβής β την ταχύτητα που έχει αναπτυξει το όχημα σε s Δίνεται g=10 m/s m M m φ υ 0 Tο στερεό του σχήματος είναι δύο κύλινδροι κολλημένοι που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβή γύρω από τον άξονά τους z z Oι μάζες των κυλίνδρων είναι M= kg και Μ και οι ακτίνες τους R=10 και R αντίστοιχα Γύρω τους είναι τυλιγμένα αβαρή νήματα στα άκρα των οποίων είναι δεμένα δύο σώματα μαζών m 1 = 4 kg και m = kg Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο από την ηρεμία Να υπολογιστούν:
α Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα z z β Να υπολογιστούν τα μέτρα της επιτάχυνσης των σωμάτων και της γωνιακής επιτάχυνσηςτου στερεού β Να υπολογιστεί το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του στερεού μετά από,1 s, ο αριθμός των στροφών που έχει πραγματοποιήσει μέχρι τότε και το μέτρο της ταχύτητας κάθε σώματος Το νήμα δεν ολισθαίνει ως προς τους κυλίνδρους m R Δίνονται ότι η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι: I και g=10 m/s 1 Σε μια παιδική χαρά υπάρχει μία ακίνητη κυκλική εξέδρα μάζας Μ=80 kg και ακτίνας R=1m, η οποία μπορεί να περιστραφεί περί το κέντρο της χωρίς τριβές Ένα παιδί μάζας m=40 kg τρέχει γύρω - γύρω με ταχύτητα υ=3 m/s και ξαφνικά πηδάει πάνω στην εξέ-δρα Να βρείτε: α Με ποια γωνιακή ταχύτητα αρχίζει να περιστρέφεται η εξέδρα; Πόση θάναι η συχνότητα περιστροφής αν η υ έχει τη διεύθυνση μιας ακτίνας της εξέδρας; β Πόση γίνεται η γωνιακή ταχύτητα αν το παιδί κινηθεί και φτάσει σε απόστα-ση 0,4m από το κέντρο της εξέδρας; γ Πόση σταθερή ροπή πρέπει να ασκηθεί στην εξέδρα, στην περίπτωση α, ώστε να σταματήσει να περιστρέφεται μετά από t=s; Δίνεται η ροπή αδράνειας της εξέδρας Ι = M R /