ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ)

Transcript

1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ΘΕΜΑ 1ο Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1, x 2,..., x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, κ ν. α) Τι ονομάζουμε (απόλυτη) συχνότητα ν i της τιμής x i, όπου i=1, 2, 3,...,κ ; Μονάδες 4 β) Τι ονομάζουμε σχετική συχνότητα f i της τιμής x i όπου i=1, 2, 3,...,κ ; Μονάδες 4 γ) Αν f 1, f 2,...,f κ είναι οι σχετικές συχνότητες των τιμών x 1, x 2,..., x κ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: f 1 +f f κ = 1. Μονάδες 4,5

2 Β. Εξετάζοντας 50 οικογένειες ως προς τον αριθμό των παιδιών τους, σχηματίσαμε τον επόμενο πίνακα κατανομής συχνοτήτων: Αριθμός παιδιών Αριθμός οικογενειών x i ν i Σύνολο: 50 Για τις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1) Η (απόλυτη) συχνότητα της τιμής x 3 = 2 είναι Α. 15 Β. 0,4 Γ. 0,14 Δ. 20 Ε. 42 Μονάδες 6 2) Η σχετική συχνότητα της τιμής x 4 = 3 είναι ΘΕΜΑ 2ο A. 0,94 B. 0,1 Γ. 5 Δ. 4 Ε. 47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ημx x - 3 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Μονάδες 6,5 Μονάδες 7 β) Να βρείτε την παράγωγο f της συνάρτησης f.

3 γ) Να υπολογίσετε την τιμή f (0). Μονάδες 9 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f (x) =2x 3 + 5x + 3 α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της f. Μονάδες 12 β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 4ο Για τον έλεγχο της κατανάλωσης καυσίμου (ίδιου τύπου) δυο αυτοκινήτων Α και Β μετρήθηκε η κατανάλωσή τους σε έξι διαδρομές για το Α και σε πέντε διαδρομές για το Β. Η κατανάλωση στις έξι διαδρομές (σε λίτρα ανά 100 χιλιόμετρα) για το αυτοκίνητο Α ήταν 9, 6, 7, 9, 9, 8 ενώ η κατανάλωση στις πέντε διαδρομές για το αυτοκίνητο Β ήταν 8, 10, 7, 8, 12. α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μετρήσεων που αφορούν το αυτοκίνητο Α. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μετρήσεων που αφορούν το αυτοκίνητο Β.

4 γ) Αν ένας πωλητής ήθελε να χρησιμοποιήσει τα πιο πάνω δεδομένα για να πείσει έναν υποψήφιο αγοραστή να αγοράσει το αυτοκίνητο Α και όχι το Β, ποιο μέτρο θέσης (μέση τιμή ή διάμεσο) θα χρησιμοποιούσε; Αν αντίστροφα ήθελε να πείσει τον υποψήφιο αγοραστή να αγοράσει το αυτοκίνητο Β και όχι το Α, ποιο μέτρο θέσης (μέση τιμή ή διάμεσο) θα χρησιμοποιούσε;

5 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. α) Στη Στήλη Ι του παρακάτω πίνακα δίνονται συναρτήσεις f(x) και στη Στήλη ΙΙ οι παράγωγοί τους f (x). Να γράψετε τα γράμματα της Στήλης Ι και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. A. x Στήλη Ι Συνάρτηση f(x) Β. x, x > 0 Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός Δ. ημx Ε. συνx 5. 2 x 6. ρ x ρ x 8. ημx

6 β) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f(x) και g(x) στο R. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f(x) + g(x), f(x) g(x) με g(x) 0, f(g(x)). Μονάδες 7,5 B. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: α) f 1 (x) = x 3 + ημx + 3 συνx β) f 2 (x) = (x - 1) 2 x γ) f3(x) = 2 x δ) f (x) = x 3 ε) f 5 (x) = συν(2x+3) Μονάδες 12,5 ΘΕΜΑ 2ο H εξέταση 10 μαθητών στο μάθημα της Στατιστικής έδωσε τους εξής βαθμούς: Να βρείτε: α) τη διάμεσο,

7 β) τη μέση τιμή, γ) την επικρατούσα τιμή, δ) το εύρος και ε) τη διακύμανση της παραπάνω βαθμολογίας. ΘΕΜΑ 3o Μονάδες 25 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων της μεταβλητής Χ: Κλάσεις [ - ) Κεντρικές τιμές x i Συχνότητα ν i Σχετική Συχνότητα f i Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i % Σύνολο 1 Να γράψετε στο τετράδιό σας συμπληρωμένο τον πίνακα. Μονάδες 25

8 ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 + 5x +6, x R. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. β) Να βρείτε σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. γ) Να βρείτε το lim x x + x 1 x 1 + 6

9 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1ο α) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=x είναι f (x)=1. Μονάδες 9 β) Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη, θεωρώντας ότι υπάρχουν οι f (x) και g (x). f(x) + g(x) = f (x) + g (x 1. [ ] ) 2. (ημx) = συνx 3. [ f(x) g(x) ] = f (x) g (x) 4. f(x) f (x) g(x) + f(x) g (x) = g(x) 5. ( ) [ g(x) ] 2 1 x =, x>0 2 x c f(x) = c f (x 6. [ ] ) 7. ( συν x) = ημx = x, ρ ρητός, x>0 ρ ρ 1 8. ( x ) ΘΕΜΑ 2ο, g(x) 0 Μονάδες 16

10 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 + 3x 10 x 2 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x). β) Να βρείτε τα : lim f(x) x 1, lim f(x) x 2 Μονάδες 12 γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο (2,+ ). ΘΕΜΑ 3o Μονάδες 8 Τα αποτελέσματα των εκλογών σε ένα εκλογικό τμήμα δίνονται από τον παρακάτω (ελιπή) πίνακα: Κόμμα Συχνότητα Σχετική Συχνότητα x i ν i f i Α 0,15 Β 150 0,30 Γ 0,35 Δ Σύνολο α) Να βρείτε πόσοι εκλογείς ψήφισαν στο τμήμα αυτό.

11 β) Να βρείτε πόσες ψήφους πήρε κάθε κόμμα σε αυτό το εκλογικό τμήμα. γ) Να σχεδιάσετε το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων. ΘΕΜΑ 4ο Μια εταιρεία απασχολεί 20 εργαζόμενους εκ των οποίων οι 10 εργάζονται στο τμήμα Α και οι 10 στο τμήμα Β. Η μέση τιμή των μηνιαίων μισθών του τμήματος Α είναι 720 ευρώ και ο μεγαλύτερος μισθός του τμήματος είναι 900 ευρώ. Οι μισθοί των εργαζομένων στο τμήμα Β είναι : 950, 900, 1060, 980, 920, 945, 975, 930, 900, 940. Να βρείτε : α) Το άθροισμα των μηνιαίων μισθών του τμήματος Α. Μονάδες 6 β) Τη μέση τιμή, το εύρος και την επικρατούσα τιμή των μισθών του τμήματος Β. Μονάδες 9 γ) Τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μισθών όλων των εργαζομένων στην επιχείρηση.

12 ΘΕΜΑ 1ο ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ A) Έστω η συνάρτηση f(x)= x 2. Να αποδείξετε ότι f (x) = 2x. B) Ας υποθέσουμε ότι x 1, x 2,..., x k είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν (όπου k ν), ν i είναι η συχνότητα και f i είναι σχετική συχνότητα της τιμής x i, i = 1, 2,, k. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της και ακριβώς δίπλα την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. α) Το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων των τιμών της μεταβλητής Χ είναι ίσο με 100. β) Η μέση τιμή x ορίζεται από τη σχέση: x = 1 ν k i = 1 x i ν i γ) Για τη σχετική συχνότητα f i ισχύει ότι f i > 1, για κάθε i = 1, 2,, k. δ) Ο συντελεστής μεταβολής CV ορίζεται (για x 0) από το λόγο:

13 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ CV τυπική απόκλιση =. μέσητιμή ε) Η διακύμανση (ή διασπορά) της μεταβλητής X ορίζεται από τη σχέση: s 2 k 1 _ 2 = (xi -x) νi. ν i= 1 Μονάδες 15 ΘΕΜΑ 2ο Ένα δείγμα εργαζομένων μιας εταιρείας εξετάστηκε ως προς το χρόνο (σε ώρες) υπερωριακής απασχόλησης κατά τη διάρκεια ενός μηνός και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας. Ώρες υπερωριακής απασχόλησης Κλάσεις [ - ) Αθροιστική συχνότητα Ν i Να βρείτε: α) το μέγεθος του δείγματος, β) τις συχνότητες και τις σχετικές συχνότητες των κλάσεων και ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

14 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ γ) τη μέση τιμή. ΘΕΜΑ 3o Δίνεται η συνάρτηση 2 3x f(x) =, όπου x IR. 2 4x + 5 Να βρείτε: α) το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x x, β) το lim f(x), x 0 γ) την παράγωγο της συνάρτησης f, δ) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα και ε) τα ακρότατα της συνάρτησης f. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

15 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ 4ο Οι χρόνοι σε ώρες (παρατηρήσεις) που έξι από τους επίγειους σταθμούς δεν είχαν επαφή με τον Ελληνοκυπριακό δορυφόρο είναι: t 1 = 0, t 2 = 0, t 3 = 1, t 4 = 2, t 5 = 4, t 6 = 5. α) Να βρείτε τη μέση τιμή x και τη διάμεσο δ των παρατηρήσεων. Μονάδες 6 β) Αν f(x) = (t 1 x) 2 +(t 2 x) 2 +(t 3 x) 2 +(t 4 x) 2 +(t 5 x) 2 +(t 6 x) 2, τότε: i) να αποδείξετε ότι f ( x ) = 0 Μονάδες 6 ii) να αποδείξετε ότι f( x ) = 6s 2, όπου s 2 είναι η διακύμανση των παρατηρήσεων και iii) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α( x, f( x )). Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

16 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 17 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο Α) Να γράψετε τον ορισµό της διαµέσου δ ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά. B) Ας υποθέσουµε ότι t 1, t 2,..., t ν είναι οι τιµές µιας µεταβλητής X, που αφορά τις παρατηρήσεις ενός δείγµατος µεγέθους ν. Να γράψετε τη σχέση που δίνει τη µέση τιµή x των παρατηρήσεων του δείγµατος. Για καθεµιά από τις προτάσεις Γ) και ), να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της και ακριβώς δίπλα την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασµένη. Γ) Αν οι τιµές x 1, x 2,..., x k µιας ποσοτικής µεταβλητής X είναι σε αύξουσα διάταξη και οι αντίστοιχες απόλυτες συχνότητές τους είναι ν 1, ν 2,..., ν k, τότε η αθροιστική συχνότητα της τιµής x i είναι N i = ν 1 + ν ν i, για i = 1, 2,..., k. Μονάδες 2 ) Γενικά δεχόµαστε ότι ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής θα είναι οµοιογενές εάν ο συντελεστής µεταβολής (CV) ξεπερνά το 10%. Μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

17 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ε) Ας υποθέσουµε ότι οι συναρτήσεις f, g έχουν και οι δύο πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α. Να γράψετε στο τετράδιό f σας το πεδίο ορισµού της συνάρτησης R = µε g f(x) R(x) =. g(x) ΣΤ)Υποθέτουµε ότι f είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α. Πότε η f λέγεται συνεχής σ ένα σηµείο x 0 A; Μονάδες 2 Ζ) Να µεταφέρετε συµπληρωµένες στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες: ΘΕΜΑ 2ο lim x x0 lim x x0 ηµx =... εφx =..., lim συνx =... x x0 (όταν συνx 0 0)., Μονάδες 3 ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x 2 5x + 6 και g(x) = x 3, όπου x IR. α) Να βρείτε τα lim f(x), lim g(x). x 2 x 2 Μονάδες 8 β) Να βρείτε το f(x) lim. x 3 g(x) Μονάδες 7 γ) Αν f (x) και g (x) είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων f(x) και g(x) αντίστοιχα, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: Κ = 3 f (200) g (-1). ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

18 ΘΕΜΑ 3ο ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Οι εισπράξεις (σε χιλιάδες ευρώ) ενός δείγµατος δέκα υποκαταστηµάτων µιας εµπορικής επιχείρησης, κατά το µήνα Απρίλιο του 2004, ήταν: 50, 15, 15, 20, 15, 30, 15, 20, 50, 50. α) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή x των εισπράξεων. β) Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα και να συµπληρώσετε όλα τα στοιχεία του. Εισπράξεις (σε χιλιάδες ευρώ) x i Σύνολο Συχνότητα ν i Σχετική συχνότητα f i x i - x (x i - x ) 2 (x i - x ) 2 ν i Μονάδες 15 γ) Θεωρώντας γνωστό ότι για τη διακύµανση ισχύει ο τύπος k 2 1 s = (x i - x ) 2 ν i, να υπολογίσετε: ν i = 1 γ 1 ) τη διακύµανση των εισπράξεων, Μονάδες 3 γ 2 ) την τυπική απόκλιση. Μονάδες 2 ΘΕΜΑ 4o ίνεται η συνάρτηση 2 f(x) = x, όπου x IR. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

19 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Να βρείτε: α) το lim f(x), x 0 Μονάδες 2 β) το ρυθµό µεταβολής της συνάρτησης f ως προς x, όταν x = 1, Μονάδες 3 γ) τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα, δ) τα ακρότατα της συνάρτησης f, ε) την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο Α(1, f(1)). Ο ΗΓΙΕΣ (για τους υποψηφίους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα δεν θα τα αντιγράψετε στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σηµείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία (1) ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

20 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 23 ΜΑΙΟΥ 2005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 ο A) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x) = c είναι (c) = 0. Β) Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Γ) Για καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της και δίπλα την ένδειξη (Σ), αν αυτή είναι σωστή, ή την ένδειξη (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. α) Σε μία κανονική ή περίπου κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή R 6s. Μονάδες 2 β) Ο συντελεστής μεταβολής ενός δείγματος τιμών μιας οιασδήποτε μεταβλητής Χ ορίζεται (για s 0) από το λόγο CV = x, όπου x η μέση τιμή και s η τυπική s απόκλιση. Μονάδες 2 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

21 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ) Για κάθε x ΙR. ισχύει: (συνx) = ημx. Μονάδες 2 δ) Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση x = f(t), θα είναι τη χρονική στιγμή t o υ(t o ) = f (t o ). Μονάδες 2 ε) Σε ένα δείγμα τιμών μιας οιασδήποτε μεταβλητής X το εύρος R ορίζεται από τη σχέση: R = μεγαλύτερη παρατήρηση + μικρότερη παρατήρηση. Μονάδες 2 ΘΕΜΑ 2ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 5x+ 6 x 2. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x). β) Να υπολογίσετε το lim f(x) x 4 γ) Να υπολογίσετε το lim f(x) x 2 δ) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f (x), της f(x)... Μονάδες 7 Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

22 ΘΕΜΑ 3o ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Οι ώρες παρακολούθησης τηλεοπτικών προγραμμάτων από 20 άτομα σε διάστημα μιας εβδομάδας αναγράφονται στον παρακάτω (ελλιπή) πίνακα: Ώρες παρακολούθησης x 2 i Συχνότητα ν i Σύνολο ν = 20 x i ν 2 i x i νi Στο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων του παραπάνω πίνακα δίνεται ότι η γωνία του κυκλικού τομέα, που αντιστοιχεί στην παρατήρηση x 1 = 2 ώρες, είναι α 1 = α) Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να τον συμπληρώσετε. Μονάδες 12 β) Θεωρώντας γνωστό ότι για τη διακύμανση ισχύει ο τύπος s 2 1 k = x ν i = 1 2 i ν i k i = 1 x ν i ν i 2 να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση s. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

23 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ) Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής CV του δείγματος. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4 ο Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι ώρες πρωινής εργασίας των μαθητών ενός τμήματος Εσπερινού Λυκείου: Ώρες εργασίας μαθητών x i Συχνότητα v i 1 α β Όπου α και β είναι οι τιμές του τοπικού μεγίστου και του τοπικού ελαχίστου αντίστοιχα της συνάρτησης f(x) = 2x 3-9x 2 +12x-1, x ΙR... α) Να αποδείξετε ότι: α=4 και β=3. β) Να βρείτε τη μέση τιμή x και τη διάμεσο δ των ωρών πρωινής εργασίας των μαθητών. γ) Πόσοι μαθητές εργάστηκαν το πολύ 4 ώρες. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

24 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους υποψηφίους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Τα θέματα δεν θα τα αντιγράψετε στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

25 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ TETΑΡΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΕΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο A) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x, είναι f (x) = 1 για κάθε x ΙR... Β) Για καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της και δίπλα την ένδειξη (Σ), αν αυτή είναι σωστή, ή την ένδειξη (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. α) Έστω f, g πραγματικές συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το ΙR, που είναι παραγωγίσιμες σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους. Τότε ισχύει: [f (g(x))] = f (g(x)) g(x) για κάθε x ΙR.. Μονάδες 3 β) Η παράγωγος κάθε σταθερής συνάρτησης είναι μηδέν σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 3 γ) Για κάθε x IR ισχύει: (ημx) = - συνx. Μονάδες 3 δ) Η διάμεσος επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις. Μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

26 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ε) Έστω x 1, x 2,, x k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v, k v. Για τις αντίστοιχες (απόλυτες) συχνότητες ισχύει: v 1 + v v k = v. Μονάδες 3 ΘΕΜΑ 2ο Για τη μελέτη του αριθμού των τροχαίων ατυχημάτων, που γίνονται σε μια κεντρική διασταύρωση κάποιας επαρχιακής πόλης, πήραμε δείγμα πέντε παρατηρήσεων που αφορούν στον αριθμό των ατυχημάτων σε κάθε έναν από τους πέντε τελευταίους μήνες. Οι παρατηρήσεις είναι αντίστοιχα: 1, 2, 3, 3, 1. α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διασπορά του δείγματος. β) Να βρείτε τη διάμεσο του δείγματος. γ) Ποια είναι η (απόλυτη) συχνότητα και ποια η σχετική συχνότητα της τιμής 3; δ) Ποιο είναι το εύρος του δείγματος; ΘΕΜΑ 3o 2 Έστω α IR. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x αx 8 με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών IR. Ι. Να βρεθεί το α ΙR. αν γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο Α(1, 2). ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

27 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΙΙ. Αν α = 4, α) να βρεθεί η παράγωγος f (x). β) να βρεθεί το x 0 IR στο οποίο η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει ακρότατο. Να βρεθεί αν το ακρότατο είναι μέγιστο ή ελάχιστο. γ) να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) στο σημείο Α(1, 2). ΘΕΜΑ 4ο Ο χρόνος αναμονής των πολιτών μέχρι να εξυπηρετηθούν σε μια δημόσια υπηρεσία ακολουθεί κανονική κατανομή, με μέση τιμή 5 λεπτά και τυπική απόκλιση 1 λεπτό. Ι. Να βρείτε πόσο είναι περίπου το ποσοστό των πολιτών που εξυπηρετούνται σε χρόνο α) από 4 έως 6 λεπτά. β) από 3 έως 6 λεπτά. ΙΙ. Να βρείτε τη διάμεσο και το εύρος της κατανομής του χρόνου αναμονής των πολιτών. ΙΙΙ. Να υπολογίσετε το συντελεστή μεταβολής της κατανομής του χρόνου αναμονής. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

28 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΆΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Τα θέματα δεν θα τα αντιγράψετε στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

29 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 21 ΜΑΪΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο A) Έστω f, g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο. Να αποδείξετε ότι [f (x) + g(x)] = f (x) + g (x), για κάθε x. Β) Για καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της και δίπλα την ένδειξη (Σ), αν αυτή είναι σωστή, ή την ένδειξη (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. α) Το εύρος R ενός δείγματος ν παρατηρήσεων δεν επηρεάζεται από τις δύο ακραίες παρατηρήσεις. Μονάδες 3 β) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Μονάδες 3 γ) Σε ένα ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με 1. Μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

30 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ) Έστω f, g δύο οποιεσδήποτε παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο, τότε ισχύει: [f (x) g(x)] = f (x) g (x), για κάθε x. Μονάδες 3 ε) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x 1 A, όταν f(x) > f(x1) για κάθε x σε μια περιοχή του x1. ΘΕΜΑ 2ο Μονάδες 3 ίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x 2 + 1, όπου x. Να βρείτε: α) Το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f ως προς x, όταν x=2. β) Τα ακρότατα της συνάρτησης f. γ) Το σημείο Α(x 0,f(x 0 )) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ευθεία y=3. ΘΕΜΑ 3o Στον παρακάτω (ελλιπή) πίνακα παρουσιάζονται οι σχετικές συχνότητες των τιμών σε Ευρώ ενός συγκεκριμένου προϊόντος σε 50 καταστήματα μιας πόλης: ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

31 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Τιμή προϊόντος (σε Ευρώ) [ ) Σχετική Συχνότητα f i , f , f 4 α) Αν η μέση τιμή των τιμών του προϊόντος στα καταστήματα αυτά είναι x = 11,6 0 Ευρώ, να βρείτε τις σχετικές συχνότητες f 2 και f 4. β) Αν f 2 =0,4 και f 4 =0,1 τότε, i) να βρείτε σε πόσα καταστήματα η τιμή του προϊόντος είναι μεγαλύτερη ή ίση των 10 Ευρώ. Μονάδες 8 ii) να κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. ΘΕΜΑ 4ο Μονάδες 7 Σε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων x 1,x 2,,x ν μιας μεταβλητής X είναι x = 8 και s 2 x = 4. α) Αν y 1,y 2,,y ν είναι το δείγμα των παρατηρήσεων που προκύπτουν αντιστοίχως από τις x 1,x 2,,x ν όταν κάθε μία αυξηθεί κατά 10% τότε: i) Να εξετάσετε αν το δείγμα y 1,y 2,,y ν είναι ομοιογενές. ii) Να συγκριθούν μεταξύ τους τα δύο δείγματα ως προς την ομοιογένεια. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

32 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β) Αν z i xi x = για κάθε i=1,2,,ν s x i) να βρείτε τη μέση τιμή z και την τυπική απόκλιση s z των z 1,..., z ν. ii) να εξετάσετε αν ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής (CV) των z 1,..., z ν. Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤAΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). εν θα αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

33 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 21 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο A) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, τότε να αποδείξετε ότι: [ c f (x)] = c f (x), όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 8 Β) Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Γ) Για καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της και δίπλα την ένδειξη (Σ), αν αυτή είναι σωστή, ή την ένδειξη (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. α) Για κάθε x ισχύει: (συν x) = ημx. Μονάδες 3 β) Οι ποσοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς μεταβλητές. Μονάδες 3 γ) ιάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι άρτιος αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, όταν το ν είναι περιττός αριθμός. Μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

34 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ) Το εύρος R ενός δείγματος ν παρατηρήσεων είναι μέτρο θέσης. ΘΕΜΑ 2ο Μονάδες ίνεται η συνάρτηση f(x) = x + kx + 2, με πεδίο ορισμού το 3 και k. Α) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ(3,8), να βρείτε τον k. Β) Για k= 1 α) Να αποδείξετε ότι: f (x) + f (x) + 2 = (x + 1) για κάθε x. β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. ΘΕΜΑ 3o Στο παρακάτω δείγμα των 10 παρατηρήσεων: όπου α πραγματικός αριθμός, η μέση τιμή είναι x = 4. 1, 2, 4, 2, 6, 1, 3, 6, α, 6 2 A) Να βρείτε την τιμή του α. B) Για α=9 α) Να βρείτε τη διάμεσο. β) Να βρείτε τη διακύμανση. Μονάδες 7 Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

35 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ) Αν όλες οι παραπάνω παρατηρήσεις αυξηθούν κατά 2008, τότε ποια θα είναι η μέση τιμή των νέων παρατηρήσεων; ΘΕΜΑ 4ο Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται η βαθμολογία των 150 μαθητών ενός Λυκείου σε τέσσερις κατηγορίες: «Άριστα», «Λίαν καλώς», «Καλώς» και «Σχεδόν καλώς». Το 20% των μαθητών έχουν επίδοση «Λίαν καλώς». Η γωνία του κυκλικού τομέα για την επίδοση «Άριστα» είναι 36. Οι μαθητές με βαθμό «Καλώς» είναι τετραπλάσιοι των μαθητών με «Άριστα». α) Να μεταφέρετε τον παρακάτω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε. i Xαρακτηρισμός βαθμολογίας x i Συχνότητα ν i Σχετική συχνότητα f i Σχετική συχνότητα % f i % Γωνία κυκλ. τομέα σε μοίρες α i 1 Άριστα 2 Λίαν καλώς 3 Καλώς 4 Σχεδόν καλώς Σύνολο Μονάδες 16 β) Να σχεδιάσετε στο τετράδιό σας το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων (f i %). Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

36 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). εν θα αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μετά την 8.30 απογευματινή. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

37 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 19 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο A. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι η f (x) = 0, για κάθε x. Β. Για καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της και δίπλα την ένδειξη (Σ), αν αυτή είναι σωστή, ή την ένδειξη (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. α. Για το πηλίκο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, g ισχύει ότι f g ( x) ( x) = f ( x) g ( x) f ( x) g( x) 2 ( g( x) ). Μονάδες 3 β. Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύει ότι limf (x) x x 0 = 1 και limg(x) x x 0 = 2, όπου 1, 2, τότε ισχύει ( f (x)g(x)) =. lim 1 2 x x 0 Μονάδες 3 γ. Το διάγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. Μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

38 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ. Το εύρος ενός δείγματος ν παρατηρήσεων είναι μέτρο διασποράς. Μονάδες 3 ε. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης που είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f στο σημείο της ( x 0,f ( x 0 )) είναι ο αριθμός f. ΘΕΜΑ 2ο ( ) x 0 Μονάδες 3 Στον επόμενο πίνακα δίνονται οι τιμές x i, i=1,2,3,4 μιας μεταβλητής Χ με τις αντίστοιχες συχνότητές τους ν i, i=1,2,3,4. Να υπολογίσετε: α. τη μέση τιμή x, β. τη διάμεσο δ, 2 γ. τη διακύμανση s. x i ν i Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3o ίνεται η συνάρτηση f ( x) 2 x =, x. 2 x + 1 α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f ( x). ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

39 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Να προσδιορίσετε το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα και το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα. Μονάδες 8 γ. Να βρείτε τα ακρότατα της f. δ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της ( 1,f ( 1) ). Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4ο Η ηλικία των κατοίκων μιας πόλης ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 50 έτη και τυπική απόκλιση 15 έτη. α. Να βρείτε τη διάμεσο της κατανομής της ηλικίας των κατοίκων. Μονάδες 4 β. Να βρείτε τον συντελεστή μεταβολής και να εξετάσετε αν το δείγμα των ηλικιών είναι ομοιογενές. Μονάδες 8 γ. Αν ο αριθμός των κατοίκων της πόλης είναι 4000, να βρείτε πόσοι περίπου κάτοικοι είναι ηλικίας (i) μεταξύ 35 και 65 ετών, Μονάδες 6 (ii) μεταξύ 5 και 35 ετών. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

40 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

41 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ A A1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f (x) = x είναι f (x) = 1, για κάθε x. Α2. Πότε μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής; A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει limf (x) =, όπου x 0 πραγματικός αριθμός, τότε ισχύει ότι για κάθε πραγματικό αριθμό κ. x lim(κ f (x)) = κ, x x 0 β. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. γ. Για το γινόμενο δύο οποιονδήποτε παραγωγίσιμων συναρτήσεων f,g ισχύει ότι: ( (x)g(x)) f = f ( x) g (x) f (x)g (x) ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

42 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ. Το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων των τιμών μιας μεταβλητής X είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. ε. Πλάτος μιας κλάσης ονομάζεται η διαφορά του κατώτερου από το ανώτερο όριο της κλάσης. ΘΕΜΑ B Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή συχνοτήτων των ωρών μελέτης των μαθητών της Α τάξης ενός Εσπερινού Γενικού Λυκείου στη διάρκεια μιας εβδομάδας. Ώρες Συχνότητα x i ν i α Β1. Αν η διάμεσος του δείγματος είναι δ=3,5 να βρείτε την τιμή του α. Μονάδες 8 B2. Για α=30, να βρείτε τη μέση τιμή x των ωρών μελέτης των μαθητών. Μονάδες 7 2 Β3. Για α=30, να βρείτε τη διακύμανση s των ωρών μελέτης των μαθητών. ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

43 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση ( x) = πραγματικοί αριθμοί. f x 3 +αx 2 9x+β, όπου α,β Γ1. Αν η εφαπτομένη στο σημείο Μ(2,5) της γραφικής παράστασης της f έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με 15, να αποδείξετε ότι α=β=3. Γ2. Για α=β=3, να βρείτε το όριο lim x 2 f (x) x Γ3. Για α=β=3, να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης g (x) = f (x)+10. ΘΕΜΑ 4 Μια μεταβλητή Χ παίρνει τις τιμές x 1 =α, x 2 =α+5, x 3 =α+10 και x 4 =α+35, όπου α πραγματικός αριθμός. Οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες των τιμών δίνονται από τον τύπο: 7i 3 F i =, για i=1,2,3,4, λ όπου λ θετικός ακέραιος. 1. Να αποδείξετε ότι λ=25. Μονάδες 7 2. Να βρείτε τις σχετικές συχνότητες f 1, f 2, f 3 και f 4. Μονάδες 8 3. Αν η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =19, να βρείτε την τιμή του α. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

44 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μία (1) ώρα μετά τη διανομή των θεμάτων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

45 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 ΜΑΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f, g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο. Να αποδείξετε ότι (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). Μονάδες 7 Α2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο x 1 Α; Μονάδες 4 Α3. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η διακύμανση εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Μονάδες 2 β) Σε μία κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή, δηλαδή R 6 x. Μονάδες 2 γ) Για την παράγωγο μίας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

46 ΘΕΜΑ B ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ δ) Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο δείγμα. Μονάδες 2 ε) Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, αν ο συντελεστής μεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 10%. Μονάδες 2 ίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 3x + 4, x Β1. Να δείξετε ότι η f(x) είναι γνησίως φθίνουσ α στο. Μονάδες 6 Β2. Να δείξετε ότι η παράγωγος f (x) έχει ολικό μέγιστο και να το υπολογίσετε. Μονάδες 7 B3. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(1, f(1)). Μονάδες 6 f(x) Β4. Να υπολογίσετε το όριο x lim 4 0 x Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f (x) = x 2 κx + 5, κ Γ1. Να βρεθεί το κ αν γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (-1, 12). ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

47 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Γ2. Για κ =6 να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στα σημεία με τετμημένες x = 2 και x = 4. Γ3. Να αποδειχθεί ότι το σημείο τομής των εφαπτομένων βρίσκεται πάνω στην ευθεία x=3. Γ4. Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου ανάμεσα στις εφαπτόμενες και τον άξονα x x. ΘΕΜΑ Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους ομαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων με κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων f i % έχει διαδοχικές κορυφές τις: Α(8, 0) Β(10, 10) Γ(12, 20) (14, y ) E(16, y Ε ) Ζ(18, 10) Η(20, 0) όπου y, y Ε οι τεταγμένες των κορυφών και Ε του πολυγώνου ΑΒΓ ΕΖΗ. 1. Να υπολογιστούν οι τεταγμένες y και y Ε των κορυφών και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή των πωλήσεων στη διάρκεια του έτους είναι ευρώ και το ευθύγραμμο τμήμα Ε είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα. Μονάδες 7 2. Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων f i %. Μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

48 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 3. Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων f i % της κατανομής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Μονάδες 7 4. Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό. Μονάδες 4 5. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθμό των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο 4 ερώτημα. Μονάδες 4 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

49 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 23 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε να αποδείξετε ότι [ cf ( x) ] = cf (x), x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Α2. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής x, αν x _ > 0 και πώς αν x _ < 0; Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση ποσοτικών δεδομένων (μονάδες 2). β) Η παράγωγος της f στο x 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y=f(x) ως προς x, όταν x = x0 (μονάδες 2). γ) Αν 0, x > τότε ( ln x) 1 = x (μονάδες 2). ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

50 ΘΕΜΑ B ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ δ) Το εύρος, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση των τιμών μιας μεταβλητής είναι μέτρα διασποράς (μονάδες 2). ε) lim ημx = ημx0 x x 0, x0 (μονάδες 2). ίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 + α x + β με x και α, β. Β1. Να βρεθεί το α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που η γραφική παράσταση τέμνει τον y y, σχηματίζει με τον x x γωνία 45 ο Μονάδες 8 f (x) + βx Β2. Αν α=1 και lim = 6, να βρεθεί το β. x 1 x + 1 Μονάδες 9 B3. Αν α=1, β=7 και g(x) = f(x) x με x, να μελετηθεί η g ως προς την μονοτονία. Μονάδες 8 3 ΘΕΜΑ Γ Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν οι μαθητές μιας τάξης για να λύσουν ένα μαθηματικό πρόβλημα ανήκουν στο διάστημα [5,45) και έχουν ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους. Τα δεδομένα των χρόνων εμφανίζονται στο παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό. ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

51 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Γ1. Με βάση το παραπάνω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό, να υπολογίσετε τη διάμεσο των χρόνων που χρειάστηκαν οι μαθητές. Μονάδες 4 Γ2. Στον επόμενο πίνακα συχνοτήτων της κατανομής των χρόνων, να αποδείξετε ότι α=8 (μονάδες 3) και να τον μεταφέρετε κατάλληλα συμπληρωμένο στο τετράδιό σας (μονάδες 5). Χρόνοι (λεπτά) x i v i f i % N i F i % [5,. ) α+4 [.,. ) 3α-6 [.,. ) 2α+8 [., 45) α-2 Σύνολο Μονάδες 8 Γ3. Να βρεθεί η μέση τιμή _ x και η τυπική απόκλιση s των χρόνων. ( ίνεται ότι: 84 9,17) Μονάδες 8 Γ4. Να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών που χρειάστηκαν για να λύσουν το μαθηματικό πρόβλημα τουλάχιστον 37 λεπτά. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

52 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f(x)= x 2 2 +, x 1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. 2. Αν 0<α<β<γ<3 να αποδείξετε ότι το εύρος των τιμών f(0), f(α), f(β), f(γ), f(3) είναι R=1,8 3. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Σ ( 1,f (1) ) έχει εξίσωση ε : y = x + 2 (μονάδες 2). Θεωρούμε δέκα σημεία ( xi, yi ), i = 1,2,..., 10 της ευθείας ε τέτοια, ώστε οι τετμημένες τους x να έχουν μέση τιμή x _ = 10 και τυπική απόκλιση 2. 1 i s x = Να βρείτε τη μέση τιμή _ y και την τυπική απόκλιση s y των τεταγμένων δέκα σημείων που επιλέξαμε (μονάδες 6). 4. Έστω ( x,f (x)), x > 0 y i των Μονάδες 8 Μ σημείο της γραφικής παράστασης της f. Η παράλληλη από το Μ προς τον άξονα y y τέμνει τον ημιάξονα Ο x στο σημείο Κ (x,0) και η παράλληλη από το Μ προς τον άξονα x x τέμνει τον ημιάξονα Ο y στο σημείο Λ ( 0,f (x)). Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλόγραμμου ΟΚΜΛ γίνεται μέγιστο, όταν αυτό γίνει τετράγωνο. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

53 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ