Κεφάλαιο 2 Ηλεκτρικά Χαρακτηριστικά Γραµµών Μεταφοράς

Κεφάλαιο Ηλεκτρικά Χαρακτηριστικά Γραµµών Μεταφοράς Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό είναι εστιασµένο στην ανάλυση και στους υπολογισµούς των παραµέτρων των γραµµών µεταφοράς Για τις κυριότερες από αυτές, την αυτεπαγωγή και τη χωρητικότητα, η ανάλυση καταλήγει σε ενιαίες µορφές σχέσεων για όλες τις διατάξεις των τριφασικών γραµµών µεταφοράς Τις ίδιες ενιαίες µορφές λαµβάνουν και οι αντίστοιχες εκφράσεις για τις γραµµές µε πολλαπλούς αγωγούς φάσεων Μελετάται η επίδραση της γης και των συρµάτων γης στις παραµέτρους των γραµµών µεταφοράς Προαπαιτούµενη Γνώση Ηλεκτροµαγνητικά Πεδία, Ανάλυση Συστηµάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Υλικό Κατασκευής Αγωγών Το υλικό κατασκευής των αγωγών των εναέριων γραµµών µεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας είναι το αλουµίνιο, το οποίο έχει επικρατήσει έναντι του χαλκού Σε σύγκριση µε τον χαλκό, βασικά πλεονεκτήµατα του αλουµινίου είναι ότι είναι πολύ ελαφρύτερο, έχει µικρότερο κόστος και είναι ευκολότερα διαθέσιµο Σε σύγκριση µε τον χαλκό, βασικά µειονεκτήµατα του αλουµινίου είναι ότι έχει µικρότερη αγωγιµότητα και µικρότερη µηχανική αντοχή Εξαιτίας της µικρής µηχανικής αντοχής, το αλουµίνιο δεν χρησιµοποιείται µόνο του σαν αγωγός των εναέριων γραµµών µεταφοράς Πιο συγκεκριµένα, εφαρµόζεται η τεχνική των συνεστραµµένων κλώνων, η οποία διευκολύνει την ενσωµάτωση µέσα στον αγωγό αλουµινίου συρµάτων χάλυβα, τα οποία προσδίδουν στον αγωγό την απαιτούµενη µηχανική αντοχή Έτσι προκύπτει ο αγωγός αλουµινίου µε ενίσχυση χάλυβα (Alumiium Coduto Steel Reifoed ACSR), ο οποίος χρησιµοποιείται ευρύτατα ως υλικό κατασκευής των αγωγών των εναέριων γραµµών µεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας Ηλεκτρικές Παράµετροι Γραµµής Μεταφοράς Στο Κεφάλαιο θα δειχθεί ότι µία γραµµή µεταφοράς µπορεί να παρασταθεί µε ένα µονοφασικό ισοδύναµο κύκλωµα µε τέσσερις κατανεµηµένες παραµέτρους, όπως φαίνεται στο Σχήµα Οι τέσσερις αυτές ηλεκτρικές παράµετροι της γραµµής µεταφοράς, κατά σειρά σπουδαιότητας, είναι οι ακόλουθες: Η αυτεπαγωγή, (σε H/m), της γραµµής ανά φάση και ανά µονάδα µήκους Η εγκάρσια χωρητικότητα, C (σε F/m), της γραµµής ανά φάση και ανά µονάδα µήκους Η ωµική αντίσταση, (σε Ω/m), της γραµµής ανά φάση και ανά µονάδα µήκους Η εγκάρσια ωµική αγωγιµότητα, g (σε Ω /m), της γραµµής ανά φάση και ανά µονάδα µήκους Στο Κεφάλαιο αυτό θα αναπτυχθούν οι σχέσεις που διέπουν τις τρεις πρώτες ηλεκτρικές παραµέτρους της γραµµής µεταφοράς:, C και Παύλος Σ Γεωργιλάκης, Σύγχρονα Συστήµατα Μεταφοράς και ιανοµής Ηλεκτρικής Ενέργειας Ηλεκτρονικό Βιβλίο, Σύνδεσµος Ελληνικών Ακαδηµαϊκών Βιβλιοθηκών (ΣΕΑΒ), Αθήνα, 5 SBN: 978-96-6-8-

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ C g C g C g Σχήµα Μονοφασικό ισοδύναµο κύκλωµα γραµµής µεταφοράς µε κατανεµηµένες παραµέτρους Σχήµα Μαγνητική ροή στο εσωτερικό ενός κυλινδρικού αγωγού µεγάλου µήκους ακτίνας Ωµική Αντίσταση Στη ροή του συνεχούς ρεύµατος, η αντίσταση, R θ (σε Ω), ενός αγωγού στη θερµοκρασία θ υπολογίζεται ως ακολούθως []: l Rθ ρθ () S όπου ρ θ (σε Ωm) η ειδική αντίσταση του αγωγού στη θερµοκρασία θ (συνήθως θ C είναι η θερµοκρασία αναφοράς), l (σε m) είναι το µήκος του αγωγού και S (σε m ) είναι το εµβαδόν της διατοµής του αγωγού Για τον αγωγό αλουµινίου, η ειδική του αντίσταση στη θερµοκρασία των C είναι,8 8 Ωm Σε κάθε άλλη θερµοκρασία θ, στην περιοχή από C έως C, η αντίσταση του αγωγού, R θ (σε Ω), υπολογίζεται ως ακολούθως: [ + ( θ )] R () θ Rθ θ θ όπου θ είναι ο θερµοκρασιακός συντελεστής της αντίστασης στη θερµοκρασία θ Για τον αγωγό αλουµινίου, ο θερµοκρασιακός συντελεστής στη θερµοκρασία των C είναι,9 / C Αυτεπαγωγή Κυλινδρικού Αγωγού Όταν ένας αγωγός διαρρέεται από ρεύµα, παράγεται ένα µαγνητικό πεδίο γύρω από τον αγωγό Για µη µαγνητικά υλικά, η αυτεπαγωγή (σε Η), υπολογίζεται ως ακολούθως: λ ()

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 7 όπου λ (σε Wt) η πεπλεγµένη ροή και (σε Α) το ρεύµα Έστω ο κυλινδρικός αγωγός µεγάλου µήκους, ακτίνας, ο οποίος διαρρέεται από ρεύµα, όπως φαίνεται στο Σχήµα Γύρω από µία κυκλική διαδροµή ακτίνας x, η ένταση του µαγνητικού πεδίου H x είναι σταθερή Με εφαρµογή του νόµου του Ampèe, η ένταση του µαγνητικού πεδίου H x συνδέεται µε το αντίστοιχο ρεύµα x που περικλείεται από την κυκλική διαδροµή ακτίνας x µε την ακόλουθη σχέση: H π x x H x dl x π x x () Εσωτερική Αυτεπαγωγή Έστω ότι η πυκνότητα του ρεύµατος είναι οµοιόµορφη [] στο εσωτερικό της διατοµής του αγωγού του Σχήµατος : π π x x (5) Λύνοντας τη (5) ως προς x και αντικαθιστώντας στη (), προκύπτει ότι: π H x x (6) Για ένα µη µαγνητικό αγωγό µε σταθερή µαγνητική διαπερατότητα µ, η πυκνότητα της µαγνητικής ροής είναι B x µ H x, οπότε µε τη βοήθεια της (6), προκύπτει ότι: µ π B x x (7) όπου µ είναι η µαγνητική διαπερατότητα του κενού (ή του αέρα) και είναι ίση µε π 7 H/m Η στοιχειώδης εσωτερική µαγνητική ροή dφ x για µία µικρή περιοχή πάχους dx και µήκους αγωγού ένα µέτρο είναι ίση µε dφ x B x dx B x dx, οπότε µε τη βοήθεια της (7), προκύπτει ότι: µ ϕ xdx (8) π d x Η στοιχειώδης εσωτερική µαγνητική ροή dφ x σχετίζεται µε το ρεύµα x (Σχήµα ), το οποίο, σύµφωνα µε τη (5) είναι κλάσµα του συνολικού ρεύµατος, οπότε η στοιχειώδης πεπλεγµένη ροή ανά µονάδα µήκους στο εσωτερικό του αγωγού είναι dλ x (x / )dφ x, οπότε µε τη βοήθεια της (8), προκύπτει ότι: µ λ x dx (9) π d x Χρησιµοποιώντας τη (9), η συνολική εσωτερική πεπλεγµένη ροή ανά µονάδας µήκους είναι: µ λ it dλx x π dx

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ µ λit () 8 π Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις () και (), η εσωτερική αυτεπαγωγή ανά µονάδα µήκους του αγωγού είναι: µ 7 H it () 8π m όπου στο τελευταίο σκέλος της () έγινε αντικατάσταση της τιµής της µαγνητικής διαπερατότητας του κενού: µ π 7 H/m Από τη σχέση () προκύπτει ότι η εσωτερική αυτεπαγωγή είναι σταθερή και ανεξάρτητη της ακτίνας του αγωγού Εξωτερική Αυτεπαγωγή Το Σχήµα δείχνει τη µαγνητική ροή στο εξωτερικό ενός κυλινδρικού αγωγού µε µεγάλο µήκος και ακτίνα Μία κυκλική διαδροµή ακτίνας x >, περικλείει ολόκληρο το ρεύµα, δηλαδή x, οπότε, αντικαθιστώντας στη (), προκύπτει ότι: H x π x () H πυκνότητα της µαγνητικής ροής είναι B x µ H x, οπότε µε τη βοήθεια της (), προκύπτει ότι: B x µ () π x Επειδή ολόκληρο το ρεύµα εµπλέκεται από τη µαγνητική ροή στο εξωτερικό του αγωγού, η στοιχειώδης πεπλεγµένη ροή ανά µονάδα µήκους στο εξωτερικό του αγωγού είναι dλ x dφ B x dx B x dx, οπότε µε τη βοήθεια της (), προκύπτει ότι: µ λ dx () π x d x Χρησιµοποιώντας τη (), η συνολική εξωτερική πεπλεγµένη ροή ανά µονάδας µήκους µεταξύ δύο εξωτερικών σηµείων µε ακτίνα και (Σχήµα ) είναι: λ ext µ dλx dx π x µ λ ext (5) π Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (5) και (), η αυτεπαγωγή µεταξύ δύο εξωτερικών σηµείων του αγωγού είναι: ext µ π 7 H m (6)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 9 Σχήµα Μαγνητική ροή στο εξωτερικό ενός κυλινδρικού αγωγού µεγάλου µήκους ακτίνας Σχήµα Μονοφασική γραµµή µεταφοράς µε δύο αγωγούς όπου στο τελευταίο σκέλος της (6) έγινε αντικατάσταση της τιµής της µαγνητικής διαπερατότητας του κενού: µ π 7 H/m 5 Αυτεπαγωγή Μονοφασικής Γραµµής ύο Αγωγών Έστω η µονοφασική γραµµή µεταφοράς του Σχήµατος, η οποία αποτελείται από δύο κυλινδρικούς αγωγούς µε ακτίνα και, αντίστοιχα Οι δύο αγωγοί απέχουν µεταξύ τους απόσταση Ο αγωγός µεταφέρει το φασικό ρεύµα που εισέρχεται στη σελίδα και ο αγωγός µεταφέρει το ρεύµα επιστροφής που εξέρχεται από τη σελίδα Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις () και (6), η συνολική αυτεπαγωγή του αγωγού είναι: λ 7 7 7 7 it + ext + + + / e λ 7 7 / e H m (7) Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι για τον υπολογισµό της εξωτερικής αυτεπαγωγής ext, χρησιµοποιήθηκε η σχέση (6), θέτοντας και Όµοια, εύκολα αποδεικνύεται ότι η συνολική αυτεπαγωγή του αγωγού δίνεται από τη σχέση: λ 7 7 / e H m (8) Η πεπλεγµένη ροή του αγωγού, ως συνάρτηση της αυτεπαγωγής και της αλληλεπαγωγής, δίνεται από τη σχέση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 7 7 λ / + ( ) e (9) Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι στη (9) έγινε χρήση της σχέσης και της σχέσης (7) Η πεπλεγµένη ροή του αγωγού, ως συνάρτηση της αυτεπαγωγής και της αλληλεπαγωγής, δίνεται από τη σχέση: 7 7 λ + / + ( + ) e () Από τις (9) και (), προκύπτει ότι οι αυτεπαγωγές και, και οι αλληλεπαγωγές και, δίνονται από τις σχέσεις: () 7 / e () 7 / e 7 () Αν οι δύο αγωγοί είναι ολόιδιοι, δηλαδή αν, τότε από τις σχέσεις (7) και (8) εύκολα προκύπτει ότι η συνολική αυτεπαγωγή του αγωγού είναι ίδια µε τη συνολική αυτεπαγωγή του αγωγού, δηλαδή Στην περίπτωση αυτή, η αυτεπαγωγή ανά αγωγό υπολογίζεται ως ακολούθως: όπου: 7 7 H 7 H, / / e m e m e / mh km GM mh,, () / e km / GM και e (5) όπου GM (Geometi Me iste) είναι η µέση γεωµετρική απόσταση και (Geometi Me Rdius) είναι η µέση γεωµετρική ακτίνα Εκφράζοντας τις GM και στην ίδια µονάδα µέτρησης, για παράδειγµα, σε m, τότε η () δίνει την αυτεπαγωγή σε mh/km 6 Αυτεπαγωγές και Αλληλεπαγωγές Πολυφασικής Γραµµής Μεταφοράς Έστω µία πολυφασική γραµµή µεταφοράς µε αγωγούς, οι οποίοι µεταφέρουν φασικά ρεύµατα,,,, έτσι ώστε: + + i + + (6) + Γενικεύοντας τη σχέση (9), η πεπλεγµένη ροή του αγωγού i υπολογίζεται από τη σχέση []: λ i ii i + ij j j i (7) j

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ή ισοδύναµα από τη σχέση: i 7 i + j j i λ / i e j (8) ij όπου ii είναι η αυτεπαγωγή του αγωγού i, ij µε j i είναι η αλληλεπαγωγή (αµοιβαία επαγωγή) µεταξύ των αγωγών i και j, i είναι η ακτίνα του αγωγού i και ij είναι η απόσταση µεταξύ των κέντρων των αγωγών i και j Η ii και η ij υπολογίζονται ως ακολούθως: ii (9) ij 7 / i e 7 ij () Επειδή η σχέση (8) ισχύει για κάθε αγωγό i,,,, µε τη βοήθεια των σχέσεων (9) και (), το σύστηµα των εξισώσεων της µορφής (8) γράφεται ως ακολούθως: λ λ λ [ λ] [ ] [ ] () Από τη σχέση () προκύπτει ότι ij ji, άρα ο πίνακας αυτεπαγωγών [] είναι συµµετρικός 7 Αυτεπαγωγή Τριφασικής Γραµµής Μεταφοράς 7 Τριφασική Γραµµή µε Τριγωνική Συµµετρία Έστω η τριφασική γραµµή µεταφοράς του Σχήµατος 5 Η γραµµή αυτή έχει τριγωνική συµµετρία, επειδή και επιπλέον οι τρεις αγωγοί έχουν ίδια ακτίνα, δηλαδή Υποτίθεται συµµετρικό τριφασικό σύστηµα ρευµάτων, δηλαδή: + () + Από τη σχέση (8), η πεπλεγµένη ροή του αγωγού της φάσης είναι: 7 λ + + / () e ότι: Από τη σχέση () προκύπτει ότι +, οπότε αντικαθιστώντας στη σχέση () προκύπτει 7 λ e /

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Σχήµα 5 Τριφασική γραµµή µεταφοράς µε τριγωνική συµµετρία 7 λ () / e Από τη σχέση (), η αυτεπαγωγή του αγωγού της φάσης είναι: 7 H (5) / e m Εξαιτίας της τριγωνικής συµµετρίας,, δηλαδή οι αυτεπαγωγές των τριών φάσεων είναι ίδιες Συνεπώς, η αυτεπαγωγή ανά φάση της τριφασικής γραµµής µεταφοράς µε τριγωνική συµµετρία είναι: όπου: GM mh, (6) km / GM και e (7) όπου GM είναι η µέση γεωµετρική απόσταση και είναι η µέση γεωµετρική ακτίνα Εκφράζοντας τις GM και στην ίδια µονάδα µέτρησης, τότε η (6) δίνει την αυτεπαγωγή σε mh/km Συγκρίνοντας τις σχέσεις (6) και (7) µε τις σχέσεις () και (5), προκύπτει ότι είναι ίδια η σχέση υπολογισµού της αυτεπαγωγής τόσο για τριφασική γραµµή µεταφοράς µε τριγωνική συµµετρία όσο και για µονοφασική γραµµή µεταφοράς 7 Ασύµµετρη Τριφασική Γραµµή Έστω η ασύµµετρη τριφασική γραµµή µεταφοράς του Σχήµατος 6, όπου Οι τρεις αγωγοί έχουν ίδια ακτίνα, δηλαδή Εφαρµόζοντας τη σχέση (8), προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις για τις πεπλεγµένες ροές των αγωγών των τριών φάσεων: 7 λ + + / (8) e

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Σχήµα 6 Ασύµµετρη τριφασική γραµµή µεταφοράς Σχήµα 7 Αντιµετάθεση φάσεων ασύµµετρης τριφασικής γραµµής µεταφοράς 7 λ + + / e (9) 7 λ + + / e () Για συµµετρικά τριφασικά ρεύµατα µε το ρεύµα ως αναφορά, ισχύει ότι: () () όπου Αντικαθιστώντας τις () και () στις (8) έως () προκύπτει ότι: λ 7 + + / e λ 7 + + / e λ 7 + + / e () () (5) Παρατηρώντας τις σχέσεις () έως (5) προκύπτει ότι οι αυτεπαγωγές των τριών φάσεων δεν είναι ίσες και περιέχουν έναν µιγαδικό όρο λόγω της αµοιβαίας επαγωγής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 7 Ασύµµετρη Τριφασική Γραµµή µε Αντιµετάθεση Αγωγών Η ασυµµετρία των αυτεπαγωγών των τριών φάσεων της τριφασικής γραµµής µεταφοράς του Σχήµατος 6 µπορεί να αντιµετωπιστεί µε αντιµετάθεση των αγωγών, δηλαδή µε τακτικές εναλλαγές των θέσεων των αγωγών κατά µήκος της γραµµής, ώστε κάθε αγωγός να κατέχει και τις τρεις θέσεις σε ίση απόσταση, όπως φαίνεται στο Σχήµα 7 Επειδή στην τριφασική γραµµή µε αντιµετάθεση αγωγών κάθε φάση λαµβάνει και τις τρεις θέσεις (i), (ii) και (iii) του Σχήµατος 7, η αυτεπαγωγή ανά φάση υπολογίζεται από τη µέση τιµή των αυτεπαγωγών των τριών φάσεων: + + (6) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις () έως (5) στη σχέση (6) και χρησιµοποιώντας και τη σχέση + +, προκύπτει ότι: όπου: 7 7 / e e / ( / ) GM mh, (7) km / και e GM (8) Παρά την εξισορρόπηση των παραµέτρων που συνεπάγεται η αντιµετάθεση των αγωγών, αυτή δεν εφαρµόζεται στις σύγχρονες γραµµές µεταφοράς, αλλά µόνο περιστασιακά Ο λόγος είναι ότι η ασυµµετρία των διατάξεων είναι πολλές φορές µικρή και δεν δηµιουργεί προβλήµατα, ενώ η αντιµετάθεση των αγωγών απαιτεί σηµαντικό χώρο και δαπάνες 8 Αυτεπαγωγή Σύνθετων Αγωγών Στην έως τώρα ανάλυση του κεφαλαίου αυτού θεωρήθηκε ότι η γραµµή µεταφοράς αποτελείται από συµπαγείς κυλινδρικούς αγωγούς Όµως, στις πραγµατικές γραµµές µεταφοράς χρησιµοποιούνται πολύκλωνοι αγωγοί (stded odutos) Επίσης, για λόγους οικονοµίας, οι περισσότερες γραµµές µεταφοράς πολύ υψηλής τάσης κατασκευάζονται από δέσµες αγωγών (udled odutos), που ονοµάζονται επίσης και πολλαπλοί αγωγοί φάσεων Στην ενότητα αυτή θα βρεθεί µία σχέση για τον υπολογισµό της αυτεπαγωγής σύνθετων αγωγών Η σχέση αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό της µέσης γεωµετρικής ακτίνας () των πολύκλωνων αγωγών ή της δέσµης αγωγών Επίσης, η σχέση αυτή χρησιµεύει για την εύρεση της ισοδύναµης µέσης γεωµετρικής ακτίνας και της ισοδύναµης µέσης γεωµετρικής απόστασης (GM) των παράλληλων κυκλωµάτων, για παράδειγµα, των γραµµών µεταφοράς διπλού κυκλώµατος Έστω η µονοφασική γραµµή µεταφοράς του Σχήµατος 8 µε δύο σύνθετους αγωγούς x και y Το ρεύµα στον αγωγό x είναι και εισέρχεται στη σελίδα και το ρεύµα επιστροφής στον αγωγό y είναι Ο αγωγός x αποτελείται από όµοιους κλώνους, καθένας µε ακτίνα x Ο αγωγός y αποτελείται από m όµοιους κλώνους, καθένας µε ακτίνα y Υποτίθεται ότι το ρεύµα µοιράζεται εξίσου ανάµεσα στους κλώνους Το ρεύµα ανά κλώνο είναι / στον αγωγό x και /m στον αγωγό y Με εφαρµογή της σχέσης (8), η πεπλεγµένη ροή του κλώνου του αγωγού x είναι: λ 7 7 + + + + + + m m

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 5 Σχήµα 8 Μονοφασική γραµµή µεταφοράς µε δύο σύνθετους αγωγούς m 7 m λ (9) Η αυτεπαγωγή του κλώνου του αγωγού x είναι: λ / 7 m m (5) Όµοια, η αυτεπαγωγή του κλώνου του αγωγού x είναι: λ / 7 m m (5) Η µέση αυτεπαγωγή κάθε κλώνου του αγωγού x είναι: v + + + + (5) Επειδή όλοι οι κλώνοι του αγωγού x συνδέονται παράλληλα, η αυτεπαγωγή του αγωγού x είναι: x v + + + + (5) Αντικαθιστώντας στη σχέση (5) τις τιµές των,,,, προκύπτει ότι η αυτεπαγωγή του αγωγού x υπολογίζεται από τη σχέση: x GM mh, (5) km x όπου: GM m m ) ( m ) ( (55) x ( ) ( ) (56) / x e (57)

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η αυτεπαγωγή του αγωγού y υπολογίζεται µε παρόµοιο τρόπο Η µέση γεωµετρική ακτίνα του αγωγού y ( y ) θα είναι διαφορετική από τη x Όµως, η µέση γεωµετρική απόσταση (GM) θα είναι ίδια 8 Αυτεπαγωγή Γραµµής Μεταφοράς µε Πολλαπλούς Αγωγούς Η κατεύθυνση προς όλο και υψηλότερες τάσεις µεταφοράς είχε σαν αποτέλεσµα την καθιέρωση της τεχνικής της χρησιµοποίησης δύο ή περισσότερων αγωγών ανά φάση, σε µικρή απόσταση τον έναν από τον άλλο, σχετικά µε τις αποστάσεις µεταξύ φάσεων Μία τέτοια γραµµή µεταφοράς λέγεται ότι αποτελείται από πολλαπλούς αγωγούς ανά φάση ή από δέσµες αγωγών ανά φάση (udled odutos) Η δέσµη αποτελεί τον πολλαπλό αγωγό µίας φάσης Οι αγωγοί της δέσµης βρίσκονται, κατά κανόνα, τοποθετηµένοι στις κορυφές κανονικού πολυγώνου και είναι όµοιοι, δηλαδή έχουν την ίδια ακτίνα Στο Σχήµα 9 φαίνεται ο πολλαπλός αγωγός της φάσης α τριφασικής γραµµής µεταφοράς Όπως φαίνεται στο Σχήµα 9, ο πολλαπλός αγωγός της φάσης α αποτελείται από N αγωγούς-µέλη Κάθε αγωγός-µέλος έχει ακτίνα και είναι συµµετρικά τοποθετηµένος στην περιφέρεια κύκλου µε ακτίνα R Η τριφασική γραµµή αποτελείται από τρεις όµοιους πολλαπλούς αγωγούς φάσεων, σε ασύµµετρη διάταξη, ενώ θεωρείται ότι εφαρµόζεται αντιµετάθεση των τριών φάσεων Με εφαρµογή της σχέσης (56) υπολογίζεται η µέση γεωµετρική ακτίνα του πολλαπλού αγωγού της φάσης α ως ακολούθως: ) (58) N ( N ) ( N N NN όπου: / NN e (59) Από το Σχήµα 9 προκύπτει ότι: π π ( N ) π Rsi, Rsi,, N Rsi N N N (6) Ισχύει η ακόλουθη τριγωνοµετρική ταυτότητα: π π ( N ) π si si si N, γιαν > N N N (6) Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (59) έως (6), προκύπτει ότι: / N N N N NN e N R (6) Αντικαθιστώντας τη σχέση (6) στη σχέση (58), προκύπτει η ακόλουθη σχέση για τον υπολογισµό της µέσης γεωµετρικής ακτίνας του πολλαπλού αγωγού της φάσης α: N / N e N R (6) Επειδή οι πολλαπλοί αγωγοί των φάσεων και είναι ίδιοι µε τον πολλαπλό αγωγό της φάσης α, θα έχουν και οι τρεις φάσεις την ίδια µέση γεωµετρική ακτίνα: N / N e N R (6)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 7 Σχήµα 9 Πολλαπλός αγωγός φάσης α και ασύµµετρη τριφασική γραµµή µεταφοράς Για την ασύµµετρη τριφασική γραµµή µεταφοράς, η µέση γεωµετρική απόσταση υπολογίζεται µε βάση τη σχέση (8), δηλαδή: GM (65) Η µέση αυτεπαγωγή ανά φάση της ασύµµετρης τριφασικής γραµµής µε πολλαπλούς αγωγούς υπολογίζεται από τη σχέση: GM mh mh,, (66) km N / N e N R km 8 Μέση Γεωµετρική Ακτίνα Πολλαπλών Αγωγών Τρία τυπικά παραδείγµατα πολλαπλών αγωγών ανά φάση φαίνονται στο Σχήµα Πιο συγκεκριµένα, φαίνονται παραδείγµατα µε δύο, τρεις και τέσσερις αγωγούς ανά φάση Η µέση γεωµετρική ακτίνα του ισοδύναµου αγωγού προκύπτει µε εφαρµογή της σχέσης (6) Έτσι, για την περίπτωση των δύο αγωγών ανά φάση, η µέση γεωµετρική ακτίνα του ισοδύναµου αγωγού είναι: s e / / R e d d (67) s Για την περίπτωση των τριών αγωγών ανά φάση, η µέση γεωµετρική ακτίνα είναι: s / / e R e d s d (68) Για την περίπτωση των τεσσάρων αγωγών ανά φάση, η µέση γεωµετρική ακτίνα είναι: s / e / / / s R e d d (69)

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Σχήµα Τρία τυπικά παραδείγµατα πολλαπλών αγωγών ανά φάση Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι στην περίπτωση του συµπαγούς αγωγού, δηλαδή στην περίπτωση του ενός αγωγού ανά φάση, η µέση γεωµετρική ακτίνα του αγωγού είναι: / s e (7) 8 Αυτεπαγωγή Τριφασικής Γραµµής Μεταφοράς ιπλού Κυκλώµατος Μία τριφασική γραµµή µεταφοράς διπλού κυκλώµατος αποτελείται από δύο όµοιες τριφασικές γραµµές µεταφοράς απλού (µονού) κυκλώµατος Τα κυκλώµατα λειτουργούν µε τις φάσεις, και σε παράλληλη σύνδεση Έτσι, στις φάσεις και ρέει ρεύµα /, στις φάσεις και ρέει ρεύµα / και στις φάσεις και ρέει ρεύµα / Εξαιτίας της ασυµµετρίας στις θέσεις των αγωγών, θα είναι ασύµµετρη και η πτώση τάσης εξαιτίας της αυτεπαγωγής της γραµµής µεταφοράς Για να επιτευχθεί συµµετρία, κάθε αγωγός φάσης θα πρέπει να αντιµετατεθεί εντός της οµάδας του και σε σχέση µε την παράλληλη τριφασική γραµµή µεταφοράς Έστω η ασύµµετρη τριφασική γραµµή µεταφοράς διπλού κυκλώµατος του Σχήµατος Έστω ότι στη γραµµή αυτή εφαρµόζεται αντιµετάθεση αγωγών Η αυτεπαγωγή ανά φάση της γραµµής µεταφοράς µπορεί να υπολογιστεί χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (5) έως (57) Πιο συγκεκριµένα, οµαδοποιούνται οι ίδιες φάσεις, και και µε εφαρµογή της σχέσης (55) υπολογίζεται η µέση γεωµετρική απόσταση µεταξύ κάθε οµάδας φάσης, AB, BC και AC και, στη συνέχεια, υπολογίζεται η ισοδύναµη µέση γεωµετρική απόσταση ανά φάση, GM: AB (7) BC (7) AC (7) GM AB BC AC (7) Παρόµοια, για κάθε παράλληλο κύκλωµα (, και ), µε εφαρµογή της σχέσης (56) υπολογίζεται η µέση γεωµετρική ακτίνα κάθε οµάδας φάσης ( SA, SB και SC ) Στη συνέχεια, υπολογίζεται η ισοδύναµη µέση γεωµετρική ακτίνα ανά φάση, Τέλος, υπολογίζεται η αυτεπαγωγή ανά φάση,, της τριφασικής γραµµής µεταφοράς διπλού κυκλώµατος: SA SB SC s (75) s (76) s (77) SA SB SC (78)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 9 Σχήµα Ασύµµετρη τριφασική γραµµή µεταφοράς διπλού κυκλώµατος µε αντιµετάθεση αγωγών GM mh, (79) km Στις σχέσεις (75) έως (77), s είναι η µέση γεωµετρική ακτίνα για την περίπτωση πολλαπλών αγωγών ανά φάση, όπου η s υπολογίζεται είτε από τη γενική σχέση (6) είτε από κάποια από τις ειδικές σχέσεις (67) έως (7) για τις αντίστοιχες ειδικές περιπτώσεις πολλαπλών αγωγών ανά φάση 9 Επίδραση της Γης στην Αυτεπαγωγή 9 Αυτεπαγωγή Κυλινδρικού Αγωγού µε Θεώρηση Ιδανικής Γης Έστω ο κυλινδρικός αγωγός, ακτίνας, ο οποίος διαρρέεται από ρεύµα και βρίσκεται σε κατακόρυφη απόσταση h πάνω από την επιφάνεια της γης, όπως φαίνεται στο Σχήµα Για να ληφθεί υπόψη η επίδραση της γης στην αυτεπαγωγή, θα χρησιµοποιηθεί η µέθοδος των ειδώλων Στο Σχήµα, το είδωλο του εναέριου αγωγού είναι ο αγωγός ', ο οποίος βρίσκεται σε ίση κατακόρυφη απόσταση h κάτω από την επιφάνεια της γης, όπως φαίνεται στο Σχήµα Η συνολική εξωτερική πεπλεγµένη ροή είναι: λ ext h h µ dx + π x h dx µ h(h ) µ x π h π (h ) Για h>>, µία καλή προσέγγιση για τη συνολική εξωτερική πεπλεγµένη ροή είναι: λ ext µ π Συνεπώς, η συνολική εξωτερική αυτεπαγωγή είναι: h µ h ext π (8) Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις () και (8), η συνολική αυτεπαγωγή του αγωγού είναι: µ µ h µ h µ it + ext + + / 8π π π π e h + µ h / π e µ π H m (8)

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Ι h Επιφάνεια της γης h - Σχήµα Ρευµατοφόρος αγωγός πάνω από την επιφάνεια της γης µε το είδωλό του κάτω από την επιφάνεια της γης y x 5 x 6 y y x 5 x 6 y Σχήµα Aσύµµετρη τριφασική γραµµή µεταφοράς πάνω από τη γη και το είδωλό της κάτω από τη γη όπου: / h, e (8)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 5 9 Αυτεπαγωγή Ασύµµετρης Τριφασικής Γραµµής µε Θεώρηση Ιδανικής Γης Έστω η εναέρια ασύµµετρη τριφασική γραµµή µεταφοράς του Σχήµατος Για να ληφθεί υπόψη η επίδραση της γης στην αυτεπαγωγή, θα χρησιµοποιηθεί η µέθοδος των ειδώλων Στο Σχήµα, τα είδωλα των εναέριων αγωγών, και είναι οι αγωγοί ', ' και ', αντίστοιχα, οι οποίοι είναι τοποθετηµένοι σε ίσες κατακόρυφες αποστάσεις κάτω από την επιφάνεια της γης, επειδή η γη θεωρείται ιδανική Η συνολική πεπλεγµένη ροή της φάσης είναι: λ µ µ µ + + π π π Όµοια, υπολογίζεται η συνολική πεπλεγµένη ροή των φάσεων και Οι σχέσεις αυτές, σε µορφή πίνακα, λαµβάνουν την παρακάτω µορφή: [ λ] [ ] [ ] λ λ λ λ λ λ µ π (8) Αν στη γραµµή µεταφοράς εφαρµοστεί πλήρης αντιµετάθεση φάσεων, τότε η αυτεπαγωγή ανά φάση υπολογίζεται από τη µέση τιµή των αυτεπαγωγών των τριών φάσεων: ( + + + + + + + + ) µ π + + + + + + + + µ 9 π µ π 9 9 (8) 9 Αυτεπαγωγή Ασύµµετρης Τριφασικής Γραµµής µε Θεώρηση Πραγµατικής Γης Έστω η εναέρια ασύµµετρη τριφασική γραµµή µεταφοράς του Σχήµατος Στην περίπτωση αυτή γίνεται θεώρηση πραγµατικής γης µε ειδική αντίσταση ρ Το βάθος διείσδυσης υπολογίζεται ως ακολούθως: ρ δ (85) π µ f όπου f είναι η συχνότητα (Hz) Υπολογίζονται οι αποστάσεις µεταξύ των κέντρων των αγωγών και των ειδώλων τους Στη συνέχεια, καθεµία από αυτές τις αποστάσεις συγκρίνεται µε το βάθος διείσδυσης δ και υπολογίζεται η τελική τιµή της κάθε απόστασης, από την ακόλουθη σχέση:

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ij δ ij, αν, αν ij ij < δ δ (86) Για µία τυπική τιµή της ειδικής αντίστασης του εδάφους, ρ Ωm και για συχνότητα 5 Hz, από τη σχέση (85), το βάθος διείσδυσης είναι δ 5,9 m, οπότε, στην περίπτωση αυτή, είναι πολύ πιθανόν όλες οι αποστάσεις µεταξύ των κέντρων των αγωγών και των ειδώλων τους να είναι µικρότερες του βάθους διείσδυσης δ, οπότε, µε βάση τη σχέση (86), όλες αυτές οι αποστάσεις τίθενται ίσες µε δ, οπότε, αντικαθιστώντας στη σχέση (8), η αυτεπαγωγή ανά φάση της τριφασικής γραµµής µεταφοράς είναι: 9 µ δ δ δ δ δ δ δ δ δ µ π 9 π δ 9 (87) Επίδραση των Συρµάτων Γης στην Αυτεπαγωγή Οι γραµµές µεταφοράς, πάνω από τους αγωγούς των φάσεων, έχουν, κατά κανόνα, ένα ή περισσότερα σύρµατα γης, για προστασία από ατµοσφαιρικές επιδράσεις Έστω η τριφασική γραµµή µεταφοράς (αγωγοί ) του Σχήµατος, η οποία διαθέτει ένα σύρµα γης (αγωγός ) Στο σύστηµα αυτό των τεσσάρων αγωγών, οι εξισώσεις των πεπλεγµένων ροών είναι οι ακόλουθες: λ λ λ λ (88) όπου στις αυτεπαγωγές και στις αλληλεπαγωγές των αγωγών και του σύρµατος γης έχει ληφθεί υπόψη η επίδραση της γης, σύµφωνα µε την Ενότητα 9 Υποθέτοντας ότι το σύρµα γης είναι συνεχώς γειωµένο, η πεπλεγµένη ροή του είναι µηδενική: λ (89) Αντικαθιστώντας τη (89) στην τέταρτη εξίσωση της (88) προκύπτει ότι: + + + (9) Αντικαθιστώντας τη (9) στην πρώτη εξίσωση της (88) προκύπτει ότι: λ + + + λ + + (9) Με αντίστοιχο τρόπο, προκύπτουν οι πεπλεγµένες ροές λ και λ συναρτήσει των ρευµάτων, και Σε µορφή πίνακα, οι εξισώσεις αυτές είναι οι ακόλουθες:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 5 Σχήµα Aσύµµετρη τριφασική γραµµή µεταφοράς µε σύρµα γης [ λ] [ ] [ ] ew λ λ λ (9) Υποθέτοντας ότι εφαρµόζεται αντιµετάθεση αγωγών, η µέση αυτεπαγωγή είναι: ew + + + + + + ew old + + + + + (9) όπου: old ( + + + + + ) (9) όπου old είναι η µέση αυτεπαγωγή ανά φάση της γραµµής µεταφοράς, αγνοώντας το σύρµα γης και ew είναι η µέση αυτεπαγωγή ανά φάση της γραµµής µεταφοράς, λαµβάνοντας υπόψη την επίδραση του σύρµατος γης Από τη σχέση (9) προκύπτει ότι το σύρµα γης µειώνει την αυτεπαγωγή, καθώς ew < old Η µείωση στην τιµή της αυτεπαγωγής ew είναι τόσο µεγαλύτερη όσο µικρότερη είναι η αυτεπαγωγή του σύρµατος γης και όσο µεγαλύτερη είναι η αλληλεπαγωγή του σύρµατος γης προς τους αγωγούς (,, )

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ q x Σχήµα 5 Ηλεκτρικό πεδίο τριγύρω από έναν κυλινδρικό αγωγό ακτίνας Χωρητικότητα Κυλινδρικού Αγωγού Η χωρητικότητα C ορίζεται ως ο λόγος του φορτίου q προς την επιβαλλόµενη τάση : q C (95) Έστω ένας κυλινδρικός αγωγός ακτίνας, µεγάλου µήκους, µε φορτίο q (σε C/m), όπως φαίνεται στο Σχήµα 5 Το φορτίο του αγωγού δηµιουργεί ηλεκτρικό πεδίο γύρω από τον αγωγό Από τον νόµο του Guss, για ένα µέτρο µήκους του αγωγού, η πυκνότητα της ηλεκτρικής ροής, σε µία κυλινδρική επιφάνεια ακτίνας x, είναι: q A q π x (96) Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου υπολογίζεται από τη σχέση: E (97) ε όπου ε 8,859 F/m είναι η διηλεκτρική σταθερά του κενού Αντικαθιστώντας τη (96) στη (97), προκύπτει η παρακάτω σχέση υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου: q E π ε x (98) Η διαφορά δυναµικού µεταξύ δύο κυλινδρικών επιφανειών που απέχουν ακτινική απόσταση και από το κέντρο του αγωγού είναι: q q dx E dx dx π ε x π ε x q π ε (99)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 55 Χωρητικότητα Μονοφασικής Γραµµής ύο Αγωγών Έστω η µονοφασική γραµµή µεταφοράς του Σχήµατος 6, η οποία αποτελείται από δύο κυλινδρικούς αγωγούς και ακτίνας Οι δύο αγωγοί απέχουν µεταξύ τους απόσταση Ο αγωγός έχει φορτίο q q και ο αγωγός έχει φορτίο q q q Θεωρώντας µόνο το φορτίο q του αγωγού και χρησιµοποιώντας τη σχέση (99), η διαφορά δυναµικού µεταξύ των αγωγών και είναι: q π ε ( q ) () Θεωρώντας µόνο το φορτίο q του αγωγού και χρησιµοποιώντας τη σχέση (99), η διαφορά δυναµικού µεταξύ των αγωγών και είναι: q π ε ( q ) () Όµως: οπότε η σχέση () γίνεται: ( q ) ( q ) q ( q ) π ε () Με βάση την αρχή της επαλληλίας, η διαφορά δυναµικού µεταξύ των αγωγών και εξαιτίας και των δύο φορτίων q και q είναι: + q q + π ε π ε ( q ) ( q ) () Επειδή στη µονοφασική γραµµή µεταφοράς δύο αγωγών q q q, η σχέση () απλοποιείται ως ακολούθως: q π ε () Συνδυάζοντας τις (95) και (), η χωρητικότητα µεταξύ των αγωγών και είναι: C π ε F m (5) Η χωρητικότητα C της σχέσης (5) είναι η χωρητικότητα µεταξύ φάσεων (αγωγών και ) Για τη µοντελοποίηση των γραµµών µεταφοράς, ζητούµενο είναι η χωρητικότητα µεταξύ φάσης και ουδετέρου, C, όπως φαίνεται στο Σχήµα 7 Όµως, C C/, οπότε, αντικαθιστώντας στη σχέση (5), η χωρητικότητα µεταξύ φάσης και ουδετέρου είναι:

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Σχήµα 6 Μονοφασική γραµµή µεταφοράς µε δύο αγωγούς Σχήµα 7 Χωρητικότητα µεταξύ φάσεων και χωρητικότητες προς ουδέτερο C π ε F m (6) Όµως, ε 8,859 F/m, οπότε, αντικαθιστώντας στη σχέση (6), η χωρητικότητα µεταξύ φάσης και ουδετέρου είναι: 55,65 55,65 C GM C F km (7) όπου: GM και C (8) όπου GM είναι η µέση γεωµετρική απόσταση και C είναι η µέση γεωµετρική ακτίνα Εκφράζοντας τις GM και C στην ίδια µονάδα µέτρησης, τότε η (7) δίνει τη χωρητικότητα σε F/km Συγκρίνοντας τις σχέσεις (7) και (), προκύπτει ότι η σχέση υπολογισµού της χωρητικότητας ανά φάση προς ουδέτερο είναι αντίστοιχη της σχέσης υπολογισµού της αυτεπαγωγής ανά φάση Στις σχέσεις (7) και (), η µέση γεωµετρική απόσταση είναι ίδια (GM ) Αντίθετα, στις σχέσεις (7) και (), η µέση γεωµετρική ακτίνα είναι διαφορετική, καθώς στη σχέση υπολογισµού της αυτεπαγωγής ισχύει ότι e /, ενώ στη σχέση υπολογισµού της χωρητικότητας ισχύει ότι C ιαφορά υναµικού Πολυφασικής Γραµµής Μεταφοράς Έστω µία συµµετρική πολυφασική γραµµή µεταφοράς µε αγωγούς (,,, ) που έχουν φορτία q, q,, q, αντίστοιχα Για τη συµµετρική αυτή γραµµή µεταφοράς ισχύει ότι: q q + + q i + + q (9) + Χρησιµοποιώντας την αρχή της επαλληλίας και τη σχέση (99), η διαφορά δυναµικού µεταξύ των αγωγών i και j εξαιτίας όλων των φορτίων υπολογίζεται από τη σχέση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 57 ij π ε k qk kj ki () Όταν k i, τότε ii είναι η απόσταση µεταξύ της επιφάνειας του αγωγού i και του κέντρου του, δηλαδή ii, όπου είναι η ακτίνα του αγωγού i Όταν k i, τότε ki είναι η απόσταση µεταξύ των κέντρων των αγωγών k και i Χωρητικότητα Ασύµµετρης Τριφασικής Γραµµής Μεταφοράς µε Αντιµετάθεση Φάσεων Έστω η ασύµµετρη τριφασική γραµµή µεταφοράς του Σχήµατος 8, όπου Οι τρεις αγωγοί έχουν ίδια ακτίνα, δηλαδή Υποτίθεται συµµετρικό τριφασικό σύστηµα, δηλαδή: q q + q () + Εφαρµόζοντας τη σχέση () στο τµήµα της αντιµετάθεσης, η διαφορά δυναµικού µεταξύ των φάσεων και εξαιτίας και των τριών φορτίων (q, q και q ) είναι: () q π ε + q + q () Όµοια, στο τµήµα της αντιµετάθεσης, η διαφορά δυναµικού είναι: () q π ε + q + q () Όµοια, στο τµήµα της αντιµετάθεσης, η διαφορά δυναµικού είναι: () q π ε + q + q () Με τη βοήθεια των σχέσεων () έως (), η µέση τιµή της διαφοράς δυναµικού είναι: q π ε ( () + () + ) () + q + q q π ε + q π ε q GM + q GM (5) όπου: GM (6)

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Σχήµα 8 Αντιµετάθεση φάσεων ασύµµετρης τριφασικής γραµµής µεταφοράς όπου GM είναι η µέση γεωµετρική απόσταση των τριών αγωγών Παρόµοια, η µέση τιµή της διαφοράς δυναµικού είναι: π ε q GM + q GM (7) Προσθέτοντας τις (5) και (7) και χρησιµοποιώντας τη (), προκύπτει ότι: + q π ε GM + ( q + q ) GM π ε + q GM πε q Για συµµετρικές τριφασικές τάσεις µε την τάση ως αναφορά, ισχύει ότι: GM q GM (8) (9) () Προσθέτοντας τις (9) και () κατά µέλη, προκύπτει ότι: + + ( ) + + + () είναι: Συνδυάζοντας τις (95), (8) και (), προκύπτει ότι η χωρητικότητα ανά φάση προς ουδέτερο q C π ε GM F m () όπου η γεωµετρική απόσταση των τριών αγωγών, GM, δίνεται από τη σχέση (6) 5 Χωρητικότητα Τριφασικής Γραµµής Μεταφοράς µε Πολλαπλούς Αγωγούς Ο υπολογισµός της χωρητικότητας τριφασικής γραµµής µεταφοράς µε πολλαπλούς αγωγούς ανά φάση µε αντιµετάθεση φάσεων ακολουθεί τα ίδια βήµατα µε τη διαδικασία που παρουσιάστηκε στην Ενότητα Προκύπτει ότι η χωρητικότητα ανά φάση προς ουδέτερο υπολογίζεται από τη σχέση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 59 πε C GM eq N πε N R N F m () όπου: GM N N, eq N R () όπου N είναι ο αριθµός των αγωγών-µελών κάθε φάσης, είναι η ακτίνα κάθε αγωγού-µέλους και R είναι η ακτίνα του κύκλου, στην περιφέρεια του οποίου είναι συµµετρικά τοποθετηµένοι οι αγωγοί-µέλη κάθε φάσης (Σχήµα 9) Για την περίπτωση των δύο αγωγών ανά φάση (Σχήµα ), η ακτίνα του ισοδύναµου αγωγού είναι: eq R d (5) είναι: Για την περίπτωση των τριών αγωγών ανά φάση (Σχήµα ), η ακτίνα του ισοδύναµου αγωγού eq R d (6) είναι: Για την περίπτωση των τεσσάρων αγωγών ανά φάση (Σχήµα ), η ακτίνα του ισοδύναµου αγωγού / eq R d (7) Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι στην περίπτωση του συµπαγούς αγωγού, δηλαδή στην περίπτωση του ενός αγωγού ανά φάση, η ακτίνα του ισοδύναµου αγωγού είναι: eq (8) 6 Χωρητικότητα Τριφασικής Γραµµής ιπλού Κυκλώµατος Έστω η τριφασική γραµµή µεταφοράς διπλού κυκλώµατος του Σχήµατος Έστω ότι στη γραµµή µεταφοράς εφαρµόζεται αντιµετάθεση φάσεων Ακολουθώντας τη διαδικασία που παρουσιάστηκε στην Ενότητα, προκύπτει ότι η χωρητικότητα ανά φάση προς ουδέτερο της τριφασικής γραµµής µεταφοράς διπλού κυκλώµατος υπολογίζεται από τη σχέση: πε C GM C F m (9) όπου η µέση γεωµετρική απόσταση, GM, της σχέσης (9) υπολογίζεται µε βάση τη σχέση (7) Αυτό σηµαίνει ότι, για τον υπολογισµό της χωρητικότητας και της αυτεπαγωγής της τριφασικής γραµµής διπλού κυκλώµατος, η σχέση υπολογισµού της GM είναι η ίδια Η εµπλεκόµενη, στη σχέση (9), µέση γεωµετρική ακτίνα, C, υπολογίζεται από τη σχέση () ως ακολούθως: () A eq

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ B C () eq eq () C A B C () Στις παραπάνω σχέσεις, eq είναι η ακτίνα του ισοδύναµου αγωγού για την περίπτωση πολλαπλών αγωγών ανά φάση, όπου η eq υπολογίζεται είτε από τη γενική σχέση () είτε από κάποια από τις ειδικές σχέσεις (5) έως (8) για τις αντίστοιχες ειδικές περιπτώσεις πολλαπλών αγωγών ανά φάση 7 Επίδραση της Γης στη Χωρητικότητα 7 Χωρητικότητα Κυλινδρικού Αγωγού µε Θεώρηση Επίδρασης Γης Έστω ο κυλινδρικός αγωγός, ακτίνας, ο οποίος βρίσκεται σε κατακόρυφη απόσταση h πάνω από την επιφάνεια της γης, όπως φαίνεται στο Σχήµα Για να ληφθεί υπόψη η επίδραση της γης στη χωρητικότητα, θα χρησιµοποιηθεί η µέθοδος των ειδώλων Στο Σχήµα, το είδωλο του εναέριου αγωγού είναι ο αγωγός ', ο οποίος βρίσκεται σε ίση κατακόρυφη απόσταση h κάτω από την επιφάνεια της γης Αποδεικνύεται ότι η χωρητικότητα του αγωγού ως προς ουδέτερο είναι: πε πε C h eq F m () όπου: όπου eq είναι η ισοδύναµη ακτίνα του αγωγού h (5), eq 7 Χωρητικότητα Ασύµµετρης Τριφασικής Γραµµής µε Θεώρηση Επίδρασης Γης Έστω η εναέρια ασύµµετρη τριφασική γραµµή µεταφοράς του Σχήµατος Για να ληφθεί υπόψη η επίδραση της γης στη χωρητικότητα, θα χρησιµοποιηθεί η µέθοδος των ειδώλων Στο Σχήµα, τα είδωλα των εναέριων αγωγών, και είναι οι αγωγοί ', ' και ', αντίστοιχα, οι οποίοι είναι τοποθετηµένοι σε ίσες κατακόρυφες αποστάσεις κάτω από την επιφάνεια της γης Γίνεται η υπόθεση ότι στη γραµµή µεταφοράς εφαρµόζεται πλήρης αντιµετάθεση φάσεων Αποδεικνύεται ότι η χωρητικότητα ανά φάση προς ουδέτερο της γραµµής µεταφοράς υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση: πε C GM C F m (6) όπου: GM 9 (7) C 9 eq (8)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 6 όπου στη σχέση (8), eq είναι η ισοδύναµη ακτίνα του αγωγού, όπου η eq υπολογίζεται είτε από τη γενική σχέση () είτε από κάποια από τις ειδικές σχέσεις (5) έως (8) Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η τιµή της χωρητικότητας προς ουδέτερο της γραµµής µεταφοράς δίνεται από τη σχέση (6) τόσο για την περίπτωση ιδανικής γης όσο και για την περίπτωση πραγµατικής γης µε συγκεκριµένη τιµή για την ειδική αντίσταση του εδάφους 8 Επίδραση των Συρµάτων Γης στη Χωρητικότητα Οι γραµµές µεταφοράς, πάνω από τους αγωγούς των φάσεων, έχουν, κατά κανόνα, ένα ή περισσότερα σύρµατα γης, για προστασία από ατµοσφαιρικές επιδράσεις Έστω η τριφασική γραµµή µεταφοράς (αγωγοί ) του Σχήµατος, η οποία διαθέτει ένα σύρµα γης (αγωγός ) Στο σύστηµα αυτό των τεσσάρων αγωγών, οι εξισώσεις των τάσεων είναι οι ακόλουθες: πε [ ] [ ] [ q] πε q q q q (9) όπου [] είναι ο πίνακας των συντελεστών δυναµικού, µε τα στοιχεία του να υπολογίζονται ως ακολούθως: ii ii () eq ij ij () ij όπου ii' είναι η απόσταση ανάµεσα στο κέντρο του αγωγού i και του ειδώλου του i', eq είναι η ισοδύναµη ακτίνα του αγωγού i, ij' είναι η απόσταση ανάµεσα στο κέντρο του αγωγού i και του ειδώλου j' του αγωγού j και ij είναι η απόσταση ανάµεσα στα κέντρα των αγωγών i και j Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι στους συντελεστές δυναµικού έχει ληφθεί υπόψη η επίδραση της γης Υποθέτοντας ότι το σύρµα γης είναι συνεχώς γειωµένο, η τάση του είναι µηδενική: () Αντικαθιστώντας τη () στην τέταρτη εξίσωση της (9) προκύπτει ότι: q q + q + q + q q q q () Αντικαθιστώντας τη () στην πρώτη εξίσωση της (9) προκύπτει ότι: q + q+ q+ q q q πε q + q+ q πε ()

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Με αντίστοιχο τρόπο, προκύπτουν οι τάσεις και συναρτήσει των φορτίων q, q και q Σε µορφή πίνακα, οι εξισώσεις αυτές είναι οι ακόλουθες: πε [ ] [ ] [ q] ew πε q q q (5) Από τον τελικό πίνακα των συντελεστών δυναµικού, [ ew ], ο τελικός πίνακας των χωρητικοτήτων υπολογίζεται ως ακολούθως: C C C [ C ew ] π ε [ ew ] [ Cew ] C C C (6) C C C Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι ο πίνακας των χωρητικοτήτων, [C ew ], είναι συµµετρικός Υποθέτοντας ότι εφαρµόζεται αντιµετάθεση αγωγών, η µέση χωρητικότητα της γραµµής ανά φάση προς ουδέτερο υπολογίζεται ως ακολούθως: C ( C + C + C + C + C + C ) (7) Σύµφωνα µε τη σχέση (5), η παρουσία των συρµάτων γης µειώνει τους συντελεστές δυναµικού Συνεπώς, δεδοµένου ότι ο πίνακας χωρητικοτήτων είναι αντιστρόφως ανάλογος του πίνακα των συντελεστών δυναµικού, τα σύρµατα γης αυξάνουν τις χωρητικότητες των αγωγών της γραµµής µεταφοράς 9 Αριθµητικά Παραδείγµατα 9 Παράδειγµα Εναέρια τριφασική γραµµή µεταφοράς, 5 Hz, έχει συµπαγείς αγωγούς φάσεων, κυλινδρικούς, ακτίνας m, τοποθετηµένους όπως στο Σχήµα 9, µε x 5,5 m, x 6, m, y 7,6 m και y 8 m Στη γραµµή εφαρµόζεται αντιµετάθεση φάσεων Να υπολογιστούν η αυτεπαγωγή της γραµµής ανά φάση και η χωρητικότητα της γραµµής ανά φάση προς ουδέτερο, για τις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις: ) αγνοώντας την επίδραση της γης, ) θεωρώντας ιδανική γη και ) θεωρώντας ότι η γη έχει ειδική αντίσταση ρ Ωm Λύση Από το Σχήµα 9 προκύπτει ότι η απόσταση µεταξύ των κέντρων των αγωγών και είναι: x5 + y,5 + 7,6 8,67 m Από το Σχήµα προκύπτει ότι η απόσταση µεταξύ των κέντρων των αγωγών και ' (' είναι το είδωλο του αγωγού ) είναι: x5 + ( y + y),5 + (7,6+ 8),7 m

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 6 Σχήµα 9 ιάταξη αγωγών τριφασικής γραµµής µεταφοράς του Παραδείγµατος y x 5 x 6 y y x 5 x 6 y Σχήµα ιάταξη των αγωγών και των ειδώλων των αγωγών της γραµµής µεταφοράς του Παραδείγµατος Όµοια, υπολογίζονται οι υπόλοιπες αποστάσεις και τα αποτελέσµατα είναι τα ακόλουθα: 8,67 m 7,6 m 8,65 m 6, m,7 m 6,795 m,7 m 5, m

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ,79 m 6,795 m,79 m 6, m Η µέση γεωµετρική ακτίνα για τον υπολογισµό της αυτεπαγωγής ( ) και η µέση γεωµετρική ακτίνα για τον υπολογισµό της χωρητικότητας ( C ) είναι:, e e,6 m C C, m Ερώτηµα : Αγνοώντας την επίδραση της γης Η µέση γεωµετρική απόσταση είναι: GM 8,67 7,68,65 GM Η αυτεπαγωγή της γραµµής ανά φάση είναι: µ GM 8,8889, π,6 Η χωρητικότητα της γραµµής ανά φάση προς ουδέτερο είναι: πε 55,65 C C 9,9 GM 8,8889, C,7 F km 8,8889 m mh km Ερώτηµα : Θεωρώντας ιδανική γη Η µέση γεωµετρική απόσταση είναι: GM 9 GM,65 m Η µέση γεωµετρική ακτίνα για τον υπολογισµό της αυτεπαγωγής ( ) και η µέση γεωµετρική ακτίνα για τον υπολογισµό της χωρητικότητας ( C ) είναι: / ( ) 9 e,6 8,67 7,6 8,65,67 m 9 C 9 9, 8,67 7,6 8,65 C Η αυτεπαγωγή της γραµµής ανά φάση είναι: µ GM,65,6 π,67 Η χωρητικότητα της γραµµής ανά φάση προς ουδέτερο είναι: πε 55,65 C C 5, GM,65,68 C mh, km F km,68 m Ερώτηµα : Θεωρώντας πραγµατική γη µε συγκεκριµένη ειδική αντίσταση Η χωρητικότητα της γραµµής ανά φάση προς ουδέτερο είναι ίδια µε το ερώτηµα, δηλαδή C 5, F/km Το βάθος διείσδυσης είναι:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 65 ρ δ 5,9 m 7 πµ f π(π ) 5 δ Επειδή ' < δ ' δ και επειδή το ίδιο ισχύει και για τις υπόλοιπες αποστάσεις ',, ', τελικά η µέση γεωµετρική απόσταση είναι: GM 9 9 9 δ δ GM 5,9 m Η µέση γεωµετρική ακτίνα για τον υπολογισµό της αυτεπαγωγής,, είναι ίδια µε το ερώτηµα, δηλαδή,67 m Η αυτεπαγωγή της γραµµής ανά φάση είναι: µ GM 5,9,6,6 π,67 mh km 9 Παράδειγµα Στην τριφασική γραµµή µεταφοράς του Παραδείγµατος, η µόνη αλλαγή που γίνεται είναι στους αγωγούς των φάσεων Πιο συγκεκριµένα, οι αγωγοί των φάσεων δεν είναι συµπαγείς, αλλά αποτελούνται από δέσµη µε N αγωγούς ανά φάση, όπου κάθε αγωγός έχει ακτίνα, m, ενώ η δέσµη των δύο αγωγών της κάθε φάσης έχει ακτίνα R,9 m Θεωρώντας ιδανική γη, να υπολογιστούν η αυτεπαγωγή της γραµµής ανά φάση και η χωρητικότητα της γραµµής ανά φάση προς ουδέτερο Λύση Οι αποστάσεις µεταξύ των κέντρων των αγωγών και των ειδώλων τους υπολογίστηκαν στο Παράδειγµα Η µέση γεωµετρική ακτίνα του ισοδύναµου αγωγού κάθε φάσης για τον υπολογισµό της αυτεπαγωγής ( _eq ) και της χωρητικότητας ( C_eq ) είναι: eq / / _ e R, e,9 _,798 m _ R,,9 _,86 m C eq C eq Η µέση γεωµετρική ακτίνα για τον υπολογισµό της αυτεπαγωγής ( ) και της χωρητικότητας ( C ) είναι: 9 9 _ eq,798 8,67 7,6 8,65,6869 m eq C 9 9 C C _ eq,86 8,67 7,6 8,65,7598 m Η µέση γεωµετρική απόσταση υπολογίστηκε στο ερώτηµα (θεώρηση ιδανικής γης) του Παραδείγµατος και βρέθηκε ότι είναι: GM,65 m Η αυτεπαγωγή της γραµµής ανά φάση είναι: µ GM,65,6,9 π,6869 Η χωρητικότητα της γραµµής ανά φάση προς ουδέτερο είναι: πε 55,65 C C 5,88 GM,65,7598 C mh km F km

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 9 Παράδειγµα Εναέρια τριφασική γραµµή µεταφοράς, 5 Hz, αποτελείται από δέσµη µε N αγωγούς ανά φάση, όπου κάθε αγωγός έχει ακτίνα, m, ενώ η δέσµη των δύο αγωγών της κάθε φάσης έχει ακτίνα R,9 m Επίσης, υπάρχει και ένα σύρµα γης (αγωγός ), το οποίο είναι συµπαγής κυλινδρικός αγωγός ακτίνας,56 m Οι αγωγοί των φάσεων και το σύρµα γης είναι τοποθετηµένα όπως στο Σχήµα, µε x 5,5 m, x 6, m, x 7,8 m, y 7,8 m, y 7,6 m και y 8 m Στη γραµµή εφαρµόζεται αντιµετάθεση φάσεων Θεωρώντας ιδανική γη, να υπολογιστούν η αυτεπαγωγή της γραµµής ανά φάση και η χωρητικότητα της γραµµής ανά φάση προς ουδέτερο Λύση Από το Σχήµα προκύπτει ότι η απόσταση µεταξύ των κέντρων των αγωγών και ' (είδωλο του αγωγού ) είναι: ( x5 + x7 ) + ( y+ y+ y) (,5+,8) + (7,8+ 7,6+ 8) 5,787 m Όµοια, υπολογίζονται οι υπόλοιπες αποστάσεις και τα αποτελέσµατα είναι τα ακόλουθα: 8,67 m 7,6 m 8,65 m 6,688 m 8,87 m 5,58 m 6, m,7 m 6,795 m 5,787 m 5, m,79 m 59,66 m,79 m 6, m 5,6 m 66,8 m Η µέση γεωµετρική ακτίνα του ισοδύναµου αγωγού κάθε φάσης για τον υπολογισµό της αυτεπαγωγής ( _eq ) και της χωρητικότητας ( C_eq ) είναι: / / _ eq e R, e,9 _ eq,798 m C _ eq R,,9 C _ eq,86 m Η µέση γεωµετρική ακτίνα του σύρµατος γης για τον υπολογισµό της αυτεπαγωγής ( _ ) και της χωρητικότητας ( C_ ) είναι: / / _ e,56e _,6 m C _ C _,56 m Η αυτεπαγωγή και και η αλληλεπαγωγή υπολογίζονται ως ακολούθως:, _ eq, 6,,798,6 mh km, _, 66,8,6,97 5,787,,,7 6,688 Με αντίστοιχο τρόπο υπολογίζονται οι υπόλοιπες τιµές των αυτεπαγωγών και των αλληλεπαγωγών Ο αρχικός πίνακας των αυτεπαγωγών είναι: mh km mh km

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 67 Σχήµα ιάταξη των αγωγών και των ειδώλων των αγωγών της γραµµής µεταφοράς του Παραδείγµατος [ old ] Ο τελικός πίνακας των αυτεπαγωγών είναι: [ ew,6,,5,7,,6,5,9,5,5,6,,7,9,,97,9 ] [ ] [ ],85 ew,87 mh km,85,6,76,87,76,6 Από τον τελικό πίνακα των αυτεπαγωγών, η αυτεπαγωγή της γραµµής ανά φάση υπολογίζεται ως ακολούθως: mh km

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (,9 +,6+,6+,85+,87+,76),79 Οι συντελεστές δυναµικού, και υπολογίζονται ως ακολούθως: mh km C _ eq 6,,86 6,5 C _ 66,8,56 9,87 5,787,5 6,688 Με αντίστοιχο τρόπο υπολογίζονται οι υπόλοιπες τιµές των συντελεστών δυναµικού Ο αρχικός πίνακας των συντελεστών δυναµικού είναι: [ old ] 6,5,65,577,5 Ο τελικός πίνακας συντελεστών δυναµικού είναι:,65 6,57,6,96,577,6 6,5,,5,96, 9,87 5,967 [ [ ] ew ],6 [ ] ew,,6 6,6,7,,7 5,95 Από τον τελικό πίνακα συντελεστών δυναµικού, ο τελικός πίνακας των χωρητικοτήτων υπολογίζεται ως ακολούθως: [ C ew ] π ε [ ew ] 5,967 πε,6,,6 6,6,7,,7 5,95 [ C ew,7 ],96,,96,78,855,,855,6 Από τον τελικό πίνακα των χωρητικοτήτων, η χωρητικότητα της γραµµής ανά φάση προς ουδέτερο υπολογίζεται ως ακολούθως: C (,7+,78+,6,96,,855) C 6, F km F km Βιβλιογραφία [] T Göe, Eleti powe tsmissio system egieeig: lysis d desig, d editio CRC ess, New Yok, 9 [] M E El-Hwy, Eletil powe systems: desig d lysis EEE ess, New Yok, 995 [] H Sdt, owe system lysis, d editio MGw-Hill, New Yok,