Λυμένες ασκήσεις Έργο σταθερής δύναμης 1. Στο σώμα που απεικονίζεται δίπλα τα μέτρα των δυνάμεων είναι F = 20 N, F 1 = 20 N, T = 5 N, B = 40 N. Το σώμα μετατοπίζεται οριζόντια κατά S = 10 m. Να βρεθούν τα έργα όλων των δυνάμεων. Δίνονται ημφ = 0,6, συνφ = 0,8. Λύση Αναλύουμε τη δύναμη F σε δύο κάθετες συνιστώσες F και F. Έχουμε: συνφ = F = Fσυνφ F = 20 0,8 = 16 Ν ημφ = F = Fημφ F = 20 0,6 = 12 Ν Από την ισορροπία στον άξονα y έχουμε: ΣF = 0 Ν + F = Β Ν = Β F = 40 12 = 28 Ν Για την οριζόντια μετατόπιση του σώματος κατά S = 10 m, τα έργα των δυνάμεων είναι: W = N S συν(ν,s ) W = N S συν90 W = 0, διότι συν90 = 0 Δηλαδή, οι δυνάμεις που είναι κάθετες στη μετατόπιση έχουν έργο μηδέν. Ομοίως W = 0. Επομένως, έχουμε: W = T S συν180 W = T S W = 5 10 = 50 J (Η τριβή καταναλώνει έργο.) W = F S συν0 W = F S W = 20 10 = 200 J W = F S συνφ W = 20 10 0,8 = 160 J
Παρατήρηση: To έργο της F μπορεί να υπολογιστεί και ως εξής: W = W + W (1) Όμως W = F S συν0 W = F S W = 16 10 = 160 J και W = 0, διότι η F είναι κάθετη στη μετατόπιση. Από την (1) προκύπτει ότι W = 160 + 0 = 160 J 2. Σώμα με μάζα m = 2 kg αφήνεται να ολισθήσει από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου ύψους h = 10 m και γωνίας κλίσης φ. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ = 0,2. Να βρεθούν τα έργα όλων των δυνάμεων μέχρι που το σώμα φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνονται g = 10 m/s 2, ημφ = 0,6, συνφ = 0,8. Λύση Στο σώμα ασκείται το βάρος του Β, η κάθετη δύναμη Ν και η τριβή Τ. Πραγματοποιούμε ανάλυση του βάρους σε δύο κάθετες συνιστώσες Β (παράλληλε στο επίπεδο) και Β. Έχουμε: ημφ = Β = Β ημφ Β = m g ημφ Β = 2 10 0,6 = 12 Ν συνφ = Β = Β συνφ Β = m g συνφ Β = 2 10 0,8 = 16 Ν Από την ισορροπία στον άξονα y έχουμε: ΣF = 0 F = B F = 16 N Επομένως, για την τριβή ισχύει: T = μ F Τ = 0,2 16 = 3,2 Ν. Η μετατόπιση του σώματος είναι η ΑΓ. Από το παραπάνω σχήμα παρατηρούμε ότι:
ημφ = ΑΓ = ΑΓ =, m Για τα έργα των δυνάμεων ισχύει W = 0, διότι Ν είναι κάθετη στη μετατόπιση. Έχουμε: W = W + W (1) Όμως W = B ΑΓ συν0 W = B ΑΓ W = 12, =200 J και W = 0, διότι η B είναι κάθετη στη μετατόπιση. Από την (1) έχουμε W = 200 + 0 = 200 J. Άρα: W = T AΓ συν180 W = T AΓ W = 3,2, = 320 6 J 3. Αφήνουμε σώμα με μάζα m = 2 Kg να πέσει από ύψος h = 80 m. Να βρεθεί το έργο του βάρους και η ταχύτητα τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος. Δίνεται g = 10 m/s 2. Λύση Το σώμα κάνει ελεύθερη πτώση. Έστω ότι φτάνει στο έδαφος σε χρόνο t με ταχύτητα υ. Από τις εξισώσεις της κίνησης ισχύει: h = g t t = t = = 4 s υ = g t υ = 10 4 = 40 m/s Για το έργο του βάρους ισχύει: W = B h συν0 = mgh = 2 10 80 = 1600 J
Έργο μεταβλητής δύναμης 4. Ακίνητο σώμα βρίσκεται στη θέση x = 0 m σε λείο οριζόντιο δάπεδο και του ασκείται οριζόντια δύναμη F της οποίας η αλγεβρική τιμή μεταβάλλεται με τη θέση του σώματος σύμφωνα με τη σχέση: α. F = 10 + 2x (S.I.) β. F = 10 2x. (S.I.) Να βρεθεί το έργο της δύναμης F για μετατόπιση x = 6 m. Λύση Η δύναμη F μεταβάλλεται με τη θέση x, Για να βρεθεί το έργο της θα σχεδιαστεί η γραφική παράσταση. α. Για x = 0 m η F = 10 + 2 0 = 10 N Για x = 6 m η F = 10 + 2 6 = 22 N Τότε το έργο της δύναμης F είναι: W = εμβαδό Ε = 6 = 96 J β. Για x = 0 m η F = 10 2 0 = 10 N Για x = 6 m η F = 10 2 6 = 2 N Για F = 0 N 0 = 10 2x x = 5 m. Τότε το έργο της δύναμης είναι: W = εμβαδό Ε εμβαδό Ε = 10 5 1 2 = 24 J
5. Στο σχήμα,το σώμα είναι δεμένο στο ελατήριο που βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. Ασκείται στο σώμα οριζόντια δύναμη με μέτρο F = 5 N και το ελατήριο αναγκάζεται σε επιμήκυνση. Να βρεθεί το έργο της δύναμης F και της δύναμης του ελατηρίου για επιμήκυνση 20 cm. Δίνεται η σταθερά του ελατηρίου Κ = 50 Ν/m. Λύση Η δύναμη F είναι σταθερή. Άρα το έργο της είναι: W = F x = 5 0,2 J = 1 J H δύναμη του ελατηρίου έχει μέτρο: F = kx F = 50x (S.I.) Για να βρεθεί το έργο της δύναμης F σχεδιάζεται η γραφική παράσταση F(x). Για x = 0 m έχουμε F = 0 Ν. Για x = 0,2 m έχουμε F = 10 Ν. Το έργο της δύναμης του ελατηρίου είναι: W = εμβαδόν Ε = 10 0,1 = 0,5 J (Το έργο της F είναι αρνητικό, επειδή η F έχει αντίθετη κατεύθυνση από τη μετατόπιση). Ερωτήσεις κλειστού τύπου 1. Είμαστε ακίνητοι και κρατάμε με το χέρι μας μια τσάντα. Η τσάντα έχει βάρος Β = 20 Ν και βρίσκεται σε ύψος h = 0,5 m από το έδαφος. Το έργο της δύναμης του χεριού μας για χρονικό διάστημα Δt= 5 s είναι:
α.10 J β.0 J γ.50 J δ.2 J 2. Το έργο της τριβής ολίσθησης είναι αρνητικό επειδή: α.η γωνία μεταξύ της τριβής T και της μετατόπισης είναι 180 ο, β.το συνφ στον τύπο του έργου W T = Τχσυνφ είναι ίσο με 1, γ.κάθε στιγμή η τριβή έχει φορά αντίθετη από εκείνη της ταχύτητας, δ.ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι καθαρός αριθμός. 3. Το έργο μια από τις δυνάμεις που ασκούνται σ ένα σώμα: α.είναι μηδέν όταν το σώμα είναι ακίνητο, β.έχει πρόσημο το οποίο εξαρτάται από τη γωνία που σχηματίζουν τα μεγέθη δύναμη και επιτάχυνση του σώματος, γ.έχει πρόσημο που εξαρτάται από τη γωνία μεταξύ της δύναμης και της μετατόπισης, δ.είναι πάντοτε θετικό, γιατί το έργο είναι μονόμετρο μέγεθος. Σημειώστε με Σωστό ή Λάθος. 4. Το έργο μιας δύναμης, από τις πολλές ενδεχομένως που ασκούνται σ ένα σώμα, είναι μηδέν όταν: α. Η κίνηση του σώματος είναι οριζόντια και η δύναμη κατακόρυφη, β. Η κίνηση του σώματος είναι κατακόρυφη και η δύναμη οριζόντια, γ. Η κίνηση του σώματος είναι οριζόντια και η δύναμη οριζόντια, αλλά κάθετη στην ταχύτητα του σώματος, δ. κίνηση του σώματος είναι οριζόντια και η δύναμη οριζόντια ίδιας διεύθυνσης με την ταχύτητα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Έργο δύναμης
1. Σ ένα σώμα που αρχικά ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο αρχίζει ν ασκείται οριζόντια δύναμη F = 10 N. Να βρείτε το έργο της δύναμης F για τη μετατόπιση του σώματος κατά χ = 20 m. 2. Ένα σώμα βρίσκεται αρχικά ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Κάποιος μετακινεί το σώμα κατά χ = 2 m, ασκώντας σ αυτό σταθερή οριζόντια δύναμη F. Να βρείτε τη δύναμη F, αν γνωρίζουμε ότι ο άνθρωπος μεταβίβασε στο σώμα ενέργεια ίση με 10 J. 3. Σώμα μάζας m = 2 kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα υπό την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και δαπέδου είναι μ = 0,2. να βρείτε το έργο της δύναμης F και το έργο της τριβής ολίσθησης T για μετατόπιση του σώματος κατά χ = 10 m. Δίνεται: g = 10 m/s 2. 4. Ένα σώμα μάζας m = 1 kg μετατοπίζεται σε οριζόντιο δάπεδο κατά x = 0,5 m δεμένο στο ένα άκρο δυναμόμετρου. Αν το δυναμόμετρο δείχνει σταθερή ένδειξη 20 Ν και ο συντελεστής τριβής της ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ = 0,2, να βρείτε: α) τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα, β) την επιτάχυνση του σώματος. Δίνεται: g = 10 m/s 2. 5. Σώμα μάζας m = 10 kg κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο υπό την επίδραση δύναμης F = 100 N, που η διεύθυνση της σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ = 30 ο. αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ = 0,5, να βρείτε το έργο της δύναμης F και το έργο της τριβής T για μετατόπιση του σώματος πάνω στο οριζόντιο επίπεδο κατά χ = 10 m. Δίνεται: g = 10 m/s 2.
6. Σώμα μάζας m = 10 kg κινείται προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30 ο με την επίδραση δύναμης F = 200 N, που έχει τη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ = 0,1, να βρείτε τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα όταν αυτό μετατοπίζεται κατά χ = 20 m πάνω στο επίπεδο. Δίνεται: g = 10 m/s 2. 7. Δυο άνθρωποι βρίσκονται στις όχθες ενός ποταμού και σύρουν μια αρχικά ακίνητη βάρκα ασκώντας δυο οριζόντιες δυνάμεις F 1 = 30 N και F 2 = 40 N, κάθετες μεταξύ τους. Να βρείτε τα έργα των δυνάμεων αυτών για μετατόπιση της βάρκας κατά Δχ = 20 m. 8. Σ ένα σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη F, η αλγεβρική τιμή της οποίας δίνεται από τη σχέση F = 20 + 5x (η F σε N, το x σε m), όπου x η απόσταση του σώματος από την αρχική του θέση Α. να βρείτε το έργο της δύναμης F για τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση χ = 0 έως τη θέση χ = 4 m. 9. Σ ένα σώμα το οποίο αρχικά ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ασκείται οριζόντια δύναμη F σταθερής κατεύθυνσης, που το μέτρο της δίνεται σε συνάρτηση με τη μετατόπιση του σώματος από τη σχέση F = 10 2x (η F σε N, το x σε m). Να βρείτε το έργο της δύναμης F : α) για μετατόπιση του σώματος κατά χ 1 = 4 m, β) μέχρι να μηδενιστεί η δύναμη αυτή. 10. Ένα σώμα μάζας m = 10 kg αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο. Στο σώμα αρχίζει ν ασκείται δύναμη F με σταθερή κατεύθυνση που σχηματίζει με το δάπεδο γωνία φ = 45 ο, και με μέτρο που δίνεται σε συνάρτηση με την απόσταση του σώματος από την αρχική του θέση από τη σχέση F = (60 10x) 2 (η F σε N, το x σε m). Αν το σώμα παρουσιάζει με το δάπεδο τριβή ολίσθησης με συντελεστής τριβής μ = 0,5,να βρείτε τα
έργα των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα για μετατόπιση αυτού κατά χ 1 = 4 m.δίνεται: g = 10 m/s 2 ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Φύλλο ΑΣΚΗΣΕΩΝ Νο:01 Έργο σταθερής δύναμης 1. Από ποιον τύπο δίνεται το έργο σταθερης δύναμης; Ποια είναι η μονάδα του Έργου στο S.I.; Το έργο W είναι μονόμετρο ή διανυσματικό μέγεθος; 2. Πότε το έργο μιας δύναμης είναι θετικό; Πότε το έργο μιας δύναμης είναι αρνητικό; Πότε το έργο μιας δύναμης είναι μηδέν; 3. Τι πρόσημο έχει το έργο των παρακάτω δυνάμεων: α. της τριβής ολίσθησης β. της κάθετης αντίδρασης του δαπέδου γ. της στατικής τριβής δ. της κεντρομόλου δύναμης 4. Στο παρακάτω σχήμα στο σώμα ασκείται σταθερή δύναμη μέτρου F=13Ν, ενώ η τριβή που αντιστέκεται στην κίνησή του έχει μέτρο T=5N. Το σώμα μετατοπίζεται κατά x=4m. F F x α. Να σχεδιαστούν όλες οι δυνάμεις στο σώμα β. Να βρεθεί το έργο της δύναμης F για την μετατόπιση x=4m. γ. Να βρεθεί το έργο της τριβής για την μετατόπιση x=4m. δ. Να βρεθεί το έργο της κάθετης αντίδρασης του δαπέδου ε. Να βρεθεί το έργο του βάρους w. στ.πόση ενέργεια μεταβιβάστηκε στο σώμα από την εξωτερική δύναμη F; ζ. Πόση ενέργεια μετατράπηκε σε θερμότητα λόγω της τριβής; η. Πόση ενέργεια προσφέρθηκε στο σώμα λόγω του βάρους και της κάθετης αντίδρασης του δαπέδου;
Φύλλο ΑΣΚΗΣΕΩΝ Νο:02 Έργο σταθερής δύναμης 1.Στο παρακάτω σχήμα το σώμα έχει μάζα 1Kg και μετατοπίζεται κατά d=10m λόγω της δύναμης F. Η οριζόντια δύναμη F που το μετακινεί προς τα δεξιά έχει μέτρο σχηματίζει γωνία φ=45 ο με την οριζόντια διεύθυνση. 6 2 και F F d Να βρεθούν τα έργα όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. Δίνονται g=10 2 sm και ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ=0,5. 2. Ένας εργάτης μετακινεί ένα κιβώτιο σε οριζόντιο επίπεδο, ασκώντας σταθερή οριζόντια δύναμη, κατά 8m. Αν το έργο που παράγει ο εργάτης είναι ίσο με 320 J, να βρείτε το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο εργάτης; Αν το κιβώτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα, πόσο είναι το έργο της τριβής για την ίδια μετακίνηση του κιβωτίου; 3. Ένα σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα U=2m/s σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F=50N. Πόσο είναι το έργο της δύναμης που παράγεται σε χρόνο 10s; 4. Σώμα μάζας m=500g, που αρχικά ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, αρχίζει να κινείται με την επίδραση οριζόντιας δύναμης F. Μετά από χρόνο 2s το σώμα έχει αποκτήσει ταχύτητα 2m/s. α. Να βρείτε πόσο είναι το έργο της δύναμης F που παράγεται σε χρόνο 10s. β. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t=10s. Τι παρατηρείτε;
5. Σώμα μάζας m=2κg αφήνεται από ύψος h=12m να πέσει ελεύθερα στο έδαφος. Να m βρεθεί το έργο του βάρους για την συνολική κίνηση του σώματος. Δίνεται g=10 2 s