ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ ο Α. α)αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο ο, να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Μονάδες 8,5 β) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f στο σηµείο Α( ο, f( o )). Μονάδες 4 B. α) Αν z=+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5 β) Αν z =ρ (συνθ + iηµθ ), z 2 =ρ 2 (συνθ 2 + iηµθ 2 ) είναι η τριγωνοµετρική µορφή των µιγαδικών z, z 2 και z =z 2, τότε ) ρ =ρ 2 και θ +θ 2 =0. 2) ρ +ρ 2 =0 και θ =θ 2 +2kπ, k Z. 3) ρ =ρ 2 και θ θ 2 =2kπ, k Z. 4) ρ ρ 2 =0 και θ +θ 2 =2kπ, k Z. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

2 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 2ο ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = 2i και z2=3+4i z2 α) Αν = + yi,,y IR, να αποδείξετε ότι = και z y=2. Μονάδες 8 β) Αν µια ρίζα της εξίσωσης 2 +β+2γ=0, όπου β,γ IR, είναι η z 2, να βρείτε τις τιµές των β και γ. z Μονάδες 8 γ) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z για τους οποίους ισχύει z 2z = z 2 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση f() = α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο που τέµνει τον άξονα y y. 4. Μονάδες 7 β) Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Μονάδες 9 γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα των και τις ευθείες =0, =. Μονάδες 9

3 ΘΕΜΑ 4ο ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : ( 0,+ ) οποία ισχύουν f() = 0 και f () 2f() =, για κάθε (0, + ). ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ IR για την f() α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h () = είναι γνησίως 2 αύξουσα στο ( 0, + ). Μονάδες 7 β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. γ) Να βρείτε το lim 2 (ln ) f(t) dt Μονάδες 8 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους). Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοτυπιών αµέσως µόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καµιά άλλη σηµείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τις φωτοτυπίες. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε απάντηση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοτυπιών. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία () ώρα µετά τη διανοµή των φωτοτυπιών KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

4 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ ο α) Έστω Α ένα υποσύνολο του IR και µία συνάρτηση f : A RI, µε πεδίο ορισµού του Α. Πότε η f λέγεται συνάρτηση -; β) Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η f είναι συνεχής στο και f ()=0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα. Μονάδες 2 γ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς, 2, 3, 4 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασµένη.. z + z2 = z + z 2 2. z z 2 = z z 2 3. z > z z z z 4. = z z όπου z =α+βi και z 2 = γ+δi είναι µιγαδικοί αριθµοί. Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

5 ΘΕΜΑ 2ο ίνεται η συνάρτηση f() = ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ,, > 3 4 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 =. 3 4 β)να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 =. 3 4 γ) Για, να βρείτε την f () και να λύσετε την 3 εξίσωση f() + f () =. 2 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση f µε f(z) = αριθµός µε z 0. α) Αν () z f( z ) z + i z, όπου z µιγαδικός f =, να αποδείξετε ότι o z είναι πραγµατικός αριθµός. Μονάδες 6 β) Αν f () z =, να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο. Μονάδες 9 γ) Αν Re ( (z)) f = 2, να αποδείξετε ότι οι εικόνες του µιγαδικού αριθµού z, βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

6 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο IR, για την οποία υποθέτουµε ότι ισχύει f(0)=0 και ότι η f είναι 0, + : γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε >0 υπάρχει ξ (0, ) τέτοιος ώστε f() = f (ξ). Μονάδες 6 f() β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h() = + e, >0 είναι συνάρτηση - στο διάστηµα ( 0, + ). 5 γ) Αν h() = e + +, να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα e I = f( + ) d. Μονάδες 9 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους). Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοτυπιών αµέσως µόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καµιά άλλη σηµείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τις φωτοτυπίες. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε απάντηση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοτυπιών. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία () ώρα µετά τη διανοµή των φωτοτυπιών. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

7 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() = F() + c, c ΙR., είναι παράγουσες της f στο και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο παίρνει τη µορφή G() = F() + c, c ΙR.. B. Έστω Α ένα υποσύνολο του ΙR., f µ ια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α και 0 A. Πότε θα λέµε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει στο 0 (ολικό) µέγιστο, το f( 0 ); Για καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις Γ,, Ε, ΣΤ και Ζ να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη Σ, αν η πρόταση είναι Σωστή, ή Λ, αν αυτή είναι Λανθασµένη. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

8 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο 0 του πεδίου ορισµού της, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Ε. Ισχύει ο τύπος ηµd = συν + c ΣΤ. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του. Ζ. Έστω µια - συνάρτηση f και C, C οι γραφικές παραστάσεις των f και f - στο ίδιο σύστηµα αξόνων. Τότε οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f - είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y=. ΘΕΜΑ 2ο ίνεται η συνάρτηση f() = α 2, 0 + β, 0 < < + ln, όπου α, β ΙR.. α) Να βρείτε τα α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της. Μονάδες 8 β) Αν, για τους πραγµατικούς αριθµούς α και β, ισχύει: α= και β=0, τότε: i) Να υπολογίσετε το lim + f() 2 Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

9 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ii) Να υπολογίσετε τα όρια : lim + f() f(), lim f() f() Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3ο Έστω z µιγαδικός αριθµός, µε z ±i και z w =. z2 + α) Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγµατικός, τότε ο z είναι πραγµατικός ή z =. β) Να λύσετε, στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών, την z 3 εξίσωση =. z2 + 3 γ) Αν z, z 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος (β), να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: (z 3 z2 ) i Κ=. 4 + (z 2 + z2) ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµα = (0, + ) για την οποία ισχύει: f() = f(t)dt,. α) Να υπολογίσετε το f(). Μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

10 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β) Να αποδείξετε ότι f () = 3. γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Μονάδες 6 δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες =2 και =4. Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, εξεταζόµενο µάθηµα). Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιό σας. 2. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σηµείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε απάντηση τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία () ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

11 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 3 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. β) Έστω Μ(, y) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z=+yi στο μιγαδικό επίπεδο. Τι ορίζουμε ως μέτρο του z; γ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς, 2, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθμό να σημειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασμένη.. Αν z μιγαδικός αριθμός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει z 2 = z z. 2. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο 0, τότε ισχύει lim 0 f() = lim f() Ισχύει (ημ) = συν. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

12 2 4. Ισχύει e d = e + c ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ, c IR. 5. Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η f παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. ΘΕΜΑ 2ο ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = 3+i και z 2 = -3i. z α) Να αποδείξετε ότι = i και z β) Να αποδείξετε ότι z + z = γ) Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό kz iz 2 w =, k IR { }. z kz iz + = 0. z 2 Μονάδες 8 Μονάδες 8 Να αποδείξετε ότι για κάθε k IR { } ισχύει Ιm(w) =. ΘΕΜΑ 3ο Θεωρούμε τη συνάρτηση α + e, 0 f()= όπου α IR. ln, 0 Μονάδες 9 A) Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο 0 =0. B) Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει α = : Mονάδες 0 ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

13 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ i) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 =0. ii) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f. iii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και =e. ΘΕΜΑ 4 ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln + e, (, + ). α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, + ). β) Να βρεθούν τα όρια ln e lim, + lim, + lim f() +. Μονάδες 6 Μονάδες 6 γ) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=2005 έχει μοναδική λύση στο διάστημα (, + ). Μονάδες 6 = e f(e) f ()d. 2 f(2) τιμή της παράστασης Π 2ln2. δ) Έστω Π f() d + Να υπολογίσετε την Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

14 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοτυπιών αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τις φωτοτυπίες. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

15 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 2 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΕΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο α) Έστω η συνάρτηση f ( ) =. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+ ) και ισχύει f ( ) =. 2 β) Έστω μία συνάρτηση f και το σημείο 0 του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο 0 ; γ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς, 2, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθμό να σημειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασμένη.. Αν z, z 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει : z +. z2 z + z2 z z2 2. Έστω η συνάρτηση f () = εφ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R = R { συν = 0 } και ισχύει f () =. 2 συν ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

16 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 3. Αν lim f( ) < 0 0, τότε f ( ) < 0 κοντά στο συνd = ημ+ c. 5. Αν για μία συνάρτηση f, συνεχή στο διάστημα [α,β] β ισχύει f ( ) 0 για κάθε [ α,β], τότε f()d 0. ΘΕΜΑ 2ο Έστω ότι για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α ( 5 ) 5 = ( z 5 ) 5 z. α) Να δείξετε ότι 5z = z 5. β) Να δείξετε ότι: z =. γ) Αν w = 5 z+, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο μιγαδικό επίπεδο. ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

17 ΘΕΜΑ 3ο ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ίνεται η συνάρτηση ( ) = ln( 5) f. α) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f; Mονάδες 6 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Μονάδες 7 Μονάδες 6 δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=2006 έχει μοναδική λύση στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ΘΕΜΑ 4 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f ( ) = + 2 f( t)dt 3, R α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ( ) σταθερή. 2 β) Να αποδειχθεί ότι ( ) f 0 = 3e. Μονάδες 6 ( ) f Φ = είναι 2 e γ) Nα βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ε(λ) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες =0, =λ με λ>0. δ) Να βρεθεί το lim λ 0 + Ε( λ) λ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

18 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοτυπιών αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τις φωτοτυπίες. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

19 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α.. Έστω η συνάρτηση f()=ημ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: f ()=συν. 2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς, 2, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθμό να σημειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασμένη.. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z και κάθε θετικό ακέραιο ν, ισχύει: ν z = ν z. συν 2. Ισχύει: lim =. 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

20 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 3. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ ένα εσωτερικό σημείο 0 ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0 και g( 0 ) 0, τότε και η συνάρτηση g f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει: f f (0)g(0) f (0)g ( ( 0 ) = g [ g( )] ). 5. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα, ισχύει: ΘΕΜΑ 2ο f ()d = f () + c, c. ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z =i, z 2 = και z 3 =+i. α. Να αποδείξετε ότι: z2 z3 z + =. β. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z z = z z2, τότε να αποδείξετε ότι: i. Re (z) = Im (z). ii. για z 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης z z A = z + z. ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

21 ΘΕΜΑ 3ο ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ f. 4 ίνεται η συνάρτηση ( ) = ln +, ( 0, + ) α. Να αποδείξετε ότι: f e 5 > 0, f < 0 4 και f 5 ( e ) > 0. Mονάδες 6 β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Μ(, f()). γ. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f. Μονάδες 4 δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (0, + ). ΘΕΜΑ 4ο Έστω f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, για την οποία 3 ισχύει f () f () = 4e και f(0) = 2. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή. =. e β. Να αποδείξετε ότι: f ( ) e + 3 h() = e γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: lim δ. Να βρείτε το 2 + I(). f () e 4 Μονάδες 6 I() = f (t) dt 0 Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

22 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοτυπιών αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τις φωτοτυπίες. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

23 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 9 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ ο Α. α. Αν z, z 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε να αποδείξετε ότι: z z2 = z z2. β. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς, 2, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθμό να σημειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασμένη.. Για τον μιγαδικό αριθμό z = α + βi με α, β ισχύει z = 0 τότε και μόνον τότε, αν α = 0 και β = ίνονται οι συναρτήσεις f, g με κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Τότε πάντα ισχύει: lim f () g() = lim f() lim. ( ) g() Έστω μια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Αν f () < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

24 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β α 4. Αν είναι f ()d > 0, τότε f() > 0 για κάθε [α, β]. 5. Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σ ένα διάστημα, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, σε κάθε σημείο του βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της f με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. ΘΕΜΑ 2ο Α. ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = k + (k + )i, k. α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία y = +. Μονάδες 6 β. Ποιοι από αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς έχουν z = ; Μονάδες 9 B. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α 2 + β = ( i) 4 β ( + i) 4 α, να δείξετε ότι α = 2 και β = 2. ΘΕΜΑ 3ο + l n ίνεται η συνάρτηση f με f () =, > 0. α. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. lim f() β. Να υπολογίσετε τo όριo. + γ. Να υπολογίσετε το ορισμένο ολοκλήρωμα: 2 e I = f ()d. ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 8 Μονάδες 7

25 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η συνάρτηση f με f() = ημ, όπου. α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας στο σημείο (0, f(0)) της γραφικής παράστασης της f. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ Mονάδες 0 β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y = και y =. γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε > 0 ισχύει η ανισότητα ημ > Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοτυπιών αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τις φωτοτυπίες. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. 6. Για την κατασκευή των σχημάτων σε θέματα που απαιτείται, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοτυπιών και όχι πριν την ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

26 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 8 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α. α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο 0, και ισχύει: ( f + g) ( 0 ) = f ( 0 ) + g ( 0 ). β. Πότε η ευθεία = 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f; Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς, 2, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθμό να σημειώσετε τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.. Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. 2. Κάθε συνάρτηση που είναι - είναι γνησίως μονότονη. ημ 3. Ισχύει: lim = 0. 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

27 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 4. Η συνάρτηση f () = ln, *, είναι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει (ln ) =. α+ α 5. Ισχύει: d = + c, όπου α, c είναι πραγματικοί α + αριθμοί και α -. ΘΕΜΑ 2ο ίνεται ο μιγαδικός αριθμός i (i 3) z =. + i 2 α. Να αποδείξετε ότι: z = + i, z 2 = 2i, z 3 = 2 + 2i. Μονάδες 9 2 z 3 β. Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z, z,, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 9 γ. Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ 3ο z z = z + z + z + z. α Μονάδες 7 ίνεται η συνάρτηση f () = e, όπου α. α. Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(0, f(0)) να είναι παράλληλη στην ευθεία y=e. ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

28 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Για α=-, i. να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, ii. να αποδείξετε ότι ο άξονας ασύμπτωτη της C f στο. είναι οριζόντια ΘΕΜΑ 4ο ίνονται οι συναρτήσεις α. Να αποδείξετε ότι: f() = - και g() = ln, >0. f() g(), για κάθε >0. Mονάδες 8 β. Αν h() = f()-g(), τότε: i. Να αποδείξετε ότι: 0 h() e-2, για κάθε [, e]. Μονάδες 7 ii. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα και τις ευθείες = και = e. iii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e [ h() + ] h () d I = e. h () ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

29 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνον με μπλε ή μαύρο στυλό διαρκείας και μόνον ανεξίτηλης μελάνης. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

30 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 4 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 200 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α. Έστω η συνάρτηση f() = εφ, A, όπου Α = - { / συν = 0} Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει (εφ) =, A 2 συν Α2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. β) Αν α >, τότε lim α + = + γ) Αν η συνάρτηση f : Α είναι -, τότε ισχύει f - (f ()) =, A ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

31 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ) ημd = συν + c, c ΘΕΜΑ Β ε) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς σε ένα διάστημα, τότε ισχύει ()g ()d f()g() + f = f ()g() d, Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει z = z 2i Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία με εξίσωση ψ = Μονάδες 7 Β2. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z, να βρείτε εκείνους που έχουν μέτρο ίσο με 2 Β3. Έστω z = + i και z 2 = - + i οι μιγαδικοί αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα Β2. Να αποδείξετε ότι 4 z + = 4 z Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f() = 3-3ln, > 0 Γ. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή. Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

32 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ2. Να αποδείξετε ότι ο άξονας ψ ψ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f Μονάδες 7 Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = 2 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (, e) ΘΕΜΑ Έστω η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι σχέσεις f () = - f() +, και f (0) = 0. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = e ( f ( ) + ),, είναι σταθερή. 2. Να αποδείξετε ότι f () = e +, 3. Να αποδείξετε ότι f() 0, για κάθε Μονάδες 7 Μονάδες 6 4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία = Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

33 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:00. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

34 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 20 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Α2. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο ; Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν z, τότε z ) = ( ν ( ) ν z, ν * β. Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(gof), τότε ορίζεται και η (hog)of και ισχύει ho(gof) = (hog)of συν - γ. lim = 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

35 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ. Αν η f είναι συνεχής σε ένα διάστημα και α, β, γ, β τότε ισχύει f ()d = f ()d + ε. Αν 0<α<, τότε lim α = 0 α γ α β γ f ()d ΘΕΜΑ Β Έστω 4 w = z +, όπου z μιγαδικός αριθμός με z 0 z Β. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z και z 2 για τους οποίους ισχύει w=2 Μονάδες 6 Β2. Αν z = +i 3 και z 2 = -i 3 είναι οι μιγαδικοί αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα Β, τότε να αποδείξετε ότι z = = z - 8 Μονάδες 6 Β3. Αν z και z 2 είναι οι μιγαδικοί αριθμοί του προηγούμενου ερωτήματος, τότε να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, z 2 και z 3 3 = 4 z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Μονάδες 8 Β4. Αν z = 2, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός w είναι πραγματικός. ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

36 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f() = - ln(e +), Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Γ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη. Μονάδες 7 Γ3. Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 8 f () < f() + ln2, για κάθε (0,+ ) ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (-,+ ) για την οποία ισχύει: f (t) dt = ( ln( ) ) 2, > ln( + ). Να αποδείξετε ότι f () =, > - + Μονάδες 6 2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι: (+) e e +, για κάθε > - Μονάδες 6 3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία = e- Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

37 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 4. Να αποδείξετε ότι: (+) 2 = 2 + f() = f(), >- και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση (+) 2 = 2 +, >- έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις = και =3 Μονάδες 7 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:00. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

38 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 4 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f()=, 0 είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) με f ()= 2 Α2. Πότε μια συνάρτηση f: A λέγεται συνάρτηση -; Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν z, τότε z-z = 2 Im(z) β. Αν είναι lim f () = 0, τότε lim f () = 0 + γ. Ισχύει ( εφ ) =- 2 συν, - { / συν = 0} δ. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο 0 και g( 0 ) 0, τότε και η συνάρτηση g f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει: ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

39 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ f g ( 0 )= f ( )g( ) f( )g ( 0 0 ( g( )) ) ε. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και f() 0 για κάθε [α, β], τότε ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ β α f () d 0 ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει i z = Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος που έχει κέντρο το σημείο Κ (0, ) και ακτίνα ρ= Μονάδες 9 Β2. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z να αποδείξετε ότι z 2 Μονάδες 8 Β3. Αν z, z 2 είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με z z2 = 2 και Α, Β οι εικόνες των z, z 2 αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ, όπου Κ(0, ), είναι ορθογώνιο. ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f() = e 2 2, Μονάδες 8 Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ2. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή. Μονάδες 8

40 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=, έχει ακριβώς μια ρίζα, το 0 Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y= και = Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν: f() 2 lim = f(0)=2 και η f είναι γνησίως αύξουσα. Να αποδείξετε ότι f(2) = f (2) = 2 Μονάδες 8 2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (0, 2) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα 3. Να αποδείξετε ότι f() f(ξ) για κάθε Μονάδες 4 4. Αν επιπλέον δίνεται ότι f(ξ)>0, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (t)dt = 2 2, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, ) Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

41 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:00. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ