ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ , Β =

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ 1ο ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ Δίνονται οι πίνακες: Α = 1 1 1 1, Β = 1 α. Να υπολογίσετε τον πίνακα 3Α - 4Β. β. Να υπολογίσετε τον πίνακα Χ έτσι ώστε να ισχύει:α + Χ = 3Β Moνάδες 10 γ. Να υπολογίσετε τον πίνακα Α + Β. ΘΕΜΑ ο Να παραγωγίσετε τις παρακάτω συναρτήσεις: α. f : R R με f(x) = 3x 3 + 4x 5x. Mονάδες 5 β. f : R R με f(x) = (x 1) (x + 1). Mονάδες 8 γ. f : R {1 } R με f(x) = Μονάδες 1 x + 1 x 1. ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f(x) = 3x + 1. 6x α. Να την εξετάσετε ως προς την μονοτονία. Μονάδες 1 β. Να βρείτε σε ποιο σημείο η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και να το υπολογίσετε. Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 4ο ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Εξετάσαμε 0 οικογένειες ως προς τον αριθμό των παιδιών που έχουν. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Αριθμός παιδιών (x i ) Οικογένειες (v i ) 0 3 1 5 8 3 3 4 1 ΣΥΝΟΛΟ 0 α. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή. β. Να βρείτε τη μέση τιμή. γ. Να κατασκευάσετε τον πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων και να βρείτε πόσες οικογένειες έχουν λιγότερα από τρία παιδιά. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ 1ο ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ Δίνονται οι πίνακες:α = 3 4 3 1 3, Β = 1 α. Να υπολογίσετε τον πίνακα -A + 3B β. Να υπολογίσετε τον πίνακα Χ έτσι ώστε να ισχύει: 3Α - Χ = Β γ. Να υπολογίσετε τον πίνακα Α + AΒ ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις:f : IR IR με f(x) = x 3 + 5 και g : IR IR με g(x) = x + 1 α. Να βρείτε την f (x) και την g (x) Μονάδες 5 β. Να βρείτε την [f(x). g(x)] Μονάδες 10 γ. Να βρείτε την f (x) g(x) ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f : IR IR με f(x) =-4(x + 1) + 16x-9 α. Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία. Μονάδες 1 β. Να βρείτε το ακρότατο της συνάρτησης. Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 4ο Ρωτήσαμε 50 εργαζόμενους μιας εταιρείας ως προς τις μηνιαίες αποδοχές τους. Τα αποτελέσματα φαίνονται στις δύο πρώτες στήλες του παρακάτω πίνακα: ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Αποδοχέ ς σε Ευρώ (x i ) Αριθμός εργαζομέ νων (v i ) Αθροιστ ική συχνότη τα Σχετική Συχνότη τα (f i ) Σχετική αθροιστ ική συχνότη τα v i x i 800 6 900 17 1000 1 1100 8 100 7 Aθροίσμ ατα 50 α. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να συμπληρώσετε τις κενές στήλες. Μονάδες 15 β. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή. γ. Να βρείτε τη μέση τιμή. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 09 ΙΟΥΝΙΟΥ 004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ 1 ο α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο των συναρτήσεων: 1) f 1 (x)=x lnx, x>0 ) f (x)= x + 1 x e β) Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο των συναρτήσεων: 1) g 1 (x)=ηµx-συνx Μονάδες 8 ) g (x)=5x 3-7x +x+004 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ο α) Να υπολογίσετε το όριο lim x 3 3x 9x x 3, x 3 β) ίνεται η συνάρτηση µε τύπο: f(x) = x λx 3 1 λ,, x 1 x > 1 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 1) Να υπολογιστεί το ) Να υπολογιστεί το lim f(x) Μονάδες 4 x 1 limf(x) x 1 + Μονάδες 4 3) Να βρεθούν οι τιµές του λ, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο x 0 =1. ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η συνάρτηση µε τύπο f(x)=x 3-1x Μονάδες 7 α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη µονοτονία. Μονάδες 13 β) Να εξετάσετε για ποιες τιµές του x η συνάρτηση έχει ακρότατα. Μονάδες 6 γ) Για κάθε θέση ακρότατου, να υπολογίσετε την τιµή της συνάρτησης. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 4 ο Εξετάσαµε δείγµα 50 κατοίκων µιας πόλης, ως προς τον αριθµό των πιστωτικών τους καρτών. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Αρ. πιστ. Καρτών x i Συχνότητα v i 0 8 1 0 11 3 7 4 4 Αθροίσµατα 50 Αθροιστική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα f i x i v i ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ α) Να µεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συµπληρώσετε. β) Να βρείτε τη µέση τιµή του δείγµατος των 50 κατοίκων. γ) Πόσοι κάτοικοι έχουν περισσότερες από δύο κάρτες; δ) Να σχεδιάσετε το κατακόρυφο ραβδόγραµµα συχνοτήτων. Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καµιά άλλη σηµείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε απάντηση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία (1) ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΡΙΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει τις ώρες χρήσης των κινητών τηλεφώνων 50 υπαλλήλων μιας εταιρείας για ένα μήνα: Ώρες x i Συχνότητα v i [0 ) 5 [ 4) 10 [4 6) 0 [6 8) 10 [8-10) 5 Αθροίσματα Αθροιστική Συχνότητα Μέσο ιαστήματος K i v i K i α) Να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε. Μονάδες 6 β) Να βρείτε τη μέση τιμή των ωρών χρήσης των κινητών τηλεφώνων. Μονάδες 6 γ) Πόσοι υπάλληλοι της εταιρείας χρησιμοποιούν το κινητό τους τηλέφωνο λιγότερο από έξι (6) ώρες το μήνα; δ) Να βρείτε τη διακύμανση της παραπάνω κατανομής. Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΘΕΜΑ ο ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f(x) = x 1, 3 x - 5x + 6 - x - 3x, + x + 1, x < x = x > α) Να υπολογιστούν τα: f(0) και f(3) Mονάδες 4 β) Να υπολογιστεί το lim f(x) x γ) Να υπολογιστεί το lim f(x) x + δ) Να εξεταστεί αν η f είναι συνεχής στο x 0 =. Μονάδες 8 Μονάδες 6 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση f :R R με τύπο f(x) = x + αx + 5, όπου α πραγματικός αριθμός. α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β) Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει στο x 0 = 1 τοπικό ακρότατο, να αποδείξετε ότι: α =. γ) Για α =, να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 4 ο Ένα μικρό ναυπηγείο έχει τη δυνατότητα να κατασκευάζει κατ έτος μέχρι και είκοσι (0) σκάφη ενός συγκεκριμένου τύπου. Το κόστος κατασκευής (σε χιλιάδες ) x σκαφών εκφράζεται με τη συνάρτηση Κ(x) = 4x + 30 και τα έσοδα από τις πωλήσεις τους (σε χιλιάδες ) με τη συνάρτηση Ε(x) = 3x + 0x. α) Να βρεθεί το κόστος κατασκευής πέντε (5) σκαφών. Μονάδες 4 β) Να βρεθεί ο τύπος P(x) της συνάρτησης του κέρδους του ναυπηγείου. γ) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους. Μονάδες 7 Μονάδες 6 δ) Πόσα σκάφη πρέπει να κατασκευάζει το ναυπηγείο κατ έτος για να έχει το μέγιστο κέρδος; Μονάδες 8 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ 1ο Ο επόμενος πίνακας παρουσιάζει τα χρόνια υπηρεσίας ενός δείγματος εργαζομένων σε μια εταιρεία. Χρόνια υπηρεσίας x [0 10) [10 0) [0 30) [30 40) Εργαζόμενοι v i 10 α 0 5 α) Αν ο μέσος χρόνος υπηρεσίας των εργαζομένων του δείγματος είναι x = 19 χρόνια, να αποδείξετε ότι α = 15. Μονάδες 9 β) Για α=15 να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων (v i ), αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (f i %). γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των εργαζομένων του δείγματος που έχουν λιγότερα από 30 χρόνια υπηρεσίας. Μονάδες 3 δ) Να υπολογίσετε το ποσοστό (%) των εργαζομένων του δείγματος που έχουν τουλάχιστον 0 χρόνια υπηρεσίας. Μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΘΕΜΑ ο ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ίνεται η συνάρτηση f :R R με τύπο x + λx 3, x 1 f(x) = x λ, x > 1 όπου λ πραγματικός αριθμός. α) Να υπολογίσετε το: lim f(x) x 1 β) Να υπολογίσετε το: lim f(x) + x 1 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ) Να υπολογίσετε την τιμή του λ για την οποία η f είναι συνεχής στο x 0 = 1. Μονάδες 8 δ) Να εξετάσετε αν για λ =, η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 1. ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση f :R R με f (x) = x 6. Μονάδες 7 α) Αν f(0) = 5, να υπολογίσετε τον τύπο της αρχικής (παράγουσας) συνάρτησης f. β) Να εξετάσετε τη συνάρτηση f που βρήκατε στο ερώτημα α : (i) ως προς τη μονοτονία (ii) ως προς τα ακρότατα γ) Να υπολογίσετε τα: f () και f (-3). Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μονάδες 4

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 4ο Ένα σώμα αφήνεται να πέσει από την κορυφή ενός κτιρίου ύψους 45m, τη χρονική στιγμή t = 0 sec. Αν θεωρήσουμε την αντίσταση του αέρα αμελητέα, το διάστημα που διανύει το σώμα μετά από t sec πτώσης δίνεται από τη συνάρτηση: S(t) = 5t (μέτρα m). α) Να υπολογίσετε το διάστημα που θα διανύσει το σώμα σε χρόνο t = sec. Μονάδες 4 β) Να αποδείξετε ότι ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να φτάσει στο έδαφος, είναι t = 3 sec. Μονάδες 7 γ) Να υπολογίσετε: (i) τον τύπο της ταχύτητας υ(t) του σώματος κάθε χρονική στιγμή t. Μονάδες 7 (ii) την ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή της πρόσκρουσης στο έδαφος. Μονάδες 7 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμμία άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ 1ο Εξετάσαμε ένα δείγμα πενήντα (50) μαθητών της Γ Γυμνασίου ως προς τον αριθμό των ορθογραφικών λαθών που έκαναν σε ένα κείμενο Αρχαίων Ελληνικών. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Λάθη (x i ) Μαθητές (ν i ) Σχετική Συχνότητα % (f i %) ω 5 4ω 6 3ω 8 ω Αθροίσματα α. Να αποδείξετε ότι ω=10. β. Για ω=10 Μονάδες 7 β1. Να μεταφέρετε τον πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε. Μονάδες 9 β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του αριθμού των ορθογραφικών λαθών των μαθητών του δείγματος. β3. Αν στο παραπάνω δείγμα προστεθούν πενήντα (50) μαθητές με μέση τιμή αριθμού ορθογραφικών λαθών έξι (6), να βρείτε τη νέα μέση τιμή του αριθμού των λαθών στο δείγμα των 100 μαθητών. Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f με: f(x) = 3 x e + x x 6x x 3 όπου k πραγματικός αριθμός. α. Να βρείτε το lim f(x). x 3+ + kx, αν, αν x 3 x > 3, Μονάδες 8 β. Να βρείτε το lim f(x). x 3 Μονάδες 6 γ. Να βρείτε την τιμή του k για την οποία η f είναι συνεχής στο x 0 =3. δ. Να βρείτε την τιμή f (). ΘΕΜΑ 3ο x +1 ίνεται η συνάρτηση f: Α ΙR με τύπο f(x) =. x 1 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Μονάδες 6 Μονάδες 4 β. Να υπολογίσετε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f. Μονάδες 8 γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (1, + ). δ. Να δείξετε ότι f(0). f(3) f ()=0. Μονάδες 6 Μονάδες 7

ΘΕΜΑ 4ο ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Σε μια άδεια δεξαμενή σχήματος κύβου ακμής m προσθέτουμε πετρέλαιο. Αν το ύψος h (σε m) της στάθμης του πετρελαίου, ως συνάρτηση του χρόνου t (σε min), είναι t h(t)=, 18 α. να βρείτε το ύψος της στάθμης σε χρόνο t=3 min. β. να δείξετε ότι ο όγκος του πετρελαίου της δεξαμενής t μετά από χρόνο t min δίνεται από τον τύπο V(t) = m 3. 9 Μονάδες 7 γ. να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου του πετρελαίου τη χρονική στιγμή t=5 min. Μονάδες 7 δ. να βρείτε σε πόσο χρόνο θα γεμίσει η δεξαμενή. Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμμία άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ 1ο ίνεται ο πίνακας x i 1 5 10 3 0 4 α 5 5 Αθροίσματα με τις τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ και τις αντίστοιχες συχνότητες. α. Να υπολογίσετε το φυσικό αριθμό α εάν ισχύει ότι η μέση τιμή είναι 3. β. Για α = 5 να υπολογίσετε: i) Τη διάμεσο ii) Την επικρατούσα τιμή. ν i Μονάδες 15 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f: με τύπο f(x) = x e x α. Να βρείτε: i) την πρώτη παράγωγο της f ii) τη δεύτερη παράγωγο της f. Μονάδες 4 Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Να δείξετε ότι ισχύει f (x) f (x) = e x, για κάθε x. γ. Να υπολογίσετε το f (x) f (x) + f (x) lim. x 1 x 1 Μονάδες 8 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f(x)= 3 x x x 1 α e + 5α, x 1, +, 0 < x < 1 x = 1 x > 1 όπου α πραγματικός αριθμός. α. Να υπολογίσετε το lim f (x). x 1 β. Να υπολογίσετε τo lim f (x). x 1 + Μονάδες 4 γ. Να υπολογίσετε τις τιμές του α για τις οποίες η f είναι συνεχής στο x 1 = 1. Μονάδες 6 δ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f στο x =. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΘΕΜΑ 4ο ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ίνεται η συνάρτηση f: με τύπο f(x) =4x 3 6x +α+008, όπου α πραγματικός αριθμός. α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f. Μονάδες 3 β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 8 γ. Να δείξετε ότι η f έχει ένα τοπικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε συναρτήσει του α. Μονάδες 8 δ. Να υπολογίσετε το α αν το τοπικό ελάχιστο είναι ίσο με 009. Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 10.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΡΙΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ A Οι βαθμοί έξι φοιτητών σε ένα μάθημα είναι: 5, 3, 7,, 5, 8 Για τα δεδομένα αυτά να υπολογίσετε: Α1. Το εύρος Α. Tη μέση τιμή Α3. Tη διάμεσο Α4. Την επικρατούσα τιμή Μονάδες 3 A5. Τη διακύμανση S Μονάδες 7 ΘΕΜΑ B ίνονται οι συναρτήσεις x 4 f(x) = x με x και g(x) = 6 x + με x Να υπολογίσετε: Β1. limf (x) Β. x lim g(x) x Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

Εάν limf (x) = 4 x ( ) ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ και Β3. lim g(x) + 8x = 0 και x lim g(x) = 4, να αποδείξετε ότι x x + lim f (x) x Β4. lim = lim g(x) x x 3x + x ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: 3x 8, x 4 f (x) = x 4, x > 4 x Γ1. Να υπολογίσετε τις τιμές f(0), f(4) και f(16) Γ. Να υπολογίσετε το όριο Γ3. Να υπολογίσετε το όριο lim x 4 lim x 4 f (x) f (x) + Μονάδες 6 Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 3 Γ4. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 1 =4 Μονάδες 6 Γ5. Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f στο x =0, ισούται με 3. ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f: με τύπο 1 3 1 f(x) = x x + α +, με α 3 3 1. Να βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της f Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

. Να υπολογίσετε το όριο ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ f '(x) lim + + x 1 x 1 f ''(x) Μονάδες 4 3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να προσδιορίσετε τις τιμές του x, για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. 4. Εάν το τοπικό μέγιστο της f είναι τριπλάσιο από το τοπικό της ελάχιστο, να βρείτε τον αριθμό α. Μονάδες 7 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. Να μη χρησιμοποιηθεί το μιλιμετρέ φύλλο του τετραδίου. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνον με μπλε ή μόνον με μαύρο στυλό διαρκείας ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 18.00. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Α ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 7 ΜΑΪΟΥ 010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ A. Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ, ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; Μονάδες 4 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) CV= β) lim x x 0 μέση τιμή τυπική απόκλιση = s x 100% f(x) =, όπου αν και μόνο αν: lim f(x) = x x + 0 lim x x 0 f(x) = γ) Αν οι συναρτήσεις f, g: A είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους Α, τότε ισχύει: (f.g) (x) = f (x)g(x) f (x)g ( x ) δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], τότε ισχύει: β α f(x)dx= - α β f(x)dx Μονάδες 1 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ A3. Να αντιστοιχίσετε, γράφοντας στο τετράδιό σας, κάθε συνάρτηση του πίνακα Α με την παράγωγό της στον πίνακα Β. α. c β. ημx Πίνακας Α Συνάρτηση f γ. lnx, x>0 Πίνακας Β Παράγωγος f 1. - x 1. 0 3. ημx 4. συνx 5. 1 x 6. 1 ΘΕΜΑ B. ίνεται ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων: Μονάδες 9 Συχνότητα x i v i 0 5 1 α 15 3 0 Αθροίσματα 50 Σχετική συχνότητα f i Αθροιστική Συχνότητα Β1. Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β. Να μεταφέρετε τον πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε για α=5. Μονάδες 9 Β3. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, για α=5. Μονάδες 6 Β4. Να βρείτε τη διάμεσο, για α=5. ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: f(x) = αx - 4 x 9 x 3x,, x 3 x > 3 Γ1. Να βρείτε το Γ. Να βρείτε το lim x 3 f (x) lim x 3 + f (x) Μονάδες 1 Γ3. Να βρείτε για ποια τιμή του α η f είναι συνεχής στο x 0 = 3. Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΘΕΜΑ. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)= αx +x-3, x. 1. Αν f ( ) =,να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό α.. Για α = 1, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. 3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( x + x 3) dx. Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 0 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνον τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα).να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνον με μπλε ή μόνον με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη επιστημονικά είναι αποδεκτή. 6. Να μη χρησιμοποιήσετε το χαρτί μιλιμετρέ. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Α ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ A Α1. α) Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα τιμής x i μιας μεταβλητής; (Μονάδες 4) β) Έστω ν 1,ν,,ν κ οι συχνότητες των τιμών μιας μεταβλητής ενός δείγματος μεγέθους ν και f 1,f,,f κ οι αντίστοιχες σχετικές συχνότητες. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: i) ν 1 + ν + + ν κ = (Μονάδες ) ii) f 1 + f + + f κ = (Μονάδες ) Μονάδες 8 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Εύρος τιμών μιας μεταβλητής είναι η διαφορά της μικρότερης τιμής από τη μεγαλύτερη. (Μονάδες ) ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ β) Αν υπάρχουν τα f(x)= x lim l 1, g(x)=l x x lim όπου x l 1, l, τότε: x o o x lim [ f (x) + g(x) ] = l 1 l o (Μονάδες ) γ) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε είναι συνεχής στο σημείο αυτό. (Μονάδες ) δ) Ισχύει ότι β e x dx = e α e β α (Μονάδες ) Μονάδες 8 A3. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) (x α ) = με α *, x>0 (Μονάδες 3) β) (εφx) = με x - π κπ +, κ Ζ (Μονάδες 3) γ) ημxdx = β α (Μονάδες 3) Μονάδες 9 ΘΕΜΑ B Οι βαθμοί στο μάθημα των Μαθηματικών 50 μαθητών σε ένα διαγώνισμα έχουν ομαδοποιηθεί σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους: [0,4), [4,8),, [16,0). Η συχνότητα των κλάσεων αυτών φαίνεται στο παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων: ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Μαθητές 0 10 7 3 0 4 8 1 16 0 Βαθμοί Β1. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό (f i %). Β. Να βρείτε τη μέση τιμή της βαθμολογίας των μαθητών. Β3. Τι ποσοστό μαθητών έχει βαθμό τουλάχιστον 1; Β4. Να μεταφέρετε το ιστόγραμμα στο τετράδιό σας και να δείξετε γραφικά ότι η επικρατούσα τιμή είναι ίση με 14. ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f(x) = Γ1. Να δείξετε ότι f (x) = ( x 1) Γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 3 dx ( x 1) x + 1 x 1, όπου x>1 Μονάδες 9 Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Γ3. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (1, + ). Κατόπιν να συγκρίνετε τις τιμές f(010) και f(011). ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: f(x)=x x 4 +αx+5, όπου α= lim x x 5x + 6 1. Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού α. Μονάδες 6. Αν α = 4, να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 8 3. Αν α = 4, να αποδείξετε ότι f(x)>0 για κάθε x. 4. Αν α = 4, να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x x και τις ευθείες x=0 και x=. Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνον τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα).να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνον με μπλε ή μόνον με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη επιστημονικά είναι αποδεκτή. 6. Να μη χρησιμοποιήσετε το χαρτί μιλιμετρέ. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.30 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Α ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ A Α1. Τι ονομάζεται αθροιστική συχνότητα μιας τιμής x i σε ποσοτική μεταβλητή; Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Τα άκρα των διαστημάτων που αποτελούν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, μπορούν να θεωρηθούν ως πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων. (Μονάδες ) β) Οι ποσοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς. (Μονάδες ) γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε σημείο x 0, τότε το x 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της. (Μονάδες ) δ) Αν υπάρχει το lim f(x)= l1 όπου l 1, τότε είναι : x x lim x x 0 [f(x)] ν = ν 1 0 l, όπου ν Ν * (Μονάδες ) ε) Έστω f συνεχής στο [α,β] και f(x) 0 για κάθε β x [ α, β], τότε: f (x)dx <0 (Μονάδες ) α ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ A3. Να γράψετε στο τετράδιό σας, δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις, το γράμμα που συμπληρώνει σωστά την πρόταση. 1. Το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων f 1 +f +f 3 + +f κ ενός δείγματος μεγέθους ν είναι ίσο με: (α) 1 (β) 10 (γ) 50 (Μονάδες ). Η παράγουσα της συνάρτησης συνx είναι ίση με: (α) εφx+c (β) ημx+c (γ) - ημx+c β α 3. Το 1dx είναι ίσο με: (Μονάδες ) (α) β+α (β) β-α (γ) α-β (Μονάδες ) Μονάδες 6 A4. Να μεταφέρετε και να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες: α) ( cf ) (x) = όπου c (Μονάδες ) β) ( gof ) (x) = (Μονάδες ) ΘΕΜΑ B Μονάδες 4 Οι βαθμοί 0 φοιτητών που πέρασαν επιτυχώς τα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι είναι οι παρακάτω: 5,7,8,6,8,6,9,5,8,8,6,8,7,6,7,8,8,6,9,5 Β1. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό (f i %). Β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή της βαθμολογίας των φοιτητών. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Β3. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή. Β4. Να βρείτε τη διάμεσο. Β5.Τι ποσοστό φοιτητών έχει βαθμό τουλάχιστον 8; Μονάδες 3 Μονάδες 3 Μονάδες 4 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f(x) = x κ x + κ όπου κ πραγματικός αριθμός, διάφορος του 0.,, x < 1 x 1 Γ1. Αν η f είναι συνεχής στο x 0 =1, να δείξετε ότι κ=1 ή κ =- Μονάδες 8 Γ. Αν κ =1, να υπολογίσετε την παράγωγο f (x), όταν x>1 Μονάδες 4 Γ3. Αν κ =1, να υπολογίσετε την παράσταση: Α=f(50) f (45)+1 Μονάδες 6 Γ4. Αν κ =1, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f (x)dx 0 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f: Μονάδες 7 με f (x) = x +λx-6 όπου λ 1. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο x 0 =3, να δείξετε ότι λ=-1 Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ. Αν λ=-1, να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το είδος των ακροτάτων. 3. Αν λ=-1, να υπολογίσετε το όριο lim 3 x f (x) x 3 Μονάδες 7 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνον τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα).να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνον με μπλε ή μόνον με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη επιστημονικά είναι αποδεκτή. 6. Να μη χρησιμοποιήσετε το χαρτί μιλιμετρέ. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την Εκπαιδευτική Κλίμακα (http://edu.klimaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Α ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ A Α1. ίνεται η συνάρτηση f:a (A ) και x 0 Α. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας της συνάρτησης f στο x 0. Μονάδες 6 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η μέση τιμή επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές και εξαρτάται από όλες τις τιμές της μεταβλητής. (Μον. ) β) Επικρατούσα τιμή μιας μεταβλητής ονομάζεται η τιμή με τη μικρότερη συχνότητα. (Μον. ) γ) Αν l im f( x) = 1, l im g( x) = με 1, και 0, x x 0 x x 0 τότε: lim x x 0 f(x) = 1 g(x). (Μον. ) δ) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε απαραίτητα θα είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. (Μον. ) ε) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [α,β]. Τότε ισχύει α f(x) dx = 0. (Μον. ) α ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την Εκπαιδευτική Κλίμακα (http://edu.klimaka.gr) ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ A3. Να μεταφέρετε και να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες: x α) (e ) = (Μον. 3) β) (lnx) =, όπου x>0 (Μον. 3) γ) α β συνx dx = (Μον. 3) Μονάδες 9 ΘΕΜΑ B ίνεται η συνάρτηση f: f(x) = με τύπο: α +β R x x, x 3 με α,β x 4x+ 3, x 3 x 3 > Β1. Να βρείτε το im f( l x) x 3 + Β. Να βρείτε το l im f(x). x 3. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ Β3. Να βρείτε τα α, β, ώστε f(0)=5 και η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο x 0 =3. ΘΕΜΑ Γ Σε ένα ορεινό χωριό μετρήθηκε η μεγαλύτερη ημερήσια θερμοκρασία για οκτώ (8) συνεχείς ημέρες. Οι τιμές των θερμοκρασιών που καταγράφηκαν είναι οι παρακάτω: 1, 9, 7, 5, 11, α, 1, -1

Ανακτήθηκε από την Εκπαιδευτική Κλίμακα (http://edu.klimaka.gr) ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ1. Αν η μέση τιμή των παραπάνω τιμών των θερμοκρασιών είναι x =5, να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α. Γ.Για α=7, να υπολογίσετε τη διάμεσο και το εύρος των παραπάνω τιμών των θερμοκρασιών. Μονάδες 8 Γ3. Για α=7, να υπολογίσετε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση των παραπάνω τιμών των θερμοκρασιών. Μονάδες 8 Γ4.Για α=7, να υπολογίσετε το συντελεστή μεταβλητότητας (CV) και να εξετάσετε αν το παραπάνω δείγμα θερμοκρασιών είναι ομοιογενές. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: f(x) = x 3-3x+κ, κ. 1. Να βρεθεί το κ, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να διέρχεται από το σημείο Α(-1,5).. Αν κ=3, να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 8 3. Να βρεθεί το όριο lim x 1 f '(x) 1 x 4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. 3 f(x) '' dx. 1 Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την Εκπαιδευτική Κλίμακα (http://edu.klimaka.gr) ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνον τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα).να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνον με μπλε ή μόνον με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη επιστημονικά είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ (http://edu.klimaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ- ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Α ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ A Α1. Να αναφέρετε, ονομαστικά, τις τρεις (3) παραμέτρους θέσης μιας μεταβλητής. Μονάδες 3 Α. Να δώσετε τον ορισμό της επικρατούσας τιμής μιας μεταβλητής. Μονάδες 3 A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η διάμεσος επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές της μεταβλητής. (Μον. ) x β) Η εκθετική συνάρτηση f(x) = α, x R, 0<α 1 είναι συνεχής στοr. (Μον. ) β γ) f(x)dx = f(x)dx α α (Μον. ) β δ)αν f'(x) > 0 για κάθε x ( αβ, ), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( αβ, ). (Μον. ) f f '(x)g(x) + f(x)g'(x) ε) (x) = (Μον. ) g g (x) ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ (http://edu.klimaka.gr) ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ- ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ A4. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα α, β, γ από τη στήλη Α και δίπλα τον αριθμό 1,,3,4 της στήλης Β που δίνει τη σωστή αντιστοίχιση. Σημειώνεται ότι ένας αριθμός από τη στήλη Β θα περισσέψει. Στήλη Α (Συνάρτηση f) Στήλη Β (Παράγουσα F) α. f(x) = 1, x R 1. F(x) = x+ c 1 1 β. f(x) =, x > 0. F(x) = + c x x γ. f(x) =ημ x, x R 3. F(x) = lnx+ c 4. F(x) = συν x + c Μονάδες 9 ΘΕΜΑ B Σε ένα εκλογικό τμήμα προσήλθαν και ψήφισαν 300 πολίτες επιλέγοντας ένα (1) από τα πέντε (5) ψηφοδέλτια Α, Β, Γ,, Ε. Τα αποτελέσματα καταγράφονται στον παρακάτω πίνακα, όπου λ είναι θετικός ακέραιος αριθμός. Ψηφοδέλτιο Ψήφοι Σχ.συχνότητα Σχ.συχνότητα (x i ) (v i ) (f i ) (f i %) Α 8λ Β 6λ Γ 3λ λ Ε λ Σύνολο 300 1 100 Β1. Να υπολογίσετε την τιμή του λ. Β. Για λ=5, να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να τον συμπληρώσετε. Μονάδες 15 Β3. Για λ=5, να γίνει το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων (f i %). ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ (http://edu.klimaka.gr) ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ- ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f(x) = x x, 1 x α + 3, x> 1 x= 1 Γ1. Να βρείτε το lim f(x). x 1 Γ. Να βρείτε το lim f(x). + x 1 β x, x< 1 Μονάδες 3 Γ3. Να βρείτε τα α, β, ώστε η f να είναι συνεχής στο x o = 1. Μονάδες 8 Γ4. Για α=- και β=, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Π= 0f( 10) 5f(10) 4f(1). Μονάδες 4 Γ5. Για β=, να υπολογίσετε το 0 f(x)dx. ΘΕΜΑ Ένας κήπος, σχήματος ορθογωνίου, με διαστάσεις x και y έχει εμβαδό 100 m. 1. Με δεδομένο ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από τον τύποε= x y, να αποδείξετε ότι η περίμετρος 00 του κήπου δίνεται από τη συνάρτηση: Π (x) = x+, x 0<x<100. Μονάδες 8. Να βρείτε την τιμή του x, ώστε ο κήπος να έχει ελάχιστη περίμετρο, την οποίαν και να υπολογίσετε. Μονάδες 1 3. Για την τιμή του x, που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να υπολογίσετε το κόστος της περίφραξης του κήπου, αν η περίφραξη στοιχίζει 10 ανά μέτρο. 1 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ (http://edu.klimaka.gr) ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ- ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνον τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα).να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνον με μπλε ή μόνον με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη επιστημονικά είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ- ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Α ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 1 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ A Α1. Τι ονομάζεται εύρος των τιμών μίας ποσοτικής μεταβλητής; A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η μέση τιμή εξαρτάται από όλες τις τιμές μίας μεταβλητής. (Μον. ) β)αν lim l και lim l, όπου l,l, τότε lim l l (Μον. ) γ) Οι ποιοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς. (Μον. ) δ) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο, τότε το ανήκει στο πεδίο ορισμού της. (Μον. ) ε) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μίας συνάρτησης μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός. (Μον. ) ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ- ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ A3. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε σωστά τις ισότητες. α) β) γ) δ), 0 ε) 1 ΘΕΜΑ B ίνεται η συνάρτηση με τύπο: 3, 3 4, 3 9, 3 3 όπου,. Β1. Να βρεθεί το lim. Μονάδες 3 Β. Να βρεθεί το lim. Μονάδες 6 Β3. Να βρεθούν οι τιμές των,, ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο 3. B4. Για 4 και 5 η συνάρτηση γίνεται: 1, 6, 3, 3 3 3 Να υπολογιστούν οι τιμές: 0, 1, 3, 4, 5 και να βρεθεί η διάμεσος αυτών. Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ- ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΘΕΜΑ Γ Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι ημέρες απουσίας 50 μαθητών της τάξης ενός Εσπερινού ΕΠΑ.Λ. κατά τον μήνα Μάρτιο: Ημέρες απουσίας Κέντρο Κλάσης 1 Συχνότητα 3 10 5 1 7 8 9 Σχετική Συχνότητα % Αθροιστική Σχετική Συχνότητα % ΣΥΝΟΛΑ Γ1. Να υπολογιστεί η τιμή της παραμέτρου, για την οποία ισχύει: 4 dx Μονάδες 4 Γ. Για 5 να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε. Μονάδες 9 Γ3. Για 5 να βρεθεί η μέση τιμή των ημερών απουσίας των μαθητών. Μονάδες 4 Γ4. Για 5 να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών που απουσίασαν τουλάχιστον 6 ημέρες. Μονάδες 4 Γ5. Για 5 να βρεθεί η διάμεσος. Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ- ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΘΕΜΑ Η ημερήσια είσπραξη (σε ) μίας μονάδας παραγωγής χάλυβα από την πώληση τόνων χάλυβα δίνεται από τη συνάρτηση 50, 0 0, ενώ το συνολικό κόστος παραγωγής αυτής της ποσότητας δίνεται από τη συνάρτηση 10 50 500 1. Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση του κέρδους είναι: 10 300 500 Μονάδες 6. Να βρεθεί το κέρδος της μονάδας παραγωγής από την πώληση 10 τόνων χάλυβα. 3.Ποιός είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης κέρδους; Μονάδες 3 4. Πόση ποσότητα χάλυβα πρέπει να πουληθεί, ώστε το κέρδος της μονάδας παραγωγής να γίνει μέγιστο; Μονάδες 7 5.Να βρεθεί το μέγιστο κέρδος της μονάδας παραγωγής. Μονάδες 4 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα, μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 4. Κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Α ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 19 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ A Α1. Έστω Α R και 0 συνεχής στο x 0. ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) x A. Πότε η συνάρτηση f:a R είναι ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 6 A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η επικρατούσα τιμή μιας μεταβλητής είναι μοναδική. (Μον. ) β) Αν lim f ( x) = τότε ( ) x x 0 lim f x =. x x 0 (Μον. ) γ) Αν οι συναρτήσεις f,g: A R είναι συνεχείς στο σημείο τότε η συνάρτηση h( x) x0 A, x με ( ) 0 g x 0. δ) (συν x) =-ημ x. ε) 0 β 1 dx = ln β ln α, β> α > 0. α x ( ) ( ) f x = είναι συνεχής στο g x (Μον. ) (Μον. ) (Μον. )

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ A3. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) Αν f,f,...,f 1 k οι σχετικές συχνότητες k διαφορετικών τιμών μιας μεταβλητής τότε: f1+ f +... + f k =... (Μον. 3) β) Αν οι συναρτήσεις f,g:a R είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους Α, τότε η συνάρτηση ( g 0) παραγωγίσιμη στο Α και ισχύει: f g ( ) x =..., με g(x) 0. γ) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ α, β] τότε: β α α β f(x)dx+ f(x)dx =... f g είναι (Μον. 3) (Μον. 3) Μονάδες 9 ΘΕΜΑ B Έστω η συνάρτηση f: R R με τύπο: x e + 1, x < 0 x 4 f(x) =, 0 x < x α x, x, α R ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Β1. Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο x0 = 0. Β. Για ποια τιμή της παραμέτρου α η f είναι συνεχής στο x =. 0 Β3. Αν α=6 να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: Ι ( ) = 3 f x dx. ΘΕΜΑ Γ Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται πόσες ώρες συνδέονται στο διαδίκτυο οι μαθητές ενός Εσπερινού ΕΠΑΛ κατά τη διάρκεια μιας ημέρας: Ώρες x i Μαθητές v i Αθροιστική Συχνότητα N i Σχετική Συχνότητα f i Σχετική Συχνότητα f% i xv i i 0 10 1 15 v 3 3 5 Σύνολα Γ1. Να υπολογιστεί η συχνότητα v 3, αν η διάμεσος των ωρών είναι δ=1,5. Γ. Για 3 v =0 να μεταφέρετε τον πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Γ3. Για v 3 =0 να βρείτε τη μέση τιμή των ωρών σύνδεσης των μαθητών στο διαδίκτυο. Γ4. Για v 3 =0 να παρουσιάσετε σε μορφή ραβδογράμματος τα δεδομένα (x i,v i). ΘΕΜΑ Το ύψος σε μέτρα ενός τηλεκατευθυνόμενου αεροπλάνου μετά από t sec πτήσης δίνεται από τη συνάρτηση: h() t = 3t + 30t, 0 t 10. 1. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του ύψους του αεροπλάνου οποιαδήποτε χρονική στιγμή.. Να βρεθεί το χρονικό διάστημα της ανόδου του αεροπλάνου από τη στιγμή της απογείωσής του μέχρι το μέγιστο ύψος καθώς και το χρονικό διάστημα της καθόδου από το μέγιστο ύψος μέχρι την προσγείωσή του. 3. Σε ποια χρονική στιγμή το αεροπλάνο βρίσκεται στο μέγιστο ύψος. 4. Να βρεθεί το μέγιστο ύψος στο οποίο έφτασε το αεροπλάνο. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα, μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ