Ευκλείδης (~325 - ~265 π.χ.): «Ο ΘΕΜΕΛΙΩΤΗΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ»

Ευκλείδης (~325 - ~265 π.χ.): «Ο ΘΕΜΕΛΙΩΤΗΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ» Για τη ζωή του Ευκλείδη είναι γνωστά λίγα πράγματα: ήταν σύγχρονος του Αρχιμήδη και πιθανόν να μαθήτευσε στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Ήταν ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν από τον Πτολεμαίο Α, για να επανδρώσουν το περίφημο πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας. Άλλες αξιόλογες τεκμηριωμένες πληροφορίες δεν υπάρχουν. Ο Ευκλείδης από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια, όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του, των Στοιχείων. Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία, γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη, θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδρασή της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί. Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου, που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγούμενων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξή τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη με την πρώτη εμφάνισή τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση. Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο, καμία άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε, μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ. Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας. Από τη πρώτη έκδοσή της στα 1742 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις. Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών. Γιατί όμως «στοιχεία»; Ο Πρόκλος, ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε τον 5 ο αιώνα, έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου «στοιχεία». Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης. Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσοτέρων από τα άλλα θεωρήματα. Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα: τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία. Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα. Αυτό καταδεικνύει τη δυσκολία του εγχειρήματος του Ευκλείδη και του προσδίδει την αίγλη που το χαρακτηρίζει. Δεν σώζεται κανένα αντίγραφο των Στοιχείων από την εποχή του ίδιου του Ευκλείδη. Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θέωνας από την Αλεξάνδρεια, ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια χρόνια μετά τον Ευκλείδη. Μόνο στις αρχές του 19 ου αιώνα ανακαλύφθηκε, στη βιβλιοθήκη του Βατικανού, ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από τον Θέωνα. Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θέωνα. Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά. Τον 8 ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν ένα αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 0 Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια από τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις. Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Ντικράν Ματοσσιάν Μαθηματικός Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Μυτιλήνης, Σχολικό Έτος: 2004-2005

Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 στα λατινικά και ήταν μετάφραση του Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus). Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε. Μια σημαντική μετάφραση έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572. Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε σαν βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν. Στην έκδοση του Θέωνα, τα Στοιχεία περιλαμβάνουν δεκατρία βιβλία ή μέρη και περιέχουν συνολικά 465 προτάσεις. Αντίθετα με την εντύπωση που επικρατεί, ένα μεγάλο μέρος του υλικού αφορά όχι την γεωμετρία αλλά τη στοιχειώδη θεωρία αριθμών και την ελληνική άλγεβρα. Ειδικότερα: τα πρώτα έξι βιβλία καλύπτουν τη Γεωμετρία του επιπέδου, τα βιβλία επτά μέχρι εννέα την Αριθμητική και τη Θεωρία Αριθμών (για παράδειγμα το βιβλίο 7 αρχίζει με τη διαδικασία που σήμερα είναι γνωστή ως ο αλγόριθμος του Ευκλείδη, με την οποία βρίσκουμε το Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη δύο ή περισσοτέρων ακεραίων), το δέκατο βιβλίο, ένα δύσκολο στην ανάγνωση βιβλίο, αναφέρεται στους άρρητους αριθμούς δηλαδή με ευθύγραμμα τμήματα που είναι ασύμμετρα ως προς κάποιο δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα, και τα τρία τελευταία βιβλία στη Στερεομετρία. Η ύλη που υπάρχει σήμερα στα σχολικά βιβλία είναι σε μεγάλο βαθμό αυτή που βρίσκουμε στα βιβλία 1, 3, 4, 6, 11 και 12 του Ευκλείδη. Η ύλη των σύγχρονων σχολικών βιβλίων που αναφέρεται στη μέτρηση του κύκλου και της σφαίρας έχουν μεταγενέστερη προέλευση και δεν περιέχονται στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Το Βιβλίο 1 αρχίζει με τους απαραίτητους αρχικούς ορισμούς και τις επεξηγήσεις, τα αιτήματα και τα αξιώματα. Αν και σήμερα οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν τις λέξεις «αξίωμα» και «αίτημα» σαν συνώνυμα, οι αρχαίοι Έλληνες έκαναν κάποια διάκριση που υιοθέτησε και ο Ευκλείδης: σύμφωνα με αυτή, αξίωμα φαίνεται πως είναι μια αρχική υπόθεση που είναι κοινή σε όλα τα πεδία μελέτης, ενώ το αίτημα είναι μια αρχική υπόθεση ειδικά για το συγκεκριμένο αντικείμενο μελέτης. Τα αξιώματα και τα αιτήματα του Ευκλείδη ήταν τα ακόλουθα: Τα αιτήματα : 1. Από κάθε δυο σημεία μπορούμε να φέρουμε ευθεία γραμμή. 2. Ένα ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να προεκτείνεται συνεχώς και ευθύγραμμα. 3. Με οποιοδήποτε σημείο ως κέντρο και με οποιαδήποτε ακτίνα μπορεί να γραφεί κύκλος. 4. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. 5. Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες ευθείες γραμμές έτσι ώστε οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες που σχηματίζονται να έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε, όταν οι δύο ευθείες προεκταθούν απεριόριστα, θα συναντηθούν από εκείνο το μέρος που σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες. Τα αξιώματα ή κοινές έννοιες : 1. Πράγματα που είναι ίσα προς τρίτο είναι και μεταξύ τους ίσα. 2. Αν ίσα προστεθούν με ίσα, τότε το άθροισμα θα είναι ίσα. 3. Αν ίσα αφαιρεθούν από ίσα, τότε τα υπόλοιπα θα είναι ίσα. 4. Πράγματα που εφαρμόζουν το ένα πάνω στο άλλο, είναι ίσα μεταξύ τους. 5. Το όλον είναι μεγαλύτερο του μέρους 2

Παρατηρήστε ότι τα τρία πρώτα αιτήματα περιορίζουν τις κατασκευές σε εκείνες που μπορούν να γίνουν με κανόνα και διαβήτη και αβαθμολόγητο κανόνα (χάρακα χωρίς υποδιαιρέσεις). Για το λόγο αυτό τα δύο αυτά εργαλεία λέγονται συχνά ευκλείδεια εργαλεία και οι κατασκευές που γίνονται από αυτά ευκλείδειες κατασκευές. Ο Ευκλείδης χρησιμοποιούσε τις κατασκευές ως θεωρήματα ύπαρξης, για να αποδείξει δηλαδή την πραγματική ύπαρξη ορισμένων οντοτήτων. Έτσι μπορεί κανείς να ορίσει τη διχοτόμο μιας δεδομένης γωνίας ως μια γραμμή του επιπέδου της γωνίας η οποία περνά από την κορυφή της γωνίας και τη διαιρεί σε δύο ίσες γωνίες. Ο ορισμός όμως δεν εγγυάται την ύπαρξη αυτού που ορίζεται, αυτό απαιτεί απόδειξη. Για να αποδείξουμε ότι η γωνία έχει πραγματικά διχοτόμο, πρέπει να αποδείξουμε ότι μπορούμε να τη κατασκευάσουμε. Τα θεωρήματα ύπαρξης είναι πολύ σημαντικά στα μαθηματικά και η πραγματική κατασκευή μιας οντότητας είναι ο πιο ικανοποιητικός τρόπος απόδειξης της ύπαρξής της. Μια μέρα, ο βασιλιάς Πτολεμαίος έκανε επιθεωρώντας τα συγγράμματα της βιβλιοθήκης, στάθηκε αρκετή ώρα μπροστά από τους πολυπληθείς κυλίνδρους των Στοιχείων. Απευθυνόμενος στον Ευκλείδη, το ρώτησε αν υπάρχει πιο σύντομος δρόμος από αυτόν για να μυηθεί στα μαθηματικά θέματα. Και ο Ευκλείδης του απάντησε «Δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωμετρία». Μια άλλη φορά, τη στιγμή που ο Ευκλείδης είχε ολοκληρώσει τη διδασκαλία ενός θεωρήματος, ένας μαθητής του, τον ρώτησε τι όφελος θα είχε από το θεώρημα αυτό. Τότε ο Ευκλείδης διέταξε σε ένα σκλάβο: «Δώσ του τρεις οβολούς, αφού πρέπει οπωσδήποτε να έχει ωφέλεια από αυτά που έμαθε». Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της «δυτικής» επιστήμης και τεχνικής και σ' αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά. Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου, ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος, αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις, ταχύτητες, μάζες κτλ.). Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η ευκλείδεια Γεωμετρία, επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός! Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό, ελλειπτικό κ.ά. χώρο. Η πρώτη επιστημονική προσέγγιση των οπτικών φαινομένων, από μαθηματική άποψη, γίνεται από τον Ευκλείδη, τον 4ο π.χ. αιώνα, μέσα από τις προτάσεις που διατυπώνει και αποδεικνύει στην Οπτική του. Στην μελέτη αυτή ο Ευκλείδης συγκεντρώνει και καταγράφει όλες τις μέχρι τότε εμπειρικές γνώσεις γύρω από την οπτική αντίληψη και επιχειρεί μία γεωμετρική ερμηνεία των οπτικών φαινομένων. Πηγές: Howard Eves: «Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών», Εκδόσεις Τροχαλία Denis Guedj: «Το Θεώρημα του παπαγάλου» http://www.focusmag.gr/articles/view-article.rx?oid=97725 http://el.wikipedia.org/wiki/%ce%95%cf%85%ce%ba%ce%bb%ce%b5%ce%af%ce%b4%ce%b 7%CF%82 http://sfr.ee.teiath.gr/historia/historia/important/html/euklid.htm 3

ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ Το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο είναι τα πρωταρχικά γεωμετρικά σχήματα και δεν επιδέχονται ορισμό. Μπορούμε μόνο να τα περιγράψουμε μέσω φυσικών αναπαραστάσεων, αφαιρώντας από αυτά τα περιττά χαρακτηριστικά. Στα βασικά αυτά μεγέθη προσδίνουμε ιδιότητες, έτσι σύμφωνα με τον Ευκλείδη: Το σημείο δεν έχει διαστάσεις. Περιγράφεται με μια κουκίδα, αδιάφορο του πάχους της ή του χρώματός της. Η ευθεία έχει μόνο μήκος και εκτείνεται προς τις δύο κατευθύνσεις απεριόριστα. Το επίπεδο έχει μήκος και πλάτος. Δεν έχει πάχος και εκτείνεται απεριόριστα ως προς το μήκος και το πλάτος απεριόριστα και ως προς τις δύο κατευθύνσεις. Το ευθύγραμμο τμήμα ορίζεται από δύο σημεία που είναι και ονομάζονται άκρα του. Το ευθύγραμμο τμήμα έχει συγκρίσιμο μέγεθος και άρα μετριέται. Το μέγεθος αυτό ονομάζεται μήκος του ευθυγράμμου τμήματος αλλά και απόσταση των δύο σημείων. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ή ΒΑ Αν φανταστούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα να προεκτείνεται απεριόριστα και προς τα δυο του άκρα, έχουμε ένα νέο σχήμα που λέγεται ευθεία. Η ευθεία ε Αν προεκτείνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα απεριόριστα προς το ένα άκρο έχουμε ένα σχήμα που ονομάζεται ημιευθεία. Η ημιευθεία Αx ΣΥΝΟΨΙΖΟΝΤΑΣ Το ευθύγραμμο τμήμα έχει άκρα, δηλαδή αρχή και τέλος. Η ευθεία δεν έχει άκρα, δηλαδή ούτε αρχή ούτε τέλος. Η ημιευθεία έχει μόνο αρχή και δεν έχει τέλος. Από δύο σημεία περνά μόνο μια ευθεία Από ένα σημείο περνούν άπειρες ευθείες. 4

Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γραφτούν τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από όλα τα σημεία του σχήματος: Ε Β Δ Γ 2. Πόσες ημιευθείες έχουν αρχή το σημείο Ο στο σχήμα; Να συμπληρωθεί το σχήμα με γράμματα, ώστε να μπορέσουμε να ονομάσουμε τις ημιευθείες. Ποιες από τις ημιευθείες αυτές είναι αντικείμενες; Ο 3. Να γράψετε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα, όλες τις ευθείες και όλες τις ημιευθείες που ορίζονται στο παρακάτω σχήμα: Β Α Γ Δ Ε 4. Να χαράξετε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που έχουν άκρα τα παρακάτω σημεία: Α Ε Β Δ Γ Για όσους θέλουν να προσπαθήσουν περισσότερο: πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζουν 2, 3, 4 σημεία; Υπάρχει μήπως ένας γενικός κανόνας; 5

5. Αν στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΓ = 22 cm και ΑΒ = 8 cm, να βρείτε το μήκος του τμήματος ΒΓ. 6. Επάνω σε μια ευθεία παίρνουμε τα σημεία Α, Β και Γ, ώστε το Β να είναι το μέσο του τμήματος ΑΓ. Αν ΑΓ = 20 cm, να βρείτε τα μήκη των τμημάτων ΑΒ και ΒΓ. Στη συνέχεια να πάρετε τα μέσα Μ και Κ των τμημάτων ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα και να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΜΚ. 7. Πάνω σε μια ευθεία ε παίρνουμε στη σειρά τα σημεία Α, Β, Γ και Δ, ώστε να ισχύει ΑΓ = 7,5 cm και ΒΓ = 1 3 ΑΓ. α) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΑΒ. β) Να σημειώσετε τα σημεία Α, Β, Γ και Δ πάνω στην ευθεία ε, αν είναι γνωστό ότι ΓΔ = 3 5 ΑΒ. γ) Να υπολογίσετε τo μήκος του τμήματος ΑΔ. 8. Πάνω σε μια ευθεία ε να σημειώσετε κατά σειρά τα σημεία Α, Β, Γ και Δ, ώστε ΑΒ = ΓΔ. Να δικαιολογήσετε γιατί ΑΓ = ΒΔ. 9. Να σχεδιαστούν οι διάμεσοι του τριγώνου ΑΒΓ. Τι παρατηρείτε; Β Α Γ Διάμεσος λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. 6

ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο θα λέμε ότι τέμνονται όταν έχουν ένα και μόνο κοινό σημείο. Ο ε 2 ε 1 Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κανένα κοινό σημείο λέγονται παράλληλες. α β Γράφουμε: α // β C Αν δύο ευθείες έχουν δύο ή περισσότερα κοινά σημεία, τότε οι ευθείες αυτές θα ταυτίζονται, δηλαδή θα αποτελούν την ίδια ευθεία, αφού, όπως γνωρίζουμε, από δύο σημεία περνά μια μόνο ευθεία. Δύο ευθείες που θα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή θα τέμνονται ή θα είναι παράλληλες Ακόμη: Δύο ευθύγραμμα τμήματα (ή δύο ημιευθείες) που βρίσκονται πάνω σε παράλληλες ευθείες, θα λέγονται παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα (ή παράλληλες ημιευθείες) Όταν οι τέσσερις γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες που τέμνονται, τότε οι ευθείες αυτές λέγονται κάθετες. β α Γράφουμε: α β Επίσης: Δύο ευθύγραμμα τμήματα (ή δύο ημιευθείες) που βρίσκονται πάνω σε κάθετες ευθείες, θα λέγονται κάθετα ευθύγραμμα τμήματα (ή κάθετες ημιευθείες) 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ποια από τα παρακάτω ευθύγραμμα τμήματα τέμνονται, ποια είναι παράλληλα, ποια κάθετα; 2. Ποια από τα παρακάτω ζεύγη ευθειών είναι παράλληλα, ποια τέμνονται πλάγια και ποια κάθετα; (ε, γ):... (ζ, γ):... (α, γ):... (β, γ):... (ε, ζ):... (γ, δ):... (α, ζ):... (β, ζ):... (α, ε):... (δ, ζ):... 3. Χαράξτε 3 ευθείες α, β, γ, ώστε: α) οι ευθείες αυτές να μην τέμνονται β) η μια να τέμνει τις άλλες δύο γ) να τέμνονται ανά δύο δ) να έχουν κοινό σημείο 8

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΧΑΡΑΞΗ ΚΑΘΕΤΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ Από σημείο Α, που δεν ανήκει στην ευθεία ε, φέρνουμε μια κάθετη στην ευθεία ε που την τέμνει στο σημείο Β. Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε. η απόσταση ίχνος της κάθετης α στην ε Από ένα σημείο μπορούμε να φέρουμε μόνο μια κάθετη προς την ευθεία ε Χάραξη καθέτου σε ευθεία ε που διέρχεται από σημείο Α που ανήκει στην ευθεία: Χάραξη καθέτου σε ευθεία ε που διέρχεται από σημείο Α που δεν ανήκει στην ευθεία: 9

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να σχεδιάσετε μια ημιευθεία Οx και να χαράξετε ευθεία που να διέρχεται από το Ο και είναι κάθετη στην Οx. 2. Ένα πλοίο απέχει 10 km από ένα φάρο Φ. Μετά από ταξίδι 12 km, σε ευθεία γραμμή βρίσκεται στη θέση Β που απέχει 13 km από το φάρο. Να κατασκευάσετε το σχήμα παίρνοντας 1 cm για απόσταση ίση με 1 km. Να υπολογίσετε περίπου, πόσο κοντά πέρασε το πλοίο από το φάρο. 3. Να σχεδιαστούν τα ύψη του τριγώνου ΑΒΓ. Τι παρατηρείτε; Α Η απόσταση κάθε κορυφής ενός τριγώνου από την απέναντι πλευρά, λέγεται ύψος του τριγώνου. Β Γ 4. Να σχεδιαστούν τα ύψη και στα ακόλουθα τρίγωνα: 10

ΧΑΡΑΞΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Δύο ευθείες του επιπέδου που είναι κάθετες στην ίδια ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Χάραξη παραλλήλου σε ευθεία ε που διέρχεται από σημείο Α : Άλλος τρόπος Από ένα σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμε προς αυτήν μόνο μια παράλληλη (5 ο αίτημα του Ευκλείδη). 11

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γράψετε μια ευθεία ε και να ορίσετε ένα σημείο Α που να απέχει 3,5 cm από την ευθεία ε. Να χαράξετε την ευθεία δ η οποία διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στην ε. Επιλέξτε στη τύχη τρία σημεία Α, Β και Γ της δ. Μετρήστε πόσο απέχει κάθε σημείο από την ε. Τι συμπέρασμα βγάζετε; 2. Να σχεδιάσετε μια ευθεία ε και στη συνέχεια μια παράλληλη προς την ε η οποία να απέχει από αυτήν απόσταση 1,5 cm. Μπορείτε να προτείνετε περισσότερους από έναν, τρόπους κατασκευής; 3. Να γράψετε δύο παράλληλες ημιευθείες Ox και Οy οι οποίες να μην περιέχονται στην ίδια ευθεία. Να βρείτε ένα σημείο Α της Οx που να απέχει από την Οy 2,7 cm. 4. Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ = 3,8 cm. Να βρείτε ένα σημείο Α τέτοιο, ώστε στο τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος από τη κορυφή Α, να είναι 2,9 cm. Υπάρχουν πολλά τέτοια σημεία; 12

ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ είναι το επίπεδο σχήμα (κλειστή καμπύλη) που όλα τα σημεία του απέχουν από το Ο απόσταση ίση με ρ. Συμβολίζεται με (Ο, ρ) κέντρο ακτίνα Στοιχεία του κύκλου : Χορδή Διάμετρος Τόξο Η χορδή ΑΒ Η διάμετρος ΓΔ Το τόξο EZ! ή ΑΒ Κυκλικός δίσκος (Ο, ρ) είναι ο κύκλος (Ο, ρ) μαζί με το μέρος του επιπέδου που περικλείει. Ο ρ Ο κύκλος ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Πώς θα περιγράφατε δύο ίσους κύκλους;...... 13

2. Δώστε μια περιγραφή των στοιχείων του κύκλου: Χορδή:...... Διάμετρος:...... Τόξο:...... Τι σχέση έχουν η ακτίνα με τη διάμετρο; 3. Να σχεδιάσετε τον κύκλο (Ο, 5cm) και στη συνέχεια να σημειώσετε: α) μια διάμετρό του, β) ένα ημικύκλιο, γ) μια χορδή του, δ) μια ακτίνα του. Πόσο είναι το μήκος της διαμέτρου του κύκλου αυτού; 4. Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 3,8cm, και μετά να σχεδιάσετε τον κύκλο που έχει διάμετρο το ΑΒ. 5. Να ορίσετε ένα σημείο Μ και να σχεδιάσετε κύκλους με κέντρο το Μ και διαμέτρους 4cm, 5cm, 48mm. 6. Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 4cm. Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Μ: α) 3cm από το Α, β) 2cm από το Β Ποια σημεία στο σχήμα σας απέχουν 3cm από το Α και 2cm από το Β; 7. Να ορίσετε ένα σημείο Μ. Να χρωματίσετε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το Μ: α) περισσότερο από 1,5cm, β) λιγότερο από 2,5cm, γ) περισσότερο από 1,5cm και ταυτόχρονα λιγότερο από 2,5cm. 8. Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 4 cm. Να χρωματίσετε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το Α λιγότερο από 2 cm και από το Β λιγότερο από 36 mm. 14

ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ Η ευθεία που περνάει από το μέσον ενός ευθυγράμμου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό ονομάζεται μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος. Βρίσκουμε το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος έχει ίσες αποστάσεις (ισαπέχει) από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος Αλλά και Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος βρίσκεται πάνω στην μεσοκάθετό του Κατασκευή της μεσοκαθέτου με κανόνα (χάρακα) και διαβήτη : ή Κύκλοι ίδιας ακτίνας 15

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να σχεδιάσετε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Με τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη να το χωρίσετε σε δύο ίσα τμήματα και στη συνέχεια σε τέσσερα ίσα τμήματα. 2. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη η κάθετος της ευθείας ε στο σημείο της Α. 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη η κάθετος της ευθείας ε από το σημείο Α (που δεν ανήκει στην ευθεία ε). 4. Στο διπλανό σχήμα να βρείτε ένα σημείο της ευθείας ε το οποίο να ισαπέχει από τα σημεία Α και Ο. 16

5. Να χαράξετε τις μεσοκαθέτους των τμημάτων ΑΒ και ΓΔ. Τι ιδιότητες νομίζετε ότι έχει το σημείο τομής τους; 6. Να σχεδιαστούν οι μεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ. Τι παρατηρείτε; Α Β Γ 17

ΟΙ ΓΩΝΙΕΣ Δύο ημιευθείες που έχουν την ίδια αρχή χωρίζουν το επίπεδο σε δυο περιοχές. Η κάθε μια από τις περιοχές Ονομάζεται γωνία. Η γωνία του σχήματος μπορεί να διαβαστεί με τρεις τρόπους: α) γωνία ˆ xoψ ή ˆ ψox (το γράμμα της κορυφής μπαίνει πάντα στη μέση) β) γωνία Ô γ) γωνία ˆω κορυφή πλευρά πλευρά Μέτρηση γωνιών Είδη γωνιών Για τη μέτρηση των γωνιών χρησιμοποιούμε σαν μονάδα τη γωνία μιας μοίρας (1º). Μια μοίρα υποδιαιρείται σε 60 πρώτα λεπτά 1º = 60. Ένα πρώτο λεπτό υποδιαιρείται σε 60 δεύτερα λεπτά 1 = 60. Άρα 1º = 60 = 3600. Ορθή γωνία: είναι η γωνία της οποίας οι πλευρές είναι κάθετες. Ακόμη 1 ορθή γωνία = 90º Οξεία γωνία: ονομάζεται κάθε γωνία μικρότερη από την ορθή. 1 οξεία γωνία < 90º Αμβλεία γωνία: 0νομάζεται κάθε γωνία μεγαλύτερη από την ορθή. 1 αμβλεία γωνία > 90º Ευθεία γωνία: είναι η γωνία της οποίας οι πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες. 1 ευθεία γωνία = 180º Πλήρης γωνία: Ονομάζεται κάθε γωνία που περιλαμβάνει όλο το επίπεδο. 1 πλήρης γωνία = 360º 18

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να ονομάσετε και να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις ακόλουθες γωνίες ως ορθή ή οξεία ή αμβλεία ή πλήρη ή ευθεία. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 2. Να μετρήσετε τις γωνίες που είναι σημειωμένες: 19

3. Να σχεδιάσετε τις γωνίες: ˆα = 48º, ˆβ = 6º, ˆγ = 17º, ˆδ = 90º, ˆε = 170º, ˆζ = 215º, ˆη = 318º. 4. Να σχεδιάσετε μια γωνία ˆ xoψ = 76º. Να γράψετε μια ημιευθεία Οz η οποία να χωρίζει τη γωνία σε δύο άλλες, που η μια να είναι 20º και η άλλη 56º. 5. Να σχεδιάσετε μια γωνία 68º και μετά να γράψετε τη διχοτόμο της. (Διχοτόμος μιας γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες ). 6. Να σχεδιαστούν οι διχοτόμοι του τριγώνου ΑΒΓ. Τι παρατηρείτε; 7. Στα παρακάτω τρίγωνα μετρήστε, στο καθένα, τις γωνίες και το μήκος των πλευρών. Τι παρατηρείτε Κ Π Α Λ Ρ Σ Β Γ Μ 8. Να γράψετε δύο κάθετες ευθείες ε 1, ε 2 και να ονομάσετε Ο το σημείο τομής τους. Να πάρετε σημείο Α της ε 1 ώστε να είναι ΟΑ = 52 mm. Να γράψετε ημιευθεία Αx, η οποία να σχηματίζει με την ημιευθεία ΑΟ γωνία 42º. Να ονομάσετε Β το σημείο στο οποίο η ημιευθεία Αxτέμνει την ε 2 και να μετρήσετε τη γωνία ˆΒ του τριγώνου ΑΒΓ. 9. Ένα πλοίο μετά την αναχώρησή του διανύει 100 km προς το Βορρά και μετά στρίβει 60º προς τα δεξιά. Μετά από άλλα 80 km πορεία, στρίβει 25º προς τα αριστερά και μετά από άλλα 60 km πορεία φθάνει στον προορισμό του. α) Να χαράξετε σε τετραγωνισμένο χαρτί την πορεία του πλοίου σχεδιάζοντας τα 20 km σε 1 cm β) Να μετρήσετε τη γωνία που σχηματίζει το τελευταίο μέρος της πορείας του πλοίου, με την διεύθυνση Νότος-Βορράς. 20

Εφεξής γωνίες είναι οι γωνίες που έχουν: Την ίδια κορυφή, Μια κοινή πλευρά και Κανένα άλλο κοινό σημείο κοινή κορυφή Στο σχήμα οι γωνίες ΑΟΒ ˆ και ΒΟΓ ˆ είναι εφεξής κοινή πλευρά Κατακορυφήν γωνίες είναι οι γωνίες που οι πλευρές της μιας είναι αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης Στο σχήμα οι γωνίες ˆα και ˆβ είναι κατακορυφήν όπως και οι γωνίες ˆκ και ˆλ αντικείμενες ημιευθείες Δύο κατaκορυφήν γωνίες είναι ίσες. Παραπληρωματικές γωνίες Λέγονται δύο γωνίες όταν έχουν άθροισμα 180º Στο σχήμα οι γωνίες ˆφ και ˆω είναι παραπληρωματικές Συμπληρωματικές γωνίες Λέγονται δύο γωνίες όταν έχουν άθροισμα 90º Στο σχήμα οι γωνίες ˆη και ˆθ είναι συμπληρωματικές 21

1. α. β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ γ. Ονομάστε ένα ζευγάρι εφεξής γωνιών. Ονομάστε ένα ζευγάρι παραπληρωματικών γωνιών. Ονομάστε ένα ζευγάρι κατακορυφήν γωνιών. δ. ε. στ. Ονομάστε ένα ζευγάρι συμπληρωματικών γωνιών. Ονομάστε ένα ζευγάρι παραπληρωματικών γωνιών. Ονομάστε ένα ζευγάρι εφεξής και ένα ζευγάρι κατακορυφήν γωνιών. 2. Υπολογίστε καθεμιά από τις ακόλουθες γωνίες: α. β. γ. δ. ˆ URH = ˆ PRC = 42º ε. ˆ MLH = ˆ MLP = 45º στ. ˆ XEY = ˆ MEY = 25º ˆ MVJ = ˆ CVL = 36º ˆ RLE = ˆ HLA = 40º ˆ PDL = ˆ LDQ = 52º 22

ζ. η. θ. ι. ˆ HYX = ˆ HYU = 56º ια. ˆ GMJ = ˆ LMY = 46º ιβ. ˆ NBQ = ˆ NBS = 141º ˆ RCA = ˆ RCF = 30º ˆ BSC = ˆ YSG = 26º ˆ AUG = ˆ JUT = 55º 3. Στο παρακάτω σχήμα ε 1 // ε 2. Ονοματίστε και υπολογίστε καθεμιά από τις γωνίες που σχηματίζονται. Παρατηρούμε κάτι; Μήπως μπορούμε να βγάλουμε ένα γενικό κανόνα; δ ε 1 ε 2 23

ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Το μήνυμα που έφτασε στο Κρατικό Κέντρο Επιχειρήσεων ήταν αναπάντεχο. Ένα μικρό πλοίο εξέπεμψε SOS και εξαφανίστηκε στο βόρειο Αιγαίο. Η κινητοποίηση ήταν άμεση: 1) Εντολή σε όλα τα παραπλέοντα πλοία να σπεύσουν για βοήθεια στην περιοχή και αναμονή για λεπτομερέστερες οδηγίες, 2) Συλλογή λεπτομερέστερων πληροφοριών από άλλους σταθμούς, 3) Προσδιορισμός της περιοχής όσο ακριβέστερα γίνεται. Οι πληροφορίες: Ο σταθμός στη Λάρισα εκτιμά ότι το πλοιάριο όταν εξέπεμψε SOS ήταν σε απόσταση μικρότερη από 170 km, o σταθμός στην Αθήνα εκτιμά ότι βρίσκονταν σε απόσταση μικρότερη από 90 km και o σταθμός της Χίου ότι βρίσκονταν σε απόσταση μικρότερη από 150 km. α) Να προσδιοριστεί η περιοχή στο χάρτη β) Τρία πλοία σπεύδουν στη περιοχή. Ένα από Λήμνο, ένα από Βόλο και ένα από Θεσσαλονίκη. Ποιες οδηγίες θα δοθούν στους καπετάνιους των αντίστοιχων πλοίων, με βάση τα σημεία εκκίνησης; 24

ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2 Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Η Μαρία, ο Νίκος και ο Κώστας βρίσκονται σε τρία διαφορετικά σημεία, όπως δείχνει το σχέδιο. Ο καθένας έχει ένα ασύρματο τηλέφωνο. Η συσκευή της Μαρίας εκπέμπει (έχει εμβέλεια) μέχρι 80 m, του Νίκου μέχρι τα 40 m και τέλος του Κώστα μέχρι τα 100 m. α) Παίρνοντας το 1 cm για 10 m, να κατασκευάσετε το τρίγωνο που σχηματίζουν οι τρεις φίλοι. β) Να σχεδιάσετε τους κυκλικούς δίσκους που παριστάνουν τις ζώνες μέσα στις οποίες ο καθένας εκπέμπει. γ) Η Μαρία μπορεί να επικοινωνήσει με τον Νίκο και τον Κώστα; δ) Ο Νίκος μπορεί να επικοινωνήσει με τον Κώστα και την Μαρία; ε) Ο Κώστας μπορεί να επικοινωνήσει με την Μαρία και τον Νίκο; 25

ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Ένας σκύλος είναι δεμένος από το σημείο Σ με αλυσίδα μήκους 8 m και φυλάει το σπίτι ΚΛΜΝ που έχει σχήμα τετραγώνου. Να χρωματίσετε την περιοχή που φυλάει ο σκύλος, δηλαδή αυτή μέσα στην οποία μπορεί να κινηθεί. 26

ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Μια επιχείρηση αποφάσισε να κατασκευάσει ένα εργοστάσιο σε μια αγροτική περιοχή. Στο σχέδιο που δίνεται παρακάτω, φαίνεται η περιοχή που έχει επιλεγεί για το σκοπό αυτό. Η πλευρά κάθε τετραγώνου του σχήματος αντιπροσωπεύει στην πραγματικότητα απόσταση 100 m. Το εργοστάσιο πρέπει να βρίσκεται μακριά από τα σπίτια (Σ) και σε ακτίνα 600 m τουλάχιστον από αυτά. Επίσης πρέπει να απέχει το λιγότερο 250 m από την άκρη του δρόμου. Να αντιγράψετε σε τετραγωνισμένο χαρτί το παραπάνω σχήμα και να χρωματίσετε τις περιοχές που μπορεί να κατασκευαστεί το εργοστάσιο. 27

ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Ένα ποτιστικό κανάλι περνάει κοντά από δύο αγροτόσπιτα Α και Β. Οι ιδιοκτήτες των σπιτιών θέλουν να εγκαταστήσουν μια βάνα, σε κάποιο σημείο της όχθης του καναλιού, για να ποτίζουν τα χωράφια τους. Να υποδείξετε το κατάλληλο σημείο στην όχθη που να ισαπέχει από τα δύο σπίτια. 28

ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 6 Γεωμετρία Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Δύο οικογένειες κατασκήνωσαν σε παραθαλάσσιο κάμπινγκ. Τοποθέτησαν τις σκηνές τους Σ 1 και Σ 2 σε απόσταση 1,5 m από την ακτή και 3,8 m μεταξύ τους. α) Να τοποθετήσετε τα σημεία Σ 1 και Σ 2 σε ένα σχέδιο παίρνοντας το 1 cm για 1 m. β) Να υποδείξετε το σημείο Ν που πρέπει να τοποθετηθεί ένα πρόχειρο ντους, ώστε αυτό να ισαπέχει από τις δύο σκηνές. Υπάρχουν πολλές θέσεις που μπορεί να τοποθετηθεί το ντους; Αν ναι, να διαλέξετε εκείνη για την οποία οι αποστάσεις Σ 1 Ν και Σ 2 Ν να είναι οι μικρότερες που γίνεται. γ) Μετά μια εβδομάδα έφθασε στο κάμπινγκ μια φιλική τους οικογένεια. Θέλει να τοποθετήσει της σκηνή της Σ 3 σε μια θέση που απέχει 2 m από τη σκηνή Σ 1 και 3,5 m από τη σκηνή Σ 2. Να σημειωθεί το σχέδιο θέσης της σκηνής Σ 3. δ) Σε ποια θέση πρέπει να τοποθετηθεί τώρα το ντους, ώστε και οι τρεις σκηνές να απέχουν εξίσου από αυτό; Υπάρχουν πολλές τέτοιες θέσεις; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 29