Ηλεκτρομαγνητισμός. Αυτεπαγωγή. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Transcript

1 Ηλεκτρομαγνητισμός Αυτεπαγωγή Νίκος Ν. Αρπατζάνης

2 Εξισώσεις Maxwell Στα τέλη του 19 ου αιώνα, οι γνώσεις γύρω απ τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία συνοψίζονταν στις εξισώσεις Maxwell: Νόμος Gauss: τα ηλεκτρικά πεδία ξεκινούν και σταματούν σε ηλεκτρικά φορτία. Δεν υπάρχουν μαγνητικά φορτία (μονόπολα). Τα μαγνητικά πεδία προέρχονται από ρεύματα και μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά πεδία.

3 Υπενθύµιση Νόμος Faraday: dφ ΗΕ = B ΦB = B d A = BAcosθ Αν το Β είναι ομοιόμορφο σε όλη την επιφάνεια Α Αν μεταβληθεί η μαγνητική ροή, τότε επάγεται ΗΕΔ. Το αρνητικό πρόσημο προέρχεται απ τον κανόνα enz.

4 Μονωµένο κύκλωµα και επαγόµενη ΗΕ Κλείσιμο του διακόπτη S: oροή ρεύματος στο κύκλωμα, oi=ε/r ΟΧΙ ΑΚΑΡΙΑΙΑ! Ερμηνεία σύμφωνα με το ν. Faraday Καθώς το ρεύμα αρχίζει να ρέει στο κύκλωμα (δηλ. να αυξάνει με το χρόνο) δημιουργείται μαγνητικό πεδίο γύρω απ τους αγωγούς και η μαγνητική ροή Φ Β, μέσα απ το κύκλωμα αυξάνει! Αυτή η αύξηση επάγει ΗΕΔ, που αντιτίθεται στη μεταβολή της Φ Β, δηλαδή στη «δράση» της μπαταρίας. Συνεπώς η αύξηση του ρεύματος είναι βαθμιαία! Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ dφ ΗΕ = B ( ) d BA =

5 Μονωµένο κύκλωµα και επαγόµενη ΗΕ (α) Το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο παράγει μαγνητικό πεδίο Β, προς τα αριστερά. (β) Αν το ρεύμα αυξάνει, η μαγνητική ροή αυξάνει και η επαγόμενη ΗΕΔ έχει φορά που δίνει αντίθετο ρεύμα. (γ) Η πολικότητα της επαγόμενης ΗΕΔ είναι αντίθετη, όταν το ρεύμα μειώνεται. Ποσοτικά, η αυτεπαγόμενη ΗΕΔ δίνεται απ το ν. Faraday: όπου Ν είναι ο αριθμός των σπειρών του πηνίου. ε = N dφ B Η μαγνητική ροή είναι ανάλογη με το πεδίο Β, το οποίο είναι ανάλογο με το ρεύμα Ι που διαρρέει το κύκλωμα. Συνεπώς, η αυτεπαγόμενη ΗΕΔ είναι ανάλογη με το ρυθμό μεταβολής του ρεύματος: di ε =

6 Συντελεστής αυτεπαγωγής ή αυτεπαγωγή dφ B ε = N = di Αν θεωρήσουμε ότι η ίδια ροή περνά απ όλες τις σπείρες: = NΦ Φ I B Ο συντελεστής αναλογίας ονομάζεται συντελεστής αυτεπαγωγής, ή απλά αυτεπαγωγή του πηνίου και εξαρτάται απ τη γεωμετρία, καθώς και από άλλα φυσικά χαρακτηριστικά του πηνίου.

7 Οι αυτεπαγωγές ως στοιχεία κυκλωµάτων Ο ρόλος της αυτεπαγωγής: αντίθεση στις μεταβολές του ρεύματος σε ένα κύκλωμα. Είναι: Αντίσταση ενός αγωγού (R=V/I ) = αντίθεση ε = στη ροή του ρεύματος. di Αυτεπαγωγή = αντίσταση στη μεταβολή του ρεύματος. Μονάδα μέτρησης της αυτεπαγωγής: 1 Henry (Η) 1 1 V H = s A Εφαρμογές: Αυτεπαγωγή σε κύκλωμα DC: διατήρηση σταθερού ρεύματος, παρά τις μεταβολές στην εφαρμοζόμενη ΗΕΔ Αυτεπαγωγή σε κύκλωμα AC: αναίρεση των μεταβολών του ρεύματος, που είναι πιο απότομες απ το επιθυμητό

8 Κυκλώµατα µε ΗΕ και αυτεπαγωγή Αντίσταση: Μέτρο της αντίθεσης στη ροή ρεύματος Η πτώση τάσης στην αντίσταση εξαρτάται απ το ρεύμα Αυτεπαγωγή: Μέτρο της αντίστασης στη μεταβολή του ρεύματος Η πτωση τάσης στην αυτεπαγωγή εξαρτάται απ τη μεταβολή του ρεύματος, di/

9 Κυκλώµατα µε ΗΕ και αυτεπαγωγή α. Πτώση τάσης στην αντίσταση: V ab =V a -V b =ir > 0 β. Αυτεπαγωγή: σταθερό ρεύμα i => δεν υπάρχει διαφορά δυναμικού: V ab = di/=0 γ. Αυτεπαγωγή με αυξανόμενο ρεύμα i: V ab = di/>0 δ. Αυτεπαγωγή με μειούμενο ρεύμα i: V ab = di/<0

10 Παράδειγµα Αυτεπαγωγή διαρρέεται από ρεύμα i. Η αντίσταση των σπειρών είναι μηδενική. Τι συμβαίνει αν το ρεύμα μειώνεται; A. Το δυναμικό στο a είναι υψηλότερο από αυτό στο b. B. Το δυναμικό στο a είναι χαμηλότερο από αυτό στο b. Γ. Η απάντηση εξαρτάται απ την τιμή di/ σε σχέση με την τιμή του i. Δ. Η απάντηση εξαρτάται απ την τιμή της αυτεπαγωγής. E. Ισχύουν τόσο το Γ. όσο και το Δ.

11 Παράδειγµα Αυτεπαγωγή διαρρέεται από ρεύμα i. Η αντίσταση των σπειρών είναι μηδενική. Τι συμβαίνει αν το ρεύμα μειώνεται; A. Το δυναμικό στο a είναι υψηλότερο από αυτό στο b. di < 0 B. Το δυναμικό στο a είναι χαμηλότερο από αυτό στο b. Γ. Η απάντηση εξαρτάται απ την τιμή di/ σε σχέση με την τιμή του i. Δ. Η απάντηση εξαρτάται απ την τιμή της αυτεπαγωγής. di E. Ισχύουν τόσο ε το = Γ. όσο και το Δ. = > 0 V V a b

12 Κύκλωμα R- (έναρξη τροφοδοσίας του κυκλώματος) Κύκλωμα: αντίσταση, πηνίο, μπαταρία Ο διακόπτης κλείνει σε t=0 Το ρεύμα αυξάνει Πώς μεταβάλλεται το ρεύμα με το χρόνο; Το πηνίο παράγει αυτεπαγωγική ΗΕΔ που αντιτίθεται στην αύξηση του ρεύματος Ο δεύτερος κανόνας του Kirchhoff (κανόνας των τάσεων): Οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος είναι: di I ( t = 0) = 0, ( t ) = 0, I ( t ) = ε R

13 Κύκλωμα R- (έναρξη τροφοδοσίας του κυκλώματος) di ε di ε di ε IR = 0 I = 0 I = τ R, R R R τ R= Χρονική σταθερή του κυκλώματος R ε I ( t) t I ( t) d I t di di R = ε ε ε I τ = = R 0 I τ 0 R 0 I τ 0 R R R R ε ε I ( t) I ( t) t t R ln R R e τ ε = = τ ε R R R Η πτώση τάσης κατά μήκος της αυτεπαγωγής: τ R ( ) = 1 e I t ε R t di ε 1 t R t τ ε R τ R V = = e e = R τ R R V = ε e τ t R

14 Κύκλωμα R- (έναρξη τροφοδοσίας του κυκλώματος) τ R ( ) = 1 e I t ε R ( ) Imax I t = = t ε R Το ρεύμα αυξάνει με το χρόνο Μέγιστη τιμή ρεύματος 1 I ( τ R ) = Imax 1 e I τ = 0.63 I ( R ) max Σε χρόνο ίσο με τ R =/R, το ρεύμα φτάνει στο 63% της μέγιστης τιμής Ρυθμός αύξησης του ρεύματος: di ε = e = e R τ R Μέγιστη τιμή για t=0 1 t t τ ε R τ R di = ε

15 Κύκλωμα R- (έναρξη τροφοδοσίας του κυκλώματος) V = ε e τ t R Η πτώση τάσης μειώνεται με το χρόνο ( 0) max V t = = V = ε 1 V ( τ R ) = Vmax e V τ = 0.37 V ( R ) max Μέγιστη τιμή τάσης Σε χρόνο ίσο με τ R =/R, η πτώση τάσης φτάνει στο 37% της μέγιστης τιμής

16 Ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο Για την περίπτωση που το ρεύμα σε μια αυτεπαγωγή αυξάνει: V ab =V a -V b = di/>0 Ισχύς που σχετίζεται με την τάση: Ενέργεια που παρέχεται σε χρόνο : Η αυτεπαγωγή (πηνίο) είναι διάταξη όπου αποθηκεύεται ενέργεια

17 Ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο Σταθερό ρεύμα διαρρέει ένα πηνίο. Αν η ένταση του ρεύματος διπλασιαστεί, ενώ η αυτεπαγωγή παραμένει σταθερή, πώς μεταβάλλεται η αποθηκευμένη ενέργεια στο πηνίο; A. Αυξάνει κατά παράγοντα 2. B. Αυξάνει κατά παράγοντα 2. Γ. αυξάνει κατά παράγοντα 4. Δ. αυξάνει κατά παράγοντα που εξαρτάται απ τη γεωμετρία του πηνίου. Απάντηση Γ. αυξάνει κατά παράγοντα 4.

18 Σωληνοειδές Έστω σωληνοειδές με ομοιόμορφο τύλιγμα, χωρίς πυρήνα και με: N σπείρες (ακτίνας r) και μήκος l (>>r). Ποια η αυτεπαγωγή του σωληνοειδούς; Μαγνητικό πεδίο στο κέντρο του σωληνοειδούς: Μαγνητική ροή μέσα από κάθε σπείρα: Ορισμός αυτεπαγωγής: Η αυτεπαγωγή του σωληνοειδούς είναι ανάλογη του όγκου του:

19 Πυκνότητα μαγνητικής ενέργειας σε σωληνοειδές Αυτεπαγωγή του σωληνοειδούς: Ενέργεια που αποθηκεύεται στο σωληνοειδές: Όγκος του σωληνοειδούς Πυκνότητα ενέργειας που αποθηκεύεται στο σωληνοειδές: Στον κενό χώρο Σε υλικό με μαγνητική διαπερατότητα μ