פונקציות מרוכבות 80519 אור דגמי, or@digmi.org 30 בדצמבר 2012
אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ גנאדי לוין בשנת לימודים 2013 מייל של המרצב: levin@math.huji.ac.il אפשר לקבוע פגישה. הקורסלאמבוססעלאףספרספציפי, אבלהואיסחיתסטנדרטיוישמספרספריםשאפשרלהשתמש בהם כגון: 1. Ahlfors, Comples Analysis 2. Evgrafov, Analytic Functions 1
תוכן עניינים 1 שדה של מספרים מרוכבים 6 1.1 פעולות כפל וחיבור.......................................... 6 1.2 הגדרות וסימונים........................................... 7 1.3 תכונות הערך המוחלט........................................ 7 2 צורה פולרית של מספרים מרוכבים 9 2.1 הגדרת הארגומנט........................................... 9 2.2 הצורה הפולרית............................................ 9 3 קבוצות מרוכבים 11 3.1 התכנסות קבוצת נקודות מרוכבים.................................. 11 3.2 קבוצות ב. C............................................. 11 I פונקציות מרוכבות 13 4 מבוא 14 4.1 מה היא פונקציה מרוכבת?...................................... 14 4.2 גבול של פונקציה........................................... 14 4.3 רציפות................................................ 15 5 נגזרת 16 5.1 מהי הנגזרת?............................................. 16 5.2 משפט קושי רימן (Cauchy-Riemann)................................ 17 5.3 תכונות של נגזרת........................................... 18 5.4 פונקציה הולומורפית......................................... 19 5.5 פונקציות. sin,cos,exp....................................... 20 5.5.1 האקספוננט.......................................... 20 5.5.1.1 הולומורפיות.................................... 20 5.5.1.2 נגזרת שווה לפונקציה עצמה............................ 20 5.5.1.3 תכונות נוספות.................................. 21 5.5.2 פונקציות cos ו sin...................................... 21 5.5.2.1 הולומורפיות.................................... 21 6 מסילות 22 6.1 מסילות ותחומים........................................... 22 6.1.1 מסילות............................................ 22 6.1.1.1 צירוף או מכפלה של מסילות........................... 23 2
תוכן עניינים תוכן עניינים 6.1.1.2 מסילה גזירה................................... 23 6.1.1.3 אורך של מסילה.................................. 23 6.1.1.4 מסילה הפוכה................................... 25 6.1.2 תחומים............................................ 25 6.2 קבוצה קומפקטית........................................... 25 6.2.1 תכונות............................................ 25 6.3 סדרות פונקציות........................................... 26 7 אינטגרלים קווים 27 7.1 הגדרת האינטגרל הקווי........................................ 27 7.2 תכונות................................................ 29 7.3 אינדקס................................................ 32 7.4 משפט הקירובים........................................... 34 7.5 משפט קושי עבור משולש....................................... 36 7.6 נוסחת ההצגה של קושי........................................ 40 8 טורי חזקות 42 8.1 תזכורת................................................ 42 8.2 התכנסות של טורים.......................................... 42 8.2.1 קריטריון ויירשטרס...................................... 43 8.3 טורי חזקות.............................................. 43 8.3.1 משפט. Abel......................................... 44 8.3.2 נוסחת קושי הדמר...................................... 44 8.4 פונקציה אנליטית........................................... 46 8.5 רציפות במידה שווה.......................................... 46 8.5.1 אינטגרציה במידה שווה.................................... 46 8.5.2 גזירה איבר איבר....................................... 47 8.6 פונקציה הולומורפית היא אנליטית.................................. 48 8.6.1 משפט. Liouville...................................... 50 8.6.2 המשפט היסודי של האלגברה................................. 50 9 פונקציות קדומות 52 9.1 הגדרות ותכונות בסיסיות....................................... 52 10 תחום פשוט קשר 54 10.1 מסילות הומוטופיות.......................................... 54 10.2 תחום פשוט קשר........................................... 55 10.3 משפט ז ורדן............................................. 55 10.4 משפט קושי כללי........................................... 55 10.5 משפט היחידות............................................ 60 II טורי לורן 62 11 טורי לורן 63 11.1 מבוא................................................. 63 11.2 טבעת התכנסות............................................ 63 3
תוכן עניינים תוכן עניינים 12 אפסים מבודדים ונקודות סינגולריות מבודדות של פונקציות הולומורפיות 67 12.1 אפסים................................................ 67 12.2 נקודות סינגולריות מבודדות..................................... 68 12.3 משפט פיקרד............................................. 71 12.3.1 משפט קזורטי ויירשטראס סוחוצקי.............................. 71 12.4 נוסחת קושי עבור תחום פשוט קשר.................................. 72 13 משפט השאריות ושימושיו 74 13.1 הקדמה................................................ 74 13.2 משפט השאריות Theorem) (Residue בתחום פשוט קשר...................... 76 13.3 חישוב של אינטגרלים מסויימים.................................... 78 13.4 פונקציות רציונליות.......................................... 79 13.5 טרנספורם פורייה של פונקציות רציונליות.............................. 80 14 עיקרון של ארגומנט ומשפט רושה 83 14.1 פונקציות מירומורפיות........................................ 83 14.2 עיקרון של ארגומנט.......................................... 83 14.3 משפט רושה.............................................. 84 4
תוכן עניינים תוכן עניינים 21/10/2012 5
פרק 1 שדה של מספרים מרוכבים 1.1 פעולות כפל וחיבור אנו מכירים את R 2 בתור אוסף הנקודות של מספרים ממשיים, כלומר: R 2 = {(x,y) x,y R} כמו כן, אנו יודעים להגדיר את פעולת החיבור: (x 1,y 1 )±(x 2,y 2 ) = (x 1 ±x 2,y 1 ±y 2 ) נרצה להגדיר את הכפל והחילוק. הפעולה החיבור הייתה חיבור וקטורי רגיל, אבל מרחבים וקטורים אין לנו כפל, לכן נצטרך להגדיר את הכפל והחילוק. ההגדרה של הכפל אפשרית ב R, 2 אבל אינה אפשרית ב R 3 לדוגמה. נרצה להנגדיר את ההריבוע של הנקודה: (0,1). נגדיר זאת כך: (0,1) (0,1) = ( 1,0) i := (0,1) ונסמן: i 2 = 1 ולכן נקבל: x := (x,0) iy := (0, y) כמו כן, נסמן: (x,y) = x+iy = (x,0)+(0,y) ואז נקבל כי: ואז, אם נגדיר את ההכפלה במישור נקבל: (x 1 +iy 1 )(x 2 +iy 2 ) נפתח את הסוגריים: := [ x 1 x 2 +ix 1 y 2 +iy 1 x 2 +i 2 ] y 1 y 2 = (x1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +y 1 x 2 ) וזוהי למעשה ההגדרה שלנו להכפלת שתי נקודות במישור. 6
1.2. הגדרות וסימונים פרק 1. שדה של מספרים מרוכבים חילוק נגדיר: x 1 +iy 1 x 2 +iy 2 = x+iy כלומר, מתקיים: (x+iy)(x 2 +iy 2 ) = x 1 +iy 1 (x+iy)(x iy) = x 2 +y 2 נבחין כי מההגדרה: הערה 1.1.1 למעשה הכפלה בצמוד. לכן, נכפיל את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה ונקבל: x 1 +iy 1 = (x 1 +iy 1 )(x 2 iy 2 ) x 2 +iy 2 x 2 = x 1x 2 +y 1 y 2 2 +y2 2 x 2 +i x 2y 1 x 1 y 2 2 +y2 2 x 2 2 +y2 2 וזה כמובן קיים אם ם 0 2.x 2 2 +y2 כלומר, 0 2 x או 0 2.y 1.2 הגדרות וסימונים הגדרה 1.2.1 שדה של מספרים מרוכבים: קבוצה של נקודות z = x+iy כאשר x,y R עם הפעולות הנ ל נקראת שדה של מספרים מרוכבים. וזהו אכן שדה, 0 i+0 = 0 ו: 0 i+1 = 1 והוא מסומן ע י C. סימונים:.z החלק הממשי של x = Rez Imz y = החלק המדומה..z = x+iy הצמוד ל: z = x iy הערך המוחלט של z = x+iy הוא:. z = x 2 +y 2 1.3 תכונות הערך המוחלט.x ומתקיים שיוויון אם ם = 0. z 0.1. x x 2 +y 2 מכיוון ש: z Imz וגם: z Rez.2.3 כמו כן: 2 z 1 +z 2 z 1 + x (אי שיוויון המשולש). ומכך נובע גם: 2. z 1 z 2 z 1 z.(z 2 0 (כאשר z1 z 2 = z 1 z 2.4 2 z 1 z 2 = z 2 z וגם: הערה 1.3.1 (תרגיל) נניח ש: z 1 z, 2 z,..., n שייכות לצד אחד של קו ישר l העובר דרך הראשית במישור המרוכב. 1 בעלות אותה תכונה (ביחס לאיזה ישר?) z 1, 1 z 2,..., 1 z n אזי: וגם: n z j 0 j=1 n j=1 1 z j 0 וגם: 7
1.3. תכונות הערך המוחלט פרק 1. שדה של מספרים מרוכבים. z = z.5 8
פרק 2 צורה פולרית של מספרים מרוכבים 2.1 הגדרת הארגומנט עבור כל מספר מרוכב 0 x+iy z = הגדרנו את ערך מוחלט. z = x 2 +y 2 נגדיר את הארגומנט של.z אם נסתכל על המישור המרוכב, ונסמן את הנקודה המרוכבת כוקטור היוצא מהראשית. נסמן את הזוית הנוצרת עם ציר ה x בתור ϕ (הארגומנט של z). ונקבל כ: { x = z cosϕ y = z sinϕ בפרט אם ϕ ארגומנט של z ו n Z אז: ϕ+2πn גם ארגומנט של z. 2.2 הצורה הפולרית z = r(cosϕ+isinϕ) כאשר: z r. = ו ϕ הארגומנט של z, כלומר: ϕ argz = {ϕ := ϕ 0 +2πn, n Z z ארגומנט של ϕ 0 } כלומר קבוצת הארגומנטים של z. סימון: e iϕ = cosϕ+isinϕ טענה 2.2.1 אם: z 1 = r 1 e iϕ1 ו: z 2 = r 2 e iϕ2 כאשר: 1 ϕ 1 argz 1,r 1 = z ו: 2 ϕ 2 argz 2,r 2 = z אז: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(ϕ1+ϕ2) כלומר: r 1 r 2 הוא הערך המוחלט של z 1 z 2 ו: ϕ 1 +ϕ 2 הוא הארגומנט של.z 1 z 2 הוכחה: מסתמך על זהות טריגונומטרית: (cosϕ 1 +isinϕ 2 )(cosϕ 2 +isinϕ 2 ) = (cosϕ 1 cosϕ 2 sinϕ 1 sinϕ 2 )+i(cosϕ 1 sinϕ 2 +sinϕ 1 cosϕ 2 ) = cos(ϕ 1 +ϕ 2 )+isin(ϕ 1 +ϕ 2 ) (הערך המוחלט נובע מהתכונות של הערך המוחלט, ולכן קיבלנו את הנדרש. 9
2.2. הצורה הפולרית פרק 2. צורה פולרית של מספרים מרוכבים מסקנה 2.2.2 אם 0 2 z אז: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(ϕ1 ϕ2) מסקנה 2.2.3 אם: z = re iϕ 0 אזי עבור n Z מתקיים:.z n = r n e inϕ הערה 2.2.4 (תרגיל) אם z = re iϕ 0 ו: n N אזי למשוואה: ω n = z בעלת בדיוק n פתרונות שונים. והם n 1 ω 0,ω 2,...,ω כאשר מתקיים: ω k = ( n r ) }{{} >0 e iϕ+2πk n לכל 0,1,...,n 1.k = 10
פרק 3 קבוצות מרוכבים 3.1 התכנסות קבוצת נקודות מרוכבים n=1 {z n } של נקודות ב C מתכנסת לנקודה a C אם קיים: הגדרה 3.1.1 התכנסות: נאמר כי סידרה lim z n a = 0 n במילים אחרות, אם לכל > 0 ε קיים n 0 N כך שעבור כל n n 0 מתקיים: z n a < ε או: אם נגדיר כדור סביב נקודה a ברדיוס r: B(a,r) = {z z a < r} lim אם ם לכל כדור B(a,ε) סביב a כל הנקודות של הסדרה } n z} פרט למספר סופי של נקודות אז: n z n = a שייכות ל.B(a,ε) 3.2 קבוצות ב C הגדרנו בהגדרה הקודמת מהו כדור פתוח: B(a,ρ) = {z z a < ρ} נגדיר עתה כדור מנוקב, שהוא למעשה כדור פתוח ללא המרכז, כלומר: B(a,ρ)\{a} = {z 0 < z a < ρ} הגדרה 3.2.1 נקודה פנימית: תהי E C תת קבוצה. נקודה a E נקראת פנימית אם קיים > 0 r כך ש :.B(a,r) E הגדרה 3.2.2 קבוצה פתוחה: E תקרא קבוצה פתוחה אם כל נקודה z E היא פנימית. טענה 3.2.3 כדור B(a,r) היא קבוצה פתוחה. 11
פרק 3. קבוצות מרוכבים 3.2. קבוצות ב C הוכחה: ההוכחה ברורה. נקח B(a,r) z, 0 אנו צריכים למצוא כדור סביב z 0 אשר מוכל כולו בכדור הגדול. עבור כל B(a,r) z 0 נתבונן בכדור: B(z 0,r z 0 a ) B(a,r) ההכלה ברורה מההגדרה. וכיוון שזה נכון לכל z 0 כנ ל, אזי הכדור הפתוחה עונה להגדרת הקבוצה הפתוחה כנדרש. הגדרה 3.2.4 סביבה: כל קבוצה פתוחה שמכילה את הנקודה a נקראת סביבה של a. בפרט B(a,r) סביבה של a. הערה 3.2.5 לרוב נסתכל על סביבות כדוריות. הגדרה 3.2.6 קבוצה סגורה: E נקראת קבוצה סגורה אם המשלים (כלומר: (C\E היא קבוצה פתוחה. הגדרה 3.2.7 נקודה חיצונית: נקודה a אשר מוכלת במשלים של E, כלומר a C\E נקראת נקודה חיצונית של E. הגדרה 3.2.8 נקודת שפה: נקודת שפה של E הן כל הנקודות a כך שכל כדור סביב a מכיל נקודה מ E ונקודה לא מ E. את אוסף נקודות השפה של E מסמנים: E. הגדרה 3.2.9 סגור: סגור של E (מסומן E) הוא האיחוד: E. = E E 12
חלק I פונקציות מרוכבות 13
פרק 4 מבוא 4.1 מה היא פונקציה מרוכבת? פונקציה מרוכבת היא כל פונקציה f : E C כאשר E. C או במילים אחרות, עבור כל z E מתקיים: f (z) = u(z)+iv(z) כאשר u,v שתי פונקציות ממשיות המוגדרות ב E. 4.2 גבול של פונקציה lim אם קיים: z z 0 הגדרה 4.2.1 גבול: תהי.f : E C ותהי.A C,z 0 E נרא כי קיים הגבול: f (z) = A lim z 0 z E f (z) A = 0 z z 0 < δ f (z) A < ε או: לכל > 0 ε קיים > 0 δ עבור כל :z E z B(z 0,δ) E f (z) B(A,ε) או: עבור כל B(A,ε) קיים: (δ, B(z 0 כך ש: טענה 4.2.2.y n a 2 ו: x n a 1 אם ם קיימים הגבולות: a = a 1 מתכנסת ל +ia 2 {z n = x n +iy n } n=1.1 f (z) = u(z)+iv(z) lim z z 0 f (z) = A = A 1 +ia 2 lim z z 0 u(z) = A 1, lim z z 0 v(z) = A 2 14.2 אם f : E C כך ש: אז קיים: אם ם קיימים:
פרק 4. מבוא 4.3. רציפות הוכחה: ההוכחה כולה נובעת מכך שלכל: z = x+iy x y z x + y 4.3 רציפות. lim z z 0 הגדרה 4.3.1 רציפות נקודתית: אם z 0 E ו:. f : E C אזי f נקראתרציפהב z 0 אם ם: ) 0 f (z) = f (z הגדרה 4.3.2 פונקציה רציפה: f נקראת רציפה ב E אם f רציפה בכל נקודה של E. 15
פרק 5 נגזרת 5.1 מהי הנגזרת? הגדרה 5.1.1 נגזרת נקודתית עם משתנה ממשי: בהינתן (a,b) R (קטע פתוח). תהי f : (a,b) C פונקציה. נאמר כי f גזירה בנקודה (a,b) t 0 אם קיים הגבול: f (t) f (t 0 ) lim = f (t 0 ) t t 0 t t 0 והגבול הוא ערך הנגזרת בנקודה זו. טענה 5.1.2 אם u(t)+iv(t).t (a,b),f (t) = אזי f גזירה ב t 0 אם ם u ו v גזירות בנקודה t 0 ומתקיים: f (t 0 ) = u (t 0 )+iv (t 0 ) f (t) f (t 0 ) t t 0 = u(t) u(t 0) t t 0 +i v(t) v(t 0) t t 0 = u (t 0 )+iv (t 0 ) הוכחה: כל הדברים עד כה היו פשוטים מכיוון שהמשתנה היה ממשי. כעת נעבור למקרה היותר מעניין במרוכבות. הגדרה 5.1.3 נגזרת נקודתית עם משתנה מרוכב: במקרה של f, : B(z 0 (r, R נאמר כי f גזירה ב z 0 אם קיים: f (z) f (z 0 ) lim = f (z 0 ) z z 0 z z 0 ושוב, כמובן זו הנגזרת ב z. 0 במקרה הזה, הטענה הקודמת לא שימושית. הומנם ניתן לכתוב כך את u,v אבל הן לא יהיו פונקציות ממשיות ולא בהכרח תהיה לנו הפרדה לחלק מדומה וחלק ממשי בצורה זו. נניח שקיימת ) 0.f (z נתקדם לכיוון z 0 במקביל לציר x ובמקביל לציר.y כלומר אם נסמן: z 0 = x 0 + iy 0 אז במקביל לציר y נתבונן ב: y y 0 z = x 0 +iy 16
5.2. משפט קושי רימן (Cauchy-Riemann) פרק 5. נגזרת f (z) f (z 0 ) i(y y 0 ) }{{} z z 0 = (u(z) u(z 0))+i(v(z) v(z 0 )) i(y y 0 ) = v(z) v(z 0) y y 0 i u(z) u(z 0) y y 0 ואז: אבל אם נתקדם במקביל לציר הx נקבל: x x 0 z = x+iy 0 f (z) f (z 0 ) x x 0 }{{} z z 0 = (u(z) u(z 0))+i(v(z) v(z 0 )) x x 0 = u(z) u(z 0) x x 0 +i v(z) v(z 0) x x 0 24/10/2012 5.2 משפט קושי רימן (Cauchy-Riemann). lim z z 0 α(z) z z 0 תזכורת 5.2.1 פונקציה α(z) נקראת ) 0 o(z z (פונקציה אפסית) כאשר z z 0 אם מתקיים = 0.o(z z 0 ) o(z z 0 ) = o(z z 0 ).1.2 בהינתן α 1,α 2 C אז: ) 0 α 1 o(z z 0 )+α 2 o(z z 0 ) = o(z z תכונות. אם Reα(z) ו Imα(z) פונקציות ) 0 o(z z אז גם ) 0.α = o(z z Reo(z z 0 ) Imo(z z 0 ) = o(z z 0 ).3 f (z) = f (z 0 )+A(z z 0 )+o(z z 0 ) בפרט, f גזירה ב z 0 משמהו שקיים A C כך ש: תזכורת 5.2.2 פונקציהממשית( u(x,y ( u(z) כאשר z )המוגדרתבסביבהשלהנקודה = x+iy z 0 = x 0 +iy 0 נקראת דיפרנציאבילית ב z 0 אם קיימים A,B R כך ש: u(z) = u(z 0 )+A(x x 0 )+B(y y 0 )+o(z z 0 ) אם u דיפרנציאבילית ב z 0 אזי מתקיים: { u x (z 0) = A u y (z 0) = B משפט 5.2.3 משוואות קושי רימן (Cauchy-Riemann) בהינתן f : B(z 0,r) C פונקציה. x+iy) (z 0 = x 0 +iy 0,z =. נסמן:.v = Imf,u = Ref,f = u+iv אזי f גזירה בנקודה z 0 אם ם: פונקציות דיפרנציאביליות בנקודה.z 0 v,u.1 { u x (z 0 ) = v y (z 0 ) u y (z 0 ) = v x (z 0 ) 2. משוואות קושי רימן מתקיימות: 17
5.3. תכונות של נגזרת פרק 5. נגזרת Èדוגמה : 5.2.4 נתבונן בפונקציה: (x+iy) 2.f (z) = z 2 = במקרה זה נקבל כי: u(z) = x 2 y 2 ו:.v(z) = 2xy נבחין כי: { u x = 2x = v y u y = 2y = v x f (z) f (z 0 ) = C(z z 0 ) }{{} +o(z z 0 ) (A+ib)[(x x 0)+i(y y 0)] כלומר, משוואות קושי רימן מתקיימות. הוכחה: f גזירה ב z, 0 לכן קיים C = A+iB כך ש: { u(z) u(z 0 ) = A(x x 0 ) B(y y 0 )+o(z z 0 ) v(z) v(z 0 ) = B(x x 0 )+A(y y 0 )+o(z z 0 ) אם ם: { A = u x (z 0 ) B = v y (z 0 ) אם ם u פונקציה דיפרנציאבילית ב z 0 ומתקיים: { B = v x (z 0 ) A = v y (z 0 ) וגם v פונקציה דיפרנציאבילית ב z 0 ו: { u x (z 0 ) = v y (z 0 ) u y (z 0 ) = v x (z 0 ) כלומר אם ם: כנדרש. 5.3 תכונות של נגזרת טענה 5.3.1 1. תהיינה f,g פונקציות גזירות ב z 0 אזי: (א) f רציפה ב z. 0 (ב) αf +βg גזירה ב z 0 כאשר.α,β C (ג) (z)g(z) f גזירה ב.z 0.g(z 0 ) 0 אם: גזירה ב z 0 f(z) g(z) (ד) 18
5.4. פונקציה הולומורפית פרק 5. נגזרת.2 כמו כן, תהי f גזירה ב g,z 0 מוגדרת בסביבה של ) 0 w 0 = f (z וגזירה ב w 0 אזי פונקציה: F (z) = g f (z) = g(f (z)) מוגדרת בסביבה של z 0 ומתקיים כלל השרשרת: (g f) (z 0 ) = g (f (z 0 ))f (z 0 ) הוכחה: 2. ראשית, מכך שהפונקציות גזירות ב z 0 ו w 0 נקבל כי מתקיים: f (z) f (z 0 ) = f (z 0 )(z z 0 )+o(z z 0 ) }{{} w 0 g(w) g(w 0 ) = g (w 0 )(w w 0 )+o(w w 0 ) g(f (z)) g(f (z 0 )) = g (f (z 0 )) (f (z) f (z 0 )) +o(f (z 0 )(z z 0 )+o(z z 0 )) = }{{} f (z 0)(z z 0)+o(z z 0) g (f (z 0 ))f (z 0 )(z z 0 )+o(z z 0 )+o(z z 0 ) לכן: המעבר לפונקציה האפסית בסוף מכיוון ש: o(f (z 0 )(z z 0 )+o(z z 0 )) = f (z 0 )(z z 0 )+o(o(z z 0 )) o(f (z 0 )(z z 0 )+o(z z 0 )) z z 0 z z 0 f (z 0 )(z z 0 )+o(o(z z 0 )) והחלק הימני בהכפלה שואף לאפס, לכן זה נכון. 28/10/2012 5.4 פונקציה הולומורפית הגדרה 5.4.1 פונקציה הולומורפית: תהי Ω קבוצה פתוחה ב C. פונקציה f : Ω C נקראת הולומורפית z. Ω גזירה בכל נקודה f אם בΩ (holomorphic) סימון: {כל הפונקציות ההולומורפיות ב Ω } (A A(Ω) = בגלל.(Analytic הגדרה 5.4.2 פונקציה שלמה: פונקציה שהיא הולומורפית ב C נקראת פונקציה שלמה. A(C) f (z) = z : 5.4.3 Èדוגמה Èדוגמה : 5.4.4 zre(z) f (z) = גזירה רק באפס (הוכחה כתרגיל), ועל כן לא הולומורפית. d: : 5.4.5 פולינום ממעלה Èדוגמה f (z) = a 0 z d +a 1 z d 1 +...+a d כאשר 0 0 a. כל פולינום הוא פונקציה הולומורפית ב C. P(z) f, (z) = כאשר P,Q פולינומים בלי שורשים משותפים. f מוגדרת ב Q(z) Èדוגמה : 5.4.6 פונקציה רציונלית: {שורשי Ω = C\{Q וכמו כן גזירה בכל z Ω לכן, f הולומורפית ב Ω. 19
.5.5 פונקציות sin, cos, exp פרק 5. נגזרת 5.5 פונקציות sin, cos, exp 5.5.1 האקספוננט הגדרה 5.5.1 עבור כל z = x+iy נגדיר: exp(z) = e z = e x (cos(y)+isin(y)) 5.5.1.1 הולומורפיות טענה 5.5.2 C. היא פונקציה הולומורפית ב exp u(z) = Re(e z ) = e x cosy v(z) = Im(e z ) = e x siny הוכחה: z. בעלות נגזרות חלקיות רציפות, לכן הן דיפרנציאביליות בכל R 2 v,u נבדוק את משוואות קושי רימן: u x u y = e x cosy = v y = e x siny = v x על כן, לפי משפט קושי רימן הטענה נכונה כנדרש. למה היא נקראת?exp מכיוון שאם z מספר ממשי, אזי הexp המרוכב מתלכד עם פונקציית ה exp הממשית. 5.5.1.2 נגזרת שווה לפונקציה עצמה טענה 5.5.3.(e z ) = e z הוכחה: אנו כבר יודעים שהאקספוננט גזירה. אז איך נמצא את הנגזרת? (e z ) = u x +iv x כלומר, אנו מתקרבים לz כאשר y קבוע, ואז נקבל את הנ ל. [ u(x+ x,y) u(x,y) = lim +i v(x+ x,y) v(x,y) ] e z+ x e z = lim = (e z ) (z) x 0 x x x 0 x (e z ) = e x cosy +ie x siny = e z כלומר: הערה 5.5.4 זה היה מותר מכיוון שהפונקציה הייתה גזירה, לכן הגבול קיים ובהכרח שווה לנגזרת, אם לא היינו יודעים שהפונקציה גזירה ייתכן והגבול היה קיים אבל ייתכן שמכיוון אחר היינו מקבלים ערך אחר. 20
פרק 5. נגזרת.5.5 פונקציות sin, cos, exp 5.5.1.3 תכונות נוספות.e z1+z2 = e z1 e z2.1.z לכל e z 0.2.3 לכל 0 w למשוואה e z = w ישנם סדרת פתרונות (מכיוון ש:.(e z = e z+2πi 5.5.2 פונקציות cos ו sin עבור x R אנו יודעים כי מתקיים: e ix e ix = cosx+isinx = cosx isinx ולכן: cosx = eix +e ix 2 sinx = eix e ix 2i נרצה לבחון עבור כל z C נקבל כי: cosz = eiz +e iz 2 sinz = eiz e iz 2i כאשר: e iz = e y (cosx+isinx) אזי, אם z = x R אזי cosz ו sinz מתלכדים עם פונקציות הcos וsin המוכרות. (cosz) = eiz (iz) +e iz ( iz) = i e iz e iz = sinz 2 2 2 (sinz) = eiz i e iz ( i) = cos(z) 2i 5.5.2.1 הולומורפיות טענה 5.5.5 C. הולומורפיות ב sinz ו cosz הוכחה: מכלל השרשרת נקבל: (מכיוון ש.(i = 1 i הערה 5.5.6 כתרגיל, לחשב את : ) 2 cos(z 1 ±z ו ) 2.sin(z 1 ±z tanz = sinz לsin ולcos אין cos z למעשה, הרבה פונקציות אלמנטרית ניתן להרחיב כפונקציה הולומורפית, לדוגמה: אפסים משותפים (אנו יודעים כי: = 1 z.(sin 2 z +cos 2 אבל הדבר אינו נכון לכל פונקציה אלמנטרית, לדוגמה x α כאשר α R ו > 0 x, או ל lnx כאשר > 0 x. 21
פרק 6 מסילות 6.1 מסילות ותחומים 6.1.1 מסילות הגדרה 6.1.1 מסילה: מסילה ב R 2 היא כל פונקציה רציפה:. : [a,b] R 2 הגדרה 6.1.2 מסילות שקולות: בהינתן שתי מסילות 1 : [a 1,b 1 ] R 2 ו: 2 : [a 2,b 2 ] R 2 נקראות שקולות אם קיים שינוי של פרמטר ] 2 h : [a 1,b 1 ] [a 2,b כאשר h פונקציה רציפה, על, עולה ממש כך ש 1 h רציפה. כך ש: 2 (h(t)) = 1 (t) במקרה כזה נסמן. 1 2 טענה 6.1.3 שקילות מסילות זהו יחס שקילות. כלומר:.1 רפלקסיביות:..2 סימטריות:. 1 2 2 1.3 טרנזטיביות: אם 1 2 וגם 2 3 אז:. 1 3 הוכחה: ברור. הגדרה 6.1.4 נקודת התחלה: נקודת ההתחלה של מסילה : [a,b] R 2 היא.(a) הגדרה 6.1.5 נקודה סופית: נקודה סופית של מסילה : [a,b] R 2 היא.(b) הגדרה 6.1.6 מסילה סגורה: מסילה : [a,b] R 2 נקראת סגורה אם (b).(a) = הגדרה 6.1.7 מסילה פשוטה: מסילה : [a,b] R 2 נקראת פשוטה אם עבור כל (t 1 ) (t 2 ) t 1 < t 2 פרט למקרה כאשר t 1 = a ו t 2 = b והיא מסילה סגורה. הערה 6.1.8 מסילה פשוטה לא חייבת להיות סגורה, אבל היא יכולה. וכמו כן, היא לא חוצה את עצמה פרט למקרה של מסילה סגורה. הגדרה 6.1.9 מסילת ז ורדן: מסילה פשוטה וסגורה נקראת מסילת ז ורדן. נבחין כי אם : [a,b] R 2 מסילה ו: [a,b] [c,d] אז הצימצום של על [c,d] זה מסילה: : [c,d] R 2 כך ש: (t) (t) = כאשר [c,d].t 22
6.1. מסילות ותחומים פרק 6. מסילות 6.1.1.1 צירוף או מכפלה של מסילות תהיינה [a,b] R 2 ו: β : [b,c] R 2 כך ש: β(b) (b) = אז צירוף של המסילות,β, המסומן: β זו מסילה σ : [a,c] R 2 כך שהצמצומים: σ [a,b] = ו:.σ [b,c] = β הערה 6.1.10 נניח שיש שתי מסילות כך שנקודה סופית של מסילה אחת היא נקודת ההתחלה של מסילה שניה אבל הן מוגדרות על תחומים כלליים, אז עדיין ניתן להגדיר צירוף של שתי המסילות. כלומר כאשר: : [a,b] R 2 ו: σ [0, σ : [0,1] R כך ש: 1 β : [c,d] R 2 כך ש (b) β(c) = אז ניתן להגדיר מסילה β באופן הבא: 2] 2.β שקולה ל σ [ 1 2,1] שקולה ל ו: (t) = x(t)+iy(t) C (t) = x (t)+iy (t) 6.1.1.2 מסילה גזירה את הנגזרת של מסילה בC נגדיר באופן הבא: הגדרה 6.1.11 מסילה גזירה ברציפות (חלקה): מסילה : [a,b] R 2 נקראת גזירה ברציפות אם הנגזרת (t) קיימת לכל [a,b] t ופונקציה (t) רציפה ב.[a,b] וכמו כן, הנגזרת לא מתאפסת באף נקודה. הגדרה 6.1.12 מסילה גזירה ברציפות למקוטעין: מסילה : [a,b] R 2 נקראתגזירהברציפותלמקוטעיןאםקיימת חלוקה a = t 0 < t 1 <... < t n = b כך ש j+1] [tj,t גזירה ברציפות כאשר 0,...,n 1.j = (t) = e 2πit = cos(2πt)+ כך ש: : [0,1] C זהכל מסילה השקולה ל : 6.1.13 מעגל היחידה S 1 Èדוגמה isin(2πt) (כלומר גם ϕ,[0,2π] cosϕ+isinϕ היא מעגל היחידה). S 1 היא מסילה סגורה, פשוטה וגזירה ברציפות. הערה 6.1.14 כאן הוא דיבר על כך שאפשר להגדיר שמסילה גזירה ברציפות אם היא שקולה למסילה גזירה ברציפות. Èדוגמה : 6.1.15 C (t) = e 4πit, : [0,1] לא פשוטה לכן לא מעגל היחידה..(t) = e 2πi(1 t),[0,1] C : 6.1.16 Èדוגמה (t) = כאשר: : [0,1] C הוא מסילה שקולה ל z 1 z 2 C כאשר [z 1,z 2 ] : 6.1.17 קטע Èדוגמה (1 t)z 1 +tz 2 כאשר z 1 נקודת ההתחלה, z 2 נקודה סופית..[z 1,z 2,...,z m ] = [z 1,z 2 ] [z 2,z 3 ]... [z m 1,z m ] : 6.1.18 קו פוליגונלי: מסילהששקולהלמסילה: Èדוגמה 6.1.1.3 אורך של מסילה הגדרה 6.1.19 אורך של מסילה: בהינתן : [a,b] R 2 מסילה. נאמר ש בעלת אורך סופי אם קיים > 0 M כך שלכל חלוקה: a = t 0 < t 1 <... < t n = b מתקיים: n 1 (t k+1 ) (t k ) < M k=0 n 1 l() = sup (t k+1 ) (t k ) T k=0 במקרה זה, נגדיר את אורך המסילה להיות: 23
פרק 6. מסילות 6.1. מסילות ותחומים תכונות טענה 6.1.20 אם 1, 2 שתי מסילות בעלות אורך סופי והצירוף = 1 2 מוגדר אזי גם בעלת אורך סופי ו: = l().l( 1 )+l( 2 ) הוכחה: לא נוכיח. הערה 6.1.21 הוכחנו את זה באינפי 2 אם אני לא טועה. הסיכום באתר. טענה 6.1.22 תהי : [a,b] R 2 גזירה ברציפות למקוטעין, אזי היא בעלת אורך סופי ומתקיים: b l() = (t) dt a הערה 6.1.23 כלומר אם: a = t 0 < t 1 <... < t n = b כך ש ] k+1 [tk,t גזירה ברציפות, אזי: l() = n 1 t k+1 k=0 t k (t) dt נחזור על ההגדרות: 31/10/2012 הגדרה 6.1.24 תהי : [a,b] R 2 מסילה..[a,b] ורציפה ב t קיימת לכל (t) גיזרה ברציפות אם 1. a = τ 0 < τ 1 <... < τ n = b.2 אם בנוסף (t) 0 לכל τ אזי חלקה. 3. גזירה ברציפות למקוטעין אם קיימת חלוקה: כך שכל צמצום ] k+1 [τk,τ עבור n 1 k 0 מסילה גזירה ברציפות. l() = טענה 6.1.25 אם : [a,b] R 2 גזירה ברציפות למקוטעין אז בעל אורך סופי ומתקיים: b a (t) dt = n 1 k=0 τk+1 τ k (t) dt T = {a = t 0 < t 1 <... < t n = b} הוכחה: מספיק להוכיח כאשר גזירה ברציפות תהי: n 1 n 1 (t k+1 ) (t k ) = (x(t k+1 ) x(t k )) 2 +(y(t k+1 ) y(t k )) 2 k=0 k=0 חלוקה. נתבונן בסכום: 24
6.2. קבוצה קומפקטית פרק 6. מסילות אבל x,y הן פונקציות ממשיות וגזירות. לכן ממשפט לגראנז לכל k קיימות ] 1+k θ x k,θy k t] k,t כך ש: n 1 = (x (θk x))2 +(y (θ y k ))2 (t k+1 t k ) k=0.θ x k θy k כעת נשתמש ברציפות של x ו.y מכיוון שהן b אבל לא ממש כיוון ש a וזה כמעט סכום רימן ל (t) dt רציפות בקטע סגור [a,b] הן רציפותבמידה שווה (ממשפט קנטור באינפי 1). לכן, כאשר פרמטר החלוקה ישאף לאפס גם המרחק בין θx k ל θ y k ישאף לאפס ונקבל כי: = x (θk x)2 +y (θk x)2 (t k+1 t k )+ ε k (t k+1 t k ) b כאשר a כאשר ε k ε ו 0 ε כאשר פרמטר החלוקה 0.λ(T) לכן הביטוי הנ ל שואף לאינטגרל (t) dt 0 λ(t) היות וזה סכום רימן של החלוקה. 6.1.1.4 מסילה הפוכה הגדרה 6.1.26 מסילה הפוכה: תהי : [a,b] R 2 מסילה. המסילה : [a,b] R 2 המוגדרת ע י = (t) נקראת ההפוכה ל. (a+b t) הערה 6.1.27 (שלי) ברור כי האורך של מסילה הפוכה הוא האורך של המסילה המקורית. 6.1.2 תחומים הגדרה 6.1.28 תחום: קבוצה D R 2 תקרא תחום אם: 1. D קבוצה פתוחה..2 D קשירה מסילתית (כלומר, לכל נקודות z 1,z 2 D קיים קו פוליגונלי : [a,b] D כך ש (a) = z 1 ו:.(b) = z 2 6.2 קבוצה קומפקטית הגדרה 6.2.1 קבוצה E R 2 תקרא קומפקטית אם לכל כיסוי פתוח שלהת קיים תת כיסוי סופי. 6.2.1 תכונות תכונות אשר ראינו והוכחנו באינפי מתקדם 1 או טופולוגיה עבור קבוצות קומפקטיות: 1. במקרה של R, 2 מספיק שהקבוצה תהא סגורה וחסומה..2 אם E קבוצה קומפקטית ו f : E R 2 רציפה אז: (E) f קומפקטית. 3. פונקציה f רציפה על E, אזי f רציפה במידה שווה. הגדרה 6.2.2 רציפות במידה שווה: f תקרא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שלכל z 1,z 2 E מתקיים: z 1 z 2 < δ f (z 1 ) f (z 2 ) < ε 4. אם f : E R רציפה ו E קומפקטית אז f חסומה ומקבלת max ו min (משפט ויירשטראס). 25
6.3. סדרות פונקציות פרק 6. מסילות 6.3 סדרות פונקציות הגדרה 6.3.1 נאמר כי סידרה של פונקציות f n : E C מתכנסת במידה שווה ל f : E C אם לכל > 0 ε קיים :z E מתקיים לכל n N כך שלכל N N f n (z) f (z) < ε משפט 6.3.2 אם E קומפקטית וכל f n היא פונקציה רציפה וגם: f n f במ ש(במידה שווה) בE אזי f רציפה. הוכחה: f (z 1 ) f (z 2 ) f (z 1 ) f n (z 1 ) + f n (z 1 ) f n (z 2 ) + f n (z 2 ) f (z 2 ) אבל מרציפות במידה שווה האיברים הראשון והשלישי קטנים מ בסה כ נקבל כי: ε 3 כל אחד, ומרציפות f n גם האמצעי קטן מ ε 3 ולכן ε 26
פרק 7 אינטגרלים קווים 7.1 הגדרת האינטגרל הקווי תהי : [a,b] C מסילה ותהי f : C (כלומר מהתמונה של אל C, כמו כן, נבחין כי התמונה של חסומה ואף קומפקטית היות ו[ b,a] קטע קומפקטי). T = {a = t 0 < t 1 <... < t n = b} לכל חלוקה: וכל אוסף של נקודות: ] k+1 τ k [t k,t לכל n 1 k 0 נגדיר סכום אינטגרל: n 1 S T (f) = f ((τ k ))((t k+1 ) (t k )) k=0 הערה 7.1.1 לא צריך להיות כאן ערך מוחלט על אף שזה היה שונה באינטגרל קווי שראינו בעבר. אינטגרבילית על f הוא פרמטר החלוקה), נאמר כי λ(t) (כאשר lim הגדרה 7.1.2 אם קיים גבול: (f) λ(t) 0 S T f (z)dz = lim λ(t) 0 S T (f) ומתקיים: Èדוגמה : 7.1.3 אם (t) = t ו: u(t)+iv(t) f (t) = אז: S T (f) = S T (u)+is T (v) טענה 7.1.4 אם [a,b] t ו (t) = t וכמו כן מתקיים: u(t)+iv(t) f (t) = אז: b b קיימים ומתקיים: vdt ו: udt אם קיים fdz fdz = b a b udt+ a vdt a a 04/11/2012 27
פרק 7. אינטגרלים קווים 7.1. הגדרת האינטגרל הקווי טענה 7.1.5 אם מסילה : [a,b] C גזירה ברציפות ו: f : C רציפה אז קיים f (z)dz ומתקיים: b f (z)dz = f ((t)) (t)dt a הוכחה: נתבונן בסכום האינטגרלי של : f (z)dz n 1 n 1 S T (f) = f ((τ j ))((t j+1 ) (t j )) = f ((τ j ))[(x(t j+1 ) x(t j ))+i(y(t j+1 ) y(t j ))] j=0 j=0 j=0 כאשר: ] j+1.τ j [t j,t ממשפט מלגראנז קיימים ] j+1 θ x j,θy j [t j,t כך ש: n 1 = f ((τ j ))x ( n 1 θj) x (tj+1 t j )+i f ((τ j ))y ( θj) y (tj+1 t j ) j=0 כעת, הפונקציה f : [a,b] C היא רציפה כהרכבת רציפות. ולכן רציפה במידה שווה מכיוון שהיא רציפה על קטע סגור. לכן, לכל j קיים ε x j כך ש: f ((τ j )) = f ( ( θ x j)) +ε x j j=0. כמו כן, מתקיים 0 ε כאשר 0.λ(T) לכן, נתבונן על הסכום הראשון שקיבלנו: ε x ומתקיים: j ε n 1 f ((τ j ))x ( n 1 θj) x (tj+1 t j ) = f ( ( θj)) x x ( n 1 θj) x (tj+1 t j )+ ε x j x ( θj) x (tj+1 t j ) j=0 j=0 b כאשר 0.λ(T) ואליו הסכום השני שואף לאפס היות והפונקציה n 1 ε x j x ( θj) x (tj+1 t j ) εmax [a,b] x (b a) j=0 a הסכום הראשון, שואף ל f ((t))x (t)dt רציפה במ ש ולכן הנגזרת חסומה ולכן: n 1 f ((τ j ))x ( θj) x (tj+1 t j ) j=0 a b ולכן: f ((t))x (t)dt n 1 f ((τ j ))y ( θj) y (tj+1 t j ) j=0 a b ובאופן דומה, נקבל גם: f ((t))y (t)dt 28
פרק 7. אינטגרלים קווים 7.2. תכונות 7.2 תכונות טענה 7.2.1. f (z)dz = ומתקיים: f (z)dz אם קיים, f (z)dz והמסילה אזי גם קיים: f (z)dz הוכחה: זה נובע מייד מההגדרה של האינטגרל, היות והסכום האינטגרלי של עבור החלוקה: T = {a = t 0 < t 1 <... < t n = b} n 1 S T (f) = f ((τ j ))((t j+1 ) (t j )) [a,b] h : כךש: (t), (h(t)) = אזהסכוםהאינטגרלישל עבורהחלוקה: T = j=0 { } ã = t 0 < t 1 <... < t n = b הוא: [ ] אם קיים הומאומורפיזם עולה ã, b n 1 S T (f) = f ( ( τ j )) ( ( ) )) t j+1 ( t j = ST (f) j=0 המתקבלת מהחלוקה T כ ) j. t j = h(t היא: כיוון ש: ) j t j = h(t וגם: ) j.τ j = h(τ. f (z)dz = f (z)dz אזגם האינטגרלעלהמסילהההפוכה(נסמנה )קייםומתקיים: קיים, טענה 7.2.2 אם f (z)dz הוכחה: נובעת מההגדרה גם כן. תהי : [a,b] C מסילה. נסמן את המסילה ההפוכה: (a+b t). (t) = הסכום האינטגרלי של הוא: fdz n 1 f ( (τ j ) )( (t j+1 ) (t j ) ) n 1 = f ((a+b τ j ))((a+b t j+1 ) (a+b t j )) j=0 j=0 נסמן: t. n j = a + b t j (נבחין שהסדר שלהם מתהפכת מכיוון שהעתקה בינהם היא יודרת, לכן הגדרנו בטור n j באינדקס). ולכן נקבל כי: = S T (f) המינוס הוא מכיוון שהאינדקסים בסכום כעת הם הפוכים, לכן אנו מכפילים ב 1. T = {a = a+b t n <... < b = a+b t 0 } עבור החלוקה: טענה 7.2.3 (αf (z)+βg(z))dz = ומתקיים: (αf (z)+βg(z))dz קיים, אז f (z)dz + β אם g(z)dz קיים α. α f (z)dz g(z)dz +β S T (αf +βg) = αs T (f)+βs T (g) הוכחה: שוב מההגדרה, ומתקיים: 29
פרק 7. אינטגרלים קווים 7.2. תכונות טענה 7.2.4 אם קיים, fdz וכמו כן פונקציה f כך שקיים > 0 M, המקיים: f (z) M לכל z. וכמו כן, נניח כי בעלת אורך אזי: fdz Ml() n 1 S T (f) = f ((τ j ))((t j+1 ) (t j )) M (t j+1 ) (t j ) j j=0 הוכחה: n 1 M sup (t j+1 ) (t j ) = Ml() T j=0 b a f ((t)) (t)dt b f ((t)) (t) dt M (t) dt = Ml() b a a הערה 7.2.5 טענה 7.2.6 1 2 fdz = אזי קיים:.f : C מוגדר. וכמו כן: = 1 קיימים, וגם 2 2 ו: fdz 1 אם fdz. 1 fdz + 2 fdz הוכחה: נסמן: 1 : [a,b] C ו:. 2 : [b,c] C אנו מניחים כי מתקיים: (b). 1 (b) = 2 אם T 1 היא חלוקה של.(T 1 צירוף החלוקות,T 2 (כלומר T = T 1 T 2 אז, נסמן: [b,c] חלוקה של T 2 ו: [a,b] S T,1 2 (f) = S T1, 1 (f)+s T2, 2 (f) T היא חלוקה של הקטע [a,c] ומתקיים: ניתן להניח שבכל חלוקה של [a,c] הנקודה b היא אחת מנקודות החלוקה, אחרת נוסיף אותה. מסקנה 7.2.7 תהי : [a,b] C גזירה ברציפות למקוטעין ו f : C רציפה. אז קיים: ומתקיים: fdz fdz = b a f ((t)) (t)dt הערה 7.2.8 אם x(t)+iy(t) = ו: u(z)+iv(z),f (z) = אז באופן פורמלי נכתוב: f (z)dz = (u+iv)(dx+idy) = udx vdy +i udy+vdx קיימים. לכן, לומר ש קיים, f (z)dz זה לומר שהאינטגרלים udx vdy i+ udy +vdx 30
פרק 7. אינטגרלים קווים 7.2. תכונות Èדוגמה = 1 : 7.2.9 (z).f נתבונן באינטגרל:. dz נבחין כי: n 1 S T (1) = ((t j+1 ) (j j )) = (t n ) (t 0 ) = (b) (a) j=0 dz = (b) (a) כלומר: תרגיל נניח כי היא שפה של המשולש שקודקודיו A. 1 A, 2 A, 3 חשבו את: xdz, ydz zdz טענה 7.2.10 נוסחת ניוטון לייבניץ.z Ω לכל F (z) = f (z) כך ש Ω ב F פונקציה רציפה. נניח שקיימת פונקציה הולומורפית f : Ω C תחום, Ω אזי לכל מסליה (גזירה ברציפות למקוטעין) : [a,b] Ω מתקיים: f (z)dz = F ((b)) F ((a)) f (z)dz = b a b a f ((t)) (t)dt = b u (t)dt+i a b a F ((t)) (t)dt = b a F =u+iv (F ) {}}{ (t)dt = הוכחה: v (t)dt = (u(b) u(a))+i(v(b) v(a)) = (F )(b) (F )(a) 31
7.3. אינדקס פרק 7. אינטגרלים קווים 7.3 אינדקס : [a,b] ותהי.n Z כאשר f (z) = (z z 0 ) n ובפונקציה: Ω = C\{a} : 7.3.1 נתבונן בתחום: Èדוגמה Ω מסילה סגורה. (z z0)n+1 F (z) = מוגדרת והולומורפית בΩ ו: F (z) = (z z 0 ) n לכל.z Ω ולכן, n+1 עבור כל 1 n הפונקציה לפי הטענה: (z z 0 ) n dz = F ((b)) F ((a)) = 0 אבל זוהי מסילה סגורה, לכן (a) (b) = ולכן: הערה 7.3.2 בפרט, אם f פולינום ו מסילה סגורה אזי האינטגרל = 0 fdz תמיד. מה קורה כאשר 1 = n? אין לנו פונקציה קדומה לכל ln) z על מספרים שליליים). תהי : [0,1] Ω מעגל סביב.((t) = z 0 +Re 2πit (דהיינו: z 0 נחשב את האינטגרל: 1 dz = z z 0 0 1 (t)dt = (t) z 0 0 R2πi e 2πit dt R e 2πit = 2πi dz z z 0 = 2πi הערה 7.3.3 הכיוון פה חשוב. מסילה הפוכה תניב: הגדרה 7.3.4 אינדקס: אינדקס של נקודה z 0 ביחס למסילה סגורה : [a,b] C כך ש :z 0 / i(z 0,) := 1 dz 2πi z z 0.t [,1] כאשר (t) = z 0 +Re 2πit : 7.3.5 Èדוגמה i(z 0,) = +1 h(τ) = b dz (t)dt = z z 0 (t) z 0 τ a a (t) (t) z 0 dt, a τ b 32 טענה 7.3.6 (, i(z 0 הוא מספר ממשי שלם. הוכחה: נגדיר: 07/11/2012
פרק 7. אינטגרלים קווים 7.3. אינדקס (t) היא (t) z 0 אנו רוצים להראות כי h(b) = 2πi k כאשר.k Z פונקציה h היא פונקציה.h : [a,b] C פונקציה, מתקיים: (τ) (τ) z 0 רציפה למקוטעין. לכן, h היא פונקציה רציפה. לפי נוסחת ניוטון לייבניץ בכל נקודת רציפות τ של h (τ) = (τ) (τ) z 0 (τ) אפשר לגזור את g. נחשב את הנגזרת: (τ) z 0 נגדיר ) 0.g(τ) = e h(τ) ((τ) z ואז בכל נקודת רציפות τ של g (τ) = h (τ) }{{} (τ) (τ) z 0 e h(τ) ((τ) z 0 )+e h(τ) ( (τ)) = e h(τ) [ (τ)+ (τ)] = 0 פונקציה g רציפהב[ a,b ],גזירהברציפותלמקוטעין, והנגזרת 0 = (τ) g בכלנקודתגזירותשל g ולכן: = const g g(a) = e 0 ((a) z 0 ) = (a) z 0 לכן, g(a) = (a) z 0 וגם: g(b) = e h(b) ((b) z 0 ) = e h(b) ((a) z 0 ) e h(b) = 1 }{{} =g(a) 2πi i(z 0,) = h(b) = 2πik, k Z ולכן: הערה 7.3.7 מדובר בכמות סופית של נקודות אי רציפות. ולא כמות ממידה אפס לכן g באמת קבועה. טענה 7.3.8 K C קבוצה קומפקטית. מסילה. תהי פונקציה F : K C (הכוונה כאן לתמונה של, המקור הוא. (z,w) K רציפה לפי זוג ({(z,w) z, w L} עבור כל w K נגדיר: I(w) = F (z,w)dz אז I רציפה ב K. הערה 7.3.9 הכוונהברציפותלפינורמהב,C 2 לכל 0 > ε קיים 0 > δ כךשε z z 0 < δ F (z) F (z 0 ) < (כאשר (z,w) z = איבר במקור של הפונקציה). כמו כן הוא הוסיף: I(w) I(w 0 ) = F (z,w) F (z,w 0 )dz וכמו כן, אנו מניחים כי בעלת אורך. הוכחה: F רציפה על קבוצה קומפקטית K R 4 ולכן F רציפה במ ש. לכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שאם w 1,w 2 K וגם z 1 z 2 < δ אז: I(w 1 ) I(w 2 ) = F (z,w 1 ) F (z,w 2 ) < ε לכל.z ולכן, אם w 1 w 2 < δ אז: F (z,w 1 ) F (z,w z )dz sup F (z,w 1 ) F (z,w 2 ) l() εl() z לכן, I רציפה במידה שווה. 33
פרק 7. אינטגרלים קווים 7.4. משפט הקירובים מסקנה 7.3.10 z. Ω הוא מספר קבוע כאשר i(z,) אזי Ω = תחום כך ש Ω מסילה סגורה. i(z,) = 1 du 2πi u z F (u,z) = 1 u z הוכחה: נגדיר: כאשר כאן u ו F : Ω C.z Ω היא פונקצי רציפה כאשר (u,z) Ω מכיוון ש z u כיוון ש u וΩ z והחיתוך בין הקבוצות ריק. לכן, לכל קבוצה קומפקטית K, Ω לפי טענה קודמת i(z,) היא פונקציה רציפה לכל z. K מצד שני: Ω קבוצה קשירה מסילתית, ומכיוון ש K היא כל קבוצה קומפקטית בΩ אז מטענה קודמת i(z,) רציפה בΩ. ומכיוון ש i(z,) מקבלת רק ערכים שלמים, אזי היא קבועה. מסקנה 7.3.11 ברכיב קשירות לא חסום של,C\ האינדקס הוא 0. הוכחה: מצד אחד, הוא קבוע שם, מצד שני 0 i(z,) כאשר z. והרי: i(z,) = 1 du 2πi u z 1 u z 1 0 z u }{{} לכן: במידה שווה לפונקציה u כי קבוצה חסומה. 11/11/2012 7.4 משפט הקירובים משפט 7.4.1 הקירובים מסילה בΩ. : [a,b] Ω רציפה. f : Ω C תחום, Ω אזי לכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שלכל חלוקה b} T = {a = t 0 < t 1 <... < t n = נגדיר קו פוליגונלי = T ),(b)].[(a),(t 1 ),...,(t n 1 אם הפרמטר של החלוקה T מקיים λ(t) < δ אז: f (z)dz f (z)dz < ε T הערה 7.4.2 אנו מניחים שδ מספיק קטן כך ש. T Ω הוכחה: קיים > 0 d כך שלכל z מתקיים.B(z,d) Ω נבחין כי: d = dist(, Ω) = inf z w Ω { z w } > 0 34
פרק 7. אינטגרלים קווים 7.4. משפט הקירובים הערה 7.4.3 חיובי כי קבוצה קומפקטי, ו Ω קבוצה סגורה, אבל לא נחתכת עם ולכן המרחק הוא חיובי. כמו כן, אם Ω הוא כל המרחב אז השפה ריקה וכל d מתאים. כמו כן, בגלל ש קומפקטית אז גם בעיות של חסימות נפתרות. ( B z, d ) Ω 2 לכן לכל z מתקיים: 2) K.K = z B( z, d קומפקטית. מכיוון ש K חסומה (ברור) וגם K סגורה כיוון שאם u u n אז: נגדיר: ( u n B z n, d ) 2 אזי ניתן להניח ש: z n z ולכן: u n z n d 2 u z d 2 ( u B z, d ) K 2 ולכן: כמו כן, f רציפה על קבוצה קומפקטית K, לכן, f רציפה במידה שווה על K. נסמן: l() ρ. = יהי > 0 ε, קיים > 0 σ כך שלכל z,z K מתקיים: z z < δ f (z ) f (z ) < ε 2ρ קיים > 0 δ כך שלכל חלוקה T של [a,b] אם λ(t) < δ אז: לכל שתי נקודות τ 1,τ 2 כך ש: k+1,t k τ 1 τ 2 t מתקיים: { (τ 1 ) (τ 2 ) < min σ, d } 2 (מרציפות במידה שווה של פונקציית ). : [a,b] C נעריך עבור T K Ω (נבחין שכל נקודה של (t) T היא בין ) k (t ל ) k+1,(t אבל המרחק בין ) k (t ל w (t k ) wמתקיים: [(t k ),(t k+1 )] כלומר עבור כל (t k+1 )/ ו (t k ) הוא קטן מהמרחק בין T (t).( (t k+1 ) (t k ) < d 2 נגדיר: k = [tk,t k+1 ] n 1 fdz fdz = n 1 fdz fdz T k=0 k k=0 [(t k ),(t k+1 )] n 1 ( fdz fdz f ((t k ))dz k [(t k ),(t k+1 )] k k=0 [(t k ),(t k+1 )] f ((t k ))dz) לכן: 35
7.5. משפט קושי עבור משולש פרק 7. אינטגרלים קווים n 1 = (f (z) f ((t k )))dz k k=0 n 1 k=0 sup f (z) f ((t k )) z k }{{} ε 2ρ n 1 l( k )+ [(t k ),(t k+1 )] k=0 z [(t k ),(t k+1 )] הביטוי בסוגריים מתאפס בגלל נוסחת ניוטון לייבניץ. (f (z) f ((t k )))dz sup f (z) f ((t k )) (t k+1 ) (t k ) }{{} ε 2ρ n 1 ε 2ρ l( k ) +l() k=0 = ε 2ρ 2ρ = ε }{{} l()=ρ 7.5 משפט קושי עבור משולש {K n } סידרה של קבוצות קומפקטיות ב R d כך ש / n K n+1 K ומתקיים: תזכורת 7.5.1 תהי 0 < diam(k n ) = sup z 1,z 2 K n z 1 z 2 n 0 k n = {z 0 } n אזי: הגדרה 7.5.2 משולש: משולש: קבוצה סגורה חסומה עם שפה: [A,B,C,A] כך ש A,B,C לא שייכות לקו ישר. משפט 7.5.3 קושי עבור משולש נניח שפונקציה f מוגדרת והולומורפית בתחום Ω אזי: 0 = f (z)dz כאשר: = [A,B,C,A] הוכחה: az + bz2 ו 2 שלב ראשון נכון כאשר: f (z) = a + bz כי אז f פונקציה שלמה אשר בעלת פונקציה קדומה: מסילה סגורה. שלב שני עבור משולש σ נסמן: S =שטח σ המשולש ו: P =ההיקף σ של המשולש. נניח בשלילה שקיים משולש ו: > 0 δ כך ש: f (z)dz > δs נחלק את המשולש ל 4 משולשים שווים (4), (3), (2), (1) ע י הקווים התיכונים של. 36
פרק 7. אינטגרלים קווים 7.5. משפט קושי עבור משולש A B (3) C 1 B 1 (4) (1) (2) A 1 C fdz = 4 j=1 (j) fdz אזי: כאשר [A,B,C,A] = ו: (1) = [B,A 1,C 1,B] (2) = [A 1,C,B 1,A 1 ] (3) = [B 1,A,C 1,B 1 ] (4) = [C 1,A 1,B 1,C 1 ] נראה שעבור משולש אחד 1 בין (j) עבור = 1,2,3,4 j מתקיים: fdz > δs 1 1 f (j)fdz δs (j) נניח בשלילה שלכל = 1,2,3,4 j מתקיים: fdz = 4 j=1 (j) fdz 4 4 fdz δs (j) = δs (j) j=1 j=1 אז: סתירה. נבחין כי: S S 1 = 1 4 וכמו כן: P.P 1 = 1 2 נעשה את אותה הבניה במשולש 1 ונקבל משולש 2 כך ש 1 P P 2 = 1 2 ומתקיים: 1 S S 2 = 1 4 וגם: 1 2 ומתקיים: fdz > δs 2 2 כך למעשה נקבל סידרה של משולשים n כך ש 1+n n וכמו כן: S n+1 = 1 4 S n = 1 4 n+1s P n+1 = 1 2 P n = 1 2 n+1p 37
7.5. משפט קושי עבור משולש פרק 7. אינטגרלים קווים fdz > δs n n ומתקיים: n diam.כעת, n < P } n } סדרה יורדת של קבוצות קומפקטיות לכן קיים: n אבל אנו יודעים כי 0 n = {z 0 } Ω f (z) = f (z 0 )+f (z 0 )(z z 0 )+α(z)(z z 0 ) אבל נבחין כי f גזירה ב z 0 לכן: כאשר α פונקציה אפסית כלומר 0 α(z) כאשר.z z 0 מהשלב הראשון אנו יודעים כי: 0 = (f (z 0 )+f (z 0 )(z z 0 ))dz n ולכן: δs n < f (z)dz = [f (z) (f (z 0 )+f n (z 0 )(z z 0 ))]dz = n α(z)(z z 0 )dz sup α(z)(z z 0 ) P n < sup α(z) (P n ) 2 = sup α(z) P2 n z n z n z n 4 n לכן עבור כל n מתקיים: δ S 4 n < sup α(z) P2 z n 4 n sup α(z) > z n ( δ S P 2 ) > 0 לכן: מצד שני: sup α(z) 0 z n n. z z 0 < P n n כי: 0 14/11/2012 הגדרה 7.5.4 מעגל: מעגל סביב נקודה z 0 ברדיוס R מסומן ע י: (R,.S(z 0 זו מסילה השקולה למסילה: : [0,2π] C (t) = z 0 +Re it 38
פרק 7. אינטגרלים קווים 7.5. משפט קושי עבור משולש מסקנה 7.5.5 ממשפט קושי עבור משולש (7.5.3).1 תהי f הולומורפית ב Ω שמכיל,R) B(z 0 אזי: f (z)dz = 0 S(z 0,R).2 תהי f הולומורפית ב,r δ) B(z 0,R+ε)\B(y 0 כאשר,R) B(y 0,r) B(z 0 אז: f (z)dz = fdz S(z 0,R) S(y 0,z) הוכחה: 1. לפי משפט הקירובים. מספיק להוכיח שלכל קו פלויגונלי סגור S T ב (R, B(z 0 עם הקודקודים על (R, S(z 0 מתקיים: 0 = fdz S T נסמן: =A n {}}{ S T = A 0,A 2,...,A n 1, A 1 n 1 fdz = S T k=0 [z 0,A k,a k+1,z 0] נבחין כי: fdz (מכיוון שעל כל קוטר שנוצר בין A k ל z 0 אנו עוברים פעמיים, פעם אחת בכל כיוון). המשולשים עם השפה ] 0 [z 0,A k,a k+1,z מוכלים ב,R) B(z 0 לכן גם ב Ω ולכן לכל k מתקיים: 0 = fdz [z 0,A k,a k+1,z 0] ממשפט קושי עבור המשולש. A 0 A 1 39
פרק 7. אינטגרלים קווים 7.6. נוסחת ההצגה של קושי 2. כעת, במקום להסתכל על משולשים נסתכל על הריבועים שנוצרים מהקירובים בין שני המעגלים. כלומר, נעביר 1 n l} {k כאשר n גדול וזוית בין קרניים צמודות היא 2π n (והן מסודרות נגד כיוון דרך נקוה n y 0 קרניים k=0 השעון), נסמן ע י A k ו B k את נקודות החיתוך של l k עם (R, S(z 0 ו (z,.s(y 0 לפי משפט הקירובים: fdz = fdz lim n [A 0,A 1,...,A n 1,A 0] S(z 0,R) lim fdz = fdz n [B 0,B 1,...,B n 1B 0] S(y 0,r) וגם: [A 0,A 1,...,A n 1,A 0] ולכן מספיק להוכיח עבור 1 n ש: fdz fdz = 0 [B 0,B 1,...,B n 1,B 0] הערה 7.5.6 ה 1 n זה כדי שנהיה בתחום שבו f הולומורפית. [A 0,A 1,...,A n 1,A 0] fdz fdz = [B 0,B 1,...,B n 1,B 0] n 1 k=0 [B k,a k,a k+1,b k+1,b k ] fdz כעת: אבל כל אינטגרל בסכום מתאפס, מכיוון שעבור 1 n מדובר בקו פוליגונלי סגור בתחום הולומורפי, ולכן האינטגרלים מתאפסים. דהיינו, עבור כל k מרובע P k עם השפה ] k [B k,a k,a k+1,b k+1,b נמצא בתחום ההולומורפי של,f לכן ממשפט קושי עבור המשולש מתקבל כי: fdz = fdz + fdz = 0+0 = 0 [B k,a k+1,b k+1,b k ] [B k,a k,a k+1,b k+1,b k ] [B k,a k,a k+1,b k ] 7.6 נוסחת ההצגה של קושי משפט 7.6.1 נוסחת ההצגה של קושי תהי f הולומורפית בתחום Ω שמכיל כדור סגור B(a,R), אז לכל נקודה B(a,R) z 0 אזי: f (z 0 ) = 1 f (z) dz 2πi S(a,R) z z 0 18/11/2012 40
7.6. נוסחת ההצגה של קושי פרק 7. אינטגרלים קווים תרגיל: למשפט קושי (עבור מלבן). נחשב: g(λ) = e ax2 e iλx dx זהו טרנספורם פורייה של e. ax2 אם נגדיר: F (z) = e az2 e iλz F (x+iy) = e a(x2 y 2 )+λy e i(2axy+λx) אז קיבלנו פונקציה שלמה. אם נציב: z = x+iy נקבל: על כל קטע [ R,R] נקבל מלבן אשר חסום עם y 0 מסויים. שהאינטגרל עליו מתאפס ממשפט קושי. אבל איזה y 0 נבחר? נבחין כי באקספוננט המרוכב למעשה כתוב לנו: (λ+,x(2ay לכן נרצה לבחור y. 0 = λ 2a S(z 0,r) ϕdz = ϕ(z) = f (z) z z 0 הוכחה: נגדיר פונקציה: אז ϕ הולומורפית ב } 0.Ω\{z לפי המסקנה ממשפט קושי (חלק 2), עבור כל > 0 r מספיק קטן: ϕdz = ϕdz S(z 0,r) S(a,R) S(z 0,r) f (z) f (z 0 ) dz = dz + z z 0 S(z 0,r) z z 0 I(r) max z z 0 =r f (z) f (z 0 ) dz = S(z 0,r) z z 0 }{{} I(r) נבחין כי: dz f (z 0 ) +I(r) = 2πif (z 0 )+I(r) S(z 0,r) z z 0 נרצה להראות כי 0 I(r) כאשר 0,r : f (z) f (z 0 ) z z 0 2πr 0 r 0 f (z) f (z 0 ) lim = f (z 0 ) z z 0 z z 0 הביטוי בערך מוחלט חסום מכיוון ש: עבור = 1 ε קיים > 0 0 r כך ש: z z 0 < r 0 f (z) f (z 0 ) f (z 0 ) z z 0 < 1 f (z) f (z 0 ) z z 0 f (z 0 ) +1 = M S(a,R) f (z) z z 0 dz = 2πi f (z 0 ) אזי: = 0 I(r) לכל z טן ו: 41
פרק 8 טורי חזקות 8.1 תזכורת ראינו באינפי כי בהינתן, a n (x x 0 ) n אז תחום ההתכנסות שלו הוא קטע. אבל אנו לא רוצים להסתכל על x ממשי, אלא מרוכב, נקבל כי תחום ההתכנסות יהיה כדור. לדוגמה נרצה להסתכל על הטור של: x+1 2, הוא מתכנס בתחום (1,1 ), אבל כאשר נסתכל על x מרוכב, הוא יתכנס בכדור ברדיוס 1, ועל השפה של העיגול הזה, יש נקודה i שעבורו הביטוי בתוך השורש מתאפס. וסביב 0 אי אפשר להגדיר את z (נראה בהמשך). לכן, סביב נקודה זו, אי אפשר להמשיך את הפונקציה, שוב, את כל זה נראה בהמשך. 8.2 התכנסות של טורים מתכנס אם u n סדרה של מספרים מרוכבים, נאמר כי הטור: u} n } 0=n n 1 S n = u k, n = 1,2,... k=0 הגדרה 8.2.1 התכנסות טורים: אם הסידרה של סכומים חלקיים: מתכנסת ל S. טענה 8.2.2 קריטריון קושי טור u n מתכנס אם ם לכל > 0 ε קיים N N כך שלכל m > n > N מתקיים: m 1 u k < ε k=n מסקנה 8.2.3 אם טור u n מתכנס בהחלט (כלומר < n u מתכנס) אזי u n מתכנס. הערה 8.2.4 זה נובע ישירות מאי שיוויון המשולש. 42
8.3. טורי חזקות פרק 8. טורי חזקות הגדרה 8.2.5 התכנסות במידה שווה: נאמר כי f n f על קבוצה E במידה שווה אם: ε > 0 n 0 n > n 0 z E f n (z) f (z) < ε כמו כן, נתבונן בטור פונציונאלי: u n (z) כאשר 0=n u} n {(z) פונקציות מרוכבות המוגדרות עלקבוצה E. נאמר כי הטור מתכנסבמידה שווה ב E אם סידרה: n 1 S n (z) = u k (z), n 1 k=0 מתכנסת במידה שווה בקבוצה E. טענה 8.2.6 פונקציה רציפה על E. אם בנוסף כל u n רציפה על E אזי גם הסכום: n(z) 0=n u 8.2.1 קריטריון ויירשטרס משפט 8.2.7 קריטריון ויירשטרס {a n } המקיימת 0 n,a כך ש: < n. a ולכל n > n 0 ולכל z E מתקיים: נניח שקיימת סדרה מתכנס במידה שווה בE. מתכנס ל S(z) (מכיוון שטור עם איברים גדולים יותר מתכנסים). אבל ε > 0 n 0 m > n > n 0 m 1 k=n u n (z) אזי: u n (z) a n הוכחה: עבור כל z E הטור (z) u n a k < ε למה ההתכנסות במ ש? לפי קריטריון קושי: m 1 m 1 u k (z) u k (z) k=n k=n m 1 k=n a k < ε לכן, לכל :z E אבל זה נכון לכל m, > n לכן אפשר להסתכל בגבול m. ומכאן: ε > 0 n 0 n > n 0 z E u k (z) ε אבל נבחין כי מה שכתוב בערך המוחלט זה: (z).s(z) S n כלומר זהו בדיוק קריטריון קושי להתכנסות במ ש. k=n 8.3 טורי חזקות a n (z z 0 ) n טורי חזקות הנם טורים מהצורה: 43
8.3. טורי חזקות פרק 8. טורי חזקות כאשר: {a n } C וגם:.z 0 C 8.3.1 משפט Abel משפט Abel 8.3.1 מתכנס עבור איזשהו z, 1 z 0 אזי הוא מתכנס בהחלט ובמידה שווה בכל כדור סגור: אם טור a n(z z 0 ) n B(z 0,r) = { z z 0 r} מתכנס ב z, 1 לכן קיים M כך ש: n 0 a n (z 1 z 0 ) n M כאשר 0.r < z 1 z הוכחה: a n (z z 0 ) n נקח r כך ש. z 1 z 0 > r אזי לכל,r) z B(z 0 מתקיים: n ( ) a n (z z 0 ) n = a n (z 1 z 0 ) n z z 0 n r z 1 z 0 M = MΘ n z 1 z 0 Θ = r z 1 z 0 < 1 כאשר: מתכנס בהחלט ובמ ש ב מתכנס כי < 1.Θ לכן, לפי קריטריון ויירשטרס הטור a n (z z 0 ) n הטור: MΘ n.b(z 0,r) מסקנה 8.3.2 לכל טור חזקות קיים מספר + R 0 (רדיוס התכנסות של הטור) כך שהטור מתכנס במ ש בהחלט בכל כדור. z z 0 > R כך ש: z ומתבדר עבור כל,{ z z 0 r r < R} מסקנה 8.3.3 אם < R R) הוא רדיוס ההתכנסות של טור חזקות ( a n (z z 0 ) n אזי עבור כל z כך ש z z 0 > R הסידרה: {a n (z z 0 ) n } לא חסומה. כלומר, לא קיים M כך ש: a n (z z 0 ) n M lim n c n = sup{c c nk c} lim n c n = inf{c c nk c} לכל n. תזכורת,c n R 8.3.4 8.3.2 נוסחת קושי הדמר 44
8.3. טורי חזקות פרק 8. טורי חזקות R = משפט 8.3.5 נוסחת קושי הדמרד נתון ע י: 1 הרדיוס ההתכנסות של טור חזקות a n (z z 0 ) n lim n a n 1 /n 1 1 z = z n המשפט יוכח תרגול. Èדוגמה : 8.3.6 רדיוס ההתכנסות הוא = 1 R וקל לראות כי אז הטור באמת לא חסום. Èדוגמה : 8.3.7 z n n n=1 2 z n n גם כאן, = 1.R Èדוגמה : 8.3.8 n=1 רדיוס ההתכנסות הוא = 1 R. הטור גם מתכנס ב 1 = z, אבל לא ב = 1 z. (לא בטוח, אבל יש תחושה של המרצה שהוא גם לא מתכנס באף נקודה אחרת על השפה). שווים. ו: n 1 na n z n=1 מסקנה 8.3.9 מקושי הדמרד רדיוס ההתכנסות של הטורים: a n z n lim na n 1 /n 1 = lim a n 1 /n 1 = lim a n 1 /n n n n, lim ולכן: n n1 /n הוכחה: מכיוון שמתקים = 1 תרגיל: אפשר להסתכל על טור: f (z) = z 2n = z +z 2 +z 4 +z 8 +z 16 +... z n = 1 1 z f (z) = z +f ( z 2) עדיין מתקיים = 1.R אפשר לראות כי: 45
8.4. פונקציה אנליטית פרק 8. טורי חזקות. a n cosϕ נתבונן בטור:,a n R Èדוגמה 8.3.10 טורי פורייה: Re a n z n = a n r n cos(nϕ) כאשר. z = r 8.4 פונקציה אנליטית הגדרה 8.4.1 תהי f פונקציה מוגדרת בתחום f Ω, נקראת אנליטית בΩ אם באופן מקומי f היא הסכום של טור חזקות. כלומר,לכלΩ z 0 קייםטורחזקות a n (z z 0 ) n כךש f היאהסכוםשלטורזהבאיזשהוכדורסביב( ε,.b(z 0 נרצה להוכיח את שני המשפטים הבאים: משפט 8.4.2 סכום של טור חזקות הוא פונקציה הולומורפית בעיגול ההתכנסות. מסקנה 8.4.3 כל פונקציה אנליטית היא הולומורפית. משפט 8.4.4 כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית. 21/11/2012 8.5 רציפות במידה שווה 8.5.1 אינטגרציה במידה שווה טענה 8.5.1 1=n f} n } סדרה של פונקציות המוגדרות ורציפות על ומתקיים: f n f במ ש על. אז מתקיים: בהינתן מסילה, lim f n dz = fdz n f n fdz sup f n f l() 0 n הוכחה: באופן שקול, ניתן לטעון: טענה 8.5.2 אם 0 n ו u n פונקציות רציפות על מסילה כך ש: S(z) = u n (z) כאשר הטור מתכנס במ ש על אזי מתקיים: S(z)dz = u n (z)dz 46
פרק 8. טורי חזקות 8.5. רציפות במידה שווה מסקנה 8.5.3 תהי: f (z) = a n (z z 0 ) n בעיגול ההתכנסות B של הטור. אזי, עבור כל מסילה ב B שמתחילה ב z 0 ומסתיימת a n (w z 0 ) n+1 f (z)dz = n+1 בנקודה w B מתקיים: f (z) = a n (z z 0 ) n 8.5.2 גזירה איבר איבר משפט 8.5.4 גזירה איבר איבר בעיגול ההתכנסות R} B = { z z 0 < אז f גזירה בכל נקודה z B ומתקיים: f (z) = na n (z z 0 ) n 1 n=1 אם: הוכחה: לפי נוסחת קושי הדמרד, רדיוס ההתכנסות של טור החזקות של הנגזרת שווה ל R. בפרט, לכל z B מתקיים: na n (z z 0 ) n 1 n 0 f (z) f (w) z w f (z) = S n (z)+r n (z) S n (z) = r n (z) = ( Sn (z) S n (w) f 1 (w) = z w ניתן להניח ש = 0 0 z. נוכיח שf גזירה בנקודה w: B n 1 a k z k k=0 a k z k k=n = (z) f 1 עבור.z B מתקיים: נסמן: n 1 na n z n=1 S n (w) ) +(S n (w) f 1(w))+ r n(z) r n (w) z w כעת, S n הוא פולינום. ולכן לכל n מתקיים: ( ) Sn (z) S n (w) lim S z w z w n(w) = 0 47
8.6. פונקציה הולומורפית היא אנליטית פרק 8. טורי חזקות בנוגע ל r, n מכיוון שהטור מתכנס בהחלט, ניתן לרשום: r n (z) r n (w) z w = z k w k a k z w = ( a k z k 1 +z k 2 w+...+zw k 2 +w k 1) k=n k=n כעת, מתקיים:, z, w ρ < R ולכן: k 1 z k j w j 1 ρ ולכן נקבל: r n (z) r n (w) z w k a k ρ k 1 k=n n 0 מתכנס בהחלט בעיגול ההתכנסות R},{ z < לכן < n 1, n a n z וקיבלנו כי n=1 מכיוון שהטור n 1 na n z הביטוי לעיל הוא שארית של טור מתכנס בהחלט. (בפרט, לכל z קרוב לw ). נעבור לאיבר k=1 rn(z) rn(w) z w אזי, לכל > 0 ε קיים n 0 כך שלכל n n 0 מתקיים < ε האחרון בביטוי לעיל: n 1 S n (w) f 1(w) = ka k w k 1 ka k w k 1 = ka k w k 1 k=1 k=n n 0 ושוב, עבור w נתון זוהי שארית של טור מתכנס, בפרט עבור n 1 n 0 מתקיים: S n(w) f 1 (w) < ε הערה 8.5.5 הוכחה זהה לחלוטין להוכחה עבור ממשיים. מסקנה 8.5.6 אם f (z) = a n (z z 0 ) n בעיגול ההתכנסות B אזי f גזירה ב B אינסוף פעמים ולכל :m N f (m) (z) = n(n 1)...(n m+1)a n (z z 0 ) n m n=m ובפרט כל פונקציה אנליטית היא גזירה אינסוף פעמים. 8.6 פונקציה הולומורפית היא אנליטית משפט 8.6.1 תהי f הולומורפית בתחום Ω. אזי f אנליטית ב Ω. במילים אחרות, אם B(z 0 (r, Ω אזי קיים טור חזקות: סביב נקודה, a n (z z 0 ) n,z 0 שמתכנס ל f ב,r).B(z 0 הוכחה: לפי נוסחת ההצגה של קושי עבור (r, B(z 0 מתקיים לכל (r, w: B(z 0 f (w) = 1 f (z) 2πi S(z 0,r) z w dz 25/11/2012 48
8.6. פונקציה הולומורפית היא אנליטית פרק 8. טורי חזקות נבחין כי: 1 z w = 1 (z z 0 ) (w z 0 ) = 1 z z 0 1 1 w z0 }{{} = z z 0 w z 0 <1 z z 0 1 z z 0 ( w z0 z z 0 ) n ולכן: המעבר האחרון הוא סכום של טור הנדסי, כמו כן: 0 w z 0 < z z מכיוון ש w בפנים של הכדור (r, B(z 0 ואילו z על המעטפת. f (w) = 1 2πi S(z 0,r) ( ) n f (z) w z0 dz z z 0 z z 0 אבל בתוך האינטגרל זה טור המתכנס במידה שווה עבור (r, z S(z 0 כי: θ := w z 0 z z 0 = w z 0 < 1 r max f (z) f (z) z z 0 S(z 0,r) = M r ולכן: ( ) n f (z) w z0 M θ n z z 0 z z 0 ואז נקבל כי: ומתקיים: f (w) = 1 2πi S(z 0,r) Mθ n < θ ולכן, מקריטריון ויירשטרס הטור מתכנס במ ש עבור z. לכן, נקבל כי: f (z)(w z 0 ) n (z z 0 ) n+1 dz = a n (w z 0 ) n a n = 1 f (z) 2πi S(z 0,r) (z z 0 ) n+1dz כאשר: הערה 8.6.2 התכנסות במ ש על הכדור הסגור היא כי ניתן לקחת כדור עם רדיוס קצת יותר גדול, מכיוון שהוא מוכל בקבוצה פתוחה. f (m) (z 0 ) = m! f (z) 2πi S(z 0,r) (z z 0 ) m+1dz מסקנה 8.6.3 49
8.6. פונקציה הולומורפית היא אנליטית פרק 8. טורי חזקות.a m = f(n) (z 0) m! עבור 0 m. מכיוון ש: = (z) f בתחום,D) B(z 0 (כלומר הטור מתכנס הערה 8.6.4 תחת התנאים של המשפט מתקיים: a n (z z 0 ) n.d = inf בתחום) כאשר, Ω) w Ω z 0 w = dist(z 0 מסקנה נוספת מכך, היא מהמקרה הפרטי של = 1 m, ונקבל את משפט :Liouville 8.6.1 משפט Liouville משפט 8.6.5 משפט Liouville כל פונקציה f שלמה (כלומר הולומורפית ב C) וחסומה (כלומר, קיים M כך ש f (z) M לכל z C היא קבועה. הוכחה: מספיק להוכיח שלכל z 0 C מתקיים: = 0 ) 0.f (z במקרה שלנו,Ω = C לכן, עבור כל > 0 :R f (z 0 ) = 1 f (z) 2πi (z z 0 ) 2dz S(z 0,R) 0 f (z 0 ) 1 M 2π R 2 2πR = M R ולכן: p(z) = z d +a 1 z d 1 +...+...a d לכל > 0,R לכן: (z) = f.0 מסקנה חשובה היא: 8.6.2 המשפט היסודי של האלגברה משפט 8.6.6 המשפט היסודי של האלגברה כל פולינום ממעלה d 1 הוא בעל שורש. הוכחה: 1 ϕ (z) = 1 ρ(z) נניח בשלילה ש: 0 p(z) לכל z. C נגדיר פונקציה: אז ϕ פונקציה שלמה. מצד שני, היא חסומה. ואומנם, קיים: 1 lim ϕ(z) = lim z z z d +... = 0 z d +a 1 z d 1 +...+a d z d מדוע? מכיוון שמאי שיוויון המשולש נקבל: ) d d a k z d k = z (1 d a k z k k=1 ולכן כאשר z נקבל כי הביטוי בסוגריים שואף ל 1 ולכן זה מתנהג כמו z. d 50 k=1
8.6. פונקציה הולומורפית היא אנליטית פרק 8. טורי חזקות תרגיל z אז: p(z) z d כלומר: p(z) z d 1 z לכן, קיים > 0 R כך ש: z > R מתקיים 1. ϕ(z) ϕ רציפה ב B(0,R) ולכן ϕ חסומה ב.B(0,R) אזי ϕ שלמה וחסומה, לכן ϕ קבועה. ולכן גם מסקנה 8.6.7 כל פונקציה הולומורפית בתחום Ω היא אנליטית ב Ω וההפך. בפרט כל פונקציה הולומורפית היא גזירה פעמים. p = 1 ϕ קבוע. וזו סתירה (מכיוון שp ממעלה לפחות 1). 51
פרק 9 פונקציות קדומות 9.1 הגדרות ותכונות בסיסיות הגדרה 9.1.1 תהי f פונקציה המוגדרת בתחום Ω. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f ב Ω אם F הולומורפית ב Ω ו: F (z) = f (z) לכל.z Ω טענה 9.1.2.z Ω לכל F 1 (z) F 2 (z) = c כך ש c אם ם קיים Ω בתחום f שתי פונקציות קדומות של ו F 2 F 1 הערה 9.1.3 ההפך כמובן אם כ פונקציה קדומה של f קטן, אזי לכל קבוע F c+ c, גם פונקציה קדומה. F (z) = f (z) f (z) = 0 הוכחה: נסמן: F = F 1 F 2 אזי: לכל Ω. z Ω הוא תחום, לכן F קבוע. הכיוון השני הוא ברור. משפט 9.1.4 תהי f פונקציה הולומורפית בכדור (R, B(z 0 (באופן יותר כללית בתחום קמור Ω). אז f בעלת פונקציה קדומה בכדור. F (z) = f (w)dw [z 0,z] הוכחה: נגדיר לכל,R) :z B(z 0 נוכיח כי F גזירה ב z וכי מתקיים: (z).f (z) = f נתבונן בנקודה קרובה z z + הקרובה לz. המשולש עם הקודקודים z 0,z,z z + מוכל בכדור פתוח. ולכן, לפי משפט קושי עבור המשולש מתקיים: f (w)dw = 0 [z 0,z+ z,z,z 0] F (z + z) F (z) = [z 0,z+ z] f (w)dz + f (w)dw = f (w)dw [z,z 0] [z,z+ z] לכן: 52
9.1. הגדרות ותכונות בסיסיות פרק 9. פונקציות קדומות F (z + z) F (z) f (z) z = [z,z+ z] ולכן: f (w)dw f (z)dw = f (w) f (z)dw [z,z+ z] [z,z+ z] F (z + z) F (z) f (z) z sup f (w) f (z) z w [z,z+ z] נקח ערך מוחלט ונקבל: = o( z ) לפי רציפות של f בנקודה z נקבל כי: (מכיוון שכל w בקטע קרוב עד כדי z לz לכן מרציפות (z) f (w) f קטנים מספיק). מסקנה 9.1.5 משפט קושי כללי בכדור אם f הולומורפית בכדור B, אזי עבור כל מסילה סגורה ב B מתקיים: f (z)dz = 0 הוכחה: : [a,b] B מסילה, אז: f (z)dz = F ((b)) F ((a)) = F ((a)) F ((a)) = 0 כאשר F פונקציה קדומה של f ב B. 53