3,6. sec. h a. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας κάθε τροχού b. Τον αριθμό των περιστροφών κάθε τροχού στο χρόνο t=5 sec.

Transcript

1 ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ. Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο του. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου σε συνάρτηση με το χρόνο παριστάνεται στο παρακάτω διάγραμμα του σχήματος. a. Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου κατά τις χρονικές στιγμές t= και t=. b. Να σχεδιάσετε τις γωνιακές επιταχύνσεις του προηγούμενου ερωτήματος c. Να υπολογίσετε τη γωνία που διαγράφει μια ακτίνα του δίσκου στη διάρκεια της επιβραδυνομενης κίνησης 5,,, 7,5,,,5 d. Ένας τροχός ακτίνας R=0,6 μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα του, που είναι κατακόρυφος. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 ο τροχός αρχίζει να στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση μέτρου a γων =6. Να υπολογίσετε : a. Το μέτρο της γραμμικής επιτάχυνσης ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού b. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού τη χρονικής στιγμή t=4. c. Το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t=4 d. Τη γωνία που διέγραψε μια ακτίνα του τροχού στο χρονικό διάστημα Δt =t t 0 =4 e. Τον αριθμό των περιστροφών του τροχού στο ίδιο χρονικό διάστημα,6 4,,,4,4,,, 45,6,,, 48,,, d π. Ένας τροχός ακτίνας R=0 c κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Η ταχύτητα του ανώτερου σημείου Α του τροχού έχει μέτρο u A =0. Να υπολογίσετε: a. Την ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού b. Τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού c. Τον αριθμό των περιστροφών του τροχού σε χρόνο t=π 5,,, 5,,,,5 d 4. Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την ηρεμία και κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή επιτάχυνση. Οι τροχοί του αυτοκινήτου, οι οποίοι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν, έχουν ακτίνα R=40 c. Σε χρόνο t=5 το αυτοκίνητο αποκτά ταχύτητα μέτρου u=7 k. Να υπολογίσετε: h a. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας κάθε τροχού b. Τον αριθμό των περιστροφών κάθε τροχού στο χρόνο t=5. 4 6,5,,, d π

2 5. Ένας τροχός περιστρέφεται γύρω από τον άξονα του. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του τροχού σε συνάρτηση με το χρόνο παριστάνεται στο διάγραμμα του σχήματος. a. Ποιο είναι το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του τροχού b. Ποια χρονική στιγμή το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του τροχού είναι ω=8 ; c. Ποια είναι η γωνιακή μετατόπιση ενός σημείου του τροχού κατά τη διάρκεια του πέμπτου δευτερολέπτου της κίνησης του; 4,,,,,, 8 d 6. Ένας τροχός ποδηλάτου ακτίνας R=40 c στρέφεται γύρω από τον άξονα του. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του τροχού σε συνάρτηση με το χρόνο παριστάνεται στο διάγραμμα του παρακάτω σχήματος. Να υπολογίσετε: a. Τη γωνιακή επιτάχυνση του τροχού τη χρονική στιγμή t= b. Τη μεταβολή του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του τροχού από τη χρονική στιγμή t= έως τη χρονική στιγμή t=4. c. Τη γραμμική ταχύτητα ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t= d. Τον αριθμό των περιστροφών του τροχού κατά τη διάρκεια της κίνησης του 4 5,,,,,,,,,, d π 7. Ένας δίσκος στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 0 =0 γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο του. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 ο δίσκος αποκτά σταθερή γωνιακή επιτάχυνση μέτρου a γων =. a. Ποια χρονική στιγμή t το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής θα διπλασιαστεί; b. Πόση γωνία θα διαγράψει μια ακτίνα του δίσκου στο χρονικό διάστημα Δt =t t 0 ; c. Κατά πόσο θα μεταβληθεί το μέτρο της γραμμικής επιτάχυνσης ενός σημείου της περιφέρειας του δίσκου στο ίδιο χρονικό διάστημα ; (5, 75, 0) d

3 8. Ένας τροχός ακτίνας R=0 c στρέφεται γύρω από τον άξονα του με γωνιακή ταχύτητα. Κάποια στιγμή ο τροχός αρχίζει να επιβραδύνεται ομαλά και τελικά 0 ακινητοποιείται, αφού διαγράψει N = περιστροφές. Να υπολογίσετε: π μέτρου ω 0 =0 a. Το μέτρο της γωνιακής επιβράδυνσης του τροχού b. Το μέτρο της γραμμικής επιβράδυνσης ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού c. Το χρόνο μέσα στον οποίο ακινητοποιείται ο τροχός Ένα ποδήλατο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα u=0,,,,,, 4 d. Οι τροχοί του ποδηλάτου έχουν ακτίνα R=40 c. Για τον εμπρόσθιο τροχό του ποδηλάτου να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του b. Το μέτρο της ταχύτητας του ανώτερου σημείου του c. Το μέτρο της ταχύτητας του κατώτερου σημείου του d. Το μέτρο και τη διεύθυνση της ταχύτητας ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού το οποίο απέχει από το έδαφος απόσταση d =40 c. 0 π,,, 0,,, 0,,,0,,, d 4 0. Ένας τροχός ακτίνας R=0, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, σε οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 το κέντρο μάζας του τροχού έχει ταχύτητα μέτρου u 0 =0 / και αρχίζει να επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδυνση. Αν ο τροχός σταματά αφού μετατοπιστεί κατά Δx =0, να βρείτε: a. Τον χρόνο που διαρκεί η επιβραδυνόμενη κίνηση του τροχού b. Την γωνιακή επιβράδυνση του τροχού c. Τον αριθμό των περιστροφών που κάνει ο τροχός από τη χρονική στιγμή t 0 =0 μέχρι να σταματήσει d. Την ταχύτητα του σημείου του τροχού που απέχει από το δάπεδο d =R τη στιγμή t =. ( 4, 5. Ένα όχημα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέτρου u=0 00,, 0 ) π. Οι τροχοί του έχουν ακτίνα R=0,. A. Να βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα με την οποία στρέφονται οι τροχοί. B. Ποια είναι η ταχύτητα ενός σημείου της περιφέρειας ου τροχού τη στιγμή που απέχει από το έδαφος d =R και ποια ενός σημείου που απέχει από το έδαφος d =R ; (Π) ( 00,,, 40,,, 0 ).. Οχημα με ακτίνα τροχών R=0, ξεκινά τη χρονική στιγμή t=0 από την ηρεμία και κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο. Αν η επιτάχυνση του οχήματος έχει μέτρο a= βρείτε:, να a. Τη γωνιακή ταχύτητα των τροχών τη στιγμή t =4 b. Τη γωνιακή επιτάχυνση των τροχών

4 c. Σε πόσο χρόνο από τη στιγμή της εκκίνησης ο κάθε τροχός θα έχει κάνει Ν=00 στροφές; 40,,,0,,, t = 0 π. Τροχός ακτίνας R=0,4 κυλίεται ευθύγραμμα πάνω σε οριζόντιο δρόμο. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 το κέντρο του τροχού έχει ταχύτητα μέτρου u 0 =0. Αν η κίνηση του κέντρου μάζας είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη και η ταχύτητα του μηδενίζεται αφού ο τροχός διατρέξει διάστημα =40, να βρείτε: A. Τον αριθμό των στροφών που θα κάνει ο τροχός μέχρι να σταματήσει B. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του τροχού τη χρονική στιγμή t = Γ. Το μέτρο της γωνιακής επιβράδυνσης του τροχού. 50 /π,,, 5 /,,,,5 / 4. Ένας λεπτός τροχός ακτίνας R=0 c αρχίζει τη χρονική στιγμή t 0 =0 να στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση μέτρου 0 /. Να υπολογιστούν την χρονική στιγμή t=. Α. Η γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β. Η γραμμική ταχύτητα του Γ. Η επιτυχία επιτάχυνση Δ. Η κεντρομόλος επιτάχυνση Ε. Η γωνία στροφής ενός σημείου της περιφέρειας του από την έναρξη της περιστροφικής του κίνησης. ( 0 r 40, 0 ),,, 5. Δίσκος πικ απ περιστρέφεται με συχνότητα f=στροφες ανά λεπτό. Όταν διακόψουμε το ρεύμα, ο δίσκος επιβραδύνεται με σταθερό ρυθμό π red. Μετά από πόσο χρόνο θα σταματήσει να 00 στρέφεται ο Δίσκος και τι γωνία θα έχει διαγράψει μέχρι τότε; ( 0 π, ) 6 6. Ένα όχημα ξεκινά από την ηρεμία τη χρονική στιγμή t=0 και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση a= /. Οι τροχοί του οχήματος, οι οποίοι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν, έχουν ακτίνα R=0,4. Να υπολογίσετε: α. Τη γωνιακή επιτάχυνση των τροχών του αυτοκίνητου. β. Τη χρονική στιγμή t που η συχνότητα περιστροφής των τροχών του αυτοκινήτου γίνεται f= 5 Hz. π γ. Τον αριθμό των περιστροφών κάθε τροχού στο χρόνο t. δ. Το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας με την οποία κινείται το ανώτερο σημείου κάθε τροχού. 7. Σε ένα όχημα που κινείται σε οριζόντιο επίπεδο οι τροχοί, ακτίνας 0,6 κυλάνε χωρίς να ολισθαίνουν. Αν το όχημα κινείται με σταθερή επιτάχυνση μέτρου 4 /, να βρείτε: Α. Την επιτάχυνση του κέντρου μάζας κάθε τροχού Β. Τον ρυθμό αύξησης της γωνιακής ταχύτητας των τροχών 4

5 Γ. Την επιτροχια επιτάχυνση των σημείων της περιφέρειας του τροχού. (4, 0, 4 ) 8. Μια μπάλα διαμέτρου D κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε οριζόντιο τραπέζι με σταθερή ταχύτητα μέτρου u. Κάποια στιγμή η μπάλα φτάνει στην άκρη του τραπεζιού και στη συνέχεια πέφτει στο πάτωμα. Αν το ύψος του τραπεζιού είναι h και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, να βρείτε τον αριθμό των περιστροφών που κάνει η μπάλα κατά την πτώση της. Η επιτάχυνση g της βαρύτητας θεωρείται γνωστή. ( u h ) πd g 9. Ένα όχημα κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα μέτρου u=0. Οι τροχοί του οχήματος έχουν ακτίνα R=40 c Α. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας με την οποία στρέφονται οι τροχοί του οχήματος Β. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του σημείου της περιφέρειας των τροχών, το οποίο απέχει από το έδαφος απόσταση d =R ; Γ. πόσο απέχει από το έδαφος το σημείο της περιφέρειας των τροχών, το οποίο έχει ταχύτητα μέτρου u= u c ; ( 50,,, 40,,, 0,6 ) 0. Ένας τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Η γωνιακή ταχύτητα. Η μέγιστη ταχύτητα των διαφόρων σημείων της περιφέρειας του τροχού έχει μέτρο u ax =40. a. Να υπολογίσετε την ακτίνα R του τροχού περιστροφής του τροχού έχει μέτρο ω=50 b. Ποιο είναι το μέτρο της ελάχιστης ταχύτητας των διαφόρων σημείων της περιφέρειας του τροχού; c. Δυο σημεία B και Γ μιας κατακόρυφης διαμέτρου του τροχού, τα οποία βρίσκονται σε R από το κέντρο μάζας Κ του τροχού, έχουν την ίδια χρονική στιγμή u B και u Γ αντίστοιχα. Ποιος είναι ο λόγος των μέτρων των ταχυτήτων απόσταση r = ταχύτητες τους; (0,4,,, 0,,, ). Ένα όχημα ξεκινά από την ηρεμία τη χρονική στιγμή t 0 =0 και κινείται σε οριζόντιο δρόμο με. Οι τροχοί του οχήματος οι οποίοι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν έχουν ακτίνα R=0,4. Να υπολογίσετε: σταθερή επιτάχυνση μέτρου a=4 a. Το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής των τροχών. b. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής των τροχών τη χρονική στιγμή t =5. 5

6 c. Τη μετατόπιση του οχήματος από τη χρονική στιγμή t 0 =0 έως τη χρονική στιγμή που οι τροχοί αποκτούν συχνότητα περιστροφής f = 50 Hz. π (0,,,50,,, 00 ). Ένα όχημα ξεκινά από την ηρεμία τη χρονική στιγμή t 0 =0 και κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή επιτάχυνση. Οι τροχοί του οχήματος οι οποίοι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν έχουν ακτίνα R=0,4. Τη χρονική στιγμή t=0 η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής των τροχών έχει μέτρο ω=50. a. Να αποδείξετε ότι η γωνιακή επιτάχυνση έχει σταθερό μέτρο b. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του αυτοκινήτου c. Ένα μικρό κομμάτι λάσπης αποκολλάται από την περιφέρεια ενός τροχού τη χρονική στιγμή t=5 κατά την οποία η ταχύτητα του έχει την κατεύθυνση της κίνησης του αυτοκινήτου. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του κομματιού της λάσπης τη στιγμή που αποκολλάται από τον τροχό;,,, 0 d R=0 c. Ένας τροχός ακτίνας κυλίεται πάνω σε ευθύγραμμο οριζόντιο δρόμο χωρίς να ολισθαίνει. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο, όπως φαίνεται στο διάγραμμα του σχήματος. a. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού τη χρονική στιγμή t 0 =0 ; b. Ποιο είναι το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του τροχού; c. Πόσες περιστροφές έχει εκτελέσει ο τροχός από τη χρονική στιγμή t 0 =0 έως τη χρονική στιγμή t=5 ; 4 75,,, 0,8,,, d π 4. Τροχός ακτίνας R=5 c κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο δρόμο. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του τροχού είναι ω 0 =40. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 ο τροχός αρχίζει να επιβραδύνεται ομαλά και η ταχύτητα του κέντρου μάζας του μηδενίζεται, αφού διανύσει διάστημα x=5. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της επιβράδυνσης του κέντρου μάζας του τροχού b. Τη διάρκεια της επιβραδυνομενης κίνησης του τροχού c. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του τροχού τη χρονική στιγμή t=.,,,5,,, 4 d 5. Ένας κύλινδρος ακτίνας R=0 c αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα στην κορυφή πλαγίου επιπέδου και κυλίεται κατά μήκος του επιπέδου. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου, 6

7 Δω =5. Τη στιγμή που ο κύλινδρος Δt κατά την κάθοδο του, αυξάνεται με σταθερό ρυθμό φτάνει στη βάση του πλαγίου επιπέδου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του έχει μέτρο ω=00. a. Ποιο είναι το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου κατά την κίνηση του στο πλάγιο επίπεδο; b. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του κυλίνδρου τη στιγμή που φτάνει στη βάση του πλαγίου επιπέδου; c. Σε πόσο χρόνο από τη στιγμή που αφήνεται ο κύλινδρος φτάνει στη βάση του πλαγίου επιπέδου; d. Πόσες περιστροφές εκτελεί ο κύλινδρος κατά την κίνηση του από την κορυφή μέχρι τη βάση του πλαγίου επιπέδου;,,, 0,,, 0 d. 6. Ένα όχημα ξεκινά από την ηρεμία τη χρονική στιγμή t=0 και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση a= /. Οι τροχοί του οχήματος, οι οποίοι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν, έχουν ακτίνα R=0,4. Να υπολογίσετε: a. Τη γωνιακή επιτάχυνση των τροχών του αυτοκίνητου. b. Τη χρονική στιγμή t που η συχνότητα περιστροφής των τροχών του αυτοκινήτου γίνεται f= 5 Hz. π c. Τον αριθμό των περιστροφών κάθε τροχού στο χρόνο t. d. Το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας με την οποία κινείται το ανώτερο σημείου κάθε τροχού. 88 [ aγων =5 /,,, t=0,,, N =5/π,,, du /dt=4 / ] 7

8 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ w =700 N. Ένας ελαιοχρωματιστής βάρους βρίσκεται σε μια οριζόντια σανίδα AB, μήκους ℓ =5 και βάρους w=00 N. Η σανίδα κρέμεται από δυο κατακόρυφα σχοινιά που είναι δεμένα στα άκρα A και B. tt. Να εκφράσετε τα μέτρα των τάσεων T Α και T B των δυο σχοινιών σε συνάρτηση με την απόσταση x του ελαιοχρωματιστή από το άκρο A της σανίδας. uu. Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της τάσης T A ; vv. Για ποια τιμή της απόστασης x, το μέτρο της τάσης T A είναι τριπλάσιο από το μέτρο της τάσης T B ; 5./6,,, T A= x,,,t B =50 40 x,,,850 N,,, 50 N,,, d 7. Ομογενής δοκός AB μήκους ℓ =4 και βάρους w =600 N, στηριζόμενη στο άκρο A και σε ένα σημείο Γ, το οποίο απέχει απόσταση d =,5 από το άκρο Α, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένα παιδί βάρους w =00 Ν στέκεται πάνω στη δοκό στο σημείο Γ, και αρχίζει να προχωράει προς το άκρο B. a. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη δοκό, όταν το παιδί βρίσκεται σε απόσταση x από το σημείο Γ. b. Να εκφράσετε τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούν στη δοκό τα στηρίγματα, σε συνάρτηση με την απόσταση x. c. Μέχρι ποια απόσταση μπορεί να προχωρήσει το παιδί, χωρίς να ανατραπεί η δοκός; d. Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που ασκεί στη δοκό το υποστήριγμα στο σημείο Γ στην περίπτωση του προηγούμενου ερωτήματος;. 4/76,,, F Γ =780 0 x,,, F A=0 0 x,,,,,, 900 N d. Ομογενής δοκός ΑΓ, μήκους ℓ =4 και βάρους w=00 N, στηρίζεται σε κατακόρυφο τοίχο με άρθρωση, ενώ στο άλλο άκρο της είναι δεμένο νήμα, το οποίο συγκρατεί σώμα βάρους w=400 N με τη βοήθεια τροχαλίας. Ένα παιδί βάρους w =00 N, στέκεται πάνω στη δοκό σε απόσταση x από την άρθρωση, έτσι ώστε η δοκός να ισορροπεί οριζόντια και το νήμα να σχηματίζει γωνία φ=00 με τον κατά μήκος άξονα της δοκού, όπως φαίνεται στο σχήμα. a. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη δοκό b. Να γράψετε τις συνθήκες ισορροπίας της δοκού c. Να προσδιορίσετε το μέτρο και την κατεύθυνση της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στη δοκό d. Να υπολογίσετε την απόσταση x. 8

9 4. Ράβδος ΑΓ έχει μήκος ℓ = και αμελητέο βάρος. Η Ράβδος ισορροπεί οριζόντια με τη βοήθεια δυο σχοινιών, τα οποία είναι δεμένα στα άκρα της και σχηματίζουν με τη ράβδο γωνίες ϕ=600 και 0 ϑ=0, αντίστοιχα. Σε απόσταση x από το άκρο A κρέμεται με αβαρές σχοινί σώμα βάρους w, όπως φαίνεται στο σχήμα. a. Να βρείτε τη σχέση των μέτρων των τάσεων των δυο σχοινιών. b. Να υπολογίσετε την απόσταση x.. 7/77,,,,,, 0,5 d 5. Ομογενές ευθύγραμμο σύρμα μήκους ℓ =0 c και βάρους w=0,5 N, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα άκρο του και είναι κάθετος στο σύρμα όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύρμα βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση έχει μέτρο B=0,5T και διεύθυνση παράλληλη προς τον άξονα περιστροφής του σύρματος. Όταν το σύρμα τροφοδοτείται με ρεύμα έντασης I, εκτρέπεται από την κατακόρυφη θέση ισορροπίας του και σχηματίζει γωνία ϕ=00 με την κατακόρυφη διεύθυνση. a. Να υπολογίσετε την τιμή της έντασης I του ρεύματος. b. Να προσδιορίσετε την κατεύθυνση και το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο άξονας περιστροφής στο σύρμα.. 8/77,,,,5 A,,, N d 4 6. Ομογενής σκάλα, μήκους ℓ =5 και βάρους w=00 N, ισορροπεί στηριζόμενη σε ένα μη λείο οριζόντιο δάπεδο και σε ένα λείο κατακόρυφο τοίχο όπως φαίνεται στο σχήμα. Η μέγιστη απόσταση στην οποία μπορεί να βρίσκεται η βάση της σκάλας από τον τοίχο, χωρίς να ολισθήσει είναι x ax =4. c. Να υπολογίσετε το συντελεστή στατικής τριβής της σκάλας με το δάπεδο. d. Όταν η βάση της σκάλας βρίσκεται σε απόσταση x= από τον τοίχο, να υπολογίσετε το μέγιστο βάρος που μπορεί να τοποθετηθεί οπουδήποτε πάνω στη σκάλα χωρίς να προκαλέσει την ολίσθηση της..8/80,,,,,, 50 N d 9

10 7. Ομογενής σκάλα βάρους w στηρίζεται σε οριζόντιο έδαφος και σε κατακόρυφο τοίχο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το κατώτερο άκρο της σκάλας απέχει από τον τοίχο απόσταση L=, ενώ το ανώτερο άκρο της βρίσκεται σε ύψος H =5 από το έδαφος. a. Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη τιμή μς in του συντελεστή στατικής τριβής της σκάλας με το έδαφος, ώστε η σκάλα να μην ολισθήσει; b. Αν ο συντελεστής στατικής τριβής της σκάλας με το ' 5 έδαφος είναι μς = μ ς in, σε ποια οριζόντια απόσταση x μπορεί ένα παιδί βάρους w να κινηθεί, ανεβαίνοντας τη σκάλα, χωρίς αυτή να ολισθήσει;.7 /80,,, 0,,,, d 8. Δυο πανομοιότυπες ράβδοι, του ίδιου μήκους και του ίδιου βάρους w=4 N, συνδέονται στο ένα άκρο τους με άρθρωση, χωρίς τριβές, και τοποθετούνται με τα ελεύθερα άκρα τους πάνω σε οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν η γωνία των δυο ράβδων είναι ϑ=60 0, οι δυο ράβδοι είναι έτοιμες να ολισθήσουν. a. Να προσδιορίσετε τη διεύθυνση της δύναμης που ασκεί η μια Ράβδος στην άλλη, στο κοινό τους άκρο. b. Να υπολογίσετε το συντελεστή οριακής στατικής τριβής κάθε μιας από τις δυο ράβδους με το οριζόντιο επίπεδο. c. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί η μια Ράβδος στην άλλη.. 40/8,,,,,, 4 N d 6 9. Τέσσερα σώματα αμελητέων διαστάσεων, το καθένα μάζας, βρίσκονται στις κορυφές ενός τετραγώνου, το οποίο σχηματίζεται από τέσσερις αβαρείς ράβδους, η κάθε μια μήκους ℓ. a. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος, όταν αυτό στρέφεται i. Γύρω από άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του τετραγώνου και διέρχεται από το κέντρο του ii. Γύρω από άξονα που ταυτίζεται με μια πλευρά του τετραγώνου iii. Γύρω από άξονα που ταυτίζεται με μια διαγώνιο του τετραγώνου b. Σε ποια περίπτωση είναι πιο εύκολο να θέσουμε το σύστημα σε περιστροφή με γωνιακή ταχύτητα ω ; [. /09,,, ℓ,,, ℓ,,, ℓ ]d 0

11 0. Ένας τροχός αποτελείται από μια λεπτή στεφάνη, ακτίνας R=0,5 και μάζας M =8 kgr, και από έξι λεπτές ακτίνες, μήκους ℓ =0,5 και μάζας =0,6 kg η κάθε μια, συμμετρικά τοποθετημένες. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του τροχού και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει ο τροχός: a. Της κυκλικής στεφάνης b. Κάθε ακτίνας c. Του τροχού συνολικά Να θεωρήσετε ότι το πάχος της στεφάνης είναι αμελητέο σε σχέση με την ακτίνα της και ότι κάθε ακτίνα του τροχού είναι μια λεπτή ράβδος. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας μιας λεπτής ράβδου μάζας και μήκους ℓ, ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της και είναι κάθετος σ αυτην είναι ίση με I c = ℓ [. / 0,,,,,, 0, 05,,,,] d,f και F που. Οι δυνάμεις F ασκούνται στη ράβδο του σχήματος έχουν μέτρο F =4N, F =6N και F =8N αντίστοιχα. Αν είναι ℓ =0 και θ=0 0, να βρείτε: a. Τη ροπή κάθε δύναμης ως προς το σημείο Ο b. Τη συνολική ροπή των δυνάμεων ως προς το σημείο Ο. (Π) 0,,, 0 N,,, 80 N,,,0 N c.. Στη ράβδο ΚΜ του σχήματος ασκούνται οι ομοεπιπεδες δυνάμεις του σχήματος με μέτρο F = F =F =0 N. Αν είναι ℓ =0, ℓ =8 και φ=00, να βρείτε τη συνολική ροπή ως προς τα σημεία Λ και Κ. 80 N,,, 0 N. Η ομογενής ράβδος ΑΒ του σχήματος έχει μήκος ασκούνται οι δυνάμεις F =50 N, F =40 N και F =0 N αντίστοιχα. Αν φ=00, να υπολογίσετε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ℓ =, βάρος w=00 N 70 N

12 4. Ένας άλτης του άλματος επί κοντώ κρατάει το κοντάρι οριζόντια, ασκώντας σ αυτό μια κατακόρυφη δύναμη F A, με το δεξί του χέρι και μια κατακόρυφη δύναμη F B με το αριστερό του χέρι, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το κοντάρι, που είναι κατασκευασμένο από ομογενές υλικό, έχει μήκος ℓ =6 και βάρος w=0 N. Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων F A και F B. Δίνεται ότι: ℓ =0, 75 και ℓ =,5. 5. Ομογενής πόρτα μάζας =80kgr, πλάτους β= και ύψους α=, υποβαστάζεται από δυο μεντεσέδες, οι οποίοι απέχουν α από την 4 πάνω και την κάτω πλευρά της πόρτας αντίστοιχα. Η πόρτα δέχεται δύναμη από τον πάνω μεντεσέ η οποία είναι κάθετη προς τον τοίχο. Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούν οι μεντεσέδες στην πόρτα. Δίνεται g=0/. (400Ν, Ν, εφθ=) 6. Μια γέφυρα στηρίζεται στα σημεία Α και Γ που απέχουν d =40 και έχει βάρος 6 w=0 N. Τη χρονική στιγμή t =0 5 περνά όχημα βάρους w = 0 N από το σημείο Α της γέφυρας και με φορά από το Α προς το Γ με σταθερή ταχύτητα μέτρου u=0 /. a. Να βρείτε τις σχέσεις που δίνουν το μέτρο των δυνάμεων που δέχεται η γέφυρα στα σημεία Α και Γ, σε συνάρτηση με τον χρόνο κίνησης του οχήματος πάνω στη γέφυρα. b. Να κάνετε στο ίδιο διάγραμμα τις γραφικές παραστάσεις των F A και F Γ σε συνάρτηση με τον χρόνο. Από το διάγραμμα να βρείτε ποια χρονική στιγμή είναι F A =F Γ. (FΓ=04(50+5t), FA=(70-5t)04, ) 7. Στο κέντρο ομογενούς σφαίρας βάρους w=50n και ακτίνας R δένεται το ένα άκρο σχοινιού και το άλλο άκρο στερεώνεται σε λείο κατακόρυφο τοίχο. Όταν η σφαίρα εφάπτεται στον τοίχο, το σχοινί σχηματίζει γωνία φ=45 0 με αυτόν. Να βρείτε την τάση του σχοινιού και τη δύναμη που δέχεται η σφαίρα από τον τοίχο. ( 50 N, 50Ν) 8. Σε σφαίρα μάζας 0,6kgr και ακτίνας,c δένουμε ένα σχοινί, το άλλο άκρο του οποίου δένουμε σε λείο κατακόρυφο τοίχο με αποτέλεσμα η σφαίρα να εφάπτεται στον τοίχο σε ένα σημείο της και να ισορροπεί. Το σχοινί είναι αβαρές και έχει μήκος 0c. Να βρείτε τη δύναμη που ασκεί ο τοίχος στη σφαίρα. Δίνεται g=0/ (,Ν) 9. Ένα ορθογώνιο κιβώτιο ύψους, πλάτους 0,8 και μάζας 40 kg βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο έδαφος και ολισθαίνει με τη βοήθεια μιας οριζόντιας δύναμης F που του ασκείται σε

13 ύψος 0,6 από το έδαφος. Πόσο πρέπει να είναι το μέτρο της δύναμης F, ώστε το κιβώτιο να μην ανατρέπεται; Δίνεται ο συντελεστής τριβής μεταξύ κιβωτίου και δαπέδου είναι ίσος με μ=0, και η επιτάχυνση της βαρύτητας 0 /. (00N) 0. Ομογενής σανίδα ΑΓ με μήκος L= και βάρος w =60 N ισορροπεί οριζόντια. Τα άκρα Α και Γ της σανίδας συνδέονται με τα ακλόνητα σημεία Δ και Ζ με δυο κατακόρυφα νήματα ΑΔ και ΓΖ όπως φαίνεται στο σχήμα. Πάνω στη σανίδα και σε απόσταση ℓ 0 =0,5 από το μέσο της Κ βρίσκεται σώμα Σ βάρους w =0 N, το οποίο είναι στερεωμένο στο ένα άκρο οριζόντιου αβαρούς ελατηρίου σταθεράς K =800 N /. Το άλλο άκρο του ελατηρίου στηρίζεται ακλόνητα σε κατακόρυφο αβαρές στέλεχος που βρίσκεται στο σημείο Κ της σανίδας. Αρχικά το σώμα είναι ακίνητο και το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος ℓ 0 =0,5. a. Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούνται στη σανίδα από τα δυο νήματα. b. Εκτρέπουμε το σώμα Σ από τη θέση ισορροπίας του κατά μήκος της σανίδας, κατά x 0 =0,, και το αφήνουμε ελεύθερο. i. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο. Να θεωρήσετε ως αρχή των χρόνων τη χρονική στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του και κινείται κατά τη θετική φορά ii. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ, τη χρονική στιγμή που το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη σανίδα από το νήμα στο άκρο Γ είναι T ' =46 N. iii. Να παραστήσετε γραφικά το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη σανίδα από το νήμα στο άκρο της Α, σε συνάρτηση με το χρόνο. iv. Να θεωρήσετε ότι τα δυο νήματα παραμένουν συνεχώς κατακόρυφα και ότι δεν υπάρχουν τριβές. Δίνεται g =0 /. [T =5 N,,,T =45 N,,, x =0, ημ 0 t,,, u = /,,,T =5 ημ 0 t ]. Σφαίρα μάζας =7 kg και ακτίνας R=0, αφήνεται ελεύθερη σε σημείο Α κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης ϕ=00. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου.το σημείο Α βρίσκεται σε ύψος h=,5 από το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου.

14 Να υπολογίσετε : Α) Την επιτάχυνση του κέντρου μάζας της σφαίρας κατά τη διάρκεια της καθόδου της. Α) Την ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας στη βάση του κε κλιμένου επιπέδου Α) Το μέτρο της στατικής τριβής μεταξύ σφαίρας και κεκλιμένου επιπέδου. Για ποιες τιμές του συντελεστή στατικής τριβής αποφεύγεται η ολίσθηση της σφαίρας στο κεκλιμένο επίπεδο; Α4) Ποια η διάρκεια της καθόδου της σφαίρας και πόσες στροφές κάνει η σφαίρα κατά την κάθοδό της; Δίνονται : η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 / και η ροπή αδράνειας της σφαίρας I c = R. 5. Ένα γιο-γιο αποτελείται από κύλινδρο μάζας =0, kg και ακτίνας R=0,, γύρω από τον οποίο είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα. Κρατάμε ακίνητο το ελεύθερο άκρο Α του νήματος και αφήνουμε τον κύλινδρο ελεύθερο. Να βρείτε: a. Τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου. b. Τον ρυθμό αύξησης της στροφορμης του κυλίνδρου. c. Την ταχύτητα του άξονα του κυλίνδρου τη στιγμή που έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους ℓ =0. Δίνεται I c = R και g =0 /.. Οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους L= και μάζας =0,6kgr μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από σημείο της Ο που απέχει από το άκρο της Β απόσταση L/4. Την χρονική στιγμή μηδέν που η ράβδος είναι οριζόντια την αφήνουμε ελεύθερη να περιστραφεί. Την στιγμή μηδέν να βρείτε: a. Την αρχική γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου b. Την δύναμη που ασκεί η ράβδος στον άξονα περιστροφής της. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της Κ και είναι κάθετος σε αυτήν είναι I c= L και g=0/. ( 0 4 N ), Κατακόρυφη ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους ℓ =, μπορεί να περιστραφεί γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο ο οποίος περνά από σημείο Ο της ράβδου για το οποίο ισχύει OA= ℓ. Απομακρύνουμε τη ράβδο από την κατακόρυφη θέση της κατά γωνία ϕ=00 και τη στιγμή t=0 την αφήνουμε ελεύθερη. Να βρείτε την στιγμή t =0 την γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου. Η ροπή αδράνειας ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σ αυτή είναι I c = ML και η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /. 4

15 5. Μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ, μάζας M =0 kg και μήκους L=, μπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Α. Η ράβδος, που αρχικά συγκρατείται σε οριζόντια θέση, αφήνεται ελεύθερη να περιστραφεί περί τον άξονα περιστροφής της. Α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. Β. Τη στιγμή που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη, να υπολογίσετε a. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου. b. Το μέτρο της γραμμικής επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της ράβδου. c. Το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής. Γ. Να βρείτε το ρυθμό αύξησης της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου τη στιγμή που αυτή σχηματίζει γωνία ϕ=600 με την αρχική της θέση. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σ αυτή είναι I c = ML και η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 / [ kg /,,, /,,, /,,, 5 N ] 6. Αβαρής ράβδος AB μήκους ℓ, μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο A. Δυο σφαίρες αμελητέων διαστάσεων είναι στερεωμένες επάνω στη ράβδο. Η μια σφαίρα, μάζας, βρίσκεται στο μέσον K της ράβδου, ενώ η άλλη, μάζας, βρίσκεται στο άκρο B. Αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη από οριζόντια θέση. Α. Ποια είναι η ροπή αδράνειας του συστήματος, ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου; Β. Ποιο είναι το είδος της κίνησης της ράβδου; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Γ. Ποιο είναι το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου: i. Την στιγμή που αφήνεται ελεύθερη ii. Τη στιγμή που γίνεται κατακόρυφη. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g [.5 /4,,, 6ℓ,,, g,,, 0 ] d ℓ 7. Μια λεπτή ομογενής ράβδος AB, μάζας M και μήκους L, μπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το άκρο A. Η ράβδος, που αρχικά συγκρατείται σε οριζόντια θέση, αφήνεται ελεύθερη να περιστραφεί περί τον άξονα περιστροφής της. Α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Β. Τη στιγμή που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη, να υπολογίσετε: i. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου ii. Το μέτρο της γραμμικής επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της ράβδου iii. Το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής της. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας L. και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g. και είναι κάθετος σ αυτή είναι I c = [. 6/ 6,,, g Mg Mℓ,,,,,, ]d ℓ 4 5

16 8. Η τροχαλία του σχήματος περιστρέφεται χωρίς τριβές, ενώ το σχοινί είναι αβαρές και δεν γλιστρά στο αυλάκι της. Στο ένα άκρο του σχοινιού είναι δεμένο σώμα μάζας =, ενώ το άλλο είναι δεμένο στο κέντρο δίσκου μάζας = και ακτίνας R=r, ο οποίος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο. a. Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος μάζας. b. Να συγκρίνεται τις γωνιακές επιταχύνσεις του δίσκου και της τροχαλίας. Δίνονται: για το δίσκο I c δ = R, για την τροχαλία I c τρ = r και g =0 9.. O άξονας ενός κυλίνδρου μάζας και ακτίνας R=0, που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο είναι δεμένος μέσω νήματος με σώμα μάζας = kg. To νήμα είναι περασμένο μέσα από το αυλάκι τροχαλίας μάζας = kg και ακτίνας r =0, που βρίσκεται στο άκρο του οριζοντίου επιπέδου. Αν αφήσουμε το σώμα ελεύθερο τότε αυτό κινείται κατακόρυφα και αναγκάζει τον κύλινδρο να κυλήσει χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο. Να βρεθούν: M =4 kg α. Η επιτάχυνση του σώματος β. Η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας γ. Η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου δ. Τη δύναμη της στατικής τριβής ανάμεσα στον κύλινδρο και το οριζόντιο επίπεδο Δίνονται για την τροχαλία I c = r, για τον κύλινδρο I c = R και g =0 /. [ / 0/ 0/ 6Ν.] 0. Ο τροχός ενός ποδηλάτου, μάζας =4 kg και ακτίνας R=0,5 δεν είναι σε επαφή με το έδαφος και περιστρέφεται γύρω από τον οριζόντιο άξονα του με συχνότητα f 0 = Hz. Με εφαρμογή των φρένων ο τροχός σταματά σε χρόνο Δt =π. Αν το φρένο έρχεται σε επαφή με τον τροχό μόνο από τη μια πλευρά του και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης στην επιφάνεια επαφής τροχού φρένου είναι μ=0, να βρείτε: α. Τη μέση γωνιακή επιβράδυνση του τροχού β. Τον αριθμό των στροφών που κάνει ο τροχός μέχρι να σταματήσει γ. Την κάθετη δύναμη που ασκεί το φρένο στον τροχό 6

17 Δίνεται ότι η ροπή αδρανείας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι ίση με I K =R. (4, π στροφές, 40Ν). Ομογενής κύλινδρος μάζας = kg αφήνεται από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης ϕ=00 και ύψους h=0. Αν ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, να βρείτε: Α. την επιτάχυνση του άξονα του κυλίνδρου Β. την στατική τριβή που δέχεται ο κύλινδρος από το κεκλιμένο επίπεδο Γ. την ταχύτητα του άξονα του κυλίνδρου όταν ο κύλινδρος φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου Δίνονται I c = R και g =0 /. 0 0 N 0. Kύλινδρος μάζας =4kg και ακτίνας R=0, ανεβαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ=0 0 χωρίς να ολισθαίνει με τη βοήθεια σταθερής δύναμης F που ασκείται στον άξονα του κυλίνδρου παράλληλα προς το κεκλιμένο επίπεδο με φορά προς τα πάνω όπως φαίνεται στο σχηματίζει. Αν η επιτάχυνση με την οποία κινείται ο άξονας του κυλίνδρου είναι αc=4/, να βρείτε: Α. Τη δύναμη F που ασκείται στον κύλινδρο Β. Τη στατική τριβή Γ. Τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου. Δίνεται Ic= R και g=0/. 6./9 44N, 8N, 0/. Kύλινδρος μάζας και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης ϕ=00. Να βρείτε: a. Την επιτάχυνση των σημείων του άξονα του κυλίνδρου b. Την ταχύτητα του άξονα του κυλίνδρου όταν ο κύλινδρος θα έχει διανύσει διάστημα x=60 πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, ξεκινώντας από την ηρεμία. R g=0 I = Δίνονται c [ 0,,, 0 ] 4. Ομογενής κύλινδρος μάζας =kg αφήνεται από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=00 και ύψους h=0. Αν ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, να βρείτε: a. την επιτάχυνση του άξονα του κυλίνδρου b. την στατική τριβή που δέχεται ο κύλινδρος από το κεκλιμένο επίπεδο c. την ταχύτητα του άξονα του κυλίνδρου όταν ο κύλινδρος φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου Δίνονται Ic= R και g=0/. ( 0 0 N 0 ) 7

18 5. Ομογενής κύλινδρος ακτίνας R=0, και μάζας =0kgr, περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω0=00/ γύρω από άξονα που συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας του. Εφαρμόζοντας σταθερή ροπή τ στον κύλινδρο, αυτός σταματά να περιστρέφεται μετά από χρόνο t=0. Να βρείτε: a. Τη γωνιακή επιβράδυνση του κυλίνδρου b. Τη σταθερή ροπή τ. c. Τη σχέση της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου με τον χρόνο και από το αντίστοιχο διάγραμμα να προσδιορίσετε τη συνολική γωνία στροφής του κυλίνδρου μέχρι να σταματήσει. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα συμμετρίας του είναι Ιc= R. ( 0, 0,5 N, 500) 6. H τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ=4kgr και ακτίνα R=0,. Τα σώματα έχουν μάζες =kgr και =4kgr αντίστοιχα. Τα σώματα είναι δεμένα στα άκρα αβαρούς σχοινιού που περνά από το αυλάκι της τροχαλίας. Αν τα επίπεδα είναι λεία, φ=00 και αφήσουμε τα σώματα ελεύθερα να βρείτε: a. τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας b. τις τάσεις του σχοινιού Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σ αυτην είναι I c= MR και g=0/. ( 5, 5N, 0N) 7. Τροχαλία ακτίνας R=0, και ροπής αδράνειας Ic=0,06kgr, είναι στερεωμένη στην κορυφή κεκλιμένου επιπέδου γωνίας 00 που παρουσιάζει τριβές με συντελεστή τριβής μ= 5. Στο αυλάκι της τροχαλίας είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί του οποίου η άκρη είναι δεμένη σε σώμα μάζας =4kgr. Το σώμα βρίσκεται πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο και συγκρατείται ακίνητο. Αν αφήσουμε το σώμα ελεύθερο τότε αυτό ολισθαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο. Να βρείτε: a. Την γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας b. Την τάση του σχοινιού. Δίνεται g=0/. (8, 4,8N) 8

19 8. Τροχαλία ακτίνας R=0, και ροπής αδράνειας I=0,kgr είναι στερεωμένη σε ταβάνι και στο αυλάκι της είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί. Στην άλλη άκρη του σχοινιού είναι δεμένο σώμα μάζας =0kgr το οποίο κρατάμε ακίνητο. Αφήνουμε το σώμα ελεύθερο και αυτό κατεβαίνει κατακόρυφα με επιτάχυνση μέτρου α=/. a. Να βρείτε τη ροπή που δέχεται ο άξονας περιστροφής της τροχαλίας λόγω τριβών b. Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας μετά από χρόνο t=0; c. Πως μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας με το χρόνο; Να κάνετε το αντίστοιχο διάγραμμα και από αυτό να βρείτε τη γωνία στροφής της τροχαλίας στον χρόνο των 0. Δίνεται g=0/. (N., 00, 000) 9. Ομογενής και συμπαγής κύλινδρος μάζας =6kgr συγκρατείται σε οριζόντια θέση κρεμασμένος από δυο αβαρή σχοινιά που είναι τυλιγμένα γύρω του. Αν αφήσουμε τον κύλινδρο ελεύθερο να βρείτε: a. Την τάση κάθε σχοινιού b. Τον χρόνο που χρειάζεται ο κύλινδρος για να κατεβεί κατά h= 40. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα περιστροφής που συμπίπτει με τον γεωμετρικό του άξονα είναι Ic= MR όπου R η ακτίνα του και g=0/. (0N, ) 40. Ένας τροχός μπορεί να στρέφεται γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο του. Μια σταθερή ροπή μέτρου τ =0N ασκείται στον τροχό για χρόνο Δt=0, οπότε το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας αυξάνεται από ω 0=0 σε ω=00/. Στη συνέχεια παύει να δρα η ροπή τ και ο τροχός περιστρέφεται με επιβράδυνση υπό την επίδραση της ροπής της τριβής του με τον άξονα περιστροφής και σταματά μετά από χρόνο Δt =0. Να βρείτε: c. Τη ροπή αδρανείας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του d. Τη ροπή της τριβής αν τη θεωρήσουμε σταθερή e. Τον συνολικό αριθμό των περιστροφών του τροχού. ( kg, 0 N, 500 στροφές) π 9

20 4. Στα ελεύθερα άκρα αβαρούς νήματος το οποίο περνά από το αυλάκι τροχαλίας στερεωμένης στο ταβάνι είναι δεμένα δυο σώματα μάζας =kgr και =kgr αντίστοιχα. Το σύστημα είναι αρχικά ακίνητο, η μάζα της τροχαλίας είναι M=4kgr και η ακτίνα της R=0,. Αν αφήσουμε τα σώματα ελεύθερα, να βρείτε: a. b. c. d. Την επιτάχυνση των σωμάτων Τη ροπή που δέχεται η τροχαλία Τις τάσεις του σχοινιού μετά πόσο χρόνο τα σώματα θα απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=8 αν αρχικά ήταν στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο; Δίνεται ότι η ροπή αδρανείας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Ι c= R και g=0/. Τριβές δεν υπάρχουν και το σχοινί δεν γλιστρά στο αυλάκι της τροχαλίας. (, 0,8 N, N, 6Ν, ) 4. Σώμα μάζας =5kgr βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,. Το σώμα είναι δεμένο με αβαρές νήμα το οποίο περνά από το αυλάκι τροχαλίας και στο άλλο άκρο του νήματος είναι δεμένο σώμα μάζας =4kgr το οποίο κρέμεται και μπορεί να κινηθεί κατακόρυφα αν αφεθεί ελεύθερο. Αφήνουμε το δεύτερο σώμα ελεύθερο. Να βρεθούν: a. Η επιτάχυνση κάθε σώματος b. Οι τάσεις του νήματος Δίνονται: μάζα τροχαλίας M=kgr και ροπή αδρανείας τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της I c= R. Επίσης g=0/. (, 5N, 8N) 4. Ομογενής ράβδος μήκους L= και μάζας M =0, kg, είναι οριζόντια και μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το άκρο της O. Στο άλλο άκρο A της ράβδου είναι στερεωμένη σφαίρα αμελητέων διαστάσεων, μάζας =0, kg. c. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος, ως προς άξονα περιστροφής της ράβδου d. Το σύστημα τίθεται σε περιστροφή με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω =0, γύρω από τον άξονα περιστροφής της ράβδου v. Να υπολογίσετε το μέτρο της σταθερής ροπής που πρέπει να ασκηθεί στο σύστημα, ώστε σε χρόνο Δt = το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του να γίνει ω =0 vi. Αν η ροπή δημιουργείται με την επίδραση μιας οριζόντιας δύναμης σταθερού μέτρου, η οποία είναι κάθετη στον κατά μήκος άξονα της ράβδου, ποια είναι η ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης αυτής; 0

21 Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο της μάζας της ράβδου είναι I c = L. [. /,,, 0,,,,,,, ] 44. Μια ομογενής τροχαλία, μάζας =8 kg και ακτίνας R=0,, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα της, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδο της. Γύρω από την τροχαλία είναι τυλιγμένο ένα λεπτό αβαρές σχοινί. Ασκώντας στο σχοινί σταθερή δύναμη μέτρου F =6 N, η τροχαλία αρχίζει να περιστρέφεται τη χρονική στιγμή t=0. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας b. Τη γωνία κατά την οποία έχει περιστραφεί η τροχαλία μέχρι τη χρονική στιγμή t= c. Το μήκος του σχοινιού που έχει ξετυλιχθεί μέχρι τη χρονική στιγμή t=. Δίνεται η [. 4/,,, 0,,, 90,,, 8] d ροπή αδράνειας τη τροχαλίας ως προς τον άξονα της I = R 45. Η τροχαλία του σχήματος είναι ομογενής, μάζας M =4 kgr και ακτίνας R=0,, και μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα της χωρίς τριβές. Το σώμα Σ έχει μάζα = kgr και είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο αβαρούς και μη εκτατου σχοινιού, το οποίο είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια της τροχαλίας. Αν το σώμα Σ αφεθεί από την ηρεμία, να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία θα κινηθεί το σώμα Σ b. Το μέτρο της τάσης του σχοινιού c. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας τη στιγμή που το σώμα θα έχει κατέλθει κατά h=0. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι I = επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g =0 MR και η. Να θεωρηθεί ότι μεταξύ σχοινιού και τροχαλίας δεν παρατηρείται ολίσθηση. [. 7/8,,, 5,,, 0,,,50 ] d 46. Ένα σώμα Σ, μάζας = kgr, ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5. Το σώμα Σ είναι δεμένο στο άκρο αβαρούς νήματος που περνά από το αυλάκι μιας τροχαλίας, ακτίνας R=0 c και μάζας M = kgr. Στο άλλο άκρο του νήματος είναι δεμένο σώμα Σ, μάζας = kgr. Αν αφήσουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί, να βρείτε: a. Το μέτρο της επιτάχυνσης κάθε σώματος b. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας c. Τα μέτρα των δυνάμεων που ασκεί το νήμα στα σώματα Σ, Σ.

22 Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι I c = MR και η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 47. Για το επόμενο. Το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας [.8 /9,,,,,,,,,,,, 0 ]d σχήμα δίνονται ότι = =8 kgr, R=0, 5 και ότι το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο. Αν τη χρονική στιγμή t 0 =0 αφήσουμε το σώμα Σ ελεύθερο να κινηθεί, τη χρονική στιγμή t= η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας έχει μέτρο ω=6. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινούνται τα δυο σώματα b. Τα μέτρα των δυνάμεων που ασκεί το σχοινί στα δυο σώματα c. Τη ροπή αδράνειας της τροχαλίας. Δίνεται ότι g =0 [. 8/0,,,,,, 64,,,6,,,,5] d 48. Ομογενής κυκλικός δακτύλιος, ακτίνας R=0, και μάζας, αφήνεται τη χρονική στιγμή t 0 =0 στην κορυφή πλάγιου επιπέδου, γωνίας φ=00, και κυλίεται κατά μήκος του πλάγιου επιπέδου χωρίς να ολισθαίνει. Αν ο δακτύλιος φτάνει στη βάση του πλάγιου επιπέδου τη χρονική στιγμή t=4, να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του δακτυλίου b. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του δακτυλίου c. Το μέτρο της ταχύτητας του σημείου που απέχει περισσότερο από το πλάγιο επίπεδο όταν ο δακτύλιος φτάνει στη βάση του d. Το μήκος του πλάγιου επιπέδου Η ροπή αδράνειας του δακτυλίου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει είναι I c =R και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g =0. [. /,,,,5,,,,5,,, 0,,, 0 ]d 49. Ένας ομογενής κυκλικός δακτύλιος, ακτίνας R και μάζας, κινείται με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος οριζόντιου επιπέδου. Στην πορεία του ο δακτύλιος συναντά πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης φ και ανεβαίνει κατά μήκος του πλάγιου επιπέδου χωρίς ολίσθηση. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 το μέτρο της ταχύτητας του δακτυλίου είναι u 0

23 a. Να σχεδιάσετε τη στατική τριβή μεταξύ του δακτυλίου και του πλάγιου επιπέδου και να εξηγήσετε την φορά της. b. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιβράδυνσης του δακτυλίου c. Ποια χρονική στιγμή t ο δακτύλιος θα σταματήσει στιγμιαία; d. πόσο διάστημα θα έχει διανύσει μέχρι τότε ο δακτύλιος από τη στιγμή t 0 =0 έως τη στιγμή t ; Η ροπή αδράνειας του δακτυλίου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει είναι I c =R και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g =0. [. /,,, u 0 u g ημφ,,,,,, 0 ] d R g ημφ g ημφ 50. Σε ομογενή τροχαλία, μάζας M = kgr και ακτίνας R=0,, τυλίγεται αβαρές σχοινί, του οποίου το ελεύθερο άκρο στερεώνεται σε σταθερό σημείο. Αφήνουμε την τροχαλία ελεύθερη να κινηθεί και θεωρούμε ότι το σχοινί παραμένει συνεχώς κατακόρυφο. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της τροχαλίας b. Το μέτρο της τάσης του σχοινιού c. Το μήκος του σχοινιού που θα έχει ξετυλιχθεί, όταν η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας γίνεται ω=0. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας, ως προς τον άξονα της είναι I c = MR και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g =0 [. 9/,,, 0,,, 0,,,, ]d 5. Συμπαγής και ομογενής κύλινδρος, ακτίνας R και μάζας, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κατά μήκος πλάγιου επιπέδου γωνίας φ. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου b. Το μέτρο της στατικής τριβής, η οποία είναι υπεύθυνη για την κύλιση του κυλίνδρου c. Τον ελάχιστο συντελεστή στατικής τριβής του κυλίνδρου με το πλάγιο επίπεδο, ώστε ο κύλινδρος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Η ροπή αδρανειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα συμμετρίας του είναι I c = MR και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g. [.0 /,,, εφφ g ημφ,,, g ημφ,,, μ = ]d. in 5. Ομογενής οριζόντιος δίσκος, ακτίνας R=0,4 και μάζας M =5 kgr, μπορεί να στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του O και είναι κάθετος στο επίπεδο του. πάνω στο δίσκο βρίσκεται μικρό σώμα Σ, μάζας =0,5 kgr, σε απόσταση r =0, από το κέντρο O του δίσκου. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ σώματος και δίσκου είναι μσ =0,. Κάποια χρονική στιγμή ασκείται εφαπτομενικη της περιφέρειας του δίσκου και σε

24 τυχαίο σημείο της δύναμη F επιτάχυνση μέτρου α γων =0,8 σταθερού μέτρου, η οποία του προσδίδει σταθερή γωνιακή. a. Να υπολογίσετε: i. Τη ροπή αδράνειας του συστήματος, ως προς τον άξονα περιστροφής του δίσκου ii. Το μέτρο της δύναμης F b. Ποιος είναι ο ρόλος της στατικής τριβής στο χρονικό διάστημα που το σώμα Σ δεν ολισθαίνει πάνω στο δίσκο; c. Για ποια τιμή του μέτρου της στατικής τριβής το σώμα Σ αρχίζει να ολισθαίνει πάνω στο δίσκο; Η ροπή αδρανείς του κυλίνδρου ως προς τον άξονα συμμετρίας του είναι I c = MR και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g. [.9 /7,,, 0, 4,,,0, 84,,, ]d 5. Ένας τροχός, μάζας M = kgr και ακτίνας R=0,4, στρέφεται γύρω από τον άξονα του με συχνότητα f 0 =0 π Hz. Ένα φρένο πιέζει την περιφέρεια του τροχού με δύναμη, η οποία έχει μέτρο N =0 N, ενώ ο φορέας της διέρχεται από τον άξονα του τροχού. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του φρένου και του τροχού είναι μ=0,5. a. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιβράδυνσης του τροχού b. Μετά πόσο χρόνο από την εφαρμογή του φρένου ο τροχός θα σταματήσει; c. Πόσες περιστροφές θα εκτελέσει ο τροχός μέχρι να σταματήσει; [. 0/7,,,,5,,,,,, 0 π ]d Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα του είναι I c = MR. Δίνεται π Οριζόντια ομογενής ράβδος AB, μάζας M και μήκους L, μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από το άκρο A. Η ράβδος, που αρχικά συγκρατείται σε οριζόντια θέση, αφήνεται ελεύθερη να περιστραφεί περί τον άξονα περιστροφής της, χωρίς τριβές. Τη στιγμή της εκκίνησης το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου είναι α γων =5. Να υπολογίσετε: a. Το μήκος L της ράβδου b. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου, τη στιγμή που έχει στραφεί κατά γωνία 0 θ=60 από την αρχική οριζόντια θέση της. c. Το μέτρο της γραμμικής επιτάχυνσης του άκρου B της ράβδου τη στιγμή που γίνεται κατακόρυφη. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι g =0. I c = ML και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι [. /8,,,,,,7,5,,, 0 ]d 4

25 55. Η τροχαλία του σχήματος, ακτίνας R=0,, μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα της, χωρίς τριβές. Το σώμα Σ έχει μάζα = kgr και είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο αβαρούς νήματος που είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια της τροχαλίας. Αφήνουμε το σώμα Σ να ελεύθερο να κινηθεί και διαπιστώνουμε ότι όταν έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους =, το μέτρο της ταχύτητας του σώματος είναι u=4. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται το σώμα Σ b. Το μέτρο της δύναμης που ασκεί το σχοινί στο σώμα Σ c. Τη ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g =0. Να θεωρηθεί ότι μεταξύ σχοινιού και τροχαλίας δεν παρατηρείται ολίσθηση. [. /8,,, 4,,, 6,,,0, 06 ]d 56. Ο τροχός του σχήματος, μάζας = kg και ακτίνας R=0,, στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο. Στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού ασκούμε σταθερή δύναμη F =N. Να βρείτε a. Τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμης του δίσκου b. Τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου c. Τη στροφορμη του δίσκου τη χρονική στιγμή t = αν τη στιγμή t 0 =0 που αρχίζει να ασκείται στον δίσκο η δύναμη, η γωνιακή ταχύτητα ω 0 =0 / έχει μέτρο και ο δίσκος περιστρέφεται αριστερόστροφα. d. Τις στροφές που έκανε ο δίσκος στο χρονικό διάστημα των. Δίνεται Ic= MR. [8.9 /79,,, 0,4,,, 0,,,,4,,, 60/π ] 57. Ομογενής κύλινδρος μάζας = kg και ακτίνας R=, που κυλάει οριζόντια με μεταφορική ταχύτητα μέτρου u=8, συναντά τη βάση ενός κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης ϕ=00 και αρχίζει να ανεβαίνει χωρίς να ολισθαίνει. Ο συντελεστής τριβής του κυλίνδρου με το κεκλιμένο επίπεδο είναι μ=0,8. Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου I c = R και g =0. a. Πόσο ψηλότερα από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου βρίσκεται το ανώτατο σημείο που θα φτάσει ο κύλινδρος; b. Με ποια επιβράδυνση ανέρχεται στο κεκλιμένο επίπεδο το κέντρο μάζας του κυλίνδρου; c. Με ποια γωνιακή επιβράδυνση περιστρέφεται ο κύλινδρος; d. Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης τριβής; 5

26 4,8,,,, 0,,,, 0,,, 5N Μια συμπαγής και oμογενής σφαίρα μάζας =4, kg και ακτίνας R= αφήνεται να κυλήσει από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης ϕ=00, που βρίσκεται σε ύψος h=0, 8 ψηλότερα από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνεται ο συντελεστής τριβής μεταξύ σφαίρας κεκλιμένου επιπέδου μ= και g =0. 5, η ροπή αδράνειας της σφαίρας I c = R a. Να αποδειχθεί ότι η σφαίρα θα κατέλθει το κεκλιμένο επίπεδο κυλώντας χωρίς να ολισθαίνει b. Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας c. Ποια είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας όταν φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου; d. Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης τριβής; e. Να βρεθεί η χρονική διάρκεια κατά την οποία η σφαίρα κατέρχεται το κεκλιμένο επίπεδο. T T ax =,5 N,,, 5,,,,,, 6N,,,0, Μια Ομογενής σφαίρα αφήνεται από ύψος h =7 ενός κεκλιμένου επιπέδου να κυλήσει χωρίς ολίσθηση. Από ποιο ύψος h ενός αλλού κεκλιμένου επιπέδου πρέπει να αφεθεί ένας κύβος πάγου να ολισθήσει χωρίς τριβές, ώστε τα δυο σώματα να φτάσουν στις βάσεις των κεκλιμένων επιπέδων με ίσες ταχύτητες; Δίνεται I c = R. [9. 4 /08,,, 5 ] 60. Ομογενής τροχαλία μάζας M =4 kgr και ακτίνας R=0,, μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα της, χωρίς τριβές. Ένα σώμα Σ, μάζας =0,5 kgr, είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο αβαρούς νήματος, το οποίο είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια της τροχαλίας. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 το σώμα Σ αφήνεται ελεύθερο. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας b. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας, όταν το σώμα Σ βρίσκεται χαμηλότερα από την αρχική του θέση κατά h=4. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας, ως προς τον άξονα [. 4/9,,,0,,, 0 ]d της είναι I c = MR και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g =0 6

27 6. Η ομογενής τροχαλία του σχήματος, μάζας M = kgr και ακτίνας R=0,,μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα της, χωρίς τριβές. Τα σώματα Σ και Σ έχουν μάζες = kgr και, αντίστοιχα, και είναι δεμένα στα άκρα αβαρούς σχοινιού που διέρχεται από το αυλάκι της τροχαλίας. μεταξύ σχοινιού και τροχαλίας δεν παρατηρείται ολίσθηση. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 Αφήνουμε ταυτόχρονα τα δυο σώματα ελεύθερα να κινηθούν. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία θα κινηθούν τα δυο σώματα b. Τα μέτρα των δυνάμεων που ασκεί το νήμα στα δυο σώματα c. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας, όταν η κατακόρυφη απόσταση των δυο σωμάτων είναι h= Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας, ως προς τον άξονα της είναι I c = MR και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g =0 [. 7/0,,, 4,,,8,,,4,,, 0 ] d 7

28 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ ΝΟΜΟΥ. Ομογενής δοκός ΑΒ μήκους L= 6 και βάρους w =0 N ισορροπεί οριζόντια, στηριζόμενη στα σημεία Γ και Δ που απέχουν το καθένα απόσταση d= από τα άκρα της, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο σημείο Γ τοποθετείται πάνω στη δοκό σώμα Σ βάρους w =60 N. a. Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούνται στη δοκό από τα στηρίγματα στα σημεία Γ και Δ. b. Τη χρονική στιγμή t= 0 το σώμα Σ αποκτά σταθερή ταχύτητα μέτρου u= / και κινείται κατά μήκος της δοκού με κατεύθυνση προς το άκρο της Β. iii. Να γράψετε τη σχέση που δίνει το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη δοκό από το στήριγμα στο σημείο Δ, σε συνάρτηση με το χρόνο iv. Να προσδιορίσετε τη χρονική στιγμή t α, κατά την οποία η δοκός είναι έτοιμη να ανατραπεί v. Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμης της ράβδου τη χρονική στιγμή t α. 95 [ F =0 N,,, F =60 N,,, N =60 60 t,,, t α=,,, dl/ dt= 0 ]. Τροχαλία μάζας M= kg και ακτίνας R=0, είναι στερεωμένη σε ταβάνι και περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 0 =0 / σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο της. γύρω της είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί στο ελεύθερο άκρο του οποίου την χρονική στιγμή t 0 =0 ασκούμε σταθερή κατακόρυφη δύναμη μέτρου F= N. Να βρείτε: a. b. c. d. Τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμης της τροχαλίας Την γωνιακή της επιτάχυνση Την στροφορμη της τη χρονική στιγμή t= Τις στροφές που θα κάνει στο χρονικό διάστημα των. Δίνεται ότι Ic= MR kg. 0 kg. 0,,,4, ) 8.9/79b π. Σε μια παιδικη χαρά υπάρχει μια ακίνητη οριζόντια κυκλική πλατφόρμα, μάζας M= 60 kg και ακτίνας ( 0,4 R=, η οποία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Στην πλατφόρμα δεν ασκείται καμία εξωτερική δύναμη. Ένα παιδί, μάζας = 0 kg τρέχει με ταχύτητα u= 4 / κατά μήκος της εφαπτομένης της πλατφόρμας και ξαφνικά ανεβαίνει πάνω στην πλατφόρμα, σε ένα σημείο της περιφέρειας της. 8

29 α. ποιο είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας με την οποία αρχίζει να περιστρέφεται η πλατφόρμα; β. ποια σταθερή ροπή πρέπει να ασκηθεί στην πλατφόρμα, με το παιδί πάνω της, ώστε να σταματήσει να περιστρέφεται σε χρόνο t= ; Η ροπή αδράνειας της πλατφόρμας είναι I= από την σχέση K= R και η κινητική ενέργεια λογω περιστροφής δίνεται Iω. Το παιδί να θεωρηθεί ως υλικό σημείο. [0,8,,,80 ] 4. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ με μήκος ℓ= και άγνωστη μάζα ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο της Γ συνδέεται με τον τοίχο με αβαρές νήμα ΓΔ που σχηματίζει γωνία ϑ= 0 0 με τη ράβδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος σε αυτή είναι I A = kg. Α. Να υπολογίσετε το μέτρο του βάρους της ράβδου Β. Να υπολογίσετε τα μέτρα και να προσδιορίσετε τις διευθύνσεις των δυνάμεων που ασκούνται στη ράβδο από το νήμα και την άρθρωση. Γ. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα στο άκρο Γ και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από την άρθρωση. Να υπολογίσετε: α. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου, μόλις κοπεί το νήμα. β. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμης της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής της, τη στιγμή που αυτή σχηματίζει γωνία ϕ= 600 με την αρχική της θέση. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτή, I c = ℓ, και g=0 /. 5. Συµπαγής και οµογενής σφαίρα µάζας = 0 kg και ακτίνας R=0, κυλίεται ευθύγραµµα χωρίς ολίσθηση ανερχόµενη κατά µήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ µε ημφ= 0,56. Τη χρονική στιγµή t= 0 το κέντρο µάζας της σφαίρας έχει ταχύτητα µε µέτρο u 0 =8/. Να υπολογίσετε για τη σφαίρα: α. το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της τη χρονική στιγµή t= 0. β. το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας της. 9

30 γ. το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της στροφορµής κατά τη διάρκεια της κίνησής της. δ. το µέτρο της ταχύτητας του κέντρου µάζας της καθώς ανεβαίνει, τη στιγµή που έχει διαγράψει 0 π περιστροφές. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της σφαίρας περί άξονα διερχόµενο από το κέντρο της: I= επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 /. R και η 5 6. Οριζόντια κυκλική πλατφόρμα μάζας M=80kgr και ακτίνας R= μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο της. ένας άνθρωπος μάζας =60kgr βρίσκεται πάνω στην πλατφόρμα σε ένα σημείο της περιφέρειας της και κρατά στο χέρι του σώμα μάζας =4kgr. Αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο. Ξαφνικά ο άνθρωπος ρίχνει το σώμα Οριζόντια κατά την εφαπτομενικη διεύθυνση με αρχική ταχύτητα μέτρου u0=0/. c. Να βρείτε με ποια γωνιακή ταχύτητα θα κινείται η πλατφόρμα. d. Αν στη συνέχεια ο άνθρωπος περπατά στη διεύθυνση μιας ακτίνας της πλατφόρμας και MR. ( 0,8, ) φτάνει στο κέντρο της να βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα της. Δίνεται I c= 7. Δυο ομογενείς δίσκοι περιστρέφονται με κοινό άξονα περιστροφής που περνά από τα κέντρα τους και είναι κατακόρυφος. Οι δίσκοι διατηρούνται ο ένας πάνω από τον άλλο και περιστρέφονται με αντίθετη φορά περιστροφής. Οι γωνιακές ταχύτητες περιστροφής είναι ω=/ και ω=,5/ και οι μάζες τους είναι =kgr και =kgr αντίστοιχα. Αν οι δίσκοι έρθουν σε επαφή, να βρείτε την τελική τους κοινή γωνιακή ταχύτητα. Δίνεται Ic= R. (ω=-/) 8. Λεπτός δακτύλιος μάζας =kgr και ακτίνας R=0,5 περιστρέφεται γύρω από άξονα περιστροφής που περνά από το κέντρο του με ω=00/. Αν ο άξονας περιστροφής στραφεί χωρίς να αλλάξει η γωνιακή ταχύτητα του τροχού, να βρείτε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμης του τροχού για γωνία στροφής του άξονα: a. φ=900 b. φ=600 ( 50 kg. kg., 50 ) 9. Οριζόντιος ομογενής κυκλικός δίσκος περιστρέφεται γύρω από άξονα περιστροφής που περνά από το κέντρο του με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω0=0/. Κομμάτι πλαστελίνης μάζας =kgr, που το θεωρούμε σημειακό αφήνεται να πέσει από κάποιο ύψος και κολλάει στο δίσκο σε απόσταση d από το κέντρο του. Να βρείτε τη νέα γωνιακή ταχύτητα του δίσκου αν: a. d=r b. d=r/ 0

31 c. d=0 MR (, ) 4 Δίνονται: μάζα δίσκου M=0kgr, ακτίνα δίσκου R= και I c= 4. Ο οριζόντιος ομογενής δίσκος του σχήματος έχει μάζα M= 5 kg, ακτίνα R=0, και περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω= 5 / γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το σημείο Α, το οποίο απέχει R/ από το κέντρο Κ του δίσκου. Να βρείτε τη στροφορμη του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής. Δίνεται Ic= MR. [8. 5/77,,,0,75] 5. Στα άκρα μιας ομογενούς οριζόντιας ράβδου μήκους ℓ= 4 βρίσκονται δυο σημειακές μάζες = = kg. Το σύστημα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω= 0 / γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσο Κ της ράβδου. Να βρείτε τη στροφορμη του συστήματος όταν η ράβδος: a. Είναι αβαρής b. έχει μάζα M= kg Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της είναι I c = Mℓ. [8. 9/77,,,80,,,40 ]. Στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους ℓ= είναι στερεωμένες δυο ίσες σημειακές μάζες με = kg. Η ράβδος στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσο της με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω =0 /. c. Να βρείτε τη στροφορμη των μαζών ως προς τον άξονα περιστροφής d. Αν κάποιος μηχανισμός, ο οποίος δεν δημιουργεί εξωτερικές ροπές, μετακινήσει τις μάζες ταυτόχρονα σε απόσταση d= 0, από το μέσο της ράβδου, να βρείτε τη νέα γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. [8.0 /78,,,0,,,50]

32 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΙΣΧΥΣ. Αυτοκίνητο του οποίου ο κάθε τροχός έχει μάζα = 8 kg και ακτίνα R=0,5, κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα u 0 =7 k/h. Κάποια στιγμή το αυτοκίνητο αποκτά σταθερή επιβράδυνση και ακινητοποιείται, αφού διανύσει διάστημα x ολ =80. Στη διάρκεια της επιβραδυνομενης κίνησης οι τροχοί του αυτοκίνητου κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Η ροπή αδράνειας κάθε τροχού είναι I= 0,75 kg. Να υπολογίσετε: a.το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας κάθε τροχού του αυτοκινήτου b. Τη συνολική γωνία που διαγράφει κάθε τροχός κατά τη διάρκεια της επιβραδυνομενης κίνησης του αυτοκινήτου. c. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμης κάθε τροχού του αυτοκινήτου, ως προς τον άξονα περιστροφής του. d. Το συνολικό έργο των δυνάμεων που ασκούνται σε κάθε τροχό, κατά τη διάρκεια της επιβραδυνομενης κίνησης του αυτοκινήτου. 89 [ dω/dt= 0 /,,, θ=0,,, dl /dt= 7,5 kg /,,, ΣW= 4 0 j ]. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ με μήκος ℓ=,5 και μάζα = kg ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άκρο Γ της ράβδου συνδέεται με τον τοίχο με οριζόντιο αβαρές νήμα ΓΔ. Η ράβδος σχηματίζει γωνία ϕ= 600 με τον τοίχο. d. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη ράβδο από το νήμα e. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα στο άκρο Γ και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από την άρθρωση, χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε: i. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου, μόλις κοπεί το νήμα ii. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμης της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής της, τη στιγμή που διέρχεται από την οριζόντια θέση. iii. Την κινητικής της ενέργεια τη στιγμή που διέρχεται από την κατακόρυφη θέση Δίνονται I A = ℓ, g=0 / και εϕ60=.

33 [Τ=0 Ν,,, α=5 /,,, dl/ dt= 5 kg /,,, K=,5 j ]. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ με μήκος L= και μάζα M= 0, kg ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άκρο Γ της ράβδου, στο οποίο είναι στερεωμένο σφαιρίδιο άγνωστης μάζας, συνδέεται με κατακόρυφο αβαρές νήμα ΓΔ με ακλόνητο σημείο Δ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο σφαιρίδιο από το νήμα είναι T=,5 N. a. Να υπολογίσετε τη μάζα του σφαιριδίου b. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη ράβδο από την άρθρωση. c. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα στο άκρο Γ και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από την άρθρωση σε κατακόρυφο επίπεδο. Να υπολογίσετε: iv. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμης του συστήματος της ράβδου και του σφαιριδίου, ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου, μόλις κοπεί το νήμα. v. Το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου, τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη. Δίνονται I A = ML και g=0 / 9[ = 0, kg,,, F=,5 N,,, dl/dt=,5 kg /,,, u=5 / ] 4. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ με μήκος L=,5 και μάζα M= 4 kg ισορροπεί σε οριζόντια θέση, με τη βοήθεια δυο κατακόρυφων νημάτων ΑΔ και ΓΖ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα στο άκρο Α της ράβδου. Μόλις κοπεί το νήμα, να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου b. Το μέτρο της επιτάχυνσης του άκρου Α της ράβδου c. Το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη ράβδο από το νήμα d. Τη χρονική στιγμή που γίνεται κατακόρυφη, να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου.

34 Δίνονται I c = ML και g=0 /. Να θεωρήσετε ότι κατά τη διάρκεια της περιστροφής της ράβδου το νήμα ΓΖ παραμένει κατακόρυφο. 94 [a= 0 /,,, a= 5 /,,, T=0 N,,, dk / dt= 0 ] 5. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΟΓ μάζας M= kg και μήκους ℓ ισορροπεί σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο άκρο Ο υπάρχει ακλόνητη άρθρωση γύρω από την οποία η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές. Ένα αβαρές τεντωμένο νήμα ΔΖ συνδέει το σημείο Ζ της ράβδου με σφαιρίδιο μάζας, το οποίο είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K= 00 N /. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο. Η απόσταση του σημείου Ζ από το σημείο Ο είναι OZ =0,9. Όταν κόβουμε το νήμα ΔΖ, το σφαιρίδιο εκτελεί αμείωτη απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο T= π και μέγιστη κινητική ενέργεια K ax =j, ενώ η ράβδος 5 περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από το σημείο Α. να υπολογίσετε: a. Τη μάζα του σφαιριδίου b. Το μέτρο της τάσης του νήματος ΔΖ πριν το κόψουμε c. Το μήκος της ράβδου d. Το μέτρο της στροφορμης της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, τη στιγμή που διέρχεται από την κατακόρυφη θέση. Δίνονται για την ράβδο I c = Mℓ και g=0 /. Όλη η διάταξη βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο στο οποίο γίνονται και όλες οι κινήσεις. 97 [ = kg,,, F= 0 N,,, ℓ=,,,, L= 7, kg / ] 6. Μια ομογενής σφαίρα αρχίζει να στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο της a γων και αποκτά γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω= 40 / με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση σε χρόνο t= 0. Να υπολογίσετε: e. Το μέτρο της γωνιακή επιτάχυνσης f. Το μέτρο της ροπής που επιταχύνει τη σφαίρα ως προς τον άξονα περιστροφής της g. Το έργο της ροπής που επιταχύνει τη σφαίρα στη διάρκεια του χρόνου t= 0. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο της είναι I c =0,6 kg. [5. 9/5,,,4,,,0,64 N,,,8 j ] 4

35 7. Συμπαγής και ομογενής σφαίρα μάζας M= 0 kg και ακτίνας R=0, είναι αρχικά ακίνητη πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου F= 8 N, η οποία ασκείται κατάλληλα στο κέντρο της, η σφαίρα αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο επίπεδο. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της σφαίρας. b. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμης της σφαίρας κατά τη διάρκεια της κίνησης της c. Το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας, όταν έχει διαγράψει N= 40 π περιστροφές. d. Την κινητική ενέργεια της σφαίρας λόγω στροφικής κίνησης, τη στιγμή που η κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης είναι K μετ =50 j. Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας περί άξονα διερχόμενο από το κέντρο της I c = R. 5 [ a= /,,, dl /dt=,5 kg /,,, u= 8/,,, K= 0 j ] 8. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΟΑ μήκους L=,5 και μάζας M= kg μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το άκρο Ο της ράβδου. Η ράβδος αρχικά είναι κατακόρυφη, όπως φαίνεται στο σχήμα. Δίνουμε στη ράβδο γωνιακή ταχύτητα ω 0, ώστε να αρχίσει να περιστρέφεται περί τον άξονα της. Όταν η ράβδος γίνεται οριζόντια, έχει γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω= /, και όταν ηρεμεί στιγμιαία, στην ανώτερη θέση της, σχηματίζει γωνία φ με την οριζόντια διεύθυνση. a. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω 0. b. Να υπολογίσετε τη γωνία φ. c. Να προσδιορίσετε το είδος της στροφικής κίνησης της ράβδου όταν κινείται από την αρχική κατακόρυφη θέση της μέχρι την οριζόντια θέση της. d. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου, τη στιγμή που γίνεται οριζόντια. 5

36 Δίνεται I c = ML και g=0 /. [ω 0 =6 /,,, φ=00,,, dk /dt= 5 j / ]. 9. Ομογενής κύλινδρος, μάζας = 0 kgr και ακτίνας R=0,4, είναι ελεύθερος να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που ταυτίζεται με τον γεωμετρικό του άξονα. γύρω από τον κύλινδρο έχουμε τυλίξει αβαρές νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου ασκούμε οριζόντια δύναμη. α. Αν η δύναμη έχει σταθερό μέτρο F=0 N, να υπολογίσετε: vi. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του κυλίνδρου vii. Το μέτρο της στροφορμης του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του τη χρονική στιγμή που έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους ℓ= β. Αν το μέτρο της δύναμης μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση F=0 t S. I., να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της στροφορμης του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του τη χρονική στιγμή t =4. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I c = R. 0. Ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΖ έχει μήκος L= 4, μάζα M= kg και ισορροπεί σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο άκρο της Α υπάρχει k ακλόνητη άρθρωση γύρω από την οποία η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς Δ τριβές, ενώ στο άλλο άκρο της Ζ υπάρχει στερεωμένο σφαιρίδιο μάζας =0,6 kg και αμελητέων διαστάσεων. Ένα αβαρές Γ Ζ τεντωμένο νήμα ΔΓ συνδέει το σημείο Γ της Α ράβδου με σφαιρίδιο μάζας = kg το οποίο είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=00 N /. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο. Η απόσταση ΑΓ είναι ίση με,8. Όλη η διάταξη βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, στο οποίο γίνονται και όλες οι κινήσεις. Α. Β. Να υπολογίσετε: Α. τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου σφαιριδίου ως προς τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετος στο επίπεδο της διάταξης Α. το μέτρο της τάσης του νήματος ΔΓ. Αν κόψουμε το νήμα ΔΓ, το σφαιρίδιο εκτελεί αμείωτη αρμονική ταλάντωση, ενώ η ράβδος μαζί με το σώμα, υπό την επίδραση της βαρύτητας, περιστρέφoνται χωρίς τριβές γύρω από το σημείο Α. Να υπολογίσετε: Β. το χρόνο που χρειάζεται το σφαιρίδιο από τη στιγμή που κόβεται το νήμα μέχρι τη στιγμή που θα φθάσει στην ψηλότερη θέση του για πρώτη φορά Β. το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Ζ, τη στιγμή που η ράβδος περνάει από την κατακόρυφη θέση. 6

37 Δίνονται: g=0 /, ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της: I c= ML, π=,4.. Μια μικρή σφαίρα μάζας και ακτίνας r αφήνεται από το σημείο Α, πάνω σε κεκλιμένο καμπύλο οδηγό, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στη βάση του οδηγού η σφαίρα συναντά κατακόρυφη κυλινδρική επιφάνεια ακτίνας R=0,. Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης της η σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της σφαίρας, όταν διέρχεται από σημείο του κεκλιμένου οδηγού με γωνία κλίσης φ. β. το μέτρο της ελάχιστης τιμής της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας στο ανώτερο σημείο Γ της κυλινδρικής επιφάνειας, ώστε η σφαίρα να κάνει ανακύκλωση γ. τo μέτρo του ρυθμού μεταβολής της στροφορμης της σφαίρας, όταν βρίσκεται στο σημείο Γ δ. το μικρότερο ύψος h από το οποίο πρέπει να αφεθεί η σφαίρα, ώστε να κάνει ανακύκλωση. Δίνεται: ροπή αδράνειας της σφαίρας περί άξονα διερχόμενο από το κέντρο της: I= r, 5 η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 / και ότι ημφ= 0,56. Η ακτίνα r της σφαίρας είναι πολύ μικρή σε σχέση με την ακτίνα R του οδηγού. ac =4/,,, u Γ in = /,,, dl =0,,, h= 0,54 dt. Δύο ίδιες, λεπτές, ισοπαχείς και ομογενείς ράβδοι ΟΑ και ΟΒ, που έχουν μάζα M= 4 kg και μήκος L=,5 η καθεμία, συγκολλούνται στο ένα άκρο τους Ο, ώστε να σχηματίζουν ορθή γωνία. Το σύστημα των δύο ράβδων μπορεί να περιστρέφεται περί οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο ΑΟΒ, που διέρχεται από την κορυφή Ο της ορθής γωνίας. Το σύστημα αρχικά συγκρατείται στη θέση όπου η ράβδος ΟΑ είναι οριζόντια (όπως στο σχήμα). Η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της είναι I c = A. Β. Γ. ML. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το Ο. Από την αρχική του θέση το σύστημα των δύο ράβδων αφήνεται ελεύθερο να περιστραφεί περί τον άξονα περιστροφής στο σημείο Ο, χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του συστήματος των δύο ράβδων τη στιγμή της εκκίνησης. Τη χρονική στιγμή κατά την οποία οι ράβδοι σχηματίζουν ίσες γωνίες με την κατακόρυφο Ox, να υπολογίσετε: 7

38 α. β. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος των δύο ράβδων. Το μέτρο της στροφορμής της κάθε ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σημείο Ο. Δίνονται: g=0 /, ημ 45=συν 45= =0,7.. Άκαμπτη ομογενής ράβδος ΑΓ μήκος ℓ και μάζα M= kg έχει άκρο της Α αρθρωμένο και ισορροπεί οριζόντια. Στο άλλο άκρο Γ ασκείται σταθερή κατακόρυφη δύναμη F μέτρου 9N, με φορά προς τα κάτω. Η ράβδος ΑΓ εφάπτεται στο σημείο Β στερεό που αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους με R =0, ακτίνες και R =0,, όπως φαίνεται στο σχήμα. με το με Η απόσταση του σημείου επαφής Β από το άκρο Γ της ράβδου είναι ℓ. 4 To στερεό μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, σαν ένα σώμα γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο του. Ο άξονας περιστροφής συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας των δύο κυλίνδρων. Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής είναι I= 0,09 kg. Γύρω από τον κύλινδρο ακτίνας R είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα στο άκρο του οποίου κρέμεται σώμα μάζας = kg. α. Να υπολογίσετε την κατακόρυφη δύναμη που δέχεται η ράβδος στο σημείο Β από το στερεό. β. Αν το σώμα μάζας ισορροπεί, να βρείτε το μέτρο της δύναμης της στατικής τριβής μεταξύ της ράβδου και του στερεού. γ. Στο σημείο επαφής Β μεταξύ ράβδου και στερεού ρίχνουμε ελάχιστη ποσότητα λιπαντικής ουσίας έτσι, ώστε να μηδενιστεί η τριβή χωρίς να επιφέρει μεταβολή στη ροπή αδράνειας του στερεού. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας, όταν θα έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0,5. Να θεωρήσετε ότι το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει στον εσωτερικό κύλινδρο. δ. Να υπολογίσετε το ρυθμό παραγωγής έργου στο στερεό τη χρονική στιγμή που έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0,5. Δίνεται g=0 / 4. Ομογενής ράβδος ΚΛ, μήκους ℓ= και μάζας M= kg, μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Κ. Στο άλλο άκρο Λ της ράβδου βρίσκεται στερεωμένο σφαιρίδιο μάζας = kg. Αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη από την οριζόντια θέση. Να υπολογίσετε : a) τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου σφαιριδίου ως προς τον άξονα περιστροφής. b) τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου τη στιγμή που γίνεται κατακόρυφη. Δίνονται : η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 / και η ροπή αδράνειας της ράβδου I c = ( Mℓ. 00 kg. 0,,, 0 ) 8

39 5. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΟΑ με μήκος ℓ= και μάζα = 6 kg ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Ο της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με κατακόρυφο αβαρές νήμα ΑΓ σε ακλόνητο σημείο Γ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος βρίσκεται σε ύψος h=, πάνω από το οριζόντιο δάπεδο. a. Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούνται στη ράβδο από το νήμα και την άρθρωση. b. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα στο άκρο Α και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από την άρθρωση, χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε: iii. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της ράβδου, μόλις κοπεί το νήμα. iv. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου, τη στιγμή που το άκρο της Α φτάνει στο δάπεδο. v. Το ρυθμό παραγωγής έργου από το βάρος της ράβδου, τη στιγμή που το άκρο της Α φτάνει στο δάπεδο. Δίνονται I o = ℓ και g=0 / 9[ T=0 N,,, F=0 N,,, a=7,5 /,,,ω= /,,, dw /dt= 44 j / ] 6. Οριζόντιο ομογενής και συμπαγής δίσκος, μάζας M=,6 kg και ακτίνας R=0,, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Αρχικά ο δίσκος είναι ακίνητος. Βλήμα αμελητέων διαστάσεων μάζας = 0, kg, κινείται οριζόντια και ενσωματώνεται ακαριαία σε ένα σημείο A της περιφέρειας του δίσκου. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος αμέσως μετά την κρούση είναι ω 0 =0 /. Να υπολογίσετε: a. Τη ροπή αδράνειας του συστήματος δίσκος βλήμα b. Το μέτρο της ταχύτητας u του βλήματος. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 ασκούμε στο δίσκο οριζόντια δύναμη σταθερού μέτρου F= 8N που εφάπτεται στην περιφέρεια του σε τυχαίο σημείο αυτής. Η δύναμη ασκείται για ορισμένο χρονικό διάστημα Δt, στο τέλος του οποίου το σύστημα ακινητοποιείται. Να υπολογίσετε: c. Το χρονικό διάστημα Δt d. Το ρυθμό ελάττωσης της κινητικής ενέργειας του συστήματος τη χρονική στιγμή t= 0,5. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα τον περιστροφής του είναι I c = R. 9

40 0. 6/77,,,400 N,,,0,,, d 7. Η εξέδρα μιας παιδικής χαράς είναι κυκλική ακτίνας R= και μπορεί να περιστρέφεται οριζόντια, χωρίς τριβές γύρω από τον κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο της Κ. Η ροπή αδράνειας της εξέδρας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι I= 60 kg. Ένα παιδί μάζας = 40 kg, που τη θεωρούμε σημειακή, τρέχει γύρω από την ακίνητη εξέδρα με ταχύτητα μέτρου u= 5/ και ξαφνικά πηδάει πάνω της σε σημείο της περιφέρειας της. Να βρείτε: a. Τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της εξέδρας b. Τη σταθερή εξωτερική εφαπτομενικη δύναμη που πρέπει να ασκήσουμε στην εξέδρα, ώστε αυτή να σταματήσει να περιστρέφεται μετά από χρόνο 4. [8. 4/80,,,,,,50 ] 8. Ο τροχός του σχήματος, μάζας M= 0,8 kg και ακτίνας R=0,5, στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο του Κ. Κολλάμε στην περιφέρεια του τροχού σημειακή μάζα = 0, kg και τον περιστρέφουμε με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω =8 /. Όταν η μάζα βρεθεί στη θέση Α, αποσπάται από τον τροχό. Να βρείτε: a. Το ύψος στο οποίο θα φτάσει η μάζα b. Την τελική ταχύτητα του τροχού. Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού Ic= MR. [8. 4/80,,,0,,,,0 / ] 9. Η ομογενής ράβδος ΑΒ, μάζας M= 0,4 kg και μήκους ℓ=, μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο της Α. Βλήμα, σημειακής μάζας = 0, kgr, κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου u 0 =00 / και σφηνώνεται στο άκρο Β της ράβδου. Αν η διάρκεια κίνησης του βλήματος μέσα στη ράβδο είναι αμελητέα, να βρείτε α. τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά το σφήνωμα του βλήματος σε αυτή. β. το ποσοστό μείωσης της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος λόγω της πλαστικής κρούσης. γ. την ταχύτητα που θα έπρεπε να είχε η σφαίρα ώστε η μέγιστη γωνία εκτροπής να είναι 60 0 Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της είναι I c = Mℓ. [8. 46/8,,,60 / ] 40

41 0. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους ℓ= 0, και μάζας = 0,5 kg μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της και είναι διαρκώς κάθετος σε αυτήν. Βάζουμε την ράβδο σε κατακόρυφη θέση, έτσι ώστε ο άξονας περιστροφής να βρίσκεται στο κάτω άκρο της, και στη συνέχεια την αφήνουμε ελεύθερη. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου I c = ℓ και g=0. Να βρεθούν: a. Η επιτάχυνση της ράβδου τη στιγμή που γίνεται οριζόντια b. Το έργο που εκτελεί το βάρος της ράβδου από την αρχική κατακόρυφη θέση μέχρι τη χρονική στιγμή που η ράβδος γίνεται για πρώτη φορά οριζόντια c. Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου, όταν για πρώτη φορά ξαναγίνεται κατακόρυφη, μετά την στιγμή που αφήνεται d. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας της ράβδου όταν, για πρώτη φορά, η ράβδος διέρχεται από την οριζόντια θέση ( 50. *,,,5, 0,75 j,,0 /85/kr Μια λεπτή και Ομογενής ράβδος μήκους ℓ= και μάζας =, kg στρέφεται ελεύθερα με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω =6 διαγράφοντας οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσο της. Η ράβδος διαπερνά δυο σφαίρες, μάζας = 0,5 kg η κάθε μια. Οι θέσεις των σφαιρών είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα περιστροφής και απέχουν 0,5 από αυτόν. Μια διάταξη που δεν δημιουργεί εξωτερικές ροπές μεταφέρει ταυτόχρονα τις σφαίρες σε απόσταση 0,4 από τον άξονα περιστροφής. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου I c = ℓ. e. Να βρεθούν η στροφορμη και η κινητική ενέργεια του συστήματος πριν τη μεταφορά των σφαιρών f. Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος μετά τη μεταφορά των σφαιρών; g. Αυξήθηκε, μειώθηκε ή παρέμεινε σταθερή η κινητική ενέργεια του συστήματος και γιατί; h. Να υπολογιστεί το έργο που εκτέλεσε η διάταξη η οποία μετέφερε τις σφαίρες i. Εάν η διαδικασία μεταφοράς των σφαιρών διαρκεί Δt= 0,, ποια η μέση ροπή που ενήργησε στη ράβδο σε αυτό το χρονικό διάστημα; Πόσο ήταν το έργο αυτής της ροπής;. * kg. 9,,,,8, j,,,5,,, αυξηθηκε,,,40, 95 j,,,9n.,,,7, 45 j 4/90kr Μια ομογενής σφαίρα μάζας = kg, ακτίνας R=0, και ροπής αδρανείας I c = R εκτοξεύεται κατά μήκος ενός οριζόντιου επιπέδου, με το οποίο παρουσιάζει 5 συντελεστή τριβής μ=0,, με ταχύτητα μέτρου u 0 =7. Τη στιγμή που η σφαίρα έρχεται σε επαφή με το επίπεδο εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση. Έτσι διανύει διάστημα ΓΔ πάνω στο οριζόντιο επίπεδο ολισθαίνοντας και στη συνέχεια διάστημα ΔΕ κυλώντας. Στο Ε συναντά το ανώτατο σημείο κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης ϕ ( ημϕ= 5, συνϕ= ), στο οποίο συνεχίζει την κίνηση της j. Πόσο χρόνο διήρκεσε η κίνηση της σφαίρας από το σημείο Γ μέχρι το σημείο Δ, όπου άρχισε να κυλάει χωρίς να ολισθαίνει; 4

42 k. Ποια είναι η τιμή της δύναμης της τριβής που ενεργεί στη σφαίρα όταν κινείται μεταξύ των σημείων Δ και Ε; l. Να αποδείξετε ότι η κύλιση της σφαίρας στο κεκλιμένο επίπεδο συνοδεύεται από ολίσθηση. Πόσο χρόνο κινείται η σφαίρα στο κεκλιμένο επίπεδο μέχρι να φτάσει σ ένα σημείο Ζ ' όπου το κέντρο μάζας της έχει ταχύτητα μέτρου u =,6 ; n. Ποια είναι η κινητική ενέργεια της σφαίρας στο σημείο Ζ;,,,0,,, T= 00 4 >T ax=,,,,6,,,07, 6 j 9 4/5kr. Ένας άνθρωπος στέκεται πάνω σε οριζόντιο τραπέζι και κρατά πάνω από το κεφάλι του τον κατακόρυφο άξονα ενός τροχού. Το σύστημα «τραπέζι άνθρωπος τροχός» περιστρέφεται χωρίς τριβές με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = γύρω από κοινό κατακόρυφο άξονα. Η ροπή αδρανείας του συστήματος «άνθρωπος τραπέζι» είναι I =4 kg και του τροχού I = kg. Κάποια στιγμή ο άνθρωπος δίνει ώθηση στον τροχό, με αποτέλεσμα ο ίδιος και το τραπέζι να ακινητοποιηθούν. Θεωρούμε ότι οι ροπές αδρανείας των σωμάτων είναι σταθερές. a. Για να ακινητοποιηθεί ο άνθρωπος, πρέπει να ωθήσει τον τροχό έτσι, ώστε να στρέφεται πιο γρήγορα ή πιο αργά; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας b. Με ποια γωνιακή ταχύτητα περιστρέφεται τελικά ο τροχός; c. Πόση είναι η χημική ενέργεια που ξόδεψε ο άνθρωπος για να ωθήσει τον τροχό; 0,,,40 j /4/kr 4. Πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο κυλάνε, χωρίς να ολισθαίνουν με την ίδια ταχύτητα ένας λεπτός δακτύλιος και ένας δίσκος της ίδιας μάζας και της ίδιας ακτίνας. Αν η κινητική ενέργεια του δακτυλίου είναι K =0 j, να βρείτε την κινητική ενέργεια του δίσκου. Δίνεται για το δίσκο I c= R. [9. 0 /07,,,5 j ] 5. Ομογενής και συμπαγής δίσκος μάζας = 4 kgr κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει Πάνω σε οριζόντια επιφάνεια με ταχύτητα μέτρου u= 5. Να υπολογίσετε την κινητική του ενέργεια. Δίνεται I c = R. [9. /07,,,75 j ] R=0 c. Στον αέρα ο δίσκος περιστρέφεται και σε κάποια χρονική στιγμή έχει γωνιακή ταχύτητα ω= 00. Αν την ίδια 6. Ένας δισκοβόλος πετάει έναν δίσκο ακτίνας στιγμή η κινητική ενέργεια του δίσκου λόγω στροφικής κίνησης είναι ίση με την κινητική του ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης, να βρείτε την ταχύτητα της μεταφορικής κίνησης του δίσκου εκείνη τη στιγμή. Δίνεται I c = R. [9. /08,,,0 ] b 4

43 7. Μια Ομογενής σφαίρα μάζας = kgr κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου u =0. κάποια στιγμή η σφαίρα συγκρούεται με ακλόνητο τοίχωμα και ανακλάται. Αν μετά την ανάκλαση η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με ταχύτητα μέτρου, να βρείτε το ποσό θερμότητας που απελευθερώθηκε κατά τη σύγκρουση. Δίνεται για τη σφαίρα I c = R. 5 [9. 6/ 08,,,5, j ] b u =8 8. Μια Ομογενής σφαίρα κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει και στη συνέχεια ανεβαίνει σε πλάγιο επίπεδο, όπου και πάλι κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να βρείτε το ύψος h στο οποίο θα ανέβει η σφαίρα. Δίνονται I c = R και g=0. 5 [9. 7/08,,,7 ] 9. Τρεις ίδιες σημειακές σφαίρες στερεώνονται στα δυο άκρα Α και Β και στο μέσο Κ μιας αβαρούς ράβδου μήκους ℓ. Η ράβδος ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση. Αν η ράβδος ανατραπεί και πέσει Πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, να βρείτε τις ταχύτητες των σφαιρών τη στιγμή της επαφής τους με το επίπεδο. τριβές δεν υπάρχουν. Δίνονται g,ℓ [9. 8/08,,, u = gℓ gℓ,,, u = ] Ο τροχός ενός μηχανήματος έχει μάζα = 4 kg, ακτίνα R και στρέφεται ελεύθερα με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 0 =00. O χειριστής του μηχανήματος θέλοντας να σταματήσει τον τροχό τραβάει προς τα κάτω με δύναμη μέτρου F= 40 N το άκρο ενός αβαρούς μοχλού, αρθρωμένου στον τοίχο στο σημείο Α. Έτσι ο τροχός φρενάρει λόγω τριβών. Το σημείο επαφής του τροχού με τον μοχλό απέχει από την άρθρωση απόσταση ίση του μήκους του μοχλού. Δίνεται η ροπή αδρανείας του τροχού I c = R, ο 4 5 συντελεστής τριβής στην επαφή μοχλού τροχού μ= και g=0. Ζητούνται: 6 με το α) Το μέτρο της δύναμης που εξασκεί η άρθρωση στον μοχλό β) η ροπή που επιβραδύνει τον τροχό 4

44 γ) η διάρκεια της επιβραδυνομενης κίνησης του τροχού καθώς και ο αριθμός των στροφών που θα διαγράψει σε αυτήν τη χρονική διάρκεια δ) η θερμότητα που αναπτύσσεται λόγω τριβής ε) το «βάρος» που σηκώνει ο άξονας του τροχού όταν τον πιέζει ο μοχλός στ) η ισχύς που πρέπει να προσφέρεται στον τροχό μέσω του έργου μιας εξωτερικής ροπής, ώστε παρά την πίεση του μοχλού η γωνιακή του ταχύτητα να παραμείνει ίση με ω 0 =00. 0 N,,,00 N.,,,8,,, 00,,,40000 j,,,00 N,,,0000 W /0kr π. Ομογενής ράβδος μάζας =0, kg και μήκους ℓ= ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση, εξαρτημένη στο πάνω άκρο της από οριζόντιο άξονα, γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα. Ένα βλήμα παιδικού όπλου, μάζας =0, kg, κινούμενο οριζόντια, σφηνώνεται στο κάτω άκρο της ράβδου. Aποτέλεσμα της κρούσης είναι να εκτραπεί η ράβδος από την κατακόρυφη θέση κατά μέγιστη γωνία ϕ= 600. Να βρεθούν: d. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου αμέσως μετά την κρούση e. Η ταχύτητα του βλήματος πριν την κρούση f. Το ποσό θερμότητας που παράχθηκε κατά την κρούση. 50=7, και για τη ράβδο I c = Δίνονται g=0 ℓ.,5,,,,7,,,,5 j 4/4kr. Λεπτός ομογενής δακτύλιος, μάζας M= kgr και ακτίνας R=0,, στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω= 0 γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από σημείο της περιφέρειας του δακτυλίου και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει. Να υπολογίσετε: g. Το μέτρο της στροφορμης του δακτυλίου ως προς τον άξονα περιστροφής του. h. Την κινητική ενέργεια του δακτυλίου. i. Το μέτρο της σταθερής ροπής που πρέπει να ασκηθεί στο δακτύλιο ως προς τον άξονα [5. 9/7,,,0,8,,,4j,,,0,4 N ] d περιστροφής του, ώστε να ακινητοποιηθεί σε χρόνο t=. Δίνεται I c = R.. Τρία σώματα αμελητέων διαστάσεων με μάζες =, = και, συνδέονται μεταξύ τους με τρεις αβαρείς ράβδους, μήκους μήκους ℓ= 0,4 η κάθε μια, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος ΟΓ που σχηματίζεται μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο Ο. φέρνουμε τη ράβδο σε οριζόντια θέση και την αφήνουμε ελεύθερη. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης τη στιγμή που την αφήνουμε ελεύθερη b. Το μέτρο της γωνιακής της ταχύτητας τη στιγμή που γίνεται κατακόρυφη Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Β τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη. Δίνεται g=0. [5.0 /7,,,,5,,,5,,,4 ] d 44

45 4. Μια μαθήτρια κάθεται πάνω σε κάθισμα που μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα, που είναι ο άξονας συμμετρίας, και κρατάει στα χέρια της τον άξονα ενός οριζόντιου τροχού, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αρχικά η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού έχει μέτρο ω τ =60, ενώ η μαθήτρια και το σκαμνί δε στρέφονται. Κάποια στιγμή η μαθήτρια περιστρέφει τον άξονα του τροχού σε κατακόρυφο επίπεδο κατά 800, έτσι ώστε ο τροχός να ξαναγίνει οριζόντιος, χωρίς να μεταβληθεί το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας. Να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της τελικής γωνιακής ταχύτητας της μαθήτριας. b. Τη χημική ενέργεια που δαπάνησε η μαθήτρια για να περιστρέψει τον άξονα του τροχού κατά 800. Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I τ =0, kgr και η ροπή αδράνειας της μαθήτριας του καθίσματος και του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του καθίσματος είναι I ολ= kgr. [5./ 9,,,8,,,96 j ] d 5. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ, μήκους ℓ= 0 c, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο Α. φέρνουμε τη ράβδο σε οριζόντια θέση και την αφήνουμε ελεύθερη. Να υπολογίσετε: c. Τη μέγιστη τιμή του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου d. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του άκρου Γ της ράβδου τη στιγμή που το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του ράβδου είναι μέγιστο. Δίνεται ότι g=0. I c = ℓ και [5.4 /9,,,0,,,] 6. Η ομογενής ράβδος ΑΓ του σχήματος, μήκους ℓ= 0 c και μάζας = 0,4 kgr είναι κατακόρυφη και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο Α. Εξαιτίας μιας μικρής ώθησης που δέχθηκε, η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται. Τη στιγμή που η ράβδος γίνεται οριζόντια, να υπολογίσετε: a. Το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της ράβδου b. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου c. Τα μέτρα της οριζόντιας και της κατακόρυφης συνιστώσας της δύναμης που ασκείται στη ράβδο από τον άξονα περιστροφής. Δίνεται ότι I c = ℓ και g=0. [5.5/ 9,,,,5,,,50,,,6N,,,N,,,] 45